Wiskunde Aan zet een cursus wiskunde voor studierichtingen met vijf wekelijkse lestijden wiskunde vierde jaar algemeen secundair onderwijs geschreven door
Koen De Naeghel Hoofdstuk 10 Cirkels
22/04/2018
CREATIVE COMMONS Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 (CC BY-NC-SA) Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie. De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode De gebruiker mag: het werk kopiëren, verspreiden en doorgeven Remixen - afgeleide werken maken
Onder de volgende voorwaarden: Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam te vermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik van het werk). Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerciële doeleinden gebruiken. Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfde licentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid.
Met inachtneming van: Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden met voorafgaande toestemming van de rechthebbende. Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijke wetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze beı̈nvloed door de licentie. Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht: • Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet. • De morele rechten van de auteur. • De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals het portretrecht of het recht op privacy. Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aan . derden door middel van een link naar http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/
Eerste druk: 2017 Versie: 22 april 2018 Gepubliceerd door: Online publicatie platform Issuu.com Omslagfoto: http://nl.123rf.com/ Tekstzetsysteem: LATEX Royalty percentage: 0% c Koen De Naeghel, gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 i
Hoofdstuk 10
Cirkels In dit hoofdstuk leren we enkele basisbegrippen kennen die in verband staan met een cirkel: middellijn, koorde, apothema, boog, middelpunts- en omtrekshoek en raaklijn. Die begrippen voldoen aan heel wat eigenschappen. Sommige eigenschappen zijn meteen duidelijk. Andere eigenschappen lijken logisch, maar vergen een bewijs. In wat volgt werken we steeds in het vlak. De verzameling van alle punten van dat vlak noemen we Π. We voorzien het vlak ook van een orthonormaal assenstelsel, hoewel we dat assenstelsel meestal niet zullen tekenen.
10.1
Middelloodlijnen
In de eerste graad heb je kennis gemaakt met de middelloodlijn van een lijnstuk. Heel wat eigenschappen van cirkels berusten op het begrip middelloodlijn. Daarom starten we met een korte herhaling. mAB 3 Definities en notaties. Beschouw twee verschillende punten A en B. (1) De afstand tussen A en B is gelijk aan de lengte van [AB]. Die afstand noteren we voortaan ook met d(A, B).1 In symbolen: d(A, B) = |AB|. (2) De middelloodlijn van [AB] is de rechte die door het midden van [AB] gaat en loodrecht op [AB] staat. We noteren de middelloodlijn van [AB] als mAB .
|
|
k
B
k A
De volgende eigenschap beschrijft de middelloodlijn als een meetkundige plaats: een verzameling van punten waarbij de ligging (of plaats) van die punten bepaald is door een of meerdere voorwaarden. Het bewijs is een oefening op congruente driehoeken. Th 1
3 Eigenschap (herhaling). Zij A, B twee verschillende punten van het vlak Π. Dan is de middelloodlijn van [AB] gelijk aan de verzameling van alle punten P van het vlak waarbij de afstand van P tot A gelijk is aan de afstand van P tot B. In symbolen: mAB = {P ∈ Π | d(P, A) = d(P, B)} Bewijs.
1 De
Engelse term voor afstand is distance, vandaar de keuze voor de letter d in de notatie d(A, B).
X-1
In de eerste graad heb je ook gezien dat in elke driehoek de drie middelloodlijnen door één punt gaan. Dit resultaat kun je erg efficiënt aantonen met behulp van de vorige eigenschap. Het idee achter deze redenering zal later nog van pas komen wanneer we eigenschappen van cirkels bewijzen. Th 2
