Didáctica de la aritmética colaboración

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Área de Educación-mención Matemática

DIDÁCTICA DE LA

ARITMÉTICA

Compilador

Ángel J. Míguez Á.

2 005

Míguez, Ángel (Compilador) Selección de Lecturas - Didáctica de la Aritmética.

Universidad Nacional Abierta. 2 005.

1.Educación Matemática. 2. Didáctica de la Matemática. 3. Aritmética elemental - enseñanza

Universidad Nacional Abierta Apartado Postal N° 2096 Caracas 1010 A, Carmelitas, Venezuela

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DIDÁCTICA DE LA ARITMÉTICA

ÍNDICE pág.

Presentación ......................................................................................................... 4 Lectura 1:

Patrones de Lynn A. Steen ............................................................. 5

Lectura 2:

Cantidad de James T. Fey .............................................................. 13

Lectura 3:

Actitudes, perseverancia y rendimiento en matemáticas: la calificación de las diferencias de raza y de sexo de George M. A. Stanic y Laurie E. Hart .............................................................. 45

Lectura 4:

Dimensiones sociales y críticas de la equidad en la educación matemática de Walter G. Secada .................................................. 63

Lectura 5:

El papel de la resolución de problemas en un contexto de innovación curricular de Paulo Abrantes ........................................ 82

Lectura 6:

El diseño de entornos de aprendizaje constructivista de Manuel Esteban ................................................................................... 94

Lectura 7:

Los entornos de aprendizaje abiertos de Manuel Esteban ......... 107

Lectura 8:

El aprendizaje colaborativo a través de la red: límites y posibilidades de Begoña Gros .......................................................... 112

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Didáctica de la Aritmética- Selección de Lecturas

Presentación El curso Didáctica de la Aritmética es el curso que introduce al estudiante de la carrera de Educación mención Matemática al estudio y análisis de los métodos a ser usados para enseñar Matemática con miras a que sus futuros alumnos aprendan esta disciplina.

Hemos escogido un conjunto de lecturas que esperamos propicien en el lector la reflexión sobre la enseñanza, el aprendizaje y la evaluación de la matemática en general y de la aritmética en particular.

Algunos de los tópicos abordados en las lecturas no se agotan en esta asignatura, sino que se irán desarrollando y complementando con el desarrollo de las otras asignaturas que cursaras en la carrera.

Recomendamos el análisis de cada una, el uso de la técnica del subrayado para resaltar las ideas clave, la escritura de los análisis realizados para ir cotejando la maduración en el pensamiento pedagógico que se desarrollará a lo largo de este segundo tramo de la carrera.

Recuerde además lo que ya hemos señalado en otras ocasiones, no se puede abordar en un curso, todos los conocimientos, destrezas y habilidades que deseamos tenga un docente. Esperamos que estas lecturas maduradas y discutidas te aproximen al ideal del docente de matemática que se aspira formar.

Ángel J. Míguez Á.

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Lectura 1

Patrones Lynn A. Steen Tomado de L. Steen (comp.) La Enseñanza Agradable de las Matemáticas. pp. 7-16. México: Limusa. 1 999 "Sólo vio más allá que el resto de nosotros." La persona aludida en esta cita, el especialista en cibernética Norbert Wiener, es uno de los muchos científicos excepcionales que rompieron las cadenas de la tradición a fin de crear dominios de interés completamente nuevos para los matemáticos. Ver y revelar patrones ocultos es lo que mejor hacen los matemáticos. Cada descubrimiento importante abre nuevas áreas a las que se puede estudiar más a fondo. Tan sólo en el siglo pasado, el número de disciplinas matemáticas aumentó de manera exponencial, algunos ejemplos son las ideas de Georg Cantor acerca de los conjuntos transfinitos, las de Sonja Kovalevsky sobre las ecuaciones diferenciales, las de Alan Turing acerca del cálculo, las de Emmy Noether sobre el álgebra abstracta y, más recientemente, las de Benoit Mandelbrot acerca de los fractales.

Para el común de la gente estos nuevos dominios de las matemáticas son terra incognita.

La matemática, desde el punto de vista común, es una disciplina estática basada en fórmulas aprendidas en las asignaturas escolares de aritmética, geometría, álgebra y cálculo. Pero fuera de esta perspectiva, las matemáticas continúan creciendo con rapidez, incursionando en nuevos campos y generando nuevas aplicaciones. La pauta de este crecimiento no son los cálculos ni las fórmulas sino una búsqueda abierta de patrones.

La matemática se ha descrito de manera tradicional como la ciencia del número y la forma. El énfasis de los maestros en la aritmética y la geometría está profundamente arraigado en esta perspectiva secular. Pero como el territorio explorado por los matemáticos se ha ampliado a la teoría de grupos y la estadística, a la optimización y la teoría del control, los límites históricos de las matemáticas casi han desaparecido. Tam-

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bién lo han hecho los límites de sus aplicaciones: al dejar de ser el lenguaje exclusivo de la física y la ingeniería, las matemáticas son ahora un instrumento esencial de las actividades bancarias y manufactureras, de las ciencias sociales y la medicina. Cuando se contemplan en este contexto más amplio, vemos que las matemáticas no tratan tan sólo de números y formas sino de patrones y relaciones de orden de todas clases. El número y la forma, aritmética y geometría, no son sino dos de los múltiples territorios en que trabajan los matemáticos. En realidad, los matemáticos activos investigan patrones dondequiera que surjan.

Gracias a las gráficas de computadora, gran parte de la investigación de patrones realizada por matemáticos se encuentra dirigida ahora por lo que uno puede ver realmente con los ojos, en tanto que los gigantes matemáticos del siglo XIX, como Gauss y Poincaré, tuvieron que depender más de lo que veían con los ojos de la mente. "Veo" siempre ha tenido dos significados distintos: percibir con la vista y entender con la mente.

Durante siglos la mente ha dominado a la vista en la jerarquía de la práctica matemática; hoy se está restableciendo el equilibrio conforme los matemáticos encuentran nuevas formas de ver patrones, tanto con la vista como con la mente.

El cambio en la práctica de las matemáticas obliga a reexaminar la educación matemática. No sólo las computadoras, sino también las nuevas aplicaciones y las nuevas teorías, han ampliado de manera significativa el papel de esta disciplina en las ciencias, el mundo de los negocios y la tecnología. Los estudiantes que vivirán y trabajarán utilizando computadoras como herramientas de rutina necesitan aprender matemáticas diferentes a las de sus progenitores. Las prácticas escolares comunes, basadas en tradiciones con varios siglos de antigüedad, sencillamente no pueden preparar de manera adecuada a los estudiantes para las necesidades matemáticas del siglo XXI. Las deficiencias en el estado actual de la educación matemática también proporcionan poderosas razones para buscar el cambio. De hecho, puesto que los nuevos avances se construyen partiendo de principios fundamentales, sería conveniente como con frecuencia sugieren diversos observadores, enfocarse primero en devolver a los fundamentos consagrados por el tiempo su vigor original, antes de abordar reformas basadas en los cambios ocurridos en la práctica contemporánea de las matemáticas. El apoyo público a sólidos planes de estudio básicos refuerza la sabiduría del pasado, que las matemáticas escolares tradicionales, si se enseñan con especial cuidado y son bien aprendidas, proporcionan una sólida preparación tanto para el mundo laboral como para los estudios avanzados de los ¿ampos basados en las matemáticas.

La cuestión clave de la educación matemática no es si deben enseñarse los fundamentos sino cuáles fundamentos enseñar y cómo enseñarlos. Los cambios en la práctica de las matemáticas alteran el equilibrio de las prioridades entre los diversos temas que son importantes para la numeralia o el dominio de los números. Los cambios en la sociedad, en la tecnología, en las escuelas, entre otros, tendrán un efecto significativo en lo que será posible hacer en las matemáticas escolares del próximo siglo. Todos estos cambios afectarán los fundamentos de las matemáticas escolares.

Para elaborar planes de estudios de matemáticas nuevos y eficaces debe intentarse prever las necesidades matemáticas de los estudiantes del mañana. Es la práctica presente y futura de las matemáticas en el trabajo, en la ciencia, en la investigación, la que deberá conformar la educación matemática. A fin de elaborar planes de estudio de ma-

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temáticas eficaces para el futuro, debe atenderse a los patrones en las matemáticas de hoy para proyectar, lo mejor que podamos, qué es en realidad fundamental y qué no lo es.

MATEMÁTICAS FUNDAMENTALES La tradición escolar acierta en que la aritmética, la medición, el álgebra y ciertas nociones de geometría representan los fundamentos de las matemáticas. Pero hay mucho más en el sistema toral de las matemáticas, ideas profundas que alimentan el crecimiento de las ramas de la matemática. Uno puede pensar en estructuras matemáticas específicas: • Números

• Formas

• Algoritmos

• Funciones

• Razones

• Datos

o atributos: • Lineal

• Aleatorio

• Periódico

• Máximo

• Simétrico

• Aproximado

• Continuo

• Uniforme

o acciones: • Representar

• Construir un modelo

• Controlar

• Experimentar

• Demostrar

• Clasificar

• Descubrir

• Visualizar

• Aplicar

• Calcular

o abstracciones: • Símbolos

• Equivalencia

• Infinito

• Cambio

• Optimización

• Semejanza

• Lógica

• Recursión

o actitudes; • Preguntarse

• Belleza

• Querer decir

• Realidad

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o comportamientos: • Movimiento

• Estabilidad

• Caos

• Convergencia

• Resonancia

• Bifurcación

• Iteración

• Oscilación

o dicotomías: • Discreto vs. continuo

• Estocástico vs. determinista

• Finito vs. infinito

• Exacto vs. Aproximado

• Algorítmico vs. existencias Estas diferentes perspectivas ilustran la complejidad de las estructuras que sostienen a la matemática. Dentro de cada perspectiva pueden identificarse varios hilos conductores que poseen en sí mismos la facultad de desarrollar una idea matemática significativa partiendo de intuiciones informales de la niñez temprana, continuando después en la escuela y la universidad hasta llegar a la investigación científica o matemática. Una sólida educación en las ciencias matemáticas requiere encontrarse con casi todas estas perspectivas e ideas.

En las matemáticas de las escuelas tradicionales se recoge un número muy reducido de hilos conductores (por ejemplo, aritmética, geometría, álgebra) que se organizan en una disposición horizontal para formar el plan de estudios: primero aritmética, luego álgebra elemental, luego geometría, luego más álgebra y por último, como si fuera la culminación del saber matemático, el cálculo diferencial e integral. Este enfoque estratificado de la educación matemática en realidad impide el desarrollo informal de la intuición a lo largo de las múltiples raíces de las matemáticas. Además, refuerza la tendencia a diseñar cada curso para satisfacer ante todo los prerrequisitos del siguiente, haciendo que el estudio de las matemáticas sea en gran medida un ejercicio de satisfacción postergada. Para ayudar a los estudiantes a ver con claridad en su propio futuro matemático, es necesario elaborar planes de estudio con una mayor continuidad vertical, a fin de conectar las raíces de la matemática con las ramas de la matemática en la experiencia educativa de los niños.

Las matemáticas escolares suelen verse como una tubería para los recursos humanos que fluyen desde las experiencias de la infancia hasta las carreras científicas. Los niveles de los planes de estudio de matemáticas corresponden a secciones de tubos cada vez más angostos a través de los cuales deben pasar todos los estudiantes si quieren avanzar en su educación matemática y científica. Cualquier impedimento para aprender, los cuales son abundantes, restringe el flujo en la tubería completa. Como el colesterol en la sangre, las matemáticas pueden obstruir las arterias educativas de una nación.

En contraste, si los planes de estudio de matemáticas incluyeran diversos hilos conductores paralelos, cada uno apoyado en las experiencias infantiles adecuadas, el flujo de

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recursos humanos se asemejaría más al movimiento de nutrientes en las raíces de un robusto árbol, o al caudaloso flujo de agua de una vasta vertiente, que a las paredes cada vez más estrechas de una arteria o tubo que se cierra. Diferentes aspectos de la experiencia matemática atraerán a niños con diferentes intereses y talentos, los cuales se nutrirán con ideas desafiantes que estimulan la imaginación y fomentan la exploración. El efecto colectivo será crear entre los niños una comprensión profunda y diversificada de varias raíces diferentes de la matemática.

CINCO EJEMPLOS En el presente volumen se ofrecen cinco ejemplos del poder creador de las ideas matemáticas profundas: dimensión, cantidad, incertidumbre, forma y cambio. En cada capítulo se explora una rica variedad de patrones que pueden presentarse a los niños en varias etapas de la escuela, en particular en las edades más tempranas, cuando la curiosidad abierta se mantiene en un nivel elevado. Quienes elaboren planes de estudio encontrarán en estos ensayos muchas opciones nuevas y valiosas para las matemáticas escolares. Quienes participen en el establecimiento de políticas educativas verán en estos ensayos ejemplos de nuevas normas de excelencia. Y cualquier padre de familia encontrará en ellos numerosos ejemplos de cuestiones matemáticas importantes y eficaces que podrían estimular la imaginación de sus hijos.

Cada capítulo fue elaborado por un prestigiado académico que explica en lenguaje cotidiano la manera en que ideas fundamentales con raíces profundas en las ciencias matemáticas podrían florecer en las escuelas del futuro. Aunque sin restringiese por detalles particulares de los planes de estudio actuales, cada ensayo se dedica con fidelidad al desarrollo de ideas matemáticas desde la niñez hasta la edad madura. Al expresar estos hilos conductores muy diferentes del pensamiento matemático, los autores ilustran prototipos de cómo deberían desarrollarse las ideas matemáticas en los menores.

En contraste con gran parte de las matemáticas escolares actuales, estos hilos conductores están pletóricos de acción: verter agua para comparar volúmenes, jugar con péndulos para explorar la dinámica, contar colores de golosinas para entender la variación, construir calidoscopios para explorar la simetría. Diversos aspectos de la matemática pueden aprenderse informalmente por medio de tales actividades mucho antes de que los niños lleguen al punto de poder comprender fórmulas algebraicas. Experiencias tempranas con patrones tales como el volumen, la semejanza, el tamaño y la aleatoriedad preparan a los estudiantes tanto para las investigaciones científicas como para las matemáticas más formales y con mayor precisión lógica. Así, cuando en el salón de clases se realice una demostración rigurosa años más tarde, el estudiante que se haya beneficiado de las experiencias matemáticas informales adquiridas mucho tiempo atrás podrán decir con sincero placer: "Ahora veo por qué eso es cierto."

CONEXIONES Los ensayos de este volumen fueron escritos por cinco autores diferentes sobre cinco temas distintos. A pesar de las diferencias en los temas tratados, el estilo y el enfoque, estos ensayos tienen en común el linaje de las matemáticas: todos se relacionan de múltiples maneras con la familia de las ciencias matemáticas. En consecuencia, no debe sorprender que los ensayos tengan múltiples interconexiones, tanto en su estructura íntima como incluso en ilustraciones particulares. Algunos ejemplos:

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Medición es un concepto tratado repetidamente en estos ensayos. La experiencia con cantidades geométricas (longitud, área, volumen), con cantidades aritméticas (tamaño, orden, etiquetas), con la variación aleatoria (perinolas, lanzamiento de monedas, calificaciones SAT [Scholastic Aptitude Test, Prueba de Aptitudes Escolares]), y con variables dinámicas (discretas, continuas y caóticas) plantean en conjunto retos especiales para responder a una pregunta muy infantil: "¿Qué tan grande es?" A partir de numerosos ejemplos uno ve que esta pregunta es fundamental: es a la vez simple pero sutil, elemental pero difícil. Los estudiantes que crezcan reconociendo la complejidad de la medición quizás tengan menos probabilidades de aceptar incondicionalmente muchos de los usos erróneos comunes de los números y las estadísticas. Aprender cómo medir es el principio de la numeralia".

Simetría es otro concepto profundo de la matemática que aparece una y otra vez, tanto en estos ensayos como en todas las partes de la matemática. En ocasiones se trata de la simetría del todo, tal como el hipercubo (un cubo de cuatro dimensiones), cuyas simetrías son tan numerosas que es difícil contarlas en su totalidad. (Pero con la guía adecuada, los niños pequeños pueden hacerlo usando un sencillo modelo de guisantes y palillos.) Otras veces es la simetría de las partes, como en el crecimiento de objetos naturales a partir de patrones moleculares o celulares que se repiten. En otros casos más es la simetría rota, como en la combadura de una viga cilíndrica o el crecimiento de un huevo fertilizado hasta llegar a un animal adulto (ligeramente) asimétrico. A diferencia de la medición, a la simetría rara vez se le presta gran atención en la escuela en cualquier nivel, a pesar de que es igualmente fundamental como modelo para explicar características de fenómenos tan diversos como las fuerzas básicas de la naturaleza, la estructura de cristales y el crecimiento de organismos. Aprender a reconocer la simetría constituye un entrenamiento para el ojo matemático.

La Representación Visual se presenta en muchos ejemplos de este volumen y es una de las áreas de crecimiento más acelerado en la investigación matemática y científica. El primer paso en el análisis de datos es la presentación visual de los datos para encontrar patrones ocultos. Gráficas de varios tipos ofrecen una representación visual de relaciones y funciones; se usan ampliamente en las ciencias y la industria para mostrar el comportamiento de una variable (por ejemplo, las ventas) que es una función de otra (por ejemplo, la publicidad). Durante siglos artistas y cartógrafos han usado recursos geométricos como la proyección para representar escenas tridimensionales en un lienzo o una hoja de papel bidimensionales. En la actualidad las gráficas de computadora automatizan estos procesos y nos permiten explorar también las proyecciones de formas en el espacio de dimensiones superiores. Al aprender a representar los patrones matemáticos se incorpora el don de la vista como un aliado invaluable de la educación matemática.

Los Algoritmos son prescripciones para realizar cálculos que ocurren en todos los rincones de la matemática. Un procedimiento iterativo común para hacer proyecciones de¡ crecimiento de una población revela la manera en que eventos ordenados simples pueden llevar a una diversidad de comportamientos: explosión, declinación, repetición y caos. La exploración de patrones combinatorios en las formas geométricas permite que los estudiantes proyecten estructuras geométricas en dimensiones superiores para las que no es posible construir modelos reales. Incluso los algoritmos aritméticos comunes de la escuela elemental asumen una nueva dimensión cuando se contemplan desde la

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perspectiva de las matemáticas contemporáneas: en lugar de insistir en el dominio de algoritmos específicos que ahora efectúan principalmente las calculadoras o las computadoras, las matemáticas escolares se pueden enfocar más bien en los atributos de carácter más fundamentales de los algoritmos (por ejemplo, rapidez, eficiencia, sensibilidad), que son esenciales para el uso inteligente de las matemáticas en la era de la computadora. La cultura matemática contemporánea se construye aprendiendo a pensar algorítmicamente.

Muchos otros temas colaterales se presentan en repetidas ocasiones en este volumen, incluyendo los vínculos de las matemáticas con las ciencias, la clasificación como instrumento de comprensión, las ingerencias a partir de axiomas y datos y, de suma importancia, el papel de la exploración en el proceso aprendizaje de las matemáticas. Las conexiones confieren poder a la matemática y contribuyen a determinar lo que es fundamental. Desde el punto de vista pedagógico, las conexiones permiten el desarrollo de intuiciones profundas en un hilo conductor que se ramificarán en otros, Múltiples hilos conductores enlazados por sólidas conexiones internas pueden desarrollar capacidades matemáticas en los estudiantes con una amplia variedad de inclinaciones y aptitudes.

AMPLIACIÓN DE PERSPECTIVAS Newton atribuyó su extraordinaria visión al crear el cálculo diferencial e integral al trabajo acumulado de sus predecesores: "Si he visto más lejos que otros, es porque me apoyé en los hombros de gigantes." Quienes elaboren planes de estudio de matemáticas para el siglo XXI necesitarán contar con cualidades visionarias similares.

Desde la época de Newton, la matemática no había sufrido cambios tan profundos como en años recientes. Nuevos conceptos, instrumentos, aplicaciones y métodos, derivados en gran parte de la introducción de la computadora, han transformado radicalmente la naturaleza y práctica de la matemática. Como el telescopio de la era de Galileo que permitió la revolución newtoniana, la computadora actual cuestiona los puntos de vista tradicionales y obliga a hacer la revisión de valores celosamente conservados. Como lo hizo hace tres siglos en la transición de las demostraciones euclidianas al análisis newtoniano, la matemática pasa una vez más por una reorientación fundamental de los paradigmas sobre procedimientos.

Abundan los ejemplos de¡ cambio fundamental en los trabajos publicados de investigaciones matemáticas y en las aplicaciones de los métodos matemáticos. Se dan muchos en los ensayos de este volumen: • La incertidumbre no es un hecho fortuito, ya que en última instancia surge la regularidad.

• Los fenómenos deterministas con frecuencia muestran un comportamiento aleatorio.

• La dimensionalidad no es una propiedad exclusiva del espacio sino también un medio para ordenar el conocimiento.

• La repetición puede ser la fuente de precisión, simetría o caos.

• La representación visual da lugar a intuiciones profundas que con frecuencia se mantienen ocultas en los enfoques estrictamente analíticos.

• Diversos patrones de cambio muestran una regularidad subyacente significativa.

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Al examinar varios hilos conductores diferentes de la matemática se amplía nuestra perspectiva de los rasgos comunes y las ideas dominantes. Los conceptos recurrentes (por ejemplo, número, función. algoritmo) llaman la atención hacia lo que debe saberse a fin de comprender la matemática, las acciones comunes (por ejemplo. representar, descubrir, demostrar) revelan capacidades que deben desarrollarse para hacer matemáticas.

En conjunto, los conceptos y las acciones son, respectivamente. los sustantivos Y los verbos del lenguaje de la matemática, Los humanos utilizan el lenguaje de la matemática para describir patrones. La matemática es una ciencia exploratoria que busca comprender cualquier tipo de patrón, patrones que ocurren en la naturaleza, patrones inventados por la mente humana e incluso patrones derivados de otros patrones. Para crecer matemáticamente, los niños deben exponerse a una rica variedad de patrones apropiados a sus propias vidas a través de los cuales puedan ver la variedad, la regularidad y las conexiones internas.

Los ensayos de este volumen ofrecen cinco estudios de casos que ejemplifican cómo puede lograrse este objetivo. Otros autores hubieran podido describir fácilmente otros cinco o diez ejemplos diferentes. Los libros y artículos enlistados a continuación cuentan con ejemplos adicionales de ricas ideas matemáticas. Lo que importa en el estudio de la matemática no es tanto cuáles son los hilos conductores particulares que se exploran, sino la presencia de estos hilos conductores de ejemplos significativos con la variedad y profundidad suficientes para revelar patrones. Al estimular a los estudiantes a explorar patrones que han demostrado su poder y significación les ofrecemos hombros anchos sobre los cuales verán más lejos que nosotros.

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Lectura 2

Cantidad James T. Fey Tomado de L. Steen (comp.) La Enseñanza Agradable de las Matemáticas. pp. 67-102. México: Limusa. 1 999 Uno de los principales factores en el desarrollo intelectual del ser humano es el deseo de comprender los mundos físico y biológico en que vivimos. Buscamos en los testimonios históricos señales que expliquen nuestra condición actual y creamos teorías para predecir el futuro. Prácticamente en cualquier descripción del pasado o proyección del futuro, entre los factores de relieve se incluyen atributos cuantitativos longitud, área y volumen de ríos, masas de tierra, y océanos; temperatura, humedad y presión de nuestra atmósfera; poblaciones, distribuciones y tasas de crecimiento de especies; movimientos de proyectiles, mareas y planetas; ingresos, costos y utilidades en la actividad económica; periodicidad, intensidad y frecuencia de sonidos, fuentes luminosas y terremotos.

Observadores perceptivos han notado que los patrones en los objetos pueden caracterizarse con números en formas que ayudan al razonamiento. Quizás sea una exageración decir, como alguna vez afirmó lord Kelvin: 32 Cuando aquello de lo que se está hablando puede medirse y expresarse con números, se sabe algo acerca del mismo; pero cuando no puede medirse, cuando no Puede expresarse en números, el conocimiento es de calidad pobre e insatisfactoria.

Pero no es exagerado decir que los sistemas numéricos de las matemáticas son herramientas indispensables para comprender el mundo en que vivimos.

La fascinación del hombre por los números también se refleja en incontables ejemplos de numerologías caprichosas o marcadas por la superstición. Desde los pitagóricos griegos hasta el relato de ficción Dr. Matrix de Martin Gardner, 10 la gente ha encontrado significados, tanto sublimes como siniestros, en los valores numéricos asignados a

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letras, Palabras, nombres, sitios y fechas. La inagotable variedad de patrones que presentan los números ha despertado la curiosidad de millones de matemáticos aficionados y profesionales de todas las edades. Desafortunadamente, los mismos patrones han servido como base para diversas actividades pseudocientíficas, desde la astrología hasta la numerología.

CANTIDAD EN LAS MATEMÁTICAS ESCOLARES Dado el papel fundamental del razonamiento cuantitativo en las aplicaciones de las matemáticas así como la atracción innata del hombre por los números, no es extraño que los conceptos y las habilidades numéricas formen el núcleo de las matemáticas escolares. Todos los niños inician en los primeros grados una trayectoria matemática diseñada para desarrollar procedimientos de cálculos aritméticos junto con la comprensión conceptual correspondiente que se requiere para resolver problemas cuantitativos y tomar decisiones fundamentadas. Los niños aprenden diferentes formas de describir datos y relaciones cuantitativas utilizando representaciones numéricas, gráficas y simbólicas; a plantear operaciones aritméticas y algebraicas y a realizarlas mediante procedimientos eficaces: a interpretar la información cuantitativa, a sacar ingerencias y a probar la plausibilidad de las conclusiones.

Las habilidades requeridas para llevar a cabo estas tareas se encuentran en la aritmética de varios sistemas numéricos y en las generalizaciones del razonamiento aritmético al álgebra elemental. La gente identifica estos sistemas numéricos por sus nombres comunes (números completos, fracciones o quebrados, decimales); los matemáticos usan términos más formales (números enteros, racionales y reales). Sin importar cuáles sean los nombres, estos sistemas numéricos son partes muy conocidas de las matemáticas y se han enseñado en las escuelas durante siglos. Los profesores experimentados han concebido un sinnúmero de estrategias para desarrollar la habilidad del estudiante en la solución de problemas típicos. En consecuencia, es absolutamente válido preguntar, "¿Qué puede haber de nuevo llame la atención en lo que a la enseñanza del razonamiento cuantitativo se refiere?" Por increíble que parezca, la respuesta debería ser, "¡prácticamente todo!"

I NFLUENCIA DE LA TECNOLOGÍA La aritmética y el álgebra escolares siempre han estado dominadas por la meta de capacitar a los estudiantes en la manipulación de símbolos numéricos y algebraicos. La finalidad de toda esta manipulación es encontrar la respuesta de problemas aritméticos o resolver ecuaciones algebraicas. El núcleo de las matemáticas en la enseñanza básica incluye la suma, la sustracción, la multiplicación y la división de números enteros y fracciones; el núcleo de las matemáticas en la escuela secundaria abarca las mismas operaciones con expresiones polinomiales, racionales y exponenciales.

En el Pasado, la destreza con estas habilidades rutinarias de manipulación era un prerrequisito para la aplicación eficaz de las matemáticas. Sin embargo, el surgimiento de calculadoras y computadoras electrónicas económicas ha cambiado esta situación para siempre. Han transcurrido Ya unos 15 años desde que la tecnología de transistores, cir-

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cuitos impresos y chips de silicio hizo posible la introducción de las calculadoras de mano en el mercado de consumo masivo. El rápido avance de la electrónica ha producido ahora calculadoras científicas accionadas por energía solar que ejecutan operaciones aritméticas con números que pueden introducirse y observarse en forma decimal, como fracciones comunes o en forma exponencial. Muchas calculadoras también tienen subrutinas que se activan al oprimir una sola tecla para evaluar funciones elementales y efectuar cálculos estadísticos comunes. Las calculadoras programabas ofrecen recursos más amplios, incluyendo medios de graficación, manipulación simbólica y operaciones con matrices (figura l). Todos estos procesos matemáticos se encuentran disponibles en formas más versátiles y complejas en programas que se ejecutan en computadoras de escritorio hoy de uso generalizado en las escuelas.

La capacidad de cómputo de las máquinas, tanto de las que existen como de las que se proyectan, sugieren algunas posibilidades curriculares atractivas. Ahora los alumnos de la escuela elemental pueden trabajar con datos numéricos reales, números muy grandes o muy pequeños en forma decimal y fraccionaría, sin el prerrequisito de dominar los intrincados algoritmos de cálculo para operar con dichos números. Los estudiantes de educación media pueden abordar problemas de variables, funciones y relaciones expresadas en lenguaje algebraico mucho antes de que dominen las reglas para manipular dichas expresiones. Fuera de la escuela, prácticamente todos recurren a las calculadoras y computadoras para realizar cálculos rápidos y precisos. Pero los planes de estudio escolares todavía tienen que ser modificados a fondo en respuesta a estas nuevas condiciones.

FIGURA l. Las calculadoras portátiles actuales permiten observar gráficas, de todas las funciones que se estudian generalmente en las matemáticas escolares. Algunas de ellas incluso pueden realizar las manipulaciones simbólicas más comunes Para simplificar y resolver ecuaciones.

Las calculadoras y las computadoras también están incidiendo de manera profunda en la naturaleza de la propia matemática. Con el acceso a estas herramientas, los matemáticos pueden buscar patrones obrando en forma muy semejante a los científicos que examinan los resultados de experimentos cuyas variables se manipulan de manera sistemática. El matemático experimental puede hacer pruebas con casos especiales en una computadora en una pequeña fracción del tiempo requerido por los algoritmos de "lápiz y papel". En muchos casos, estos cálculos no hubieran podido hacerse en absoluto por los medios tradicionales y los patrones que surgen nunca se hubieran visto. Los

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datos experimentales de las matemáticas pueden ordenarse, analizarse y verse en una gráfica para revelar tanto regularidades como variaciones. El criterio final de validez aún es la demostración formal por razonamientos hechos a partir de fundamentos axiomáticos. Sin embargo, las calculadoras y las computadoras han dado lugar a un nuevo equilibrio entre el descubrimiento de un teorema y su demostración.

El uso de calculadoras y computadoras en el quehacer matemático también ha llevado a un sensible aumento del interés por los métodos y los resultados algorítmicos. Muchos de los resultados de mayor profundidad y belleza de las matemáticas son los que garantizan la existencia de números con propiedades interesantes o de soluciones de ecuaciones importantes, aunque, a menudo, esos mismos teoremas y sus demostraciones no proporcionan indicio alguno de cómo podría construirse efectivamente el objeto prometido. Los matemáticos contemporáneos de Euclides podían demostrar que no existe un número primo mayor que todos los demás y que cualquier número natural puede factorizarse sólo como un producto de números primos. Pero los matemáticos actuales continúan dedicando grandes esfuerzos a los problemas prácticos y teóricos planteados por la necesidad de construir números primos grandes y de encontrar las factorizaciones prometidas de números no primos grandes. La búsqueda de algoritmos eficaces que guiarán los procedimientos computarizados se han convertido en un aspecto central de la investigación matemática tanto teórica como aplicada en nuestro mundo marcado por la tecnología.

I NFLUENCIA DE LAS APLICACIONES Un segundo cambio fundamental que afecta los planes de estudio escolares es la difusión de los métodos cuantitativos en casi todos los aspectos de la vida personal y profesional contemporánea. Aunque los números siempre han sido útiles, su uso ha sido bastante predecible y se limita a problemas comunes bien definidos. Hoy, la cultura cuantitativa requiere la capacidad de interpretar los números usados para describir fenómenos tanto aleatorios como deterministas, de razonar con conjuntos complejos de variables interrelacionadas y de crear e interpretar de manera crítica métodos para cuantificar fenómenos cuando no existen modelos establecidos. Los ejemplos abundan: • Las cifras del censo de Estados Unidos se usan para describir la población actual y para aportar recursos a diversos programas sociales. ¿Cuál es la mejor manera de considerar la población y sus características?

• Varios huracanes azotan Centro y Norteamérica cada otoño. ¿Cómo puede medirse la "magnitud" de cada uno de ellos de la manera más significativa?

• El índice de precios al consumidor se usa para calcular los incrementos del costo de la vida en los pagos del Seguro Social y en muchas otras escalas salariales. ¿Cuál es la mejor manera de medir la inflación?

• Con frecuencia se hace la comparación estadística de jugadores de fútbol americano profesional pertenecientes a equipos de conferencias diferentes para ver quién es el mejor, en parte para determinar una compensación justa. ¿Qué datos deberían emplearse para clasificar a los mariscales de campo de la manera más precisa?

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• Los bancos, las compañías de tarjetas de crédito y los sistemas de reservaciones de aerolíneas y hoteles procesan miles de millones de transacciones financieras cada día por medio de redes de comunicaciones en el ámbito nacional que están protegidas contra errores y accesos no autorizados. ¿Cómo pueden crearse y usarse de manera inteligente sistemas confiables?

Todos estos problemas, y muchos otros de complejidad e importancia similares, requieren la capacidad de organizar, manipular e interpretar información cuantitativa. La destreza en el manejo de los algoritmos escritos tradicionales de la aritmética o el álgebra o para resolver problemas típicos planteados en lenguaje coloquial no sólo constituye una preparación insuficiente para dichas tareas, sino que es en gran parte irrelevante.

Los jóvenes con una cultura cuantitativa sólida necesitan una capacidad flexible para identificar relaciones críticas en situaciones nuevas y expresarías en una forma simbólica eficaz, para usar herramientas de computación en el procesamiento de información e interpretar los resultados de esos cálculos. Los conceptos matemáticos subyacentes empleados en esta caracterización con frecuencia rebasan el ámbito de los números y las fracciones para llegar a las matrices, el álgebra lineal y la aritmética de las clases de congruencia. Las útiles herramientas de cálculo abarcan desde las calculadoras de mano hasta las hojas de cálculo electrónico, las bases de datos y las simulaciones dinámicas.

I NFLUENCIA DE LAS INVESTIGACIONES PSICOLÓGICAS Otro cambio reciente en las circunstancias de la enseñanza de temas relacionados con la cantidad en las matemáticas escolares es el surgimiento de una extensa serie de investigaciones de la cognición humana. Si bien el estudio de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas desde una perspectiva psicológica cuenta con una larga historia, los últimos treinta años han visto una búsqueda sin precedentes para identificar las formas en que los jóvenes desarrollan la comprensión de los sistemas numéricos y su aplicación. En consecuencia, los investigadores están adquiriendo un conocimiento rico y profundo de la interacción dinámica entre el desarrollo cognitivo del ser humano y los conceptos, principios y habilidades que queremos que los jóvenes aprendan. Estas investigaciones muestran un potencial real para fundamentar las decisiones en cuanto al diseño de los planes de estudio y de los enfoques docentes de las matemáticas escolares.

CONCEPTOS FUNDAMENTALES La convergencia de las exigencias cada vez mayores planteadas por la aplicación de habilidades cuantitativas en los ámbitos social y científico con las poderosas tecnologías nuevas que brindan apoyo a dichas habilidades, ha motivado la reconsideración de los objetivos de las matemáticas escolares. Para dar una interpretación amplia del título de un informe elaborado en 1982 por la Conference Board of the Mathematical Sciences, 29 seguimos preguntándonos, "¿Cuáles serán las capacidades cuantitativas fundamentales en el futuro de la matemática?" A pesar de los intensos debates entre profesionales que

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tuvieron lugar en la década pasada, aún no existe consenso en cuanto a una dirección de cambio adecuada y la evidencia indica en su mayoría que las escuelas no han dado paso alguno hacia un cambio radical.

En ramas bien establecidas de las matemáticas, como la teoría de los números, el análisis o el álgebra, muchos conceptos y operaciones fundamentales pueden presentarse en un sistema coherente de ideas abstractas, es decir, usando un reducido número de definiciones y axiomas a partir de los cuales puede ingerirse lógicamente cualquier otro hecho o principio. Pero esta organización rigurosa y eficaz de las matemáticas contemporáneas no es sino el producto final de un proceso histórico, en el cual se emplearon de manera informa¡ ideas fundamentales mucho antes de que se convirtieran en definiciones y teoremas formales. Además, los conocimientos prácticos no se limitan a la habilidad para recitar o deducir principios formales. Requieren la capacidad de identificar relaciones cuantitativas en un ámbito amplio de situaciones concretas, así como las habilidades técnicas para hacer representaciones y razonamientos acerca de dichas relaciones.

Al reflexionar sobre las matemáticas escolares, muchos matemáticos y profesores han sostenido que la mejor guía es un plan de estudios que recorra de nuevo la sinuosa trayectoria histórica seguida en el desarrollo de las técnicas numéricas. Otros sugieren que deberían capitalizarse los aspectos estructurales fundamentales que han surgido al final de esta trayectoria, a fin de ofrecer a los niños una forma más eficaz de desarrollar los conceptos y las técnicas numéricas. No hay evidencia suficiente que indique la elección correcta entre ambas opciones, pero sería válido decir que la comprensión cuantitativa requiere de¡ entendimiento de los aspectos fundamentales incluidos en cada perspectiva. Parece importante transmitir a los estudiantes, lo antes posible, técnicas modernas que sirvan para representar datos numéricos y hacer razonamientos con ellos. Pero esa instrucción sin lugar a dudas tendrá mayor éxito si se conforma por la comprensión de las raíces de las técnicas numéricas en la experiencia humana, así como de la trayectoria seguida por las ideas y habilidades en su evolución a través de] tiempo. Los estudiantes deben aprender de manera eficaz conceptos, técnicas, propiedades estructurales y los usos de los sistemas numéricos, 33 pero con una descripción honesta de las diversas formas informales e imperfectas que las nuevas ideas y métodos matemáticos crean en realidad.

N ÚMEROS Y OPERACIONES En la búsqueda de un marco estructural para los conceptos numéricos fundamentales que deberán Comentarse en las matemáticas escolares resulta conveniente empezar con una pregunta simple: ¿Cómo se usan los números? En fuentes comunes, como periódicos, recetarlos de cocina, manuales de instrucciones o presupuestos domésticos, se encontrará una larga lista de situaciones en las que los números desempeñan un papel central. Además, la destreza en el razonamiento cuantitativo es un prerrequisito básico para el éxito en cualquier ocupación científica, técnica o comercial y la lista de las formas en que se emplean los números en dichos campos es a la vez larga y diversa.

Es comprensible que quienes tienen a su cargo el diseño de planes de estudio se encuentren agobiados por el reto de seleccionar los materiales que brindarán a los estu-

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diantes la preparación para enfrentar todas las situaciones reales posibles de solución de problemas fuera de la escuela. Sin embargo, la búsqueda de los rasgos comunes en las tareas de razonamiento cuantitativo revela que pueden agruparse en unas cuantas categorías. Un análisis común del uso de los números indica que cualquier ejemplo se relaciona con una de tres tareas básicas: l. M EDICIÓN . El uso de operaciones aritméticas para hacer razonamientos acerca del tamaño, a fin de responder a preguntas tales como ¿cuántos? o ¿cuánto?

2. O RDENAMIENTO . El uso de números para indicar la posición dentro de una secuencia con las relaciones de "mayor que" y "menor que".

3. C ODIFICACIÓN . La asignación de etiquetas de identificación a los objetos de una colección.

Ejemplos de estas diferentes tareas abundan en la vida diaria. Se presentan a continuación algunos casos particulares: 7,33 .

• En todas las tareas de medición usuales que incluyen conceptos como longitud, área, volumen, masa y tiempo se emplean números para indicar tamaño. Las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división corresponden directamente a operaciones como juntar, comparar o repartir los objetos que miden los números. En otros conceptos importantes, como velocidad, aceleración o densidad, también se hace uso de números para indicar el tamaño o magnitud, pero por lo general se derivan de las operaciones realizadas con mediciones numéricas básicas.

• Cuando un cliente entra en una tienda, con frecuencia se le asigna un número que indica el orden en que será atendido. Los clientes que entraron primero tendrán números menores que los que llegaron después, el orden de llegada corresponde al orden de los números de atención. En este caso se usan números enteros positivos para indicar orden. No tiene sentido sumar o multiplicar números de atención, aun cuando la sustracción podría servir para estimar el tiempo de espera.

