Aspectos introductorios

MANUAL DE ESTADÍSTICA

Lic. Johane Daniel Pérez Leberman

ASPECTOS INTRODUCTORIOS Y TERMINOLOGÍA BÁSICA DE LA ESTADÍSTICA

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ESTADÍSTICA

Imagínese que está en los últimos minutos de un partido y su equipo favorito se encuentra abajo en el marcador por un gol; sabe que si no se van al ataque ni siquiera empataran el partido, en consecuencia, los jugadores de su equipo intentara buscar una falta cerca del área grande o un penal.

El sub entrenador consulta rápidamente con el central y le informa que en las últimas 50 situaciones parecidas 2/3 han llevado peligro al arco contrario. El entrenador del equipo contrario avisa a los defensas centrales que seguramente el otro equipo buscara una falta cerca del área o un penal, por lo que la estadística definió las situaciones ofensivas y defensivas a utilizar.

El Departamento de Alimentos y Medicinas del Ministerio de salud Pública y Asistencia Social está realizando pruebas finales sobre un nuevo medicamento para la diabetes, es efectivo en un 80% de los casos en que es administrado y con solo un 2% de incidencia de efectos secundarios no deseables. Esta enfermedad se está convirtiendo en un serio problema para la población del país, afectando a niños adolescentes y adultos de distintas etapas. El director de investigación debe decidir si recomienda el medicamente para su uso general; hará la recomendación de uso sólo en el caso de tener la certeza al 99% de que no habrá diferencias significativas entre los efectos secundarios no deseables en las pruebas clínicas y los que se ocasionarían por el uso generalizado del medicamento. Existen métodos estadísticos que pueden proporcionarle una buena base para tomar tan importante decisión.

El Banco Comunitario ha aprendido de la experiencia que existen cuatro factores que influyen en gran medida en la determinación de si un cliente pagará a tiempo el préstamo que se le hizo o si se va a convertir en moroso. Tales factores son: 1) el número de años que tenga viviendo en la dirección actual, 2) su antigüedad en el trabajo, 3) el hecho de si el cliente es dueño o no de la casa que habita y 4) el hecho de que el cliente tenga una cuenta de cheques o de ahorros en el mismo banco.

Desafortunadamente, el banco no conoce el efecto individual que tiene cada uno de tales factores sobre el resultado del préstamo. Sin embargo, posee archivos de computadora con información sobre los clientes (tanto de aquellos a los que se les ha concedido un préstamo como de los rechazados) y tiene conocimiento, también, del resultado de cada préstamo.

La palabra estadística significa cosas diferentes para personas diferentes. Para un aficionado al futbol se trata de jugadas, pases y anotaciones; para el entrenador la estadística es la probabilidad de que el equipo contrario tome una posición defensiva u ofensiva. Para el administrador del Departamento de Alimentos y Medicina, de nuestro segundo ejemplo, es el porcentaje posible de efectos secundarios no

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deseados con el uso generalizado de una nueva medicina para tratar la diabetes. Y como finalización se puede decir que para el Banco Comunitario la estadística es la posibilidad de que un cliente pague a tiempo el préstamo.

Los métodos estadísticos tradicionalmente se utilizan para propósitos descriptivos, para organizar y resumir datos numéricos. La estadística descriptiva, por ejemplo, trata de la tabulación de datos, su presentación en forma gráfica o ilustrativa y el cálculo de medidas descriptivas. Ahora bien, las técnicas estadísticas se aplican de manera amplia en mercadotecnia, contabilidad, control de calidad y en otras actividades; estudio de consumidores, resultados deportivos, administración de empresas, educación, política, medicina, personas que intervienen en la toma de decisiones y otros.

