Universidade de Brasília Faculdade UnB Planaltina Curso: Ciências Naturais Disciplina: Cálculo 1 - 2013-1 Professor: José Eduardo Castilho
Aula 4: Máximos e Mínimos de Funções
1 Introdução Na Aula 3, foi apresentado um problema, que consistia achar o lado de um retângulo cuja a soma dos lados dava 400 e tivesse a maior área possível. O problema consistia em encontrar o ponto máximo de uma parábola com concavidade voltada para baixo. (vértice). Muitos problemas práticos podem ser formulados em termos do máximo ou mínimo de uma função real. Nesta aula iremos mostrar que as derivadas de uma função podem determinar o seu comportamento. Iniciemos com algumas definições básicas: Definição 1 (Ponto de Máximo Local) Dizemos que um ponto x 0 é um ponto de máximo local de uma função f , se existe um intervalo [a ,b ] contendo x 0 e f (x ) ≤ f (x 0 ) para todo x ∈ [a ,b ]. De forma análoga temos a definição de um ponto de mímimo local. Definição 2 (Ponto de Mínimo Local) Dizemos que um ponto x 0 é um ponto de mínimo local de uma função f , se existe um intervalo [a ,b ] contendo x 0 e f (x ) ≥ f (x 0 ) para todo x ∈ [a ,b ]. Observe, que estamos falando de valores num determinado intervalo, ou seja, um comportamento localizado. A figura abaixo mostra uma função com máximos é mínimos locais. x2 +3 x2 +3
(1)
Na equação (1) temos...
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Observe que cada ponto satisfaz a definição de máximo ou mínimo no intervalo em destaque. Se consideramos o intervalo apresentado no gráfico [0, 7] o valor máximo ocorre em M AX 1 e o mínimo em M I N 1 , neste caso chamamos estes valores de máximo absoluto e mínimo absoluto da função. Nem toda função possui um valor de máximo ou mínimo, por exemplo a função f (x ) = 1/x , Mas sobre certas condições podemos garantir que uma função tem máximo e mínimo no seu domínio. Basta que ela seja contínua e seu domínio seja um intervalo fechado. Para encontrar os valores de máximo e mínimo local, vamos apresentar alguns resultados que caracterizam estes pontos. Teorema 1 Seja f uma função derivável em x 0 , ponto de máximo (ou mínimo) local. Então f ′ (x 0 ) = 0. Para a demonstração, vamos supor que x 0 seja ponto de máximo. Tomando o valor de h e suficientemente pequeno, positivo ou negativo (ver figura abaixo), temos que f (x 0 + h) − f (x 0 ) ≤ 0.
Com isto segue que: f (x 0 + h) − f (x 0 ) h
¨
≥0 ≤0
se h < 0 se h > 0
Como a derivada existe em x 0 , as derivas laterais devem ser iguais. Por outro lado, f (x 0 + h) − f (x 0 ) ≥0 h→0− h f (x 0 + h) − f (x 0 ) f ′ (x 0 +) = lim ≤0 h→0+ h f ′ (x 0 −) =
lim
Logo f ′ (x 0 ) = 0. Devemos observar que a reciproca não é verdadeira, ou seja, f ′ (x 0 ) = 0, mas x 0 não é ponto de máximo ou mínimo. Como exemplo, vamos considerar a função f (x ) = x 3 no ponto x 0 = 0. Sua derivada é f ′ (x ) = 3x 2 , que se anula em x 0 . Porém x 0 = 0 não é ponto de máximo nem de mínimo (ver figura abaixo).
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Um ponto x 0 , onde f ′ (x 0 ) = 0 é o ponto onde a função se torna “ momentaneamente “ uma função constante. Estes pontos recebem um nome especial. Definição 3 Seja f uma função devivável em x 0 tal que f ′ (x 0 ) = 0, então dizemos que x 0 é um ponto crítico da função.
1.1 Teorema do Valor Médio O Teorema do Valor Médio tem uma interpretação geométrica interessante que merece ser analisada. Antes de enunciar o teorema, vamos considerar a função f que seja derivável no intervalo (a ,b ) e dois pontos sobre o gráfico (ver figura).