• Los equipos de cualquier liga deportiva por lo general se listan en el orden del sitio que ocupan en la competencia, del primero al último. Sin embargo, sin más información, estas clasificaciones dicen poco acerca de la distancia entre los equipos que están en dicho orden.

• Al analizar juegos de azar, a cada resultado posible se le asigna un número entre 0 y 1 como su probabilidad. El hecho de que la ocurrencia del evento A sea más fácil que la del evento B corresponde al hecho de que la probabilidad p(A) es mayor que la probabilidad p(B). Además, si A y B son disjuntos, p(A U B) debe ser igual a p(A) + p(B). En esta situación, la asignación indica una medida de verosimilitud. Pero esas mediciones se usan después para ordenar eventos de acuerdo con su verosimilitud.

La operación de unión para eventos disjuntos corresponde a la adición de números racionales.

• Los uniformes de los equipos deportivos por lo general tienen un número para cada jugador. Aun cuando los números en ocasiones indican una posición específica, las operaciones o relaciones aritméticas con esos números rara vez producen alguna información significativa. Estos números se usan únicamente como etiquetas.

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Quizás esta taxonomía de los usos de los números parezca demasiado obvia para mencionarla. Pero ofrece el primer paso hacia un marco estructural para organizar en familias manejables la profusión de tareas de razonamiento cuantitativo, una manera de encontrar temas significativos en los detalles de los conceptos, habilidades y aplicaciones de los números. Con el refinamiento adecuado, la taxonomía puede contribuir a revelar a profesores y estudiantes el significado empírico básico de los números, para enfocar la instrucción tanto en el bosque como en los árboles.

Justo para tal fin Usiskin y Bell 33 propusieron un análisis más detallado de las clases fundamentales de los usos de los números. Sugieren seis usos diferentes de los números individuales: • Cuantificación de colecciones discretas (poblaciones); • Medición de cantidades continuas (tiempo, longitud, masa); • Comparación por cocientes (descuentos, probabilidades, escalas de mapas); • Localizaciones (temperatura, recta de tiempo, calificaciones de pruebas); • Códigos (carreteras, teléfonos, número de modelo de un producto); y • Constantes obtenidas de fórmulas (π en A = πr 2 ).

Una taxonomía paralela sugiere formas en que las operaciones sobre números pueden asociarse a las operaciones sobre los objetos que describen los números: • La adición equivale a reunir o cambiar; • La sustracción representa quitar, comparar, cambiar o recuperar un sumando; • La multiplicación representa cambio de tamaño, actuar en, o bien, usar un factor de proporcionalidad; y • La división representa cocientes, razones de cambio, la división proporcional, la división con cambio de tamaño, o la recuperación de un factor.

Aun cuando matemáticos y profesores podrían cuestionar el significado de estas categorías y discutir su carácter exhaustivo o su independencia, parece ser cierto que la atención prestada a tales análisis ayudará a enfocar la instrucción en la tarea fundamental de preparar a los estudiantes en el uso eficaz de los números para resolver problemas. Los ejemplos de las diferentes maneras en que se usan los números ponen de relieve los componentes esenciales de cualquier tarea de razonamiento cuantitativo. En la forma más simple, en el razonamiento cuantitativo están presentes fenómenos, un sistema numérico y una correspondencia entre fenómenos y números que preserva la estructura esencial. A cada objeto se le asigna un número de tal forma que objetos "semejantes" tendrán números "semejantes" y que las relaciones entre los objetos corresponderán a las relaciones del sistema numérico. Para comprender este proceso mediante el cual se establecen los modelos, los estudiantes deben tener una amplia experiencia con las propiedades estructurales de varias clases de sistemas numéricos.

En tanto que sin lugar a dudas los estudiantes deben adquirir la habilidad adecuada para manejar diversos usos específicos de los números, necesitan adquirir asimismo una perspectiva más amplia de las propiedades que los usos de los números tienen en común. De las investigaciones en educación matemática se desprende evidencia clara 20

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de que la comprensión de las propiedades estructurales fundamentales de un sistema matemático facilita la retención del mismo y su aplicación en nuevas situaciones. Por lo tanto, en las matemáticas escolares deberá hacerse hincapié en las formas en que diferentes tipos de sistemas numéricos sirven como modelos de medición, ordenación y codificación, junto con las formas en que las operaciones básicas establecen modelos para acciones fundamentales en situaciones cuantitativas.

V ARIABLES Y RELACIONES Los usos elementales de los números se enfocan en descripciones e ingerencias respecto a hechos cuantitativos, el costo de 5 barras de dulce que valen 50 pesos cada una, el área de un campo que mide 50 metros de largo y 30 metros de ancho, o la velocidad promedio de un automóvil que recorre 300 kilómetros en 5 horas. El dominio de los conceptos requeridos en tales tareas es sin lugar a dudas una empresa central y formidable de las matemáticas escolares. Sin embargo, para que el razonamiento cuantitativo produzca resultados de mayores alcances que los hechos numéricos llanos es esencial que dicho razonamiento se encuentre enraizado firmemente tanto en los patrones generales de los números como en los cálculos asociados.

El patrón típico es una relación entre dos o más cantidades variables. Por ejemplo, • Conforme transcurre el tiempo la profundidad del agua de un embalse formado por la marea aumenta y disminuye siguiendo un patrón periódico.

• Cuando las tasas bancarias de ahorro aumentan, los intereses devengados por un depósito mensual fijo también aumentan.

• Si una colección de cuadrados tiene lados 1, 2, 3, 4, 5,..., las áreas de los mismos son 1, 4, 9, 16, 25,...

• Para cualquier rectángulo de base b y altura h, el perímetro p es 2b + 2h.

Las ideas matemáticas claves requeridas para hacer razonamientos acerca de tales patrones son los conceptos centrales del álgebra elemental: variables, funciones, relaciones, ecuaciones, desigualdades y razones de cambio. Actualmente en las matemáticas escolares los estudiantes dedican mucho tiempo a trabajar con variables en la forma de literales para denotar números desconocidos y con ecuaciones o desigualdades que establecen condiciones sobre dichos números. La instrucción algebraica se enfoca en los procedimientos formales para transformar expresiones simbólicas y resolver ecuaciones a fin de encontrar el valor oculto de la variable.

Pero esas habilidades son tan sólo una reducida parte del potencial ofrecido por el álgebra. En cada uno de los ejemplos anteriores, así como en muchos otros problemas similares, el núcleo conceptual de la cuestión es la comprensión de las relaciones existentes entre varias cantidades cuyos valores cambian. La noción de variable que los estudiantes deben comprender no es simplemente "una letra que representa un número" o "el valor desconocido en una ecuación". Debe incluir asimismo la consideración de las variables como cantidades mensurables que cambian cuando las situaciones en las que ocurren cambian.

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En general, las variables no tienen significación en sí mismas sino sólo en relación con otras variables. En aplicaciones más reales del álgebra, la tarea fundamental del razonamiento no es encontrar un valor de x que satisfaga una condición particular, sino analizar la relación entre x y y "para toda x". La idea algebraica más conveniente para considerar las relaciones de este tipo es el concepto de función.

A fin de fomentar la comprensión requerida para aplicar el álgebra de manera eficaz, los estudiantes necesitan encontrar y analizar una amplia variedad de situaciones estructuradas por relaciones entre variables. Es necesario que comprendan adecuadamente frases relacionases tales como "y depende de x", ".y es una función de x" o "el cambio en x produce un cambio en y". Sería deseable que desarrollaran un repertorio de criterios para caracterizar y clasificar, por estructura, las relaciones que encuentran. Por ejemplo, el informe Science for All Americans de la Asociación Americana para el Avance de la Ciencia 1 sugiere que los estudiantes deberían ser sensibles al menos a las siguientes clases de relaciones entre variables (figura 2): • Variación directa e inversa, cuando una variable se incrementó, la otra también se incrementó (o decrementa) en una razón similar • Variación acelerada, cuando una variable se incrementó uniformemente, una segunda variable se incrementó en una razón creciente.

• Variación convergente, cuando una variable se incrementó sin límite, otra se aproxima a un valor límite.

• Variación cíclica, cuando una variable se incrementó uniformemente, la otra se incrementó y decrementa en cierto ciclo que se repite.

• Variación escalonada, cuando una variable se incremento, otra cambia a saltos.

FIGURA 2. El comportamiento de los tipos fundamentales de las relaciones entre variables puede verse con mayor facilidad en gráficas típicas. Las gráficas a) y b) ilustran las relaciones directa e inversa, e) y d) muestran las variaciones acelerada y convergente, y e) y f) ilustran las variaciones cíclica y escalonada. Virtualmente todas las variaciones observadas en la práctica son una combinación de estos tipos básicos.

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La idea subyacente en el aprendizaje de las propiedades de familias completas de relaciones es típica de todas las matemáticas: la identificación de semejanzas estructurales en situaciones aparentemente diferentes permite la aplicación de métodos de razonamiento exitosos en problemas nuevos. Con la atención del álgebra centrada en variables y funciones, las ecuaciones y desigualdades pueden usarse para representar condiciones específicas: • Si la altitud de un proyectil es una función del tiempo en vuelo con la regla h(t) = -l6t 2 + 88t, con la ecuación -l6t 2 + 88t = 0 se pregunta cuando está el proyectil al nivel del suelo (ver figura 3).

• Si la población de un país (en millones) es una función del tiempo con la regia p(t) = 120(2 0.03t ), con la desigualdad 120(2 0.03t ) ≤ 200 se pregunta cuando se mantendrá la población abajo de los 200 millones (ver figura 4).

Desde luego, la consideración de las relaciones cuantitativas como funciones estimula el razonamiento que rebasa las conocidas cuestiones basadas en ecuaciones para llegar a las nociones de razón de cambio, máximos y mínimos, y tendencias globales. En tanto que estas cuestiones, por lo general, no se contemplan como puntos centrales del álgebra escolar, es indudable que son consideraciones importantes en cualquier situación en la que pueda establecerse un modelo mediante expresiones algebraicas.

PROCEDIMIENTOS El primer paso para resolver problemas de manera eficaz es analizar el problema e identificar los conceptos numéricos que se ajusten a las condiciones del mismo. Pero esta es sólo una parte de la etapa representativa de la solución de problemas, la descripción conceptual de lo que se conoce. La solución de problemas también requiere la inferencia de nueva información que proporcione una nueva perspectiva. En las matemáticas esta inferencia se apoya invariablemente en técnicas sistemáticas para representar y manipular información y, en problemas cuantitativos, en procedimientos para calcular los resultados. En análisis recientes de pedagogía matemática esta clase de conocimiento se describe como procesal, por oposición al conocimiento conceptual requerido para identificar las ideas fundamentales 14. El conocimiento procesal incluye las técnicas requeridas para representar información y para ejecutar las operaciones que produzcan soluciones de problemas numéricos específicos.

FIGURA 3. La trayectoria parabólica típica se pone de manifiesto en una gráfica de la altitud de un proyectil como una función del tiempo de vuelo.

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FIGURA 4. La curva exponencial común representa la ecuación que describe el crecimiento de la población de un país.

R EPRESENTACIÓN NUMÉRICA Las matemáticas formales son una materia que trata las construcciones mentales abstraídas de los patrones que se descubren en los objetos. Pero los matemáticos han dedicado también grandes esfuerzos a encontrar las formas de representar las ideas en formas concretas. Su meta es llegar a un sistema de símbolos que transmita de manera eficaz la información matemática en una forma concisa y sin ambigüedades.

La representación de las ideas sirve de ayuda a la memoria y como un medio de comunicación. En las matemáticas, las representaciones se convierten en objetos de estudio en sí mismos, fuentes de nuevas abstracciones que, con sorprendente frecuencia, sirven de modelos adecuados para patrones no contemplados en situaciones concretas.

La idea fundamental que permite la representación eficaz de los números es el sistema de numeración de valores posicionales. Cada número entero tiene una representación única en el sistema de numeración común base 10, y los números racionales pueden expresarse usando fracciones decimales o como cocientes de números enteros. Estos sistemas usuales en ocasiones son reemplazados con sistemas de valores posicionales de bases diferentes, en particular en los casos en que la base opcional presenta ventajas obvias para un fin particular.

Aun cuando hoy en día el sistema de valores posicionales se da por descontado, al reflexionar acerca de la enseñanza de las matemáticas valdría la pena recordar que la evolución de un esquema de representación tan sólido como este tomó mucho tiempo.

En los registros de los primeros matemáticos de Mesopotamia hay indicios de que ya se conocía y usaba un sistema de numeración base 60 que empleaba pocos numerales. Sin embargo, el concepto de valor posicional eludió a los matemáticos griegos en su época de oro. No fue sino hasta que los matemáticos indios del siglo VIII columbraron la manera de usar el 0 (cero) como un indicador de que estaba asegurado el fundamento de la notación de valores posicionales.

La segunda tarea principal en la representación de información numérica es expresar relaciones que se cumplan para todos los números, para muchos números o para ciertos números desconocidos los conceptos matemáticos fundamentales que intervienen son los de variable, función y relación. Hoy usamos de manera rutinaria literales para designar variables y para escribir regias correspondientes a funciones y relaciones. Pero, de nueva cuenta, valdría la pena recordar que el desarrollo histórico de la notación algebraica contemporánea es una larga historia, testimonio del hecho de que el uso de variables literales con sintaxis algebraica como y = X 3 - 4(x + 2) -1 es todo menos obvia.

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R EPRESENTACIÓN GRÁFICA En tanto que los numerales con valores posicionales y las expresiones algebraicas tradicionales son las formas simbólicas más importantes para registrar información cuantitativa, muchas otras formas de representación son de uso común. Las más conocidas son aquellas que hacen corresponder números con los puntos de una recta numérica o pares de números con los puntos del plano.

Por ejemplo, las condiciones sobre variables como x − 2 ≤ 3 son bastante comunes en el álgebra y sus aplicaciones. Las soluciones pueden darse en una forma simbólica análoga, pero se ha vuelto común representar los resultados en la gráfica de una recta numérica (figura 5).Aunque sin lugar a dudas esta representación no es tan concisa ni de tanta utilidad para la ejecución de cálculos como la versión simbólica, comunica de inmediato una representación completa de la condición cuantitativa.

El uso de representaciones visuales para mostrar una relación entre variables cuantita-

FIGURA 5. Los intervalos marcados en una recta numérica proporcionan una representación conveniente de los puntos que satisfacen

tivas resulta particularmente eficaz cuando una variable es una función de otra. He aquí un ejemplo común: La posición de un émbolo con un recorrido de 4 pulgadas en un motor que opera a 3 000 rpm está dada por la función y = 2 sen(100πt), donde t es el tiempo medido en segundos. El patrón de las posiciones del émbolo es ilustrado de manera adecuada por la gráfica de una función (figura 6). Como en la gráfica de la recta numérica, esta imagen visual de una relación entre dos variables no es particularmente eficaz como ayuda para realizar cálculos, pero comunica el patrón periódico significativo del movimiento del émbolo en una forma que es mucho menos evidente en la forma simbólica.

FIGURA 6. Una gráfica sinoidal representa el movimiento de un émbolo, comunicando cierto tipo de información de manera más eficaz que las fórmulas algebraicas comunes

El uso de rectas numéricas y gráficas de coordenadas es una técnica matemática muy conocida. Sin embargo, el advenimiento de calculadoras y software de computadora con capacidades de graficación ha tenido un efecto significativo sobre la facilidad para producir gráficas y, por tanto, sobre su utilidad. Ahora es posible generar gráficas con rapidez y precisión tanto a partir de fórmulas como de datos numéricos tomados de experimentos científicos o de grandes bases de datos cuyo acceso ha sido posible gracias a las computadoras. Como resultado, las representaciones gráficas se están hacien-

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do cada vez más comunes y complejas. Por tanto, es importante que los estudiantes de matemáticas adquieran experiencia en la interpretación inteligente de las representaciones gráficas y en la comprensión de las conexiones entre las formas simbólicas, gráficas y numéricas de las mismas ideas.

Ha habido un gran optimismo en cuanto a los beneficios potenciales del uso de estas representaciones enlazadas como un recurso en la enseñanza. Sin embargo, experimentos iniciales han revelado el hecho de que los mensajes proporcionados por las gráficas no son captados por los alumnos jóvenes con tanta facilidad como sería de esperarse, al tiempo que los efectos de escala y la limitada área de visión inherente a los monitores de computadoras dan lugar a sorprendentes conceptos erróneos de percepción.

R EPRESENTACIÓN DE COMPUTADORA Las gráficas cartesianas de patrones numéricos y algebraicos son sólo las estrategias más conocidas de un impresionante arreglo de representaciones visuales de datos cuantitativos. La incipiente teoría de gráficas y redes incluye numerosas técnicas nuevas para representar situaciones con estructuras cuantitativas y espaciales interactivas. En algunos casos, se usan diagramas de red para mostrar información cuantitativa como los costos de¡ envío de alimentos o del tendido de líneas telefónicas o eléctricas a lo largo de varias trayectorias posibles. En otros se usan representaciones numéricas, como matrices, para organizar y presentar información geométrica como el número de trayectorias posibles entre los nodos de una gráfica. El campo del análisis exploratorio de datos incluye muchas otras técnicas nuevas y eficaces para representar información numérica en formas que comunican un significado de manera concisa y eficaz. El uso de computadoras para producir estas representaciones se está haciendo una práctica generalizada en todas las áreas de las matemáticas aplicadas.

Una de las principales razones del uso de formas simbólicas concisas para expresar relaciones entre variables numéricas es la maravillosa economía de capturar el patrón completo de muchos números o n-tuplos con un solo enunciado simbólico. Sin embargo, la abstracción requerida para reducir colecciones de datos a regias simbólicas también hace que la información contenida en esos datos sea menos accesible para muchos usuarios potenciales. Por fortuna, las herramientas computarizadas también facilitan la visualización y el razonamiento con grandes conjuntos de datos.

Por ejemplo, la ecuación en diferencias y n+1 = 1.01 y n - 445, donde y 0 = 5 000, describe el saldo de un préstamo de $5 000 al 12% de interés que se está pagando en mensualidades de 445. Para la mayoría de las personas, el patrón real del monto de este préstamo y la distribución de los pagos en cuanto al principal y el interés se muestran de una manera más informativa en la hoja de cálculo electrónico simple de la figura 7.

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Pago

Interés

Principal

Saldo $ 5 000,00

$445,00

$50,00

$395,00

$4 605,00

$445,00

$46,05

$398,95

$4 206,05

$445,00

$42,06

$402,94

$3 803,11

$445,00

$38,03

$406,97

$3 396,14

$445,00

$33,96

$411,04

$2 985,10

$445,00

$29,85

$415,15

$2 569,95

$445,00

$21,51

$423,49

$1 727,16

$445,00

$17,27

$427,73

$1 299,43

$445,00

$12,99

$432,01

$867,43

$445,00

$8,67

$436,33

$431,10

$445,00

$4,31

$440,69

($9,59)

FIGURA 7. Representación por medio de una hoja de cálculo el co del saldo de un préstamo de 5 000 dólares al 12% de interés que se está pagando en mensualidades de 445 dólares.

Desde luego, la construcción de esta hoja de cálculo electrónico requiere cierta habilidad para expresar relaciones en la forma simbólica que se ha vuelto común con las hojas de cálculo electrónico. En este caso, las fórmulas se repiten con índices que cambian de la siguiente manera:

Pago

Interés

Principal

Saldo = 5 000.00

= 445

=0.01*D2

= A3- B3

= D2-C3

= A3

=0.01*D3

= A4-B4

= D3-C4

Las representaciones numéricas, generadas por computadora, de expresiones algebraicas también están demostrando ser una herramienta de gran utilidad en la solución de problemas prácticos. Por ejemplo, en la elaboración del ejemplo anterior, el pago mensual apropiado se calculó por aproximaciones experimentales sucesivas y no mediante la fórmula más común. Pero estas representaciones también sirven como puente entre el mundo concreto del razonamiento aritmético y el mundo más abstracto del álgebra y de los enunciados que empiezan "para toda x..." Además, la serie de representaciones relacionadas se redondea cuando se usan herramientas para el ajuste curvas por computadora a fin de encontrar reglas simbólicas que correspondan a los patrones de las colecciones de datos numéricos.

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A LGORITMOS El segundo aspecto principal del conocimiento procesal consiste en las técnicas a las que es común referirse como algoritmos para usar información matemática en la solución de problemas. Un algoritmo es "una secuencia de regias definidas con precisión que indican cómo producir la información de salida especificada a partir de la información de entrada dada en un número finito de pasos.” 23 El desarrollo de la habilidad de los estudiantes en la ejecución de algoritmos matemáticos ha dominado siempre los planes de estudio escolares tanto en el nivel primario como secundario. Los algoritmos más destacados han sido los procedimientos para sumar, restar, multiplicar y dividir números enteros, fracciones comunes y decimales, junto con las operaciones paralelas con polinomios y expresiones racionales en álgebra.

Pero esos son sólo los algoritmos más básicos y conocidos entre el vasto acervo de herramientas matemáticas rutinarias. El algoritmo de Euclides, por ejemplo, es sólo uno de varios métodos comunes para encontrar el máximo común divisor de dos enteros; la criba de Eratóstenes es sólo uno de tantos algoritmos para identificar números primos; la fórmula cuadrática es uno de los diferentes algoritmos para resolver ecuaciones de segundo grado; hay docenas de algoritmos para resolver sistemas de ecuaciones y desigualdades lineales.

El diseño y la aplicación de algoritmos se encuentran, obviamente, en el centro de las matemáticas. El Potencial de las matemáticas se deriva de la forma en que estas ideas abstractas pueden aplicarse para resolver problemas en contextos sin semejanzas aparentes. Los algoritmos de la aritmética y el álgebra que se emplean en el mundo de los negocios y la economía son los mismos que los usados en la física y la ingeniería. Al mismo tiempo, la naturaleza independiente de] contexto de los algoritmos matemáticos hace que sea sencilla su programación para ejecutarlos en computadoras. Este hecho tiene importantes ¡aplicaciones en los planes de estudio escolares: cualquier algoritmo específico que sea de tal importancia fundamental y aplicabilidad general para merecer su inclusión en la escuela elemental o secundaria seguramente se ha Programado y está disponible en calculadoras y software de computadora ordinario, Calculadoras baratas pueden efectuar la mayoría de los algoritmos numéricos, simbólicos Y gráficos que se enseñan en la escuela. Por tanto, la tecnología actual socava seriamente cualquier argumentación en el sentido de que los estudiantes deben desarrollar su destreza en la ejecución de cualquier algoritmo particular debido a que necesitarán esa habilidad más tarde en la vida.

Al mismo tiempo que el aprendizaje de algoritmos específicos ha disminuido en importancia para las matemáticas escolares, contar con una comprensión general del punto de vista algorítmico ha llegado a ser mucho más importante para cualquier persona que realice trabajo cuantitativo. 9 23, 26 Para poder usar los algoritmos basados en computadora, resulta conveniente comprender atributos tales como precisión, economía y robustez, así como conceptos matemáticos fundamentales como inducción y recursión, los cuales reciben tan Poca atención en los planes de estudio tradicionales. En resumen, el aspecto algorítmico de las matemáticas asume una fisonomía muy diferente cuando calculadoras y computadoras se hacen cargo de los procedimientos sistemáticos rutina-

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rios. Estas nuevas circunstancias requieren una reconsideración a fondo de las metas de] estudio cuantitativo en las matemáticas escolares.

C ONOCIMIENTO CONCEPTUAL Y PROCESAL Es evidente que las calculadoras y las computadoras se han hecho cargo de los aspectos rutinarios tanto de la representación como de la manipulación de información cuantitativa, los dos componentes clave del conocimiento procesal. La tarea de traducir estas nuevas circunstancias en nuevas metas para los Planes de estudio plantea una cuestión Psicológica crítica en lo que se refiere a la interacción entre conocimiento conceptual Y Procesal. A muchos educadores matemáticos les Preocupa el hecho de que el uso generalizado de calculadoras y herramientas de computadora, con la consecuente disminución de la atención en el ejercicio de las habilidades de cálculo manual, socavará el desarrollo de la comprensión conceptual, de la capacidad para resolver problemas y de la ¡¡¡dad para aprender nuevas matemáticas avanzadas.

La interacción entre comprensión y habilidad en las matemáticas se estudiado y discutido intensamente durante muchos años, pero con renovado entusiasmo en la década pasada. Un reciente meta-análisis de más de 70 estudios de investigación 13 concluyó que el uso inteligente de las calculadoras puede fortalecer la comprensión conceptual de los estudiantes, la solución de problemas y las actitudes hacia las matemáticas, sin menoscabo aparente de la adquisición de las habilidades tradicionales. Una investigación más limitada en álgebra sugiere conclusiones similares. En tanto que se está realizando mucho trabajo sobre este aspecto, los principales resultados-publicados son de Demana y Leitzel. 8 Sin embargo, en casi todos los experimentos las calculadoras o las computadoras se usaron como complemento de la instrucción en las habilidades aritméticas y algebraicas tradicionales, Lo que aún es un problema abierto de suma importancia es la determinación de las consecuencias de experimentos más audaces en los que se enseñe a los estudiantes a depender en mayor medida de la ayuda tecnológica para realizar las manipulaciones aritméticas y simbólicas. Parece seguro decir que el debate sobre la manera correcta de considerar el conocimiento conceptual y el procesal continuará durante algún tiempo. Es sin lugar a dudas la cuestión central propiciada por el impacto de la tecnología en las matemáticas escolares.

Noción de número Aun cuando abundan las polémicas respecto a los riesgos y beneficios de cambiar la atención de las habilidades tradicionales a los conceptos y la solución de problemas en las matemáticas escolares, no hay desacuerdo en cuanto a la importancia de fomentar en los estudiantes la consecución de diversos aspectos informales del razonamiento cuantitativo, a fin de desarrollar lo que podría llamarse noción de número. Incluso si las máquinas se hacen cargo de la mayor parte de los cálculos, es importante que los usuarios de dichas máquinas planteen las operaciones correctas e interpreten los resultados de manera inteligente. El planteamiento de los cálculos requiere una comprensión sólida del significado de las operaciones, de las características de las acciones que corresponden a diferentes operaciones aritméticas. La interpretación de los resultados requieSólo para uso Docente – Distribución gratuita

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re hacer juicios acerca de la posibilidad de que éstos sean correctos o de que pueda haber un error en la anotación de los datos, en la selección de las operaciones o en el funcionamiento de la máquina. (El desarrollo del sentido de número se analiza en detalle en el número de febrero de 1989 de The Arithmetic Teacher, en particular en el artículo de Howden. 16 ) Hay dos tipos fundamentales de habilidades requeridas para determinar la validez de los resultados. La primera es un conocimiento general de las cantidades en el mundo real: ¿La población de Estados Unidos está más cerca de 20 millones, de 200 millones o de 2 mil millones? ¿La velocidad de un aeroplano está más cerca de 100, 1 000 ó 10 000 kilómetros por hora? ¿Cuál es el valor porcentual aproximado de un impuesto sobre ventas, de un préstamo bancario, de la Propina en un restaurante o de] éxito de un bateador de ¡¡gas mayores? Aun cuando este tipo de información no es parte formal de las matemáticas, constituye una base invaluable para la aritmética aplicada a problemas reales.

El segundo componente de la noción de número en la realización de cálculos es la habilidad para hacer aproximaciones rápidas por orden de magnitud. Cuando una calculadora electrónica produce una respuesta exacta, es importante que los usuarios comprueban que los resultados presentados se encuentran en el parque de pelota correcto".

Esto quiere decir, por ejemplo, determinar por redondeo rápido y aritmética mental que 345 + 257 + 1 254 es aproximadamente 1 850 o que 85 x 2 583 es aproximadamente 200 000. Los cálculos mentales de este tipo no se consiguen por capacitación intensiva en la ejecución mental de los algoritmos escritos tradicionales, sino mediante la aplicación flexible de la comprensión de] valor posicional y de la aritmética de un solo dígito, una perspectiva muy distinta de las metas de la aritmética escolar tradicional. Dada la considerable atención prestada en la década pasada a la aritmética informa] y a la estimación de cálculos, contamos ahora con metas claras, con materiales para planes de estudio creativos y con sugerencias didácticas eficaces para este importante tema por tanto tiempo desatendido.

Noción de símbolo Es casi un hecho la existencia de una habilidad informal comparable necesaria para tratar de manera eficaz las expresiones simbólicas y las operaciones algebraicas, cultivar la noción de símbolo en los estudiantes, aunque las ideas y los materiales didácticos en esta área no tienen un grado de desarrollo tan completo. Un conjunto razonable de metas para enseñar la noción de símbolo incluiría al menos los siguientes temas básicos: • La capacidad para examinar una expresión algebraica a fin de hacer una estimación general de¡ patrón que surgiría en una representación numérica o gráfica. Por ejemplo, dada f(x) = 50*2 x , un estudiante con noción de símbolo podría trazar la gráfica de esta función y darse cuenta de que los valores de la función serán positivos y monótonamente crecientes, con valores pequeños de f(x) para x negativas y con valores positivos que crecerán aceleradamente para x positivas.

• La capacidad para realizar comparaciones razonadas de los órdenes de magnitud en funciones con reglas de las formas n, n 2 , n 3 ,..., y k n . Esta capacidad, un puente entre la noción de número y la de símbolo, desempeña un papel importante en el estable-

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cimiento de juicios acerca de la complejidad de los cálculos en los algoritmos para llevar a cabo las tareas matemáticas y de procesamiento de información presentes en el corazón de la ciencia de las computadoras.

• La capacidad para examinar la tabla de valores de una función o una gráfica o para interpretar condiciones enunciadas de manera verbal, a fin de identificar la forma probable de una regla algebraica que exprese el patrón adecuado. Por ejemplo, dada la siguiente tabla, un estudiante con noción de símbolo podría predecir que la regia de la función que mejor se ajusta a los datos probablemente será de la forma f(x) = mx + b, con valores aproximados de m y b de 15 y 500, respectivamente: Ventas x costos f(x)

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• La capacidad para inspeccionar operaciones algebraicas y predecir la forma del resultado 0, como en la estimación aritmética, inspeccionar el resultado y juzgar la probabilidad de que se hayan realizado correctamente. Por ejemplo, un estudiante deberá darse cuenta casi sin pensar que el producto de un polinomio lineal y uno cuadrático será un polinomio de tercer grado.

• La capacidad para determinar cuál de entre varias formas equivalentes podría resultar más apropiada para dar respuesta a preguntas particulares. Por ejemplo, un buen sentido de símbolo permitiría a los estudiantes darse cuenta de que la forma factorizada de un polinomio produce información inmediata acerca de sus soluciones pero que dificulta bastante el cálculo de derivadas o integrales.

El prometedor trabajo de proyectos en curso indica la forma en que pueden usarse eficazmente las herramientas de computadora numéricas y gráficas para desarrollar en el estudiante la intuición acerca de las formas simbólicas algebraicas. Sin embargo, creación de la noción de símbolo más general sigue siendo una tarea de investigación importante para llegar a nuevos enfoques en el desarrollo del conocimiento conceptual y procesal de cantidad.

SISTEMAS NUMÉRICOS Para un gran número de estudiantes las matemáticas son una colección vasta con conexiones vagas de hechos, procedimientos y problemas en lenguaje coloquial rutinarios. Sin embargo, es importante recordar que el poder único de los conceptos matemáticos depende de la significación abstracta, la cual se encuentra en el centro de cualquier encarnación concreta. El aprendizaje de los fundamentos de cualquier rama de las matemáticas debería incluir la identificación de dichos principios estructurales básicos, los cuales determinan las relaciones entre los conceptos y los métodos. En el caso de los sistemas numéricos, una colección bastante reducida de ideas plenas y con un enorme potencial determinan la estructura de cada sistema. Al dar marcha atrás partiendo de los detalles Particulares, se pone de manifiesto que un puñado de principios centrales gobiernan todas las propiedades algebraicas Y topológicas de los números. Estos principios pueden usarse para deducir todos los hechos particulares de varios sistemas

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numéricos y para guiar la correspondencia entre los sistemas formales y los problemas cuantitativos de relieve.

En el desarrollo histórico de los sistemas numéricos la evolución se inició con los números naturales. En ampliaciones realizadas a lo largo de varios siglos se fueron agregando las fracciones, luego los números negativos y, finalmente, una caracterización rigurosa de los números reales. En una perspectiva cercana al fin de] siglo XX es posible organizar todas esas estructuras en sentido inverso: • El Sistema de los números reales R es el único campo ordenado completo.

• El sistema de los números racionales Q es el subcampo más pequeño de R. • El sistema de los números enteros I es el anillo más pequeño de R que incluye el idéntico multiplicativo.

• El sistema de los números naturales N es el subconjunto más pequeño de R que incluye el idéntico multiplicativo y que es cerrado bajo la adición.

En la forma sucinta que es característica de las matemáticas formales, estos cuatro enunciados contienen gran cantidad de información acerca de la estructura. Implican que cada uno de los sistemas numéricos es un conjunto con dos operaciones binarias y una relación binaria de orden 1 que las operaciones son conmutativas y asociativas; que la multiplicación se distribuye en la adición; que hay dos elementos idénticos, uno Para la adición y el otro para la multiplicación, y que las operaciones interaccionan con la relación de orden en formas familiares.

Sin embargo, existen otras propiedades importantes de los sistemas numéricos individuales que no son tan evidentes a partir de estas caracterizaciones mínimas. Hay diferencias significativas en las propiedades algebraicas y topológicas de los diferentes sistemas, diferencias que hacen a cada uno de especial interés desde ambas perspectivas, la teórica y la aplicada. El análisis de esas diferencias, progresivamente desde las más simples hasta las más sutiles, contribuye a desarrollar en el estudiante la comprensión profunda de la naturaleza de los números y de los sistemas numéricos. Aun cuando los estudiantes deberán emerger de las matemáticas escolares con un rico conocimiento conceptual y procesal, también es importante que tengan cierta comprensión de los principios teóricos que proporcionan coherencia lógica a los sistemas numéricos.

N ÚMEROS NATURALES Y ENTEROS Las estructuras aditiva, multiplicativa y de orden fundamentales de los números naturales y los enteros se basan en varios principios simples, pero con un gran potencial. En primer término se encuentra el principio de inducción finita: Si M es un conjunto de números naturales que contiene al 1 y si M contiene al número k + 1 siempre que contiene al número k, entonces M contiene a todos los números naturales.

Esta propiedad implica que los números naturales (y su ampliación a los enteros) forman un conjunto discreto, una sucesión de elementos con separaciones iguales, sin ningún número entre un entero cualquiera k y el que lo sucede k + l. Estos números

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proporcionan una colección de etiquetas para ordenar las etapas en que ocurre cualquier proceso que pueda considerarse una sucesión de pasos discretos.

El principio de inducción finita se emplea para definir conceptos con parámetros enteros, como x n , y para demostrar proposiciones en las que intervienen los números naturales en su totalidad. Por ejemplo, para demostrar que 1 + 3 + 5 +...+ (2n - l) = n 2 para toda n se recurre al principio de inducción finita: 1. Sea M el conjunto de los números para los que se satisface la ecuación. Puesto que 1 = 1 2 , se sabe que 1 ∈ M. 2. Supóngase ahora que k ∈ M. Entonces 1 + 3 + 5 +... + (2k - l) = k 2 . Se sigue que 1 + 3 + 5 +... + (2k - l) + (2k + l) = k 2 + 2k + 1 = (k + 1) 2 , de donde la ecuación también se satisface para k + l. Por tanto, k + 1 también pertenece a M. 3. Por el principio de inducción finita se sigue que M contiene a todos los números naturales, de donde la fórmula debe satisfacerse para toda n.

El método de demostración por inducción matemática se usa en todas las ramas de las matemáticas, siendo particularmente eficaz en proposiciones combinatorias como el teorema del binomio. Ha adquirido una importancia especial como técnica de demostración en la ciencia de las computadoras, un campo en el que los procesos algorítmicos discretos son los principales objetos de estudio.

Aun cuando los números naturales y los enteros comparten la estructura de orden discreto derivado del principio de inducción, existe una diferencia crítica entre ambos sistemas, la existencia del inverso aditivo en los números enteros: para todo entero a existe un entero -a tal que a + -a = 0. Este hecho convierte a los números enteros en un grupo aditivo, implica que la sustracción está definida para todas las parejas ordenadas de enteros y demuestra que cualquier ecuación de la forma a + x = b tiene una solución única en I. Si bien las estructuras aditivas de N e 1 son en extremo regulares y fáciles de trabajar, la multiplicación y la división de números naturales y enteros plantea desafíos mucho más interesantes. Puesto que los números enteros no contienen inversos multiplicativos (excepto los casos triviales 1 y -1), la división es una operación restringida en N e 1, y muchas ecuaciones de la forma ax = b carecen de soluciones enteras. Además, no existe ningún patrón inmediato que sugiera cuáles de las ecuaciones que incluyen multiplicaciones (o divisiones relacionadas) tienen solución. El entero 24 es divisible por 2, 3, 4, 6, 8 y 12, pero su vecino 23 no tiene factores primos y 25 sólo tiene uno. Un conjunto de 24 objetos puede distribuirse en subconjuntos iguales en seis maneras diferentes, pero un conjunto de 23 objetos no puede distribuirse en ninguna de ellas.

La multiplicación y la división de números enteros se rigen por dos propiedades principales. El teorema fundamental de la aritmética garantiza que cualquier entero positivo puede escribirse como un producto de factores primos en una manera única. El algoritmo de la división garantiza que para cualesquiera enteros positivos a y b, existen los enteros únicos q y r tales que a = bq + r con 0 ≤ r < b. Estos dos principios revisten una enorme importancia práctica y teórica en la teoría de los números y, en una forma más general, en el álgebra.

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El primero, el teorema de factorización en números primos, es uno de los múltiples resultados similares en las matemáticas que indican la manera en que es posible estudiar eficazmente expresiones complejas cuando se escriben como una combinación de factores irreductibles. Estas aplicaciones varían desde la mundana tarea de encontrar factores que sean máximos comunes divisores o mínimos comunes divisores hasta el teorema fundamental paralelo de¡ álgebra de polinomios, el cual garantiza que cualquier polinomio con coeficientes complejos puede escribirse como el producto de factores lineales (a partir de los cuales pueden obtenerse con facilidad las soluciones).

El algoritmo de la división es, desde luego, fundamental en el conocido procedimiento para calcular el cociente de dos números naturales o decimales así como en el teorema de factorización paralelo del álgebra de polinomios. Proporciona el concepto esencial para desarrollar la aritmética de las congruencias: Para cualesquiera enteros a y b, a = b (mod m) si y sólo si a = mk + b para alguna k. Los grupos y los campos cíclicos finitos que surgen de esta teoría han demostrado su incuestionable utilidad como modelos de fenómenos discretos, incluyendo aplicaciones de importancia creciente en la ciencia de las computadoras, en la criptografía y en la transmisión y almacenamiento de información comercial y gubernamental.

N ÚMEROS RACIONALES El sistema numérico más pequeño que incluye elementos para representar cualquier división posible de los enteros a/b (con b diferente de cero) es, desde luego, el sistema de los números racionales Q. Los matemáticos hacen referencia a Q como un campo, término empleado para describir otras estructuras con propiedades numéricas semejantes. En Q todo elemento diferente de cero tiene un inverso multiplicativo, y toda ecuación lineal de la forma rx + s = t tiene solución única para r, s y t racionales (con r diferente de cero). Sin embargo, estos atributos algebraicos se consiguen a costa de la simplicidad.

La ordenación común de los números racionales los hace un conjunto denso, entre dos racionales cualesquiera hay un tercer número racional. En particular, existen racionales positivos tan pequeños como uno quiera. Por otra parte, para cualesquiera números racionales a y b existe un entero n tal que na > b; esta propiedad convierte a los números racionales en un campo ordenado arquimedeano. En tanto las operaciones y el ordenamiento de los racionales son significativamente más complejos que en los enteros, las propiedades de densidad y arquimedeana de Q se combinan para sentar las bases de la precisión en las mediciones, garantizando el uso de una unidad con cualquier grado de refinamiento deseado para cubrir una longitud de cualquier extensión finita.

