MANUAL DE ESTADÍSTICA
Lic. Johane Daniel Pérez Leberman
ALCANCE INTERFRACTIL
47
MANUAL DE ESTADÍSTICA
Lic. Johane Daniel Pérez Leberman ALCANCE INTERFRACTIL
En cualquier distribución de frecuencias, una fracción o proporción dada de los datos cae en un fractil o por debajo de este, por lo que se puede decir que un fractil es parecido a un porcentaje. Por ejemplo en una distribución cualquiera 25% de los datos están en el fractil 0.25 o por debajo de éste; igualmente 25% de los datos cae en el vigésimo quinto percentil o por debajo de éste.
Alcance Interfractil: Es una medida de dispersión que divide en partes iguales una distribución de frecuencia. Permite analizar la fracción operada y las diferencias con otros fractiles de la distribución, es decir, la diferencia entre valores de dichas partes. La fórmula utilizada para determinar los fractiles es una forma base que no cambia en forma, simplemente se adapta a los requerimientos del estudio (varían los datos dependiendo si se analizan cuartiles, deciles o percentiles) y es la siguiente:
Donde:
Q = L + i
N n x r − fa f
L = Límite inferior del fractil f = Frecuencia del Fractil
fa = Frecuencia acumulada inmediata anterior n = Cantidad de fractiles i = Intervalo – amplitud de frecuencias N = Número de observaciones – datos r = Número de fractil buscado
El análisis interfractil puede realizarse desde varias perspectivas, como cuartiles, como deciles y como percentiles. Para efectos de estudio se trabajaran las tres.
Cuartiles: Dividen la distribución de frecuencia en 4 partes iguales, es decir, 25% para cada una. Tome en cuenta el siguiente ejemplo: En una empresa aseguradora se ha hecho un sondeo sobre los ingresos promedio de los profesionales de venta. La información se presenta en el cuadro siguiente. Con dicha información se le solicita establecer el promedio de ingresos de los cuartiles 1 y 3 devengados por los 100 profesionales encuestados (datos dados en dólares)
Clases
F
fa
f%
100 - 199
10
10
10%
200 - 299
18
28
28%
25% (Q1)
300 - 399
24
52
52%
50% (Q2)
48
de los sueldos
MANUAL DE ESTADÍSTICA
Lic. Johane Daniel Pérez Leberman
400 - 499
20
72
72%
500 - 599
14
86
86%
600 - 699
8
94
94%
700 - 799
6
100
100%
75% (Q3)
100% (Q4)
Nota: para establecer el valor porcentual (columna f%) de la frecuencia acumulada se hace necesario dividir el valor de cada frecuencia acumulada entre el total de observaciones y el resultado multiplicarlo por cien. Tome como ejemplo los valores de las dos primeras filas:
fa 10 x 100 = 100 = 0.10 100 = 10% n 100 fa 28 x 100 = 100 = 0.28 100 = 28% n 100
Tomando como base la fórmula indicada anteriormente se tendría para el cuartil 1 lo siguiente:
Q = L + i
N n x r − fa = 200 + 100 f
100 4 x 1 − 10 = 200 + 100 25 − 10 18 18
' = 200 + 100(0.8333* = 200 + 83.33 = 283.33
El resultado obtenido indica que los profesionales analizados en el primer cuartil de la muestra (25% de la información) tienen un ingreso promedio de $ 283.33. Para el cuartil 3 se tiene:
Q+ = L + i
N n x r − fa = 500 + 100 f
100 4 x 3 − 72 = 500 + 100 75 − 72 14 14
'+ = 500 + 100(0.2143* = 500 + 21.43 = 521.43 El resultado obtenido indica que los profesionales analizados en el tercer cuartil de la muestra (75% de la información) tienen un ingreso promedio de $ 521.48.
49
MANUAL DE ESTADÍSTICA
Lic. Johane Daniel Pérez Leberman
Deciles: Dividen la distribución de frecuencia en 10 partes iguales, es decir, 10% para cada una. Se tiene el siguiente ejemplo: Se ha realizado un estudio de peso en la universidad, para el efecto se ha tomado una muestra de 40 estudiantes entre hombres y mujeres arrojando los datos de la tabla. Con dichos valores se le pide establecer el promedio de peso en libras de los deciles 3 y 7:
Intervalo
F
fa
f%
110.5 - 119.5
3
3
7.5%
119.5 - 129.5
5
8
20%
129.5 - 134.5
9
17
42.5%
30% (D3)
134.5 - 140.5
12
29
72.5%
70% (D7)
140.5 - 148.5
5
34
85%
148.5 - 155.5
4
38
95%
155.5 - 180.5
2
40
100%
Tomando la formula base se tendría para el decil 3 lo siguiente:
-+ = L + i
N x r − fa n = 129.5 + 6 f
40 x 3 − 8 12 − 8 10 = 129.5 + 6 9 9
D+ = 129.5 + 6(0.4444* = 129.5 + 2.66 = 132.17 El resultado obtenido indica que el peso promedio de los estudiantes del tercer decil de la muestra (30% de la información) es de 132.17 libras de peso. Para el decil 7 se tiene:
-1 = L + i
N x r − fa n = 134.5 + 7 f
40 x 7 − 17 28 − 17 10 = 134.5 + 7 12 12
D1 = 134.5 + 7(0.9166* = 134.5 + 6.42 = 140.92 El resultado indica que el peso promedio de los estudiantes analizados en el séptimo decil de la muestra (70% de la información) es de 140.92 libras.
50
MANUAL DE ESTADÍSTICA
Lic. Johane Daniel Pérez Leberman
Percentiles: Divide la distribución de frecuencia en 100 partes iguales, es decir, 1% para cada una. Tome los valores del ejemplo anterior (peso de una muestra de 40 estudiantes de la universidad) y establezca el peso promedio de los percentiles 26 y 78.
Intervalo
F
fa
f%
110.5 - 119.5
3
3
7.5%
119.5 - 129.5
5
8
20%
129.5 - 134.5
9
17
42.5%
134.5 - 140.5
12
29
72.5%
140.5 - 148.5
5
34
85%
148.5 - 155.5
4
38
95%
155.5 - 180.5
2
40
100%
26% (P26)
78% (P78)
Tomando la formula base se tendría para el percentil 26 lo siguiente:
234 = L + i
N x r − fa n = 129.5 + 6 f
40 x 26 − 8 10.4 − 8 100 = 129.5 + 6 9 9
234 = 134.5 + 6(0.2667* = 129.5 + 1.60 = 131.10 El resultado indica que el peso promedio de los alumnos del percentil 26 de la muestra (26% de la información) es de 131.10 libras de peso. Para el percentil 78 se tendría:
215 = L + i
N x r − fa n = 140.5 + 9 f
40 x 78 − 29 31.2 − 29 100 = 140.5 + 9 5 5
215 = 140.5 + 9(0.44* = 140.5 + 3.96 = 144.46 El peso promedio de los alumnos del 78 percentil de la muestra (78% de la información) es de 144.46 libras de peso.
51