3 Gevolg (herhaling). In elke driehoek zijn de drie middelloodlijnen concurrent. Bewijs.
10.2
Basiseigenschappen van cirkels
Punten die op gelijke afstand van twee vaste punten A en B liggen, vormen de middelloodlijn van [AB]. Kijken we naar punten die op gelijke afstand van één vast punt M liggen, dan verkrijgen we een cirkel. Th 3
3 Definities en notaties. Beschouw een punt M en een reëel getal r > 0. (1) De cirkel met middelpunt M en straal r is de verzameling van alle punten P van het vlak die op afstand r van punt M liggen. We noteren die cirkel met C(M, r). In symbolen:
P
C(M, r) r M
C(M, r) = {P ∈ Π | d(P, M ) = r} (2) Een middellijn van de cirkel is een rechte m die door het middelpunt M van de cirkel gaat. (3) De diameter d van de cirkel is de afstand tussen de twee snijpunten van de cirkel met een middellijn: d = 2r. (4) Een koorde van de cirkel is een lijnstuk [AB] begrensd door twee verschillende punten A en B van de cirkel. (5) Het apothema van een koorde [AB] is het lijnstuk [M V ] met M het middelpunt van de cirkel en V het midden van de koorde [AB]. Hierbij noemen we V het voetpunt van het apothema. (6) Een (cirkel)boog is een deel van de cirkel begrensd door twee verschillende punten van de cirkel. Elke twee verschillende punten A en B van de cirkel bepalen steeds twee verschillende bogen: ˜ is de cirkelboog die hoort bij de verplaatsing van A naar B in tegenwijzerzin, AB ˜ is de cirkelboog die hoort bij de verplaatsing van B naar A in tegenwijzerzin. BA 3 Voorbeeld. Hieronder staat een cirkel met middelpunt M en straal r = 3 cm. Daarbij behoren de punten A en B tot de cirkel. Teken telkens het gevraagde. Gebruik hiervoor verschillende kleuren. (a) Twee middellijnen m en m0 . (b) De koorde bepaald door de punten A en B. (c) Het apothema van de koorde [AB]. ˜ en BA. ˜ (d) De bogen AB
B
C(M, r)
M
A
X-2
In een cirkel voldoen middellijnen, koorden, apothema’s en bogen aan heel wat eigenschappen. Sommige eigenschappen zijn meteen duidelijk: zo is bijvoorbeeld een boog van een cirkel altijd langer dan de bijbehorende koorde. Andere uitspraken zijn minder voor de hand liggend en moeten bewezen worden. Hieronder zullen we enkele eigenschappen onderzoeken en bewijzen. Daarna gebruiken we die kenmerken om constructies uit te voeren. 3 Op ontdekking. Construeer een cirkel met middelpunt M en straal r = 2, 5 cm. Construeer daarna twee verschillende koorden [AB] en [CD] van de cirkel die beide 4 cm lang zijn. (a) Meet met je gradenboog de hoek tussen de koorde [AB] en zijn apothema. Wat stel je vast? (b) Meet met je lat de lengte van het apothema van de koorde [AB] en de lengte van het apothema van de koorde [CD]. Wat stel je vast? Oplossing.
Th 4
3 Eigenschap 1. Het apothema van een koorde van een cirkel ligt op de middelloodlijn van die koorde. Gegeven.
Te bewijzen. Bewijs.
Th 5
3 Eigenschap 2. Twee koorden van een cirkel zijn even lang als en slechts als hun apothema’s even lang zijn. Gegeven.
Te bewijzen. Bewijs.
X-3
Tijdens de voorbije jaren heb je al geleerd om construcies met passer en lineaal uit te voeren: het exact tekenen van meetkundige figuren in het vlak waarbij enkel een passer en een lat zonder markeringen worden gebruikt. Zo heb je al geleerd om de middelloodlijn van een lijnstuk met passer en lineaal te construeren. Dankzij de begrippen en eigenschappen die we hierboven gezien hebben, kun je zo’n constructies nu ook verklaren. 3 Modelvoorbeeld 1. Construeer met passer en lineaal de middelloodlijn mAB van het onderstaande lijnstuk [AB]. Constructiestappen en redenering uitschrijven! Hulplijnen met passer in potlood laten staan. Oplossing.
B
A
Beschouwen we een cirkel met een gegeven koorde, dan volgt uit Eigenschap 1 dat de middelloodlijn van die koorde het apothema bevat, en dus ook het middelpunt van de cirkel. Op die manier kun je van een gegeven cirkel het middelpunt construeren. 3 Modelvoorbeeld 2. Construeer met passer en lineaal het middelpunt M van onderstaande cirkel. Meet daarna de diameter d. Constructiestappen en redenering uitschrijven! Hulplijnen met passer in potlood laten staan. Oplossing.