N ÚMEROS REALES Los números naturales, los enteros y los racionales proporcionan sistemas formales para el establecimiento de modelos estructurales en muchas tareas prácticas de razonamiento cuantitativo. Pero preguntas sin respuesta planteadas hace 2 000 años dejan muy claro que los racionales no son la última palabra en lo que a sistemas numéricos se refiere. La demostración de que no existe ningún número racional cuyo cuadrado sea 2 (ó 3, ó 5, o cualquier otro entero que no sea un cuadrado perfecto) revela el carácter 34

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algebraicamente incompleto del sistema de los números racionales (ver la figura 8).

Cuando los números se usan como medidas de figuras geométricas, el teorema de Pitágoras muestra la existencia de segmentos de recta sin medidas racionales. Hay "agujeros" (aunque no muy grandes) en una recta numérica que sólo tiene puntos coordenadas racionales.

Los números racionales pueden ampliarse en varias formas para incluir los elementos que llenen algunos de estos agujeros y que satisfagan necesidades algebraicas o geométricas particulares. La ampliación Q ( 2 ) = {a + b 2 ⏐ a, b ∈Q}, por ejemplo, es un campo ordenado, bajo las definiciones propias de la adición, la multiplicación y los inversos. Sin embargo, el único campo ordenado completo, uno que llene todos los agujeros, es el sistema de los números reales R. Se trata de un campo ordenado en el que cualquier sub conjunto no vacío que esté acotado por arriba tiene una cota superior mínima en R. Un teorema clave de los sistemas numéricos, uno que establece un papel distintivo para R, es que cualquier campo ordenado completo corno éste debe ser isomorfo a R.

FIGURA 8. La posición sobre una recta numérica racional que corresponde a la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de longitud 1 tiene un agujero, ya que no existe ningún número racional igual a

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Puesto que los números reales aparentemente sólo llenan agujeros “infinitesimales" sobre la recta numérica racional, varias diferencias entre ambos campos numéricos son auténticamente sorprendentes. Primera, aun cuando todo número racional es la solución de a ecuación simple ax = b, donde a y h son enteros, existen números reales trascendentales (como e y π) que no son soluciones de ninguna ecuación polinómica.

Además, aun cuando los números racionales Pueden colocarse en una correspondencia uno a uno con los números naturales y son, Por tanto, numerablemente infinitos (un resultado sorprendente que no se comprendió de manera adecuada hasta Principios del Presente siglo), esto no se cumple para los números reales. De hecho, los números trascendentales por sí solos son más numerosos que los números algebraicos, aquellos que surgen como soluciones de ecuaciones algebraicas racionales. Aunque este último resultado fue demostrado al menos hace 100 años mediante un razonamiento ingenioso con números cardinales transfinitos, existen aún destacadas Y sutiles cuestiones acerca del carácter de números reales particulares.

Los números reales representan un paso significativo en el desarrollo de conceptos y métodos cuantitativos en otro sentido fundamental. En tanto que los naturales, los enteros v los racionales son cada uno conjuntos infinitos de números. Su uso Principal es contar, ordenar y comparar conjuntos finitos de Objetos discretos. Los números reales proporcionan la herramienta matemática esencial para describir y hacer razonamientos acerca de procesos infinitos e infinitesimales. Por sí solos ofrecen las bases para el de-

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sarrollo riguroso de los conceptos de límite y continuidad, proporcionan el puente para el análisis del movimiento y el cambio.

N ÚMEROS COMPLEJOS La ampliación de los números racionales a los reales hace posible la solución de muchas ecuaciones algebraicas simples y significativas. Pero deja sin resolver una colección igualmente Importante de ecuaciones algebraicas. Ecuaciones polinómicas simples como x 2 + 1 = 0 o x 2 +x + 1 = 0 no tienen raíces reales. El sistema numérico requerido para dar soluciones lógicas a estas ecuaciones, y a todas las ecuaciones polinómicas en general es el de los números complejos C. Los números complejos constituyen la ampliación de campo más pequeña Posible de los números reales que contiene un elemento i cuyo cuadrado es igual a -1, la raíz requerida en x 2 + 1= 0. Hecho notable. la ampliación para abordar esta ecuación aislada proporciona las soluciones para todas las demás ecuaciones polinómicas y abre una rica estructura de propiedades y aplicaciones matemáticas.

Todo número complejo puede expresarse en la forma a + bi, donde a y b son números reales. Por tanto, los números complejos están determinados por pares ordenados de números reales. En tanto que los reales pueden ordenarse en una correspondencia uno a uno con los puntos de una recta, los números complejos corresponden a puntos de un plano bidimensional y no están ordenados linealmente. Esta pérdida del orden simple parecería ser promesa de una vida mucho más complicada en C que en los números reales o sus subconjuntos. Sin embargo, también trae consigo beneficios. La correspondencia entre números complejos y puntos en el plano abre una poderosa conexión entre la aritmética y el álgebra de C y la geometría de formas y transformaciones en el plano (ver figura 9).

Los números complejos incluyen algunos números descritos originalmente como "imaginarios" por los matemáticos que no podían admitir la posibilidad de un cuadrado negativo. No obstante, han demostrado su utilidad como modelos de muchos fenómenos físicos muy reales, desde el flujo de corriente eléctrica alterna hasta el flujo de aire sobre el ala de un aeroplano. También establecen una cuestión algebraica fundamental de las matemáticas puras: todo polinomio de grado n tiene exactamente n factores lineales.

Por tanto, toda ecuación polinómica tiene por lo menos una y a lo más n raíces complejas diferentes.

N UEVOS SISTEMAS NUMÉRICOS El esbozo presentado de los principios fundamentales de los sistemas numéricos abarca un territorio muy conocido. Cuando los matemáticos de fines del siglo XIX demostraron que el sistema de los números reales es el único campo ordenado completo, siguiendo demostraciones anteriores de Gauss y otros de que el sistema de los números complejos es algebraicamente cerrado, parecía que la historia de los sistemas numéricos había concluido. Aunque se trata, en cierto sentido, de una afirmación correcta, el desarrollo de nuevos sistemas numéricos en modo alguno ha terminado.

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FIGURA 9. Los puntos del plano corresponden a números complejos, donde la adición de vectores en el plano refleja la adición de números complejos. La multiplicación es más complicada, las magnitudes de los vectores se multiplican de la manera acostumbrada, pero se suman los ángulos.

Por ejemplo, desde su invención a mediados del siglo XIX, el álgebra de matrices se ha convertido en una herramienta invaluable para hacer razonamientos acerca de datos numéricos complejos. Una matriz es una especie de super número; dentro de ciertas familias de matrices, las operaciones de adición y multiplicación tienen propiedades algebraicas muy similares a las de los números reales. La excepción más notable es el hecho de que la multiplicación de matrices no es conmutativa, un hecho que tiene muchas consecuencias importantes en la teoría del álgebra lineal. Las matrices son de particular utilidad en la descripción de conjuntos complejos de datos cuantitativos como los que manejan rutinariamente las computadoras.

La aplicación de la computación al razonamiento cuantitativo ha estimulado el desarrollo de los sistemas matemáticos en otra dirección del interés tanto práctico como teórico. A pesar de su memoria en apariencia inagotable y de su rapidez casi instantánea, las computadoras no trabajan con los sistemas numéricos comunes, tales como I, Q o R, sino en aproximaciones finitas de dichos sistemas cuya exactitud está limitada por la capacidad de los lenguajes de computadora para representar números sólo con un número finito de sitios posicionales. Estos modelos "trancados" de los sistemas numéricos no obedecen las propiedades estructurales comunes de los números (como la asociatividad de la adición). Por tanto, parecería conveniente que los estudiantes ampliaran sxis estudios para incluir las propiedades estructurales de esos sistemas finitos que se encuentran detrás de gran parte del trabajo cuantitativo efectivo.

El descubrimiento de sistemas matemáticos seudonuméricos como las matrices que no cumplen con las propiedades estructurales que nuestra intuición ingenua nos presenta como ciertas, constituyó un enorme paso en el avance de las matemáticas modernas. El álgebra contemporánea se originó en un intento por dar una teoría que explicara las propiedades estructurales de diferentes sistemas numéricos. En los últimos 150 años, el álgebra ha generado un rico acervo de teorías abstractas, surgidas del estudio de la estructura inherente a varias operaciones y relaciones con conjuntos. Los matemáticos han demostrado que la generalización de los sistemas numéricos puede proporcionar un estimulante campo de juego intelectual. Pero también han demostrado que este reino matemático abstracto con frecuencia tiene impresionantes aplicaciones prácticas.

Aun cuando los grupos, los anillos, los campos y las retículas, así como el álgebra booleana, los monoides y las máquinas de Turing, se crearon principalmente como posibilidades abstractas, ahora se usan de manera rutinaria como herramientas de investigación de problemas fundamentales de las ciencias de la computación e informática.

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Durante la mitad de este siglo, los matemáticos estuvieron fuertemente influidos por el interés en explorar las generalizaciones de los sistemas numéricos. En 1973 Garrett Birkhoff 3 escribió que, "para 1960 la mayoría de los matemáticos jóvenes estaban convencidos de que las matemáticas en su totalidad debían desarrollarse axiomáticamente a partir de las nociones de conjunto y función." Además, el mismo autor y MacLane "escribieron otra 'Álgebra' que avanzaba en la dirección de la abstracción al organizar gran parte del álgebra pura alrededor de los conceptos centrales de morfismo, categoría y ‘universalidad'." Los innovadores programas de matemáticas escolares de los años sesenta exploraron las posibilidades de organizar los planes de estudio en torno a conceptos estructurales abstractos similares.

Las modas cambian, tanto en las matemáticas como en el diseño de artefactos humanos.

Hoy, el punto de vista axiomático abstracto parece mucho menos prometedor en calidad de guía para la investigación o la educación matemática. Sin embargo, existen principios centrales que están en el corazón de los sistemas numéricos y del álgebra.

Proporcionan una organización coherente para lo que podría ser un laberinto impenetrable de hechos y técnicas específicas, y esta organización es tan útil para los estudiantes como para los matemáticos activos. Por tanto, parecería conveniente que los encargados de elaborar los planes de estudio identificaran y se apoyaran en estos principios al realizar su trabajo.

APLICACIONES Las matemáticas escolares deben desarrollar en los estudiantes la comprensión de los principios básicos, la destreza en el manejo de las técnicas y la agilidad en el razonamiento. Pero la prueba final de las matemáticas escolares es si capacitan a los estudiantes para aplicar sus conocimientos en la solución de problemas cuantitativos importantes. La habilidad para resolver problemas no sólo es la meta más importante de las matemáticas escolares sino también la tarea educativa más difícil de realizar.

El término "problema, en lenguaje común" causa terror en los corazones de los estudiantes de matemáticas de todas las edades. El primer paso clave para llegar a la solución de un problema de manera eficaz, es identificar en las condiciones del mismo, los conceptos que sean estructuralmente similares a los de los sistemas numéricos. Los enfoques tradicionales de esta tarea pueden englobarse en dos categorías generales. El enfoque pragmático ayuda a que los estudiantes aborden una variedad de problemas genéricos clásicos (y casi de rutina). El objetivo es proporcionar a los estudiantes los lineamientos estratégicos para cada tipo de problema, un esquema especial para organizar la información relativa a problemas de tiempo / razones de cambio / distancia, un diccionario para traducir términos cuantitativos claves en expresiones simbólicas, etc. El enfoque más ambicioso se propone capacitar a los estudiantes en el uso de estrategias genéricas de alto nivel (o heurísticas) que se apliquen a problemas en muchas áreas diferentes.

Parece correcto decir que ninguno de estos dos enfoques es demostrablemente eficaz para cultivar en los estudiantes habilidades contables y transferibles para el establecimiento de modelos y la solución de problemas. El popular enfoque de "las palabras clave" fracasa porque la estructura flexible, versátil y, a menudo, ambigua del lenguaje

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común no puede traducirse en enunciados matemáticos por ningún algoritmo confiable. En el otro extremo, aun cuando los estudiantes pueden aprender la heurística genérica de alto nivel, sugerida Por Pólya y otros, ha resultado ser muy difícil de desarrollar su habilidad en la clase de monitoreo metacognitivo del pensamiento que se requiere para desplegar dicha heurística de manera eficaz en situaciones específicas. Trabajos recientes en el desarrollo de una perspectiva metacognitiva en las estrategias para resolver problemas revelan resultados prometedores aún no definitivos. 30

E STABLECIMIENTO DE MODELOS En tanto que continúa la búsqueda de nuevas estrategias eficaces para enseñar a resolver Problemas, existe un cambio igualmente significativo que surge de la reflexión acerca de la naturaleza de los problemas cuantitativos en sí. En muchas aplicaciones contemporáneas de las matemáticas uno presta menos atención a la solución de problemas específicos bien definidos y se concentra más bien en el establecimiento y el análisis de Modelos matemáticos de las condiciones de los mismos. Los problemas cuantitativos clásicos de las matemáticas escolares suelen incluir información numérica y una sola pregunta que Puede responderse por un cálculo numérico o al resolver una ecuación. Fuera de la escuela, las situaciones en que surgen los problemas, por lo general, tienen información incompleta o ajena a los mismos, así como muchas preguntas mal definidas.

En el enfoque de establecer modelos matemáticos, el primer paso es identificar las variables relevantes. El siguiente es describir, en el lenguaje formal adecuado, las relaciones que representen conexiones de causa y efecto entre estas variables, Entonces pueden plantearse preguntas específicas en términos de valores de entrada y de salida o de propiedades globales de las relaciones del modelo establecido. Por último, es posible usar herramientas de computadora para contestar esas preguntas por métodos numéricos, gráficos o simbólicos.

M EDICIÓN Las fuentes más comunes de variables numéricas son las mediciones. En consecuencia, la teoría y la técnica de la medición desempeñan papeles importantes en la cultura cuantitativa. Al igual que la aritmética de los sistemas numéricos, la medición se percibe como una faceta familiar y bien conocida de s matemáticas escolares, que no requeriría nuevas reflexiones. Sin embargo, esta interfase crítica entre las matemáticas y sus aplicaciones no es un tema que se trate con particular éxito en los planes de estudio.

Las tareas de medición Prototípicas de las matemáticas escolares consisten encontrar longitudes, áreas y volúmenes de figuras geométricas. Parece to decir que para la mayoría de los estudiantes el aprendizaje de la medición incluye una breve exposición a unas cuantas unidades comunes de longitud para luego practicar el uso de fórmulas de perímetros, áreas y volúmenes con base en esas unidades de longitud. El área es [largo x ancho] o [(1/2) x base x altura] o [π x r 2 ], el volumen es [largo x ancho x altura] o [π x r 2 x h], etc. La mayoría de los ejercicios se convierten en prácticas aritméticas de la fórmula estudiada en la lección en turno.

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Los estudiantes expuestos a este enfoque formal de la medición suelen formar concepciones limitadas y muy rígidas de longitud, área y volumen. La confusión de¡ área y el perímetro es un error, a -menudo, frustrante en las valoraciones de los estudiantes. La “regla” común seguida por los estudiantes que no razonan, independientemente de la enunciación escrita del problema, es que si hay dos números asociados a los lados de un rectángulo dibujado, entonces se multiplican; si hay un número en cada lado de un rectángulo, entonces se suman.

El énfasis en las fórmulas también deja a los estudiantes mal preparados para abordar de manera inteligente el carácter aproximado de las mediciones reales, los efectos acumulativos de los errores al combinar mediciones y las generalizaciones a formas irregulares que ocurren en tantas aplicaciones prácticas o a las curvas y superficies que son fundamentales en el cálculo diferencial e integral. Además, pocos estudiantes llegan a percibir o a sacar provecho de las semejanzas estructurales que se encuentran detrás de la mayoría de las aplicaciones de la medición.

En el corazón de cualquier proceso de medición hay un mapeo que asigna números a objetos. El mapeo asigna la medida 1 a cierta unidad designada. Después otros objetos se cubren con copias de la unidad. La elección del elemento unidad es arbitraria, pero una vez hecha proporciona la norma mediante la cual se miden todos los demás. Por tanto, toda medición consta de una unidad y un número, el número de copias completas y parciales de la unidad necesarias para abarcar exactamente el objeto medido. El estudiante de matemáticas que entienda este principio, como una propiedad general de muchas mediciones importantes, habrá adquirido una auténtica comprensión productiva de la conexión entre situaciones reales y modelos cuantitativos.

Las propiedades de la unidad y de cobertura de la medición explican con bastante claridad lo que indica cualquier medición particular-, además, la asociación de unidades a mediciones puede explotarse para dirigir el razonamiento formal acerca de principios científicos. En muchas ciencias el razonamiento cuantitativo se rige por un álgebra de cantidades bien definida llamada comúnmente "análisis dimensional". En este método las operaciones aritméticas no sólo se realizan sobre los números sino también sobre las unidades. Si el resultado final es un número cuyas unidades son adecuadas para el problema, el análisis dimensional brinda apoyo al carácter correcto de las operaciones que se han ejecutado. En tanto que esta atención a las unidades corno a los números en la medición no es tan común en las matemáticas como en las ciencias, tiene sólidos defensores entre quienes se han preocupado por ayudar a los estudiantes a establecer la conexión entre las matemáticas formales y sus aplicaciones. 18,21, 31 La teoría y la Práctica de la medición de conceptos cuantitativos en el mundo físico tienen una larga historia en las matemáticas y su enseñanza. Sin embargo, así como muchos métodos matemáticos clásicos se han generalizado y aplicado en nuevos dominios, la medición se ha extendido a importantes usos en las ciencias sociales. Aunque la idea básica es la misma, asignar números a objetos o eventos, estas nuevas mediciones, a menudo, cumplen con propiedades estructurales muy diferentes a las medidas de longitud, área y volumen.

Los científicos políticos y los sociólogos han diseñado diversas medidas de la influencia o del poder en situaciones sociales. Los economistas han concebido medidas de costos y beneficios para cuantificar las opciones en la toma de decisiones. Los psicólogos y los

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educadores usan una vasta serie de medidas para describir aptitudes y logros de individuos. Los especialistas en estadística miden relaciones probables de causa y efecto entre muchas clases diferentes de variables estocásticas. En todos los casos, se usan números, operaciones y relaciones para establecer modelos de las propiedades estructurales significativas de cada situación. En ocasiones es posible la aplicación directa de los principios y conceptos clásicos. Pero cada vez es Más frecuente que el razonamiento cuantitativo eficaz en las ciencias sociales y humanas requiera la comprensión de aspectos de] número que permitan la construcción flexible de nuevas respuestas a nuevas situaciones.

METAS Sin lugar a dudas, la meta mas Importante de las matemáticas escolares consiste en desarrollar en los estudiantes la habilidad Para hacer razonamientos inteligentes con información cuantitativa. Los conceptos, las técnicas y los principios matemáticos que establecen los modelos de los aspectos cuantitativos de la experiencia son proporcionados por las estructuras de los sistemas numéricos, del álgebra y de la medición que han sido por largo tiempo el punto central de los planes de estudio escolares. Sin embargo, el surgimiento de las calculadoras electrónicas y las computadoras como herramientas de gran capacidad para representar y manipular información cuantitativa ha puesto en entredicho las prioridades tradicionales de la instrucción en estos temas. Ya no tiene sentido dedicar partes considerables de los planes de estudio escolares a capacitar a los estudiantes en algoritmos aritméticos o algebraicos que Pueden realizarse con rapidez y exactitud mediante calculadoras baratas y fáciles de usar. La disponibilidad de poderosos auxiliares de cálculo ha llevado a un aumento significativo de la variedad de situaciones en las que se aplica el razonamiento cuantitativo. En consecuencia, las matemáticas escolares deben brindar a los estudiantes la preparación Para usar sus conocimientos acerca de los números, el álgebra y la medición en formas flexibles y creativas, no sólo en cálculos rutinarios y predecibles.

A fin de preparar a los estudiantes para el reto de] razonamiento cuantitativo en el mundo moderno, las matemáticas escolares deben desarrollar la habilidad de los estudiantes para: • Comprender las propiedades fundamentales de los sistemas numéricos y la vinculación entre estos sistemas matemáticos y las situaciones de la vida real en las que están incluidos.

• Describir e interpretar estructuras cuantitativas usando representaciones simbólicas, verbales y gráficas.

• Efectuar cálculos tanto exactos como aproximados en los que intervengan ideas aritméticas y algebraicas por medio de diferentes métodos adecuados, operaciones mentales, técnicas de lápiz y papel, calculadoras o computadoras.

• Aplicar la destreza en el manejo de números y expresiones algebraicas para resolver problemas cuantitativos tanto rutinarios como inéditos.

La experiencia escolar proclive a acrecentar estas habilidades Y conocimientos generales debe abundar en oportunidades de explorar situaciones cuantitativas interesantes e

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importantes, así como en las estructuras que arrojen luz sobre las ideas matemáticas englobadas en situaciones específicas.

BIBLIOGRAFÍA Y LECTURAS RECOMENDADAS 1 . American Association for the Advancement of Science. Science for All Americans.

Washington, DC: American Association for the Advancement of Science.

2.

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Lectura 3 Actitudes, perseverancia y rendimiento en matemáticas: la calificación de las diferencias de raza y de sexo George M. A. Stanic y Laurie E. Hart Tomado del Capítulo XI del libro: Equidad y enseñanza de las matemáticas. Nuevas tendencias de Secada, Fennema y Adajian (Comps.). Ministerio de Educación y Cultura y Morata. España 1 997. pp. 276-293.

El conocimiento de las matemáticas es esencial para todos los miembros de la sociedad.

Con el fin de participar plenamente en los procesos democráticos y no verse limitados en su elección de carrera y en su avance, los individuos deben ser capaces de comprender y aplicar las ideas matemáticas. Por desgracia, en los Estados Unidos, la representación de determinados grupos en las asignaturas de matemáticas es inferior a lo que debía esperarse, sin que puedan aprovechar su potencial. Los alumnos afronorteamericanos y las estudiantes destacan entre esos grupos con representación reducida.

Los aspectos principales que queremos tratar en este capítulo tienen que ver con la función de la perseverancia en el aprendizaje de las matemáticas y con la forma en que las actitudes de un o una estudiante en relación con las matemáticas interactúan con los demás. Basaremos nuestro razonamiento en los resultados de un estudio de casos de una clase de matemáticas de séptimo grado. Hay un supuesto básico importante que subyace a nuestras conclusiones sobre la perseverancia y las actitudes: no deben generalizarse en exceso los descubrimientos de diferencias de raza y de sexo en las matemáticas. Al menos, es fundamental observar la interacción de las categorías de raza y género. En último término, el objetivo de la investigación sobre la equidad en la educación matemática debería trascender la raza, el sexo y demás categorías demográficas, convenientes pero problemáticas, para identificar lo que nosotros denominamos arque-

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tipos de los alumnos de matemáticas. Un arquetipo consiste en una compleja matriz de rendimiento, actitudes y conductas relacionadas con el rendimiento en un contexto concreto. Aunque pueda predominar un arquetipo determinado en un grupo de raza o sexo en un contexto dado, creemos que los grupos se caracterizan por múltiples arquetipos que trascienden los límites de los grupos. Los arquetipos son descriptores más adecuados que las características demográficas porque explican y no se quedan en una simple denominación de las diferencias. En este capítulo, no analizaremos ni presentaremos una lista exhaustiva de arquetipos; sin embargo, los alumnos que describimos al presentar el contexto del aula que estudiamos y las conclusiones a las que llegamos sobre la perseverancia y las actitudes pueden servir de fundamento para identificar arquetipos en futuros trabajos.

C ONCLUSIONES DE INVESTIGACIONES ANTERIORES En nuestro estudio de casos, nos centramos en los siguientes aspectos: el rendimiento en matemáticas; las actitudes de confianza, utilidad y entretenimiento, y la conducta de perseverancia relacionada con el rendimiento. Una serie de revisiones exponen las investigaciones antecedentes en estas áreas (por ejemplo: LEDER, 1992; REYES Y STANIC, 1988; SECADA, 1992). Estas revisiones muestran la atención casi exclusiva prestada a las diferencias generales de sexo y de raza, sin ocuparse en la práctica de las diferencias entre los grupos de raza-sexo.

Se han documentado diferencias de género en el rendimiento en matemáticas en beneficio de los varones y diferencias de raza a favor de los blancos. La diferencia de rendimiento que favorece a los varones más que a las mujeres es pequeña, aparece más tarde y sólo es evidente en un conjunto más limitado de medidas que la observada a favor de los blancos con respecto a los afronorteamericanos. La diferencia de rendimiento vinculada al sexo parece estar relacionada con una diferencia entre sexos que favorece a los varones en términos de confianza en sí mismos al practicar las matemáticas y, en menor medida, con la percepción de la utilidad de las matemáticas. En estas actitudes, no se ha documentado de forma convincente una diferencia clara en relación con la raza. En general, los educadores de matemáticas no han estudiado la actitud de entretenimiento ni la conducta de perseverancia relacionada con el rendimiento.

L A CLASE DE MATEMÁTICAS DE SÉPTIMO QUE ESTUDIAMOS Estuvimos estudiando durante 45 días una clase de matemáticas de séptimo grado. Pertenecía a una middle school coeducativa con una población compuesta por alumnos afronorteamericanos y blancos de distintos niveles socioeconómicos. Su profesor era un varón afronorteamericano, a quien llamaremos Sr. Martin. La clase contaba con 17 alumnos, de los cuales 5 eran mujeres afronorteamericanas, 3 varones afronorteamericanos, 5 mujeres blancas y 4 varones blancos. Tomamos notas de campo e hicimos grabaciones magnetofónicas de las 45 sesiones lectivas, codificamos sistemáticamente las interacciones entre profesor y alumnos, recogimos artefactos durante la observación en clase, estudiamos los expedientes escolares, administramos cuestionarios de actitudes a los alumnos (FENNEMA y SHERMAN, 1976) y entrevistamos al profesor y a cada uno de los estudiantes. Ambos observamos casi todas las sesiones de clase; no participamos

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de forma regular en las actividades cotidianas, pero, en ocasiones, interactuamos con el Sr. Martin y sus alumnos.

Estilo docente del Sr. Martin y algunas consecuencias del mismo para los alumnos El Sr. Martin era un profesor sensible y acogedor que quería que todos sus alumnos saliesen airosos y creía que todos ellos podían hacerlo. En general, su estilo docente consistía en asignar páginas de trabajo al principio del período y ayudar a cada alumno cuando lo necesitara. En realidad, el Sr. Martin interactuaba mucho con sus alumnos.

La media diaria era de más de cuatro interacciones y media con cada uno; la mayor parte de las interacciones eran de tipo académico (2,04 por alumno y día), seguidas por las de procedimiento (1,74), de conducta (0,43) y sociales (0,36).

El Sr. Martin no solía dictar lecciones magistrales a toda la clase con el fin de explicar contenidos. A veces, si necesitaban ayuda muchos alumnos, interrumpía el trabajo individual para explicar una idea a toda la clase. El Sr. Martin expuso en las entrevistas que creía que este estilo docente era adecuado para esta clase de alumnos y en relación con los contenidos impartidos. La escuela había clasificado a los alumnos como "medios-altos" (el segundo nivel más elevado de capacidad) y el contenido de la asignatura consistía esencialmente en una revisión de la aritmética.

Cuando observamos la clase del Sr. Martin y entrevistamos a los alumnos, descubrimos que algunos mostraban cierta preocupación por la falta de claridad de la enseñanza del Sr. Martin. En una serie de áreas, el profesor no era todo lo claro que podría esperarse.

El área principal que mencionaban se refería a las directrices sobre el trabajo en clase y las tareas para casa; también parecía incoherente su forma de supervisar los trabajos.

Por ejemplo, basándonos en las preguntas que hacían diariamente los alumnos cuando salían de clase, dedujimos que no sólo estaban confusos respecto a la asignación de tareas para casa, sino también en relación con el contenido concreto de las mismas. También había veces en las que el Sr. Martin mandaba una página determinada para que los alumnos la resolvieran en clase sin aclarar con exactitud qué ejercicios deseaba que hiciesen; los alumnos sabían que sólo debían hacer algunos, pero no estaban seguros de cuáles. Y había ocasiones en las que, después de señalar el Sr. Martin unas tareas concretas de una página determinada, las cambiaba más tarde o respondía de diferente forma a las preguntas de distintos estudiantes sobre lo que tenían que hacer. En un caso concreto, después de encargar el Sr. Martin los ejercicios pares de una página, Bob, un alumno blanco de muy buen rendimiento, que no estaba seguro de la tarea encomendada, preguntó al profesor qué tenía que hacer. El Sr. Martin respondió: "Hazlos todos, si quieres". En una de nuestras entrevistas con el Sr. Martin, dijo que trataba de no ser muy preciso en relación con los trabajos porque quería que sus alumnos se hicieran más responsables e independientes. Pretendía que ellos hicieran las tareas por el afán de adquirir más conocimientos de matemáticas y no por el simple hecho de que les dijese qué trabajo debían realizar. Pensaba que los comentarios del estilo de su respuesta a Bob fomentarían esa responsabilidad e independencia.

Otra de las conductas del Sr. Martin en clase que parecían problemáticas, pero que respondían a razones concretas, consistía en su forma de enfocar el trabajo con Henry, un

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alumno afronorteamericano. En una clase en la que el profesor interactuaba regularmente con los alumnos, Henry no recibía, en comparación con otros, mucha atención y el tono en que ésta se producía era, sobre todo, negativo. Las sonrisas y carcajadas que caracterizaban muchas interacciones del Sr. Martin con sus alumnos eran raras en sus actuaciones con Henry. Lo más corriente era que el Sr. Martin le dijese que acabase sus tareas, amenazándole con llamar a sus padres para comentarles su falta de esfuerzo. En las entrevistas, el Sr. Martin nos explicó que interactuaba de ese modo con Henry porque le preocupaba que el niño fuese víctima del "síndrome atlético". La experiencia del Sr. Martin como estudiante-atleta negro en la universidad le hacía más sensible a los riesgos académicos que llevaba consigo el interés por el atletismo. Tenía miedo de que el éxito prematuro de Henry como atleta le hiciera dejar de lado sus tareas académicas.

El Sr. Martin estaba convencido de que los atletas afronorteamericanos eran capaces de desenvolverse bien en clase, pero, con excesiva frecuencia, dejaban de lado sus obligaciones académicas porque esperaban convertirse en atletas profesionales. Expresaba cierta amargura con respecto al trato que él mismo y otros atletas afronorteamericanos recibieron en la universidad, y quería asegurarse de que los alumnos que trabajaban con él se dieran cuenta de la importancia del éxito académico para su futuro. El Sr. Martin dejó bien claro que algunas de sus interacciones con Henry eran consecuencia de su preocupación porque Henry no fuese víctima del síndrome atlético.

Paradójicamente, la falta de claridad mostrada, de un modo intencionado, por el Sr. Martin al encargar los trabajos, combinada con su preocupación por el síndrome atlético, hacía difícil la vida de Henry en clase. El chico no sabía qué hacer ante la falta de claridad del profesor. La mayoría de los alumnos preguntaban una y otra vez por las tareas hasta que conseguían una respuesta útil para ellos. En las entrevistas, nos dijeron que se quedaban después de la clase para preguntar de nuevo al profesor por las tareas para casa o se llamaban unos a otros para aclarar sus dudas al respecto. Henry no mostraba ninguna de esas conductas compensadoras de la falta de claridad del Sr. Martin, con lo que cerraba el círculo de no enterarse de las tareas, no hacerlas y recibir las reprimendas del profesor.

No pretendemos exagerar la importancia de las intenciones del Sr. Martin al trabajar con sus alumnos porque no tenía una forma intencionada de interactuar con todos ellos. Un buen ejemplo es Cathy, una niña blanca. El Sr. Martin casi no le prestaba atención, en parte porque ella tampoco la requería ni solía hacerle preguntas. Durante la mayor parte de los períodos de clase, ella trabajaba de forma independiente en las tareas de matemáticas. Cuando terminaba un trabajo, Cathy sacaba un libro y se ponía a leer. Durante el período de clase Cathy sólo solía interactuar con Wendy, la alumna blanca que se sentaba junto a ella. Había veces que Wendy, que tan sólo llamaba la atención del Sr. Martin un poco más que Cathy, se acercaba a la mesa del profesor para pedirle ayuda, volvía a su pupitre y respondía a una pregunta de Cathy sobre el mismo tema. Cuando el Sr. Martin paseaba por el aula para ayudar a los alumnos mientras hacían sus tareas de clase, tanto Cathy como Wendy, en las raras ocasiones en las que pedían ayuda, se conformaban con quedarse sentadas con la mano levantada durante mucho tiempo, mientras el Sr. Martin atendía a los alumnos que requerían su atención en voz alta.

En una entrevista con Cathy, descubrimos que no le preocupaba en absoluto la relativa falta de atención prestada por el Sr. Martin. En realidad, conceptuaba de forma muy

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positiva su estilo docente porque le gustaba no tener que quedarse sentada escuchando explicaciones que no necesitaba; Cathy prefería seguir adelante y trabajar por su cuenta y le encantaba leer el libro que llevaba a clase para cuando terminaba una tarea. Sin embargo, en una de nuestras entrevistas con el Sr. Martin, éste se mostró preocupado porque Cathy fuese una de sus alumnas que quizá necesitara más estructura de la que él estaba aportando, así como por su falta de interacciones con ella. El Sr. Martin no dijo nada acerca de que sus interacciones con Cathy tuviesen alguna finalidad especial.

La consideraba una chica muy capacitada para las matemáticas, manifestando que era una de los dos alumnos de su clase que podían haberse desenvuelto muy bien en el grupo de máxima capacidad en esta materia. Pero nada dijo sobre la necesidad de estimular en ella cierto afán competitivo ni de ayudarla a que dejase de dudar de sí misma, que eran las preocupaciones que el Sr. Martin expresó en relación con Tim, un alumno blanco y, sin duda alguna, la persona más dominante de su clase.

El Sr. Martin prestaba mucha atención positiva a Tim quien, con frecuencia, era el centro de las interacciones del aula. Cuando la clase revisaba las tareas, se recurría una y otra vez, insistentemente, a Tim para que diese las respuestas y él manifestaba sus evaluaciones de las soluciones aportadas por otros alumnos. Aunque los demás compañeros se mostraban molestos por la conducta de Tim, el Sr. Martin nunca le reprendía por interrumpir a los demás con sus comentarios evaluativos. En una ocasión, el profesor le llamó la atención por hacerse el remolón con Bob, el alumno blanco con el que Tim interactuaba con frecuencia, o por guardar las cosas antes de tiempo, al terminar la clase; no obstante, la recriminación siempre iba acompañada por una sonrisa o una carcajada.

En realidad, el simple hecho de mencionar el nombre de Tim, en clase o en las entrevistas, hacía que el Sr. Martin sonriese afectuosamente. Hacia el final de nuestra última entrevista, se refirió incluso a la clase como la "clase de Tim". Cuando los alumnos tenían cierta dificultad con un problema de matemáticas y el Sr. Martin quería que alguno explicara cómo solucionarlo, solía pedir a Tim que lo hiciese. En muchos sentidos, Tim era una “guía del profesor” viviente para el Sr. Martin.

Nuestras entrevistas con este profesor pusieron de manifiesto que él se identificaba en gran medida con Tim y que trataba de interactuar con él del modo que habíamos observado. Daba la sensación de que el Sr. Martin no tenía en cuenta ni le preocupaban las consecuencias del papel que desempeñaba Tim en clase para el resto de los compañeros. Cuando le preguntamos explícitamente si las acciones de este alumno podían tener un efecto negativo en lo que aprendieran los demás, el Sr. Martin no pudo identificar ningún efecto de ese tipo. No cabía duda de que consideraba a Tim como el mejor alumno de matemáticas de la clase, aun ante la evidencia de que el promedio de Bob (tanto en las pruebas como en las tareas para casa) era superior al de Tim. Explicaba la actuación de Bob en función de su relación con Tim, no en el sentido de que Bob "copiase" a Tim, sino porque se beneficiaba simplemente de estar sentado al lado de Tim, quien le motivaba. El Sr. Martin optaba por considerar las respuestas negativas de los demás alumnos con respecto a Tim no como un signo de que éste tuviese una influencia negativa en su aprendizaje, sino como una respuesta normal de las personas ante quienes destacan. En realidad, aceptaba las respuestas negativas con respecto a Tim porque las consideraba como una fuente de motivación para él, con el fin de actuar aun mejor.

Al Sr. Martin le preocupaba más el efecto que los acontecimientos de clase produjeran en Tim que el posible efecto negativo de las acciones de Tim en sus compañeros. Men-

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cionaba insistentemente su objetivo de motivar a Tim para que llegase a un nivel aun más elevado de actuación evitando que dudase de sí mismo.

Otra persona dominante en la clase era Katrina, una niña afronorteamericana. Como en el caso de Tim, el profesor le prestaba mucha atención positiva, aunque de tipo muy diferente. El Sr. Martin se reía y bromeaba con Tim y el tema de la mayoría de sus interacciones era las matemáticas. También se reía y bromeaba con Katrina; sin embargo, a menudo, sus interacciones se referían a temas no matemáticos. Por ejemplo, el Sr. Martin y Katrina hablaban sobre su trabajo como fotógrafo autónomo. Con frecuencia, comentaba con Katrina sobre anécdotas relativas a sus actividades personales, fuera de la escuela, cosa que casi nunca hacía con Tim. Katrina y el profesor interactuaban también en relación con las matemáticas, pero, generalmente, era a consecuencia de la petición de ayuda de Katrina, que la formulaba con mayor frecuencia que nadie en la clase.

La conducta de la niña presentaba contradicciones. Por una parte, como líder y miembro de un grupo de cuatro afronorteamericanas, era independiente y asertiva. Por otra, como estudiante de matemáticas, era muy dependiente del Sr. Martin y raramente trabajaba por su cuenta más de cinco minutos seguidos sin hacer alguna pregunta. A diferencia de Katrina, era muy raro que Tim formulara al profesor una pregunta sobre matemáticas o cualquier otra cosa.

En una entrevista, Katrina manifestó una de las descalificaciones más duras que grabamos en relación con el estilo docente del Sr. Martin. Aludió a su profesor de matemáticas del curso anterior, diciendo que tenía el estilo docente que ella prefería. Según Katrina, este profesor comenzaba cada clase haciendo una revisión del trabajo efectuado y explicando el nuevo. No obstante, observamos que, a diferencia de Cathy, el Sr. Martin brindaba a Katrina y a las otras tres niñas afronorteamericanas de su grupo una atención significativa respecto a la enseñanza directa de matemáticas, sobre todo porque ellas le pedían ayuda. En una clase en la que, por regla general, el Sr. Martin permitía que los alumnos erigiesen y dispusiesen sus pupitres como desearan, las componentes de este grupo se situaban muy próximas a él y, con frecuencia, se levantaban y se acercaban a su mesa para hacerle alguna pregunta y mantenían el diálogo con él desde sus pupitres. En la mayoría de los casos, Katrina representaba al grupo en las interacciones con el Sr. Martin.

En consecuencia, Katrina se parecía a Tim con respecto al papel dominante que desempeñaba en clase; sin embargo, se parecía a Cathy en el sentido de que las interacciones del Sr. Martin con Katrina y Cathy eran de calidad diferente a las que mantenía con Tim y con Henry. Por ejemplo, en las entrevistas, descubrimos que no centraba a propósito en temas sociales sus interacciones con Katrina; es más, no dijo nada sobre la dependencia por parte de Katrina hacia él mismo en relación con las matemáticas y parecía no tener conciencia de ello. Por otro lado, el Sr. Martin mostró su preocupación por el reducido número de alumnos afronorteamericanos en clases de matemáticas avanzadas y, en el caso de las cuatro niñas afronorteamericanas que se sentaban juntas, dijo que quería proporcionarles un sistema de apoyo mutuo. Sin embargo, daba la sensación de que su preocupación por el sistema de apoyo se refería sólo a las cuatro alumnas afronorteamericanas y no a las otras cuatro personas afronorteamericanas de su clase, de las que una era mujer.

