Aula_5_Funcao_Exp_Log

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Universidade de Brasília Faculdade UnB Planaltina Curso: Ciências Naturais Disciplina: Cálculo 1 - 2013-1 Professor: José Eduardo Castilho

Aula 5: Exponencial e Logaritmo

1 Função Exponencial Vamos considerar o seguinte problema: Numa cultura temos uma estimativa de 250.000 bactérias e que estas se reproduzem a uma taxa de 5% por hora. Qual será o número de bactérias após 5 horas? Quanto tempo será necessário para que o número de bactérias seja o dobro da população inicial? Para responder tais questões temos que encontrar o modelo matemático que represente o fenômeno. Primeiramente vamos entender o significado da taxa de 5%. Calcular 5% de um valor corresponde a multiplicar este 5 valor por = 0.05. Assim se temos uma população inicial de 250.000, após a primeira hora teremos 100 250.000 + 250.000 × 0.05 = 250.000 × (1 + 0.05) = 250.000 × 1.05 = 262.500 A segunda hora inicia com 262.500 bactérias na cultura e quanto terminar a segunda hora teremos 262.500 + 262.500 × 0.05 = 262.500 × 1.05 = 250.000 × 1.052 = 278.775 Repetindo o processo, podemos ver que para x horas teremos que o número de bactérias será dado pela função: f (x ) = 250.000(1.05)x Este tipo de função é chamada de função exponencial. A forma geral da função exponencial é f (x ) = cb x , onde c ,b ∈ R e b > 0. As propriedades da função exponencial dependem das propriedades de potenciação.

Potenciação Sendo a um número real e n um número natural, definimos o expoente natural de base a ao número ¨ a = n

a0 = 1 a n = a · a n−1 , ∀n, n ≥ 1

Desta definição decorre que um modo geral a n = a · a · a · a · . . . · a é um produto de n fatores iguais a a . Sendo a ,b ∈ R e n, m ∈ N, as propriedades a seguir são válidas: (E.1) a m · a n = a m +n . (E.2)

am = a m −n . an

(E.3) (a · b )n = a n · b n . Página 1 de 6


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