Universidade de Brasília Faculdade UnB Planaltina Curso: Ciências Naturais Disciplina: Cálculo 1 - 2013-1 Professor: José Eduardo Castilho
Aula 1: Funções Reais
1 Introdução Uma função real representa um processo de causa e efeito, relacionados por no mínimo duas variáveis reais. Uma variável independente, que mede o fator que causa o efeito e outra dependente, que mede o efeito em si. Em geral, uma função pode ser definida como: Definição 1 (Função) Dizemos que f é uma função de A em B se a cada elemento de A está associado a um único elemento de B . Notação: ¨ f : A→B x 7→ f (x ) . Observe que na definição temos duas condições que tornam a função um caso especial de relação: • a cada elemento de A: Isto significa que todo elemento do conjunto A deve estar relacionado com algum elemento de B . • associado a um único elemento de B : Isto significa que os elementos de A não podem estar associado a mais de um elemento de B . Desta forma, podemos dizer que conceitualmente uma função representa uma processo de causa e efeito, onde, cada valor da variável independente gera um único valor de efeito, mas o mesmo valor de efeito pode ser gerado por valores diferentes da variável independente. ) conjunto A é chamado de domínio da função. O conjunto B é chamado de contra domínio da função. O conjunto imagem de f é o subconjunto de B . Como exemplo, vamos os conjuntos A = {2, 4, 6, 8} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Sendo a função f : A → B , em que f (x ) = x − 1, temos: Domínio: O domínio é o conjunto A. Contra domínio: O contra domínio é o conjunto B . Imagem: A imagem é o conjunto {1, 3, 5, 7} que é um subconjunto de B , como mostrado na figura abaixo
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2 Função do 1¯o Grau Em geral a função de 1o¯ grau é uma função f : R → R, com f (x ) = m x + b , onde m ̸= 0 e b são constantes reais. A constante m é chamada de coeficiente angular ou taxa de variação da função, pois a cada unidade de variação de x , a função varia de m unidades. Quando m é positivo a função é crescente. Para m negativo a função é decrescente. No caso em que m for nulo temos uma função constante. Graficamente, a função de 1o¯ grau, é representada por uma reta, como mostrado nos exemplos da figura abaixo.
Esta característica da função afim será uma ferramenta para a análise do comportamento de outras funções. Em geral, o domínio da função afim é o conjunto dos números reais, porém este domínio pode ser restringido a um intervalo de acordo com a características do problema que a função representa. Considere a situação, em que, um vendedor recebe mensalmente um salário composto por duas partes: uma parte fixa de R$ 1.500,00 e outra que corresponde a 6% (0,06) sobre o valor das vendas mensais. Página 2 de 11
O valor mensal do salário do vendedor pode ser obtido pela função s (x ) = 1.500, 00 + 0, 06x , onde x representa o valor das vendas realizadas no mês. Analisando o nosso exemplo que modela o salário do vendedor, temos que o domínio da função é [0, ∞[, pois não tem sentido falar em valor de vendas negativo. (Tente descobrir o conjunto imagem).
