Ecuaciones Diferenciales Exactas
Una ecuaciĂłn diferencial de la forma M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
Es llamada exacta , si existe una funciĂłn f:D∠đ?‘… 2 → đ?‘… , tal que ∂f(x,y) ∂x
=M(x,y)
∂f(x,y) ∂y
=N(x,y)
f(x,y)=c, c cte
Proposición 1 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 es exacta ⇔
đ?œ•đ?‘€ đ?œ•đ?‘Ś
(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) =
đ?œ•đ?‘ľ đ?œ•đ?‘Ľ
ProposiciĂłn 2 Si M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 es exacta entonces la soluciĂłn es dada por f(x, y) = âˆŤ N(x, y) đ?‘‘y+âˆŤ(M(x, y) −
đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ
(âˆŤ N(x, y) đ?‘‘y))dx=c
O
f(x, y) = âˆŤ M(x, y) đ?‘‘x+âˆŤ(N(x, y) −
đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś
(âˆŤ M(x, y) đ?‘‘x))dy=c
Ejemplo Resolver (10y+5)dx+(10x+3)dy=0 Sean
(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)