Ecuaciones Diferenciales Exactas
Docente: Jorge Olivares Funes Primer Semestre 2017 IngenierĂa en ejecuciĂłn CM-372 DefiniciĂłn: Una ecuaciĂłn diferencial de la forma M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
Es llamada exacta , si existe una funciĂłn đ?‘˘:D∠đ?‘… 2 → đ?‘… , tal que đ?œ•đ?‘˘(đ?‘Ľ,đ?‘Ś) đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘˘(đ?‘Ľ,đ?‘Ś) đ?œ•đ?‘Ľ
=M(x,y) =N(x,y)
u(x,y)=C, C cte Donde u(x,y)= âˆŤ đ?œ•đ?‘˘(đ?‘Ľ,đ?‘Ś) đ?œ•đ?‘Ľ
đ?‘‘â„Ž
đ?œ•
= đ?œ•đ?‘Ľ(âˆŤ
= N(x,y) đ?‘‘đ?‘Ľ
đ?œ•đ?‘˘(đ?‘Ľ,đ?‘Ś) đ?œ•đ?‘Ś
đ?œ•đ?‘˘(đ?‘Ľ,đ?‘Ś) đ?œ•đ?‘Ś
đ?œ•
(âˆŤ đ?œ•đ?‘Ľ
đ?‘‘y+h(x) đ?œ•
đ?‘‘y+h(x))= đ?œ•đ?‘Ľ(âˆŤ
đ?œ•đ?‘˘(đ?‘Ľ,đ?‘Ś)
h(x)=âˆŤ(N(x, y) −
đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•
đ?œ•đ?‘˘(đ?‘Ľ,đ?‘Ś)
đ?‘‘y)
(âˆŤ đ?œ•đ?‘Ľ
đ?œ•đ?‘˘(đ?‘Ľ,đ?‘Ś) đ?œ•đ?‘Ś
đ?‘‘y))dx
đ?œ•đ?‘Ś
đ?‘‘â„Ž
đ?‘‘y)+ đ?‘‘đ?‘Ľ = N(x,y)
Por tanto đ?‘˘(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = âˆŤ
đ?œ•đ?‘˘(đ?‘Ľ,đ?‘Ś) đ?œ•đ?‘Ś
đ?‘‘y+âˆŤ(N(x, y) −
đ?œ•
(âˆŤ đ?œ•đ?‘Ľ
đ?œ•đ?‘˘ (đ?‘Ľ,đ?‘Ś)
đ?‘‘y))dx=c
đ?œ•đ?‘Ś
AnĂĄlogamente con la variable x podemos hacer los mismo.
Teorema đ?œ•đ?‘€
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 es exacta ⇔ (
đ?œ•đ?‘Ś
−
đ?œ•đ?‘ľ đ?œ•đ?‘Ľ
) (đ?‘Ľ, đ?‘Ś)=0
Ejemplo 1 Determinar una funciĂłn M de modo que la ecuaciĂłn diferencial
sea exacta. Para que la ecuaciĂłn diferencial sea exacta debe cumplirse que
Y al integrar con respecto a “y