HISTORIA

Etimología No se ha logrado un acuerdo sobre el origen etimológico de la palabra Estadística. Para algunos autores, se deriva del latín status que significa estado, en el sentido político. Si se tiene en cuenta que en un principio los gobiernos la utilizaban para la recolección de datos, también significa posición o situación de personas o cosas. Para otros, se deriva del vocablo griego statera que significa balanza, dado en parte a la función que cumple en la medición o peso de los hechos que son objeto de estudio; otros, sostienen que proviene del alemán staat que también significa estado, considerado como una organización política.

La palabra statistik proviene de la palabra italiana statista (que significa “estadista”). Fue utilizada por primera vez por Gottfried Achenwall (1719 – 1772), un profesor de Marlborough y de Göttingen, y el Dr. E.A. W. Zimmerman introdujo el término estadística a Inglaterra. Su uso fue popularizado por sir John Sinclair en su obra Statistical Account of Scotland 1791 – 1799 (Informe estadístico sobre Escocia 1791 – 1799). Sin embargo, mucho antes del siglo XVIII, la gente utilizaba y registraba datos.

Los comienzos de la estadística pueden ser hallados en el antiguo Egipto, cuyos faraones lograron recopilar, hacia el año 3050 a.C. datos relativos a la población y la riqueza del país. De acuerdo al historiador griego Herodoto, dicho registro de riqueza y población se hizo con el objetivo de preparar la construcción de las pirámides. En el mismo Egipto, Ramsés II hizo un censo de las tierras con el objeto de verificar un nuevo reparto. La estadística gubernamental oficial es tan vieja como la historia registrada. Desde la antigüedad se encuentran estadísticas rudimentarias relacionadas con registros,

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censos, ya sea en el campo económico, social o educacional. Es así como se tienen informes de su aplicación e importancia en tiempos anteriores a la era Cristiana. Se dice que 2,000 años antes de Cristo, en China, ya se habían hecho registros y recuentos de la población, cultivos, fortunas, etc. En otros pueblos, como Siria, Persia, Egipto, se conocían censos de poblaciones y catastro de territorios. El Viejo Testamento contiene varios informes sobre levantamientos de censos. Los gobiernos de Babilonia, Egipto y Roma reunieron registros detallados sobre población y recursos. El nacimiento de Cristo coincide con la realización del empadronamiento o censo de los israelitas. En la Edad Media, los gobernantes empezaron a registrar la propiedad de la tierra. En el año 762 de nuestra era, Carlomagno pidió la descripción detallada de las propiedades de la Iglesia. A principios del siglo IX terminó la enumeración estadística de los siervos que había en los feudos. Por el año 1806, Guillermo el Conquistador ordenó que se escribiera el Domesday Book, un registro de la propiedad, extensión y valor de las tierras de Inglaterra. Este trabajo fue el primer resumen estadístico de Inglaterra.

INVESTIGACIÓN ESTADÍSTICA

Se menciona a Inglaterra como el país donde se inician las investigaciones de mercado y de opinión pública; sin embargo, fue en América del Norte donde éstas tomaron mayor auge, y cada día vemos cómo las entidades gubernamentales y las empresas privadas cuentan con departamentos de investigación.

Fuentes de Información Se pueden clasificar las fuentes de información en dos tipos, las internas y las externas. Las fuentes internas; allí los datos se producen y se registran internamente dentro de la empresa, donde se puede obtener información sobre ventas, producción, cuentas por cobrar, consumo de materia prima, horas trabajadas, etc.

Quizá por desconocimiento, o ignorancia, muchos no le dan importancia a las fuentes de información interna, y sólo las consideran como operaciones corrientes que forman parte de la rutina de los departamentos de contabilidad, ventas, producción, recursos humanos, etc., desconociendo que la verdadera investigación comienza precisamente allí para iniciar de esta manera la búsqueda de información externa, por no encontrarse ésta dentro de los archivos y documentos de la empresa.

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Las fuentes externas; son aquellas que nos suministran informaciones o datos de lo que sucede fuera de la empresa. Estas informaciones se obtienen de boletines, revistas, periódicos, publicaciones especializadas o informes realizados por otras entidades o empresas.

