Universidade de Brasília Faculdade UnB Planaltina Curso: Ciências Naturais Disciplina: Cálculo 1 - 2013-1 Professor: José Eduardo Castilho
Aula 3: Derivada de uma Função
1 Introdução Em certos experimentos, podemos desejar obter o comportamento médio do fenômeno representado, num certo intervalo de tempo. Como exemplo vamos considerar o caso de uma contaminação por vírus. Neste caso o corpo aumenta a sua temperatura como forma de proteção, pois em temperatura alta os vírus não se reproduzem. A tabela abaixo mostra os dados de um experimento que mede a população de vírus (em milhares) numa cultura de acordo com a variação de temperatura (em graus Celsius) . t 34,5 35,0 35,5 36,0 36,5 37,0 37,5 38,0 38,5 39,0 39,5 40,0 P(t) 0,83 0,96 1,02 1,21 1,58 2,02 2,69 3,12 3,01 2,83 2,01 0,85 A taxa média de de variação da população em relação a temperatura, no intervalo de 35 a 38 é dada por: 3, 12 − 0, 96 = 0, 72 38 − 35 Isto significa que a cada grau a população cresce de 0,72. Este valor é um valor médio e não representa com exatidão o que ocorre em cada ponto do intervalo. Se em 35 graus tínhamos 0,96 e a taxa de variação é de 0.72, então em 36 devemos ter 0,96 + 0,72=1,68 . Mas na tabela temos que este valor é de 1,21. Esta diferença ocorre porque o valor médio representa a inclinação da reta que passa pelo dois pontos definidos pelo intervalo em que medimos a taxa média. Porém o fenômeno não tem comportamento linear (como uma reta). Observe a figura abaixo, onde marcamos os pontos da tabela. Observe que o coeficiente angular da reta azul é o valor médio do intervalo 35 a 38. Note que os valores intermediários se distanciam da reta e voltam a se aproximar da reta. O mesmo comportamento ocorre no intervalo de 38 a 40, onde o coeficiente angular da reta (em vermelho) é igual a -1,41, ou seja temos uma taxa de variação negativa. TM =
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1.1 Taxa de Variação instantânea O valor médio obtido num intervalo pode fornecer uma boa aproximação para a taxa de variação, mas ele não representa o comportamento pontual. Para que tenhamos a taxa de variação pontual, ou taxa de variação instantânea, temos que obter a inclinação da reta tangente a curva no ponto desejado. Mas como se define a reta tangente a uma curva, num determinado ponto? Para compreender este conceito vamos considerar a figura abaixo. Nela temos o ponto A fixo e o ponto B que se move sobre a curva. Por estes pontos temos uma reta secante a curva. Conforme modificamos a posição do ponto B o valor da Taxa de Variação também muda, pois ela é representada a inclinação da reta. Porém se desejamos saber o valor da Taxa de variação no ponto A devemos aproximar cada vez mais o ponto B do ponto A. Porém quando o ponto B coincide com o ponto A a reta deixa de ser definida, pois o seu coeficiente angular não está definido. O ponto B não pode atingir o ponto A, mas podemos ver como a taxa se comporta quando o ponto B se aproxima o quanto se queira de A, mas não atinge A. Este comportamento é medido pelo cálculo do limite.
lim
x →A
f (x ) − f (A) x −A
1.2 A derivada de uma função A derivada de uma função, num ponto x representa a inclinação da reta tangente a curva no ponto x . Formalmente podemos definir a derivada como sendo: f ′ (x ) = lim h→0
f (x + h) − f (x ) h
(1)
df (x ) ou por D x (f ). Esta notação dará mais dx sentido no estudo de funções de mais de uma variável, quando temos que indicar sobre qual variável estamos calculando a derivada. A derivada de uma função também pode ser denotada por
O valor da derivada depende do valor de x , ou seja, o limite acima, quando existe, fornece uma nova função de x . E por este motivo que recebe o nome de derivada, uma função que deriva, surge da f (x ) e que representa propriedades da função f (x ).
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Como exemplo considere a função f (x ) = x 2 . Calculando a derivada, por intermédio do limite temos: (x + h)2 − x 2 x 2 + 2x h + h 2 − x 2 = lim = lim 2x + h = 2x h→0 h→0 h→0 h h
f ′ (x ) = lim
Desta forma a inclinação da reta tangente a curva f (x ) = x 2 no ponto x 0 é 2x 0 . Podemos ver isto na figura abaixo, onde temos a função e a reta tangente no ponto x 0 = −1 é igual a −2.