A inclinação da reta secante que passa por A e B , é dada por: m=
f (b ) − f (a ) b −a
A figura acima sugere que entre os pontos A e B deve haver um ponto C = (c , f (c )), sobre o gráfico, onde a reta tangente a curva seja paralela a reta secante A B . Sendo paralelas, a inclinação deve ser a mesma e vimos que a inclinação da reta tangente é dada por f ′ (c ), o que fornece o seguinte resultado: f (b ) − f (a ) = f ′ (c ) ⇒ f (b ) − f (a ) = f ′ (c )(b − a ) b −a No caso particular em que f (a ) = f (b ) temos que f ′ (c ) = 0. Este resultado é conhecido como Teorema de Rolle, que destacamos abaixo: Teorema 2 (Teorema de Rolle) Seja f uma função contínua num intervalo fechado [a ,b ], tal que f (a ) = f (b ) e que derivável em todos os pontos internos. Então existe um ponto c ∈ (a ,b ) onde a derivada se anula, f ′ (c ) = 0. A demonstração usa o fato de que a função é contínua em [a ,b ] o que garante a existência de um ponto de máximo ou mínimo no intervalo. Considerando que a derivada se anula num ponto de máximo ou mínimo, chegamos a resultado do teorema acima. Agora temos todos os elementos para enunciar o Teorema do Valor Médio.
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Teorema 3 (Teorema do Valor Médio) Seja f uma função contínua num intervalo fechado [a ,b ] e derivável em todos os pontos internos. Então existe um ponto c ∈ (a ,b ) tal que: f (b ) − f (a ) = f ′ (c )(b − a ) A demonstração desse teorema é feita, considerando a função F (x ) = f (x ) − f (a ) −
f (b ) − f (a ) (x − a ) b −a
e aplicando o resultado do Teorema de Rolle.
1.2 Funções Crescentes e Decrecentes Iniciamos com a definição formal de uma função crescente ou decrescente num intervalo dado. Definição 4 Uma função é crescente (decrescente) num intervalo [a ,b ], se para todo x 1 , x 2 ∈ [a ,b ], com x 1 < x 2 implica que f (x 1 ) < f (x 2 ). (f (x 1 ) > f (x 2 )) Uma das consequências do Teorema do Valor Médio é verificar se uma função f é crescente ou decrescente, por intermédio da sua derivada. Teorema 4 Seja f uma função contínua num intervalo fechado [a ,b ] e derivável em todos os pontos internos. Então f é crescente se f ′ (x ) > 0 ou decrescente se f ′ (x ) < 0, para todo x ∈ (a ,b ). Para a demonstração, vamos considerar os pontos x 1 , x 2 ∈ [a ,b ] e x 1 < x 2 . O Teorema do Valor Médio, aplicado no intervalo [x 1 , x 2 ], nos garante que existe um ponto c 1 ∈ (x 1 , x 2 ) tal que f (x 2 ) − f (x 1 ) = f ′ (c 1 )(x 2 − x 1 ) Se f ′ é positiva em (a ,b ) segue que f (x 2 ) − f (x 1 ) > 0 ⇒ f (x 2 ) > f (x 1 ) e com isto temos que a função é crescente. Se f ′ é negativa em (a ,b ) segue que f (x 2 ) − f (x 1 ) < 0 ⇒ f (x 2 ) < f (x 1 ) e com isto temos que a função é decrescente, o que completa a demonstração do teorema. Como exemplo, vamos considerar a função f (x ) = x 2 −1, cujo o gráfico é apresentado abaixo. A derivada da função é f ′ (x ) = 2x , que calculada para x = −1 nos dá f ′ (−1) = 2(−1) = −2. Neste caso a função é decrescente. É importante relembrar que a derivada no ponto corresponde ao coeficiente angular da reta tangente no ponto (ver figura). Para x = 1 temos que f ′ (1) = 2, mostrando que a função é crescente.
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2 Máximos e Mínimos Veremos agora como utilizar os resultados dos teoremas apresentados para saber se um ponto crítico é de máximo ou de mínimo local. Seja f uma função com um ponto crítico em x 0 e h > 0 um valor suficientemente pequeno. Como f ′ (x 0 ) = 0 temos três possíveis situações na vizinhança de x 0 . I - Ponto de Máximo Se f ′ (x 0 − h) > 0 e f ′ (x 0 + h) < 0, então temos a função sendo crescente a esquerda de x 0 e decrescente a direita de x 0 , o que caracteriza um ponto de máximo.
II - Ponto de Mínimo Se f ′ (x 0 − h) < 0 e f ′ (x 0 + h) > 0, então temos a função sendo decrescente a esquerda de x 0 e crescente a direita de x 0 , o que caracteriza um ponto de mínimo. III - Ponto de Inflexão Se f ′ (x 0 − h) e f ′ (x 0 + h), tem o mesmo sinal então temos que a a função tem o mesmo comportamento a direita e a esquerda de x 0 , o que caracteriza um ponto de inflexão.
