Universidade de Brasília Faculdade UnB Planaltina Curso: Ciências Naturais Disciplina: Cálculo 1 - 2013-1 Professor: José Eduardo Castilho
Aula 2: Limite de uma Função
1 Introdução De acordo com a Enciclopédia Ciência Ilustrada (1969, p.1516), o primórdio da ideia de limite apareceu por volta de 450 a.C., na discussão de uma series de paradoxos elaborados por Zenão de Eléia. Estes paradoxos foram contemplados cerca de 2000 anos depois, relacionado ao estudo do infinito". Nesta lição destacamos o paradoxo da Dicotomia, importante para a consolidação de limite que conhecemos atualmente. Segundo (BOYER, 1974, p.55), relata o paradoxo de Zenão - Dicotomia - da seguinte maneira: Para um objeto percorrer uma distancia do ponto A até o ponto B, deve percorrer a primeira metade dessa distância; mas antes disso, deve percorrer o primeiro quarto; e antes disso, o primeiro oitavo e, assim por diante... através de uma infinidade de subdivisões. O corredor que quer pôr-se em movimento precisa fazer infinitos contatos num tempo finito; mas é impossível exaurir uma coleção infinita, logo é impossível iniciar o movimento (Boyer, 1974). Supondo que um corredor tem que percorrer o trajeto "finito"A B , considerando uma sequência "infinita de intervalos de tempo", onde cada intervalo representa o tempo gasto para percorrer a metade da distancia percorrida no movimento anterior M 1 , M 2 , M 3 , M 4 , ..., M n , ... Observe o exemplo abaixo:
Supondo que a distância de A B seja 200 metros (m). Para percorrer os 200m ele deve percorrer os primeiros 100m M 1 . Para percorrer os 100m ele deve percorrer os primeiros 50m M 2 . Para percorrer os 50m ele deve percorrer os primeiros 25m M 3 . Para percorrer os 25m ele deve percorrer os primeiros 12,5m M 4 . Para percorrer os 12,5m ele deve percorrer os primeiros 6,25m M 5 . e assim sucessivamente...
2 Limite de uma Função O conceito de função é objeto de estudo desde o ensino médio e isto se justifica pela sua importância na Matemática. Em geral qualquer fenômeno de causa e efeito, pode ser representado por uma função. Assim, a função seria uma representação de um problema real, no contexto matemático. Formalmente temos que: Página 1 de 9
Definição 1 Uma função f : D → Y é uma lei que associa cada elemento do conjunto D a um único elemento do conjunto Y . Esta associação pode ser representada por uma lei expressa da forma f (x ) = y . Nesta aula iremos ver como podemos quantificar o comportamento de uma função quando o valor de x se aproxima de um valor dado a . Na seção anterior vimos que o conceito de aproximação, em matemática, difere do conceito de aproximação do mundo físico, pois um valor de x pode estar tão próximo de um valor de a sem que estes sejam iguais. Como exemplo vamos considerar o exemplo da função f (x ) = abaixo.
x 3 − 4x 2 + 4x − 1 representada no gráfico x −1
x f (x ) 0.9 -0.89 0.99 -0.989899 0.999 -0.998998 1.01 -1.00990 1.001 -1.00099 1.0001 -1.00009
Note que a função não está definida para x = 1, pois teremos uma divisão por zero. Mas podemos ver como a função se comporta quando x se aproxima de 1 (observe os valores da função na tabela e no gráfico). Ou melhor podemos quantificar este comportamento. Quando o ponto A se aproxima de 1 o valor da função se aproxima de -1. Para uma função qualquer este comportamento pode ser descrito como: O valor de f (x ) se aproxima de um valor L, quando x se aproxima de a sem que este assuma o valor de a . Quando dizemos que f (x ) se aproxima de L estamos dizendo que a distância entre os pontos da reta real que os representam vai diminuindo. Isto pode ser representado pelo módulo da diferença entre os valores. Na linguagem matemática, isto é representado por: |f (x ) − L| < ϵ
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onde o valor de ϵ é um valor positivo e arbitrariamente pequeno, ou seja podemos diminuir o valor de ϵ o quanto quisermos. Como consequência disto temos que a função assume valores no intervalo [L − ϵ, L + ϵ] (ver figura abaixo). Quando dizemos que o valor de x se aproxima de a sem que este assuma o valor de a , também estamos medindo a distância entre os pontos. Porém neste caso esta distância não pode ser zero. Na linguagem matemática isto pode ser expresso por: 0 < |x − a | < δ onde δ é um valor pequeno. Neste caso estamos tomando o valor de x no intervalo [a − δ, a + δ] . A escolha de ϵ determina a escolha de δ como podemos ver na figura abaixo.