Podemos clasificar las fuentes de información como primaria y secundaria. Cuando una persona, entidad o empresa realiza una investigación, con las consiguientes etapas de recolección, procesamiento y análisis, esta información se constituye en fuente primaria; en cambio, para otra persona, entidad o empresa diferente a quien la produce, se convierte en fuente secundaria. Algunos autores denominan a las fuentes primarias métodos de observación directa, ya que la información la recoge el interesado, mediante la aplicación de un formulario o cuestionario. Gracias a ellas se observan o se registran los datos directamente de la fuente de información, o sea, de la unidad que es objeto de estudio.

Clases de Investigación La investigación se podrá clasificar en dos clases: descriptiva y experimental. La investigación descriptiva se realiza sobre hechos reales con el fin de explicar, de modo sistemático, sus características. Esta clase de investigación comprende etapas como la recolección, descripción, análisis e interpretación de los datos; también puede referirse al análisis de datos provenientes de fuentes secundarias. Se puede decir que, generalmente, se utilizan el método de casos y el estadístico. En el departamento de mercados de una empresa, la investigación descriptiva podría estar encaminada, por ejemplo, a describir las características del mercado de un producto o de la empresa en general; la aplicación de algunas medidas para determinar la proporción de personas que prefieren esa marca, es decir, conocer la reacción de los consumidores frente al producto, o el comportamiento futuro de las ventas, etc.

La investigación experimental corresponde a una observación dirigida en condiciones rigurosamente controladas, determinando las relaciones de causa y efecto. Debe quedar claro que el experimento es una situación provocada, siendo esencial el empleo de un diseño adecuado, evitando de esta manera situaciones que invaliden la investigación. Se puede sintetizar diciendo que la investigación experimental difiere de la investigación descriptiva, porque la primera tiene su base en realidades físicas, y la segunda sobre abstracciones; además, si las condiciones no varían, no se puede actuar sobre ellas y no se pueden reproducir, como se reproduce una experiencia en el laboratorio para comprobar su desarrollo

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Etapas en una Investigación En cuanto al modelo descriptivo, que también lo llamaremos estadístico, requiere para su ejecución observar algunas etapas, entre las cuales mencionaremos las más importantes:

-

Planteamiento o formulación del problema

-

Formulación de objetivos

-

Unidad de investigación

-

Formulación de hipótesis

-

Método de investigación (censo o diseño de la muestra)

-

Recolección de datos

-

Clasificación, tabulación y descripción de los resultados

-

Generalización o inferencia final

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Presentación del informe y publicación

Planteamiento o formulación del problema: El conocimiento del problema es lo que plantea la necesidad de realizar una investigación. Por ejemplo, un empresario siempre estará atento a la situación interna de la empresa, y constituye la tarea diaria de dirección. Evalúa los resultados de gestión frente a los objetivos trazados, que se van visualizando a través de informaciones recogidas en los diferentes departamentos, sobre: ventas participación del mercado, costos, liquidez, imagen, etc., que en algunos casos pueden mostrar anormalidad, síntomas sobre los cuales se deben diseñar los correctivos por aplicar, con base en la formulación de una serie de hipótesis.

Formulación de objetivos: Tendrán que estar claramente definidos, indicándose lo que se desea hacer. ¿Qué se va a investigar? ¿Cómo se va a realizar? ¿Cómo se pueden obtener los datos? Si mediante una investigación parcial o total ¿Cuál sería el diseño de muestreo? ¿Qué cobertura tendría? ¿Dónde se va a investigar? ¿En qué lugar? ¿Qué áreas deberán ser incluidas? ¿Cuándo es el momento más indicado para llevarlo a cabo? ¿Cuándo se necesitan? ¿Para qué se requiere la información? ¿A quién va dirigida? ¿Cuál es la unidad de investigación?