2.1 Equação da Reta A representação gráfica da função de 1o¯ grau é uma reta. Os pontos da forma (x , y ) que pertencem a esta reta satisfazem uma equação da forma f (x ) = y = m x + b , que mostra como as variáveis x e y se relacionam. Sabemos que podemos determinar uma reta de forma única se conhecemos dois pontos distintos que pertencem a mesma. Desta forma, vamos ver como podemos obter a equação da reta que passa por dois pontos distintos dado. Considerando dois pontos quaisquer distinto P1 (x 1 , y 1 ) e P2 (x 2 , y 2 ) e um ponto qualquer que pertença a reta P(x , y ), como na figura abaixo
Observe que temos dois triângulos semelhantes, o triângulo P1O2 P2 e o triângulo P1O1 P. Uma das propriedades de triângulos semelhantes é que seus lados relativos são proporcionais, isto é P1O1 P1 02
=
O1 P O2 P2
⇔
x − x1 y1 − y = x 2 − x 1 y1 − y2
Isolando a variável y obtemos uma equação da reta: y=
y2 − y1 (x − x 1 ) + y 1 = m (x − x 1 ) + y 1 x2 − x1
onde
y2 − y1 x2 − x1 Aplicando as relações trigonométricas no triângulo P1O2 P2 temos que o coeficiente angular m corresponde ao valor da tangente do ângulo formado entre a reta e o eixo x. m=
Posição relativa entre duas retas Duas retas, que pertencem ao plano cartesiano, podem ter as seguintes posições relativas. Ou elas são paralelas ou concorrentes. Retas paralela são caracterizadas por terem o mesmo coeficiente angular, enquanto as retas concorrentes apresentam diferentes coeficientes. No caso das retas concorrentes temos Página 3 de 11
um caso particular que merece atenção. que é o caso em que as retas são perpendiculares, ou seja elas formam um ângulo de 90o . Em resumo temos que, sendo as equações r1 = m 1 x +b 1 e r2 = m 2 x +b , segue que: • r1 é paralela a r2 se m 1 = m 2 . • r1 é perpendicular a reta r2 se m 1 · m 2 = −1. Na figura abaixo temos duas retas, uma sendo y = −2x + 1 e outra sendo y = 0.5x + 0.5. Estas retas são perpendiculares, pois −2 × 0.5 = −1.
3 Função do 2¯o Grau Em geral, uma função do 2o¯ grau ou quadrática tem a forma f (x ) = a x 2 +b x +c , onde a ,b, c ∈ R e a ̸= 0. O gráfico de uma função quadrática f (x ) = a x 2 + b x + c é representado uma curva que chamamos de parábola. As características de uma parábola depende dos valores de suas constantes, como veremos a seguir: P.1 A concavidade da parábola depende do valor de a . Se a > 0 a parábola apresenta concavidade voltada para cima. Se a < 0, a parábola apresenta concavidade voltada para baixo. P.2 A curva cruza o eixo y no ponto (0, c ), isto é, o valor da função em x = 0. P.3 A existência de raízes (pontos em que a função cruza o eixo x) depende do valor de ∆ = b 2 − 4a c . Se ∆ > 0 teremos duas raízes reais distintas, x 1 e x 2 , dadas abaixo pela fórmula de Báskara. Se ∆ = 0, teremos uma raiz de multiplicidade dois ( x 1 = x 2 ). Se ∆ < 0 não termos raízes reais, pois não podemos calcular raiz quadrada de número negativo. p p −b − ∆ −b + ∆ e x2 = x1 = 2a 2a P.4 As coordenadas do vértice são x v = a > 0 ou de mínimo se a < 0.
−b −∆ e yv = . Este ponto representa o ponto de máximo se 2a 4a
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4 Função f (x ) = x n Vamos analisar a função f (x ) = x 3 . Montando uma tabela de valores e montando o gráfico temos.
x x 3 ponto -2 -8 A -3/2 -27/8 B -1 -1 C 0 0 D 1 1 E 3/2 27/8 F 2 8 G
Podemos observar que a função é crescente, isto é ∀x 1 , x 2 ∈ R, se x 1 < x 2 ⇒ f (x 1 ) < f (x 2 ). Apresenta o conjunto Dom = R e Im = R. Em geral uma função da forma f (x ) = x n apresenta uma das possibilidades de gráficos.
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Dom = Im = R
5 Função Reciproca f (x ) =
Dom = R Im = R+
1 x
1 Vamos inicialmente construir o gráfico da função f (x ) = Montando uma tabela de valores temos x temos.
1 ponto x -2 -1/2 A -1 -1 B -1/2 -2 C -1/4 -4 D 1/4 4 E 1/2 2 F 1 1 G 2 1/2 H x
Podemos observar que a função tem uma descontinuidade em x = 0, ou seja a função não é definida neste ponto. Com isto segue que o Dom(f ) = R∗ e Im( f ) = R∗ . O gráfico apresentado é uma hipérbole equilátera, onde os eixos são as retas “diretrizes”.
