Universidade de Brasília Faculdade UnB Planaltina Curso: Ciências Naturais Disciplina: Cálculo 1 - 2013-1 Professor: José Eduardo Castilho
Aula 5: Exponencial e Logaritmo
1 Função Exponencial Vamos considerar o seguinte problema: Numa cultura temos uma estimativa de 250.000 bactérias e que estas se reproduzem a uma taxa de 5% por hora. Qual será o número de bactérias após 5 horas? Quanto tempo será necessário para que o número de bactérias seja o dobro da população inicial? Para responder tais questões temos que encontrar o modelo matemático que represente o fenômeno. Primeiramente vamos entender o significado da taxa de 5%. Calcular 5% de um valor corresponde a multiplicar este 5 valor por = 0.05. Assim se temos uma população inicial de 250.000, após a primeira hora teremos 100 250.000 + 250.000 × 0.05 = 250.000 × (1 + 0.05) = 250.000 × 1.05 = 262.500 A segunda hora inicia com 262.500 bactérias na cultura e quanto terminar a segunda hora teremos 262.500 + 262.500 × 0.05 = 262.500 × 1.05 = 250.000 × 1.052 = 278.775 Repetindo o processo, podemos ver que para x horas teremos que o número de bactérias será dado pela função: f (x ) = 250.000(1.05)x Este tipo de função é chamada de função exponencial. A forma geral da função exponencial é f (x ) = cb x , onde c ,b ∈ R e b > 0. As propriedades da função exponencial dependem das propriedades de potenciação.
Potenciação Sendo a um número real e n um número natural, definimos o expoente natural de base a ao número ¨ a = n
a0 = 1 a n = a · a n−1 , ∀n, n ≥ 1
Desta definição decorre que um modo geral a n = a · a · a · a · . . . · a é um produto de n fatores iguais a a . Sendo a ,b ∈ R e n, m ∈ N, as propriedades a seguir são válidas: (E.1) a m · a n = a m +n . (E.2)
am = a m −n . an
(E.3) (a · b )n = a n · b n . Página 1 de 6
n a an (E.4) = n com b ̸= 0. b b (E.5) (a m )n = a m ·n (E.6) a −n =
1 an
Dado um número real a e um número natural n sabemos que existe um número real b tal que a n = b . p O número b é chamado de raiz n-ésima de a . Notação n a . Para que esta definição seja coerente com a propriedade (P.5), temos que p n
1
a =an
ou seja a n-ésima raiz de um número pode ser expressa pela potência de um número, com expoente racional.
Representação Gráfica Na definição da função exponencial f : R → R+ em que f (x ) = cb x , existe uma restrição sobre a base b , que deve satisfazer b > 0. Isto se deve ao fato de que sendo b negativo, não teremos uma função real, mas uma função complexa. O comportamento da função vai depender da base, como podemos ver no gráfico abaixo. Se b > 1 a função é crescente, se 0 < b < 1, a função é decrescente. No caso em que b = 1 temos a função constante f (x ) = c .
2 Função Logarítmica No início desta aula apresentamos um exemplo de crescimento populacional, que é modelado por f (x ) = 250.000 · (1.05)x . Uma das questões apresentada foi: Qual o intervalo de tempo necessário para Página 2 de 6
que a população de bactéria dobre de valor? Em outras palavras, temos que achar o valor de x tal que 250.000 · (1.05)x = 500.000. Isto significa achar um procedimento que inverta a exponencial de um número. Para isto usamos o conceito de logaritmo. Definição 1 Sendo a e b números reais e positivos, com a ̸= 1, chama-se logaritmo de b na base a , o valor de x , tal que, a elevado ao expoente x seja igual a b . Em linguagem simbólica temos: loga b = x ⇔ a x = b Como consequência da definição temos as seguintes propriedades: Para 0 < a ̸= 1 , b, c > 0. (L.1) loga 1 = 0. (L.2) loga a = 1. (L.3) loga b x = x loga b . (L.4) loga (b · c ) = loga b + loga c . b = loga b − loga c . (L.5) loga c (L.6) loga b =
logc b (mudança de base). logc a
Representação Gráfica A função logarítmica de base a é uma função f : R+ → R tal que x 7→ f (x ) = loga x , onde R+ = (0, ∞). A ∗ ∗ função logarítmica e exponencial de base a são exemplos de funções em que uma é a inversa da outra. Uma função f : A → B admite uma função inversa se existe uma e a função g : B → A, tal que se f (x ) = y ⇔ g (y ) = x . Notação para a função inversa de f é f −1 . O comportamento gráfico da função exponencial, como a função exponencial, depende do valor da sua base. Se 0 < a < 1 a função mostra um comportamento de decaimento, isto é, se x 1 < x 2 então f (x 1 ) > f (x 2 ). Se a > 1 a função mostra um comportamento de crescimento, ou seja, se x 1 < x 2 então f (x 1 ) < f (x 2 ). Quando a base a = e = 2.7182... temos o chamado logaritmo natural, que é denotado por ln(x ). O gráfico abaixo mostra o comportamento da função logarítmica de acordo com sua base.
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3 Exercícios Questão 1 Classificar em verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das sentenças abaixo: a.(
)53 · 52 = 56
b.(
)23 · 3 = 63
c.(
)52 − 42 = 32
d.(
)
27 = (−2)2 5 2
Questão 2 Supondo que a · b ̸= 0, simplifique as expressões: (a) (a 2 .b 3 )2 · (a 3 · b 2 )3 4 3 5 a ·b (b) a2 ·b (c)
(a 2 · b 3 )4 + (a 3 · b 4 )2 (a 3 · b 2 )3
(d) [(a 3 c d ot b 2 )2 ]3 Questão 3 Resolver as seguintes equações exponenciais: (a) 2x = 64 Página 4 de 6
(b) 8x =
1 32
p p 3 (c) ( 3)x = 81 (d) 9x +2 = 27 Questão 4 Esboce o gráfico das seguintes funções definidas em R. (a) f (x ) = 2x (b) f (x ) = 23x −1 (c) f (x ) =
1 2x
(d) f (x ) = 3−x Questão 5 Em cada caso, dê a quantidade presente inicialmente (t = 0), diga se a função representa crescimento ou decrescimento exponencial, e dê a taxa percentual de crescimento ou decrescimento. (a) A(t ) = 100(1, 07)t . (b) A(t ) = 3500(0, 93)t (c) A(t ) = 320(1, 12)t (d) A(t ) = 250(0, 87)t Questão 6 Sendo loga b = 3 e loga c = 5 calcule: (a) loga (b · c ) (b) loga (b /c ) (c) loga b 2 + loga c 7 (d) logb c Questão 7 Determine o domínio das funções: (a) f (x ) = log( 3 − x )(x + 2) (b) f (x ) = logx (x 2 + x − 2) Questão 8 Para cada função abaixo mostre que ela é bijetora, ache a inversa e esboce o gráfico da função e sua inversa. Página 5 de 6
(a) f (x ) = x 2 + 4x − 5 e g (x ) = 2x − 3 (b) f (x ) = x 2 + 2 e g (x ) = x 2 − 1 p (c) f (x ) = x e g (x ) = x 2 − 3x − 4 (d) f (x ) = 1 − x e g (x ) = x − 1
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