Circuitos eléctricos RL y RC en ecuaciones diferenciales lineales de primer orden Docente: Jorge Olivares Funes Primer Semestre 2016 Ingeniería en ejecución CM-372 y CM-371 Consideremos: 1) La ecuación diferencial que rige la cantidad de corriente 𝑖(t) ( amperios ) en un circuito simple RL
Que consiste en una resistencia R ( ohmios), un condensador L ( henrios), y una fuerza electromotriz (abreviada fem) E ( voltios ) es
𝑑𝑖 𝑅 + 𝑑𝑡 𝐿
𝑖=
𝐸 𝐿
Ejemplo En un circuito RL se tiene una fem de 3sen(2t) voltios, una resistencia de 10 ohmios , una inductancia de 0,5 henrios y una corriente inicial de 6 amperios . Hallar la corriente en el circuito en cualquier momento t. Solución Sean 𝑖(t) : cantidad de corriente en el tiempo t
E=3sen(2t) R=10 L=0.5 Luego
𝑑𝑖 10𝑖 3𝑠𝑒𝑛(2𝑡)
+
𝑑𝑡 0,5
=
0,5
𝑖(0) = 6
O también 𝑑𝑖 𝑑𝑡
+20 𝑖 =6sen(2t) 𝑖 (0)=6
Cuya solución es
>
> >
Y la gráfica es
2) En un circuito RC dado por
Que consiste en una resistencia R, una capacitancia C ( faradios ), una fem E y ninguna inductancia L , la ecuación que rige la cantidad de carga eléctrica q(t) ( columbios) del condensador es
đ?‘‘đ?‘ž
1
+ q=
đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘…đ??ś
Y la relaciĂłn entre q(t) e đ?’Š (t) es
đ?‘‘đ?‘ž đ?‘‘đ?‘Ą
đ??¸ đ?‘…
=đ?‘–
Ejemplo Un circuito RC tiene una fem dada por 400cos(2t) voltios , una resistencia de 100 ohmios y una capacitancia de 10−2 faradios . Inicialmente no hay carga en el condensador. Hallar la corriente i(t) en cualquier tiempo t. SoluciĂłn Sean q(t) : la cantidad de carga elĂŠctrica en el tiempo t E=400cos(2t) R=100 C=10−2 Luego đ?‘‘đ?‘ž đ?‘‘đ?‘Ą
+q=4cos(2t) q(0)=0
Cuya soluciĂłn es
>
>
>
đ?‘‘đ?‘ž
Como đ?‘‘đ?‘Ą = đ?‘–
,
tenemos
> đ?‘–= = Y su grĂĄfica es