1.3 Derivadas Laterais A derivada é definida em função de um limite e podemos calcular este limite usando os limites laterais. Com isto temos a derivada a direita de x , dado pelo limite f ′ (x +) = lim
h→0+
f (x + h) − f (x ) h
e a derivada a esquerda, dado pelo limite f ′ (x −) = lim
h→0−
f (x + h) − f (x ) h
A derivada em x existe se as derivadas laterais existem e são iguais. Como exemplo vamos considerar a função módulo. ¨ x se x ≥ 0 f (x ) = |x | = , −x se x < 0 Calculando as derivadas laterais em x = 0 temos f ′ (0+) = lim
h→0+
f (0 + h) − f (0) |h| = =1 h h
f (0 + h) − f (0) |h| = = −1 h→0− h h Como f ′ (0+) ̸= f ′ (0−) a derivada em x = 0 não existe e isto pode ser observado pelo gráfico da função, onde observamos que para x = 0 não temos uma reta tangente definida. f ′ (0−) = lim
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2 Derivadas de Funções Elementares Nos exemplos que apresentamos, a derivada foi obtida pelo cálculo do limite (1). Isto só é prático para algumas funções simples, como f (x ) = x 2 , pois, em geral, este seria um processo penoso. As regras de derivação, que apresentamos abaixo, vão permitir obter a derivada de uma função, sem recorrer ao cálculo do limite.
I - f(x) = C, C ∈ R Iniciando pela função constante temos que sua derivada vale zero. f ′ (x ) = lim h→0
f (x + h) − f (x 0 ) C −C = lim =0 h→0− h h
Isto é coerente com a interpretação que temos da derivada. Se ela representa a taxa de variação da função, no caso da função constante esta só pode ser zero.
II - f(x) = xn , n ∈ N Neste caso temos que considerar o binômio de Newton, obtendo. f (x + h) − f (x 0 ) h→0 h (x + h)n − x n = lim h→0 h ̸ x n + nx n−1 h + (n − 1)x n −2 h 2 + . . . + h n − ̸ x n = lim h→0 h n −1 n−2 = lim nx + (n − 1)x h + . . . h n −1
f ′ (x ) = lim
h→0
= nx n−1 A demonstração acima foi feita, considerando que n ∈ N, mas a mesma regra de derivação (não a dep q monstração) é válida para n ∈ R. Com isto temos que, sendo f (x ) = x p , tem-se f ′ (x ) =
p ′ ′ p q x p = x p /q = x p /q −1 q
III - f(x) = sen (x) e f(x) = cos(x) A derivada da função seno depende do resultado de um limite especial, chamado de primeiro limite sen (x ) fundamental. Este limite determina qual o comportamento da função f (x ) = quando x → 0. x Página 4 de 12
Observe que tanto o denominador e numerador tendem a zero, e como visto em outros exemplos, este limite pode resultar numa constante não nula, ser zero ou ir para infinito. Para o cálculo deste limite, vamos considerar x ∈ [0, 2π], como na figura abaixo.
A área do △O BC é menor que a área do setor circular ∢O BC , a qual é menor que a área do △O B D, isto é, O B · AC X ·O B OD · B D < < 2 2 2 Como O B = 1 segue, pelas relações de um triangulo retângulo que: OA = cos x ,
AC = sen x ,
BD =
B D AC sen x = = O B OA cos x
Portanto da desigualdade acima segue que: 1<
x 1 < sen x cos x
1>
sen x > cos x x
que invertendo os membros obtém-se:
Aplicando o limite com x → 0 obtemos sen x > lim cos x = 1 x →0 x
lim 1 > lim x →0
x →0
Com isto, temos que
sen x =1 x →0 x . Com este limite podemos mostrar que lim
(Primeiro Limite Fundamental) cos x − 1 =0 x →0 x
lim Para isto basta observar que: cos x − 1 x
= = = =
(cos x − 1)(cos x + 1) x (cos x + 1) cos2 x − 1 x (cos x + 1) − sen 2 x x (cos x + 1) sen x −1 · · sen x (cos x + 1) x Página 5 de 12
Com isto segue que: −1/2 1 * sen x cos x − 1 −1 0 > lim = lim · · sen x:= 0 x →0 x →0 (cos x x + 1) x Agora temos elementos para demonstrar que o seguinte resultado: Sendo f (x ) = sen x f ′ (x ) = cos x De fato, sendo sen (x + h) − sen x h
= =
sen x · cos h + cos x · sen x − sen x h) cos h − 1 sen h sen x · + cos x · h h
Com isto segue que: 1 *0 > cos h − 1 sen (x + h) − sen x sen h = sen x · lim + cos x · lim = cos x lim h→0 h→0 h h→0 h h A derivada da função f (x ) = cos x é dada por f ′ (x ) = − sen x A demonstração pode ser feita exprimindo o cosseno em termos do seno e usando a Regra da Cadeia, que será apresentada posteriormente. Assim deixamos a demonstração, como um exemplo do uso da Regra da Cadeia.