Na figura foi escolhido um valor de x de tal forma que pertença ao intervalo [a − δ, a + δ]. Consequentemente valor de f (x ) pertence ao intervalo [L − ϵ, L + ϵ]. Por mais pequeno que seja ϵ, sempre existe um determinado valor de δ, positivo de tal forma que sendo x pertencente ao intervalo [a − δ, a + δ], o valor de f (x ) pertence ao intervalo [L − ϵ, L + ϵ]. E com isto chegamos a seguinte definição de limite: Definição 2 Dizemos que o limite de f (x ) é L, quando x tende a a se: Dado ϵ > 0, existe δ > 0 tal que se 0 < |x − a | < δ ⇒ | f (x ) − L| < ϵ Notação: lim f (x ) = L x →a
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3 Propriedades de Limites Sendo f (x ) uma a função polinomial de grau n temos que lim f (x ) = f (a ), ou seja o limite da função, x →a
com x → a é o valor da função em a . Considerando que c seja uma constante e que existem os limites lim f (x ) e lim g (x ) então valem as seguintes propriedades:
x →a
x →a
P.1 : lim[f (x ) + g (x )] = lim f (x ) + lim g (x ) x →a
x →a
x →a
P.2 : lim[f (x ) − g (x )] = lim f (x ) − lim g (x ) x →a
x →a
x →a
P.3 : lim[c f (x )] = c lim f (x ) x →a
x →a
P.4 : lim[f (x ) · g (x )] = lim f (x ) · lim g (x ) x →a
P.5 : lim x →a
x →a
x →a
f (x ) limx →a f (x ) = g (x ) limx →a g (x )
P.6 : Se f (x ) ≤ h(x ) ≤ g (x ) e lim f (x ) = lim g (x ) então x →a
x →a
lim h(x ) = lim f (x ) = lim g (x )
x →a
x →a
x →a
Divisão de Polinômios x 3 − 4x 2 + 4x − 1 , que não podemos calcular x −1 em x = 1, pois o denominador se anula. Mas o numerador também se anula no mesmo ponto. Isto significa que o numerador é divisível pelo denominador. Em geral teríamos que o denominador e o numerador são divisíveis pelo mesmo monômio. Uma forma prática para a divisão é apresentada no esquema abaixo. No exemplo do gráfico acima usamos a função f (x ) =
x 3 − 4x 2 + 4x − 1 |x − 1 x3 −x2 x 2 − 3x + 1 2 −3x + 4x − 1 −3x 2 + 3x x −1 Desta forma,
x 3 − 4x 2 + 4x − 1 = lim x 2 − 3x + 1 = −1 x →1 x →1 x −1
lim
4 Limites Laterais Uma pedra cai de uma altura de 64 m. se s metros for a altura da pedra t segundos após ter iniciado a queda, então s = −t 2 + 16. Após quanto tempo o objeto atinge o solo? A resposta é uma das raízes da função, que pode ser encontrada por Baskara. Fixando um tempo t = t k , podemos determinar a velocidade média entre t k e t pela seguinte função: v k (t ) =
s (t ) − s (t k ) t − tk
A função v m (t ) não está definida para t = t k , mas podemos medir o comportamento da velocidade quando t → t k . Vamos considerar que t k seja igual ao tempo em que ocorre o choque com o solo (t=4). Com isto a função velocidade média pode ser descrita como sendo, Página 4 de 9
¨ v 4 (t ) =
s (t )−0 t −4
0
0≤t <4 = t >4
¨
−t 2 +16 t −4
0
0≤t <4 t >4
Abaixo temos o gráfico da função v 4 (t )
Como a função se comporta, quando t → 4? Existe o limite de v 4 (t ), quando t → 4? Para medir o comportamento da função temos que considerar duas situações: Quanto t se aproxima de 4 pela esquerda, ou por valores menores que 4; Quanto t se aproxima de 4 pela direita, ou por valores maiores que 4. Definimos como limite lateral a esquerda, o comportamento da função quando t se aproxima de a pela esquerda, notação: lim− f (t ) t →a
