Bernoulli 2017

EcuaciĂłn Diferencial de Bernoulli Docente: Jorge Olivares Funes Primer Semestre 2017 IngenierĂ­a en ejecuciĂłn CM-372

Definición: La ecuación diferencial �� ��

+ đ?‘ƒ(đ?‘Ľ)đ?‘§ = đ?‘“ (đ?‘Ľ)đ?‘§ đ?‘› , n≠0,1

Se llama ecuaciĂłn de Bernoulli y al hacer el cambio de variable Se reduce a una ecuaciĂłn diferencial lineal de primer orden.

En efecto multiplicamos a đ?‘‘đ?‘§ + đ?‘ƒ (đ?‘Ľ )đ?‘§ = đ?‘“ (đ?‘Ľ )đ?‘§ đ?‘› đ?‘‘đ?‘Ľ

Por (1-n) đ?‘§ −đ?‘› luego đ?‘‘đ?‘§ đ?‘‘đ?‘Ľ

(1 − n) đ?‘§âˆ’đ?‘› + (1 − n) đ?‘§âˆ’đ?‘› đ?‘ƒ (đ?‘Ľ )đ?‘§= đ?‘“ (đ?‘Ľ )đ?‘§ đ?‘› (1-n) đ?‘§ −đ?‘›

w=đ?‘§ 1−đ?‘›

�� ��

(1 − n) đ?‘§âˆ’đ?‘› + (1 − n) đ?‘§1−đ?‘› đ?‘ƒ(đ?‘Ľ )= đ?‘“ (đ?‘Ľ )(1-n) đ?‘‘đ?‘¤

Sea đ?‘¤(đ?‘Ľ)=đ?‘§ 1−đ?‘› ⇨

��

1

(*) ��

��

=(1-n) đ?‘§ −đ?‘› đ?‘‘đ?‘Ľâ¤‡(1−đ?‘›) đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘§ đ?‘› =đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ

Al reemplazar en (*) 1

��

(1−đ?‘›) đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘§ đ?‘› (1 − n) đ?‘§ −đ?‘› +(1 − n) đ?‘¤đ?‘ƒ(đ?‘Ľ)= đ?‘“(đ?‘Ľ)(1-n) đ?‘‘đ?‘¤ đ?‘‘đ?‘Ľ

+(1 − n) đ?‘¤(đ?‘Ľ)đ?‘ƒ(đ?‘Ľ )= đ?‘“(đ?‘Ľ )(1-n)

es una lineal de primer orden.

Ejemplo

SoluciĂłn Para resolver esta ecuaciĂłn de Bernoulli multiplicamos por z-2 obteniendo

Haciendo el cambio de variables

, que implica

Que genera la ecuaciĂłn lineal de primer orden

Cuya soluciรณn general es

Luego

Links de ayuda http://www.wolframalpha.com/input/?i=Solve+4y(x)%2Fx%2Bdy(x)%2Fdx%3Dx%5E3y( x)%5E2,y(2)%3D-1 https://www.youtube.com/watch?v=-y5XFE6dr_o

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