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O procedimento descrito acima é chamado de teste da primeira derivada. O problema deste teste é a escolha do valor de h que seja suficientemente adequado. Um outro procedimento pode ser aplicado, usando a segunda derivada como teste. Se f ′′ (x 0 ) > 0 significa que f ′ é uma função crescente. Mas f ′ (x 0 ) = 0, então f ′ é negativa a esquerda de x 0 e positiva a direita de x 0 , o que caracteriza um ponto de mínimo. Observando a Figura 2 vemos que f ′′ (x 0 ) > 0 caracteriza que a função tem concavidade voltada para cima. Se f ′′ (x 0 ) < 0 significa que f ′ é uma função decrescente e com f ′ (x 0 ) = 0, então f ′ é positiva a esquerda de x 0 e negativa a direita de x 0 . Neste caso temos um ponto de mínimo. Observando a Figura 2 vemos que f ′′ (x 0 ) < 0 significa que a função tem concavidade voltada para baixo. Se f ′′ (x 0 ) = 0 significa que f ′ se comporta como uma função constante e não temos como classificar o ponto. Um exemplo Vamos considerar a função f (x ) = x 3 − 3x 2 + 3x − 1. O primeiro passo é encontrar os pontos críticos da função, ou seja, os pontos onde f ′ (x ) = 0. Derivando a função obtemos, f ′ (x ) = 3x 2 − 6x + 3, que igualando a zero temos uma equação do segundo grau. Calculando o delta, ∆ = b 2 − 4a c = (−6)2 − 4 · 3 · 3 = 36 − 36 = 0 Isto significa que a equação tem uma única solução, dada por x=
−b −(−6) = =1 2a 2·3
Logo x = 1 é um ponto crítico. Para classificá-lo, vamos usar o teste da segunda derivada, onde, f ′′ (x ) = 6x − 6 . Calculando em x = 1 temos que f ′′ (1) = 0 e o teste da segunda derivada falha. Vamos aplicar o Página 6 de 9
teste da primeira derivada, tomando h = 0.01, temos f ′ (1 − 0.01) = 6(0.99) − 6 = −0.06 < 0
f ′ (1 + 0.01) = 6(1.01) − 6 = 0.06 > 0
Neste caso estamos na situação representada na Figura 2 e portando x = 1 é ponto de mínimo local.
3 Regra de L’Hôpital No estudo de limites, encontramos casos em que a forma indeterminada, como o exemplo abaixo x 3 − 4x 2 + 4x − 1 x →1 x −1
lim
em que o numerador e denominador tendem a zero. Neste caso usamos a divisão de polinômios para encontrar a solução. Mas nem todos os casos teremos funções polinomiais, que permitem a divisão. No caso de outras funções usaremos um resultado que provem da generalização do Teorema do Valor Médio. Teorema 5 Sejam f e g funções contínuas num intervalo [a ,b ] e deriváveis no intervalo (a ,b ). Além disso, suponhamos que g ′ (x ) ̸= 0 e g (b ) − g (a ) ̸= 0. Existe, então um ponto c ∈ (a ,b ) tal questao f (b ) − f (a ) f ′ (c ) = ′ g (b ) − g (a ) g (c ) Para a demonstração consideremos a função F (x ) = f (x ) − f (a ) −
f (b ) − f (a ) (g (x ) − g (a )) g (b ) − g (a )
A função F satisfaz o Teorema de Rolle, pois F (a ) = F (b ) = 0, então existe c ∈ (a ,b ), tal que F ′ (c ) = 0. Dai segue a relação do teorema acima. Com isto temos condições de enunciar a Regra de L’Hôpital. Teorema 6 (Regra de L’Hôpital) Se f e g são funções contínuas num ponto x = a , no qual existe uma vizinhança tal que g ′ (x ) ̸= 0, se f (a ) = g (a ) = 0 então lim
x →a
f (x ) f ′ (x ) = lim ′ g (x ) x →a g (x )
desde que o segundo limite exista. A demonstração segue do teorema anterior, para cada x ̸= a temos f (x ) − f (a ) f ′ (c ) f (x ) = = ′ g (x g (x ) − g (a ) g (c ) Quando fazemos x → a segue que c → a resultado lim
x t oa
f (x ) f ′ (c ) = lim ′ g (x ) c →a g (c )
Aplicando a Regra de L’Hôpital no exemplo acima temos x 3 − 4x 2 + 4x − 1 = lim 3x 2 − 8x + 4 = −1 x →1 x →1 x −1