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Como ponen de manifiesto los casos de Katrina, Cathy, Tim y Henry, la situación de la clase del Sr. Martin era extraordinariamente compleja. La costumbre de Katrina de buscar siempre la ayuda del profesor perpetuaba su dependencia matemática hacia él, mientras le dedicaba más tiempo de enseñanza. Cathy demostraba gran independencia, a la vez que se le dedicaba muy poco tiempo docente. La independencia de Tim, combinada con su constante exigencia de ser el centro de atención de la clase, llevaba a consecuencias muy diferentes de las acarreadas por la independencia más pasiva de Cathy. Henry pedía y se le dedicaba poca atención. Como Cathy, parecía no importarle esta falta de atención (sobre todo, teniendo en cuenta que la que recibía solía ser negativa); a diferencia de Cathy, que sufría a causa de lo que podría haber hecho de más, Henry padecía porque necesitaba ayuda para poder terminar el trabajo encargado.

Consideramos a estos cuatro alumnos no tanto como representantes típicos de sus grupos de raza y sexo (en realidad, dentro de su propia clase, no eran típicos), sino, más bien, como alumnos arquetípicos de matemáticas. No podemos dejar de lado la raza y el género de cada uno cuando nos referimos a sus características, pero tampoco debemos concluir que todos los estudiantes de un determinado grupo de raza y género puedan describirse de manera adecuada mediante una configuración determinada de características.

Rendimiento, actitudes y conductas relacionadas con el rendimiento en la clase del Sr. Martin Evaluamos el rendimiento, las actitudes y las conductas relacionadas con el rendimiento de los estudiantes de la clase del Sr. Martin.

Rendimiento en matemáticas. En nuestro estudio de casos, se utilizaron seis medidas de rendimiento: cuatro medidas de clase (nota final de sexto; nota de la prueba de séptimo, de noviembre; nota de la prueba de séptimo, de enero, y nota del segundo trimestre de séptimo) y dos medidas estandarizadas de rendimiento (el percentil global de matemáticas del lowa Test of Basic Skills [ITBS] de sexto y la puntuación del American Junior High School Mathematics Examination [AJHE] de séptimo). En las seis medidas, la media de los alumnos y alumnas blancos fue superior a la medida de los alumnos y alumnas afronorteamericanos, siendo las diferencias en las dos medidas estandarizadas de rendimiento mayores de media desviación típica y las diferencias en las cuatro medidas de clase menores de un tercio de la desviación típica. La comparación de los resultados de rendimiento de niños y niñas no es tan clara. En las tres primeras medidas (ITSB general de sexto, nota final de sexto, y nota de la prueba de noviembre de séptimo), las alumnas obtuvieron medias superiores a las de los alumnos. En las tres últimas medidas (puntuación del AJHE de séptimo, nota de la prueba de enero de séptimo y nota del segundo trimestre de séptimo), los alumnos obtuvieron medias superiores a las de las alumnas. De nuevo, las diferencias en las medidas de rendimiento estandarizadas fueron superiores a media desviación típica, y las diferencias en las medidas de clase, menores de un tercio de la desviación típica. En consecuencia, en esta clase, el rendimiento por raza y por sexo (es decir, los blancos superiores a los afronorteamericanos y los resultados según el sexo no concluyentes) reflejaba, en general, el modelo de rendimiento de toda la nación.

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Lo más importante, a nuestro modo de ver, en la clase que estudiamos fue el modelo de rendimiento de los grupos de raza-sexo. Las notas finales de sexto (puntuación máxima: 100) mostraron que las afronorteamericanas consiguieron las calificaciones más altas (88), seguidas por los varones blancos (87), por las mujeres blancas (84) y por los varones afronorteamericanos (80). En las tres medidas de clase de séptimo, los blancos y las afronorteamericanas obtuvieron puntuaciones más elevadas (obteniendo los blancos unas puntuaciones ligeramente superiores en dos medidas), seguidos por las blancas y los afronorteamericanos. Las puntuaciones de las pruebas estandarizadas eran algo diferentes. En el ITBS y en el AJHE los blancos obtuvieron puntuaciones más altas, seguidos por las blancas, las afronorteamericanas y los afronorteamericanos. En el ITBS, los afronorteamericanos obtuvieron un percentil especialmente bajo, en comparación con los otros tres grupos (57 frente a percentiles entre 70 y 80 de los otros grupos).

En el AJHE, los blancos se destacaban con una puntuación muy superior a la de los otros tres grupos (una puntuación porcentual de 33, frente a las mucho más bajas, entre 20 y 30). La pauta consistente en todas las medidas era que los blancos obtenían puntuaciones más elevadas que las blancas y que las afronorteamericanas obtenían puntuaciones más elevadas que los afronorteamericanos 1. Nuestros datos concordaban, al menos, con los de otro estudio (YANDO, SEITZ Y ZIGLER, 1979), que mostraban que las afronorteamericanas rendían en un nivel superior al de los afronorteamericanos.

Confianza en sí mismos ante el aprendizaje de las matemáticas. En la clase que estudiamos, los resultados de la escala de confianza FENNEMA-SHERMAN (1976) pusieron de manifiesto que los afronorteamericanos obtenían puntuaciones más elevadas que los blancos (con una diferencia de más de media desviación típica) y las mujeres obtenían puntuaciones superiores a las de los varones (menos de un tercio de desviación típica).

No obstante, descubrimos que atender sólo a la raza o al sexo llevaba a una apreciación errónea. En los resultados obtenidos en la escala de confianza Fennema-Sherman destaca que las alumnas afronorteamericanas obtenían unas puntuaciones mucho más elevadas que cualquier otro grupo, casi una desviación típica de diferencia con respecto al segundo grupo en puntuación: los estudiantes blancos. Más aun, reflejando los resultados de rendimiento, las diferencias de sexo en confianza aparecían en sentidos opuestos en ambos grupos raciales. Los blancos obtuvieron una puntuación casi media desviación típica superior a la de las blancas; la puntuación de las afronorteamericanas era más de una desviación típica más elevada que la de los afronorteamericanos. Las entrevistas con los alumnos coincidieron en algunos aspectos, pero no en todos, con los resultados de la escala Fennema-Sherman. Por ejemplo, tanto las alumnas como los alumnos afronorteamericanos manifestaron su confianza en sus capacidades para las Las medias de las medidas de rendimiento de la clase estaban relacionadas con el número total de interacciones entre profesor y alumno y de interacciones académicas, y las medias de las medidas estandarizadas de rendimiento estaban relacionadas con el número de interacciones de procedimiento. Las mujeres afronorteamericanas y los varones blancos obtuvieron las puntuaciones más elevadas en las medidas de rendimiento en clase y presentaban el mayor número de interacciones. El orden de las medias de los cuatro grupos de raza-sexo con respecto a las interacciones de procedimiento (varones blancos, mujeres blancas, mujeres afronorteamericanas, varones afronorteamericanos) era el mismo que el orden de las medias en las medidas estandarizadas de rendimiento. Unas diferencias de interacciones académicas relativamente grandes se reflejaban en diferencias de rendimiento en clase relativamente pequeñas, y unas diferencias de interacciones de procedimiento relativamente pequeñas se reflejaban en diferencias de rendimiento estandarizado relativamente grandes.

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matemáticas, confirmando la diferencia a favor de los afronorteamericanos que apreciamos en el instrumento de papel y lápiz. A diferencia del resultado de la escala Fennema-Sherman, que mostraba que las mujeres afronorteamericanas destacaban en relación con los otros tres grupos en sentido positivo, las entrevistas nos llevaron a concluir que las mujeres blancas destacan frente a los demás grupos por confiar menos en su capacidad matemática. Esta conclusión de las entrevistas tiene una importancia especial ante el hecho de que los cuatro grupos mostraron bastante confianza en la escala Fennema-Sherman [o sea, las puntuaciones medias de los cuatro grupos fueron superiores a las medias que daban FENNEMA Y SHERMAN (1 978) en su trabajo sobre estudiantes de middle school].

No obstante, de los cuatro grupos de raza-sexo, las alumnas blancas presentaban la mayor variación de puntuaciones en rendimiento, uniéndolas sus dudas sobre su capacidad para las matemáticas. En nuestras entrevistas, una de las alumnas blancas se describió a sí misma como "poco lista para las matemáticas"; otra dijo que tenía "muchos problemas" con esta materia. Incluso en el caso de que demostraran confianza, no siempre lo expresaban de forma positiva, como manifestó una: "no desconfío [de mi capacidad]". Wendy es una alumna blanca, muy capaz para las matemáticas, como se desprende tanto de sus puntuaciones en las pruebas de rendimiento como de nuestras observaciones, pero su nivel de confianza en sí misma no concuerda con el de rendimiento. Decía que era "bastante mala" en matemáticas y afirmaba que el simple hecho de sumar, restar, multiplicar y dividir la confundía. Manifestaba que le preocupaban mucho las pruebas y que había tenido mucha suerte al hacerlas tan bien porque, con sus propias palabras, "no soy buena en matemáticas". Sin embargo, no queremos presentar un cuadro exclusivamente negativo de la confianza en sí misma de Wendy. Por ejemplo, cuando le preguntamos si, en resumen, podía sumar cosas, ella dijo: "sí, sumo bien las cosas, pero me lleva un ratito en matemáticas". Wendy pensaba que, haciendo sus tareas en casa, estudiando mucho y conservando limpio su cuaderno podría superar algunos problemas que creía tener.

Utilidad percibido de las matemáticas. Como en la escala de confianza en sí mismos, las alumnas y alumnos afronorteamericanos de nuestra clase obtuvieron puntuaciones más elevadas que las alumnas y alumnos blancos en la escala de utilidad percibido de Fennema-Sherman. A diferencia de los resultados de confianza, la puntuación de los varones en la escala de utilidad percibido fue más elevada que la de las mujeres. En ambos casos, la diferencia fue de un tercio de la desviación típica. Una vez más, las diferencias de sexo eran opuestas en ambos grupos raciales. Las mujeres afronorteamericanas obtuvieron puntuaciones más elevadas que los varones afronorteamericanos, superándolos en menos de un tercio de la desviación típica. Los varones blancos superaron en puntuación a las mujeres blancas, con una diferencia superior a dos tercios de la desviación típica. Entre los grupos de raza-sexo, las mujeres blancas destacaban en sentido negativo, situándose a una distancia de media desviación típica del siguiente grupo con puntuación más baja: los varones afronorteamericanos.

Las entrevistas no aportaron información que confirmara o refutara los resultados de la prueba de papel y lápiz, salvo lo poco que estos alumnos de séptimo podían decir sobre la utilidad de las matemáticas. Este resultado tiene un interés especial ante las opiniones uniformemente positivas sobre la utilidad de las matemáticas que dieron todos los

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alumnos en la prueba de papel y lápiz. Así, una alumna afronorteamericana, con una de las puntuaciones más altas en la escala de utilidad, en la entrevista no tuvo nada que decir sobre la utilidad de las matemáticas. Dijo que no había pensado mucho en lo que haría después de la high school, que no estaba segura de si utilizaría las matemáticas ni de por qué tenía que estudiarlas. Todos los demás alumnos pusieron ejemplos de la conveniencia de las matemáticas o, al menos, dijeron que eran útiles. No obstante, la mayoría de las percepciones del beneficio de las matemáticas era limitada. Por ejemplo, algunos alumnos dijeron que necesitaban las matemáticas para saber contar, poder representar el coste de algo en la tienda o hacer el balance de un talonario de cheques.

Otros ejemplos estaban más relacionados con las carreras concretas en las que pensaban los alumnos. Uno de ellos, que quería ser fotógrafo, manifestó que necesitaba las matemáticas para ver "lo grandes que son las fotografías". Otra, que quería ser pediatra, dijo que necesitaba las matemáticas "para hacer mis facturas". La niña que quería ser dentista manifestó algún detalle más. Dijo que necesitaba las matemáticas para medir los dientes y "multiplicar eso por una determinada cantidad y hacerlo tanto". La niña que quería ser veterinaria expuso que necesitaba las matemáticas para calcular cuántos puntos necesitarían los animales. Algunos alumnos hicieron afirmaciones más globales sobre la utilidad de las matemáticas, diciendo que las matemáticas están a nuestro alrededor, que las utilizamos todos los días y que, en la mayoría de los trabajos actuales, hay que utilizar números. Pero ninguno fue capaz de justificar con claridad estos lugares comunes sobre la utilidad de las matemáticas. El aspecto interesante es que, aunque los resultados de la prueba de papel y lápiz establecían diferencias entre grupos de alumnos, las entrevistas no nos permitieron confirmarlas; más importante aún, indicaron la escasa idea que tenían los estudiantes sobre la utilidad de esta ciencia.

Entretenimiento con las matemáticas. Utilizamos dos ítemes de la escala de motivación por los efectos de FENNEMA-SHERMAN como medidas de entretenimiento: "Las matemáticas son divertidas y estimulantes" y "No entiendo cómo puede disfrutar la gente empleando un montón de tiempo con las matemáticas". Se adaptaron las respuestas de manera que las medias más elevadas indicaran mayor entretenimiento. De acuerdo con los demás resultados de actitud obtenidos, los afronorteamericanos obtuvieron puntuaciones más altas que los blancos en ambos ítemes de entretenimiento, con una diferencia de casi tres cuartos de desviación típica en el primer ítem y de casi una desviación típica en el segundo. Los chicos obtuvieron puntuaciones más altas que las chicas, con una diferencia mayor que una desviación típica en el primer ítem y de sólo alrededor de un cuarto de desviación típica en el segundo.

Las alumnas blancas destacaban en sentido negativo frente a los otros tres grupos de raza-sexo. Constituían el único grupo cuya media en cada ítem indicaba que no les gustaban las matemáticas (una media de 3, en la escala de 0 a 5, sería neutral; las medias de las alumnas blancas fueron 1,60 y 2,60). La diferencia entre las alumnas blancas y los alumnos blancos era superior a una desviación típica y media en el ítem "las matemáticas son divertidas y estimulantes", y superior a media desviación típica en el ítem "no entiendo cómo puede disfrutar la gente", Los alumnos afronorteamericanos indicaban un entretenimiento con las matemáticas mayor (más de media desviación típica en el ítem "las matemáticas son divertidas y estimulantes") o igual (en el ítem "no entiendo cómo puede disfrutar la gente") a las de las alumnas afronorteamericanas. En consecuencia, los ítemes de entretenimiento fueron las únicas medidas de actitud o de ren54

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dimiento en las que las afronorteamericanas no obtuvieron puntuaciones superiores a las de los varones.

Los resultados de las entrevistas con los alumnos coincidieron con los de la prueba de papel y lápiz. En concreto, las alumnas blancas, como grupo, manifestaron mucho menor gusto por las matemáticas que los demás grupos de raza-sexo. Una de las cinco alumnas blancas mostró cierto entretenimiento con las matemáticas al decir que le gustaban porque, a diferencia de su experiencia en sexto, sabía lo que estaba haciendo. Pero, para ella, las matemáticas no eran una asignatura preferida; en realidad, manifestó que no tenía ninguna asignatura preferida. Otra alumna blanca dijo que le gustaban algo las matemáticas, pero no del todo. Otras expresaron sentimientos más negativos; una niña dijo que las matemáticas eran la asignatura que menos le gustaba y otra manifestó: "odio las matemáticas; simplemente, odio las matemáticas".

Perseverancia en las matemáticas. Utilizamos dos ítemes de la escala de motivación por los efectos de FENNEMA-SHERMAN como medidas indirectas de perseverancia."Si no puedo resolver en seguida un problema de matemáticas, me paro en él hasta que lo hago" y "preferiría que alguien me diese la solución de un problema difícil de matemáticas a tener que hallarla yo por mi cuenta". Las respuestas se ajustaron de manera que las medias más elevadas correspondieran a una mayor perseverancia. En ambos ítemes, los alumnos afronorteamericanos mostraron mayor perseverancia que los blancos, con una diferencia en torno a un tercio de desviación típica, concordando los resultados de perseverancia con todas las demás medidas cuantitativas no relacionadas con el rendimiento. Los resultados por sexos de ambos ítemes eran ambiguos. Los chicos mostraban mayor perseverancia que las chicas en el ítem "me paro en él", con una diferencia mayor de tres cuartos de desviación típica; en el ítem "que me diesen la solución", las chicas mostraban mayor perseverancia, con una diferencia menor de un cuarto de desviación típica. En los grupos de raza-sexo, se destacaba positivamente el grupo de los varones afronorteamericanos en el ítem "me paro en él", con una diferencia de casi una desviación típica con respecto al siguiente grupo con puntuación más elevada.

En el ítem "que me dieran la solución", las alumnas afronorteamericanas obtuvieron la mayor puntuación, con una diferencia cercana a un tercio de desviación típica sobre el siguiente grupo con mayor puntuación.

Resultó complicado establecer conclusiones sobre la perseverancia de los alumnos a partir de las entrevistas, que eran otra medida indirecta, y nos fue aún más difícil relacionar las medidas cuantitativas indirectas y las de entrevistas con nuestras observaciones en clase. Lo más sorprendente de los resultados de perseverancia era la cantidad de incoherencias en cada medida y entre las distintas medidas. Por ejemplo, una alumna afronorteamericana que, según nuestras observaciones en clase, era una de las estudiantes más tenaces obtuvo puntuaciones muy bajas en los dos ítemes de perseverancia de la prueba de papel y lápiz y, en la entrevista, mostró una perseverancia moderada.

Tim, considerado como el mejor alumno de matemáticas de la clase, no sólo por el Sr. Martin, sino también por sus compañeros, obtenía la mayor puntuación posible en un ítem y la más baja posible en el otro. En la entrevista, manifestó que su respuesta ante un enunciado difícil de un problema era: "yo puedo hacerlo", y que nunca lo dejaba por imposible. En nuestras observaciones, vimos que, a veces, sí dejaba algo por imposible.

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Este tipo de incoherencia nos llevó a considerar de nuevo la definición y la importancia de la perseverancia en la clase.

C ONCLUSIONES Nuestro comentario sobre las actitudes y las conductas relacionadas con el rendimiento se centrará en dos conclusiones principales. En primer lugar, las limitaciones de la clase de matemáticas exigen una nueva consideración del significado de la perseverancia: hay que establecer una distinción entre perseverancia e independencia para comprender del todo la relación entre perseverancia y rendimiento. En segundo lugar, el análisis de las actitudes, tanto de grupos como de individuos, lleva a la conclusión de que no existe una relación sencilla y evidente entre una actitud concreta y el rendimiento. Esta conclusión no reduce la importancia del estudio de las actitudes, sino que supone que la relación entre las actitudes y el rendimiento es más compleja de lo que expresan los coeficientes de correlación, y que es posible que tengamos que examinar minuciosamente las configuraciones concretas de actitudes mostradas por cada alumno.

La función de la perseverancia en la clase de matemáticas Tanto los ítemes de papel y lápiz como nuestras observaciones en clase pusieron de manifiesto los problemas de la definición de la perseverancia y la determinación de la relación entre la perseverancia y el rendimiento en la clase de matemáticas. En el aula que estudiamos, era más fácil encontrar casos de alumnos que dejasen por imposible un problema que ejemplos positivos de tenacidad ante la dificultad, porque se daban pocas oportunidades a los alumnos para perseverar de ese modo. Tim es un buen ejemplo.

Estaba muy de acuerdo con el enunciado de la prueba de papel y lápiz que decía: "me paro en él", pero también lo estaba con el enunciado del otro ítem: "preferiría que alguien me diera la solución de un problema difícil de matemáticas". Aunque las respuestas parecen contradictorias en un plano superficial, un examen minucioso de los ítemes, a la luz de nuestras observaciones de Tim en clase, hace que las respuestas parezcan razonables y coherentes con sus acciones, demostrando el carácter problemático de la perseverancia en la clase de matemáticas.

Tim obtuvo las puntuaciones más elevadas en las dos medidas estandarizadas de rendimiento, quedando cerca del máximo en las cuatro medidas de clase.

Tanto sus compañeros como el Sr. Martin lo consideraban como el mejor alumno de matemáticas. Como dijimos antes, Tim dominaba las discusiones de clase, el profesor lo llamaba con mucha frecuencia para que respondiera a cuestiones difíciles de matemáticas y hacía comentarios sobre la actuación de sus compañeros. A la mayoría de sus compañeros les resultaba muy incómodo; disfrutaban mucho cuando daba una respuesta incorrecta a un problema. Tim no desafiaba la autoridad de los métodos tradicionales de clase de matemáticas, al estilo de los "inconformistas matemáticos de rostro pálido" de GRIEB y EASLEY (1984), pero si desafiaba a la autoridad personal del profesor en clase.

Tim no siempre seguía intentando resolver por su cuenta un problema cuando se encontraba con dificultades matemáticas; de hecho, a veces, estaba muy dispuesto a dejar-

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lo por imposible. En su esfuerzo no se reflejaba tanto la perseverancia para resolver problemas matemáticos por su cuenta como la prisa por hacer sus tareas lo antes posible. Si, dejando un problema y pidiendo ayuda a Bob o al Sr. Martin, era probable que acabase antes el trabajo, Tim no tenía ningún inconveniente en reclamar ayuda. El hecho de perseverar hasta resolver un problema por sus propios medios no siempre era importante para Tim porque hacerlo bien sólo suponía obtener una buena nota en una tarea. En realidad, hacer con rapidez las cosas era coherente con el factor más dominante de Tim, hasta el punto de que, a veces, anunciaba que tenía hecha la tarea antes de haberla terminado por completo. Así, Tim puede haber interpretado la idea de "me paro en él" del primer ítem de papel y lápiz como conseguir por cualquier medio la respuesta correcta con la mayor rapidez posible. Este enfoque es muy compatible con su deseo de que alguien le dé la respuesta a un problema difícil, su propia respuesta al segundo ítem de papel y lápiz.

Este análisis de la conducta de Tim en clase es, hasta cierto punto, erróneo porque era raro que tuviera que enfrentarse a un problema difícil. Le resultaban fáciles casi todas las tareas que ponía el profesor, por lo que tenía pocas oportunidades para demostrar su disposición a luchar por su cuenta, pero, cuando ocurría esto, solía optar por buscar ayuda con el fin de acabar la tarea cuanto antes. Una razón de la dificultad para determinar la relación entre perseverancia y rendimiento es que la conducta de afrontar sin ayuda las dificultades y tratar de resolverlas por los propios medios no suele estimularse ni observarse en las clases de matemáticas, incluyendo el aula que hemos analizado. Para nosotros, era más fácil encontrar ejemplos de falta de perseverancia que casos positivos de tenacidad ante las dificultades porque el nivel y el ritmo de enseñanza no favorecían ese tipo de situación conflictiva.

Ni los alumnos de rendimiento elevado ni los de bajo rendimiento solían demostrar perseverancia en clase. Los primeros, como Tim, casi no tenían ocasión de enfrentarse con un auténtico problema de matemáticas porque la mayoría de las tareas les resultaban fáciles; los alumnos de bajo rendimiento afrontaban las dificultades, pero tenían pocas oportunidades de luchar por su cuenta, debido al ritmo de enseñanza. Es más, no se enseñaba a los alumnos otro modo de afrontar las dificultades que pedir ayuda de inmediato. Era evidente que el objetivo de la clase que nosotros estudiamos no consistía en aprender mediante el esfuerzo personal, sino en conseguir las respuestas y realizar las tareas. En realidad, los alumnos no tenían que esforzarse para conseguir una respuesta, sobre todo en las pruebas y tareas que se les presentaban en formato de respuesta múltiple.

En una situación de clase, la perseverancia no puede juzgarse sobre la sencilla base de si los alumnos dan o no una respuesta porque, en efecto, a todos se les exige que la obtengan. Sin embargo, tampoco debemos juzgar la perseverancia de los niños partiendo de si se esfuerzan o no por conseguir una respuesta por sus propios medios, puesto que no siempre es la postura más inteligente en una clase de matemáticas. Aunque la perseverancia pueda ser una virtud, las limitaciones de tiempo de la clase de matemáticas y el ritmo de enseñanza pueden hacer que este tipo de tenacidad sea un obstáculo para el rendimiento. Incluso en situaciones ajenas a la clase, cuando se solicita a un alumno una tarea sin limitaciones de tiempo, no siempre es constructivo ese tipo de perseverancia: puede ser bueno dejar el problema durante algún tiempo para volver a él más tarde. Pero, en una clase de matemáticas, ésta no suele ser una opción posible para los

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alumnos. Por tanto, un individuo tiene que guardar un equilibrio entre su interés por seguir tratando de resolver un problema y la necesidad de terminar la página y pasar a la tarea siguiente. En consecuencia, el hecho de conseguir ayuda, bien de los compañeros, bien del profesor, puede no ser un signo de falta de perseverancia, sino una opción razonable dentro de los límites de la clase.

Para nosotros, es claro que, en las clases de matemáticas, hay que estimular a los alumnos para que traten de afrontar las dificultades por sus propios medios. Sin embargo, nuestro estudio de esta clase nos lleva a concluir que tenemos que pensar de otro modo en la perseverancia o en distintos tipos de la misma porque, de algún modo, los niños y los profesores siempre tendrán que enfrentarse con limitaciones de tiempo. Por ejemplo, quizá tengamos que hacer una distinción más clara entre perseverancia e independencia y buscar casos de tentativas perseverantes de comprender, en vez de la tenacidad frente a un problema difícil de matemáticas. Después, podríamos intentar juzgar el nivel de perseverancia demostrado en las interacciones con otros. Podríamos preguntarnos si un niño está dispuesto a tratar de comprender un concepto en una interacción o se limita simplemente a conseguir una respuesta. Nuestras observaciones de clase nos llevan a concluir que, entre los niños, hay importantes diferencias con respecto a su modo de actuar en las interacciones con el profesor y con sus compañeros, pero nosotros no nos centramos lo suficiente en estos distintos estilos de interacción para poder extraer conclusiones más concretas.

La relación entre las actitudes y el rendimiento Aunque los investigadores han utilizado instrumentos de papel y lápiz para aislar determinadas posiciones y establecer correlaciones entre actitudes y rendimiento, no han podido explicar cómo afectan éstas al rendimiento (o, incluso, cómo puede influir el rendimiento en las actitudes). En este apartado, expondremos las relaciones aparentes entre las actitudes de confianza en sí mismos, utilidad de las matemáticas y entretenimiento con las matemáticas, por una parte, y el rendimiento en esta materia de los alumnos de la clase que estudiamos. Describiremos también cómo parecen interactuar estas actitudes entre sí, haciendo difícil aislar sus efectos particulares. Las medidas limitadas de rendimiento y las exclusivas configuraciones de las destrezas de cada alumno hacen todavía más confusos los intentos de relacionar las actitudes y el rendimiento de los diversos grupos de alumnos.

Confianza, utilidad, entretenimiento y rendimiento. No era difícil ver la necesidad de examinar al mismo tiempo la raza y el sexo para dar algún sentido a las relaciones entre actitudes y rendimiento. Si se atiende sólo a la raza, los estudiantes afronorteamericanos obtenían puntuaciones más altas que los blancos en todas las medidas de actitudes de papel y lápiz, y puntuaciones más bajas que los blancos en las seis medidas de rendimiento. Si atendemos sólo al sexo, las confusas diferencias de rendimiento hacen problemática cualquier afirmación sobre las diferencias generales de sexo con relación a las actitudes y al rendimiento. Sin embargo, cuando se tienen en cuenta los cuatro grupos de raza-sexo, la relación entre actitudes y rendimiento se aclara, aunque no de forma definitiva.

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Parece que la confianza en sí mismo es la actitud más relacionada con el rendimiento en los cuatro grupos de sexo-raza. Por ejemplo, las diferencias de sexo en cuanto a rendimiento y confianza se presentaban en sentidos opuestos en los dos grupos raciales: los varones blancos y las mujeres afronorteamericanas mostraban un rendimiento superior y mayor confianza en sí mismos que las mujeres blancas y los varones afronorteamericanos, respectivamente.

La utilidad y el entretenimiento parecían relacionados con las diferencias de sexo en cuanto al rendimiento en el caso de las alumnas y alumnos blancos, pero no en el de los afronorteamericanos. En la medida de utilidad de papel y lápiz, en las medidas de entretenimiento de papel y lápiz y de entrevistas y, de nuevo, en las seis medidas de rendimiento, los varones blancos obtenían puntuaciones más elevadas que las mujeres blancas. Aunque las afronorteamericanas obtenían puntuaciones más elevadas que los varones afronorteamericanos en todas las medidas de rendimiento, ambos grupos aparecían separados por una diferencia en torno a un tercio de desviación típica en la escala de utilidad, y los varones afronorteamericanos demostraban un entretenimiento con las matemáticas igual o superior al de las mujeres afronorteamericanas.

Los descubrimientos relativos a la utilidad y al entretenimiento son importantes por dos razones. En primer lugar, demuestran que las distintas actitudes pueden tener diferentes relaciones con el rendimiento en los diversos grupos. En segundo lugar, aunque el grado en que las mujeres y varones afronorteamericanos se entretienen con las matemáticas no parece reflejar la diferencia de sexo en el rendimiento a favor de las mujeres afronorteamericanas, sigue siendo importante y útil conocer que los varones afronorteamericanos se entretienen con las matemáticas. Está muy bien que los estudiantes disfruten con las matemáticas, pero el hecho de que un grupo que presenta un nivel de rendimiento en matemáticas más bien bajo muestre un nivel relativamente elevado de entretenimiento con las matemáticas debería informar los intentos de ayudar a estos alumnos a alcanzar un mayor nivel de rendimiento. Las intervenciones para mejorar el rendimiento en matemáticas de los varones afronorteamericanos deben ser diferentes de las que se dirijan a las mujeres blancas, a causa de las distintas relaciones entre entretenimiento y rendimiento en ambos grupos.

La interacción entre las actitudes. Resultaba difícil aislar los efectos de una actitud concreta, dadas las aparentes interacciones de las actitudes. Comenzamos a observar estas interacciones cuando tratamos de explicar las respuestas obtenidas en las entrevistas que contradecían los resultados de papel y lápiz y que, a veces, presentaban contradicciones internas entre una respuesta y otra. Cathy proporciona un buen ejemplo.

En cuanto al éxito en la asignatura, era la mejor alumna blanca; por otra parte, sus compañeros decían en las entrevistas que era impopular. El Sr. Martin señalaba a Cathy y a Tim como los dos alumnos de la clase a los que propondría para que pasaran al grupo acelerado de matemáticas de séptimo. En las medidas de actitudes de papel y lápiz, Cathy obtuvo puntuaciones relativamente altas en confianza en sí misma y en percepción de la utilidad y más bien bajas en los dos ítemes referidos al entretenimiento. En la entrevista, Cathy manifestó que no disfrutaba con las matemáticas; aportó respuestas contradictorias a nuestras preguntas sobre la utilidad de esta materia, y era difícil separar la confianza en su capacidad para las matemáticas de las otras dos actitudes. La entrevista nos hizo comprender mucho mejor las actitudes de Cathy porque

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pudimos verlas en interacción. Su confianza y su percepción de la utilidad de las matemáticas no eran tan positivas como indicaban las puntuaciones en la escala y su nivel de entretenimiento era bajo, pero no tanto como se desprendía de sus respuestas a los dos ítemes de papel y lápiz relacionados con el entretenimiento con las matemáticas.

Dicho de otro modo, el cuadro total de las actitudes de Cathy hacia las matemáticas no era la simple suma de sus puntuaciones en las medidas de papel y lápiz.

Cuando al realizar la entrevista pedimos a Cathy que se comparase con los demás alumnos, subestimó su situación en la clase, diciendo: "Mediana. Ni superbuena ni terriblemente mala. Justo ahí, del montón". Le preguntamos por qué era del montón y cómo conseguía obtener unos resultados superiores a la media y dijo: "Yo podría trabajar mucho más y también estudiar más y quizá entonces dominara la materia". Dijo que, cuando estaba segura de algo, no volvía a revisarlo porque le aburría, lo que indicaba tanto un nivel de confianza más elevado de lo que dejaba ver su primer comentario como que no se entretenía demasiado con las matemáticas que estudiaba en clase. Esta falta de entretenimiento con las matemáticas se confirmó en la entrevista. En un momento, dijo que las matemáticas le gustaban un poco más, pero, de inmediato, añadió que no le entusiasmaban.

Cuando se le preguntó qué propiciaba el que algunas personas fuesen mejores en matemáticas, Cathy dijo que, en parte, la razón es que algunas personas tienen "talento" para las matemáticas y, más tarde, admitió que ella tenía "quizá algo" de talento, mostrando, de nuevo, cierta conciencia de su capacidad y más confianza en sí misma. Cathy dijo también que algunas personas eran mejores en matemáticas porque se esforzaban por conseguirlo, indicando a continuación que ella no se preocupaba, relacionando su falta de entretenimiento con las matemáticas con su idea de que gran parte de ellas no eran demasiado útiles: "Creo que, en matemáticas, necesitas conocer lo básico. Todo lo demás es una pérdida de tiempo". Cathy fue capaz de poner algunos ejemplos de la utilidad de esta materia, diciendo incluso: "En todas partes necesitas bastantes matemáticas". Pero también comentó: "No vas a ampliar tus conocimientos [de matemáticas] y aprender toda una materia que no vas a utilizar”. Acabó la entrevista diciendo que, aparte del cálculo, "en la vida diaria no necesitas muchas más matemáticas".

Basándonos en estas respuestas de la entrevista con Cathy, concluimos que, más importante que su nivel de confianza, era su visión de las matemáticas como algo que no le gustaba hacer y cuya utilidad era limitada. Como era evidente que su nivel de confianza interactuaba con estas otras actitudes, no es fácil decir con exactitud cuánto confiaba Cathy en su capacidad para las matemáticas. La cuestión es que el caso de Cathy es un buen ejemplo de la incapacidad de las puntuaciones de actitudes en pruebas de papel y lápiz para describir las actitudes en su totalidad; no muestran hasta qué punto sus actitudes interactuaban. Aislar una actitud concreta es tanto problemático y potencialmente erróneo como útil.

El problema de las medidas de rendimiento. Si es correcto concluir que las actitudes interactúan y forman configuraciones exclusivas de cada alumno, se hace aún más difícil describir con claridad las conexiones entre actitudes y rendimiento. Es más, las medidas tradicionales de rendimiento pueden entorpecer, en realidad, los intentos de entender estas conexiones. De nuevo, podemos utilizar a Cathy para ilustrar este aspecto.

Aunque entre todos los alumnos, Cathy estaba entre los tres de mejor rendimiento en 60

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matemáticas, basándonos en nuestras observaciones en clase, nos parecía que, en realidad, sus actitudes la llevaban a aprender menos matemáticas de lo que sería capaz. Por ejemplo, cuando terminaba una tarea, en vez de comunicárselo al profesor, se conformaba con quedarse en su sitio y leer una novela que llevaba a clase. A menudo, el Sr. Martin no observaba esa situación y, cuando se percataba, no interrumpía su lectura.

En una entrevista, se refirió en broma al número de novelas que Cathy había leído en su clase, pero, a veces, no podía recordar su nombre cuando hablaba de ella.

De nuevo, a pesar de la gran cantidad de tiempo que Cathy dedicaba a actividades que no eran matemáticas, se encontraba entre los alumnos mejores de la clase. Por tanto, sus actitudes no le impedían hacer bien sus tareas en esta materia concreta. Lo que nos preocupaba y no podemos describir por completo, basándonos en el estudio de casos, era el efecto acumulativo de sus actitudes y el consiguiente descenso, con el tiempo, de su rendimiento en matemáticas. Esta alumna nos parecía capaz de un conocimiento mucho más profundo de las matemáticas y era exactamente el tipo de estudiante que necesita ser estimulada para seguir cursando asignaturas de matemáticas.

U NA OBSERVACIÓN FINAL Comenzamos nuestro estudio de casos con el objetivo de estudiar las diferencias de sexo y de raza en las actitudes ante la matemática y en la conducta de perseverancia relacionada con el rendimiento. A pesar de que los estudiantes afronorteamericanos obtuvieron unas puntuaciones más altas que los blancos en las medidas de actitudes y de perseverancia en pruebas de papel y lápiz, descubrimos que el nivel más productivo de análisis de grupo exigía examinar de forma simultánea el sexo y la raza. Incluso este análisis de grupo estaba limitado por el grado en que cada estudiante mostraba una configuración exclusiva de características en interacción, que nos confirmaba la importancia de considerar a estudiantes arquetípicos en vez de grupos demográficos. Nuestro trabajo indica la necesidad de calificar las diferencias de grupo mediante el estudio de individuos en el transcurso del tiempo, y sus actitudes y conductas en interacción, utilizando múltiples medidas de rendimiento.

B IBLIOGRAFÍA FENNEMA, E. Y SHERMAN, J. A. (1976): "Fennema-Sherman mathematics attitudes".

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317-362). Greenwich, CT, JAI. LEDER, G. C. (1 992): "Mathematics and gender: Changing perspectives". En D. A. GROUWS (ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (págs. 597622). Nueva York, Macmillan.

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REYES, L. H. y STANIC, G. M. A. (1 988): "Race, sex, socioeconomic status, and mathematics". Journal for Research in Mathematics Education, 19, págs. 26-43.

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YANDO, R., SEITZ, V. Y ZIGLER, E. (1 979): Intellectual and personality characteristics of children: Social-class and ethnic-group differences. Hiilsdale, NJ, Eribaum.

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Lectura 4 Dimensiones sociales y críticas de la equidad en la educación matemática Walter G. Secada Tomado del Capítulo V del libro: Equidad y enseñanza de las matemáticas. Nuevas tendencias de Secada, Fennema y Adajian (Comps.). Ministerio de Educación y Cultura y Morata. España 1 997. pp. 160-178.

Un reciente intercambio de opiniones entre Thomas ROMBERG (1992a) y Michael APPLE (1992a, b) ilustra hasta qué punto surgen las tensiones cuando los esfuerzos para intensificar la enseñanza de las matemáticas se evalúan de acuerdo con los contextos sociales en los que éstos se desarrollan. Decía APPLE que los Standards del National Council of Teachers of Mathematícs (NCTM) (1989, 1991) no sólo debían tenerse en cuenta en relación con sus aspectos positivos y técnicos (muchos de los cuales considera meritorios), sino también como un conjunto de sistemas de eslóganes, minuciosamente configurados, cuya visión y vaguedad pueden arrastrar a las personas a emprender una acción positiva y simbólica a la vez. Admitiendo que tanto individuos como organizaciones profesionales han emprendido muchos esfuerzos positivos para reformar las matemáticas escolares, todavía pueden verse convocatorias y otras acciones cuyo valor se deriva de su simbolismo o de cualquier otra razón. Con esto no quiere decirse que los aspectos esenciales y los simbólicos no puedan mezclarse, sino que se combinan produciendo efectos de distinto grado. Las reuniones mantenidas por el NCTM abordan aspectos esenciales, pero también simbólicos, debido a la atención prestada a los Standards (por ejemplo: GARRETT, 1992), mientras hay otras convocatorias en las que gobernadores de Estados y otros que ni siquiera han leído esos documentos (y mucho menos entendido lo que tratan de conseguir) los ensalzan, otorgando importancia al simbolismo a costa de la esencia.

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En relación con los aspectos esenciales, APPLE afirma también que estos documentos no llegan lo bastante lejos, en la medida en que no tienen en cuenta "las realidades del poder diferencial, la crisis económica y la construcción social de lo que se considera alfabetización matemática y de los problemas en los que [las matemáticas escolares] deben centrarse" (1992a, pág. 428). En cambio, los dos documentos de Standards -por sus referencias a las crisis económicas de los últimos años ochenta- aceptan y justifican una determinada visión de la sociedad de modo parecido a como el movimiento de la "nueva matemática" de finales de los años cincuenta y de los sesenta aceptó y difundió (en el campo de las matemáticas escolares) la retórica de la guerra fría de la época inmediatamente posterior al Sputnik (véase: PITMAN, 1989).