Definimos como limite lateral a direita, o comportamento da função quando t se aproxima de a pela direita, notação: lim+ f (t ) t →a
No nosso exemplo temos que: Definimos como limite lateral a esquerda, o comportamento da função quando t se aproxima de a pela esquerda, notação: lim− v 4 (t ) = lim−
t →4
t →4
−t 2 + 16 = −8 t −4
lim v 4 (t ) = lim− 0 = 0
t →4+
t →4
OBS: O limite de uma função existe num ponto se os limites laterais existem e são iguais. Continuidade de Funções A função do nosso ultimo exemplo, tem um gráfico que apresenta um salto para valores próximos de um. Neste caso dizemos que a função é descontínua em x = 1. A continuidade de uma função pode ser definida em função do limite, como segue:
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Definição 3 (Continuidade) Dizemos que uma função é contínua num ponto a quando as seguintes condições são satisfeitas: (a) f está definida em x = a . (b) f (x ) tem limite com x → a e lim f (x ) = f (a ). x →a
5 A Função x1 Na aula de funções elementares, vimos a função reciproca f (x ) = x1 , cujo o gráfico apresentamos abaixo.
Esta função está definida para todos os valores de x ̸= 0. Quando x → 0+ percebemos (faça uma tabela de valores) que os valores da função cresce acima de qualquer número dado. Neste caso dizemos que ela tende para mais infinito (ver gráfico). Quando x → 0− percebemos que os valores da função decrescem abaixo de qualquer número dado. E neste caso dizemos que ela tende para menos infinito (ver gráfico). Podemos descrever este comportamento pelos limites: 1 1 lim+ = +∞, lim− = −∞ x →0 x x →0 x Também podemos observar que quanto maior o valor de x menor é o valor da função. Neste caso dizemos que a função tende a zero, quando x → +∞, que denotamos pelo limite 1 =0 x →+∞ x lim
O mesmo ocorre quando x → −∞. Em geral temos o seguinte resultado: Proposição 1 Sendo f (x ) =
c , g (x )
onde c é uma constante e g (x ) → 0, então temos:
(a) Se c > 0 e g (x ) → 0 por valores positivos lim
x →+∞
c = +∞ g (x ) Página 6 de 9
(b) Se c > 0 e g (x ) → 0 por valores negativos c = −∞ x →+∞ g (x ) lim
(c) Se c < 0 e g (x ) → 0 por valores positivos c = −∞ x →+∞ g (x ) lim
(b) Se c < 0 e g (x ) → 0 por valores negativos lim
x →+∞
c = +∞ g (x )
1 não cruza o eixo y , mas se aproxima dele cada vez mais enquanto x → 0. Este comx portamento é chamado de comportamento assintótico e a reta, na qual a função se aproxima é chamada de assíntota. No nosso exemplo temos o eixo y como sendo uma assíntota vertical, enquanto que o eixo x é uma assíntota horizontal. A função f (x ) =
6 Exercícios Questão 1 Encontre o limite quando aplicável. 4x − 5 a) lim(x 2 + 2x − 1) h) lim x →2 x →3 5x − 1 r Ç 2 3 x − 3x + 4 3 5 + 2x b) lim i) lim 2 x →4 x →−3 2x − x − 1 5−x 2 2 x − 49 3s − 8s − 16 c) lim j) lim x →7 x − 7 s →4 2s 2 − 9s + 4 r p y2 −9 x −1 k) lim d) lim 2 y →−3 x →1 x − 1 2y + 7y + 3 p p p h +5−2 x +2− 2 e) lim l) lim x →−1 x →0 h +1 x p p 3 3 x −1 h +1−1 m) lim f) lim x →1 x − 1 h→0 h 2 3 2x − x − 3 2x − 5x 2 − 2x − 3 g) lim 3 n) lim x →−1 x + 2x 2 + 6x + 5 x →3 4x 3 − 13x 2 + 4x − 3 Questão 2 Dada a função definida por