6 Função Composta Sejam as funções f : A → B e g : B → C . Neste caso o conjunto imagem de f é um subconjunto de B e consequentemente um subconjunto do domínio de g . Com isto podemos definir uma função que associa a cada elemento de A a um elemento de C . Como mostra o esquema abaixo. Página 6 de 11
Esta função chama-se função composta de g e f , denotada por h(x ) = (g ◦ f )(x ) = g ( f (x )). Observe que a condição essencial para a existência da composta é que a imagem de f tem que ser um subconjunto do domínio da g . Em geral, (g ◦ f )(x ) ̸= ( f ◦ g )(x ). Observe que o domínio de h(x ) é o domínio da f (x ) e sua imagem é subconjunto da imagem de g (x ). Como exemplo, vamos considerar as funções f : R → R tal que f (x ) = x 2 − 3 em g : R → R+ tal que p g (x ) = x . Observe que a imagem de f está contida no domínio de g , então h(x ) = (g ◦ f )(x ) = g (f (x )) = p x 2 − 3.
Por outro lado a imagem de g também está contida no domínio de f , então podemos definir w (x ) = p ( f ◦ g )(x ) = f (g (x )) = ( x )2 − 3 = x − 3. Para pensar: Qual é o domínio da função w (x )?
7 Função Sobrejetora, Injetora, Bijetora Quando definimos uma função, é importante que esteja claro que é seu domínio e contra domínio. Por exemplo: A função f : R → R definida por f (x ) = x 2 não é a mesma que g : R+ → R+ , definida por g (x ) = x 2 . A primeira tem como o domínio conjunto dos reais, o que permite calcular f (−2) = (−2)2 = 4. Já no caso de g temos que o domínio é os reais positivos e portanto não tem sentido calcular g (−2). A forma como as funções relacionam os elementos do domínio e contra domínio permite classificá-las em: Definição 2 (Sobrejetora) Uma função f de A em B é sobrejetora se, e somente se, para todo y em B existe um x em A tal que y = f (x ) Em outras palavras, todo elemento do contra domínio está associado a um elemento do domínio. A função f definida acima não é sobrejetora, pois os elementos do contra domínio são os reais e portanto, se y = −3, não existe x ∈ R tal que −3 = x 2 . Já a função g é sobrejetora. OBS: Para que uma função seja sobrejetora é necessário que seu contra domínio seja igual ao seu conjunto imagem. Definição 3 (Injetora) Uma função f de A em B é injetora se, e somente se, quaisquer que seja x 1 e x 2 de A, se x 1 ̸= x 2 então f (x 1 ) ̸= f (x 2 ). Página 7 de 11
Em outras palavras, dois elementos distintos do domínio, não tem a mesma imagem. A função f não é injetora, pois −2 ̸= 2 e f (−2) = 4 = f (2). Já a função g é injetora. Definição 4 (Bijetora) Uma função f de A em B é bijetora se, e somente se, f é sobrejetora e injetora. Neste caso a função g é bijetora e a função f não. Com relação a composição de funções temos os seguintes resultados: T.1 Se duas funções f : A → B e g : B → C são sobrejetoras, então h(x ) = (g ◦ f )(x ) também é sobrejetora. T.2 Se duas funções f : A → B e g : B → C são injetoras, então h(x ) = (g ◦ f )(x ) também é injetora.
