Universidade de Brasília Faculdade UnB Planaltina Curso: Ciências Naturais Disciplina: Cálculo 1 - 2013-1 Professor: José Eduardo Castilho
Aula 6: Técnicas de Integração
1 Introdução Na aula anterior vimos como calcular integral de algumas funções elementares, como uma função polinomial ou a função seno. Algumas funções resultam de composição, multiplicação ou divisão dessas funções e no caso da derivação existiam regras especificas para cada um desses casos. No caso da integração, não será diferente, visto que o processo de integração está relacionado com o processo de derivação. Assim temos algumas técnicas que serão apresentadas nesta aula.
2 Integração por Substituição Sendo F e f funções tais que F ′ (x ) = f (x ), então pela Regra da Cadeia temos [F (g (x ))]′ = F ′ (g (x )) · g ′ (x ) = f (g (x ))g ′ (x ) Integrando a expressão acima obtemos ∫ f (g (x ))g ′ (x )d x = F (g (x )) + C . Fazendo y = g (x ) temos que d y = g ′ (x )d x , logo ∫ ∫ f (g (x ))g ′ (x )d x =
f (y )d y = F (y ) + C . = F (g (x )) + C
Esta relação mostra que se função a ser integrada está a forma da derivação da Regra da Cadeia poderemos achar a integral por uma substituição da forma y = g (x ). Como exemplo, vamos considerar a integral ∫ x cos(x 2 )d x Fazendo y = x 2 temos que d y = (x 2 )′ = 2x d x , o que implica que x d x = d y /2. Substituindo na integral temos ∫
∫ x cos(x 2 )d x =
dy 1 cos(y ) = 2 2
∫ cos(y )d y =
1 sen (y ) + C 2
Mas a integral original é na variável x e não em y . Como y = x 2 temos ∫ 1 x cos(x 2 )d x = sen (x 2 ) + C 2
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No processo acima fizemos uma substituição de d x usando a relação d y = (x 2 )′ = 2x d x . Sendo y = g (x ) O termo d y é chamado de diferencial e é representado por d y = g ′ (x )d x o que pode ser interpretado como uma relação entre a medida que temos na variável x com a medida na variável y = g (x ). Logo se as medidas tem variações diferentes, temos que estar atento a isto, quando a integral for uma integral definida. Considere o seguinte exemplo, ∫π (cos(x ))3 sen (x )d x 0
Fazendo y = cos (x ) temos que d y = − sen (x )d x . Observe os extremos de integração, quando x = 0 ⇒ y = cos(0) = 1 e x = π ⇒ y = cos (π) = −1. Assim a variação da nova integral será de 1 a -1, ou seja ∫
∫
π
∫
−1
(cos(x )) sen (x )d x = − 0
1
y dy =
3
3
y 3d y −1
1
onde, na última passagem foi usada a propriedade P.1 da aula anterior. Com isto segue que, ∫
π
∫
1 14 (−1)4 y 4
= (cos(x )) sen (x )d x = y dy = − =0
4 4 4 −1 −1 3
0
1
3
3 Integração Por Partes A integração por partes, está relacionada com a regra de derivação do produto de duas funções. Nós vimos que, tendo duas funções u = u (x ) e v = v (x ), pela regra do produto segue que: (u · v )′ = u ′ · v + u · v ′ . Integrando ambos os lados e aplicando a propriedade em que a integral da soma é a soma das integrais, obtém-se ∫ ∫ u (x ) · v (x ) = ou ainda
u ′ (x ) · v (x )d x +
∫
u (x ) · v ′ (x )d x . ∫
u (x ) · v ′ (x )d x = u (x ) · v (x ) −
u ′ (x ) · v (x )d x .
Usando uma notação mais compacta, onde substituímos u ′ (x )d x = d u e v ′ (x )d x = d v , temos a notação que usualmente é apresentada nos textos de cálculo ∫ ∫ udv =u ·v −
vdu.
