Segundo orden lineal homogéneas 2017

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN LINEAl HOMOGÉNEAS Docente: Jorge Olivares Funes Primer Semestre 2017

Consideremos đ?‘‘2đ?‘Ś

đ?‘‘đ?‘Ś

Ađ?‘‘đ?‘Ľ 2 +đ??ľ đ?‘‘đ?‘Ľ +Cđ?‘Ś = 0 Donde A,B y C ∈ đ?‘….

Buscamos soluciones de la forma đ?‘Ś = đ?‘’ đ?‘˜đ?‘Ľ , luego al reemplazar en la ecuaciĂłn diferencial , nos queda

Ađ?‘˜ 2 đ?‘’ đ?‘˜đ?‘Ľ +Bđ?‘˜đ?‘’ đ?‘˜đ?‘Ľ +Cđ?‘’ đ?‘˜đ?‘Ľ =0

đ?‘’ đ?‘˜đ?‘Ľ (Ađ?‘˜ 2 +Bđ?‘˜ +C)=0, como đ?‘’ đ?‘˜đ?‘Ľ ≠0

Entonces Ađ?‘˜ 2 +Bđ?‘˜ +C=0 es llamada ecuaciĂłn caracterĂ­stica

Analizaremos los tipos de soluciones de la ecuaciĂłn caracterĂ­stica

Caso 1.

Sea Ađ?‘˜ 2 +Bđ?‘˜ +C=0, entonces −đ??ľ Âą √đ??ľ2 − 4đ??´đ??ś đ?‘˜= 2đ??´ Si đ??ľ 2 − 4đ??´đ??ś > 0, tenemos dos raĂ­ces reales đ?‘˜1 y đ?‘˜2 donde đ?‘˜1 ≠đ?‘˜2 Luego tenemos que

đ?‘Ś1 =đ?‘’ đ?‘˜1 đ?‘Ľ , đ?‘Ś2 =đ?‘’ đ?‘˜2 đ?‘Ľ son las soluciones de la ED. Y la soluciĂłn general es đ?‘Ś(đ?‘Ľ) = đ?‘?1 đ?‘Ś1 + đ?‘?2 đ?‘Ś2 , đ?‘?1 , đ?‘?2 ∈ đ?‘…

Ejemplo đ?‘‘2đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ 2

đ?‘‘đ?‘Ś

-5đ?‘‘đ?‘Ľ +6đ?‘Ś = 0

Entonces đ?‘˜ 2 -5đ?‘˜ +6=0 es la ecuaciĂłn caracterĂ­stica.

Con đ?‘˜1 = 3 đ?‘Ś đ?‘˜2 =2

Luego đ?‘Ś(đ?‘Ľ) = đ?‘?1 đ?‘’ 3đ?‘Ľ + đ?‘?2 đ?‘’ 2đ?‘Ľ

Si le agregamos condiciones iniciales đ?‘Ś(0) = 0, đ?‘Ś'(0)=1 la soluciĂłn y su grĂĄfica serĂ­an

Caso 2. đ??ľ2 − 4đ??´đ??ś = 0

Entonces hay dos raĂ­ces reales iguales đ?‘˜1 y đ?‘˜2 , đ?‘˜1 = đ?‘˜2 .

Luego đ?‘Ś1 =đ?‘’ đ?‘˜1 đ?‘Ľ , đ?‘Ś2 =đ?‘Ľđ?‘’ đ?‘˜1 đ?‘Ľ son las soluciones de la ED. Y la soluciĂłn general es đ?‘Ś(đ?‘Ľ) = đ?‘?1 đ?‘Ś1 + đ?‘?2 đ?‘Ś2 , đ?‘?1 , đ?‘?2 ∈ đ?‘…

Ejemplo đ?‘‘2đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ 2

đ?‘‘đ?‘Ś

-2đ?‘‘đ?‘Ľ +đ?‘Ś = 0

Entonces đ?‘˜ 2 -2đ?‘˜ +1=0 es la ecuaciĂłn caracterĂ­stica.

Con đ?‘˜1 = 1 = đ?‘˜2

Luego đ?‘Ś(đ?‘Ľ) = đ?‘?1 đ?‘’ đ?‘Ľ + đ?‘?2 đ?‘Ľđ?‘’ đ?‘Ľ

Si le agregamos condiciones iniciales đ?‘Ś(0) = 0, đ?‘Ś'(0)=1 la soluciĂłn y su grĂĄfica serĂ­an

Caso 3. đ??ľ2 â&#x2C6;&#x2019; 4đ??´đ??ś < 0, en este caso tenemos raĂ­ces complejas conjugadas

đ?&#x2018;&#x2DC;1 = Îą + iβ đ?&#x2018;&#x2DC;2 = Îą â&#x2C6;&#x2019; iβ

Luego đ?&#x2018;Ś1 = đ?&#x2018;&#x2019; Îąđ?&#x2018;Ľ cos(β đ?&#x2018;Ľ), đ?&#x2018;Ś2 = đ?&#x2018;&#x2019; Îąđ?&#x2018;Ľ sen(β đ?&#x2018;Ľ) Son las soluciones de la ED. Por tanto la soluciĂłn general es đ?&#x2018;Ś(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;?1 đ?&#x2018;Ś1 + đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;Ś2 , đ?&#x2018;?1 , đ?&#x2018;?2 â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018;&#x2026;.

Ejemplo đ?&#x2018;&#x2018; 2 đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś

+ +đ?&#x2018;Ś = 0

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

Entonces đ?&#x2018;&#x2DC; 2 + đ?&#x2018;&#x2DC;+1=0 es la ecuaciĂłn caracterĂ­stica.

Donde

â&#x2C6;&#x2019;1

â&#x2C6;&#x161;3

đ?&#x2018;&#x2DC;1 =

â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x161;3 + i 2 2

đ?&#x2018;&#x2DC;2 =

â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x161;3 + 2 2

â&#x2C6;&#x2019;1

â&#x2C6;&#x161;3

Luego đ?&#x2018;Ś1 = đ?&#x2018;&#x2019; 2 đ?&#x2018;Ľ cos( 2 đ?&#x2018;Ľ), đ?&#x2018;Ś2 = đ?&#x2018;&#x2019; 2 đ?&#x2018;Ľ sen( 2 đ?&#x2018;Ľ) son las soluciones de la ED y la soluciĂłn general es â&#x2C6;&#x2019;1

3

â&#x2C6;&#x2019;1

3

â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161; đ?&#x2018;Ś(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;?1 đ?&#x2018;&#x2019; 2 đ?&#x2018;Ľ cos( 2 đ?&#x2018;Ľ) + đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;&#x2019; 2 đ?&#x2018;Ľ sen( 2 đ?&#x2018;Ľ)

Si le agregamos condiciones iniciales đ?&#x2018;Ś(0) = 0, đ?&#x2018;Ś'(0)=1 la soluciĂłn y su grĂĄfica serĂ­an