La Magia de la Geometría

la magia de la

geometrĂ­a

Juliana Ceballos Daniel Carrasco Laura Schlesinger Universidad de los Andes 2017-02

SÓLIDOS PLATÓNICOS PARES DE DUALES Los poliedrosse nombran y caracterizan por su número de aristas y número de caras. Al hablar de pareas duales se hace referencia al opuesto de cada poliedro donde si, en el primero hay 6 aristas y 8 caras, en el segundo hay 6 caras y 8 aristas. Se forman entonces las siguientes parejas:

FORMULA: CARAS + VÉRTICES = ARISTAS

FÓRMULA

DIBUJO

NOMBRE CARAS VÉRTICES ARISTAS

(3,3)

Tetraedro

4

4

6

(4,3)

Hexaedro

6

8

12

(3,4)

Octaedro

8

6

12

(5,3)

Dodecaedro

12

20

30

(3,5)

Icosaedro

20

12

30

DUALES

TRANSFORMACIONES DE SÓLIDOS TRUNCACIONES Y ESTELACIONES

SÓLIDOS ARQUIMÉDICOS SEMIREGULARES TRUNCACIÓN MÁXIMA:

(4,3) 6 8

(3,4) 6 8

8 6

8 6

(3,5)

t(3,5)

20 12

20 12

PROCESO DE TRANSFORMACIÓN DE SÓLIDOS ADICIÓN SUSTRACCIÓN ELONGACIÓN ACORTAMIENTOS DISTORCIÓN (+) DISTORCIÓN (-) TRUNCANCIÓN ESTELACIÓN

SÓLIDOS CATALANES ESTELACIÓN

GRANDES CÍRCULOS POLIEDROS Y CIRCUNFERENCIAS

Aquí se formaron dos poliedros a partir de circunferencias que, al cruzarse marcan los lados y las aristas de cada uno.

PROPORCIONES número áureo y naturaleza

El girasol, como muchos otros elementos de la naturaleza, tiene un centro repartido de acuerdo a las proporciones áureas. Al poner sobre él el rectángulo áureo, o el espiral de oro, y rotarlo varias veces con el mismo grado, se consiguen formas dictadas por la sucesión de Fibonacci.

redes 2 y 3 dimensiones

2D

3D

LAs redes de dos dimensiones se pueden manipular al aplicar alguna de las siguientes transformaciones (se pueden aplicar de manera simultรกnea): transformaciรณn, cortar y pegar, o adiciรณn. En este caso desarrollamos un rompecabezas cuya pieza original fue manipulada para crear una figura que se convierte en la ficha de toda la composiciรณn, y un origami cuya pieza principal se fue transformando hasta llegar al rehilete del centro del tablero ( desde los bordes hacia el centro se muestra el proceso de transformaciรณn).

MANDALAS centralidad y linealidad

Las mandalas comienzan en un centro, representando la totalidad y el equilibrio. En este caso se tomó un centro que creció con círculos que fueron agrandándose a mediada que se alejaban del origen y decontruyéndose en la dirección contraria para crear este rompecabezas.

FRACTALES EL CONCEPTO DE DIMENSIONES

Hace referencia a un objeto / patrón cuya estructura original se repite en diferentes escalas. Su característica principal es que su repetición es infinita hacia una mayor o menor escala; y, como las promociones áureas, se pueden encontrar frecuentemente en la naturaleza. Aquí se muestran dos ejemplos:

SUPERFICIES paraboloide hiperbólica

Al trabajar las superficies anticlásticas se situaron los centros de curvatura a lados opuestos del elemento. Aquí se tomaron 5 paraboloides hiperbólicos con los bordes rectos y a modo de pentágono se juntaron para crear una cubierta en tres dimensiones.

Móviles equilibrio y gravedad

Al aplicar los principios de distribución de centros de gravedad y estática, los alcances de la geometría pueden llegar a fines estéticos. En este caso, se construyeron 2 móviles ( 1 con piedras y otro con barcos de papel )

sistemas dinámicos geometría en movimiento

La geometría tiene aplicaciones desde los simples mecanismos del hogar, como el colgador de ropa, hasta las estructuras metálicas más complejas en grandes edificios. El principio de los movimientos lineales con tijeras concéntricas se muestra en este ejercicio:

estructuras dinámicas redes de tijeras rectas

Al pasar esta aplicación a tres dimensiones se pueden obtener estructuras más complejas que crezcan o se encojan: Siguiendo los mismos principios de las tijeras concéntricas se pueden ahora utilizar tierras rectas para crear polígonos regulares, por ejemplo, que se abran y cierren dependiendo del punto a lo largo de cada elemento donde se encuentre la unión móvil, y el ángulo con que se defina para todos los elementos.

polĂ­gonos desplegables poliedros

TENSEGRITY GEOMETRร AS COMPLEJAS

Se utliza con principio la tensiรณn de los elementos para formar composiciรณn entre tensores y barras donde se forman estructuras estables y las barras nunca se tocan.

TENSEGRITY GEOMETRÍAS COMPLEJAS