Wiskunde Aan zet een cursus wiskunde voor studierichtingen met vijf wekelijkse lestijden wiskunde vierde jaar algemeen secundair onderwijs geschreven door
Koen De Naeghel Hoofdstuk 12 Functies
18/05/2018
CREATIVE COMMONS Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 (CC BY-NC-SA) Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie. De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode De gebruiker mag: het werk kopiëren, verspreiden en doorgeven Remixen - afgeleide werken maken
Onder de volgende voorwaarden: Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam te vermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik van het werk). Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerciële doeleinden gebruiken. Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfde licentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid.
Met inachtneming van: Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden met voorafgaande toestemming van de rechthebbende. Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijke wetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze beı̈nvloed door de licentie. Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht: • Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet. • De morele rechten van de auteur. • De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals het portretrecht of het recht op privacy. Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aan . derden door middel van een link naar http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/
Eerste druk: 2017 Versie: 18 mei 2018 Gepubliceerd door: Online publicatie platform Issuu.com Omslagfoto: http://nl.123rf.com/ Tekstzetsysteem: LATEX Royalty percentage: 0% c Koen De Naeghel, gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 i
Hoofdstuk 12
Functies In de derde graad zal wiskunde vooral over functies gaan. Dit hoofdstuk bereidt je daarop voor. We herhalen begrippen die al in Hoofdstuk Tweedegraadsfuncties aan bod kwamen, al worden ze nu op een meer formele manier omschreven.
12.1
Basisbegrippen (herhaling)
3 Op ontdekking. Een kaars is 15 cm lang. Vijf uur later is ze opgebrand. Met elk tijdstip x (in uren) associëren we de lengte van de kaars y (in centimeter). Vul aan: x=0
7−−−−→
y = ...
x = 7, 5
7−−−−→
y = ...
x=5
7−−−−→
y = ...
7−−−−→
y = ...
x=1
7−−−−→
y = ...
x = −2 √ x= 2
7−−−−→
y = ...
Met elk getal x associëren we hoogstens één getal y. Zo’n verband noemen we een functie. We kunnen een functie vergelijken met een apparaat dat bij elke input x ofwel één output heeft, ofwel geen enkele output heeft:
input
functie
één output
1
f
12
input
functie
geen output!
f
−24
Het feit dat zo’n functie f en een getal x samen een getal y vastleggen, noteren we als f (x) = y. Dat noemen we het functievoorschrift. Je kan zo’n functie ook voorstellen met een tabel en met een grafiek (vul aan).
. Functievoorschrift:
f (x) =
...
...
. Tabel van enkele functiewaarden: . Grafiek:
als 0 ≤ x ≤ 5 als x > 5 x
−1
0
1
2
3
4
5
6
f (x)
...
...
...
...
...
...
...
...
3
4
y 15 12 9 6 3 −2
−1
1
2 XII-1
5
6
7
x
Th 1
3 Definities en notaties. Een functie f is een verband dat met elk getal x hoogstens één getal y associeert. . Het feit dat zo’n functie f en een getal x samen een getal y vastleggen, noteren we als f (x) = y. . We noemen f (x) het (functie)voorschrift van de functie f .1 . De functiewaarde in een getal a is gelijk aan f (a). Dat is dus de y-waarde die bij a hoort. Als we voor enkele getallen a de functiewaarde f (a) berekenen, verkrijgen we een tabel van enkele functiewaarden. . De grafiek van een functie f is de verzameling van alle punten P met coördinaten (x, f (x)). In symbolen: graf f = {P (x, f (x)) | x ∈ R} Als je de grafiek van een functie in een assenstelsel tekent of schetst, dan moet je die steeds benoemen. Dat kan met graf f of met y = f (x) of kortweg met f . Hieronder zie je de drie voorstellingswijzen van een functie en hun onderlinge wisselwerking:
tekenen of schetsen invullen
tabel van enkele functiewaarden
functievoorschrift
x
f (x)
. . . −1 0
1
f (x) . . .
patroon zoeken
grafiek y
...
graf f
1
... aflezen
O
x
1
3 Modelvoorbeeld 1. Beschouw de functie f (x) = 3x − 1. (a) Geef een tabel van enkele functiewaarden van f . (b) Teken in een assenstelsel de grafiek van f . Controleer met behulp van je grafische rekenmachine. Oplossing.
