resumen semana 1 actualizado

Variables Separables Son ecuaciones diferenciales de la forma

đ?’…đ?’š đ?’…đ?’™

=g(x)h(y)

Ejemplo đ?’…đ?’š

=g(x)h(y) đ?’…đ?’š −đ?’™ = đ?’…đ?’™ đ?’š

đ?’…đ?’™

đ???đ??˛ đ???đ??ą

= (−đ?’™) ¡

đ?&#x;? đ?’š

donde g(x)=-x , h(y)=

AsĂ­ đ?’šđ?’…đ?’š= −đ?’™đ?’…đ?’™ Integrando đ?’šđ?&#x;? đ?&#x;?

=

−đ?’™đ?&#x;? đ?&#x;?

+c

đ?’™đ?&#x;? đ?’šđ?&#x;? đ?&#x;?

+ =c đ?&#x;?

đ?’™đ?&#x;? + đ?’šđ?&#x;? = đ?&#x;?đ?’„, sea đ?‘šđ?&#x;? =đ?&#x;?đ?’„ đ?’™đ?&#x;? + đ?’šđ?&#x;? = đ?‘šđ?&#x;?

đ?&#x;? đ??˛

Ecuaciones diferenciales homogĂŠneas reducibles a variables separables

Una ecuaciĂłn diferencial en la forma M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (1), Se dice que es homogĂŠnea si M(x,y) y N(x,y) son funciones homogĂŠneas del mismo grado Îą Es decir M(tx,ty)=đ?’•đ?›‚ M(x,y) N(tx,ty)=đ?’•đ?›‚ N(x,y) y si al hacer el cambio de variables y=ux , dy=udx+xdu la ecuaciĂłn (1) se transforma en una de variables separables.

Ejemplo (x-y)dx+ydy=0

Solución M(x,y)=x-y→ M(tx,ty)=tx-ty=t(x-y)=tM(x,y) N(x,y)=y→ N(tx,ty)=ty=tN(x,y)

∴ đ??Œ đ??˛ đ??? đ??Źđ??¨đ??§ de grado 1 Sea y=ux→dy=udx+xdu Reemplazamos en (2) (x-ux)dx+ux(udx+xdu)=0 xdx-uxdx+đ??Žđ?&#x;? đ??ąđ???đ??ą+uđ??ąđ?&#x;? du=0 (x-ux+đ??Žđ?&#x;? đ??ą)đ???đ??ą + uđ??ąđ?&#x;? du=0 x(1-u+đ??Žđ?&#x;? )dx+ uđ??ąđ?&#x;? du=0

/ ¡

đ?&#x;? đ??ą đ?&#x;? (đ?&#x;?−đ??Ž+đ??Žđ?&#x;? )

(2)

đ???đ??ą đ??ą

+

đ??Žđ???đ??Ž

đ?&#x;?−đ??Ž+đ??Žđ?&#x;?

=0

variables separables

Integrando âˆŤ

đ???đ??ą đ??ą

+âˆŤ

đ??Žđ???đ??Ž đ?&#x;?−đ??Ž+đ??Žđ?&#x;?

=c

=c

Finalmente se reemplaza por u=

đ?’š đ?’™

y se tiene la soluciĂłn general en

sus variables originales.

Problema de valor inicial Sea đ???đ??˛ = đ?’‡(đ?’™, đ?’š) đ???đ??ą đ?’š(đ?&#x;Ž) = đ?’šđ?&#x;Ž Ejemplo đ???đ??˛ =đ?’™ đ???đ??ą đ?’š(đ?&#x;Ž) = đ?&#x;?

Vemos que đ??˛ = → đ?’š(đ?&#x;Ž)= →đ??˛=

đ?’™đ?&#x;? đ?&#x;?

đ?&#x;Žđ?&#x;? đ?&#x;?

đ?’™đ?&#x;? đ?&#x;?

+c, pero đ?’š(đ?&#x;Ž) = đ?&#x;?

+c=1→ c=1

+1.

∴ Esto nos dice que en el punto (0,1) la Ăşnica soluciĂłn es đ??˛ =

đ?’™đ?&#x;? đ?&#x;?

+1.