La respuesta de ROMBERG llama la atención a lo que los Standards trataba de conseguir: presentar una visión de los cambios de las matemáticas escolares que tuviera en cuenta las ideas más actuales y en desarrollo sobre el modo de aprender de las personas, las necesidades económicas y sociales de una ciudadanía democrática y los costes de tales cambios. En consecuencia, sin discrepa de la evaluación del carácter simbólico de los Standards de APPLE, ROMEBERG SOS tiene que en los Standards pueden descubrirse la racionalidad y los aspectos esenciales, que desempeñan unas funciones fundamentales en su desarrollo. En un artículo reciente, ROMBERG (1993) entrelaza las preocupaciones esenciales y las simbólicas de los Curriculum Standards (NCTM, 1989), que considera "banderín de enganche para los profesores de matemáticas".

No es la primera vez que algunos autores señalan que las matemáticas escolares constituyen un artificio social que combina el simbolismo con la esencia y la técnica ni es probable que sea la última. CORNBLETH (1987) Y POPKEWITZ (1987, 1988) llamaban la atención sobre las formas en que el curriculum escolar de matemáticas está sometido a fuerzas que, simultáneamente: a) tratan la disciplina de las matemáticas como símbolo; b) defienden la universalidad y la neutralidad, trascendentes y transculturales, de las matemáticas; c) mantienen que la traducción de las matemáticas a una asignatura escolar está directamente relacionada con el carácter mismo de la disciplina, y d) defienden, en consecuencia, que las matemáticas escolares tienen una categoría privilegiada semejante. CORNBLETH (1 987) sostiene que tanto el valor de las matemáticas, en cuanto asignatura escolar, como la dificultad que suponen los esfuerzos de cualquier reforma están relacionados con la persistencia de mitos y de la mito génesis que se basan en creencias profundas sobre el aprendizaje de los alumnos, nuestra sociedad y el modo como las escuelas clasifican y preparan a los estudiantes para la vida en esa sociedad.

El análisis de POPKEWITZ (1987, 1988) versa sobre el discurso público y los supuestos que apoyan y hacen posible ese discurso. POPKEWITZ señala tres funciones que las matemáticas escolares pueden desempeñar en la sociedad: hacer una referencia simbólica al fundamento científico y tecnológico de esa sociedad, otorgar una categoría superior a los expertos que han llegado a dominar la materia y oscurecer el carácter socialmente construido de muchos fenómenos que se estudian mediante las matemáticas (pueden verse algunos ejemplos en el Capítulo Vi de este volumen). Según POPKEWITZ, esas funciones crean y apoyan unas fuerzas sociales que contribuyen a configurar las matemáticas escolares y permiten que la reforma opere tanto en los niveles simbólicos como en los técnicos.

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Del mismo modo que ocurre en la investigación de la educación matemática, hay un conjunto creciente de estudios que trata de situar esa investigación en los contextos sociales en los que se realiza. Por ejemplo, en un artículo anterior (SECADA, 1991), examiné las investigaciones basadas en los modelos cognitivos de aprendizaje y de conocimiento, en relación con su forma de ocuparse de las cuestiones de la diversidad de los estudiantes y, en último término, de la equidad. Decía allí que ese trabajo restringe nuestras interpretaciones de lo que, en esencia, son estados públicos y sociales de las cuestiones (por ejemplo, el rendimiento escolar), a cuestiones privadas, psicológicas e individuales (por ejemplo, rasgos de personalidad, procesos cognitivos o creencias). Es más, sostenía que las investigaciones que tratan de estudiar las diferencias relativas a la equidad y basadas en la diversidad de grupos se consideran derivadas (replican los estudios de otros) o se limitan a buscar diferencias entre grupos. En todo caso, los resultados consisten en una comparación entre el grupo estudiado y la norma dominante [en sentido muy parecido al que señala Suzanne DAMARIN, en el Capítulo X de este libro, cuando habla de la "otreización" (othering)] y en que el trabajo del correspondiente investigador corra el riesgo de que se considere poco original.

Las alusiones al carácter de ciencia básica, mediante quienes se dedican a la investigación basada en la cognición tratan de asegurar una posición privilegiada para su trabajo, se utilizan para justificar el fracaso de la ciencia cognitiva cuando se trata de afrontar directamente las cuestiones relativas a la diversidad de los estudiantes o a lo que puede ser equivalente: la capacidad de generalización. La reivindicación de una categoría privilegiada se funda en la búsqueda de fenómenos psicológicos de aplicación universal, típica de la investigación básica, sin ocuparse de los efectos desconcertantes del contexto social, el afecto, etcétera. En mi artículo anterior, afirmaba que hay otras formas de iniciar la investigación, que no se centran en el individuo, y que las creencias y afirmaciones ideológicas, en las que se funda la investigación básica, deben someterse también a examen, a la luz de las preocupaciones sociales y de las reivindicaciones de equidad.

En este capítulo, intento mantenerme en la línea de investigación que surge cuando los esfuerzos tecnológicos -y, en realidad, muy relacionados con la esencia de las cosaspara perfeccionar las matemáticas escolares se sitúan en el contexto social y político de la equidad. Sostengo que los esfuerzos para incluir la equidad en la reforma y la investigación actuales suelen examinarse según los criterios que se derivan de determinados procesos y creencias sociales, políticos y simbólicos. Aunque esas creencias y los procesos relacionados contribuyen a crear y mantener la comunidad de educadores matemáticos, también pueden levantar obstáculos en contra de la equidad. Por tanto, esta crítica no pretende reducir la importancia ni el fondo de los esfuerzos a favor de la reforma, como tampoco cuestiona las buenas intenciones de las personas que emprenden esos esfuerzos, sino poner de manifiesto y articular el conjunto de problemas que plantean algunas creencias y supuestos compartidos por la comunidad respecto a la reforma y la investigación, desde la perspectiva de la equidad.

También en este capítulo me aparto de la práctica de basarse exclusivamente en investigaciones o en hechos distanciados del observador. En cambio, como Marliyn FRANKENSTEIN ha hecho en el Capítulo Vi de este libro y como hizo LAMPERT (1986, 1990), en su trabajo sobre la enseñanza, y siguiendo un enfoque coherente con las concepciones de los estudios feministas (COLLINS, 1991), así como con la investigación-

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acción de los profesores (DELPIT, 1986; LEWIS Y SIMON, 1986; McDONALD, 1986; ZEICHNER, en prensa), me basaré en experiencias personales, tomándolas como datos para mis análisis. Al poner en común estas experiencias con mis compañeros de la comunidad de la educación matemática, descubrí que muchos de los que trabajan en el tema de la equidad tenían experiencias similares. En consecuencia, este capítulo puede considerarse como un ensayo que pone de manifiesto ciertas preocupaciones comunes sobre la equidad, como un elemento de la investigación contemporánea sobre la reforma.

A LGUNOS ACONTECIMIENTOS SOCIALES Dado que me ocupo de cuestiones relativas a la equidad, me llaman -cada vez con mayor regularidad- para participar en grupos de asesores y en comisiones y como ponente en congresos y conferencias. Una y otra vez, me encuentro con personas muy preocupadas que plantean las mismas preguntas y, llegado el momento, adoptan las mismas conductas para tratar de conseguir la equidad. Están profundamente preocupadas por "el problema de la equidad". Pero también quieren respuestas que sean aplicables de forma inmediata y fácil, que estén bien elaboradas y se ajusten a los paradigmas de investigación vigentes y a los sistemas de creencias preexistentes, que se centren exclusivamente en las diferencias y satisfagan unos niveles de evidencia y de escrutinio superiores a los que se aplican a sus otras creencias.

Respuestas inmediatas No cabe duda del carácter urgente que se otorga a las cuestiones relativas a la equidad, que supone un cambio positivo con respecto al pasado reciente, en el que se consideraba que la equidad se oponía a la excelencia (TOMLINSON, 1986). Por desgracia, esa urgencia se traduce a menudo en una enorme demanda de respuestas y soluciones, no sólo de los responsables de la política educativa y de la comunidad de profesionales, sino también de los investigadores y de otros que, por regla general, dedican tiempo suficiente para definir cuidadosamente cuestiones y problemas en todos los campos de investigación.

Esta demanda de soluciones encuentra su manifestación simbólica en expresiones como "la cuestión de la equidad" o "el problema de la equidad", que se han convertido en códigos para referirse a un amplio conjunto de ideas que, con frecuencia, se contradicen. "La cuestión de la equidad" engloba la complejidad de la diversidad de los estudiantes y de las ideas y tradiciones de las personas que se dedican a este campo; podríamos referirnos con la misma facilidad a la "cuestión de la resolución de problemas".

Esta expresión da la impresión de que existe una única cuestión monolítica de la que ocuparse y de que lo aplicable a un grupo dedicado a la equidad puede transferirse sin más a otros grupos, postura que no comparten muchos defensores de la equidad (SECADA, 1992a).

He podido observar esta tendencia a una solución rápida en muchas comisiones asesoras de las que he formado parte. Esas comisiones toman muy en serio el encargo de reformar las matemáticas escolares; en realidad, muchas se han constituido para promo-

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ver una faceta específica del plan de reforma. Adoptan conscientemente un papel activo para orientar sus esfuerzos hacia la visión de las matemáticas que articulan los Standards (National Council of Teachers of Mathematics, 1989, 1991), Everybody Counts (National Research Council, 1989) y otros documentos relacionados con la reforma (p. ej.: Quality Education for Minorities Project, 1990). La demanda de reforma significa que, cuando se suscita una cuestión relacionada con la equidad, ha de resolverse casi de inmediato.

Por ejemplo, trabajando en un proyecto de investigación reciente, participé en una reunión de estudiosos del lenguaje de las minorías a los que se pidió que revisaran los trabajos realizados para crear unas evaluaciones auténticas a escala nacional. Muchos de estos individuos tienen gran prestigio por sus importantes aportaciones al desarrollo normativo, el perfeccionamiento de la escuela, los tests y la medida y el estudio de la enseñanza y el aprendizaje. Uno de los participantes en la reunión preguntó si el grupo era importante o marginal y si se había convenido que sólo se ratificasen decisiones que ya se hubiesen tomado en otra instancia. La respuesta fue reveladora: en la medida en que resolviésemos problemas, nuestras aportaciones se considerarían muy valiosas y fundamentales; pero, si planteábamos problemas y suscitábamos más cuestiones irresolubles, nuestras aportaciones tendrían una consideración marginal -a pesar de que muchas de nuestras preguntas no se habían tenido en cuenta hasta ese punto en los trabajos del proyecto.

Esas situaciones plantean graves problemas a los defensores de la equidad, dado que muchos de ellos también actúan en el seno de la comunidad investigadora. Quienes suscitan cuestiones relativas a la equidad deben aceptar contribuir a modificar un trabajo en desarrollo sin devolverlo al tablero de diseño o correr el riesgo de que los consideren obstruccionistas, no comprometidos realmente con la reforma. Por desgracia, a menudo, los resultados son superficiales: cambios simbólicos que no abordan los problemas reales. A veces, es más fácil callarse.

Elaboración y ajuste No basta con plantear una cuestión sobre la equidad ni siquiera con aportar el principio de una respuesta. La solución debe elaborarse de manera que se ajuste al discurso dominante; es decir, las soluciones deben adaptarse a los planes dominantes de reforma e investigación. Si no se ajustan a éstos, las soluciones presentadas se descartan, las cuestiones se transforman en problemas irresolubles y se dejan de lado, de manera que el proyecto original siga adelante.

Un ejemplo de este desajuste proviene de mi trabajo en las tentativas basadas en la escuela para potenciar un programa de matemáticas (SECADA y BYRD, 1993). Algunos defensores de la reforma de la educación matemática han manifestado que las escuelas a las que asisten muchos niños de bajo nivel socioeconómico (NSE) experimentan una elevada tasa de movilidad del profesorado, un liderazgo inestable y otros problemas que "salen fuera del ámbito de la educación matemática". Como tenemos que centrar nuestra atención en aspectos "sobre los que podamos hacer algo" -dicen-, debemos dejar de lado las cuestiones que se refieren a la escuela y, en cambio, prestar atención al curriculum y a la enseñanza (en otras palabras, resolver un problema más sencillo, al esti-

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lo de POLYA, 1957), como si los educadores de matemáticas pudieran influir en el curriculum y en la enseñanza sin tener en cuenta la escuela en su totalidad. Nunca se considera que esta visión estrecha de las matemáticas escolares y de su reforma está muy sesgada por valores; que no sólo se traduce en una desconexión de la equidad con respecto a la reforma, sino también en la subordinación de la equidad a los imperativos de la reforma y, por último, que es probable que conduzca a una nueva estratificación de las oportunidades o al fracaso completo de los esfuerzos de reforma.

Las matemáticas para la comunicación. Otro ejemplo de esta cuestión del ajuste y la elaboración se refiere al uso de las matemáticas para la comunicación. Los educadores multiculturales recomiendan que los profesores conozcan y comprendan las normas de comunicación de diversos grupos sociales y culturales (véanse, por ejemplo: DAMEN, 1987; GRANT Y SLEETER, 1989; HEATH, 1986; NIETO, 1992; SLEETER y GRANT, 1988). Sin embargo, como la comunicación transcultural abarca un ámbito más general que las matemáticas, se relega a la gestión general de la clase. En el proceso, la comunicación transcultural se elimina del campo relativo a la forma de enseñar matemáticas, en cuanto tal, y esto a pesar de que la comunicación matemática (una de las cinco normas curriculares más importantes del NCTM) se deriva del universo más general de la comunicación.

Es más, las normas derivadas de la afirmación de que las matemáticas deben utilizarse para la comunicación (p. ej., la creación de comunidades discursivas, al estilo de LAMPERT, 1990) no se examinan en los términos de las normas de la comunicación transcultural, sino, más bien, a la inversa. En consecuencia, quien sostenga que los profesores de matemáticas deben conocer la comunicación transcultural ha de dar una explicación detallada de cómo capacita ese conocimiento a un sujeto para enseñar matemáticas. No conozco a nadie que haya preguntado cómo puede ayudar a los profesores a enseñar a poblaciones estudiantiles de distintos orígenes socioculturales la utilización del lenguaje matemático para la comunicación o la creación de comunidades discursivas. Las escasas pruebas de que dispongo indican que la creación de una "comunidad discursiva" puede suponer la exclusión de los niños que no dominan el inglés (SECADA, 1992b). Bárbara MERINO (comunicación personal) ha manifestado una preocupación semejante respecto a las reformas actuales de la enseñanza de las ciencias naturales.

Sin duda, el supuesto tácito es que podemos adaptar las matemáticas para la comunicación al caso de las poblaciones estudiantiles de diversa procedencia o que las matemáticas utilizadas para la comunicación son de por sí transculturales. El resultado de tales supuestos es una visión estrecha de las matemáticas en cuanto disciplina, sin caer en la cuenta de que, a falta -de normas de comunicación compartidas (o sea, comunicación transcultural), de por sí, las matemáticas no pueden utilizarse para la comunicación.

Buena enseñanza. En distintos trabajos relativos a la reforma de la enseñanza de las matemáticas, se ha otorgado un valor muy elevado a un conjunto de conductas docentes (GROUWS, COONEY y JONES, 1988; KOEHLER y GROUWS, 1992; National Council of Teachers of Mathematics, 1991), a las creencias y conocimientos (FENNEMA y FRANKE, 1992; THOMPSON, 1992) y a características (por ejemplo, "el práctico reflexi-

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vo", ZEICHNER, en prensa) subordinadas, de por sí, a la cultura e interpretadas en sentido muy restringido. En Professional Standards for Teaching Mathematics (National Council of Teachers of Mathematics, 1991), son muy escasas las alusiones a las muchas cosas que tienen que hacer los profesores de poblaciones estudiantiles de orígenes diversos dentro y fuera del aula. En cambio, las recomendaciones para una buena enseñanza se centran en una concepción muy limitada de la enseñanza, entendida como lo que se desarrolla en el interior de la clase y relacionada con las ideas de contenido y de conocimiento de contenidos pedagógicos (por ejemplo: Educational Evaluation and Policy Analysis, 1990; Elementary School Journal, 1992). Pero hay concepciones más amplias de la enseñanza, sobre todo cuando se considera desde la perspectiva de la afiliación de grupo (LADSON-BILLINGS, Capítulo IV de este volumen), del acceso a cursos más avanzados (OAKES, 1990; SILVER, SMITH y NELSON, Capítulo 111 de este libro) y, en último término, del acceso a oportunidades en el contexto de la sociedad en general (CHIPMAN y THOMAS, 1987; DELPIT, 1986; National Research Council, 1989). Estas miras más amplias son fundamentales para el éxito en la enseñanza dirigida a poblaciones de diversas culturas.

En el marco de esta concepción más amplia, la buena enseñanza supone garantizar el acceso de los estudiantes a las oportunidades que puedan surgir. Los indicadores de una práctica competente son la llegada de alumnos de distinto origen cultural a las matemáticas avanzadas, la perseverancia en las asignaturas escogidas y, por último, el acceso de los alumnos de distintos orígenes a titulaciones y carreras profesionales superiores relacionadas con las matemáticas. En otras palabras, la buena enseñanza debe ayudar a los alumnos a mantenerse en la línea de las matemáticas. De acuerdo con ese perfil, habrá que considerar buenos profesores a aquellos cuyos alumnos aprueben el examen avanzado de cálculo.

Sin embargo, ciertos documentos, como Professional Standards for Teaching Mathematics (National Council of Teachers of Mathematics, 1991), no tienen en cuenta esta definición amplia de la práctica y del conocimiento del oficio. Se entiende que lo que sucede fuera del aula, o parece contradictorio con las concepciones de la práctica en el aula, no pertenece, de por sí, a la enseñanza de las matemáticas. Por tanto, cuando se considera la buena enseñanza de esta materia, no se tiene en cuenta lo que ocurre fuera de clase y, tácita, si no explícitamente, se devalúa. Por ejemplo, he participado en reuniones en las que otros han dicho que muchos profesores de estudiantes pertenecientes a minorías se centran en el desarrollo de las destrezas básicas, dominan las exposiciones y complementan sus clases con demostraciones. Es obvio que las prácticas de esos profesores no cumplen las normas de enseñanza articuladas por el NCTM (1 991). Cuando he suscitado la cuestión del acceso a las distintas oportunidades y preguntado cómo podemos medir el éxito con respecto a ese criterio, se me responde que el hecho de que los estudiantes accedan a cursos avanzados, como, cálculo", no es el único criterio (ni el más importante) de una enseñanza satisfactoria, o que, en efecto, estos profesores logran éxitos importantes, pero no en términos de sus prácticas de clase, sino por razones diferentes (en consecuencia, no docentes).

Me preocupa la rapidez con la que se descartan estas tensiones y contradicciones. Parece que unas tensiones como éstas tendrían que suscitar cuestiones relativas a la validez de los distintos documentos de reforma. La interpretación de la enseñanza en un sentido tan restrictivo que sólo se ocupa de lo que sucede dentro del aula y los criterios de

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éxito (que no tienen en cuenta que el acceso de los alumnos a cursos y oportunidades sigue siendo un motivo de preocupación con respecto a la equidad) son defectos importantes de la tentativa de reforma. En definitiva, mientras reformamos las matemáticas escolares, tenemos que garantizar que los diversos grupos tengan acceso al sistema vigente, con independencia de lo deficitario que parezca a los reformadores.

La atención a las diferencias De forma reiterada, las cuestiones de equidad se transforman en temas relativos a las diferencias entre grupos. Esto es comprensible, dado que la fuerza impulsara de la equidad ha consistido en la persistencia de las disparidades entre grupos en una serie de indicadores académicos y profesionales (SECADA, 1992a). Sin embargo, esta atención prestada a las diferencias ha supuesto también que las cuestiones de equidad se justifiquen sólo en relación con las diferencias entre grupos (CAMPBELL, 1989).

La atención a las diferencias entre grupos forma parte de un modelo más general de investigación y de práctica (CAMPBELL, 1989) en el que las distinciones representan resultados reales, pero no su ausencia. Consecuentemente, la búsqueda de las diferencias entre grupos justifica la idea de que las poblaciones estudiantiles minoritarias sean algo deficientes, exóticas o primitivas, cuando se miden en relación con la norma dominante. Sin embargo, si sólo escribimos o hablamos de las diferencias de un grupo con respecto a la norma, los resultados constituirán una visión empobrecida de él y una validación de la creencia de que los grupos minoritarios son algo inferiores.

Enseñanza feminista. Suzanne DAMARIN (1 990, y Capítulo X de este libro) no sólo incluye la evitación de las conductas sexistas y la vinculación previa de las matemáticas con las oportunidades posteriores en la vida, sino también el uso de los grupos cooperativos, la atención al razonamiento y la provisión de un clima de aula seguro y no competitivo como elementos fundamentales de las concepciones feministas de la enseñanza. Una pregunta que se ha dirigido a DAMARIN se refiere a si estas concepciones no son sino "buena enseñanza". Podríamos preguntar si las ricas caracterizaciones de las clases del QUASAR y del CGI en ambientes urbanos (SILVER y NELSON, Capítulo Primero de este libro; CAREY Y COIS., Capítulo 111 del mismo) son simples ejemplos de buena enseñanza.

Enseñanza sensible a la cultura. En las tradiciones dominantes de investigación sobre la educación matemática, se considera que los grupos cooperativos son una buena forma de enseñanza, y la comunicación transcultural una estrategia docente relacionada con la diversidad cultural. Tanto desde la perspectiva de la enseñanza sensible a la cultura como desde la de la equidad, la inclusión de los grupos cooperativos en las recomendaciones para la práctica de clase debe servir de recordatorio de que el acceso a la buena enseñanza es un problema constante en relación con las poblaciones de culturas diferentes. Desde las mismas perspectivas, la comunicación transcultural aumenta la eficacia de las características de cualquier discurso que tenga lugar en el aula, sea individualizado, en pequeño grupo o con toda la clase. En otras palabras, la utilización de los grupos cooperativos, considerada por la comunidad de la educación matemática como indicativa de la buena enseñanza, puede interpretarse como una cuestión de

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equidad, y la comunicación transcultural también puede considerarse como un aspecto de la buena enseñanza.

La intersección de diversos principios. Las personas que se interesan por las concepciones feministas de la enseñanza, por la enseñanza sensible a la cultura y por la equidad sostienen que la práctica debe desarrollarse en la intersección de los grupos cooperativos y la comunicación transcultural; es decir, las clases organizadas en grupos cooperativos deben intentar utilizar la comunicación transcultural, y las clases cuyas normas de comunicación sean transculturales deben incorporar los grupos cooperativos. Es más, es necesario investigar en las clases que combinan la comunicación transcultural y los grupos cooperativos con el fin de entender cómo puede hacerse tal combinación; las condiciones en las que un aspecto se subordina al otro; y cómo los grupos cooperativos y la comunicación transcultural, actuando de forma concertada, pueden contribuir a reforzar el aprendizaje de los alumnos. En otras palabras, ¿el todo es mayor que la suma de las partes?

Discurso empobrecido. Tanto en la investigación como en la práctica, es posible que el discurso se empobrezca si se refiere sólo a las diferencias entre grupos. Las ideas del acceso a una enseñanza de calidad y de la mayor modulación de las posibilidades en la intersección de los grupos cooperativos y la comunicación transcultural e, incluso, del modo de pensar sobre la diversidad se reducen si todo ello se refiere a una única dimensión -por ejemplo, la comunicación transcultural.

La atención a las diferencias entre grupos se agota en un contexto en el que ya se ha restringido lo fundamental para la educación matemática (véanse mis indicaciones sobre el modo en que los defensores de la reforma evitarían ciertos tipos de escuelas o cómo relegarían a la periferia la comunicación transcultural en las discusiones sobre la enseñanza de las matemáticas). En consecuencia, no es raro que los defensores de la equidad consideren los grupos cooperativos y la comunicación transcultural como características convenientes para una clase de matemáticas cuya población estudiantil pertenezca a distintas culturas. Debido a la atención prestada a las diferencias entre grupos, los grupos cooperativos se han eliminado del plan de equidad porque son "simplemente buena enseñanza" y, debido a la atención dedicada a la comunicación matemática, la comunicación transcultural se ha eliminado del plan de reforma o se ha remitido al ámbito de la gestión general de la clase porque no es de carácter estrictamente matemático. Lo que empezó como una recomendación interesante acaba como otra oportunidad perdida en relación con la equidad.

Niveles diferenciales de prueba Otro fenómeno interesante consiste en que, con frecuencia, las cuestiones relativas a la equidad se someten a un nivel de escrutinio que, para los defensores de la equidad, indica que los partidarios de la reforma sólo se comprometen de palabra con la equidad. Por ejemplo, podemos asistir a un encuentro o congreso en el que los supuestos básicos comunes sobre la enseñanza o el constructivismo están tan generalizados que no hace falta elaborar argumentos muy depurados para apoyar determinadas conclusiones y recomendaciones. Éstas no necesitan justificación o sólo en una medida muy

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somera, dado que se deducen de un sistema compartido de creencias cuyas pruebas son conocidas y se aceptan como normativas; en consecuencia, el acuerdo sobre las conclusiones y recomendaciones se produce casi sin comentario. En cambio, las consideraciones respecto a la equidad se someten a un examen que se refiere tanto a su concordancia con el discurso como a las pruebas que respaldan o refutan sus conclusiones.

La cuestión se complica por el hecho de que los defensores de la equidad suelen estar de acuerdo en los supuestos compartidos por la comunidad de la educación matemática respecto a la enseñanza y el constructivismo. Por tanto, quienes son partidarios de la equidad se encuentran en concordancia con el grupo dominante en estas materias, aislados en otras y sometidos a la presión de explicar y justificar no sólo ciertas conclusiones concretas, sino también la razón por la que determinadas cuestiones se encuadran tal como están.

Comentarios a modo de conclusión Estas consideraciones no tienen por qué constituir una relación exhaustiva de los criterios ocultos que se aplican a las cuestiones de equidad. Es probable que haya otras formas de caracterizar las cuestiones y hechos a los que me refiero, pero lo importante es que las dinámicas descritas forman parte de las creencias compartidas por la comunidad de la educación matemática. En consecuencia, la caracterización que he desarrollado se centra en cuatro dimensiones relacionadas entre sí: la búsqueda de contestaciones inmediatas, la demanda de respuestas elaboradas que se adapten a un plan prefijado, una atención exclusiva a las diferencias entre grupos y normas diferenciales de escrutinio de las cuestiones relativas a la equidad.

Cuando los defensores de la equidad participan en acciones que vinculan a la comunidad de la educación matemática (encuentros y congresos cuyos objetivos nominales son la reforma o la investigación), se sitúan como participantes en estas dinámicas. Dado que muchos defensores de la equidad son miembros de la comunidad de la educación matemática, y que se han socializado en su seno, comparten y aceptan muchas creencias fundamentales de la comunidad. Por tanto, los defensores de la equidad pueden participar inadvertidamente en la construcción cooperativa de los hechos a los que me refiero.

Si este tratamiento de la equidad se deriva de creencias compartidas por muchos, aunque sin examinarlas, mi esfuerzo por someterlas a escrutinio debe considerarse como un primer paso para comprenderlas y, como espero, modificarlas. No obstante, estas clases de hechos se producen también en un contexto sociohistórico más general. En consecuencia, el texto se centra ahora en un macroanálisis de algunos procesos que se desarrollan en este contexto.

P ROCESOS SOCIALES SUBYACENTES Los hechos del estilo de los antes descritos no son accidentales. Ocurren a causa de procesos sociales que sirven para crear y mantener los límites de la comunidad (por ejemplo la comunidad de la educación matemática) y que respaldan sus relaciones diferenciales de poder (véanse: BOURDIEU, 1991; GIROUX, 1983; POPKEWITZ, 1992). Re-

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presentan casos específicos de tres fenómenos generales: reducción al silencio, expropiación de constructos y marginación.

Reducción al silencio Los recientes estudios relativos a los profesores, a las mujeres y a las personas de color han empezado a ocuparse de la idea de la voz (DELPIT, 1986; LADSON-BILLINGS y TATE, 1993; LEWIS Y SIMON, 1986; McDONALD, 1986; TRUEBA, 1989), que es una elaboración teórica de la creencia de sentido común de que las personas se hablan a sí mismas. La voz se refiere al discurso que se crea cuando los sujetos definen sus propios problemas a su modo, desde su punto de vista, utilizando sus propios términos, en una palabra, hablando para sí mismos. La voz contrasta con el caso en que terceros hablan en nombre de individuos y grupos, diciéndoles cuáles son "en realidad" sus problemas y transformando el modo de interpretar las cuestiones personales y del grupo.

La idea de la voz no sólo lleva implícito que nadie puede hablar en nombre de un grupo. Más allá de los conocimientos y destrezas técnicas de una persona, que siguen siendo criterios del derecho de ese sujeto para hablar en nombre de un grupo, la voz es una cuestión que se refiere a la pertenencia de ese individuo al grupo, a su comprensión de cómo negocia y mantiene sus límites ese grupo concreto y a su capacidad para articular los problemas de manera que el grupo los valide como representativos suyos. Una persona puede hablar con su voz individual, pero, en sentido estricto, nadie puede hablar en nombre de un grupo y ningún individuo puede abarcar la complejidad de las voces de un grupo. Es más, dentro de los grupos, hay formas de negociación que indican a qué voces se otorga mayor o menor importancia. 2 La voz se alza también en oposición a la reducción al silencio. "Reducción al silencio", se refiere a los ambientes y procesos sociales que no sólo hacen difícil a una persona articular por completo su postura (todo el mundo se enfrenta a tales ambientes) sino que hacen que parezca que no merece la pena el esfuerzo de hablar. Los términos del discurso utilizados por el grupo dominante y los supuestos no manifestados que apoyan ese discurso, hacen casi imposible que alguien se destaque y defina los problemas de acuerdo con el punto de vista del grupo no dominante; en una palabra, hacen imposible la objeción. A los ojos de quienes actúan desde el marco del discurso dominante, esa postura sería irracional.

La reducción al silencio se aplica a múltiples grupos y a sus respectivos miembros. Por ejemplo, en reuniones en las que, aparentemente, se pide su opinión sobre la creación de normas nacionales de enseñanza, los profesores se encuentran reducidos al silencio.

Se dejan de lado sus opiniones y se ignoran sus voces frente a las opiniones de los expertos sobre lo que constituye "realmente" la buena enseñanza.

Por ejemplo, Hunger of Memory, de Richard RODRÍGUEZ (1 982), es un relato de un individuo sobre el éxito en el sistema educativo norteamericano. Nadie puede negar el derecho de RODRÍGUEZ a su voz, cuando sitúa en un marco de referencia su comunicación de experiencias personales profundas. Sin embargo, muy pocos educadores hispanos estarían de acuerdo en considerar Hunger of Memory como fundamento de una política educativa relativa a los niños hispanos, dado que sus propuestas son muy particulares y en la comunidad hispana hay otras formas, no menos auténticas, de interpretar experiencias similares.

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Según la experiencia de los defensores de la equidad, la reducción al silencio se produce de muchos modos. Por ejemplo, a la preocupación por la equidad en el aprendizaje de los estudiantes se responde afirmando que los planes de reforma se ocuparán de la equidad, pero los hechos no concuerdan con tales afirmaciones, salvo los eslóganes de que la equidad y la excelencia son objetivos compatibles y que la reforma ayudará a todos los estudiantes ¿Cómo va a oponerse nadie a algo que ayude a todos los alumnos, sin que parezca irracional o tendencioso?

La lucha por la voz no debería interpretarse como una apelación a la corrección política. La voz tampoco significa la aceptación automática de la forma de plantear las cuestiones por el simple hecho de que haya hablado una persona de color. En cambio, debería considerarse la lucha por la voz como un esfuerzo para aumentar la probabilidad de tener en cuenta las percepciones de los distintos grupos respecto a su categoría educativa, en general, y de su educación matemática, en particular. El modo de referir los estudiantes de orígenes diversos las experiencias, las creencias y los valores propios de sus respectivas tradiciones ha de considerarse una fuente importante de información, hasta ahora ignorada.

Por ejemplo, los consejos del movimiento de reforma para hacer menos hincapié en la enseñanza de las destrezas de cálculo pueden plantear un dilema a los profesores de matemáticas que han cosechado éxitos con sus alumnos pertenecientes a minorías (LADSON-BILLINGS, 1993). Dentro de los grupos minoritarios, está muy extendida y enraizada la idea de que la falta de dominio de tales destrezas produce consecuencias diferenciales. La deficiencia en los conocimientos de cálculo se traduce en sanciones sociales mayores para los estudiantes clasificados como carentes de capacidad matemática que para los no estereotipados de ese modo. Para los primeros (afronorteamericanos, hispanos, chicas, personas de bajo nivel socioeconómico), la menor insistencia en las destrezas de cálculo no se compensa mediante la distribución de calculadoras de bolsillo. Esa disminución de la importancia otorgada a los conocimientos de cálculo supone un profundo impacto potencial en las oportunidades que surjan en el transcurso de la vida, dado que la carencia de esos conocimientos se interpreta como el resultado de carencias básicas de capacidad matemática, en vez de como la consecuencia de la mayor o menor insistencia en la enseñanza de ciertos temas, de acuerdo con las recomendaciones de reforma. Es un riesgo grave. La impaciencia de los reformadores con respecto a este dilema -que no se toma e n serio y se relega a la categoría de problema social que no puede resolverse o que se despejará mediante la promesa que suponen las mayores destrezas de resolución de problemas de los alumnos- transforma la cuestión en un discurso diferente. Es más, confunden el objetivo: no se ofrece a los estudiantes que pertenecen a grupos minoritarios la oportunidad de demostrar sus destrezas de resolución de problemas si no demuestran antes su dominio de los conocimientos básicos. Por desgracia, en el torbellino de la reforma, se propicia que esas preocupaciones parezcan irracionales, reduciendo al silencio a las personas que las manifiestan.

Expropiación de constructos En este mismo volumen, WARREN y ROSEBERY (Capítulo XIII) escriben sobre las personas que se apropian de formas de hablar infundiendo sus propias intenciones personales en el lenguaje. De modo semejante, hay grupos de individuos que se apropian de

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las formas de conocimiento, las pautas de discurso y los artificios culturales desarrollados originalmente por otros, fuera del grupo. Pensemos en ejemplos de la cultura adolescente, en la que distintos grupos se apropian del lenguaje, las modas de vestir y otros artificios que trascienden los límites raciales, étnicos, de clase social y de edad.

De modo semejante, la educación matemática se ha apropiado de constructos y modelos de discurso de otras disciplinas; por ejemplo, incluso una lectura superficial del Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (GROUWS, 1992) revela ideas tomadas de la psicología, mezcladas con otras procedentes de las matemáticas.

Una clave de la apropiación radica en las formas en que los grupos, que se apropian de ciertos modos concretos de conocimiento y de lenguaje, modifican y transforman el material para adaptarlo a sus necesidades, valores y normas culturales particulares. En el Handbook, KILPATRICK (1992) describe cómo la educación matemática ha utilizado las disciplinas de las matemáticas y la psicología para sus propios fines.

Más allá de la apropiación está la "expropiación". Entiendo por "expropiación" los medios y procesos por los que quienes se han apropiado de constructos, artificios o formas de expresión niegan a otros -incluso a quienes contribuyeron al desarrollo de tales constructos- el derecho a lo apropiado. Esta negación puede ser simbólica, económica o adoptar alguna otra forma. La diseminación de las escuelas Montessori por los Estados Unidos nos brinda un poderoso ejemplo histórico de expropiación simbólica y económica. Maria MONTESSORI (1 912) desarrolló sus métodos entre los niños pobres que vivían en los suburbios de Milán (Italia). En los Estados Unidos, las escuelas Montessori se reservaron a los ricos, restringiéndose drásticamente el acceso a las mismas de los niños pobres. En realidad, resulta casi extravagante recomendar las escuelas Montessori a los niños pobres.

La educación matemática se ha apropiado de muchas ideas en su propia investigación bajo la rúbrica de la reforma. Una de esas ideas es el uso de los grupos cooperativos. El estudio de los grupos y de los procesos de grupo puede retrotraerse unos cuantos años al estudio de las relaciones intergrupales (o sea, entre razas) y al consejo de orientación (ANDERSON, 1969; KAGAN, 1966). Durante los años sesenta y setenta, los grupos cooperativos se utilizaban para promover la abolición de la segregación en las escuelas y para estudiar su influencia en las relaciones entre razas (COHEN, 1986; SHARON, 1980; SLAVIN, 1980). El estudio de los grupos cooperativos con fines académicos -por ejemplo, en matemáticas (GOOD, MULRYAN Y MCCASLIN, 1992)- tiene sus raíces en estos otros usos del grupo de trabajo.

La apropiación del uso de los grupos cooperativos realizada por la comunidad de la educación matemática se ha traducido en que ya no se les considere en relación con sus ricos y variados objetivos; es decir, la comunidad de la educación matemática los ha expropiado. Cuando los defensores de la equidad promueven el aprendizaje cooperativo, deben justificar su recomendación sobre la base de que sirven para fines diferentes del de la buena enseñanza. La expropiación de los grupos cooperativos en los ambientes matemáticos ha dificultado que los defensores de la equidad promuevan dichos grupos de manera que abarquen aspectos no cognitivos, no matemáticos o no relativos a la clase.

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Marginación Cada disciplina debe establecer lo que es fundamental y lo que es marginal con respecto a sus objetivos; esa regulación forma parte del modo de constitución del propio campo. Tradicionalmente, las preocupaciones fundamentales de la educación matemática se han derivado de las matemáticas y de la psicología (KILPATRICK, 1992; STANIC y KILPATRICK, 1992). En este campo, cuando ha habido que ocuparse de cuestiones que no pudieran relacionarse con facilidad con esas disciplinas, han surgido dificultades; por regla general, las cuestiones consideradas accidentales con respecto a este núcleo se transforman o se consignan a la periferia.

En una revisión reciente de la investigación sobre la educación matemática de poblaciones estudiantiles de diversas procedencias, observé que los hechos públicos, como el rendimiento del alumno en pruebas de conocimientos se transformaban en estados personales de la mente, como capacidad, estructuras cognitivas o creencias; las cuestiones relativas a la diversidad se convertían en diferencias individuales, y el rendimiento previo se transformaba en un indicador de la capacidad, mientras que el rendimiento posterior se convertía en prueba de la influencia del programa (SECADA, 1992a).

Cuando las personas tratan de oponerse a estas transformaciones y parten de la base de que los problemas relativos a la equidad tienen un origen social, la tendencia dominante interpreta sus esfuerzos como cuestiones periféricas.

El aspecto problemático de estas transformaciones consiste en que la raza, el carácter étnico, el idioma, la clase social e, incluso, el género tienen dimensiones establecidas por la sociedad. La pertenencia a uno de estos grupos se negocia de forma compleja y simbólica entre el individuo que sostiene (o niega) la pertenencia, el grupo mismo (que vigila la situación de pertenencia o no de sus presuntos miembros) y las personas no pertenecientes a él (que adscriben sus propios significados al grupo original). Para comprender por completo cómo se presenta la educación matemática a los estudiantes que pertenecen a grupos culturalmente diversos, debemos resistir la tentación de transformar la pertenencia a un grupo a términos psicológicos de discurso y de situar los problemas sociales en los márgenes del campo.

Igualmente problemáticas son las expectativas dobles de los estudiosos que pertenecen a grupos no dominantes. Por una parte, se asume de forma tácita que deben preocuparse por los problemas que les afectan; por otra, se presume que muchos de estos individuos carecen de las capacidades necesarias para introducirse en la corriente dominante de la investigación. En consecuencia, en la regulación del campo, lo que no se considera fundamental se convierte en periférico, lo que no sólo se traduce en la marginación de conjuntos completos de trabajos, sino también de los individuos que opten por efectuar esos trabajos.

El desarrollo de una dimensión crítica En esencia, la reducción al silencio, la expropiación y la marginación son factores del modo de constituirse un campo cualquiera en área de estudio; es más, determinan de qué forma se vinculan las relaciones en el seno de la comunidad que estudia ese campo con las diferencias de poder y de categoría. Deben existir formas viables de establecer

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el consenso, de apropiarse ideas y elaborarlas y de negociar qué es lo fundamental; aún más, debe haber alguna manera de imponer esas normas. Pero, cuando olvidamos o ignoramos el carácter socialmente construido de cualquier campo de investigación o de práctica y aceptamos, en cambio, las premisas y los acuerdos históricos que crearon ese campo, como si se tratase de datos indiscutibles, la construcción del consenso se convierte en reducción al silencio, la apropiación se transforma en expropiación y la preocupación por lo fundamental en marginación.