Controle met behulp van de grafische rekenmachine. 2ND
TABLE
WINDOW
>
Y=
3 Afspraak. Waar een grafiek (plaatselijk) stopt, tekenen we ofwel een • ofwel een ◦. Dat beslissen we als volgt: • is een volle bol en betekent: het punt behoort nog net tot de grafiek, ◦ is een holle bol en betekent: het punt behoort net niet tot de grafiek.
3 Modelvoorbeeld 2. Teken hiernaast de 2 f (x) = −1 −2
grafiek van de functie als − 2 ≤ x < 0
GRAPH
y
1 1
x
als x = 1 als x > 1.
1 In het vervolg zullen we een functie f vereenzelvigen met zijn voorschrift f (x). Een volledige doch lange omschrijving als: beschouw de functie f met als functievoorschrift f (x) = x2 − 3 kunnen we zo verkorten tot: beschouw de functie f (x) = x2 − 3.
XII-2
De grafiek van een functie is steeds een verzameling van punten in het vlak (kortweg grafiek). Het omgekeerde is niet waar: sommige grafieken zijn niet de grafiek van een functie omdat er bij sommige x-waarden meerdere y-waarde horen. 3 Modelvoorbeeld 3. Gegeven zijn de volgende grafieken. Bepaal telkens wanneer de grafiek ook de grafiek van een functie is.
(a)
(b) y
−3
−2
−1
y
2
2
1
1
1
2
3
x
−1
−3
−2
−2
−1
1
2
x
3
−1 −2
Oplossing.
Th 2
3 Domein, beeld en nulwaarden. Beschouw een functie f . . Het domein van f zijn alle x-waarden waarbij er een y-waarde hoort. In symbolen:
y graf f
dom f = {x ∈ R | f (x) bestaat} Meetkundige betekenis. Het domein van f is de loodrechte projectie van de grafiek van f op de x-as.
O
. Het beeld (of bereik) van f zijn alle y-waarden waarbij er een x-waarde hoort. In symbolen:
dom f
x
y graf f
bld f = {f (x) | x ∈ R} Meetkundige betekenis. Het beeld van f is de loodrechte projectie van de grafiek van f op de y-as.
bld f
O
XII-3
x
y
. De nulwaarden van f zijn alle x-waarden met f (x) = 0. In symbolen:
graf f {x ∈ R | f (x) = 0} Meetkundige betekenis. De nulwaarden van f zijn de x-waarden waar de grafiek van f de x-as snijdt.
x
O nulwaarden van f
Ten slotte herhalen we ook hoe je de tekentabel en de tabel stijgen/dalen (of verloop) van een functie uit zijn grafiek kan aflezen.2 3 Modelvoorbeeld 4. Bepaal telkens domein, beeld, nulwaarden, tekentabel en tabel stijgen/dalen van de functie.
(a)
(b) y
−3
−2
−1
y
f
2
2
1
1
1
2
3
x
−1 −2
−3
−2
−1
g
1
2
3
−1 −2
Oplossing.
2 Voor
een precieze omschrijving van de tekentabel en de tabel stijgen/dalen van een functie verwijzen we naar de derde graad.
XII-4
x
12.2
Elementaire functies
Heel wat verschijnselen rondom ons kun je beschrijven met een wiskundig model, met als doel de verschijnselen te onderzoeken en voorspellingen te doen. In zo’n wiskundig model staat het begrip functie centraal. Zo worden wiskundige modellen met functies specifiek gebruikt in . fysica valsnelheid in functie van de tijd, . chemie hoeveelheid opgeloste suiker in water in functie van de temperatuur, . economie het aantal verkochte artikelen in functie van de prijs, . bouwkunde doorbuiging van een balk in functie van de afstand tot de klem, . landbouw de wortelmassa van een plant in functie van de hoeveelheid groen,
Bij het brouwen van bier zetten eencellige organismen (gisten) de suikers om in koolzuur en alcohol.