Esta relação transforma a integral do produto u v ′ em u ′ v , por isto que dizemos que estamos derivando u e integrando v . Quando as integrais existem esta relação será sempre verdadeira, mas só será útil se a nova integral for de fácil resolução. Como exemplo, vamos considerar a integral ∫ xexdx Considerando que u = x ⇒ d u = 1d x (aqui derivamos) e d v = e x d x ⇒ v = e x (aqui integramos). Logo ∫ ∫ xexdx = x ·ex −
exdx = x ·ex −ex +C Página 2 de 10
A dificuldade deste processo é escolher qual função faz o papel de u e qual faz o papel de d v . Se invertemos estes papeis no exemplo anterior temos u = e x ⇒ d u = e x d x e d v = x d x ⇒ v = x 2 /2. Com isto, ∫ ∫ 2 x2 x x x x xe dx = e · − e dx 2 2 Esta relação é verdadeira, mas a segunda integral não foi simplificada e portanto não vamos chegar ao resultado desejado. No caso da integral definida, a relação da integração por partes é dada portanto ∫
b
b ∫ b
udv =u ·v − vdu. a
a
a
4 Funções Racionais O procedimento para calcular a integral de uma função racional, consiste de usar um artifício de decomposição em frações simples. A ideia é exprimir a função racional como soma de duas funções mais simples. Vamos descrever o processo, com o seguinte exemplo. ∫ 3x + 13 dx (x − 4)(x + 1) Vamos procurar exprimir a função de tal forma que 3x + 13 A B = + (x − 4)(x + 1) x − 4 x + 1 Os coeficientes A e B são obtidos resolvendo a igualdade acima, onde obtemos A+B =3
A − 4B = 13
onde, a solução é dada por A = 5 e B = −2, portanto ∫ ∫ ∫ 3x + 13 5 2 dx = dx − d x = 5 ln(|x + 4|) − 2 ln(|x + 1|) + C (x − 4)(x + 1) x −4 x +1
5 Produtos de Funções Trigonométricas Certas funções trigonométricas podem ser integradas com o uso de algumas relações trigonométricas ou usando a integração por partes. Relações da forma sen 2 (x ) + cos 2 (x ) = 1
(1)
cos (x ) − sen (x ) = cos(2x )
(2)
2
2
Como exemplo vamos considerar a integral ∫
∫
sen (x )d x = 2
sen (x ) sen (x )d x
Aplicando a a integração por partes, onde consideramos u = sen (x ) ⇒ d u cos(x )d x e d v = sen (x )d x ⇒ v = − cos(x ) segue que ∫ ∫ ∫ sen 2 (x )d x = − sen (x ) cos(x ) −
−cos (x ) cos(x )d x = sen (x ) cos(x ) +
cos2 (x )d x Página 3 de 10
O problema é que não sabemos (ainda) como calcular a integral de f (x ) = cos2 (x ). Mas se usarmos a relação (1) temos que ∫ ∫ ∫ sen 2 (x )d x = sen (x ) cos(x ) +
1 − sen 2 (x )d x = sen (x ) cos(x ) − x +
sen 2 (x )d x
Observe que na equação acima a integral depende dela mesma, ou seja temos uma igualdade da forma A = B − A, que pode ser resolvida isolando o valor de A em função de B , ou seja 2A = B ⇒ A = B /2. Com isto, finalmente temos que ∫ sen (x ) cos(x ) − x x sen (2x ) sen 2 (x )d x = +C = − +C 2 2 4 onde a última passagem decorre da relação trigonométrica sen (2x ) = 2 sen (x ) cos(x ). Uma outra forma é usar a relação abaixo, que provem da subtração entre (1) e (2). sen 2 (x ) = onde
∫
∫ sen 2 (x )d x =
1 + cos (2x ) 2
1 − cos(2x ) x sen (2x ) dx = − +C 2 2 4
6 Integrais Impróprias 1 Vamos considerar o cálculo da integral de f (x ) = p no intervalo [0, 1]. Não está definida para x = 0 e x que quando x → 0+ segue que f (x ) → +∞ Logo, a definição que demos para a Integral Definida (aula anterior) não pode ser aplicada neste caso, pois f (x ) não é contínua para x = 0. No entanto, podemos usar do seguinte artifício. Vamos considerar o subintervalo [b, 1], com b > 0 e calculamos a integral ∫ b
1
1 p p 1
p d x = 2 (x ) = 2(1 − b ) x b
Como o limite desta expressão existe, quando b → 0 definimos a integral imprópria de f , no intervalo [0, 1], como sendo, ∫1 ∫1 1 1 p d x = lim p dx =2 b →0 x x 0 b Geometricamente, temos representado a área entre a curva f (x ), o eixo x , no intervalo [0, 1], que embora seja ilimitada, tem uma área finita e igual a 2.