Cada uno de estos tres macroprocesos está relacionado con mis experiencias en la comunidad investigadora y en los grupos de asesoramiento. La búsqueda de respuestas inmediatas, la insistencia en soluciones que se adapten a los discursos vigentes, la atención a las discrepancias entre grupos y las normas diferenciales de prueba sirven para reducir al silencio a las personas que se oponen a una aceptación demasiado fácil de ciertas normas, creencias, investigaciones y actividades de reforma. Los defensores de la equidad han aprendido que deben recurrir a un discurso que, a través de sus referencias técnicas y psicológicas, limite su voz. Al mismo tiempo, deben defender su derecho a utilizar expresiones y constructos (como "enseñanza", "comunicación" y “grupos cooperativos") que se haya apropiado la comunidad de la educación matemática para fines muy reducidos. Es más, deben luchar para acercar la equidad, sacándola de los márgenes de las preocupaciones de la comunidad. En ese contexto, la equidad debe desarrollar una dimensión crítica. Los defensores de la equidad deben dar nombre a los hechos que apoyan y restringen sus esfuerzos. Necesitan comprender los procesos sociales que dan lugar a esos hechos.

He intentado aquí exponer ciertas características problemáticas de cómo se han estructurado la investigación y la reforma de la educación matemática. Esta crítica y otras por el estilo no son fines en sí mismas, dado que gran parte de los esfuerzos de la comunidad matemática merecen la pena. Tampoco significa esa crítica que no pueda hacerse nada.

El desarrollo de dimensiones críticas en la equidad debe contribuir a crear un discurso y una comunidad que actúe en la intersección de dominios múltiples. No pretendo que se abandone el trabajo relacionado con la equidad que se funda en constructos disciplinarios o psicológicos (p. ej., véase SECADA, 1993). En cambio, los análisis relativos a la equidad deben basarse en múltiples disciplinas y voces; apropiarse de ideas, cuando sea necesario, y considerar provisional lo que se estime fundamental en el campo. En otras palabras, es necesario crear formas de hablar sobre la investigación y la reforma que permitan un análisis más matizado de los fenómenos.

En un nivel más práctico, la comunidad de educadores matemáticos debe apresurarse menos y ser algo más paciente con las personas que trabajan sobre la cuestión de la equidad. Las prisas pueden provocar falsas soluciones a los problemas de la equidad.

Como muestran los trabajos presentados en este volumen, la buena noticia consiste en que estamos empezando a avanzar con seguridad en estos esfuerzos.

A GRADECIMIENTOS La preparación de este documento ha recibido ayudas parciales del National Center for Research in Mathematical Sciences Education (NCRMSE), del U.S. Department of Edu-

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cation (Qffice of Educational Research and Improvement -OERI-, ayuda n° R117G10002) y del Wisconsin Center for Education Research (WCER), de la School of Education, de la University of Wisconsin, en Madison. Los descubrimientos y las opiniones son del autor y no coinciden necesariamente con las posturas oficiales de las instituciones NCRMSE, OERI o WCER.

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Lectura 5 EL PAPEL DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN UN CONTEXTO DE INNOVACIÓN CURRICULAR Paulo Abrantes Tomado de Uno. Revista de Didáctica de la Matemática, n. 8, pp. 7-18, abril 1996.

Entre 1988 y 1992, el proyecto MAT789 desarrolló un currículum experimental de matemáticas para los cursos 7°, 8° y 9° (alumnado de 12 a 15 años de edad), para lo cual se trabajó con cuatro grupos-clase de dos escuelas secundarias situadas en el área de Lisboa. En sus primeros documentos, el equipo del proyecto manifestaba la intención de crear un currículum «centrado en la resolución de problemas».

De acuerdo con la perspectiva de distintos documentos programáticos de la época (principalmente el APM, 1988), la resolución de problemas era entendida en un sentido amplio que destacaba el trabajo en torno a situaciones problemáticas y procesos como experimentar, conjeturar, matematizar, probar, generalizar y discutir. Al mismo tiempo, se consideraba que todo el trabajo de los alumnos y las alumnas debería constituir para ellos una verdadera y significativa experiencia matemática, con valor propio, y no como mera preparación para estudios posteriores, en la línea de las ideas inspiradoras de la filosofía de John Dewey, en especial de lo que dicho autor escribió hace casi 100 años en su Credo Pedagógico (Dewey, 1897).

A pesar del reconocimiento creciente de que la Resolución de problemas emergía, desde principios de la década de los ochenta, como una idea floreciente de la didáctica de las matemáticas, la verdad es que su papel en los currículos oficiales portugueses seguía siendo muy secundario. En los años ochenta empezaron en Portugal las Olimpíadas

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matemáticas y con ello se generó un movimiento de creación de clubes de matemáticas en las escuelas.

A través de estas iniciativas se divulgaban muchos ejemplos interesantes de actividades de resolución de, problemas sin que ello influyera de modo significativo en lo que pasaba en las aulas. Los problemas surgían como aplicaciones de conocimientos o como forma de introducir nuevos temas pero, en cualquier caso, desempeñando el papel de un mero factor de motivación externa para el estudio de contenidos que constituían lo esencial de los programas.

El proyecto MAT789 intentó reconcebir el propio currículum de matemáticas en varios aspectos, entre ellos el que hace referencia al papel de la resolución de problemas. Para comprender mejor en qué sentido lo hizo, tanto desde el punto de vista de la formulación teórica como de las prácticas dentro del aula, será interesante revisar primero brevemente la evolución que la idea de la resolución de problemas tuvo a lo largo de los años ochenta.

P ROBLEMAS , SITUACIONES PROBLEMÁTICAS , INVESTIGACIONES Fue a principios de los años ochenta cuando la resolución de problemas emergió como una idea central en la renovación de la enseñanza de las matemáticas. Por ejemplo, el NCTM (1980), en su Agenda for Action, apuntaba hacia la resolución de problemas como la primera de ocho recomendaciones para la enseñanza de esta disciplina en la nueva década. Es interesante anotar que, a pesar del notable trabajo anterior debido especialmente a Polya, se trataba, en términos curriculares, de una idea nueva. Schoenfeld (1991) cuenta que en 1978, en la versión preliminar del programa para el ICME-4 (que entró en Funcionamiento en 1980), había una única sesión dedicada a la resolución de problemas incluida bajo el título genérico de ¡Aspectos poco frecuentes del currículum!

Inicialmente se ponía el énfasis en la distinción entre «ejercicio» y «problema» (Kantowski, 1981) o en la clasificación de problemas matemáticos según se tratase de aplicar un algoritmo, escoger uno entre varios, combinar algunos o elaborar uno nuevo (Polya, 1981). Así, el concepto de «problema» y su relevancia educativa han sido relacionados sobre todo con las heurísticas que pueden ser útiles para la búsqueda de una solución una vez formulado el problema e identificado el contexto. Sin embargo, la resolución de problemas sólo se refiere a problemas ya perfectamente formulados en contextos muy precisos. A menudo, el proceso implica exploración del contexto más allá de lo que explicita el enunciado, la creación de formulaciones alternativas o la interpretación y clarificación de lo que se proporciona. De este modo, la resolución de problemas surge asociada a actividades tales como la exploración de los contextos y la formulación de problemas, haciendo emerger la noción de «situación problemática» (Borasi, 1986).

Parece una perspectiva más amplia la que considera que el principal objetivo es «pensar matemáticamente» (Schoenfeld, 1992), colocando en un primer plano un conjunto de procesos característicos de la actividad matemática como formular, probar y demostrar conjeturas, argumentar, usar procedimientos de naturaleza metacognitiva, etc.

Desde esta perspectiva, puede alcanzar una gran importancia, por ejemplo, la realización por parte del alumnado de exploraciones e investigaciones.

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Como sucede con las actividades de resolución de problemas de tipo general, las investigaciones matemáticas implican procesos complejos de pensamiento y requieren la participación y la creatividad del alumnado. Pero se caracterizan por partir de enunciados poco estructurados y por exigir que sean los propios alumnos los que definan el objetivo, conduzcan las experiencias, formulen y prueben las conjeturas. Siguiendo la metáfora geográfica evocada por Ernest (1991) según la cual resolver un problema, en el sentido usual del término, implica encontrar un camino hacia un destino determinado, en una investigación lo que constituye el objetivo es el viaje, y no el destino.

Las tendencias curriculares más recientes para la enseñanza de las matemáticas han insistido en la necesidad de situar en un primer plano las capacidades de «orden superior», es decir, las que están ligadas a la identificación y resolución de problemas, al pensamiento crítico, y al uso de estrategias de naturaleza metacognitiva. Ahora bien, los nuevos objetivos requieren una modificación significativa de la naturaleza de las actividades de aprendizaje que han sido dominantes en el aula, lo que a su vez implica una modificación en la propia concepción de lo que significa aprender matemáticas.

Para el NCTM (1989), aprender matemáticas es esencialmente «hacer matemáticas» y la enseñanza de esta disciplina debe desarrollar, por encima de todo, la capacidad de resolver problemas, razonar y comunicar matemáticamente y, al mismo tiempo, estimular la apreciación del valor de las matemáticas y la confianza de los alumnos y alumnas para que participen en actividades relacionadas con ellas. Para alcanzar estos objetivos, es crucial el papel de las actividades de aprendizaje en la medida en que éstas favorecen la formulación de conjeturas, su discusión y su argumentación, que son aspectos fundamentales de la experiencia matemática que debe proporcionarse a los alumnos (Mason, 1991).

Este tipo de experiencias matemáticas es señalado en la actualidad como un objetivo esencial para todos los alumnos y alumnas y no sólo para una élite y, por lo tanto, se asume que las competencias de bajo nivel cognitivo (como la memorización de hechos y de técnicas de cálculo) no deben ser adquiridas antes de que sea posible realizar (ni al margen de) actividades que comporten resolución de problemas y pensamiento crítico.

Al contrario, los dos tipos de competencias se desarrollan en interacción, en el transcurso de actividades significativas para los alumnos (Resnick, 1987).

Las competencias matemáticas importantes para todo el alumnado no se adquieren sin su involucración en actividades significativas, acompañadas de los necesarios momentos de discusión y reflexión, y sin que desarrolle una predisposición hacia las matemáticas (Bishop y Goffree, 1986).

La resolución de problemas como «ambiente» y como «naturaleza» de las actividades de aprendizaje El proyecto MAT789 tomó como supuesto fundamental la afirmación de que la actividad matemática es, por naturaleza, la exploración de situaciones problemáticas de distintos tipos. Por ello, la resolución de problemas constituyó un contexto para todas las actividades de aprendizaje, cualquiera que fuese la forma que éstas asumiesen. En la práctica, la orientación de atribuir a la resolución de problemas un lugar central en el currículum no se tradujo en la creación de una categoría de actividades clasificables

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como «problemas» y a las que se prestaría más atención o más tiempo. Nunca se oyó decir, ni a los alumnos o alumnas ni al profesor, que los problemas serían el tema o el método de un aula.

Los problemas no fueron afrontados como factor de motivación externa para el estudio de las matemáticas y no fueron utilizados meramente como aplicación de conocimientos adquiridas ni como Introducción a nuevos temas. Lo que se intentó fue que todas las propuestas de trabajo constituyeran situaciones problemáticas que era necesario explorar y que despertaran varias formas de razonamiento y procesos como experimentar, discutir, conjeturar, justificar... En este sentido, se puede decir que la resolución de problemas fue un contexto general de aprendizaje, estrechamente relacionado con el ambiente de trabajo y con la naturaleza de las actividades propuestas al alumnado.

Isabel, alumna de uno de los grupos-clase experimentales, usó la siguiente expresión, al final de un curso, para comparar el nuevo currículum con su anterior experiencia de aprendizaje de las matemáticas: «(antes) los problemas eran directos... (este año) había un problema en todas las cosas pero no se podía resolver como antes, había otras cosas (a tener en cuenta), era más desarrollado...»

Esta perspectiva estará ligada, por un lado, a una visión de aprendizaje de las matemáticas que las afronta esencialmente como experiencia personal y, por otro lado, a una opción respecto a las finalidades de esta disciplina que da primacía a la comprensión del papel y de la naturaleza de las matemáticas y al desarrollo de actitudes positivas respecto a ellas. A pesar de que esta visión y esta opción hayan sido explicitadas de un modo gradual, al final constituirán presupuestos que se revelarán decisivos en la manera en que se desarrolló el currículum. De acuerdo con tales presupuestos, la resolución de problemas surgiría asociada no sólo a los distintos tipos de actividades sino también a una variedad de funciones de las matemáticas.

M ATEMÁTICAS COMO EXPLORACIÓN , DESCUBRIMIENTO Y CREACIÓN Al finalizar una clase de arte, el niño puede decir «Éste es el dibujo que he hecho». Al finalizar una clase de inglés: «Ésta es la historia que he escrito». ¿Qué se dice después de una clase de matemáticas? ¿«He hecho los cálculos correctamente»... ? Nos gustaría que fuese: «He inventado una regla con números» o «Aquí tienes un patrón que yo he observado». (Sawyer, 1992).

Una preocupación central del currículum fue proporcionar a los alumnos situaciones que les animasen a explorar caminos personales para resolver problemas, a descubrir y a crear sus propias reglas.

Podemos extraer un ejemplo interesante de lo que sucedió en un grupo-clase de curso 9° en la que se había propuesto al alumnado varios problemas para que los resolvieran en pequeños grupos.

Uno de los problemas fue el de la determinación del número de lados de un polígono con un número dado de diagonales para lo cual los alumnos y alumnas no conocían ninguna regla general. Después de un lapso de confusión e indecisión y después de varias tentativas infructuosas, un grupo acabó comunicando el siguiente descubrimien-

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to sobre la manera en que aumentaba la razón entre el número de diagonales y el número de lados: Triángulo

Cuadrilátero

Pentágono

Hexágono

0/3

2/4

5/5

9/6

0

0,5

1

1,5

Esta relación, que no aparece en ningún libro y que la profesora no indicó nunca, tuvo para los alumnos y alumnas el «gusto por el descubrimiento» de un patrón.

Para hacer posible que situaciones como ésta tengan lugar con alguna frecuencia, sólo fue preciso proponer a los alumnos problemas adecuados. Éstos podrán involucrarse en actividades de exploración y descubrimiento si ello es visto como lo natural en una clase de matemáticas.

La creación de un ambiente de trabajo continuado en el que se valore la exploración, el descubrimiento y la creación de reglas o patrones parece indispensable para que el alumnado se predisponga a hacerlo con naturalidad y éxito.

La experiencia del proyecto MAT789 sugiere que puede animarse a los alumnos y alumnas a afrontar las matemáticas como una actividad personal de exploración, descubrimiento y creación. Por ejemplo, Dora explicaba en los siguientes términos la manera en que trabajaba en casa para la segunda fase de los tests, comparada con sus primeras respuestas y comentarios de la profesora: Yo ordenaba un bloque de hojas, pensaba en la pregunta e inventaba teorías. Y entonces, escribía la que parecía mejor, la que tuviese más hechos que probasen que era la mejor. Y cuando necesitaba esquemas, iba haciendo hasta encontrar el que quería.

M ATEMÁTICAS COMO RELACIÓN Y ORGANIZACIÓN Las matemáticas son la ciencia de los patrones y del orden. (National Research Council, EUA, 1989) Además de contenidos, las actividades propuestas y realizadas en el aula transmiten también mensajes implícitos sobre qué son las matemáticas. Por otro lado, el hecho de que las actividades tengan un carácter exploratorio y surjan como problemas puede ayudar a los alumnos y alumnas a relacionar situaciones aparentemente distintas.

En determinadas condiciones, los alumnos son capaces de establecer relaciones entre distintas experiencias incluso separadas en el tiempo.

Ocurrió un caso interesante con unos problemas de recuento. En el 7° curso, los alumnos y alumnas habían examinado distintas situaciones que comportaban la necesidad de organizar procesos de recuento, como el estudio del código Morse y del sistema de apuestas múltiples de las quinielas. Estas situaciones fueron organizadas de una manera estructurada y combinadas con tareas más abiertas, como un informe sobre los sistemas de matrículas de automóviles que se pidió a los alumnos.

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Casi dos años después, en una clase de 9° curso, ante la pregunta sobre cómo lograr saber cuántos términos resultarían de la multiplicación de dos trinomios, un alumno respondió que eran 6, pero una compañera suya, Isabel, dijo:«¡son 9! Igual que dos triples en las quinielas son 9 apuestas». Para explicarse mejor, recordó a sus compañeros lo que habían hecho referente a las quinielas y llamó la atención sobre la semejanza entre las dos situaciones.

En el mismo año ocurrió otro ejemplo, cuando algunos alumnos y alumnas mostraron su extrañeza ante el hecho de que las ecuaciones (de segundo grado) pudieran tener dos soluciones. De repente, Paulo exclamó: «¡Pero si es lógico! Si el gráfico es una curva así...» (y con los dedos marcó en el aire el trazado de una parábola, recordando un tipo de gráficos que habían examinado en la computadora el año anterior).

Como ciencia «de las pautas y de las relaciones» (AAAS, 1989) las matemáticas pueden ayudar a organizar experiencias dispersas (Descartes incluso les llamaba «la ciencia del orden»). Algunos alumnos se mostraron sensibles a este papel que las matemáticas desempeñan, tanto en sus relaciones internas como en sus vínculos con el mundo real. Un ejemplo de ello es la forma en que Sergio reflejó en un proyecto realizado en 8° curso que implicaba la construcción de un panel de azulejos basado en transformaciones geométricas y que incluyó una visita al Palácio da Vila en Sintra: Pienso que fue una buena idea que la gente fuese a ver los azulejos, que supiese cómo las simetrías pueden organizarse en la vida [... ] ¿Los azulejos son matemáticas? Son arte, sólo que son una forma de aplicar las simetrías, rotaciones, translaciones, una forma que la gente ingenió [... ] Matemáticas... pienso que son el estudio de ciertas cosas en las que nosotros nos basamos. Pienso que sin las matemáticas sería imposible la organización de los seres humanos. Las matemáticas son la organización de la vida, igual que el portugués es la organización del habla.

Una visita de estudio seguida de una exposición por parte del profesor sobre transformaciones geométricas tal vez podría producir resultados interesantes. Sin embargo, es muy probable que la naturaleza problemática de la tarea (escribir un informe en el que se interpreten los azulejos observados desde un punto de vista geométrico y proponer un panel enteramente basado en isometrías a partir de un patrón), así como su organización en forma de un proyecto prolongado (que implicará trabajo autónomo y tiempo para reflexionar y madurar ideas), desempeñaron un papel relevante en la manera en que algunos alumnos y algunas alumnas veían la presencia de las matemáticas en una situación concreta.

M ATEMÁTICAS COMO CONJETURA Y ARGUMENTACIÓN [... ] Las matemáticas crecen a través de la mejora permanente de conjeturas, por especulación y crítica, por la lógica de las demostraciones y las refutaciones. (Lakatos, 1976) Una de las primeras actividades en geometría con la que se enfrentó el alumnado de 7° curso consistió en investigar de cuántas maneras distintas era posible cortar un cubo por un plano de manera que se obtuviesen dos partes iguales (cuadro l).

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Los alumnos y las alumnas empezaron a trabajar con el modelo de cubo que se proporcionó a cada grupo e iniciaron discusiones animadas. Con una hoja de papel simulaban el plano de corte y empezaban a contar: «Se puede cortar así, así, y... ¡hay seis!». «Pero estas maneras son iguales...». «¡No, no... !». «¡Deja el cubo quieto, no consigo ver nada!». La profesora se acercaba a cada grupo y relanzaba la discusión: «Y así, ¿se obtienen o no partes iguales? ¿Habéis pensado en esta manera?» o «¿Cómo debemos contar las maneras diferentes de contar y por qué son diferentes?» o «A ver, ¿cómo son los planos que cortan a la mitad? ¿Qué quiere decir cortar a la mitad? ¿Qué quiere decir iguales? ¿Éstas formas son iguales o no, cuál es vuestra opinión?».

Cuadro 1 Imagina que tienes un cubo de porexpán y que lo quieres cortar a la mitad, es decir, de manera que se obtengan dos partes iguales. Una de las maneras es la siguiente:

¿Crees que hay sólo una manera? Intenta descubrir otras, todas las que puedas. Haz unos dibujos para explicar cómo es el corte en cada caso.

Así, a lo largo de una o dos horas, los alumnos y las alumnas fueron recorriendo todo el camino de la construcción matemática. Partieron de un problema que parecía claro y bien planteado, empezaron a plantear las primeras conjeturas, todavía poco trabajadas, pero luego surgieron las primeras objeciones. Estas obligaban a una precisión de los términos: «¿Qué es cortar a la mitad? ¿Qué son partes iguales? ¿Qué son maneras diferentes?». Entonces el problema era replanteado en términos más explícitos. Nuevas conjeturas, nuevas argumentaciones, nuevas refutaciones, de nuevo el mismo ciclo. A los Ojos del alumnado, las matemáticas iban perdiendo el carácter rígido que tantas veces se le ha atribuido. Al final, la mejor manera de empezar la respuesta a la pregunta que les había sido planteado ―«¿de cuántas maneras distintas... ? ― era decir «Depende... ».

Durante tres meses, la geometría en el espacio fue un motivo permanente para conjeturar, refutar y argumentar. Al final del período, en una prueba escrita, se plantearon preguntas como: «Di si la afirmación siguiente te parece verdadera o falsa, y explica por qué razón piensas así: una pirámide siempre tiene el mismo número de vértices que de caras». Raquel respondió que era verdadera, y lo argumentó de la manera siguiente: «tiene tantos vértices de base como caras laterales (pues esto se cumple en las pirámides de base triangular, cuadrangular, etc.), y después sobra una cara, la base, y un vértice, el vértice de la pirámide-, luego el número de vértices es igual al número de 88

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caras». Poco tiempo después, en una entrevista, declaró que no estaba plenamente satisfecha con esta justificación porque «era más una verificación que una explicación porque... ».

Así, en algunos alumnos, la experiencia que habían vivido les llevó a la comprensión, quizá incluso más allá de lo que cabría esperar, de qué es una demostración en matemáticas.

M ATEMÁTICAS COMO INTERPRETACIÓN E INTERVENCIÓN Una de las tareas más importantes en la educación matemática que pretende servir a las necesidades de la generalidad de los estudiantes es la de hacer visible el papel que las matemáticas tienen en el mundo. (Niss, 1992) A lo largo del currículum, las relaciones de las matemáticas con la realidad estuvieron presentes en numerosas situaciones de aprendizaje de distintos tipos.

Ocurrió un ejemplo interesante con los alumnos y alumnas de 7° curso cuando desarrollaban un proyecto cuyo objetivo era el aprovechamiento de un espacio de la escuela para la práctica de varias modalidades deportivas.

Los problemas a resolver fueron varios: ¿cómo medir un terreno tan grande?, ¿cuántas mediciones había que realizar?, ¿cuál es el grado de aproximación deseable?

Después de la elaboración de la propuesta de cada grupo, hubo que atender a aspectos extra-matemáticos. En muchos casos, los alumnos tuvieron que enfrentarse a la necesidad de reajustar su trabajo que, a pesar de ser matemáticamente correcto, no era adecuado cuando se consideraban características de las diferentes modalidades deportivas.

El trabajo terminó con la presentación de una propuesta al consejo directivo de la escuela que incluía un texto y dibujos hechos a una escala adecuada.

Esta actividad proporcionó al alumnado una experiencia de utilización de las matemáticas, a lo largo de la cual tuvieron que definir los problemas a resolver, partiendo de un objetivo formulado de un modo todavía vago y poco matematizado, planear y dirigir su propio trabajo y tomar decisiones que consideraran aspectos matemáticos y extra-matemáticos relevantes en la situación.

Al mismo tiempo, el proyecto constituyó un contexto natural para trabajar con un cierto número de conceptos y procedimientos matemáticos (de geometría, de proporciones y escalas, etc.).

A lo largo de tres años se siguieron proponiendo situaciones problemáticas que implicaran la presencia de las matemáticas en el mundo real. Nuestra experiencia sugiere que el desarrollo de dichas actividades constituyó un campo fértil para que aparecieran múltiples y variados problemas de interpretación e intervención de las matemáticas en la realidad y que es una contribución importante para la comprensión de la naturaleza y del papel de las matemáticas, uno de los objetivos de este currículum experimental.

La actividad del alumnado podrá tomar diferentes formas, desde proyectos hasta actividades menos prolongadas de exploración e investigación. Lo que parece esencial es que mantenga un carácter de situación problemática que hay que afrontar.

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En nuestra experiencia, uno de los contenidos que había que cubrir con el trabajo de proyectos fue que las relaciones de las matemáticas con la realidad se hicieran más claras y más significativas para los alumnos y alumnas.

Durante los tres años en que siguieron el currículum experimental, los alumnos y las alumnas realizaron seis / siete pequeños proyectos en los que, con ayuda de la profesora respectiva pero con un razonable margen de autonomía, procuraban utilizar las matemáticas para investigar, resolver o interpretar una situación problemática de la vida real.

Preguntada sobre lo que aprendía con los proyectos, Susana, alumna de 9° curso, dijo: [...] Generalmente no nos damos cuenta de la utilidad que las matemáticas tienen en la realidad. [...] Quiero decir que las matemáticas están unidas a una serie de cosas, desde la antigüedad hasta ahora, y todavía lo estarán más en un futuro, y los trabajos del proyecto ayudan bastante a darse cuenta de ello.

L AS MATEMÁTICAS COMO REFLEXIÓN Y COMUNICACIÓN Cuando se pide a un alumno y/o a una alumna un informe escrito sobre la solución de un problema de matemáticas, se ve inmerso en una actividad muy parecida a la de escribir una redacción. Tiene que plantear cómo organizará el contenido, qué es lo que el lector necesita saber y cómo se relacionan las distintas ideas. (Kilpatrick, 1992) Uno de los aspectos típicos del currículum experimental desarrollado por el Proyecto MAT789 fue la importancia atribuida a la comunicación. Los informes escritos (así como las presentaciones orales, la preparación de exposiciones, etc.) constituían actividades normales en las aulas o como trabajo en casa. Al principio esto causa alguna sorpresa, toda vez que concepciones muy generalizadas sobre las matemáticas escolares se asocian a repuestas cortas y objetivas, del tipo «verdadero o falso». Pero, a partir de un cierto punto, los alumnos empezarán a ver en este tipo de trabajo una imagen de marca del currículum.

La primera experiencia de producción de un informe tuvo lugar al principio del 7° curso a propósito de un juego de computadora sobre divisores. El juego había sido el tema de una clase en la que los alumnos y las alumnas exploraron el programa, realizaron experiencias, probaron estrategias y fueron animados a registrar lo que había acontecido. Pero la actividad no estaba concluida. A continuación se les propuso que escribieran un informe en el que describiesen lo que habían hecho, refiriendo sus éxitos y sus fracasos y explicando la que les había parecido la estrategia adecuada para el juego. Se distribuyó entre el alumnado una guía para elaborar el informe que fue discutido en clase.

Animados por la profesora a mejorar su trabajo, varios alumnos y alumnas hicieron dos versiones del informe. La apreciación de los datos relativos a esta actividad (en especial las producciones de los alumnos y sus declaraciones) muestran que se trató de un momento significativo de reflexión personal sobre el trabajo realizado en torno al problema, y que dicha reflexión ganó mucho con el esfuerzo de comunicación que los alumnos tuvieron que hacer.

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Sergio, por ejemplo, después de explicar detalladamente el funcionamiento del juego, escribió en la parte final de su informe (con varios errores ortográficos, aquí corregidos): Lo intenté con 10 números. Y lo conseguí, pero no tenía ninguna táctica. Y así sucesivamente hasta con 30 números, cuando descubrí que se debe restar siempre el número mayor primo.

Jugué con 10 números y la puntuación fue 30-25, y también con 20 y la puntuación fue 109-101.

Cuando llegué a casa fui a jugar e inventé varias reglas: una ya la he dicho, la otra es empezar con 22 después 32 después, como el 4 fue excluido, yo hacía 52 Casi siete meses más tarde, los alumnos y alumnas del grupo experimental alcanzaron los tres primeros puestos en un concurso sobre este mismo juego en competición con decenas de alumnos de otros grupos. Al contrario que algunos de éstos, que pertenecían al Club de informática, ellos no tuvieron la posibilidad de entrenar antes del concurso. Pero, explicaron después, fueron a casa y estudiaron los informes que habían hecho durante el primer período. ¡Una estrategia fructífera!

Los alumnos reconocieron progresivamente que las tareas relacionadas con la producción de un informe sobre una situación matemática (o que implique las matemáticas) tienen que ver con la resolución de problemas. Al final de un curso, Cristina decía: «Nosotros tenemos una idea y pensamos que sólo se trata de escribir, empezamos a escribir y vemos que al final hay más cosas que decir y, al mismo tiempo, descubrimos otras cosas». Al cabo de tres años, Dora se expresaba del modo siguiente: «Las matemáticas son más razonamiento que cualquier otra cosa; el razonamiento es... cómo presentar, cómo decir».

Observaciones finales ¿De qué modo se puede entender la resolución de problemas como parte integrante de un (Currículum escolar de matemáticas? ¿La resolución de problemas es un objetivo del currículum? ¿Es una metodología? ¿Es un contenido?

Nuestra respuesta a cualquiera de estas preguntas es «sí, pero... ».

Desarrollar la capacidad de resolver problemas será un objetivo pero no un objetivo alcanzable fuera de un ambiente de resolución de problemas, por acumulación de conocimientos factuales y técnicas que presumiblemente serían aplicados más tarde (al fin y al cabo, ¿no conocemos todos nosotros programas en los que la resolución de problemas solamente era un objetivo?).

Resolver problemas será una metodología de aprendizaje, pero no un simple vehículo para otros fines, es decir, no se trata de una motivación sin importancia en sí misma y que sólo sirve para introducir definiciones y procedimientos.

Finalmente, la resolución de problemas será un contenido, en el sentido de que forma parte integrante del programa, pero no se trata de un tema más en el que se enseña, además de «otros contenidos», a resolver tipos particulares de problemas o a usar ciertas estrategias de resolución.

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En el caso del proyecto MAT789 se puede decir que durante todo el ciclo de los tres años nuestros alumnos y alumnas, en cierto sentido, no hicieron sino resolución de problemas. Pero más que «centrado» en la resolución de problemas, el currículum habrá transcurrido en un ambiente de resolución de problemas. Curiosamente, en la fase de preparación de un libro sobre la experiencia, no se le ocurrió a ningún miembro del equipo proponer un capítulo titulado «resolución de problemas». Y, sin embargo, ninguno de ellos tuvo dudas de que la resolución de problemas formaba parte de la naturaleza del propio currículum. Pero la mayoría de alumnado de los grupos experimentales parece tener, al final de los tres años, una visión de las matemáticas estrictamente ligada a la resolución de problemas sin que el término fuese usado con frecuencia por ellos o por los profesores.

En lugar de preguntar si el currículum puede Centrarse en la resolución de problemas, quizá tenga más sentido preguntar-: «¿La resolución de problemas puede dominar en las aulas de matemáticas sin que se hable de ello?».

Notas 1. El equipo del proyecto MAT789 incluyó a los autores del presente texto y, además, a Margarida Silva y Paula Teixeira. El proyecto contó con la ayuda financiera de la Fundación Calouste Gulbenkian.

2. Los apartados siguientes de este texto siguen de cerca la organización adoptada en Abrantes, Leal y Veloso (1994).

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KILPATRICK, J. (1992): «Some issues in the assessment of mathematical problem solving», en PONTE, J. y otros (ed.): Mathematical problem solving and new information technologies. Springer, pp. 37-44.

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MASON, J. (1991): «Mathematical problem solving: Open, closed and exploratory». UK, ZDM, n. 91(1), pp. 14-19.

NATIONAL COUNCIL OF TEACHERS OF MATHEMATICS (1980): An agenda for action: recommendations for school mathematics of the 1980s. Reston, Va. NCTM. ---- (1989): Curriculum and evaluation standards for school mathematics. Reston, Va. NCTM. NATIONAL RESEARCH COUNCIL. (1989): Everybody counts. Washington, DC. National Academy Press.

NISS, M. (1992): «O papel das aplicaçoes e da modelaçao na Matemática escolar».

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Lectura 6 EL DISEÑO DE ENTORNOS DE APRENDIZAJE CONSTRUCTIVISTA Manuel Esteban Tomado de http://www.um.es/ead/red/6/documento6.pdf Introducción.

David Jonassen, profesor de la Universidad de Pensilvannia, elabora en un artículo que aquí resumo y comento algunas ideas y experiencias orientadas a fomentar formas prácticas de diseñar actividades y organizar información acorde a los requerimientos de un enfoque constructivita en entornos abiertos. Su método es conocido como EAC. El objetivo principal de esta teoría es fomentar la solución de problemas y el desarrollo conceptual. Es particularmente apta para entornos que no cuentan con un ambiente muy estructurado.

El punto de partida de las ideas y propuestas que se hacen aquí se fundamentan en dos perspectivas del proceso educativo que lejos de considerarlas irreconciliables se incorporan aquí en una articulación y complementariedad que pretende conducir a la comprensión activa por parte de aprendiz. Por una parte, el enfoque objetivista del aprendizaje establece que los conocimientos pueden ser trasferidos por los profesores o trasmitidos a través de la tecnología y adquiridos por los alumnos. Esta concepción incluye la necesidad del análisis, la representación y la reordenación de los contenidos y de los ejercicios para trasmitirlos de manera adecuada, fiable y organizada a los aprendices. De otra parte, el enfoque constructivista establece, en apariencia contradictoriamente, que el conocimiento es elaborado individual y socialmente por los aprendices fundado en las propias experiencias y representaciones del mundo y sobre la base de los conocimientos declarativos ya conocidos.

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1 EL MODELO DENOMINADO “ENTORNOS DE APRENDIZAJE CONSTRUCTIVISTA” (EAC).

El fin del modelo es el de diseñar entornos que comprometan a los alumnos en la elaboración del conocimiento.

El Modelo EAC consiste en una propuesta que parte de un problema, pregunta o proyecto como núcleo del entorno para el que se ofrecen al aprendiz varios sistemas de interpretación y de apoyo intelectual derivado de su alrededor. El alumno ha de resolver el problema o finalizar el proyecto o hallar la respuesta a las preguntas formuladas. Los elementos constitutivos del modelo son a) las fuentes de información y analogías complementarias relacionadas; b) las herramientas cognitivas; c) las herramientas de conversación/colaboración; y d) los sistemas de apoyo social/contextual.

1.1.El punto de partida: formular y responder preguntas, comparar ejemplos, resolver problema, terminar proyecto. El núcleo central del diseño es la pregunta o tema, los ejemplos, el problema o el proyecto que los alumnos han de resolver y solucionar. Existe en el planteamiento de este modelo un sentido inverso del enfoque objetivista para presentar la información. Mientras en éste se parte de los conceptos y de la información en sí misma, en el modelo EAC se parte de los problemas, los ejemplos o de los proyectos o problemas y, mediante ellos, se llega a la información y a elaborar los conceptos adecuados. En la práctica todas las técnicas enunciadas se basan en los mismos supuestos de aprendizaje que son el aprendizaje activo, constructivita y real. Los criterios para seleccionar unas u otras pueden provenir de la materia, del estilo de aprendizaje de los alumnos (trataremos este tema más adelante), de los recursos instrumentales y materiales disponibles, etc. o se pueden incorporar todos o varios alternando su aplicación.

1.2. El aprendizaje basado en preguntas y cuestiones.

El aprendizaje empieza por una cuestión de respuestas indefinidas o controvertidas. Así se procuran conseguir dos fines: por una parte, despertar el interés y por otra, obligar a buscar y elaborar las respuestas. He aquí dos tipos de preguntas que propone el propio autor del modelo: (Pregunta 1: ¿debería exigírsele trabajar a los beneficiarios de prestaciones sociales? Pregunta 2: ¿debería la protección medioambiental intentar terminar con la contaminación o regularla según los niveles sostenibles de su emplazamiento?)

En esta fase 2 del diseño de la instrucción, central para el planteamiento del modelo, han de considerarse estrechamente las materias, las edades de los aprendices, y todos los factores sociales y contextuales de los individuos. Valga por tanto sólo la idea central del modelo y no tanto los ejemplos concretos por otra parte necesarios incluso por exigencia del propio modelo.

1.3. El aprendizaje basado en ejemplos.

También en esta técnica la finalidad es aproximar a los alumnos a los centros de su interés tratando de entroncar los temas a aprender con los contextos reales. Mediante los ejemplos los alumnos adquieren conocimientos y técnicas de razonamiento necesarias para el contexto curricular concreto. Puede ser particularmente apto esta técnica para las materias jurídicas, médicas, sociales. Mediante ellos el aprendiz afronta situaciones que o son o pueden ser reales. Situaciones complejas que le entrena en las habilidades propias de los profesionales del campo específico y les fuerza a utilizar el pensamiento como lo hacen ellos.

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1.4. El aprendizaje basado en proyectos.

Esta técnica está pensada para unidades educativas integradas a largo plazo donde los alumnos deben centrase en trabajos complejos compuestos que integran un amplio proyecto. Particularmente apto para las materias técnicas, los alumnos debaten ideas, planifican, controlan factores implicados en el proyecto, dirigen experimentos, establecen resultados. En esta técnica se fomenta especialmente la capacidad de autocontrol y regulación a la vez de un proceso en marcha y del propio aprendizaje. En cierto modo es apta para fomentar la metacognición pues la necesaria confrontación constante entre gestión, desarrollo del proyectos y resultados obliga, incluso sin proponérselo explícitamente, a observar y acomodar el propio proceso de aprender.

1.5. El aprendizaje basado en problemas.

Puede ser una técnica muy apta para incorporar a los currículos ordinarios en cualquier materia o nivel simplemente mediante la adaptación de los problemas a las exigencias de la materia y las condiciones cognitivas de los alumnos. En esta técnica el alumno ha de tomar conciencia también de los diferentes pasos del proceso y la actividad cognitiva. Cada nuevo paso constituirá un avance o por el contrario un tropiezo que obligará a revisar y ordenar y regular incluso los pasos anteriormente adoptados. De ahí se puede extraer conciencia e información sobre el propio proceder cognitivo y servir de ayuda para la autorregulación del aprendizaje incluso en otros contextos de aprendizaje, estudio, comprensión de textos, etc. Pues, en definitiva, cualquier materia, con contadas excepciones, puede comprenderse en términos de problemas.

Dada la semejanza entre los presupuestos educativos de todas las técnicas enunciadas nos referiremos en lo sucesivo, genéricamente, a todas ellas bajo el término de problema.

Una de las claves del éxito de la inclusión de estas técnicas en el diseño de la instrucción es el que los problemas sean interesantes, pertinentes y atractivos de resolver pues la motivación va a jugar un papel importante en estas fórmulas educativas. Los problemas no han de estar muy definidos y constreñidos; por el contrario, han de estar definidos y estructurado de forma insuficiente de manera que algunos aspectos del problema resulten inesperados y puedan ser definidos por los alumnos. De esa manera se ha comprobado que los alumnos se involucran más en el problema como si fuera propio o definido por ellos mismos. Además, resulta muy apta esta necesidad de definir el problema para aplicar el trabajo grupal y el “aprendizaje cooperativo” de manera que haya varias perspectivas simultáneamente y se pueda adoptar y elegir de entre varias. Al hablar de problemas mal o escasamente estructurados, hemos de entender: • Tienen objetivos y formulaciones que no están formulados; • Poseen múltiples soluciones, varias líneas de soluciones o incluso ninguna solución; • Poseen múltiples criterios para evaluar las soluciones; • Presentan incertidumbres a la hora de aclarar cuáles son los conceptos, las reglas y los principio necesarios para una solución dada o cómo están organizados; • No ofrecen reglas o principios generales para describir o predecir el resultado de la mayoría de los casos; • Necesitan que los alumnos establezcan juicios sobre el problema y los defiendan expresando sus opiniones o sus creencias personales. (Jonassen, 1999). ¿Cómo podemos identificar problemas para los EAC?