C(M, r)
X-4
Een vorm in het vlak is soms bepaald door een eindig aantal punten die op de vorm ligt. Zo is een rechte bepaald door twee verschillende punten van die rechte. Onderstaand gevolg zegt nu dat elke cirkel bepaald is door drie verschillende punten van die cirkel.2 Th 6
3 Gevolg. Door drie niet-collineaire punten A, B en C gaat precies één cirkel C(M, r). Bewijs dat M en r bestaan. Omdat de punten A, B en C niet-collineair zijn, vormt ABC een driehoek. Wegens een eerder gevolg zijn de drie middelloodlijnen concurrent. Noem M het snijpunt van de middelloodlijnen. Welnu,
Bewijs dat M en r uniek zijn. Stel dat er nog een tweede cirkel C(M 0 , r0 ) zou bestaan die door A, B en C gaat. We moeten aantonen dat M = M 0 en r = r0 . Welnu,
Het snijpunt M van de drie middelloodlijnen van een driehoek noemen we middelpunt van de driehoek. De cirkel C(M, r) wordt de omgeschreven cirkel van de driehoek genoemd. 3 Modelvoorbeeld 3. Construeer de omgeschreven cirkel van de onderstaande driehoek ABC. Schrijf je constructiestappen uit! Hulplijnen met passer in potlood laten staan. Oplossing.
A B
C
2 In de ruimte kennen we het volgend analogon: een vlak is bepaald door drie niet-collineaire punten van dat vlak en een bol is bepaald door vier verschillende punten van die bol. Dit soort eigenschappen in het vlak en in de ruimte kan op een elegante manier worden bewezen door een orthogonaal assenstelsel in te voeren waarbij elk punt bepaald wordt door zijn coördinaatgetallen (zie Hoofdstuk Analytische meetkunde). Op die manier kunnen bepaalde deelverzamelingen van het vlak en van de ruimte worden beschreven als oplossingen van vergelijkingen. Het aantal vrijheidsgraden van zo’n vergelijking is dan precies het aantal punten waardoor zo’n deelverzameling gekarakteriseerd wordt.
X-5
10.3 Th 7
Middelpuntshoek en omtrekshoek
˜ een boog van die cirkel.3 3 Definitie. Beschouw een cirkel C(M, r) en AB ˜ is de hoek AM cB (vlakdeel van A naar B in tegenwijzerzin), (1) De middelpuntshoek op de boog AB ˜ is de binnenhoek P “ van een driehoek ABP waarbij P een punt van de (2) Een omtrekshoek op de boog AB ˜ ligt. cirkel is die niet op de boog AB 3 Op ontdekking. Hiernaast staat een cirkel C(M, r).
A
C(M, r)
˜ aan. (a) Duid de cirkelboog AB ˜ aan. (b) Duid de middelpuntshoek α op de boog AB ˜ (c) Teken twee willekeurige omtrekshoeken β1 en β2 op AB. (d) Meet de hoeken α, β1 en β2 in graden. Wat stel je vast?
M
˜ (e) Los bovenstaande vragen ook op voor de cirkelboog BA. Oplossing.
Th 8
B
3 Eigenschap. De middelpuntshoek op een cirkelboog is dubbel zo groot als elke omtrekshoek op dezelfde boog. Gegeven.
Te bewijzen. Bewijs. We onderscheiden drie gevallen: M ligt op, binnen of buiten ∆ABP .4
3 Tot nu toe bedoelden we met een hoek altijd een vlakdeel begrensd door twee snijdende rechten, waarbij in een figuur een cijfer werd b1 en Sb2 . Een notatie als ACB b of kortweg Cb verwees dan genoteerd om duidelijk te maken over welk vlakdeel het ging, bijvoorbeeld S steeds naar het vlakdeel met het kleinste maatgetal in graden, bijvoorbeeld bij een binnenhoek van een driehoek. Daar we vanaf nu ook b willen hanteren ook al hebben we geen kennis over het maatgetal in graden, is het nodig om het begrip hoek te de schrijfwijze ACB formaliseren. Dat doen we met behulp van het begrip cirkelboog. Een (niet-georiënteerde) hoek is bij definitie een verzameling van twee
halfrechten {a, b} met hetzelfde beginpunt. Noem nu dat beginpunt C, beschouw een willekeurige cirkel met middelpunt C en noem A ˆ en B de respectievelijke snijpunten van de cirkel met a en b. Dan kunnen we met de hoek {a, b} twee cirkelbogen associëren: A B (van A ˆ naar B in tegenwijzerzin) en B A (van B naar A in tegenwijzerzin). Zo’n twee cirkelbogen bepalen nu eenduidig twee vlakdelen, die we b en B CA b noteren. Spreken we voortaan van de hoek ACB b dan bedoelen we eigenlijk het vlakdeel bepaald door de respectievelijk met ACB ˆ boog AB van een cirkel met als middelpunt C het snijpunt van de twee halfrechten [AC en [BC. 4 De lezer gaat eenvoudig na dat het eerste en het derde geval enkel mogelijk is als de boog kleiner is dan een halve cirkel.