. milieukunde de gemiddelde temperatuur in functie de hoeveelheid CO2 dat jaarlijks uitgestoten wordt, . bosbouw de hoogte van een eik in functie van het aantal jaren na aanplant, . sociologie het aantal mensen die op de hoogte zijn van een gerucht in functie van de tijd na het lanceren ervan. Functies die vaak in zo’n model voorkomen zijn bijvoorbeeld constante, lineaire en kwadratische functies die we verderop zullen herhalen. Die veelvoorkomende functies kunnen verkregen worden uit zogenaamde elementaire functies.3 Th 3
In deze paragraaf bespreken we enkele van die elementair functies. De kennis hiervan is een absolute noodzaak voor de derde graad. Zo vinden we het erg belangrijk dat je de grafiek van zo’n elementaire functie onmiddellijk voor de geest kan halen, want uit zo’n grafiek kun je de belangrijkste eigenschappen van die functie aflezen. 3 Rechte. . Functievoorschrift:
f (x) = x
. Tabel van enkele functiewaarden:
x
−3
−2
−1
0
1
2
3
f (x)
−3
−2
−1
0
1
2
3
. Grafiek:
y
f (x) = x
2 1
−2
−1
1
2
x
−1 −2
. Eigenschappen van de functie f (x) = x: 1. Domein 2. Beeld
dom f = R bld f = R
3. Nulwaarden x = 0 4. Tekentabel
x f (x)
5. Tabel stijgen/dalen
0 − 0
+
x f (x)
%
3 We noemen zo’n elementaire functie ook wel een moederfunctie, omdat ze met behulp van de transformaties verschuiven, uitrekken en spiegelen aanleiding geven tot een klasse van functies die vaak in een wiskundig model wordt gebruikt.
XII-5
3 Parabool. f (x) = x2
. Functievoorschrift:
. Tabel van enkele functiewaarden: x
−2
−1, 5
−1
−0, 5
0
0, 5
1
1, 5
2
f (x)
...
...
...
...
...
...
...
...
...
. Grafiek:
y 4 3 2 1
−2
−1
1
2
x
. Eigenschappen van de functie f (x) = x2 : 1. Domein 2. Beeld 3. Nulwaarden 4. Tekentabel
x f (x) x
5. Tabel stijgen/dalen
f (x)
6. Symmetrieën. Bij de grafiek van f (x) = x2 merken we een symmetrie op: als we een willekeurig punt P van de grafiek om de y-as spiegelen, dan behoort dat nieuw punt Q opnieuw tot de grafiek. Daarom noemen we de y-as is een symmetrie-as van de grafiek van f . We zeggen dan dat f een even functie is.
y Q
y
f (x) = x2
4
f (x) = x2
P Q
3
P
2 f (−x)
f (x)
1
−2
−1
1
x
2
Zo is bijvoorbeeld het spiegelbeeld van P (2, 4) om de y-as gelijk aan Q(−2, 4), dat weerom tot de grafiek behoort omdat f (−2) = 4. XII-6
−x
x
Algemeen is het spiegelbeeld van P (x, f (x)) om de y-as gelijk aan Q(−x, f (x)), dat weerom tot de grafiek behoort omdat f (−x) = f (x).
x
3 Kubische parabool. . Functievoorschrift:
f (x) = x3
. Tabel van enkele functiewaarden: x
−2
−1, 5
−1
−0, 5
0
0, 5
1
1, 5
2
f (x)
...
...
...
...
...
...
...
...
...
. Grafiek:
. Eigenschappen van de functie f (x) = x3 :
y
1. Domein Loodrechte projectie van de grafiek op de x-as:
8
dom f = . . .
7 2. Beeld Loodrechte projectie van de grafiek op de y-as:
6 bld f = . . .
5 3. Nulwaarden De x-waarden waar de grafiek de x-as snijdt:
4
x = ...