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Uma outra forma de integral imprópria é quando um ou os dois extremos de integração é o “infinito”. Como exemplo, vamos considerar a integral ∫
+∞
1
1 d x = lim b →+∞ x2
∫
b
1
b 1 1
1 d x = lim − = lim − + 1 = 1 2 b →+∞ x x 1 b →+∞ b
7 Aplicações da Integração O objetivo desta seção é apresentar algumas aplicações da integração. Dentre elas estão: determinar áreas entre curvas; determinar volume de sólidos de revolução; determinar o trabalho executado por uma força que move um objeto; determinar o valor médio de uma função num dado intervalo.
7.1 Área entre curvas Vimos que, sendo f (x ) > 0 em [a ,b ], a área entre a curva e o eixo x é dado pela integral definida ∫
b
A=
f (x )d x a
Além disso, devemos lembrar que a integral definida, quando aplicada a área é um processo de somatório de retângulos da forma ∆x f (x ). Vamos agora determinar a área limitada pelas curvas y = f (x ) e y = g (x ) no intervalo [A, B ], como mostra a figura abaixo.
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Entre A e B a função g é menor que a função f , e o retângulo em destaque na figura terá área dada por ( f (x ) − g (x ))∆x . Repetindo o procedimento que usamos na definição da integral definida teremos que a área aproximada será dada pelo somatório, A≈
n ∑
∆x ( f (x i ) − g (x i )
i =0
Fazendo ∆x → 0 obtemos o valor da área, que é representado pela integral ∫
b
A=
f (x ) − g (x )d x a
Como exemplo, vamos determinar a área delimitada pelas curvas f (x ) = 4 − x 2 e g (x ) = x + 2. Observando o gráfico das duas funções podemos perceber que elas delimitam uma área para x ∈ [−2, 1].
Os pontos em que as curvas se cruzam, são obtidos com a resolução da equação f (x ) = g (x ). Desta forma a área é dada pela integral ∫ A=
21 f (x ) − g (x )d x
∫ =
−
21 4 − x 2 − (x + 2)d x ∫−
=
21 2 − x − x 2 d x −
2 x 2 x 3
= 2x − −
2 3 1 8 1 = (2 − − 13) − (−4 − 2 + ) 2 3 9 = 2
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7.2 Volumes de Revolução Outra aplicação da integração é determinar o volume de um sólido resultante na rotação de uma área, como mostra a figura a seguir.
A região delimitada pela curva f (x ) é rotacionada sobre o eixo x , gerando um sólido que terá um volume. Como podemos determinar este volume? Observe o retângulo em destaque, tem base ∆x e altura f (x ). Quando rotacionamos este retângulo ele gera um cilindro, cuja a base é uma circulferência de raio f (x ) e altura ∆x . O volume deste cilindro é dado pela área da base vezes a altura, ou seja π[ f (x )]2 ∆x Quando fazemos a soma de todos os retângulos obtemos o volume aproximado A≈
n ∑
π∆x [f (x i )]2
i =0
O volume exato é obtido, quando fazemos ∆x t o0 obtendo a seguinte integral ∫b A =π
[ f (x )]2 d x a
Vamos determinar o volume do sólido formado pela rotação da curva f (x ) = x 2 de x = 0 a x = 2 em redor do eixo x , como mostra a figura abaixo.