¨ f (x ) =
2x − 1 1
se se
x= ̸ 2 x =2
1. Ache lim f (x ) e mostre que lim f (x ) ̸= f (2) x →2
x →2
2. Faça um esboço do gráfico de f .
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Questão 3 Dada a função definida por
¨ f (x ) =
x2 −9 4
se se
x= ̸ −3 x = −3
1. Ache lim f (x ) e mostre que lim f (x ) ̸= f (−3) x →−3
x →−3
2. Faça um esboço do gráfico de f . Questão 4 Faça um esboço do gráfico e ache o limite indicado, se existir; se não existir indique a razão disto. 2 −1 1. f (x ) = −3
se se se
x <1 x =1 1<x
(a) lim+ f (x ) x →1
(b) lim− f (x ) x →1
(c) lim f (x ) x →1
¨
2. F (x ) =
x2 8 − 2x
se se
x ≤2 2<x
se se se
r ≤1 r =1 1<r
se se se
x ≤2 x =2 2<x
(a) lim+ F (x ) x →2
(b) lim− F (x ) x →2
(c) lim F (x ) x →2
3. g (x ) =
2r + 3 2 7 − 2r
(a) lim+ g (x ) x →1
(b) lim− g (x ) x →1
(c) lim g (x ) x →1
2 x −4 4 4. f (x ) = 4−x2
(a) lim+ f (x ) x →2
(b) lim− f (x ) x →2
(c) lim f (x ) x →2
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Questão 5 Use uma calculadora para tabular valores de f (x ) para valores fixados de x e, a partir deles, faça uma afirmação a respeito do comportamento de f (x ). Ache o limite indicado. 1. f (x ) = 2. lim+ x →5
1 ; x sendo 6, 5, 5, 5, 1, 5, 01, 5, 001, 5, 0001; x −5
1 x −5
Questão 6 Ache o limite.
p 3+x2 t +2 (a) lim+ 2 (b) lim− t →2 t − 4 x →0 x p x2 −9 ⌊x ⌋ − x (c) lim+ (d) lim− x →3 x →3 x −3 3−x x 3 + 9x 2 + 20x (e) lim+ x →3 x 2 + x − 12 Questão 7
Ache a(s) assíntota(s) vertical(is) do gráfico da função abaixo e faça um esboço dele. 2 −2 (b) f (x ) = x −4 x +3 −2 5 (c) f (x ) = (d) f (x ) = 2 2 (x + 3) x + 8x + 15 1 (e) f (x ) = 2 x + 5x − 6 (a) f (x ) =
Questão 8 Use uma calculadora para tabular valores de f (x ) para valores fixados de x . (a) Do que f (x ) parece estar se aproximando, enquanto x cresce indefinidamente? (b) Do que f (x ) parece estar se aproximando, enquanto x decresce indefinidamente? (c) Ache lim f (x ) x →+∞
(d) Ache lim f (x ) x →−∞
1. f (x ) =
4 ; x sendo 1, 2, 4, 6, 8, 10, 100, 1000 e x sendo −1, −2, −4, −6, −8, −10, −100, −1000 x2
5x − 3 ; x sendo 2, 6, 10, 100, 1.000, 10.000, 100.000 e x sendo −2, −6, −10, −100, −1.000, 10x + 1 −10.000, −100.000
2. f (x ) =
Questão 9 Ache os limites. 2t + 1 2y 2 − 3y (b) lim t →+∞ 5t − 2 y →+∞ y +1 3 2 4x + 2x − 5 1 (c) lim (d) lim 3x + 2 x →−∞ 8x 3 + x + 2 x →−∞ x p p 2 2 x +4 w − 2w + 3 (e) lim (f ) lim x →+∞ x + 4 w →−∞ w +5
(a) lim
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