La Unidad: Se tendrá definida cuando los objetivos de la investigación se han determinado con precisión. Se podrá saber si hay necesidad de otras unidades de selección para poder llegar al elemento final, o sea, el objeto de estudio. Nos permite elaborar el marco o marcos, es decir, conformar y actualizar el listado de unidades o elementos de la población que serán seleccionados al azar o en forma sistemática. De esta manera, se establecerá con exactitud la cobertura, el tiempo

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necesario, la naturaleza cuantitativa y cualitativa del hecho. No olvidar que las unidades deben ser accesibles al observador.

Formulación de hipótesis: Las hipótesis son supuestos que se hacen en una investigación para luego ser comprobados. Las hipótesis estadísticas son aquellos supuestos hechos respecto a valores de la población o parámetros, y cuya comprobación requiere la aplicación de métodos estadísticos. Aquellas que no hacen referencia a un valor: media, proporción, razón, etc., son simplemente hipótesis. Son ejemplo de hipótesis descriptivas: que el rendimiento del curso en el presente período lectivo es bueno; que en un Gobierno de coalición, la inmoralidad de los funcionarios disminuirá; que si hay inversión social, la situación de orden público mejorará, etc.

Método de investigación: La investigación puede ser total (censo) o parcial (muestra), dependiendo de ciertos factores como: costo, tamaño de la población, tiempo. Sabiendo además, que cada elemento tendrá cierta cantidad de información, se deberá seleccionar la estrictamente necesaria, dependiendo también del número de unidades que se va a investigar, su dispersión geográfica y el grado de variabilidad que la característica presenta. El diseño de la encuesta por muestreo ayudará a controlar la cantidad de información y su variación, y en la decisión sobre cuál es el método más indicado en esa investigación. Luego se procede a establecer el método de medición o recolección de datos, siendo los más usuales entre otros: las entrevistas personales, por teléfono, la directa, cuestionarios enviados por correo, etc. Antes de realizar la encuesta es necesario someterlo a pruebas realizando una pequeña pre-encuesta, lo cual permitirá hacer las correcciones que sean necesarias, mejorar su diseño tanto en las preguntas como en las instrucciones.

Recolección de datos: distribuyendo o aplicando los instrumentos de medición, de los cuales ya se hizo referencia. Se recomienda la supervisión permanente del trabajo de los encuestadores, quienes con anterioridad recibieron un riguroso entrenamiento sobre la forma de entrevistar, el manejo del instrumento y el propósito de la encuesta.

Organización y manejo: La información podrá ser procesada en forma manual o mecánica, dependiendo de la cantidad de unidades o de preguntas determinadas. Influyen en este apartado la disponibilidad de equipo y dinero.

Análisis de los datos: Luego de organizada la información, se procede al análisis de los datos, comenzando por la aplicación de aquellas medidas que permitan la obtención de estimadores que faciliten la comprobación de las hipótesis establecidas.

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Elaboración del informe y su publicación: Etapa final del proceso, ya sea para uso interno de la empresa o para los particulares. La redacción y entrega del informe final, corresponde a la última etapa de la investigación y a la culminación de todos los trabajos que la misma causó. A pesar de que el informe constituye un todo indivisible, se puede considerar tres partes ´perfectamente identificables: introducción, conclusiones y apéndices.

En la introducción se utiliza un lenguaje sencillo y ameno, dejando aparte los tecnicismos, de manera que sea entendible; además, debe mantenerse una secuencia que guarde armonía con el proceso utilizado en la investigación. Se aclara el planteamiento del problema que condujo a la realización del estudio, la fijación de objetivos, elección del método de investigación aplicado, incluido el método de selección utilizado, el tamaño de la muestra calculada, así como el diseño del cuestionario, las preguntas que dieron lugar, indicación de la fecha en que se inició y terminó la recolección de la información.

Las conclusiones Constituye la parte fundamental del informe, ya que en ella aparecen relacionados los resultados obtenidos, la confrontación con lo esperado, la exposición de cómo deben ser interpretados y qué es lo que de ellos se deduce. El informe, además debe remitir al lector, cuando sea necesario, a consultar los cuadros y gráficas que hagan más comprensible la explicación y, sobre todo, presentar recomendaciones.