3 2
4. Tekentabel Plaats alle nulwaarden en reële randpunten van het domein in een tabel en noteer in elke kolom het teken van f (x):
1
−2
−1
1
2
x
x f (x)
−1 −2 −3
5. Tabel stijgen/dalen Plaats de relatieve extrema (maxima en minima) en reële randpunten van het domein in een tabel en duid in elke kolom het stijgen/dalen van de grafiek van f aan:
−4 x
−5
f (x)
−6 −7 −8
XII-7
6. Symmetrieën Bij de grafiek van f (x) = x3 merken we de volgende symmetrie op: als we een willekeurig punt P van de grafiek spiegelen om de oorsprong, dan behoort dat nieuw punt Q opnieuw tot de grafiek. Daarom noemen we de oorsprong een symmetrie-middelpunt van de grafiek van f . We zeggen dan dat f een oneven functie is.
f (x) = x3
y
f (x) = x3
y
P 3
P
2 f (x) 1
−2
−1
1
2
−x
x
−1
x
x
f (−x)
−2 Q
Q
−3
Algemeen is de puntspiegeling van P (x, f (x)) om de oorsprong gelijk aan Q(−x, −f (x)), dat weerom tot de grafiek behoort omdat f (−x) = −f (x).
Zo is bijvoorbeeld de puntspiegeling van P (1, 5; 3, 375) om de oorsprong gelijk aan Q(−1, 5, −3, 375), dat tot de grafiek behoort omdat f (−1, 5) = −3, 375. Th 4
3 Definities. Beschouw een functie f .
y
. De y-as is een symmetrie-as van graf f als de grafiek na het spiegelen om de y-as hetzelfde is. In dat geval noemen we f een even functie. In symbolen: ∀x ∈ dom f : f (−x) = f (x)
y = f (x)
Q
P
f (−x)
f (x) x
−x
. De oorsprong is een symmetrie-middelpunt van graf f als de grafiek na het spiegelen om de oorsprong hetzelfde is. In dat geval noemen we f een oneven functie. In symbolen: ∀x ∈ dom f : f (−x) = −f (x)
y P y = f (x) f (x) −x f (−x) Q
XII-8
x
x
x
3 Vierkantswortel-functie. . Functievoorschrift:
f (x) =
√
x
. Tabel van enkele functiewaarden: x
−2
−1
0
1
2
3
4
9
f (x)
...
...
...
...
...
...
...
...
. Grafiek:
y 3 2 1
−1
1
. Eigenschappen van de functie f (x) =
2
√
3
x:
1. Domein
2. Beeld
3. Nulwaarden
4. Tekentabel
5. Tabel stijgen/dalen
6. Symmetrieën
XII-9
4
5
6
7
8
x
3 Derdemachtswortel-functie. . Functievoorschrift:
f (x) =
√ 3
x
. Tabel van enkele functiewaarden: x
−8
−4
−1
0
1
4
8
f (x)
...
...
...
...
...
...
...
. Grafiek:
y 2 1
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1 −1 −2
. Eigenschappen van de functie f (x) =
√ 3
x:
1. Domein
2. Beeld
3. Nulwaarden
4. Tekentabel
5. Tabel stijgen/dalen
6. Symmetrieën
XII-10
2
3
4
5
6
7
x
3 Hyperbool. . Functievoorschrift:
f (x) =
1 x
. Tabel van enkele functiewaarden: x
−4
−2
−1
−0, 5
−0, 25
0
0, 25
0, 5
1
2
4
f (x)
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
. Grafiek:
y 3 2 1
−3
−2
−1
1 −1 −2 −3
. Eigenschappen van de functie f (x) =
1 : x
1. Domein
2. Beeld
3. Nulwaarden
4. Tekentabel
5. Tabel stijgen/dalen
6. Symmetrieën XII-11
2
3
x
12.3
Transformaties van functies
In Hoofdstuk Tweedegraadsfuncties hebben we op de parabool zogenaamde transformaties toegepast: verschuiven, spiegelen en uitrekken volgens de x-as of de y-as. Op die manier toonden we aan dat de grafiek van een willekeurige tweedegraadsfunctie f (x) = ax2 + bx + c kan verkregen worden door transformaties uit te voeren op de grafiek van g(x) = x2 . In deze paragraaf herhalen we deze transformaties en passen we ze toe op grafieken van andere functies. Opnieuw is deze kennis van groot belang voor de derde graad.
Verschuiven 3 Op ontdekking (herhaling). Gegeven is de functie f (x) = x2 . Voer de volgende stappen uit op het functievoorschrift van f en observeer wat er gebeurt met de grafiek van f . y
graf f 2
⊲ f (x) = x
4
vervang x door x − 2:
3
verschuif volgens . . .-as met . . . naar . . .