X-6
Deze eigenschap heeft drie belangrijke gevolgen. Het derde gevolg gaat over een koordenvierhoek: dat is een vierhoek waarvan alle zijden koorden zijn van eenzelfde cirkel.5 Zo is bijvoorbeeld elke rechthoek een koordenvierhoek, alsook elk gelijkbenig trapezium. We spreken over een niet-gekruiste veelhoek als de zijden van de veelhoek elkaar enkel in de hoekpunten van de veelhoek snijden.6 Th 9
3 Gevolg 1. Twee omtrekshoeken die op eenzelfde cirkelboog staan, zijn gelijk. Bewijs.
Th 10
3 Gevolg 2. Een omtrekshoek op een halve cirkel is een rechte hoek. Bewijs.
Th 11
3 Gevolg 3. De overstaande hoeken van een niet-gekruiste koordenvierhoek zijn supplementair.7 Bewijs.
3 Modelvoorbeeld. In de koordenvierhoek ABCD hiernaast ligt het middelpunt M van de omgeschreven cirkel op de diagonaal c1 = 34◦ en B c1 = 65◦ . Bereken [BD]. Er is verder gegeven dat A “ Alle tussenstappen opschrijven! algebraı̈sch de hoek C DA.
C(M, r)
D 1 2
Oplossing.
M 2 C
A
1 2
S 1 2 1 B
p
5 Vermeldenswaardig
is ook de formule van Brahmagupta voor de oppervlakte van een koordenvierhoek: (s − a)(s − b)(s − c)(s − d) waarbij a, b, c en d staan voor de lengtes van de zijden en s voor de halve omtrek van de koordenvierhoek. Stellen we hierin d = 0, dan vinden we de formule van Heron terug. 6 Een ander voorbeeld van een koordenvierhoek is een zogenaamd antiparallellogram: dat is een gekruiste vierhoek waarbij de overstaande zijden even lang zijn. Als daarenboven twee overstaande zijden parallel zijn, dan spreken we van een gekruiste rechthoek. Een gekruiste rechthoek heeft dus de vorm van een strik. Bij een gekruiste koordenvierhoek zijn de overstaande hoeken niet supplementair. 7 Een niet-gekruiste veelhoek is convex als voor elke zijde de vierhoek aan één kant van die zijde ligt. Is dat niet het geval, dan zeggen we dat de niet-gekruiste veelhoek concaaf is. Elke niet-gekruiste koordenvierhoek is convex, en in die terminologie geldt ook het omgekeerde van Gevolg 3: een convexe vierhoek is een koordenvierhoek als en slechts als de overstaande hoeken supplementair zijn.
X-7
10.4
Raaklijn
Beschouw een cirkel C(M, r). Hoeveel snijpunten kan een rechte a met die cirkel hebben?
rechte ligt buiten de cirkel
rechte raakt de cirkel
rechte is verlengde koorde van de cirkel
geen snijpunten
één snijpunt
twee snijpunten
a
C(M, r)
a
a
C(M, r)
C(M, r)
A M
M
M
A B
Het is eenvoudig om een rechte te tekenen die geen snijpunten of twee snijpunten met een gegeven cirkel heeft. Maar hoe teken je een rechte die precies één snijpunt met een cirkel heeft? En kun je zo’n rechte ook construeren? Daarvoor gaan we eerst op zoek naar een kenmerkende eigenschap van zo’n rechte. 3 Op ontdekking. Gegeven is de nevenstaande cirkel C(M, r).
C(M, r)
(a) Teken door punt A een willekeurige rechte a die de cirkel ook nog snijdt in een ander punt B. Teken daarna het apothema van de koorde [AB].