IV - f(x) = loga (x) Para determinar a derivada de f (x ) = ln(x ) devemos entender que o conceito de logaritmo, como a área 1 delimitada pela curva g (x ) = , como mostra a figura abaixo. Este conceito será objeto de estudo no x capítulo sobre integral. Por hora devemos saber que a área hachurada é dada por ln(x + h) − ln(x )
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Por outro lado, área hachurada está entre a área dos retângulos ABEF e ABCD. Como estes retângulos tem a mesma base segue a desigualdade: h h < ln(x + h) − ln(x ) < x +h x dividindo por h e aplicando o limite temos 1 ln(x + h) − ln(x ) 1 < lim < lim h→0 x + h h→0 h→0 x h
lim portanto temos
ln(x + h) − ln(x ) 1 = h→0 h x
lim
Para a função logarítmica de base a > 0 e a ̸= 1, f (x ) = loga (x ) temos que a derivada é dada por: f ′ (x ) =
1 x ln(a )
2.1 Derivada da Soma Quando uma função é representada pela soma de outras funções, a sua derivada é a soma das derivadas das funções que compõe a soma. Em resumo, se w (x ) = f (x ) + g (x ), então w ′ (x ) = f ′ (x ) + g ′ (x ) A demonstração é feita pela definição em (1), onde w (x + h) − w (x ) h→0 h f (x + h) + g (x + h) − f (x ) − g (x ) = lim h→0 h g (x + h) − g (x ) f (x + h) − f (x 0 ) + lim = lim h→0 h→0 h h ′ ′ = f (x ) + g (x )
w ′ (x ) = lim
Esta regra se generaliza para um número qualquer de funções, ′ f 1 + f 2 + . . . + f n = f 1′ + f 2′ + . . . f n′
2.2 Derivada do Produto Quando uma função é representada pelo produto de outras funções, a sua derivada não é simplesmente o produto da derivada, como mostraremos abaixo. Sendo w (x ) = f (x ) · g (x ), então temos w ′ (x ) = f ′ (x ) · g (x ) + f (x ) · g ′ (x ) A demonstração é feita pela definição e usando um artifício de se somar e subrair um termo que complete as derivadas de f e g . Em resumo w (x + h) − w (x ) h→0 h f (x + h) · g (x + h) − f (x ) · g (x ) lim h→0 h f (x + h) · g (x + h) − f (x ) · g (x + h) + f (x ) · g (x + h) − f (x ) · g (x ) lim h→0 h f (x + h) − f (x ) g (x + h) − g (x ) lim · g (x + h) + lim · f (x ) h→0 h→0 h h f ′ (x ) · g (x ) + f (x ) · g ′ (x )
w ′ (x ) = lim = = = =
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Esta regra se generaliza para um número qualquer de funções, f1 · f2 · ... · fn
′
= f 1′ · f 2 · . . . · f n + f 1 · f 2′ · . . . · f n + . . . + f 1 · f 2 · . . . · f n′
2.3 Derivada do Quociente Quando uma função é representada pelo quociente de duas funções, w (x ) = ponto x , em que g ′ (x ) ̸= 0, então temos w ′ (x ) =
f (x ) , deriváveis num g (x )
f ′ (x ) · g (x ) − f (x ) · g ′ (x ) [g (x )]2
A demonstração é feita pela regra do produto aplicada em f (x ) = w (x ) · g (x ) Sendo f ′ (x ) = w ′ (x )g (x ) + w (x )g ′ (x ) e isolando a derivada de w (x ) temos w ′ (x ) =
f ′ (x ) − g ′ (x ) · w (x ) g (x ) f (x )
= =
f ′ (x ) − g ′ (x ) · g (x ) g (x ) f
′ (x )g (x ) −
f (x ) · g ′ (x ) [g (x )]2
2.4 Derivada da Inversa Considere que f (x ) = y seja uma função inversível, cuja a inversa é a função g (y ) = x seja derivável num ponto y e g ′ (y ) ̸= 0. Então f é derivável no ponto x = g (y ) e f ′ (x ) =
1 g ′ (y )
Como exemplo, vamos considerar a função f (x ) = ln(x ) = y , cuja a inversa é g (y ) = e y = x . Vimos que 1 f ′ (x ) = logo segue que: x 1 1 = ′ ⇒ g ′ (y ) = x ⇒ g ′ (y ) = e y x g (y ) Em geral temos que, sendo f (x ) = loga (x ), implica que f ′ (x ) = g ′ (y ) = a y ln a
1 e que, sendo g (y ) = a y implica que x ln a
3 Função Composta e Regra da Cadeia 3 Até o momento, as regras de derivação que apresentamos, permite achar p a derivada de g (x ) = x − 2x e p de f (x ) = x , mas não são suficientes para derivar a função w (x ) = x 3 − 2x . Para derivar w (x ) temos que usar o conceito de função composta.