2
f1 (x) = (x − 2)2
⊲ f (x) = x2
1
−4
−3
−2
−1
vervang x door x + 3:
1
2
3
4
x
−1 −2
verschuif volgens . . .-as met . . . naar . . .
−3
f2 (x) = . . .
−4
⊲ f (x) = x2
y graf f
vervang y door y + 1:
4
verschuif volgens . . .-as met . . . naar . . .
3
f3 (x) = x2 + 1
2
⊲ f (x) = x2 vervang y door y − 4: verschuif volgens . . .-as met . . . naar . . .
1
−4
f4 (x) = . . .
−3
−2
−1
1 −1 −2
vervang x door x + 2:
−3
verschuif volgens . . .-as met . . . naar . . .
−4
f5 (x) = . . . XII-12
2
3
4
x
Th 5
3 Algemeen. We kunnen de grafiek van een functie f verschuiven door de volgende transformaties uit te voeren.
. f (x)
. f (x)
verschuif volgens x-as met k naar rechts:
verschuif volgens y-as met k naar boven:
vervang x door x − k
vervang y door y + k
f (x − k)
f (x) + k
1 3 Modelvoorbeeld 1. Gegeven is functie f (x) = . Vul de volgende transformaties aan en schets bij elke stap x de nieuwe grafiek. y
⊲ f (x) =
graf f
1 x
4
vervang . . . door . . . . . .
3
verschuif volgens . . .-as met . . . naar . . . g(x) =
2
1 −3 x
1
vervang . . . door . . . . . . verschuif volgens . . .-as met . . . naar . . . h(x) =
−4
1 −3 x−2
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
−1 −2 −3 −4
√ 3 √ Modelvoorbeeld 2. Welke transformaties moet je uitvoeren op de functie f (x) = x om de functie g(x) = x + 7 − 13 te verkrijgen? Wees volledig. Leid hieruit af wat het domein en het beeld van de functie g is. Oplossing.
XII-13
Uitrekken en spiegelen 3 Op ontdekking 1 (herhaling). Gegeven is de functie f (x) = x2 . Voer de volgende stappen uit op het functievoorschrift van f en observeer wat er gebeurt met de grafiek van f . y
graf f 2
⊲ f (x) = x
vervang x door
4 1 x: 2
3
rek uit volgens . . .-as met factor . . . g(x) =
2
2 1 x 2
⊲ f (x) = x2
1
−4
−3
−2
−1
vervang y door 3 y:
1
2
3
4
x
−1 −2
rek uit volgens . . .-as met factor . . .
−3
h(x) = 3 x2
−4
√ 3 Op ontdekking 2. Gegeven is de functie f (x) = x. Voer de volgende stappen uit op het functievoorschrift van f en observeer wat er gebeurt met de grafiek van f . y
⊲ f (x) =
√ x
4
vervang x door −x:
3 graf f
spiegel om de . . .-as
2
g(x) = . . .
⊲ f (x) =
√ x
1
−4
vervang y door −y:
−3
−2
−1
1 −1 −2
spiegel om de . . .-as
−3
h(x) = . . .
−4
XII-14
2
3
4
x
Th 6
3 Algemeen. We kunnen de grafiek van een functie f uitrekken door de volgende transformaties uit te voeren.
⊲ f (x)
⊲ f (x)
rek uit volgens x-as met factor k > 0: vervang x door f
1 x k
rek uit volgens y-as met factor k > 0:
1 x k
vervang y door k y
k f (x)
We kunnen de grafiek van een functie f spiegelen door de volgende transformaties uit te voeren.
. f (x)
. f (x)
spiegel om de x-as:
spiegel om de y-as:
vervang y door −y
vervang x door −x
−f (x)
f (−x)
3 Modelvoorbeeld 1. Gegeven is functie f (x) = x. Vul de volgende transformaties aan. Teken bij elke stap de nieuwe grafiek op het assenstelsel. y ⊲ f (x) = x
vervang . . . door . . . . . . .
4
........................
3 2
f1 (x) = x − 3
1
vervang . . . door . . . . . . . ........................
graf f
−4
f2 (x) = 2x − 3
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
−1
vervang . . . door . . . . . . .