A M
(b) Als we punt B langs de cirkel laten naderen naar punt A, dan nadert de rechte a naar een rechte t. Wat is er bijzonder aan deze rechte t? (c) Als we punt B langs de cirkel laten naderen naar punt A, dan nadert het verlengde apothema van de koorde [AB] naar een rechte m. Wat is er bijzonder aan deze rechte m? Oplossing.
Th 12
3 Eigenschap. Beschouw een cirkel C(M, r) samen met een punt A op de cirkel en een rechte a door punt A. Dan geldt:
de rechte a raakt de cirkel Bewijs.
X-8
⇔
a ⊥ AM
Uit de vorige eigenschap volgt nu dat er in elk punt van een cirkel precies eĚ eĚ n rechte is die de cirkel raakt in dat punt. Die rechte noemen we voortaan de raaklijn in een punt aan de cirkel8 . Elke rechte die de raaklijn in een punt aan de cirkel is, noemen we een raaklijn aan de cirkel. We kunnen de vorige eigenschap nu ook gebruiken om raaklijnen aan een cirkel expliciet te construeren. 3 Modelvoorbeeld 1. Construeer de raaklijn t in het punt A aan de cirkel C(M, r). Schrijf je redenering op! Oplossing.
C(M, r) A
M
3 Modelvoorbeeld 2. Construeer alle raaklijnen aan de cirkel C(M, r) die door het punt P gaan. Redenering uitschrijven! Oplossing.
C(M, r)
M
P
8 De Engelse term voor raaklijn is tangent line of kortweg tangent. In de literatuur is het dan ook gebruikelijk om een raaklijn aan een cirkel met de letter t te benoemen.
X-9
10.5
Ingeschreven, omgeschreven en regelmatige veelhoeken
In deze laatste paragraaf bekijken we hoe je met een cirkel bijzondere veelhoeken kan maken. 3 Ingeschreven veelhoek. Een ingeschreven veelhoek is een veelhoek waarvan de hoekpunten op eenzelfde cirkel liggen. Bij zo’n omgeschreven cirkel ligt het middelpunt O even ver van alle hoekpunten van de veelhoek. Dus punt O ligt dan op de middelloodlijn van elke zijde. Besluit: Een willekeurige veelhoek is ingescheven als en slechts als de middelloodlijnen van de zijden concurrent zijn. Zo zien we in dat elke ingeschreven veelhoek precies één omgeschreven cirkel heeft. Elke driehoek ABC is een ingeschreven veelhoek: het snijpunt van de middelloodlijnen mAB en mBC ligt even ver van A als van B en even ver van B als van C, dus ook even ver van A als van C. Dat snijpunt ligt dus ook op de middelloodlijn mAC . Een vierhoek is een ingeschreven vierhoek als en slechts als alle zijden van die vierhoek koorden zijn van een cirkel (koordenvierhoek). Niet elke vierhoek is ingeschreven in een cirkel (bijvoorbeeld een trapezium die niet gelijkbenig is).9 Voorbeeld 1. Teken een ingeschreven driehoek, een ingeschreven vierhoek en een ingeschreven zevenhoek.
Voorbeeld 2. Construeer de omgeschreven cirkel van de onderstaande driehoek.
C
A
B
Voorbeeld 3. Construeer een vierhoek die geen koordenvierhoek is.
9 Een
convexe vierhoek is een koordenvierhoek als en slechts als de overstaande hoeken supplementair zijn (zie ook voetnoot 7 hierboven). Anders geformuleerd: een convexe vierhoek is een koordenvierhoek als en slechts als bij elk paar overstaande hoeken de som van de hoekwaarden gelijk is.
X-10
3 Omgeschreven veelhoek. Een omgeschreven veelhoek is een veelhoek waarvan de verlengde zijden raaklijnen aan eenzelfde cirkel zijn. Het middelpunt I van zo’n ingeschreven cirkel ligt dan even ver van alle verlengde zijden. Dus punt I ligt dan op een binnen-of buitenbissectrice van elk hoekpunt.10 Besluit:11 Een willekeurige veelhoek is omgeschreven als en slechts als de bissectrices van de hoekpunten concurrent zijn. Zo zien we in dat elke omgeschreven veelhoek precies één ingeschreven cirkel heeft. Elke driehoek ABC is een omgeschreven veelhoek: het snijpunt van de bissectrices bA en bB ligt even ver van AB als van AC en even ver van BA als van BC, en dus ook even ver van CA als van CB. Dat snijpunt ligt dus ook op de bissectrice bC . Een omgeschreven vierhoek noemt men ook wel een raaklijnenvierhoek. Zo zijn bijvoorbeeld een ruit en een vierkant raaklijnenvierhoeken.12 Niet elke vierhoek is omgeschreven in een cirkel (bijvoorbeeld een rechthoek die geen vierkant is).13 Voorbeeld 1. Teken een omgeschreven driehoek, een omgeschreven vierhoek en een omgeschreven zeshoek.
