resumen semana 3

EcuaciĂłn de Bernoulli

La ecuaciĂłn diferencial đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ

+ đ?‘ƒ(đ?‘Ľ )đ?‘Ś = đ?‘„ (đ?‘Ľ )đ?‘Ś đ?‘› , đ?‘› ≠0,1

Se llama ecuaciĂłn de Bernoulli y al hacer el cambio de variable

z=đ?‘Ś1−đ?‘›

Se reduce a una ecuaciĂłn diferencial lineal de primer orden.

Ejemplo đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ

+ 2đ?‘Ś = 3đ?‘Ś 2 , đ?‘› = 2

Sea �� ��

−

z=đ?‘Ś1−2=đ?‘Ś −1

= −đ?‘Ś −2 đ?‘‘đ?‘§ đ?‘‘đ?‘Ľ

đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ

→-

�� ��

đ?‘Ś2=

đ?‘‘đ?‘Ś

al reemplazar en la ecuaciĂłn original

đ?‘‘đ?‘Ľ

đ?‘Ś 2 +2đ?‘Ś = 3đ?‘Ś 2 /¡(−đ?‘Ś −2) đ?‘‘đ?‘§ − 2đ?‘Ś −1 = −3 đ?‘‘đ?‘Ľ

đ?‘‘đ?‘§ − 2đ?‘§ = −3 đ?‘‘đ?‘Ľ

→ đ?‘§ = đ?‘’ − âˆŤ(−2)đ?‘‘đ?‘Ľ [âˆŤ đ?‘’ âˆŤ −2đ?‘‘đ?‘Ľ (−3)đ?‘‘đ?‘Ľ + đ??ś]

→ đ?‘§ = đ?‘’ 2đ?‘Ľ (âˆŤ đ?‘’ −2đ?‘Ľ (−3)đ?‘‘đ?‘Ľ + đ??ś) → đ?‘§ =đ?‘’ 2đ?‘Ľ (

đ?‘’ −2đ?‘Ľ −2

3

(−3) + đ??ś)= + đ??śđ?‘’ 2đ?‘Ľ → đ?‘Ś = 3 2

2

1 + đ??śđ?‘’ 2đ?‘Ľ

EcuaciĂłn Diferencial de Riccati

Sea

dy dx

= đ?‘ƒ (đ?‘Ľ ) + đ?‘„ (đ?‘Ľ )đ?‘Ś + đ?‘…(đ?‘Ľ)đ?‘Ś 2 , donde “đ?‘Śđ?‘? " es una soluciĂłn particular 1

Buscamos soluciones de la forma y=đ?‘Śđ?‘? + con “zâ€? una funciĂłn a đ?‘§ determinar

Ejemplo dy dx

= đ?‘Ś 2 + 4đ?‘Ś + 3, đ?‘Śđ?‘? = −3

1

dy

�

dx

đ?‘Ś = −3 + →

→ −đ?‘§ −2 -đ?‘§ −2

dz dx

−đ?‘§ −2

dz dx

dz dx

6

1

� �

1 �2

dz dx

1

1

�

�

=(−3 + )2 +4(−3 + )+3

=9− + =

= −đ?‘§ −2

−

2 �

4

2 -12+ +3

�

/ −đ?‘§ 2

dz = −1 + 2đ?‘§ dx dz − 2đ?‘§ = −1 dx → đ?‘§ = đ?‘’ − âˆŤ −2đ?‘‘đ?‘Ľ [âˆŤ đ?‘’ âˆŤ −2đ?‘‘đ?‘Ľ (−1)đ?‘‘đ?‘Ľ + đ??ś] đ?‘§ = đ?‘’ 2đ?‘Ľ [âˆŤ đ?‘’ −2đ?‘Ľ (−1)đ?‘‘đ?‘Ľ + đ??ś]

z= 𝑒 2𝑥 [−

𝑒 −2𝑥

−2

+ 𝐶]

1

z= + 𝐶𝑒 2𝑥 2

→ 𝑦 = −3 + 1 2

1 + 𝐶𝑒2𝑥