Universidade de Brasília Faculdade UnB Planaltina Curso: Ciências Naturais Disciplina: Cálculo 1 - 2013-1 Professor: José Eduardo Castilho
Aula 6: Técnicas de Integração
1 Introdução Na aula anterior vimos como calcular integral de algumas funções elementares, como uma função polinomial ou a função seno. Algumas funções resultam de composição, multiplicação ou divisão dessas funções e no caso da derivação existiam regras especificas para cada um desses casos. No caso da integração, não será diferente, visto que o processo de integração está relacionado com o processo de derivação. Assim temos algumas técnicas que serão apresentadas nesta aula.
2 Integração por Substituição Sendo F e f funções tais que F ′ (x ) = f (x ), então pela Regra da Cadeia temos [F (g (x ))]′ = F ′ (g (x )) · g ′ (x ) = f (g (x ))g ′ (x ) Integrando a expressão acima obtemos ∫ f (g (x ))g ′ (x )d x = F (g (x )) + C . Fazendo y = g (x ) temos que d y = g ′ (x )d x , logo ∫ ∫ f (g (x ))g ′ (x )d x =
f (y )d y = F (y ) + C . = F (g (x )) + C
Esta relação mostra que se função a ser integrada está a forma da derivação da Regra da Cadeia poderemos achar a integral por uma substituição da forma y = g (x ). Como exemplo, vamos considerar a integral ∫ x cos(x 2 )d x Fazendo y = x 2 temos que d y = (x 2 )′ = 2x d x , o que implica que x d x = d y /2. Substituindo na integral temos ∫
∫ x cos(x 2 )d x =
dy 1 cos(y ) = 2 2
∫ cos(y )d y =
1 sen (y ) + C 2
Mas a integral original é na variável x e não em y . Como y = x 2 temos ∫ 1 x cos(x 2 )d x = sen (x 2 ) + C 2
Página 1 de 10