Los apéndices integran toda la documentación que se ha citado en la introducción y en las conclusiones, para que el lector del informe pueda consultar rápidamente y con facilidad cualquier información contenida en el mismo.

TERMINOLOGÍA Y CONCEPTOS BÁSICOS

Estadística Es la rama del conocimiento humano que trata de la recolección, organización, clasificación, presentación análisis e interpretación de datos numéricos. Los administradores aplican alguna técnica estadística a virtualmente todas las ramas de las empresas públicas y privadas. Estas técnicas son tan diversas que los estadísticos, por lo general, las dividen en dos grandes categorías: estadística descriptiva y estadística inferencial.

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Estadística descriptiva: Supóngase que un catedrático universitario calcula la calificación promedio de un grupo de la clase de economía. Como la estadística describe el desempeño del grupo pero no hace ninguna generalización acerca de los diferentes grupos, podemos decir que el profesor está utilizando estadística descriptiva. Gráficas, tablas y diagramas que muestren los datos de manera que sea más fácil su entendimiento son ejemplos de estadística descriptiva.

Estadística Inferencial: Supóngase ahora que el mismo profesor de historia decide utilizar el promedio de calificación obtenido por uno de sus grupos para estimar la calificación promedio de las diez unidades del mismo curso de economía. El proceso de estimación de tal promedio sería un problema concerniente a la estadística Inferencial. Los estadísticos se refieren también a esta rama como inferencia estadística. Obviamente, cualquier conclusión a la que llegue el profesor sobre las diez unidades del curso estará basada en una generalización que va más allá de los datos del grupo original de economía y ésta puede no ser completamente válida, de modo que el profesor debe establecer qué posibilidad hay de que sea cierta. De manera similar, la inferencia estadística implica generalizaciones y afirmaciones con respecto a la probabilidad de su validez.

Teoría de Decisiones Los métodos y las técnicas de la inferencia estadística se pueden utilizar también en una rama de la estadística que se conoce como teoría de decisiones. El conocimiento de la teoría de decisiones es muy útil para los profesionales, ya que se le usa para tomar decisiones en condiciones de incertidumbre, cuando, por ejemplo, un fabricante de aparatos de sonido no puede especificar precisamente la demanda de sus productos o cuando en una escuela se deben asignar grupos y crear horarios sin tener el conocimiento preciso del número de estudiantes que entrarán al primer grado.

Los expertos en estadística recogen datos de una muestra. Utilizan ésta información para hacer inferencia sobre la población que está representada por la muestra. En consecuencia, muestra y población son términos relativos. Una población es un todo y una muestra es una fracción o segmento de ese todo. Se estudian muestras con el fin de ser capaces de describir poblaciones. El estudio de muestras es más sencillo que el estudio de la población completa; cuesta menos y lleva menos tiempo. A menudo, la prueba de resistencia de una parte de un aeroplano destruye esa parte, en consecuencia, es deseable la prueba en menos partes.

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Datos Estadísticos Son los conjuntos o colecciones de datos numéricos, que presentan características comunes, que les permiten ser comparados entre sí, y por ende analizados e interpretados. Poblaciones: Son los conjuntos o colecciones completas de elementos, individuos, cosas, objetos o valores, que contienen la totalidad de observaciones posibles o valores de interés en un proceso de investigación. Muestras: Son los subconjuntos o colecciones parciales de los elementos de una población.

Estadísticos o Estadígrafos Son las medidas numéricas, de tendencia central o de dispersión que se refieren a características inherentes a las muestras. Parámetros: Son las medidas numéricas, de tendencia central o de dispersión que se refieren a características inherentes a las poblaciones.