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Desta forma o volume é dada pela integral ∫
∫
2
V =π
[ f (x )] d x 2
0
= π
2
x 4d x 0
2 x 5
= π
5 0 32 = π 5
7.3 O Cálculo do Trabalho Quando uma força F é aplicada a um objeto, movendo-o ao longo de uma distância s , o termo trabalho é definido como o produto F ·s . Ou seja, o trabalho W = F.s é o produto da força pela distância ao longo da qual a força atua. Esta fórmula é apropriada quando a força permanece constante. No entanto, se a força varia quando o objeto se move ao longo de uma dada distância, então temos que usar uma aproximação. A ideia é dividir o intervalo [a ,b ] que determina a distância, em n subintervalos de amplitude ∆x e dentro de cada subintervalo concideremos que Fi como o valor da força em cada subintervalo. Com isto temos W≈
n ∑
∆x Fi
i =0
Se a força é expressa por uma função F (x ), podemos usar o mesmo procedimento, usado para o cálculo de área. Ou seja fazemos ∆x t o0, obtendo o valor exato do trabalho, dado pela integral ∫
b
W=
F (x )d x a
Como exemplo vamos considerar a força necessária para alongar uma mola. Pela lei de Hooke esta força é proporcional a totalidade que é alongada. Vamos considerar que para alongar uma mola em 10cm é necessário uma força de 1.2 N. Sendo x a distância alongada pela força F (x ), então pela lei de Hooke temos F (x ) = k x . Para x = 0, 10 (porque?) temos F (0.10) = k 0.1 = 1.2 ⇒ k = 12. Logo F (x ) = 12x . O trabalho necessário para alongar a mola em 15 cm será dado por: ∫
∫
b
W=
F (x )d x a
0.15
= π
12x d x 0
0.15 x 2
= 12
2 0 = 0.135J
OBS: A energia da mola é definida pela integral indefinida E = ∫b realizado é d i s p l a y s t y l e W = E b − E a = a F (x )d x .
∫
F (x )d x =
∫
k x d x = k x 2 /2 e o trabalho
8 Exercícios Questão 1 Ache a integral indicada, usando a técnica de substituição. Página 8 de 10
∫
2
x 2 (5 + 2x 3 )d x
(a) ∫
0
p
(b) ∫
3x + 4d x
π
x cos x 2 d x
(c) −π
∫
4x 2 dx (1 − 8x 3 )4
(d) ∫
3
x2
(e)
p
1+xdx
1
Questão 2 Usando a integração por partes calcule. ∫2 x sen (x )d x
(a) ∫
0
x 2e x d x
(b) ∫
2π
(c) 0
∫ (d)
1 dx sen (x )
p x xdx
Questão 3 Ache a integral indicada, usando a técnica para funções racionais. ∫3 1 (a) dx x (x + 1) 1 ∫2 1 (b) dx (x + 3)2 1 ∫2 1 dx (c) (x + 1)(x + 2)(x + 3) 1 ∫3 1 (d) dx 2 x −4 1 Questão 4 Ache a integral indicada, usando a técnica para produto e potências de funções trigonométricas. ∫ ∫ (a) ∫ (c)
sen 4 (x )d x cos2 (x )d x
(b) ∫ (d)
sen (x ) cos(x )d x sen 2 (x ) cos(x )d x
Questão 5 Página 9 de 10
Ache a integral imprópria abaixo. ∫1 ∫0 dx dx (a) (b) dx 2/3 x x +1 0 −1 ∫ +∞ ∫1 dx −x (c) e dx (d) dx 3 x 0 −1 Questão 6 Nos Exercícios abaixo calcule as integrais definidas: ∫4 ∫2 p (a) 2x + 1d x (b) (x − 1)2 5d x ∫ 0pπ
∫0 4 x cos(x 2 )d x
(c)
(d)
0
x
p
16 − 3x d x
1
Questão 7 Resolva os problemas abaixo. (a) Calcule a área delimitada pelas curvas f (x ) = x e g (x ) = x 2 . (b) Sabendo que r (t ) = −10x − x 2 representa a taxa de crescimento das abelhas por semana. Estime o crescimento na população de abelhas, entre a terceira e quinta semana. Questão 8 Determine a área delimitada pelas curvas (a) f (x ) = x , g (x ) = x 2 . (b) f (x ) = x 2 − 2x , g (x ) = 3. (c) f (x ) = x 3 − 2x , g (x ) = 2 − x 2 . (d) f (x ) = x 2 − x , g (x ) = −x 2 + x , no intervalo [−1, 1]. Questão 9 Determine o volume do sólido formado pela rotação da região delimitada pela função e o eixo x , ao redor do eixo x . (a) f (x ) = x + 1, para x ∈ [0, 2]. (b) f (x ) = x 2 + 1, para x ∈ [1, 3]. p (c) f (x ) = x , para x ∈ [1, 2]. (d) f (x ) = cos (x ), para x ∈ [0, π/2]. Questão 10 Determinar o trabalho efetuado no alongamento de 6 cm de uma mola, sabendo que F (x ) = 2x .
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