lim
A mesma regra pode ser aplicada, quando a indeterminação for do tipo abaixo. 3x 2 − 4x 6x − 4 6 6 3 lim = lim = lim = = 2 x →∞ 5x + 3 x →∞ 10x x →∞ 10 10 5
±∞ , ±∞
como no caso do limite
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4 Exercícios Questão 1 Ache os pontos críticos de função dada e classifique em máximo ou mínimo. (a) g (x ) = 2x 3 − 2x 2 − 16x + 1 6
1
(c) g (x ) = x 5 − 12x 5 x −3 x +7 x +1 (g) f (x ) = 2 x − 5x + 4 (e) h(x ) =
(b) f (x ) = x 4 + 4x 3 − 2x 2 − 12x 2
(d) f (t ) = (t 2 − 4) 3 (f) f (x ) =
x x2 −9
(h) f (x ) = sen 2 3x
Questão 2 Resolva os problemas abaixo. (a) Ache as dimensões do maior jardim retangular que pode ser fechado com 100m de cerca. (b) Se um dos lados de um campo retangular for um rio, ache as dimensões do maior campo retangular que pode ser fechado com 240m de cerca para os outros três lados. (c) Ache o número no intervalo [0, 1], tal que a diferença entre o número e seu quadrado seja um máximo. (d) Ache o número no intervalo [ 13 , 2] tal que a soma do número com seu recíproco seja um máximo. (e) Ache a área do maior retângulo tendo dois vértices no eixo x e os outros dois vértices sobre a parábola y = 9 − x 2 acima do eixo x . (f) Ache a área do maior retângulo que possa ser inscrito numa circunferência dada de raio r . Questão 3 Nos exercícios abaixo faça: (a) ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira; (b) determine os valores de x nos quais os extremos ralativos ocorrem; (c) determine os intervalos nos quais f é crescente; (d) determine os intervalos nos quais f é decrescente; (e) faça um esboço do gráfico. (a) f (x ) = x 2 − 4x − 1
(b) f (x ) = x 3 − x 2 − x
(c) f (x ) = 2x 3 − 9x 2 + 2
(d) f (x ) = 4 sen 21 x p (f) f (x ) = x − p1x
(e) f (x ) = 41 x 4 − x 3 + x 2 (g) f (x ) =
x −2 x +3
(i) f (x ) = 2x +
1 2x
1 x2 p (i). f (x ) = 2x 3 − x (h) f (x ) = x +
Questão 4 Faça um esboço do gráfico de uma função f que passa pelos pontos (c , f (c )), (d , f (d )), e (e , f (e )), se as condições dadas forem satisfeitas. Trace também um seguimento de reta tangente em cada um desses pontos, se houver uma reta tangente. Suponha que c < d < e e que f seja contínua em algum intervalo contendo c , d , e e . (a) f ′ (c ) = 0; f ′ (d ) = 1; f ′′ (d ) = 0; f ′ (e ) = 0; f ′′ (x ) > 0 se x < d ; f ′′ (x ) < 0 se x > d . Página 8 de 9
(b) f ′ (c ) = 0; f ′ (d ) = −1; f ′′ (d ) = 0; f ′ (e ) = 0; f ′′ (e ) = 0; f ′′ (x ) < 0 se x < d ; f ′′ (x ) > 0 se d < x < e ; f ′′ (x ) < 0 se x > e . (c) f ′ (c ) = 0; f ′′ (c ) = 0; f ′ (d ) = −1; f ′′ (d ) = 0; f ′ (e ) = 0; f ′′ (x ) > 0 se x < c ; f ′′ (x ) < 0 se c < x < d ; f ′′ (x ) > 0 se x > d . (d) f ′ (c ) = 0; lim− f ′ (x ) = +∞; lim+ f ′ (x ) = +∞; f ′ (e ) = 0; f ′′ (x ) > 0 se x < d ; f ′′ (x ) < 0 se x > d . x →d
x →d
(e) f ′ (c ) = 0; lim− f ′ (x ) = −∞; lim+ f ′ (x ) = −∞; f ′ (e ) = 0; f ′′ (x ) < 0 se x < d ; f ′′ (x ) > 0 se x > d . x →d
x →d
(f) f (c ) = 0; f ′ (d ) = −1; f ′′ (d ) = 0; f ′ (e ) não existe; f ′′ (x ) < 0 se x < d ; f ′′ (x ) > 0 se d < x < e ; f ′′ (x ) < 0 se x > e . (g) f (c ) = 0; f ′′ (c ) = 0; f ′ (d ) não existe; f ′ (e ) = 0; f ′′ (x ) < 0 se x < c ; f ′′ (x ) > 0 se c < x < d ; f ′′ (x ) > 0 se x > d . Questão 5 Calcule os limites, usando a Regra de L’Hôpital. 2t + 1 t →+∞ 5t − 2 sen (3x ) (c) lim x →0 x cos(x ) (e) lim x →π/2 sen (x − π/2)
(a) lim
2y 2 − 3y (b) lim y →+∞ y +1 p x −2 (d) lim x →4 x − 4 p 2w + 3 (f) lim w →+∞ w + 5
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