Análisis Es la descomposición de una serie de datos en sus partes integrantes, para establecer la relación existente entre ellas y el suceso, objeto o variable de estudio. Interpretación: Es el sentido personal y objetivo, que el investigador debe darle tanto a los resultados numéricos obtenidos, como a las relaciones existentes entre las partes integrantes del suceso.

Muestreo Se entiende como la selección de una parte de la población que contiene características similares (un subconjunto de un conjunto de elementos) y resulta de la aplicación de algún proceso estadístico, generalmente selección deliberada, con el objeto de investigar las características de los elementos de la población o del conjunto del cual provienen. Se utiliza una investigación por muestreo, cuando no es posible la investigación del total de la población. Este procedimiento es menos costoso, más rápido, requiere menos personal y puede proporcionar mayor precisión en los resultados. Por muestreo se deberá entender la utilización de cualquiera de los procedimientos establecidos para obtener una muestra, no debe perderse el objetivo del muestreo, que es considerar el mayor número de elementos con el menor costo posible.

Cuando se trata de una parte de la totalidad de elementos se trata de una investigación parcial, observación parcial o muestra. La muestra será representativa de la población si las probabilidades de selección de los elementos son todas iguales, durante todo el proceso, y que se denominara muestra aleatoria. En el caso de que algunos de los elementos de la población tengan más probabilidad de presentación que otros se le denominará muestra no aleatoria y se da cuando los elementos se

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seleccionan en forma caprichosa o por conveniencia, por esta razón, sus resultados no merecen confianza.

Muestreo Aleatorio: Se tienen diferentes métodos de muestreo al azar, cuya aplicación dependerá de las condiciones en que se presente la población y de las características que se van a investigar en sus unidades. Por ejemplo el muestreo aleatorio simple indica que los elementos de la población debe tener igual probabilidad de ser seleccionados para formar parte de la muestra, en este método debe elaborarse un listado completo actualizado y correctamente identificado de los elementos que forman parte de la población, y que van a ser seleccionados por algún método al azar (sorteo, extracción, fichas, papeletas, otros). El muestreo estratificado se aplica cuando la población requiere ser dividida en subpoblaciones o estratos, buscando que cada uno de ellos sea lo más homogéneo posible y donde un elemento dado no pueda pertenecer a más de un estrato, una vez establecidos los estratos, se elige en cada uno de ellos una muestra al azar. El muestreo sistemático es muy aplicado en aquellos casos en los que la característica investigada está ordenada, ya sea alfabéticamente, por valor o cantidad, o en forma cronológica. El procedimiento de aplicación es bastante simple: se calcula un intervalo de selección, obtenido al dividir el tamaño de la población por el número de elementos en la muestra y al seleccionar al azar un número dentro de ese intervalo, éste es el que se constituye en punto de referencia o primer elemento seleccionado, luego se le va sumando un valor de intervalo.

El muestreo por conglomerados se emplea a menudo para reducir el costo de muestrear una población dispersa en un área geográfica extensa. También se utiliza cuando no es posible elaborar un marco con elementos finales o de análisis; por tanto, se toma la unidad, es decir, aquella que contiene más unidades o elementos y que constituye el denominado conglomerado (para este caso en particular se seleccionan al azar conglomerados y se toma de ellos los elementos de la muestra). El muestreo por etapas se usa cuando de un marco se extrae una muestra de conglomerados para luego de esa muestra extraer otra muestra y así sucesivamente hasta llegar a la unidad o al elemento de análisis, se le denomina muestreo por etapas, también se le denomina muestreo por áreas o geográfico.

Muestreo no Probabilístico: En este método las unidades no se seleccionan al azar, sino en forma caprichosa, por conveniencia o con alguna intención; de ahí se deduce que sus resultados no son confiables. Dentro de este método se tiene, entre otros, el muestreo voluntario, en el cual las unidades o elementos seleccionados llenan un cupón que aparece en alguna publicación o realizan una llamada, para dar la información en forma voluntaria. Muestreo de juicio llamado también intencional,

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ya que las unidades se seleccionan a juicio del investigador, ya sea por conveniencia o con alguna intención, también se le conoce como muestras dirigidas. El muestreo por cuotas consiste en que a cada persona encargada de recolectar la información se le asigna cierto número de unidades o elementos muestrales, en donde la selección de ellos depende de la decisión que tome el investigador, aunque suele dársele ciertas indicaciones.