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Conviene fijarse no en los temas como en los libros de texto sino por lo que hacen sus profesionales. Como en el aprendizaje directo de los expertos, se puede preguntar u observar qué hacen los profesionales con experiencia y constituir una base de datos de problemas y situaciones que ellos abordan y resuelven ordinariamente.

Otra fuente de obtención de problemas son los periódicos, las revistas especializadas y las noticias. En todos ellos aparecen problemas de muy diversa índole, naturaleza y materia que necesitan solución. ¿Qué hacen los profesionales en este caso?, sería una pregunta adecuada para formular el problema.

Jonassen señala algunos ejemplos que relato: · En Ciencias Políticas, los estudiantes tienen que elaborar una Constitución viable para una incipiente democracia del tercer mundo, que pueda albergar las características culturales, políticas e históricas de la población y sus relaciones con otros países de la zona. · En Filosofía, tienen que pronunciarse sobre dilemas éticos, como el derecho a la muerte o el matrimonio entre personas del mismo sexo. · En ciencias, tienen que decidir si un arroyo local puede albergar una nueva planta de tratamiento de residuos. Es necesario evaluar todos los problemas propuestos para conocer su conveniencia. ¿Poseen los alumnos conocimientos previos o capacidades para trabajar este problema? No cabe esperar que los alumnos vayan a dar soluciones tan terminadas y eficaces como los profesionales con experiencia. Ése no es el objetivo. Hay que insistir que el objetivo es aprender a pensar como un miembro más de la comunidad profesional o temática adoptada.

Los problemas en la EAC necesitan incluir tres componentes integrados: a)el contexto del problema; b)la representación o la simulación del problema y c) el espacio de manipulación. Los tres han de ser emulados en el entorno para cumplir los fines de un EAC. (Jonassen, 1999).

2 CONTEXTO DEL PROBLEMA Una parte fundamental de la representación del problema lo constituye la descripción del contexto en el que éste tiene lugar. Según la propuesta de Jonassen, el EAC debe describir en el enunciado del problema todos los factores contextuales que lo rodean.

Entorno de representación. Se debe describir el clima físico, sociocultural y organizativo que circunscriben al problema.

Conjunto de alumnos (profesionales/representantes/interesados). Hay que atender a los valores, las creencias, las expectativas socioculturales y las costumbres de los aprendices comprometidos en la acción formativa a distancia. Hay que proporcionar resúmenes para los participantes de mayor número donde se recojan sus experiencias, sus aficiones, peculiaridades, creencias, etc. El autor de este modelo propone trasmitir esta información mediante historias o entrevistas en forma de grabaciones de audio o video o multimedia.

2.1 Representación/simulación del problema.

La representación del problema es fundamental para que el alumno pueda adquirirlo. “Ha de ser atractiva, interesante y seductora, capaz de perturbar al alumno”. El autor del modelo piensa que la realidad virtual ofrece posibilidades exclusivas para una buena representación del problema: “puede convertirse pronto en el método por antonomasia para la representación de los problemas”.

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La narración de relatos es un método de representación eficaz y que no plantea grandes problemas tecnológicos. El contexto del problema y su representación se convierten en un relato sobre un conjunto de acontecimientos que conducen a un problema que es necesario resolver. La narración puede presentarse en forma de texto, vídeo o audio. El propio autor ofrece la siguiente dirección URL: http://curry.edschool.virginia.edu/ En realidad se trata de la WEB de la Universidad de Virginia donde se imparten interesantes cursos a distancia a cuyos programas se puede acceder libremente pero no a los contenidos. En definitiva, la propuesta acentúa la particular adecuación de los relatos para lograr la representación del problema.

Los problemas que se plantean –recuerdo que por problema entendemos tanto los problemas en sí mismos como las preguntas, los proyectos, etc.- han de ser reales. Se recuerda que todos los planteamientos constructivistas recomiendan comprometer al alumno en la solución de problemas reales. Es decir, que la representación se apoye en ejercicios del mundo real. La mayoría de los educadores interpretan que “real” significa que los alumnos deberían comprometerse en actividades que presenten el mismo tipo de retos cognitivos que los del mundo real.

Como información complementaria más técnica para los implicados en las nociones psicológicas correspondientes, el autor del modelo se refiere a dos referencias muy aptas para la explicación de la importancia de la representación y para las orientaciones en su realización. Éstas son: La Teoría de la Actividad de Leontiev que acentúa el valor representacional de las actividades “reales” ya que la mente se forma en el curso de esas actividades cargadas de significación por lo que también inducen a la motivación. Y el otro enfoque que cita es el PARI (Precursor/action/Result/Interpretation) que, básicamente, consiste en la representación a través de pares de expertos para formular preguntas y pensar en voz alta mientras resuelven problemas complejos. Esta verbalización de los procesos cognitivos de los expertos se refiere no sólo a las actividades que realizan durante la solución del problema sino también a las estrategias y procedimientos que han de adoptar. Esta técnica consiste en la escenificación a través de multimedia para observar la regulación metacognitiva de expertos en la solución de este tipo de problemas.

Los autores de la propuesta (Hall, Gott y Pokorny, 1994) aconsejan que tras la presentación de la representación, los alumnos hagan una evaluación desde la perspectiva del contexto del grupo aprendiz que podría ser en términos de chats, debates o informe (report) de los alumnos.

Real puede significar también sencillamente que es pertinente o interesante desde el punto de vista personal para el alumno.

El Grupo de Cognición y Tecnología de la Universidad de Vanderbilt,(1992) diseñaron un conjunto de problemas denominado Serie de resolución de problemas Jasper Woodbury donde se presentan diversas problemas siguiendo la técnicas indicada tales como El investigador temático –se incluyen diversos problemas de biología-, Rescate del gran sistema solar donde los alumnos adoptan diversos roles geólogos, meteorólogos, etc. para resolver los problemas planteados, y otros muchos. El autor recomienda algunos de ellos para alumnos de tercero o cuarto de la ESO con los que creen que estos alumnos se pueden sentir identificados.

2.2 El espacio de manipulación del problema.

Como es sabido, la manipulación, la actividad entendido en sentido no exclusivamente físico (elaborar un producto, manipular parámetros, tomar decisiones, simular situaciones, etc.) e influir, a través de ello, en el entorno es un requisito y apoyo para lograr un aprendizaje significativo. El espacio de manipulación del problema ha de definir los propósitos, las señales y las

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herramientas necesarias para que el alumno manipule el entorno. Este espacio de manipulación es el ámbito por el que los alumnos van a sentir el problema como propio en el que ellos pueden influir y modificar comprendiéndolo.

Los espacios de manipulación del problema son modelos causales que permiten a los alumnos contrastar los efectos de sus manipulaciones, recibir respuestas (feedback) a través de los cambios en el aspecto de los objetos físicos o en las representaciones de sus acciones (cuadros, gráficos, tablas, textos, números, etc.) Deben ser manejables, sensibles, realistas e informativos. Ni que decir tiene que las manipulaciones no han de ser necesariamente físicas. Los supuestos, las hipótesis y el uso de los ordenadores pueden suplir adecuadamente e incluso con ventaja el carácter físico de los problemas cuando éstos tengan esa naturaleza.

3 EJEMPLOS RELACIONADOS. Los ejemplos juegan un importante papel en la representación adecuada de los problemas por los aprendices. Los ejemplos han de contribuir a facilitar la experimentación y la construcción de modelos mentales suministrando y favoreciendo en los alumnos principiantes la acumulación de experiencias, la confrontación de situaciones semejantes que le conduzcan a una plena comprensión del problema y al entrenamiento en los procedimientos para resolverlos. La comprensión de los problemas, analizar las cuestiones implicadas en los mismos, la práctica de razonamientos aptos tanto para la adecuada comprensión como para su solución son los objetivos básicos de esta fase del modelo establecido por Joanssen para el diseño de entornos constructivistas EAC que él concreta en estas dos funciones: a)reforzar la memoria del alumno y b)aumentar la flexibilidad cognitiva.

3.1. Reforzar la memoria de los alumnos La idea de poner ejemplos como ayuda a la comprensión y memorización de los elementos conceptuales y procedimentales de los problemas está fundamentada en la concepción del aprendizaje que explica que el acceso a los nuevos conocimientos en el aprendiz exige tener conocimientos y referencias previas que sirvan de anclaje para los conocimientos nuevos. Cuando los seres humanos se enfrentan por primera vez a una situación o a un problema buscan, primero, naturalmente, en sus recuerdos de casos similares que hayan resuelto previamente (Polya, 1957). Si hallan un precedente entre sus experiencias cuyas características coinciden aplican los mismos esquemas tanto para comprender primero como para operar luego.

Por otra parte, el conocimiento adquirido por la vía de ejemplos se codifica y organiza en forma de relatos sobre experiencias y sucesos y se almacena en la memoria episódica que se conecta directamente con las experiencias personales. De este modo, esta forma de memoria adquiere un gran valor heurístico para deducir normas, procedimientos, razonamientos, etc. para aplicar a nuevas situaciones similares. Éste es el fundamento psicológico de esta forma de instrucción basada en los ejemplos. En ese sentido la instrucción ha de insistir en el trabajo de los elementos potencialmente significativos de un problema, los razonamientos, los procedimientos, los supuestos y referencias, los esquemas o rutinas para su solución, etc. de manera que esté asegurada la memorización de tales aspectos. No basta asimilar la globalidad sino cada uno de los elementos. Para ello, es preciso insistir no sólo en los resultados como suele ser habitual en la enseñanza por solución de problemas en los entornos educativos convencionales. Por cierto, el autor recomienda, como otra manera de reforzar la memoria de los principiantes el proporcionar ejemplos de otros problemas ya elaborados.

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3.2. Aumentar la Flexibilidad cognitiva.

Por flexibilidad cognitiva se debe entender la capacidad del aprendiz para analizar todas las implicaciones de las situaciones y problemas; la capacidad para utilizar y aplicar diversas representaciones y, así, llegar a formar otras complejas; dar una aplicación versátil a los referentes con que cuenta el aprendiz en su repertorio de experiencias. El autor de la propuesta EAC pretende que el modelo de ejemplos proporciona múltiples representaciones de los contenidos para transmitir la complejidad inherente al ámbito de conocimiento (Jonassen, 1993); Spiro y otros, 1987). Para aumentar la flexibilidad cognitiva, es importante que los ejemplos relacionados ofrezcan una diversidad de puntos de vista y de perspectivas sobre el caso de estudio o proyecto que se esté resolviendo.

Por medio de la constrastación de los casos prácticos, los alumnos elaboran sus propias interpretaciones.

4. FUENTES DE INFORMACIÓN Para investigar los problemas, los alumnos necesitan información con la que elaborar sus modelos mentales y formular hipótesis que dirijan la manipulación del espacio del problema. Por lo tanto, cuando se diseña un EAC se debería determinar qué tipo de información va a necesitar el alumno para comprender el problema. Las abundantes fuentes de información representan una parte fundamental de los EAC. Éstos deberían proporcionar información seleccionable por el alumno, asumiendo que dicha información tiene mucho más sentido en el contexto de un problema o de una aplicación concreta. Otros bancos de datos o información deberían estar ligados al entorno como pueden ser los documentos de texto, los gráficos, las fuentes de sonido, el vídeo y las animaciones que resulten adecuadas para ayudar a la comprensión del problema y sus principios.

Internet es el medio de almacenaje por excelencia por tratarse de un poderoso conector que permite que los usuarios tengan acceso a los recursos multimedia de la Red. Sin embargo, la sobreabundancia y la proliferación de elementos superfluos en los hipertextos de la páginas Web obliga a ser selectivos en el uso y recomendación de la práctica de navegación en Internet para un propósito concreto. Ha de valorarse el criterio y madurez del aprendiz para seleccionar pertinentemente.

5. HERRAMIENTAS COGNITIVAS (ELABORACIÓN DEL CONOCIMIENTO).

Como ya sabemos cada tarea tiene una demanda cognitiva específica, sencilla o compleja, para las cuales los aprendices tienen o no, en mayor o menor grado las competencias adecuadas que primero han de reconocer en sí mismo y luego saber aplicar con destreza. Para llegar a ese nivel de competencia cognitiva el entorno debe proporcionar a los aprendices herramientas para apoyar estas funciones necesarias para elaborar la información.

Las herramientas cognitivas pueden ser herramientas informáticas que pueden generalizarse y cuyo propósito es abordar y facilitar tipos específicos de procedimientos cognitivos. Se trata de dispositivos intelectuales utilizados para visualizar (representar), organizar automatizar o suplantar las técnicas de pensamiento. Sirven estas herramientas para representar de una mejor manera el problema o ejercicio que se esté realizando (por ejemplo, herramientas de visualización). O bien ayudan a promover en el alumno sus propios conocimientos que ya tiene (herramientas de modelización del conocimiento); o pueden servir para consolidar esquemas preexistentes en el aprendiz mediante la automatización de los ejercicios de un nivel inferior (apoyo a la representación); o bien pueden ayudar a reagrupar la información pertinente y necesaria para resolver un problema.

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Las herramientas cognitivas representan adecuadamente el proceso de aprender de un aprendiz principiante y deben seleccionarse cuidadosamente para apoyar el tipo de procedimiento necesario para cada tarea cognitiva. Jonassen propone varias en su modelo para crear EAC: 5.1. Herramientas de representación de problemas/ejercicios.

La plena comprensión de un fenómeno o situación requiere la existencia de un modelo mental, una representación del mismo cuyos integrantes se adecuen a los conocimientos ya poseídos.

Las herramientas de visualización proporcionan representaciones congruentes de razonamiento que permiten a los alumnos asimilar mejor la realidad, el ejemplo o el fenómeno propuesto.

El autor cita en el artículo ya citado diversos ejemplos de visualización (Tutor Geométrico; Visualización del tiempo atmosférico; Vigilante del Clima; Mathematica; Matlab;...).

Según lo ya indicado, cada tarea implica una actividad cognitiva diferenciada. En consecuencia, de cara al diseño de la instrucción sería muy útil aplicar el análisis de tareas que ha de desarrollar el aprendiz, establecer una relación con los procesos psicológicos implicados y tratar de reflejar en las herramientas de visualización aquellas funciones y demandas de manera que queden interiorizadas.

5.2. Herramientas para hacer modelos sobre el conocimiento estático y dinámico.

La propuesta de Jonassen para este tipo de herramientas como elementos del diseño de la instrucción se fundamentan en principio psicoeducativos que ya hemos comentado en los documentos 1,2 y 3 de este curso y bloque (APRENDIZ). Es decir, la capacidad de construcción de conocimientos se fundamenta en la preexistencia de información y conocimientos previos y en la articulación de esa información y conocimientos entre sí de manera que se establezcan las pertinentes relaciones, conexiones, relaciones causa-efecto, consecuencias, previsiones y predicciones.

El autor de la propuesta de EAC establece la idea de que puede haber para estas necesarias funciones cognitivas dos tipos de herramientas de representación: las estáticas y las dinámicas. El primero sería el conjunto de herramientas que constituyen un recurso del que se puede obtener información y conocimiento. Así, él propone como herramientas de representación estática las bases de datos, las hojas de cálculo, las redes semánticas, los sistemas expertos y las creaciones de hipermedia.

Por ejemplo, dice Jonassen, para elaborar una base de datos de conocimientos o una red semántica es necesaria que los alumnos articulen una jerarquía de relaciones semánticas entre los conceptos comprendidos en el ámbito del conocimiento. Como diseñadores de EAC tenemos que decidir cuándo necesitan los alumnos articular lo que saben y qué formalismos apoyarán mejor su representación.

En cuanto al segundo tipo que él denomina herramientas dinámicas él cita los modelos de simulación, las ecuaciones causales que permitan representar las relaciones de dependencia de los fenómenos. El modelo Model-it es citado como herramienta útil para el uso de las matemáticas y como modelo de simulación que permite observar los diversos valores de determinadas relaciones entre fenómenos.

5.3. Herramientas de apoyo al rendimiento.

Hay que entender por tales aquéllas que sirven para automatizar determinados algoritmos o rutinas necesarios para determinadas actividades cognitivas que con frecuencia detraen energía y tiempo para otras operaciones de pensamiento más complejas. Todos los protocolos, hojas de cálculo que permitan ordenar y organizar tareas rutinarias de catalogación estarían entre las herramientas para ayudar a obtener rendimientos con economía de tiempo. Permítaseme hacer observar lo necesarios que continúan siendo los algoritmos para tareas y funciones básicas del

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pensamiento que han sido con frecuencia descuidadas en la enseñanza por su carácter automático y que luego producen grandes lagunas en los procedimientos para otras demandas cognitivas complejas.

5.4. Herramientas para recopilar información.

En la sociedad del conocimiento más que nunca antes se hace necesario contar con las habilidades precisas para saber buscar la información pertinente y necesaria allí donde pueda encontrase. Éstas herramientas orientadas a familiarizarse con motores de búsqueda documentales, bases de datos y fuentes de información en la red son destrezas requeridas para facilitar y acelerar los procesos de aprender.

6. HERRAMIENTAS DE CONVERSACIÓN Y COLABORACIÓN (Dadas las características de este apartado, trascribo íntegro el original).

“Las concepciones actuales de los entornos de aprendizaje apoyados por la tecnología asumen el uso de diferentes medios de comunicación a través del ordenador para facilitar la colaboración entre las comunidades de alumnos (SCARDAMALIA, BERElTER y LAMON, 1994). ¿Por qué? La forma más natural de aprendizaje no tiene lugar de forma aislada, sino mediante equipos de personas que trabajan juntas para resolver un problema. Los EAC deberían permitir el acceso a la información compartida y compartir, a su vez, las herramientas de elaboración del conocimiento para ayudar a los alumnos a elaborar de forma conjunta un conocimiento socialmente compartido. Los problemas se resuelven cuando un grupo de personas trabaja para desarrollar una concepción común del problema, de manera que sus energías puedan centrarse en su resolución. Los debates pueden estar respaldados por grupos de discusión, grupos de creadores de conocimiento y comunidades de alumnos.”

“Las personas que comparten intereses comunes disfrutan discutiendo sobre ellos. Para poder ampliar el grupo de los que comentan asuntos entre sí, las personas se comunican unas con otras a través de boletines, revistas y programas de televisión. Recientemente, se han desarrollado redes informáticas para apoyar los grupos de discusión a través de diferentes tipos de conferencias por ordenador (listas de discusión, correo electrónico, tablones de anuncios, servicios de noticias en la Red, chats, MUD (multiuser dimensions (dimensiones de múltiples usuarios)) y MOO (MUDs orientadas a los objetos).Estas nuevas tecnologías respaldan la discusión sobre una gran variedad de temas.”

“SCARDAMALIA y BERElTER (1996) afirman que los colegios inhiben, en lugar de fomentar, la elaboración de conocimientos al centrar su atención en las capacidades individuales del alumno y en el aprendizaje. Los grupos de elaboración del conocimiento tienen como objeto ayudar a los alumnos a «buscar el aprendizaje como finalidad de forma activa y estratégica» (SCARDAMALIA y otros, 1994, p. 201) (18).

Para permitir a los alumnos centrar su objetivo fundamental en la elaboración del conocimiento, los Entornos de Aprendizaje Intencional Asistidos por Ordenador (EAIAO: permiten a los alumnos desarrollar bases de datos sobre el conocimiento, de manen que sus conocimientos puedan «representarse de una forma abierta y objetivada cor el fin de que pudieran evaluarse, examinar si hubiera vacíos e incorrecciones, aumentarlos, revisarlos y volverlos a formular» (p. 201). Los EAIAO facilitan un medio para almacenar, organizar y formular de nuevo las ideas con las que contribuyen todos los miembros del grupo. Esta base de conocimientos representa la síntesis de sus ideas, algo que poseen y de lo que pueden estar orgullosos.”

“Los EAC también pueden fomentar y ayudar a las Comunidades de Alumnos (CDA). Las CDA son organizaciones sociales de alumnos que comparten conocimientos, valores y objetivos. Las CDA aparecen cuando los alumnos comparten conocimientos sobre intereses de aprendizaje comunes. Los nuevos integrantes adoptan la estructura del discurso, los valores, los objetivos y las creencias del grupo (BROWN, 1994. Las CDA pueden fomentarse dejando que los Participantes dirijan la investigación (leyendo, estudiando, observando, consultando a expertos) y compartan la información en la búsqueda de un ejercicio 102

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significativo y consecuente (BROWN y CAMPIONE, 1996). Muchos de estos entornos para comunidades de aprendizaje apoyan la reflexión del conocimiento elaborado y los procesos empleados por los alumnos para dicha elaboración (19). Los entornos de refuerzo que respaldan a las CDA incluyen el «Cuaderno de Colaboración» (Collaboratory Notebook) (EDELSON, PEA y GÓMEZ, 1996), «Camile» (GUZDIAL, TURNS, RAPPIN y CARLSON, 1995) y el «Entorno de Integración del Conocimiento» (BELL, DAVIES y LINN, 1995). Su idea fundamental es que el aprendizaje gira alrededor de las conversaciones de los alumnos sobre lo que están aprendiendo, y no alrededor de las interpretaciones de los profesores.”

“Para poder fomentar la colaboración dentro de un grupo de alumnos, que puede ser tanto in situ como a distancia, los EAC deberían proporcionar y fomentar los debates sobre los problemas y proyectos en los que están trabajando. Los alumnos escriben notas a los profesores y entre sí sobre cuestiones, temas o problemas que surgen. Textualizar el discurso entre los alumnos hace que sus ideas parezcan tan importantes como los comentarios de cualquier otra persona o los que puedan hacer los educadores (SLATIN, 1992).

Cuando los alumnos colaboran comparten el mismo objetivo: resol- ver el problema o alcanzar algún consenso científico sobre un asunto determinado.”

“Los EAC deberían apoyar la cooperación dentro de un grupo de Participantes, compartir la toma de decisiones acerca de cómo manipular el entorno, las interpretaciones alternativas sobre los diferentes temas y problemas, la articulación de las ideas de los alumnos y la reflexión sobre los procesos que han utilizado.

La cooperación en la resolución de un problema requiere la toma de decisiones conjunta, y continúa a través de actividades de creación de un consenso para llegar a una elaboración del conocimiento compartida socialmente ya la comprensión del problema. La reflexión a través de las conferencias mediante ordenador también produce metaconocimiento, el conocimiento que los participantes tienen del proceso en el que está interviniendo la clase, así como el conocimiento que tienen de ellos mismos como participantes en una conversación que está en evolución y constante progreso.”

7. APOYO SOCIAL/CONTEXTUAL. Plantea en este apartado el autor una propuesta sugerente pero muy propia de los USA. Se trata del apoyo que el entorno social y cultural ha de prestas a los creadores de entornos EAC para incorporar avances técnicos y perspectivas profesionales que, sin estar entre los conocimientos propios de los enseñantes, puedan ser necesarias para la creación de un entorno EAC eficaz. He recopilado aquí este apartado porque es quizás en el entorno digital donde más puede verse necesitada la función de un profesor EaD del concurso de un profesional. Ya nos hemos referido a la necesidad de un equipo para ser eficaces en la EaD. 8. APOYO AL APRENDIZAJE EN LOS EAC. Tres son las funciones cognitivas dominantes que realiza el aprendiz de los EAC (como es el caso de la EaD): a) la exploración; b)la articulación y c) la reflexión, según las denominaciones que utiliza Jonassen. Estas funciones se identificarán fácilmente con otras denominaciones que estudiaremos más adelante con ocasión de las estrategias y los estilos de aprendizaje.

En la exploración el aprendiz, además de observar, investiga las similitudes del ejemplo propuesto con otros conocidos; examina las fuentes de información que puede necesitar para su resolución, explora las posibles salidas o soluciones, compara, especula y hace conjeturas, emite hipótesis, intenta obtener pruebas y evidencias para comprobar, valora las posibles consecuencias, etc. Todos estos pasos requieren orden, organización, articulación y reflexión. La principal diferencia entre un aprendiz principiante y un experto es que la necesario organización de todo este proceso y la reflexión que ha de acompañar se hace al mismo tiempo y se desarrolla espontáneamente. Los entornos que han de favorecer el aprendizaje que por la naturaleza del mismo ha de ser autorregulado deben diseñar los apoyos e hitos que enmarquen las citadas fun-

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ciones cognitivas y ayuden a regular el proceso metacognitivo que han de aplicar. Los componentes cognitivos más importantes de la exploración son el establecimiento de los objetivos y la forma de organizar la consecución de dichos objetivos (Collins, 1991).

La reflexión y la metacognición requerida se puede favorecer con la demanda de que los alumnos construyan sus modelos, los analicen y expliquen como si los estuvieran contemplando desde fuera o elaborando un relato para otros de manera que se sientan fuera de sí mismos y puedan percibir sus propias acciones y analizarlas como si fueran de otros. Se produce un fenómeno parecido a cuando uno se contempla en un video o grabación donde es capaz de percibir características de uno mismo que no se perciben habitualmente. La necesidad de construir en multimedia las propias soluciones puede contribuir a articular las tareas necesarias y en el orden preciso y a detectar después los fallos o errores, los hallazgos, el proceso en sí mismo. A estas actividades para apoyar en la enseñanza las funciones descritas les llama el autor del modelo EAC modelización, preparación y refuerzo.

8.1. La modelización Probablemente la modelización es la estrategia de diseño educativo más apta al entorno de la educación a distancia y según piensa Jonassen, más sencilla de los entornos abiertos. Los dos tipos de modelización propuestos son el del comportamiento del rendimiento evidente y la modelización cognitiva de los procesos cognitivos encubiertos. El primer recurso de modelización va dirigido a orientar sobre los procedimientos y guías precisas para la solución del problema y se convierte en un guión de cómo hay que realizar las actividades identificadas en la estructura del problema. El segundo se refiere a las funciones cognitivas no externas pero requeridas en la el proceso de resolver. La modelización cognitiva articula el razonamiento mientras los alumnos están comprometidos en las actividades.

En la versión que relata el autor la modelización proporciona a los alumnos un ejemplo de los modelos deseados e incluyen una descripción proporcionada por un experto de la forma en que se resuelve el problema. Este tipo de ejemplos mejora el desarrollo de los esquemas que se han de aplicar a la solución de los problemas y ayuda al reconocimiento de los diferentes tipos de problemas en que se basan.

El tipo de modelo orientado a descubrir y orientar sobre los razonamientos y otros procesos psicológicos que suceden simultáneamente a la realización de la tarea se basa en la técnica de un análisis post mortem donde un experto va exponiendo en voz alta el discurrir de sus pensamientos sobre la realidad al tiempo que la realiza y explica por qué concluye sus decisiones y cuáles son los indicadores en que se basa. O bien proponer representaciones visuales del razonamiento experto que ayude a los aprendices no sólo a la solución demandada sino, además, al adecuado uso de procedimientos y recursos cognitivos en el razonamiento y la toma de decisiones. La finalidad de todo esto es convertir lo que está encubierto en algo evidente para que pueda ser analizado y comprendido y para que, así, los alumnos puedan saber por qué deben hacerlo y cómo han de hacerlo.

8.2. LA TUTORÍA El papel de la tutoría en los entornos abiertos es complejo y diferenciado. El tutor ha de motivar a los alumnos, analizar sus representaciones, ponerse en su lugar, alimentar sus procesos cognitivos, responder a sus representaciones (feedback), estimular la reflexión y los procesos metacognitivos. Todo eso al tiempo que orienta en la realización de la tarea y en la solución del problema. Las más significativas funciones serían:

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• Proporcionar pautas motivadoras. Ése sería el papel más básico y necesario sobre todo en la EaD donde la tasa de abandono se funde con la caída de la motivación cuando ésta no puede estar al alto nivel de las demandas tanto cognitivas como de tiempo que conlleva una actividad a distancia. Pero el caso es semejante para cualquier entorno abierto donde el aprendiz sea el centro del diseño educativo.

• Control y regulación del rendimiento de los alumnos. Es, quizás, la labor más importante del tutor, la del control, análisis y regulación del desarrollo del proceso de actividad cognitiva. Entre las posibles orientaciones concretas estarían las dirigidas a: o Proporcionar pistas y ayudas sobre cómo dirigir a los alumnos hacia el ejercicio orientándoles sobre sus posibles fallos; o Sugerir formas adecuadas de pensamiento y estrategias y procedimientos que puedan tener un valor heurístico en ésta y otras situaciones. o Sugerir que se consideren otros casos y ejemplos o modelos tomados de la vida ordinaria o profesional próxima al aprendiz. o Sugerir la utilización de herramientas cognitivas concretas que puedan ayudar a la aplicación de un razonamiento adecuado y a la comprensión de las demandas cognitivas implicadas. o Proporcionar respuestas (feedback) que sirven a la vez para guiar la acción del aprendiz y valorar las funciones cognitivas aplicadas.

• Estimular la reflexión. Un buen tutor se convierte en la conciencia del alumno; por lo tanto estimula a los alumnos a reflexionar sobre su representación. He aquí algunas formas de actuación: o Incitar a que apliquen su reflexión sobre su práctica (reflexionar sobre lo que han hecho). o Promover la reflexión sobre las conjeturas e hipótesis que realizan; o Reflexionar sobre las estrategias utilizadas; o Promover explicaciones de sus reacciones y decisiones (¿por qué he utilizado esta herramienta?) . o Ayudar a que expliciten las razones de sus decisiones e intenciones que no se pueden observar sensiblemente; o Favorecer la necesidad de explicar las razones en que se fundamentan sus respuestas y actuaciones; o Forzar la adopción de perspectivas diferentes a la emitida para aprender a valorar globalmente y desde distintos ángulos un problema. o Inducir la duda y el cuestionamiento que promueva un refuerzo de las posiciones del aprendiz cuando éstas sean correctas; o Promover la observación y valoración del estilo de aprendizaje dominante del alumno y de sus posibles rasgos favorables y desfavorables para ciertas funciones cognitivas.

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8.3. El refuerzo (Scaffolding).

El concepto de Bruner del andamiaje se desarrolló, desde una perspectiva evolutiva, para referirse a las acciones que el adulto debe realizar con el bebé o infante cuando él o ella es completamente incapaz y dependiente para acciones o pensamiento, período durante el cual el andamio debe rodear completamente el edificio mental del niño pero que debe ir siendo eliminado progresivamente a medida que éste alcanza autonomía y madurez. Ésa ha de ser la función del refuerzo en la EaD y, en general, en los entornos abiertos. El refuerzo proporciona modelos temporales para respaldar el aprendizaje y la representación de los alumnos más allá de sus capacidades.

La diferencia entre la tutoría y el refuerzo reside en que mientras aquélla se dirige a todo el proceso de la actividad cognitiva, el refuerzo se orienta más concretamente a apoyos particulares a la tarea en sí misma. Sería como respuesta a una demanda del alumno (Ayúdame a hacerlo). Entre las acciones concretas que pueden constituir un refuerzo podrían estar: • Adaptar la dificultad del ejercicio, el ritmo y el tiempo así como los plazos de resolución.

• Reestructurar el ejercicio para reemplazar los conocimientos. A veces puede interesar reestructurar el ejercicio para afirmar el aprendizaje y la transferencia así como para observar la representación de la tarea por el alumno.

• Proporcionar evaluaciones complementarias y alternativas para dirigir el interés y la focalización de la energía del alumno no sólo allá donde él cree que puede encontrar una evaluación más positiva y orientarle de las otras dimensiones que también son evaluadas, el proceso, los procedimientos, la adquisición de nuevas habilidades, el control y la regulación del proceso, etc.

Referencias bibliográficas Jonassen, D. El diseño de entornos constructivistas de aprendizaje. En Ch. Reigeluth, (2000): Diseño de la instrucción. Teoría y modelos. Madrid, Aula XXI Santillana Jonassen, D. Y Rorher-Murphy, L. (1999): Activity Theory as a framework for designing constructivist learning environments. Educational Technology:Research and Development, 46 (1)

El diseño de entornos de aprendizaje constructivista. Manuel Esteban es una adaptación de D. Jonassen, en C.H.Reigeluth (2000): El diseño de la instrucción, Madrid Aula XXI Santillana

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Lectura 7 LOS ENTORNOS DE APRENDIZAJE ABIERTOS Manuel Esteban Tomado de http://www.um.es/ead/red/8/EAA.pdf El libro de Reigeluth sobre teorías dela instrucción –donde por cierto podéis encontrar algunas propuestas de interés3 para el diseño de la enseñanza en contextos abiertos y a distancia- expone en artículo de Hannafin denominado “Entornos de aprendizaje abiertos” algunas características que han de tener todos los entornos abiertos. Es de destacar en tales entornos sobretodo el carácter de mediación que ha de tener el aprendiz para las funciones típicas del aprendizaje en particular: a. establecer significados de manera no ambigua; b. determinar las necesidades; c. definir los objetivos; d. comprometerse con las actividades de aprendizaje.

Es, para los autores, vital el protagonismo del alumno particularmente en la significación de los aprendizajes de manera que éstos denoten una especial relevancia para él. Podría decirse que en este enfoque de aprendizaje que ha de incluirse entre los que pueden considerarse enfoques centrados en el alumno, éste habría de tener un plan para su aprendizaje incluyendo incluso el tipo de técnicas y procedimientos a aplicar a lo largo del proceso de aprendizaje. “Así pues, no siempre es conveniente imponer estrategias de enseñanza directa a priori para fomentar una comprensión o una realización determinadas” exclaman los autores que definen este enfoque. Como se ve la propia acción del diseño de la enseñanza ha de estar prudentemente marcada para el 3

Reigeluth et al. (2000): Teorías de la Instrucción. Vol. 1. Madrid, Siglo XXI Sólo para uso Docente – Distribución gratuita

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enseñante por el límite de la actividad cognitiva y grado de compromiso del aprendiz. Según esto, las herramientas, recursos y actividades dentro de los Entornos Abiertos de Aprendizaje (EAA) han de adaptarse, de manera flexible, contemplando más su función de facilitación de aprendizaje y de apoyo que como estructura definida de aprendizaje que ha de estructurar el propio aprendiz y no imponerse rígidamente condicionando el significado de los contenidos y sus interpretaciones.

Las tareas de aprendizaje han de estar orientadas al razonamiento y a suscitar la reflexión a partir de experiencias del aprendiz que a desarrollar, de manera determinada, una respuesta unívoca. Es evidente que éstas han de orientarse a provocar las intenciones educativas previstas pero más bien de abajo arriba –o si se prefiere de dentro hacia fuera- que al contrario. Invocando nuestra manera de proceder en este módulo, definida en la guía didáctica, podríamos decir desde la interiorización hacia lo externo y social y no viceversa. Para ello es preciso favorecer en las propuestas de instrucción la metacognición – capacidad del aprendiz de considerar su propia manera de trabajar y aprender- y las esferas de intereses y motivos personales para contaminar el aprendizaje de un significado propio y personal.

El aprendizaje estratégico como diría J.I. Pozo o “aprendizaje heurístico”, como dice Hannafin, debe ser una propuesta y un valor de los EAA donde el aprendizaje ha de conducir a una mayor capacidad de “aprender a aprender” mediante la ejercitación de los heurísticos y estrategias específicos sobre los que la propuesta de enseñanza ha de marcar el efecto positivo, a medio plazo, de la interiorización de los procedimientos aplicados. Los EAA contribuyen a estimular la autonomía de los aprendices puesto que promueven el plantear los problemas y seleccionar las fuentes de información. Por ello mismo, la instrucción diseñada para tales entornos ha de contemplar éste como un objetivo siempre presente en toda programación. Por las mismas razones, los entornos abiertos son menos favorables para tareas de estricta comprensión o cuando el factor tiempo es crítico para los objetivos de enseñanza. Estimulan la investigación y la manipulación de creencias básicas y estructuradas, en lugar de imponer pensamientos concretos, dice Hannafin; me ha interesado resaltar este aspecto cuando acabamos de dejar constancia en nuestras tareas de las anteriores semanas del importante papel de las creencias sobre los comportamientos y aprendizajes. Es particularmente decisivo el citado papel de las creencias en los EAA donde su condición de aprendizaje mediado hace que las experiencias personales tengan un protagonismo muy especial.

La siguiente figura representa, según Hannafin, algunos de los elementos, métodos y requisitos de los EAA.”Los métodos asociados hacen hincapié en el contexto auténtico del aprendizaje, fijan los planteamientos basados en problemas, la construcción, la manipulación y el apoyo. Los fundamentos tecnológicos de los EAA se manifiestan mediante diferentes herramientas (por ejemplo, hojas de cálculo, programas de gráficos, navegado res de la Red) y recursos (por ejemplo, bases de datos en línea, bibliotecas de imágenes, documentos fuente) que persiguen distintas finalidades. Los planteamientos «encajan» dentro de la cultura educativa basada en el razonamiento crítico y en la investigación, que subraya procesos tales como la investigación y la exploración por encima de la conformidad y la memorización; el entorno adapta las limitaciones localizadas de los escenarios en los que se establecen”.

ELEMENTOS DE LOS ENTORNOS DE APRENDIZAJE ABIERTO. El enfoque que defienden los autores del documento de referencia que comentamos es el de que los contextos específicos de aprendizaje determinan y favorecen o, por el contrario, distorsionan o generan disfunciones en los resultados del aprendizaje. Desde esa perspectiva, el diseño de la

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instrucción debe favorecer y facilitar determinados contextos de aprendizaje, si es posible elegir, en función de las intenciones educativas de la enseñanza. Sobre la base de esta idea de condicionar resultados de a aprendizaje con contextos se pueden exponer las características de los dos entornos diferenciados de aprendizaje: entornos dirigidos y entornos abiertos (ver cuadro “Diferencias entre entornos de aprendizaje”) RECURSOS Los recursos son materiales de referencia que refuerzan el aprendizaje. Entre estos recursos se encuentran los medios informáticos (por ejemplo, bases de datos, tutoría por ordenador, vídeo), información escrita (por ejemplo, libros de texto, documentos de referencias originales, artículos de periódicos), y los recursos humanos (por ejemplo, expertos, padres, profesores, compañeros).

La Red es quizá el almacén más generalizado de recursos disponibles. Facilita el acceso, pero para los individuos es con frecuencia difícil determinar la relevancia potencial de los recursos disponibles (Hill y Hannafin, 1997). Aunque contiene mucho material de referencia de importante relevancia, la utilidad de los recursos de la Red para los EAA se ve a menudo limitada a causa de la falta de claridad del contenido, de la dificultad de acceso o de uso, o de ambas. La utilidad de un recurso se determina por su relevancia en el contexto facilitado y por el grado de accesibilidad que tengan los alumnos. Cuanto más relevante es un recurso para los objetivos de aprendizaje de un individuo, y cuanta más accesibilidad tenga, mayor será su utilidad.

Los EAA hacen un amplio uso de los recursos disponibles que proporcionan una magnífica reserva de materiales de referencia dentro de la gran variedad de aplicaciones de los EAA. En algunos casos, los recursos disponibles se complementan o amplían con nuevos recursos, basándose en materiales de referencia existentes apropiados para un contexto facilitado en un EAA. Es decir, los recursos pueden ser estáticos y dinámicos, aunque cada vez es más frecuente que los recursos digitales reflejen ambas propiedades.

Los recursos estáticos no varían con su uso. Pueden contener información que se mantiene estática con el paso del tiempo y que no está sujeta a variación, como, por ejemplo, las imágenes fotográficas de las figuras históricas. Algunos de estos recursos sólo son accesibles mediante tecnologías que no permiten su alteración, como los contenidos de los videodiscos, los multimedia en CD-ROM, los libros de texto y las enciclopedias electrónicas.

En algunas ocasiones, es conveniente acceder recursos que cambian de forma dinámica con el paso del tiempo y/o introducen nuevos datos. Esto permite a los alumnos acceder una y otra vez al mismo recurso, pero obteniendo en cada ocasión diferentes resultados. Las bases de datos dinámicas también pueden desarrollarse basándose en las necesidades, preguntas e intenciones individuales o de diferentes grupos. Las bases de datos inteligentes recogen información con la que generan modelos de usuarios a los que recomendar recursos. En algunos sistemas, los usuarios pueden transformar la información añadiendo nuevas entradas a las ya existentes.

