resumen semana 2

Ecuaciones Diferenciales Exactas

Una ecuaciĂłn diferencial de la forma M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

Es llamada exacta , si existe una funciĂłn f:D∠đ?‘… 2 → đ?‘… , tal que ∂f(x,y) ∂x

=M(x,y)

∂f(x,y) ∂y

=N(x,y)

f(x,y)=c, c cte

Proposición 1 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 es exacta ⇔

đ?œ•đ?‘€ đ?œ•đ?‘Ś

(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) =

đ?œ•đ?‘ľ đ?œ•đ?‘Ľ

ProposiciĂłn 2 Si M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 es exacta entonces la soluciĂłn es dada por f(x, y) = âˆŤ N(x, y) đ?‘‘y+âˆŤ(M(x, y) −

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

(âˆŤ N(x, y) đ?‘‘y))dx=c

O

f(x, y) = âˆŤ M(x, y) đ?‘‘x+âˆŤ(N(x, y) −

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

(âˆŤ M(x, y) đ?‘‘x))dy=c

Ejemplo Resolver (10y+5)dx+(10x+3)dy=0 Sean

(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)

đ?œ•đ?‘€

M(x,y)= (10y+5) → N(x,y)= (10x+3)→ Entonces

đ?œ•đ?‘Ś

= 10

đ?œ•đ?‘ľ đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ•đ?‘€ đ?œ•đ?‘Ś

=10

=

đ?œ•đ?‘ľ

exacta

đ?œ•đ?‘Ľ

Luego en f(x, y) = âˆŤ N(x, y) đ?‘‘y+âˆŤ(M(x, y) −

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

(âˆŤ N(x, y) đ?‘‘y))dx=c

Reemplazamos M(x,y)= (10y + 5) N(x,y)= (10x+3) → f(x, y) = âˆŤ((10x + 3)) dy+âˆŤ((10y + 5)) − 10xy+3y+âˆŤ(10y + 5 −

∂ ∂x

(10xy + 3y))dx=c

10xy+3y +âˆŤ(10y + 5 − 10y)dx=c 10xy+3y +âˆŤ(5)dx=c 10xy+3y +5x=c ∴10xy+3y +5x=c

∂ ∂x

(âˆŤ(10x + 3) dy))dx=c

Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden DefiniciĂłn: Una ecuaciĂłn diferencial lineal de primer orden en su forma estĂĄndar es dada por đ?‘‘đ?‘Ś + đ?‘ƒ(đ?‘Ľ)đ?‘Ś = đ?‘„(đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ

Y cuya soluciĂłn es

đ?‘Ś = đ?‘’ − âˆŤ đ?‘ƒ(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ [âˆŤ đ?‘’ âˆŤ đ?‘ƒ(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘„(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ + đ??ś]

Ejemplo đ?‘‘đ?‘Ś − 2đ?‘Ś = −3 đ?‘‘đ?‘Ľ → đ?‘ƒ (đ?‘Ľ ) =-2

y

Luego

đ?‘Ś = đ?‘’ − âˆŤ(−2)đ?‘‘đ?‘Ľ [âˆŤ đ?‘’ âˆŤ −2đ?‘‘đ?‘Ľ (−3)đ?‘‘đ?‘Ľ + đ??ś]

đ?‘„ (đ?‘Ľ ) = −3

đ?‘Ś = đ?‘’ 2đ?‘Ľ (âˆŤ đ?‘’ −2đ?‘Ľ (−3)đ?‘‘đ?‘Ľ + đ??ś) đ?‘Ś =đ?‘’ 2đ?‘Ľ (

đ?‘’ −2đ?‘Ľ −2

3

(−3) + đ??ś)= + đ??śđ?‘’ 2đ?‘Ľ 2

AsĂ­ , Consideremos el caso đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ

+đ?‘ŽÂˇy=đ?‘?

𝑦 = 𝑒 − ∫ 𝑎𝑑𝑥 [∫ 𝑒 ∫ 𝒂𝑑𝑥 𝑏𝑑𝑥 + 𝐶]

𝑦 = 𝑒 −𝑎𝑥 (∫ 𝑒 𝒂𝑥 𝑏𝑑𝑥 + 𝐶) 𝑒 𝒂𝒙

𝑦 =𝑒 −𝑎𝑥 (

𝒂

𝑏

𝑏 + 𝐶)= +𝐶𝑒 −𝑎𝑥 𝑎

𝑏

∴ 𝑦 = +𝐶𝑒 −𝑎𝑥 𝑎

Observación 𝑏

Si y(0)=k→y(0)= +𝐶𝑒 −𝑎·0 =k 𝑎

𝑏 𝑎

+𝐶 =k→ 𝐶 =k-

𝑏 𝑎 𝑏

𝑏

𝑎

𝑎

∴ 𝑦 = +(𝑘 − )𝑒 −𝑎𝑥