Voorbeeld 2. Construeer de ingeschreven cirkel van de onderstaande driehoek. Schrijf je redenering op!
A
C
B
10 Beschouw twee halfrechten [CA en [CB. De bissectrice van ACB b is de rechte die door het hoekpunt C gaat en waarvoor ACD b = DCB b b de binnenhoek van een (met D 6= C een willekeurig punt op die rechte). We noteren die bissectrice met b of kortweg bC als ACB AC B
b
b Is daarentegen ACB b > 180◦ dan noemen driehoek is. In dat geval noemen we die bissectrice ook wel van de binnenbissectrice van ACB. b we de bissectrice van de supplementaire hoek van ACB (namelijk de hoek die we verkrijgen door bijvoorbeeld [CA te vervangen door [CA0 b Met behulp van congruente driehoeken kun je eenvoudig aantonen dat de waarbij A0 ∈ CA en A0 6∈ [CA) de buitenbissectrice van ACB. b gelijk is aan de verzameling van alle punten P van het vlak waarbij de afstand unie van de binnen-en buitenbissectrice van een hoek ACB van P tot CA gelijk is aan de afstand van P tot CB. 11 Bij de formulering van dit besluit en de zin daaronder beperken we ons tot convexe veelhoeken. 12 Een ander voorbeeld van een raaklijnenvierhoek is een vlieger: een vierhoek waarbij de aanliggende zijden twee aan twee gelijk zijn. 13 Een convexe vierhoek is een raaklijnenvierhoek als en slechts als bij elk paar overstaande zijden de som van de lengtes gelijk is. X-11
3 Regelmatige veelhoek. Een regelmatige veelhoek is een veelhoek waarvan de zijden even lang zijn en de binnenhoeken even groot zijn. Voorbeeld. Construeer een regelmatige driehoek en een regelmatige vierhoek.14
Regelmatige veelhoeken zijn erg symmetrisch, waardoor ze in de loop van de geschiedenis uitvoerig bestudeerd zijn. Zo blijkt elke regelmatige veelhoek zowel een ingeschreven cirkel als een omgeschreven cirkel te hebben. Hieronder plaatsen we de belangrijkste eigenschappen die je bij het maken van oefeningen kan gebruiken. 3 Eigenschap. Beschouw een niet-gekruiste regelmatige veelhoek. Noem n het aantal zijden van de veelhoek en R de straal van de omgeschreven cirkel van de veelhoek. Dan gelden de volgende eigenschappen.15 360◦ . n De som van de binnenhoeken is (n − 2) · 180◦ . (n − 2) · 180◦ . Een binnenhoek is n Å ã Å ã 180◦ 180◦ De lengte van een zijde is zn = 2R sin en de lengte van zijn apothema is an = R cos . n n Å ã Å ã Å ã 180◦ 180◦ 180◦ De omtrek is Pn = 2nR sin en de oppervlakte is An = nR2 sin cos . n n n
(1) De middelpuntshoek van een zijde is (2) (3) (4) (5)
B
Bewijs voor een regelmatige vijfhoek.
C
A
M
D E
14 Uit een resultaat van Carl Friedrich Gauss (1796) en Pierre Laurent Wantzel (1836) volgt dat een regelmatige n-hoek kan geconstrueerd worden precies wanneer n gelijk is aan een macht van twee al dan niet vermenigvuldigd met een aantal verschillende m priemgetallen van de vorm 22 + 1 (zogenaamde Fermat-priemgetallen, tot op heden zijn de enige bekende Fermat-priemgetallen gelijk aan 3, 5, 17, 257 en 65 537). Zo kan een regelmatige zevenhoek niet met passer en lineaal geconstrueerd worden. 15 Eigenschap (2) geldt ook voor niet-gekruiste veelhoeken die onregelmatig zijn. Een bewijs berust op triangulatie.
X-12