EcuaciĂłn de Bernoulli
La ecuaciĂłn diferencial đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ
+ đ?‘ƒ(đ?‘Ľ )đ?‘Ś = đ?‘„ (đ?‘Ľ )đ?‘Ś đ?‘› , đ?‘› ≠0,1
Se llama ecuaciĂłn de Bernoulli y al hacer el cambio de variable
z=đ?‘Ś1−đ?‘›
Se reduce a una ecuaciĂłn diferencial lineal de primer orden. Ejemplo đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ
+ 2đ?‘Ś = 3đ?‘Ś 2 , đ?‘› = 2
Sea �� ��
−
z=đ?‘Ś1−2=đ?‘Ś −1
= −đ?‘Ś −2 đ?‘‘đ?‘§ đ?‘‘đ?‘Ľ
đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ
→-
�� ��
đ?‘Ś2=
đ?‘‘đ?‘Ś
al reemplazar en la ecuaciĂłn original
đ?‘‘đ?‘Ľ
đ?‘Ś 2 +2đ?‘Ś = 3đ?‘Ś 2 /¡(−đ?‘Ś −2) đ?‘‘đ?‘§ − 2đ?‘Ś −1 = −3 đ?‘‘đ?‘Ľ
đ?‘‘đ?‘§ − 2đ?‘§ = −3 đ?‘‘đ?‘Ľ
→ đ?‘§ = đ?‘’ − âˆŤ(−2)đ?‘‘đ?‘Ľ [âˆŤ đ?‘’ âˆŤ −2đ?‘‘đ?‘Ľ (−3)đ?‘‘đ?‘Ľ + đ??ś]
→ đ?‘§ = đ?‘’ 2đ?‘Ľ (âˆŤ đ?‘’ −2đ?‘Ľ (−3)đ?‘‘đ?‘Ľ + đ??ś) → đ?‘§ =đ?‘’ 2đ?‘Ľ (
đ?‘’ −2đ?‘Ľ −2
3
(−3) + đ??ś)= + đ??śđ?‘’ 2đ?‘Ľ → đ?‘Ś = 3 2
2
1 + đ??śđ?‘’ 2đ?‘Ľ
EcuaciĂłn Diferencial de Riccati
Sea
dy dx
= đ?‘ƒ (đ?‘Ľ ) + đ?‘„ (đ?‘Ľ )đ?‘Ś + đ?‘…(đ?‘Ľ)đ?‘Ś 2 , donde “đ?‘Śđ?‘? " es una soluciĂłn particular 1
Buscamos soluciones de la forma y=đ?‘Śđ?‘? + con “zâ€? una funciĂłn a đ?‘§ determinar
Ejemplo dy dx
= đ?‘Ś 2 + 4đ?‘Ś + 3, đ?‘Śđ?‘? = −3
1
dy
�
dx
đ?‘Ś = −3 + →
→ −đ?‘§ −2 -đ?‘§ −2
dz dx
−đ?‘§ −2
dz dx
dz dx
6
1
� �
1 �2
dz dx
1
1
�
�
=(−3 + )2 +4(−3 + )+3
=9− + =
= −đ?‘§ −2
−
2 �
4
2 -12+ +3
�
/ −đ?‘§ 2
dz = −1 + 2đ?‘§ dx dz − 2đ?‘§ = −1 dx → đ?‘§ = đ?‘’ − âˆŤ −2đ?‘‘đ?‘Ľ [âˆŤ đ?‘’ âˆŤ −2đ?‘‘đ?‘Ľ (−1)đ?‘‘đ?‘Ľ + đ??ś] đ?‘§ = đ?‘’ 2đ?‘Ľ [âˆŤ đ?‘’ −2đ?‘Ľ (−1)đ?‘‘đ?‘Ľ + đ??ś]
z= 𝑒 2𝑥 [−
𝑒 −2𝑥
−2
+ 𝐶]
1
z= + 𝐶𝑒 2𝑥 2
→ 𝑦 = −3 + 1 2
1 + 𝐶𝑒2𝑥