−2
........................
−3 −4
f3 (x) = −2x + 3
√ 3 Modelvoorbeeld 2. Welke transformaties moet je uitvoeren op de functie f (x) = x om de functie g(x) = 1√ − −11x + 7 te verkrijgen? Wees volledig. Leid hieruit af wat het domein en het beeld van de functie g is. 5 Oplossing.
XII-15
12.4
Constante, lineaire en kwadratische functies (herhaling)
Passen we transformaties toe op de basisfuncties f (x) = 1, f (x) = x en f (x) = x2 dan verkrijgen we de zogenaamde constante, lineaire en kwadratische functies.4
Constante functies Th 7
3 Definitie. Een constante functie is een functie f met als voorschrift f (x) = a
waarbij
a∈R
3 Voorbeeld. Welke van de volgende functies zijn constant? i(x) = 3x − 7
f (x) = 18
j(x) = x2 x k(x) = x
g(x) = 0
√ h(x) = − 10 + sin 60◦ Th 8
3 Eigenschap. Een constante functie f (x) = a kan verkregen worden door transformaties toe te passen op de elementaire functie g(x) = 1. De grafiek is dus een horizontale rechte.
a<0
a=0
of
y
a>0
of
y
y f
a f
a x
x
x
a f
Lineaire functies Th 9
3 Definitie. Een lineaire functie (of eerstegraadsfunctie) is een functie f met als voorschrift f (x) = ax + b
waarbij
a, b ∈ R
en
a 6= 0
3 Voorbeeld. Welke van de volgende functies zijn lineair? f (x) = x
i(x) = 2018
g(x) = 2x − 3
h(x) = −35x + Th 10
√
j(x) = x2 √ k(x) = x2
17 x
3 Eigenschap. Een lineaire functie f (x) = ax + b kan verkregen worden door transformaties toe te passen op de elementaire functie g(x) = x. De grafiek is dus een dalende rechte als a < 0 en een stijgende rechte als a > 0.
a<0 +1
a>0
of
y
y
+a
+a b
b
x
+1
x
f
f
4 Dit patroon zet zich niet verder voor veeltermfuncties van hogere graad. Zo leveren transformaties op de elementaire functie f (x) = x3 enkel voorschriften a(x − k)2 + l op (drie parameters), terwijl een willekeurige kubische functie ax3 + bx2 + cx + d is (vier parameters).
XII-16
Kwadratische functies Th 11
3 Definitie. Een kwadratische functie (of tweedgraadsfunctie) is een functie f met als voorschrift in standaardvorm f (x) = ax2 + bx + c
waarbij
a, b, c ∈ R
a 6= 0
en
3 Voorbeeld. Welke van de volgende functies zijn kwadratisch? f (x) = x2 √ g(x) = 2 x2 − x + π
h(x) = (5x − 3) Th 12
i(x) = 25 j(x) = x + 1 √ k(x) = x4 + 1
2
3 Eigenschap. Elke kwadratische functie f (x) = ax2 + bx + c kan herschreven worden in topvorm:5 f (x) = a(x − k)2 + l
waarbij
k=−
b 2a
en
l = f (k)
Op die manier kan elke kwadratische functie verkregen worden door transformaties toe te passen op de elementaire functie g(x) = x2 . De grafiek is dus een bergparabool als a < 0 en een dalparabool als a > 0.
of
a<0
T (k, l)
+1
a>0
+1
f
+a +4a +4a
+a T (k, l)
f x=−
b 2a
+1 x=−
+1 b 2a
3 Modelvoorbeeld. Bepaal een functievoorschrift van de lineaire en kwadratische functie hieronder. Enkel roosterpunten gebruiken! Geef daarna domein, beeld, nulwaarden, tekentabel en tabel stijgen/dalen. y y f
−3
−2
−1
2
2
1
1
1
2
3
x
−1
−3
−2
−1
1
2
3
x
−1 g
Oplossing.
5 Merk de analogie op tussen de vergelijking van een rechte y − y = m(x − x ) met P (x , y ) een willekeurig punt van de rechte en de 1 1 1 1 vergelijking van een parabool y − l = a(x − k)2 met T (k, l) de top van de parabool.
XII-17