Se observarmos melhor veremos que w (x ) = f (g (x )) = (f ◦ g )(x ) (lê-se f bola f ), ou seja w (x ) é a composta de f com g . Sendo f e g deriváveis então podemos calcular a derivada de w (x ) pela Regra da Cadeia. w ′ (x ) = f ′ (g (x )) · g ′ (x ) Página 8 de 12
Para a demonstração vamos chamar u = g (x ) e h u = g (x + h) − g (x ) e com isto temos: w (x + h) − w (x ) h→0 h f (g (x + h)) − f (g (x )) = lim h→0 h f (u + h u ) − f (u ) = lim h→0 h
w ′ (x ) = lim
Onde usamos o fato de que u = g (x ) e h u = g (x + h) − g (x ) ⇒ g (x + h) = u + h u . Multiplicando o numerador e denominador por h u segue que: f (u + h u ) − f (u ) h u h hu f (u + h u ) − f (h u ) g (x + h) − g (x ) = lim h→0 hu h
w ′ (x ) = lim h→0
Observe que, quando h → 0 temos que h u → 0, portanto, f (u + h u ) − f (h u ) g (x + h) − g (x ) lim h u →0 h→0 hu h ′ ′ ′ ′ = f (u )g (x ) = f (g (x ))g (x )
w ′ (x ) =
lim
p Como exemplo vamos considerar a função w (x ) = x 3 − 2x . Como visto acima w (x ) = f (g (x )), com p g (x ) = x 3 − 2x e de f (x ) = x . Assim sendo g ′ (x ) = 3x 2 − 2 e f ′ (x ) = p1x . Logo 1 3x 2 − 2 w ′ (x ) = f ′ (u )g ′ (x ) = p (3x 2 − 2) = p x 3 − 2x x 3 − 2x
4 Derivadas de Ordem Superior Se a função f for uma função diferenciável, então a sua derivada f ′ é uma função em x . Logo esta também pode ter sua própria derivada, (f ′ )′ = f ′′ . Essa nova função é chamada de derivada segunda de f . Se a derivada segunda também for derivável, obtemos ( f ′′ )′ = f ′′′ a terceira derivada de f . Este procedimento pode ser repetido e se f (n−1) for derivável podemos obter a derivada de ordem n , onde ( f (n−1) )′ = f (n ) . Cada uma dessas derivadas representa um comportamento da função. Como exemplo, vamos considerar a equação do movimento retilíneo acelerado, s (t ) =
a 2 t + v0t + s 0. 2
Calculando a primeira derivada temos: s ′ (t ) = a t + v 0 = v (t ) A equação acima é a equação da velocidade e isto é coerente com o significado da derivada, pois ela representa a taxa de variação do movimento. Calculando a segunda derivada obtemos, s ′′ (t ) = a Que representa a aceleração, que neste caso é constante, mas poderia também ser uma função de t . Página 9 de 12
5 Exercícios Questão 1 Ache a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto (x 1 , y 1 ). Faça uma tabela de valores de x , y e m no intervalo fechado [a ,b ] e inclua na tabela todos os pontos onde o gráfico tem uma tangente horizontal. Faça um esboço do gráfico e mostre um segmento de reta tangente em cada ponto colocado no gráfico. a) y = 9 − x 2 ; [a ,b ] = [−3, 3] b) y = x 2 + 4; [a ,b ] = [−2, 2] c) y = x 3 + 1; [a ,b ] = [−2, 2] Questão 2 Ache a equação da reta que seja: a) tangente à curva y = 2x 2 + 3 que é paralela à reta 8x − y + 3 = 0. b) tangente à curva y = 2 − 13 x 2 que é perpendicular à reta x − y = 0. c) tangente à curva y = x 3 − 3x que é paralela à reta 2x + 18y − 9 = 0. Questão 3 Ache a derivada indicada. d d a) (7x + 3) b) (8 − 5x ) dx dx d d (−4) d) (3x 2 − 2x + 1) c) dx dx d d p e) (8 − x 3 ) f) ( x) d x dx 1 d 2x + 3 g) D x h) x +1 d x 3x − 2 p 1 −x j) D x i) D x ( 3x + 5) x2 3 k) D x 1+x2 Questão 4 Nos Exercícios abaixo faça o seguinte: (a) Trace um esboço do gráfico da função; (b) Calcule f −′ (x 1 ) e f +′ (x 1 ) se existirem; (c) determine se f é contínua em x 1 ; (d) determine se f é derivável em x 1 . ¨ a) f (x ) =