8 Função Inversa Vimos que a função g : R+ → R+ , definida por g (x ) = x 2 é bijetora e veremos que isto tem um significado p importante. Para isto considere a função h : R+ → R+ , definida por h(x ) = x , observe que g (2) = 4 e h(4) = 2, g (1.5) = 2.25 e h(2.25) = 1.5. Em geral, g (x ) = y , tem-se que h(y ) = x . Também observe que Dom(h) = Im(g ) e Im(h) = Dom(g ). A função h é chamada de função inversa de g e denotamos por g −1 (x ) = h(x ). Formalmente definimos a inversa por: Definição 5 (Inversa) A inversa da função g de A em B é a função g −1 de B em A tal que, para todo x ∈ A se g (x ) = y então g −1 (y ) = x . Nem toda função possui inversa, para isto é necessário que esta seja bijetora. No caso da f não podemos dizer que h é sua inversa, pois f (−2) = 4 e h(4) ̸= −2. Com relação a composição temos um resultado importante, (g ◦ g −1 )(x ) = (g −1 ◦ g )(x ) = x . Isto pode ser visto pela simetria que os gráficos da função e sua inversa tem sobre a reta f (x ) = x , como mostra a figura abaixo
9 Exercícios Questão 1 Página 8 de 11
Considere as funções reais g (x ) = são iguais?
p x 2 e f (x ) = x . Sob que condições, podemos afirmar que as funções
Questão 2 Determine o domínio e a imagem das funções reais abaixo: (a) f (x ) = x + 1/x (d) f (x ) = x 2 − x − 2
−1 (b) f (x ) = xx +1 (e) f (x ) = 2x + 5 2
p (c) f (x ) = 2 − x (f) f (x ) = 3x
Questão 3 Esboce o gráfico da reta que passa por (−1, 2) e é perpendicular a reta f (x ) = 3 − 2x . Questão 4 Esboce o gráfico da função f (x ) = x 2 −2x +1. Determine o seu domínio e a sua imagem. Para que valores de x a função f (x ) < 0? Questão 5 Seja a função real f (x ) = 4x − 5. Determine os valores de x tal que produzem imagens maiores que 2. Questão 6 Determinar os valores de m para que a função quadrática f (x ) = m x 2 + (2m − 1)x + (m − 2) tenha duas raízes reais e distintas. Questão 7 Mostre que uma equação do segundo grau, de raízes x 1 e x 2 , é da forma x 2 −Sx + P = 0, onde S = x 1 + x 2 e P = x1 ∗ x2 D Questão 8 É dado uma folha de cartolina como na figura abaixo. Cortando a folha na linha pontilhada resultará num retângulo. Determine os lados desse retângulo, sabendo que a área é máxima.
Questão 9 Escreva em notação matemática as seguintes funções de R em R (a) f associa cada número real ao seu oposto. (b) g associa cada número real ao seu cubo. (c) h associa cada número real ao seu quadrado menos um. Página 9 de 11
(d) k associa cada número real ao número 2.. Questão 10 Seja a função de R em R definida abaixo. Avalie os valores de f abaixo. ¨ 1 se x ∈ Q f (x ) = x + 1 se x ∈ /Q (a) f (3) p (d) f ( 4)
p (b) f ( 2) (e) f (0.75)
(c) f (−3/7) p (f) f ( 3 − 1)
Questão 11 Quais das relações, representadas graficamente abaixo, são funções?
Questão 12 Sejam as funções reais f e g , determinadas por f (x ) = x 2 + 4x − 5 e g (x ) = 2x − 3. Pede-se: (a) Obter as leis de formação de f ◦ g e g ◦ f . (b) Calcular ( f ◦ g )(2) e (g ◦ f )(2). (c) Determinar os valores do domínio de f ◦ g que produzem imagem 16. Questão 13 Página 10 de 11
Determine o valor de b em B = {y ∈ R, y ≥ b } de modo que a função f de R em B definida por f (x ) = x 2 − 4x + 6 seja sobrejetora. Questão 14 Determine o maior valor de a em A = {x ∈ R, x ≤ a } de modo que a função f de A em R definida por f (x ) = 2x 2 − 3x + 4 seja injetora. Questão 15 Para cada função abaixo pede-se provar que é bijetora e determine a sua inversa. (a) f : R → R tal que f (x ) = 2x − 5. (b) g : R − {4} → R − {1} tal que g (x ) =
x +1 . x −4
(c) h : R → R tal que h(x ) = x 5 .
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