OTRAS GENERALIDADES

Es necesario conocer, entender y manejar correctamente algunos símbolos y operaciones requeridos en el desarrollo de esta materia; entre éstas se encuentran la sumatoria y la productoria. La sumatoria corresponde a una de las tantas operaciones que se realizan en la estadística, ya que siempre se tendrán que sumar numerosos términos, los cuales muchas veces deben ser expresados por símbolos o fórmulas, con el fin de simplificar su presentación. El signo de sumatoria es ∑ (sigma), letra griega que indica suma de, o sumatoria de. Por definición se tendrá que:

=

+

+

+. . .. +

En una operación de sumatoria se ve que a sigma le acompaña i = 1, que representa al límite inferior, donde i no necesariamente debe ser igual a uno; n corresponde al límite superior. En la expresión:

se lee “sumatoria de i igual a uno, hasta 5 de i”, lo cual quiere decir que i toma valores desde uno hasta cinco y el resultado final será la suma de esos valores. En éste documento se conocerán algunas de las propiedades de éste tipo de operación.

= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

Si en un ejercicio igual a los anteriores “n” es demasiado grande, se podrá simplificar mediante la aplicación de una de sus propiedades.

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=

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50 (50 + 1 ) 2550 ( + 1) = = = 1275 2 2 2

Cuando el símbolo de la sumatoria se expresa sin límites explícitos (inferior y superior), se entiende que la sumatoria abarca desde el límite inferior i = 1 hasta n.

Otra propiedad de la sumatoria es: ² =

( + 1)(2 + 1) 6

Por lo tanto, si se tuviera la siguiente expresión:

= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 55 lo que será igual a:

² =

5(6)(11) = 55 6

La siguiente expresión permite observar otra propiedad de la sumatoria:

= 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ = 1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 225

O también:

³ = +

( + 1) 5(6) , = + , = 15² = 225 2 2

Otra de las propiedades de la sumatoria se da cuando la letra i (forma de operación) toma un valor numérico, vea el siguiente ejemplo:

1 Lo anterior significa que deberá tomar el valor frente a la sumatoria y sumarlo (según el intervalo) repetidamente hasta llegar a “n” veces (según límite superior), por ejemplo:

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6 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 30

La productoria se simboliza con la letra griega ∏ (pi mayúscula), que se lee “producto de” y tiene una aplicación parecida a la de la sumatoria, con la diferencia que en vez de ser sumados, los términos se multiplican entre sí; por lo tanto, la productoria tendrá un límite inferior y superior, además del elementos genérico del producto.

-

Esto se lee “productoria de i igual a uno hasta n de i”. Se puede observar una operación:

- = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 = 120

Para esta operación se puede utilizar calculadoras que tengan el signo !, que se lee factorial y se expresa de la siguiente manera: 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Como en el caso de la sumatoria, también en la productoria se cuenta con propiedades. Algunas de ellas son:

a)

La productoria de una constante es igual a una potencia, en la que la base es la constante y el exponente el límite superior de la productoria

- 2 = 2² = 32 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2

b) El producto de una constante por una variable es igual a la constante elevada al valor que toma el límite superior por la productoria de la variable i, desde el límite inferior hasta el límite superior.

- 2 = 2 - = (2 )(1 . 2 . 3 . 4 . 5) = 32(120) = 3,840

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Laboratorio # 1

a.

b.

c.

1

2

e.

g.

-

d.

31

3

f.

4

-6

0

12

0

2

- 3 ÷ -

h.

6

1- 53 1- 3

i.

0

- ÷

j.

2

15