Universidade de Brasília Faculdade UnB Planaltina Curso: Ciências Naturais Disciplina: Cálculo 1 - 2013-1 Professor: José Eduardo Castilho
Aula 6: Funções Trigonométricas
1 Trigonometria Quando uma abelha encontra um campo de flores, ao retornar para a coméia ela deve passar a informação as demais abelhas. Para isto ela realiza uma dança, que traduzida passa duas informações. Uma delas é a direção, que pode ser traduzida pelo ângulo que a direção tem em relação ao sol. A segunda é a distância que o campo está da coméia.
Este exemplo mostra um tipo de problema que usamos o conceito de ângulo. O mesmo conceito foi usado por Eratóstenes, ( viveu entre 276 a.C. e 194 a.C) para medir a circunferência da terra (pesquise sobre o assunto). Consideremos uma circunferência de centro em (0,0) e raio um e um ponto P1 = (x 1 , y 1 ) sobre ela.
A distância de P1 a origem O é a mesma de P2 a origem O. O que diferencia os dois pontos é o ângulo formado entre a reta que liga o ponto a origem. (β para P1 e γ para P2 ). As coordenadas x 1 e y 1 dependem do valor do ângulo β , tanto que quando aumentamos o valor do ângulo para γ notamos que a coordenada x 1 passa para x 2 , diminuindo o valor e y 1 passa para y 2 aumentando o valor. Isto mostra que as Página 1 de 5
coordenadas estão relacionadas com o valor do ângulo. Esta relação é dada por duas funções, seno e cosseno. As coordenadas x 1 = cos β e x 2 cos γ, enquanto y 1 = sen β e y 2 sen γ. Um ângulo pode ser medido em: Graus: Um grau corresponde a
1 do círculo trigonométrico. 360
Grados: Um grado corresponde a
1 do círculo trigonométrico. 400
Radianos: O círculo trigonométrico mede 2π radianos, que representa o comprimento do círculo dividido pelo raio. Esta proporção permanece constante, para para qualquer círculo. Usaremos o radiano como medida de ângulo. Para alguns ângulos, temos o valor exato de seu seno e cosseno, como mostra a figura abaixo.
2 Função Seno A função f : R → R tal que f (x ) = sen x associa o valor de x , em radianos, com o valor do seno do π p ângulo correspondente. Ex. sen = 2. Algumas propriedades da função devem ser observadas: 4
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P.1 A imagem da função seno é o intervalo [−1, 1], isto é −1 ≤ sen x ≤ 1 para todo x real, como pode ser visto no círculo trigonométrico. P.2 A função é 2π-periódica, isto é, sen x = sen (x + 2π). P.3 A função é ímpar, isto é, sen (−x ) = − sen x Graficamente temos:
3 Função Cosseno A função f : R → R tal que f (x ) = cos x associa o valor de x , em radianos, com o valor do cosseno do π p ângulo correspondente. Ex. cos = 3. Algumas propriedades da função devem ser observadas: 6 P.1 A imagem da função cosseno é o intervalo [−1, 1], isto é −1 ≤ cos x ≤ 1 para todo x real, como pode ser visto no círculo trigonométrico. P.2 A função é 2π-periódica, isto é, cos x = cos(x + 2π). P.3 A função é par, isto é, cos(−x ) = cos x Graficamente temos:
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4 Função Tangente sen x = tan x é chamada de tangente de x . O valor da tangente de um cos x ângulo representa o valor da reta tangente ao círculo trigonométrico, em (1,0). A função f : R → R tal que f (x ) =
Algumas propriedades da função devem ser observadas: § ª π P.1 O domínio da função é D = x ∈ R | x = ̸ + k π, k ∈ Z , ou seja ela não é definida nos pontos onde 2 o cosseno se anula. P.2 A imagem da função cosseno é R, isto é −∞ ≤ tan x ≤ ∞ para todo x real, como pode ser visto no círculo trigonométrico. P.3 A função é π-periódica, isto é, tan x = tan(x + π). P.4 A função é ímpar, isto é, tan(−x ) = − tan x Graficamente temos:
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Relações Trigonométricas Apresentamos algumas relações trigonométricas, que envolve a função seno e cosseno. (R.1) sen 2 x + cos2 x = 1 (R.2) sen x = cos(x − π/2) (R.3) sen (a ± b ) = sen a cosb ± sen b cos a (R.4) cos(a ± b ) = cos a cosb ∓ sen a sen b Observe a inversão do sinal na relação (R.4).
5 Exercícios Questão 1 Esboce o gráfico das funções abaixo. Em cada caso analise a periodicidade da função. (a) f (x ) = sen (2x ) (b) f (x ) = 2 sen x (c) f (x ) = cos(x /2) (d) f (x ) = 2 + cos(x ) Questão 2 Usando as relações trigonométricas e os ângulos conhecidos, calcule:
π 12 5π (b) cos 12 7π (c) sen 12 π (d) tan 12 (a) sen
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