x +2 −x − 6
se se
x ≤4 −4 < x
b) f (x ) = |x − 3|; x 1 = 3 ¨ −1 se x < 0 c) f (x ) = x − 1 se 0 ≤ x ¨ d) f (x ) =
x2 −x 2
se se
x ≤0 0<x
x 1 = −4
x1 = 0
x1 = 0
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Questão 5 Derive a função dada, aplicando as regras de derivação. a) f (x ) = 7x − 5
b) g (x ) = 1 − x − x 2
c) f (x ) = x 3 − 3x 2 + 5x − 2
d) f (x ) = 81 x 8 − x 4
e) F (x ) = x 2 + 3x + x12
f) g (x ) = x32 + x54
g) g (x ) = (2x 2 + 5)(4x − 1) h) f (x ) = (2x 4 − 1)(5x 3 + 6x ) i) G (y ) = (7 − 3y 2 )2 j) F (t ) = (t 3 − 2t + 1)(2t 2 + 3t ) Questão 6 Calcule a derivada indicada a) D x
[(x 2 − 3x
2y + 1 c) D y 3y + 4 5t e) D t 1 + 2t 2
x Dx x 2− 1 x + 2x + 1 d) D x 2 x3 − 2x + 1 y −8 f ) Dy y3+8
+ 2)(2x 3 + 1)] b)
Questão 7 Um objeto cai do repouso de acordo com a equação s = −16t 2 , onde s cm é a distância do objeto ao ponto de partida em t segundos e o sentido positivo é para cima. Se uma pedra cai de um edifício com 2560 cm de altura, ache (a) a velocidade instantânea da pedra 1s depois de iniciada a queda; (b) a velocidade instantânea da pedra 2s depois da queda; (c) quanto tempo leva para a pedra atingir o solo; (d) a velocidade instantânea da pedra quando ela atinge o solo. Questão 8 Uma pedra cai de uma altura de 64 m. Se s metros for a altura da pedra t segundos após ter iniciado a queda, então s = −16t 2 + 64. (a) Quanto tempo leva para a pedra atingir o solo? (b) Ache a velocidade instantânea da pedra quando ela atinge o solo. Questão 9 Uma bola de bilhar é atingida e movimenta-se em linha reta. Se s centímetros for a distância da bola de sua posição inicial após t segundos, então s = 100t 2 + 100t . Com que velocidade a bola atingirá a tabela da posição inicial que está 39 cm? Questão 10 Se a bola for impulsionada de tal forma que ela adquira uma velocidade inicial de 24cm/s ao descer um certo plano inclinado, então s = 24t +10t 2 , onde s é a distância da bola ao ponto inicial em t segundos e o sentido positivo é o de descida do plano inclinado. (a) Qual será a velocidade a velocidade instantânea da bola em t 1 segundos? (b) Quanto tempo levará para que a velocidade aumente para 48 cm/s ? Questão 11 Ache a derivada da função dada.
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a) f (x ) = 3 sen x
b) g (x ) = sen x + cos x
c) f (x ) = 2t cos t
d) f (x ) = 4x 2 cos x
e) h(x ) = 4 sen x cos x
f) f (x ) = x 2 sen x + 2x cos x
g) f (x ) = x 2 cos −2x sen x − 2 cos x h) f (x ) = 3x + tan x Questão 12 Ache a derivada da função dada. a) F (x ) = (x 2 + 4x − 5)4
b) f (t ) = (2t 4 − 7t 3 + 2t − 1)2
c) f (x ) = (x 2 + 4)−2
d) g (x ) = sen x 2
e) f (x ) = 4 cos 3x − 3 sen 4x f) G (x ) = sec2 x g) h(t ) = 31 sec3 2t − sec 2t
h) f (x ) = cos(3x 2 + 1)
(z 2 − 5)3 (z 2 + 4)2
j) g (t ) = sen 2 (3t 2 − 1)
i) f (z ) =
k) f (x ) = tan2 x 2 m) F (x ) = 4 cos( sen 3x )
3 sen 2y cos2 2y + 1 n) f (x ) = sen 2 (cos 2x )
l) f (y ) =
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