Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden homogéneas

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN LINEAL HOMOGÉNEAS

Consideremos đ?‘‘2đ?‘Ś

đ?‘‘đ?‘Ś

đ?‘‘đ?‘Ľ

đ?‘‘đ?‘Ľ

A

2 +đ??ľ

+Cđ?‘Ś = 0

Donde A,B y C ∈ đ?‘….

Buscamos soluciones de la forma đ?‘Ś = đ?‘’ đ?‘˜đ?‘Ľ , luego al reemplazar en la ecuaciĂłn diferencial , nos queda Ađ?‘˜ 2 đ?‘’ đ?‘˜đ?‘Ľ +Bđ?‘˜đ?‘’ đ?‘˜đ?‘Ľ +Cđ?‘’ đ?‘˜đ?‘Ľ =0 đ?‘’ đ?‘˜đ?‘Ľ (Ađ?‘˜ 2 +Bđ?‘˜ +C)=0, como đ?‘’ đ?‘˜đ?‘Ľ ≠0 Entonces Ađ?‘˜ 2 +Bđ?‘˜ +C=0 es llamada ecuaciĂłn caracterĂ­stica

Analizaremos los tipos de soluciones de la ecuaciĂłn caracterĂ­stica

Caso 1.

Sea Ađ?‘˜ 2 +Bđ?‘˜ +C=0, entonces −đ??ľ Âą √đ??ľ 2 − 4đ??´đ??ś đ?‘˜= 2đ??´ Si đ??ľ 2 − 4đ??´đ??ś > 0, tenemos dos raĂ­ces reales đ?‘˜1 y đ?‘˜2 donde đ?‘˜1 ≠đ?‘˜2 Luego tenemos que đ?‘Ś1 =đ?‘’ đ?‘˜1đ?‘Ľ , đ?‘Ś2 =đ?‘’ đ?‘˜2đ?‘Ľ son las soluciones de la ED. Y la soluciĂłn general es đ?‘Ś(đ?‘Ľ ) = đ?‘?1 đ?‘Ś1 + đ?‘?2 đ?‘Ś2 , đ?‘?1 , đ?‘?2 ∈ đ?‘…

Ejemplo đ?‘‘2đ?‘Ś

đ?‘‘đ?‘Ś

-5 +6đ?‘Ś = 0 đ?‘‘đ?‘Ľ 2 đ?‘‘đ?‘Ľ Entonces đ?‘˜ 2 -5đ?‘˜ +6=0 es la ecuaciĂłn caracterĂ­stica.

Con đ?‘˜1 = 3 đ?‘Ś đ?‘˜2 =2

Luego đ?‘Ś(đ?‘Ľ ) = đ?‘?1 đ?‘’ 3đ?‘Ľ + đ?‘?2 đ?‘’ 2đ?‘Ľ

Si le agregamos condiciones iniciales đ?‘Ś(0) = 0, đ?‘Ś'(0)=1 la soluciĂłn y su grĂĄfica serĂ­an

Caso 2. đ??ľ 2 − 4đ??´đ??ś = 0

Entonces hay dos raĂ­ces reales iguales đ?‘˜1 y đ?‘˜2 , đ?‘˜1 = đ?‘˜2 .

Luego đ?‘Ś1 =đ?‘’ đ?‘˜1đ?‘Ľ , đ?‘Ś2 =đ?‘Ľđ?‘’ đ?‘˜1đ?‘Ľ son las soluciones de la ED. Y la soluciĂłn general es đ?‘Ś(đ?‘Ľ ) = đ?‘?1 đ?‘Ś1 + đ?‘?2 đ?‘Ś2 , đ?‘?1 , đ?‘?2 ∈ đ?‘…

Ejemplo đ?‘‘ 2 đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ś -2 +đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ 2 đ?‘‘đ?‘Ľ

=0

Entonces đ?‘˜ 2 -2đ?‘˜ +1=0 es la ecuaciĂłn caracterĂ­stica.

Con đ?‘˜1 = 1 = đ?‘˜2

Luego đ?‘Ś(đ?‘Ľ ) = đ?‘?1 đ?‘’ đ?‘Ľ + đ?‘?2 đ?‘Ľđ?‘’ đ?‘Ľ

Si le agregamos condiciones iniciales đ?‘Ś(0) = 0, đ?‘Ś'(0)=1 la soluciĂłn y su grĂĄfica serĂ­an

Caso 3. đ??ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 4đ??´đ??ś < 0, en este caso tenemos raĂ­ces complejas conjugadas

đ?&#x2018;&#x2DC;1 = Îą + iβ đ?&#x2018;&#x2DC;2 = Îą â&#x2C6;&#x2019; iβ Luego đ?&#x2018;Ś1 = đ?&#x2018;&#x2019; Îąđ?&#x2018;Ľ cos(β đ?&#x2018;Ľ), đ?&#x2018;Ś2 = đ?&#x2018;&#x2019; Îąđ?&#x2018;Ľ sen(β đ?&#x2018;Ľ) Son las soluciones de la ED. Por tanto la soluciĂłn general es đ?&#x2018;Ś(đ?&#x2018;Ľ ) = đ?&#x2018;?1 đ?&#x2018;Ś1 + đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;Ś2 , đ?&#x2018;?1 , đ?&#x2018;?2 â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018;&#x2026;.

Ejemplo đ?&#x2018;&#x2018;2đ?&#x2018;Ś +9đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ 2

=0

Entonces đ?&#x2018;&#x2DC; 2 +9=0 es la ecuaciĂłn caracterĂ­stica.

Donde đ?&#x2018;&#x2DC;1 = 0 + 3i đ?&#x2018;&#x2DC;2 = 0 â&#x2C6;&#x2019; 3i Luego đ?&#x2018;Ś1 = cos(3 đ?&#x2018;Ľ), đ?&#x2018;Ś2 = sen(3 đ?&#x2018;Ľ) son las soluciones de la ED y la soluciĂłn general es đ?&#x2018;Ś(đ?&#x2018;Ľ ) = đ?&#x2018;?1 cos(3 đ?&#x2018;Ľ) + đ?&#x2018;?2 sen(3 đ?&#x2018;Ľ) Si le agregamos condiciones iniciales đ?&#x2018;Ś(0) = 0, đ?&#x2018;Ś'(0)=1 la soluciĂłn y su grĂĄfica serĂ­an

Link de ayuda

https://www.youtube.com/watch?v=FhjHuYGkGmE

http://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=75c426530cae174396511532446425b3

http://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=bf039a7231d5e1a0d5f4b3940e812b80

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Solve+y%27%27+-+3+y%27+%2B2+y+%3D+x,y(0)+%3D+1,y%27(0)%3D2