Los recursos, como las estrategias, se sirven de herramientas diferentes y con propósitos diferenciados que ayudan a configurar un entorno. El profesor ha de saber discriminar y aconsejar aquéllas que sean coherentes con entorno y los objetivos del mismo. Las herramientas pueden ser: a) Herramientas de recopilación permiten a los alumnos agrupar recursos o elementos de recursos para sus objetivos individuales. Facilitan el aprendizaje ayudando a recopilar información potencialmente importante que pueda utilizarse para simplificar los accesos siguientes, realizar un estudio más detallado o recoger subgrupos de recursos adecuados para el aprendiza-

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je individual. Las herramientas de recopilación permiten al alumno realizar diversas tareas, como, por ejemplo, «capturar» documentos de texto o textos elegidos, almacenar copias de imágenes gráficas y crear directorios de los sitios URL de la Red ( direcciones en la Red) seleccionados. b) Herramientas de organización prestan un apoyo a los alumnos en la representación de relaciones entre ideas. c) Herramientas de integración. Ayudan a los alumnos a vincular los nuevos conocimientos con los que ya existen. El autor cita una herramienta denominada "Construe", software que se utiliza para desarrollar entornos dinámicos de construcción de conocimientos (Lebow, Wager, Marks, y Gilbert, 1996). Un entorno Construe característico incluye diferentes opciones para buscar y enlazar amplias bases de datos sobre impresiones originales y artículos. Los usuarios buscan entre los documentos los detalles específicos, y anotan sus reacciones e interpretaciones en forma de recursos permanentes. Las funciones de enlace y construcción ayudan tanto en la organización de ideas sobre diferentes perspectivas como en su integración en el conocimiento personal. d) Herramientas de generación. Permiten al alumno crear cosas. Estas herramientas se han desarrollado dentro de un amplio grupo de entornos. Hay, Guzdial, Jackson, Boyle y Soloway (1994) crearon el programa informático para simplificar la elaboración de composiciones multimedia. Iiyoshi y Hannafin (1994) describieron una serie de herramientas con las que los individuos podían crear sus propias lecciones Multimedia utilizando tanto los recursos establecidos como los que desarrollan los usuarios. e) Herramientas de manipulación se utilizan para evaluar la validez, o explorar la fuerza explicativa, de las ideas o teorías. VOSNIADOU (1992) observó que para fomentar la reestructuración de los modelos mentales, se debía ofrecer primero a los alumnos la oportunidad de conocer la existencia de sus propias ideas. RIEBER (1993) creó un micromundo en el cual los alumnos podían manipular los conceptos físicos de Newton, tales como la masa y la velocidad, mientras intentaban acoplar una nave espacial virtual, Estas manipulaciones eran funcionalmente similares a las de los motores de empuje del trasbordador espacial utilizado para ajustar la velocidad de avance, la inclinación y la desviación, LEWIS, STERN y LINN (1993) definieron una herramienta que permitía a los alumnos primero reflexionar y luego manipular las propiedades termodinámicas de los objetos, Por ejemplo, un individuo puede pensar que al aumentar la superficie del área de un objeto se produce invariablemente una pérdida adicional de calor independiente de las propiedades de aislamiento, Las propiedades de los objetos pueden alterarse para evaluar las hipótesis y verificar las teorías. f) Herramientas de comunicación ayudan a los alumnos, profesores y expertos en estas tareas a iniciar o mantener intercambios. Se han desarrollado de forma muy importante en Internet y en los EAA basados en la Red. Las herramientas de comunicación comprometen a los participantes de forma sincrónica o asincrónica conforme a su disponibilidad, el coste y la naturaleza del contexto facilitado.

Las herramientas de comunicación asíncronas facilitan la comunicación en diferido. Permiten un extenso intercambio de ideas y recursos, pero sin que se produzca la participación simultánea de todos los participantes. Las listas de servidores, por ejemplo, proporcionan un vehículo para el debate entre alumnos y profesores sin requerir su presencia inmediata.

El aprendizaje en red utiliza ampliamente los elementos que permiten una comunicación asíncrona reservando el valor de la comunicación, de los recursos y de las tecnologías configurando

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herramientas eficaces de aprendizaje como son las comunidades virtuales de aprendizaje, los grupos de cooperación para el aprendizaje, etc.

Otro elemento constitutivo del entorno abierto de aprendizaje son los tipos de apoyo que es capaz de inducir o que reclama preferentemente. El cuadro “Tipos de apoyo" resume los principales y sus características.

Este documento pretende orientar hacia la integración de los elementos que caracterizan un entorno de aprendizaje abiertos y cuáles son las consecuencias que, desde el punto de vista de la enseñanza, ha de tener dicho entorno.

En este curso venimos analizando, en diversos temas de diferentes bloques, varios de los elementos constitutivos de la EaD como entorno abierto. Esta actividad invita a integrar en un esquema personal los aprendizajes ya adquiridos en relación con los entornos abiertos y aplicarles nuestras propias conclusiones a las exigencias de los mismos para el diseño de la enseñanza en tales entornos.

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Lectura 8 El aprendizaje colaborativo a través de la red: límites y posibilidades Begoña Gros Tomado de http://www.uninorte.edu.co/congresog10/conf/08_ El_Aprendizaje_Colaborativo_a_traves_de_la_red.pdf 1. La formación con y para el trabajo en red.

Cualquier situación educativa está determinada por múltiples variables que se interconectan formando una red invisible a la mirada del neófito. Por ello, aunque todos hablamos de la educación, de los problemas del aprendizaje, de los problemas formativos, en realidad enlazamos pequeñas conexiones del entramado. La educación es un sistema complejo y la pedagogía debe encargarse de conocer las conexiones ocultas (Capra 2002 ).

La sociedad informacional ha generado múltiples conexiones que conllevan unas consecuencias de gran alcance tanto para la vida cotidiana como para las tareas formativas y profesionales. En este sentido, nos vemos obligados a replantearnos casi todo. Las fuentes de conocimiento, los modelos de generación de contenidos, las formas de investigación, las relaciones con los estudiantes, el papel del profesorado, la tecnologías que debemos utilizar, etc. En definitiva, el diseño de los procesos de enseñanza-aprendizaje que estaban centrados en el triángulo: profesor-estudiante contenido, se ha ido haciendo más y más complejos alcanzando una gran red. La tarea es ahora ser capaces de comprender el entramado, sus conexiones y, en consecuencia, diseñar entornos que faciliten el aprendizaje.

La educación superior no escapa a esta necesidad. La realidad actual muestra que las universidades se van interesando crecientemente por la calidad de la docencia y por la formación de sus

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profesores. Esto tiene que ver con el hecho de que las relaciones entre la sociedad, la cultura y la universidad han ido cambiando a lo largo de estos años.

En su origen, las universidades fueron el lugar donde nacía y se generaban las principales aportaciones a la ciencia y la cultura. Durante muchos años la universidad se ha constituido como el espacio dedicado al saber, ha tenido el monopolio de la transmisión del conocimiento del más alto nivel a la sociedad. Durante el último siglo, han convivido distintos modelos de enseñanza superior. Desde los modelos centrados en la especialización de los conocimientos hasta los que se han decantado por proporcionar unos conocimientos y una formación más generalista. No obstante, en todos ellos la universidad ha sido una institución que ha continuado teniendo una importante influencia sobre el desarrollo del conocimiento.

Sin embargo, este hecho ha cambiado de forma notable. Como afirma Barnett, “la educación superior ha pasado de ser una institución en la sociedad a ser una institución de la sociedad” (2001: 222). La universidad ya no ejerce el monopolio del conocimiento experto. El conocimiento no sólo se ha expandido a organizaciones externas a la institución universitaria, sino que la misma educación superior se está también desarrollando fuera de ella.

La sociedad moderna delega en la educación superior la tarea de desarrollar en los estudiantes las habilidades que les permitan operar de manera eficaz en la sociedad. La sociedad está estableciendo su propia definición de conocimiento y está imponiendo y determinando las formas de conocimiento que desea. El lenguaje actual es buena prueba de ello. Se habla de competencias, capacidades, créditos, aprendizajes basados en problemas, en casos, etc.

La universidad es una institución de la sociedad, y el hecho de hablar de la formación con términos como competencias, créditos, etc., cambiando el énfasis de la clase magistral al trabajo del estudiante, supone un intento de ajustarse de forma pragmática y utilitaria a la realidad social y los requerimientos del mercado laboral. Pensamos que aún queda mucho por hacer en el sentido de revisar la función docente para fundamentarla mejor en el trabajo y la participación de los estudiantes en seminarios, proyectos, problemas, etc. De hecho, la mayoría de docentes, cuando se les pregunta por su trabajo, hablan sobre todo de conocimientos, de preparar las clases, y en el mejor de los casos de atender a la interacción con los estudiantes en estas clases (Gros- Romaña: 2004).

En definitiva, la universidad tiene una responsabilidad educativa. Puede decirse que, como siempre, una condición necesaria para la transmisión cultural y el acceso a la cultura en la universidad es que profesores y estudiantes trabajen conjuntamente en contextos donde compartan el conocimiento. Condición suficiente sería además reconocer la responsabilidad educadora de la universidad, que se traduce no sólo en la presentación de los conocimientos sino también en favorecer vías para el acceso y la complicidad responsable de los estudiantes con ese mundo de conocimientos, dentro de situaciones que favorezcan su participación, crítica y desarrollo de un pensar propio. La pregunta es: ¿la universidad trabaja para formar personas capaces de cambio, de comprender la provisionalidad del conocimiento, de trabajar colaborativamente, de pensar por sí mismas?. Algunos cambios que se están introduciendo pueden facilitar nuevas formas docentes enfocadas hacia alguna de estas cuestiones. En este sentido, el uso de nuevas herramientas mediadoras en el diseño del aprendizaje centrado en los estudiantes puede favorecer estos procesos. Por ello, hablamos de una formación con la red y para la red que permita la construcción social del conocimiento a través del desarrollo de competencias de construcción y elaboración del conocimiento.

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2. El aprendizaje colaborativo mediado.

La literatura y estudios sobre el aprendizaje colaborativo apoyado por ordenador (CSCL), al que denominaremos “aprendizaje mediado” aumentan día a día. Las investigaciones sobre experiencias, condiciones de uso, tipos de interacciones, no sólo son elevadas (en términos cuantitativos) sino que apuntan e inciden es aspectos muy fundamentales del proceso educativo, por lo que estamos ante un ámbito de investigación y desarrollo de gran interés.

El término aprendizaje colaborativo mediado se empezó a utilizar a partir de una publicación de Koschman (1996), quien definió este ámbito como un espacio de investigación en el que considera la existencia de tres teorías de apoyo: la teoría neopiagetiana sobre el conflicto, la teoría histórico-cultural y la teoría práctica social. Posteriormente, Koschman (1999) añade la teoría de Dewey y Bahjkin como referentes importantes.

El aprendizaje colaborativo mediado por ordenador expresa dos ideas importantes. En primer lugar, la idea de aprender de forma colaborativa, con otros, en grupo. En este sentido, no se contempla al aprendiz como persona aislada sino en interacción con los demás. Se parte de la importancia por compartir objetivos y distribuir responsabilidades son formas deseables de aprendizaje. Además, se enfatiza el papel del ordenador como elemento mediador que apoya este proceso. Se trata pues de aprender a colaborar y colaborar para aprender.

El ordenador, el software utilizado tiene que favorecer los procesos de interacción y de solución conjunta de los problemas. Una conclusión relevante en la mayoría de los casos apunta hacia la dificultad por llegar a estos procesos conjuntos de intercambio y construcción del conocimiento.

La articulación de los diferentes elementos que contribuyen a la colaboración no es fácil y, es claro, que no basta con poner a un grupo a interactuar para que se produzca un aprendizaje.

Pfister, y otros (1999); Barberá, (2001) consideran que el aprendizaje mediado es una estrategia de enseñanza a través de la cual dos o más sujetos interactúan para construir conocimientos.

Este proceso social trae como resultado la generación de un conocimiento compartido, que representa el entendimiento común de un grupo con respecto al contenido de un dominio específico.

Según Lipponen (2003), el CSCL se ha centrado en analizar cómo el aprendizaje colaborativo mediado puede realzar la interacción entre pares y el trabajo en grupos, y cómo la tecnología y la colaboración facilitan la distribución del conocimiento y el compartir experiencias a través de una comunidad virtual. En este sentido, para Lipponen (2003) la colaboración puede ser vista como una forma especial de interacción.

Roschelle and Teasley acentúan el papel del conocimiento distribuido y consideran que la colaboración es “una actividad sincrónica coordinada que surge como el resultado de un continuo intento de construir y mantener una concepción distribuida y compartida del problema (1995: 70).

Scardamalia y Bereiter (1994) hablan de las comunidades de construcción de conocimiento y Brown y Campione (1994) se refieren a las comunidades de aprendizaje como una actividad de participación en un proceso colaborativo de distribución y repartición de experticia. En el trabajo de Palloff y Pratt (1999) se introduce un nuevo matiz en el concepto de colaboración, relacionado estrechamente con la interdependencia. En vez de vincular directamente la colaboración con la construcción de conocimiento, estos autores la relacionan con las comunidades virtuales de aprendizaje. Ellos enfatizan la importancia de la colaboración para facilitar el desarrollo de la

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comunidad y la incidencia de este proceso en el cumplimiento de los objetivos de aprendizaje marcados para un determinado programa.

La mayoría de las teorías sobre el aprendizaje colaborativo mediado se sustenta sobre las aportaciones de las teorías constructivistas. Las aportaciones de Piaget y, especialmente de Vygotski, han generado toda una serie de contribuciones que no necesariamente se ciñen a enfoques psicológicos del tema sino que, en muchas ocasiones, se desarrollan a partir de la intersección entre teorías sociales, antropológicas, psicológicas y educativas. En cierta forma, muchos de los nuevos planteamientos en torno a la cognición social y al aprendizaje colaborativo están mucho mas interesados en explicar las condiciones favorables para la intervención educativa que los procesos de aprendizaje del sujeto. Duffy y Cunnigham (1996) sostienen que más que hablar de teorías sobre la cognición humana debemos hablar de métodos de enseñanza.

Muchas de las prácticas derivadas de estos planteamientos lo que hacen es recuperar algunas posturas ya desarrolladas por la pedagogía y de forma muy especial los planteamientos educativos sostenidos por Dewey a principios del siglo XX. Esta recuperación se desarrolla en la actualidad a partir de la denominada cognición situada. Esta teoría toma como punto de referencia los trabajos de Vygotsky y de autores como Leontiev (1978) y Luria (1987) y más recientemente, los trabajos de Rogoff (1993), Lave (1997), Bereiter (1997), Engeström y Cole (1997), Wenger (2001), por citar sólo algunos de los más conocidos en el ámbito educativo. La cognición situada asume diferentes formas y nombres, directamente vinculados con conceptos como aprendizaje situado, participación periférica legítima, aprendizaje cognitivo (cognitive apprenticeship) y cognición distribuida.

Los teóricos del aprendizaje situado parten de la premisa de que el conocimiento es situado, es parte y producto de la actividad, el contexto y la cultura en que se desarrolla y utiliza. Esta visión, relativamente reciente, ha desembocado en un enfoque instruccional- la enseñanza situadaque destaca la importancia de la actividad y el contexto para el aprendizaje y reconoce que el aprendizaje escolar es, ante todo, un proceso de enculturación en el cual los estudiantes se integran gradualmente a una comunidad o cultura de prácticas sociales. En esta misma dirección, se comparte la idea de que aprender y hacer son acciones inseparables. Y en consecuencia, un principio básico de este enfoque plantea que los alumnos deben aprender en el contexto pertinente. El diseño de los contextos de aprendizaje se convierte en una de las tareas básicas para el profesor, por lo que el rol de éste cambia de forma muy notable Bajo esta perspectiva, todos los autores parten de una fuerte crítica a la manera cómo las instituciones educativas intentan promover el aprendizaje. En particular, cuestionan la forma en que se enseñan aprendizajes abstractos y descontextualizados, conocimientos poco útiles y escasamente motivantes y de releva ncia social limitada (Díaz Barriga y Hernández, 2002). Es decir, en las escuelas se privilegian las prácticas educativas artificiales, en las cuales se manifiesta una ruptura entre el saber qué y el saber cómo y donde el conocimiento se trata como si fuera neutral, ajeno, autosuficiente e independiente de las situaciones de la vida real o de las prácticas sociales de la cultura a la que se pertenece. Desde una visión situada, se aboga por una enseñanza centrada en prácticas educativas auténticas, las cuales requieren ser coherentes, significativas y propositivas; en otras palabras: “simplemente definidas como las prácticas ordinarias de la cultura” (Brown, Collins y Duguid, 1989: 34). La autenticidad de una práctica educativa puede determinarse por el grado de relevancia cultural de las actividades en que participa el estudiante, así como mediante el tipo y nivel de actividad social que éstas promueven (Derry, Levin y Schauble, 1995).

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La unidad básica de análisis es la acción recíproca, es decir, la actividad de las personas que actúan en contextos determinados. Una situación educativa, para efectos de su análisis e intervención, requiere concebirse como un sistema de actividad cuyos componentes incluyen: •

El sujeto que aprende.

•

Los instrumentos utilizados en la actividad, especialmente los de tipo semiótico.

•

El objeto a apropiarse u objetivo que regula la actividad (saberes y contenidos).

•

Una comunidad de referencia en que la actividad y el sujeto se insertan.

•

Normas o reglas de comportamiento que regulan las relaciones sociales de esa comunidad.

•

Las Reglas que establecen la división de tareas en la misma actividad.

Dillenbourg, señala que es muy difícil definir la colaboración ya que hay tantas definiciones como personas y puntualiza: “la definición más amplia pero “insatisfactoria” del término aprendizaje colaborativo es la situación en la cual una o más personas aprenden e intentan aprender algo en forma conjunta. (...) Esta definición es parcial porque es difícil delimitar a qué nos referimos con una o más personas (grupo). ¿Se refiere a una pareja, un pequeño grupo, una clase, una comunidad? Y en relación al término aprendizaje, se pregunta, si esto quiere decir: ¿seguir un curso, estudiar un material de curso, resolver un problema en forma conjunta?”. (1999: 1).

Cabero unifica las vertientes de aprendizaje colaborativo y cooperativo en una definición única y establece que el aprendizaje colaborativo es “una metodología de enseñanza basada en la creencia de que el aprendizaje se incrementa cuando los estudiantes desarrollan destrezas cooperativas para aprender y solucionar los problemas y acciones educativas en las cuales se ven inmersos” (2003:135).

El término cooperación y colaboración se utiliza como sinónimo en muchas ocasiones. Sin embargo, de acuerdo con Dillenbourg (1996), consideramos que el aprendizaje cooperativo requiere de una división de tareas entre los componentes del grupo. Por ejemplo, el educador propone un problema e indica qué debe hacer cada miembro del grupo, responsabilizándose cada uno por la solución de una parte del problema. Esto implica que cada estudiante se hace cargo de un aspecto y luego se ponen en común los resultados.

Los enfoques de aprendizaje colaborativo y cooperativo, tienen algunas características que los diferencian notoriamente. En un extremo del proceso de enseñanza – aprendizaje que va de ser altamente estructurado por el profesor (cooperativo) hasta dejar la responsabilidad del aprendizaje principalmente en el estudiante (colaborativo). Estos enfoques pueden ser vistos como contradictorios pero también pueden ayudar a situar el proceso ya que, la colaboración no es algo que se produzca con facilidad. Por ello, podría pensarse en un proceso de trabajo desde la estructuración muy elaborada por parte del profesorado hasta dejar paso a una mayor responsabilidad del estudiante. En esta línea, Brufee (1995) afirma que el enfoque colaborativo es el que requiere de una preparación más avanzada para trabajar con grupos de estudiantes. Este autor identifica dos tipos de conocimiento como la base para escoger uno de estos enfoques (colaborativo vs. cooperativo). El aprendizaje fundamental es el conocimiento básico, representado por creencias justificadas socialmente en las cuales todos estamos de acuerdo: gramática, ortografía, procedimientos matemáticos, hechos históricos, representarían tipos de conocimiento fundamental. Estos son aprendidos mejor utilizando estructuras de aprendizaje cooperativo en los grados iniciales.

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El conocimiento no fundamental es derivado a través de razonamiento y el cuestionamiento en lugar de la memorización. Los estudiantes deben dudar de las respuestas, incluso de las del profesor, y deben ser ayudados para arribar a conceptos mediante la participación activa en el proceso de cuestionamiento y aprendizaje. Como resultado de esta acción, el nuevo conocimiento es creado; algo que no ocurre cuando se trabaja con hechos e información asociada al conocimiento fundamental. El aprendizaje colaborativo cambia la responsabilidad del aprendizaje del profesor como experto, al estudiante, y asume que el profesor es también un aprendiz.

En síntesis, y siguiendo las aportaciones Kumar (1996), podemos considerar la existencia de, al menos, siete elementos que deberían tenerse en cuenta en el diseño, desarrollo e implementación de los sistemas de aprendizaje colaborativo: a. Control de las interacciones colaborativa.

El control sobre las interacciones colaborativas hace referencia al modelo del sistema que se proporciona y apoya la comunicación entre los participantes. Por ejemplo, las formas de estructuración de las tareas, la posibilidad de espacios grupales para el trabajo, el uso de sistemas de comunicación sincrónica y asincrónica, el proceso de comunicación con el profesorado, etc.

Este aspecto mencionado por Kumar resulta altamente necesario ya que, en ocasiones, a la complejidad natural del proceso interactivo se añade el uso de programas de gestión poco o nada flexibles que no permiten adaptar la herramienta informática a las necesidades de estudiantes y profesores durante el proceso colaborativo. b. Dominios de aprendizaje colaborativo.

En general, el aprendizaje colaborativo es utilizado en dominios de conocimiento complejo en los que se requiere la planificación, categorización de las. tareas, distribución de las mismas, etc. Generalmente, el dominio del conocimiento es complejo y requiere un conocimiento completo de los participantes para tener una idea total de la tarea. Es difícil aplicar este tipo de planteamiento a un conocimiento simple, de práctica y ejercitación. c. Tareas en el aprendizaje colaborativo.

En un entorno colaborativo, los participantes se enfrentan a diferentes tipos de tareas pero, en todos los casos, una de las principales ejecuciones hace referencia a la resolución de ta-

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reas de tipo procedimental. El análisis y la resolución de problemas es fundamental. Sin embargo, este hecho no quiere decir que las tareas tengan que centrarse de forma exclusiva en este tipo de actividades. En general, el aprendizaje colaborativo es significativo cuando diferentes acciones y decisiones están presentes durante la resolución de una actividad compleja. No obstante, es un error establecer todas las actividades a partir de procesos colaborativos ya que también hay que conceder importancia a las dimensiones individuales del aprendizaje. d. Diseño de los entornos colaborativos de aprendizaje.

El diseño de entornos de aprendizaje colaborativos está relacionado con la mejor forma de hacer efectivo este tipo de aprendizaje. Hay muchas posibilidades: entornos de aprendizaje grupal que permitan el trabajo en equipo, dos o más estudiantes trabajando en el mismo problema en sincronía, o un sistema de trabajo asíncrono, un espacio basado en la autorización, etc. En este sentido, las posibilidades que otorgan las nuevas tecnologías son muchas y muy variadas. Sin embargo, todavía hay pocos modelos específicos de diseño instruccional basado en el aprendizaje colaborativo. Como veremos más adelante, en la mayor parte de las investigaciones existe una cierta confusión entre el sistema y el diseño de la actividad. e. Roles en el entorno colaborativo.

El diseño de un entorno de aprendizaje colaborativo necesita considerar el tamaño del grupo, las formas de participación así como la distribución de los roles. El rol de cada estudiante puede cambiar durante el proceso pero es necesario establecer ciertas responsabilidades para asegurar que los estudiantes aprender a trabajar en grupo, en situaciones colaborativas, donde cada uno es responsable de su propio trabajo. La distribución de roles requiere además estrategias de comunicación y negociación. f. Tutorización en el aprendizaje colaborativo.

Hay numerosos métodos de tutorizacion que pueden apoyar el aprendizaje colaborativo: tutorización entre iguales, aprender enseñando, aprendizaje a través de la negociación, etc. g. Colaboración mediante apoyo tecnológico.

El uso de la tecnología como medio de aprendizaje colaborativo ha tenido cambios muy sustanciales en las dos últimas décadas. Sincrónico y asincrónico.

3. La construcción colaborativa del conocimiento.

El enfoque de las investigaciones alrededor de este tema tiene por objeto el estudio de la forma en que puede lograr un modelo de enseñanza basado en la comprensión y construcción compartida del conocimiento.

Scardamalia y Bereiter se han convertido en los autores canadienses más influyentes entre los investigadores del aprendizaje colaborativo mediado por ordenador. Estos autores, han desarrollado una teoría sobre la construcción colaborativa del conocimiento a la vez que han elaborado herramientas tecnológicas acordes con dicho modelo teórico y han impulsado numerosas investigaciones aplicadas a la escuela considerada ésta como una comunidad de aprendizaje.

El primer prototipo de CSILE fue diseñado en 1983 y utilizado durante varios años en cursos del departamento de Psicología del desarrollo con más de 300 estudiantes (Scardamalia, 2002). A partir del uso regular de esta herramienta se fue trabajando en el modelo de aprendizaje y des-

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arrollando nuevas actualizaciones del sistema hasta desarrollar la última versión denominada Knowledge Forum (KF).

La idea de KF es intentar trabajar con la máxima fidelidad posible de la forma en que se aprende en el mundo del trabajo. La idea central es compartir las responsabilidades del trabajo y distribuirlo.

El segundo objetivo es ayudar a la construcción del conocimiento a partir de la exploración de las interconexiones entre las diferentes contribuciones de los participantes. En definitiva, el desafío de este herramienta es construir una pedagogía basada en la construcción colaborativa del conocimiento de manera que sea posible comprometer a los estudiantes en las soluciones colaborativa de los problemas de conocimiento, de forma que la responsabilidad para el éxito sea compartida entre los estudiantes y el profesor en vez de ser algo establecido previamente por el profesor.

En el discurso sobre la construcción del conocimiento, ideas, teorías, hipótesis son tratadas como artefactos culturales y objetos de investigación que pueden ser discutidos, mejorados y puesto en nuevo usos a medida que los participantes se comprometen en un progresiva investigación.

Para clarificar las diferencias entre construir el conocimiento de la forma habitualmente entendida y la propuesta por estos autores, Scardamalia (2002) propuso un conjunto de 12 categorías que pueden ser identificadas en el discurso y que en combinación producen una clase profundamente diferente a las clases tradicionales. Incluye también una distinción entre las prácticas y la tecnología, las que en combinación pueden ayudar a producir ese cambio. El objetivo no es adquirir un conocimiento personal, el cambio estriba en la construcción y avance del conocimiento colectivo.

En definitiva, los determinantes socio-cognitivos y tecnológicos propuestos por Scardamalia y ampliamente estudiados por el equipo de Toronto se enmarcan en los siguientes aspectos: Determinantes

Sociocognitivos

Tecnológicos

problemas El conocimiento de los problemas nace del esfuerzo de entender el mundo. Las ideas producidas o apropiadas son tan reales como las cosas, como los objetos. Los problemas son aquello que realmente nos preocupa muy diferente a los problemas escolares.

KForum crea una cultura colaborativa del trabajo a través de las notas. Las notas y las vistas sirven como reflexiones directas del trabajo y la organización de las ideas

Ideas improbables

Todas las ideas tratadas son improbables. Los participantes trabajan continuamente para mejorar la calidad, coherencia y utilidad de las ideas.

KForum soporta recursión en todos los aspectos de su diseño, hay siempre un nivel superior y siempre puede ser revisado.

Ideas diversas

Las ideas diversas son esencia- KForum proporciona la posiles para el desarrollo del cono- bilidad de discutir la diversicimiento avanzado. Entender dad de las ideas, enlazar va-

Ideas reales, auténticos.

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una idea es entender los aspec- rias ideas, crear nuevas notas tos que la rodean. a partir de varias aportaciones, etc.

Compilación de notas

El conocimiento creativo se centra en el trabajo hacia principios más inclusivos y la formulación de problemas de mayor nivel.

Esto significa que el aprendizaje requiere diversidad, complejidad, significación y síntesis.

La compilación de notas apoyan el avance de estas estructuras y soportan las ideas emergentes a partir de las aportaciones previas

Agencia epistémica

Los participantes deben negociar sus ideas unos con otros, contrastarlas con conocimientos avanzados.

KForum proporciona una plataforma para la elaboración de las ideas y teorías ya que es posible realizar conjeturas, hipótesis, etc.

Responsabilidad colectiva

Los participantes no sólo tienen que negociar sino que tienen que tener la responsabilidad del trabajo común. Se debe dar una aportación común y una distribución conjunta del trabajo y las aportaciones

KForum proporciona espacios colaborativos a través de las lecturas y contribuciones sobre las aportaciones de los demás.

Democratización del cono- Todos los participantes están cimiento legitimados para contribuir a la meta común. Todos tienen la posibilidad de participar y contribuir.

Hay un espacio común de aportación para todos los participantes y también es posible utilizar herramientas analíticas que permiten obtener información sobre la participación de los miembros

Avances simétricos del co- La simetría es el resultado del KForum permite la visita virnocimiento intercambio de conocimiento tual y las vistas de todos los grupos que están trabajando Construcción conocimiento

general

del No está delimitado a un contex- Puede utilizarse de forma to institucional colectiva sin necesitar estar centralizada o localizada en un colectivo

Uso constructivo y fuentes Para conocer una disciplina es autorizadas necesario saber los avances de la misas. Por ello, hay que utilizar y revisar las fuentes autorizadas del campo de conocimiento específico.

Discurso constructivo

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KForum anima a los participantes a proporcionar fuentes de información como datos e ideas agregando referencias, bibliografía, enlaces, archivos, etc.

El discurso de la comunidades KForum proporciona la capa-

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de construcción del conocimien- cidad de establecer notas into es más que la suma de las tertextuales y vistas que emergen de varios espacios y partes notas de los participantes Evaluación transformativa

Es una parte del esfuerzo para Construcción que haya un avance del conoci- compilaciones miento.

colaborativa,

La herramientas tecnológicas para el aprendizaje colaborativo Se han generado numerosas herramientas informáticas para apoyar el aprendizaje colaborativo.

La selección de la herramienta más adecuada en función de los objetivos que deseamos alcanzar hace necesario un estudio más exhaustivo del valor de las diferentes herramientas y características más apropiadas para cada caso.

Basándonos en la propuesta de Oliver y Hannafin (2000) presentamos una taxonomía de las tareas basadas en la actividad del estudiante y los requisitos de las herramientas web que pueden ayudar en su desarrollo (figura 2).

Tipos de tareas

Herramientas para apoyar el proceso activo de los estudiantes y recursos basados en web.

Tácticas para planificar, establecer finalidades individuales y/o grupales

Proyectos basados en web, planificadores

Discutir o debatir concepciones internas y recibir feedback

Correo electrónico, listas de distribución, videoconferencias

Buscar y recuperar información.

Marcadores digitales, buscadores, etc.

Organizar información en un esquema coherente.

Software para construir tablas, diagramas, mapas conceptuales, proyectos, etc.

Generar nueva información.

Editores de páginas web, editores de trabajo colaborativo, procesadores de texto, etc.

Manipular información externa y variables para probar y revisar hipótesis y modelos.

Simulaciones, micromundos.

Figura 2: Herramientas web para la construcción del conocimiento.

Como podemos observar, en esta propuesta el diseño pedagógico del entorno se centra en la búsqueda, organización y generalización de nueva información.

Las herramientas disponibles en este momento para trabajar estas tareas son abundantes pero todavía están muy limitadas en cuanto a su funcionalidad. Por ejemplo, la mayoría de los programas para el desarrollo de foros electrónicos presentan limitaciones importantes para el seguimiento y reflexión de las discusiones ya que no existe una representación de los flujos de las intervenciones y es preciso entrar en cada mensaje para trabajar los contenidos.

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En nuestro equipo de la Universidad de Barcelona, hemos estado utilizando el programa Knowledge Forum mencionado previamente y basado en las aportaciones de las teorías sobre construcción conjunta del conocimiento de Scardamalia y Bereiter (2002).

Este programa tiene por objeto apoyar la construcción colaborativa del conocimiento. A través de una plataforma en red que permite la creación de un espacio virtual para la discusión y creación conjunta de materiales. El programa incorpora aspectos novedosos respecto a otros programas que permiten realización de foros virtuales: -

Sistema de categorización de las intervenciones. El programa permite categorizar las aportaciones realizadas durante el proceso de aprendizaje con objeto de permitir una reflexión sobre el contenido de la propia intervención.

-

Sistema de anotación. Es posible contribuir y comentar las aportaciones del Forum a través de un sistema de anotación similar a las notas a pie de página de los documentos.

De este modo, sin cambiar el texto original es posible que el grupo trabaje el contenido de una determinada contribución y, a partir de éste, modificar e ir construyendo nuevos conocimientos.

-

Contribuciones grupales. Es posible distinguir entre una contribución individual y la realización de una contribución que sea resultado de una aportación de todo el grupo. También es posible expresar una aportación como resultado de distintos tipos de contribuciones realizadas en una misma base de datos e incluso en diferentes.

El nivel de sofisticación que puede alcanzar el programa es bastante elevado aunque depende mucho del tipo de grupo, los objetivos del curso y, como se discutirá más adelante, de las condiciones básicas que se requieren para trabajar con este tipo de metodologías y herramientas.

5. Investigaciones sobre aprendizaje colaborativo mediado La investigación en este campo es particularmente heterogénea y compleja, ya que los aspectos que intervienen en el aprendizaje colaborativo, descritas en secciones anteriores (el comportamiento del grupo, el compromiso, la concepción compartida del problema, la tarea, etc), suponen un punto de partida para diferentes líneas de investigación que a su vez se ramifican en detalles particulares de cada una de ellas.

Como hemos mencionado previamente, los referentes teóricos y el enmarque conceptual de la mayoría de las aportaciones sobre aprendizaje colaborativo mediado resultan bastante similares.

Sin embargo, cuando nos adentramos en las investigaciones específicas desarrolladas vemos que el panorama es mucho más complejo y lo que parece ser un ámbito de trabajo relativamente bien enmarcado acaba siendo un terreno de estudio con ópticas, enfoques e intereses muy diversos.

Sostenemos que existen ciertas tendencias diferenciadas en la investigación en este terreno que posiblemente puedan explicarse a partir de una concepción cultural sobre el aprendizaje y el uso diverso de la tecnología. Al igual que ha sucedido en muchas ocasiones a lo largo de la historia de la introducción de la informática en la educación (Gros 2000), el entusiasmo por las bondades y la eficacia del aprendizaje colaborativo mediado es frecuente en las primeras publicaciones sobre el tema. Este entusiasmo ha venido acompañado en la literatura sobre formación en línea, entornos virtuales de formación, formación a distancia, etc. Como señala Reeve (1998), el aprendizaje en línea en la enseñanza universitaria provoca mucho entusiasmo pero la formación ofrecida se centra, muy a menudo, en los aspectos superficiales sin proporcionar una profundización en los aspectos colaborativos. Tal y como menciona Himanen “La academia tiende a modelar su

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estructura de aprendizaje tomando como base el modelo monástico del emisor-receptor. Ironía que, por lo demás, no hace sino amplificarse cuando la academia empieza a construir una “universidad virtual” y el resultado es una escuela monástica informatizada “(2002: 96) Al margen de la problemática específica sobre el diseño y la utilización de los entornos virtuales de aprendizaje. La colaboración se ha visto, en nuestra opinión, desde una perspectiva superficial. Parece que con poner a un grupo de estudiantes delante de un forum virtual ya se produce aprendizaje.

La mayoría de los estudios iniciales se ha investigado la colaboración a partir de los datos cuantitativos de las intervenciones. La descripción estadística del número de intervenciones no ha permitido, en la mayoría de los casos, más que tener una visión muy general de las cantidades y flujos de las interacciones sin entrar en el contenido de la interacción y las consecuencias respecto al aprendizaje de los estudiantes.

Los aspectos más problemáticos empiezan a reflejarse a partir de las investigaciones de Hallett y Cummins quienes observan que “teniendo la mayoría de las actividades en los foros con la clase contribuyendo, y con numerosos mensajes de los profesores animando el debate, se ha esperado que la int eracción entre los estudiantes ocurriera de forma natural. Esto no es lo que ha sucedido” (1997: 105). Fischer et al (2002) informan que “en el conjunto de estudios realizados se ha mostrado que la eficiencia del aprendizaje rara vez ha sido conseguida poniendo juntos a los estudiantes” (2002: 216). Generalmente, se muestra una satisfacción en la forma de aprendizaje pero unos resultados- en términos de calidad de aprendizaje- muy insuficientes (Kischner 2002: 11). Gunawardena (1995: 148) explica que las experiencias negativas que ha observado en el aprendizaje colaborativo mediado se deben mucho más a los problemas de comunicación entre los participantes que a los aspectos técnicos de los programas o plataformas utilizadas.

Estas múltiples observaciones coinciden con algunas de las conclusiones apuntadas al inicio de este trabajo y, por este motivo, nos parece que es muy importante estudiar las condiciones que favorecen el aprendizaje colaborativo y el diseño de entornos que permitan alcanzarlo.

En Europa existen varios grupos de investigación muy relevantes4, todos ellos parten de una orientación socio-cultural sobre el aprendizaje y están especialmente focalizados en el análisis de las condiciones que favorecen el aprendizaje colaborativo y el análisis de las interacciones a partir del uso de la tecnología. Este enfoque, en realidad supone una continuación de los trabajos piagetianos y vygotksianos sobre aprendizaje colaborativo en el aula, trabajo del conflicto, negociación, etc.

En Canadá, las aportaciones de Bereiter y Scardamalia son fundamentales ya que no sólo han producido una teoría sobre la construcción del conocimiento sino que han desarrollado tecnologías para el trabajo colaborativo en la enseñanza. El modelo de trabajo planteado por estos autores se ha extendido a diferentes países y, en la actualidad, buena parte de las escuelas de Toronto y Ontario están trabajando con los materiales desarrollados por este equipo.

La comunidad europea a partir de los programas tales como E-learning, Minerva y los programas Marco de investigación han impulsado la investigación y desarrollo tecnológico de este ámbito de trabajo. Nosotros consideramos de gran relevancia las investigaciones generadas en Suiza por el grupo dirigido por Dillenbourg, Noruega, Barbara Wasson, Inglaterra, Open university (Salmon), Baker en Francia 4

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En Estados Unidos destacaríamos los trabajos de Stahl, Koschmann como introductores de la expresión “computer supported collaborative learning” .

Además de los diferentes enfoques y aproximaciones al tema, debemos tener en cuenta que también existen niveles de análisis diferenciados. En un nivel macro, algunos investigadores se han centrado en el trabajo de la gestión curricular y el cambio de perspectiva propicio para la creación de comunidades de aprendizaje en un sentido más amplio y global.

Otros investigadores trabajan en un meso nivel centrado en la organización escolar o universitaria y, la mayoría de las investigaciones, se sitúa en el análisis micro estableciendo como plano de investigación de las interacciones producidas en el aula (presencial o virtual).

La diferenciación de planos tiene consecuencia directa sobre las unidades de análisis. En este sentido, existen variaciones entre estudios que recogen la opinión individual de los participantes, las interacciones entre el grupo, entre los diferentes grupos participantes, la construcción de los discursos, argumentaciones, etc. En realidad, la mayoría de los trabajos se centran en aspectos todavía parciales del proceso. Y, de hecho, nuestro trabajo de investigación sigue está línea ya que estamos realizando análisis de interacciones en el ámbito de la enseñanza universitaria estableciendo aspectos diversos del proceso: papel del profesor o tutor, autenticidad de las tareas, análisis de las interacciones, etc. El objetivo, sin embargo, es cubrir estas diferentes variables con objeto de tener un mapa general de las condiciones para el diseño de entornos colaborativos de aprendizaje.

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