Wiskunde Aan zet een cursus wiskunde voor studierichtingen met vijf wekelijkse lestijden wiskunde vierde jaar algemeen secundair onderwijs geschreven door
Koen De Naeghel Hoofdstuk 13 Analytische meetkunde
04/06/2018
CREATIVE COMMONS Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 (CC BY-NC-SA) Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie. De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode De gebruiker mag: het werk kopiëren, verspreiden en doorgeven Remixen - afgeleide werken maken
Onder de volgende voorwaarden: Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam te vermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik van het werk). Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerciële doeleinden gebruiken. Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfde licentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid.
Met inachtneming van: Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden met voorafgaande toestemming van de rechthebbende. Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijke wetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze beı̈nvloed door de licentie. Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht: • Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet. • De morele rechten van de auteur. • De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals het portretrecht of het recht op privacy. Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aan . derden door middel van een link naar http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/
Eerste druk: 2017 Versie: 4 juni 2018 Gepubliceerd door: Online publicatie platform Issuu.com Omslagfoto: http://nl.123rf.com/ Tekstzetsysteem: LATEX Royalty percentage: 0% c Koen De Naeghel, gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 i
Hoofdstuk 13
Analytische meetkunde Meetkunde is het onderdeel van de wiskunde dat zich toespitst op het zoeken van patronen en structuren in vormen. Zo hadden we het in een vorig hoofdstuk al over vormen in de ruimte. In dit hoofdstuk hebben we het over vlakke meetkunde. Naarmate meer eigenschappen bewezen zijn, krijgen we steeds vaker de mogelijkheid om een nieuwe eigenschap hetzij synthetisch, hetzij analytisch te bewijzen.1 3 Synthetisch bewijzen betekent: door te redeneren met eigenschappen die al bekend zijn, zonder coördinaten en formules te gebruiken of zelfs te vernoemen. Een typisch voorbeeld hiervan is het dertiendelige boek De elementen van Euclides van Alexandrië , geschreven rond 300 v.Chr. Bij opbouw vertrekt men van primitieve ideeën (zoals punten, rechten en hun onderlinge relaties) samen met enkele welgekozen axioma’s waaruit dan eigenschappen worden uit afgeleid. 3 Analytisch bewijzen betekent: met behulp van coördinaten. Hierbij staat een (rechthoekig) assenstelsel centraal. Door aan elk punt een koppel coördinaten toe te kennen, kunnen we meetkundige vormen zoals rechten, cirkels, parabolen. . . weergeven met vergelijkingen, waarop dan algebraı̈sch rekenwerk kan worden uitgevoerd. De pioniers van de analytische meetkunde waren René Descartes en Pierre de Fermat uit de 17e eeuw. In dit hoofdstuk hebben we het over analytische meetkunde. We starten met een herhaling van wat je in het derde jaar hebt opgebouwd. Daarna komen vergelijkingen van rechten en cirkels aan bod.
13.1
Punten en coördinaten in het vlak (herhaling)
3 Coördinaten van een punt.2 Een orthogonaal assenstelsel (of cartesisch of cartesiaans assenstelsel) bestaat uit twee getallenassen die loodrecht op elkaar staan, de x-as en de y-as. Het snijpunt van de assen noemen we de oorsprong O.
y
P (a, b)
b 1
O
a
1
Pierre de Fermat (1601-1665)
x
De figuur toont hoe elk punt P in het vlak volledig bepaald is door een koppel reële getallen (a, b). Dat koppel noemen we het koppel cartesische coördinaten van P , kortweg: de coördinaten van P . In symbolen: P (a, b)
of
co(P ) = (a, b)
maar niet
P = (a, b).
Hierbij noemen we a de x-coördinaat en b de y-coördinaat van P . 1 Deze
bewoording werd ontleend aan C. Impens, Wiskunde vanaf nul, Gent, 2016. Naast de synthetische en analytische bewijsmethode bestaan er nog andere. Zo gebruikt men in de algebraı̈sche meetkunde technieken uit de abstracte algebra. Aan de grondslag ligt de analytische meetkunde die via de klassieke projectieve meetkunde leidde tot de moderne algebraı̈sche meetkunde, in de jaren ’50 en ’60 van de vorige eeuw ontwikkeld door Alexander Grothendieck en Jean-Pierre Serre . 2 Het begrip cartesisch assenstelsel is genoem naar René Descartes 1637, doch eerder bedacht door Pierre de Fermat 1636. De gelatiniseerde naam voor René Descartes was Renatus Cartesius, vandaar de term cartesisch.
XIII-1
Th 1
3 Afstand tussen twee punten. Beschouw twee punten A(x1 , y1 ) en B(x2 , y2 ). Dan is de afstand tussen de punten A en B gelijk aan y » 2 2 |AB| = (x2 − x1 ) + (y2 − y1 ) B y2 3 In plaats van |AB| noteert men ook wel d(A, B).
|y2 − y1 |
Bewijs. Uit de stelling van Pythagoras volgt: 2
2
y1
2
|AB| = |x2 − x1 | + |y2 − y1 | zodat |AB| =
2
|x2 − x1 | 2
O
(x2 − x1 ) + (y2 − y1 ) .
x1
x2
x
3 Midden van een lijnstuk. Beschouw twee punten A(x1 , y1 ) en B(x2 , y2 ). Noem M het midden van [AB]. Dan is x + x y + y y 1 2 1 2 co(M ) = , 2 2 B y2 Bewijs. Noem co(M ) = (k, l). Uit de stelling van Thales volgt: M l k − x1 |M A| 1 = ⇒ k − x1 = · (x2 − x1 ) x2 − x1 |BA| 2 A y1 1 ⇒ k = (x1 + x2 ) . 2
//
//
Th 2
»
A
Een gelijkaardige redenering bewijst dat l =
1 (y1 + y2 ). 2
O
x1
x2
k
x
De laatste eigenschap gaat over een driehoek. Herhaal dat een zwaartelijn van een driehoek een rechte is die door een hoekpunt van de driehoek gaat en door het midden van de overstaande zijde. Hieronder bewijzen we dat de drie zwaartelijnen van een driehoek concurrent zijn. Th 3
3 Zwaartepunt van een driehoek. Beschouw drie punten A(x1 , y1 ) en B(x2 , y2 ) en C(x3 , y3 ). Dan snijden de drie zwaartelijnen van ∆ABC elkaar in één punt Z, die we het zwaartepunt van de driehoek noemen, en is co(Z) =
x + x + x y + y + y 1 2 3 1 2 3 , 3 3
B
y Bewijs. Noem M1 het midden van [BC]. Dan is x + x y + y 2 3 2 3 co(M1 ) = , . 2 2
// y2 +y3 2
Neem op de zwaartelijn AM1 het punt Z1 met |Z1 A| =
Noem co(Z1 ) = (k, l). Uit de stelling van Thales volgt: |Z1 A| k − x1 = x2 +x3 |M − x 1 A| 1 2
⇒ ⇒
Z1
l 2 |M1 A|. 3
2 x2 + x3 · − x1 3 2 x1 + x2 + x3 k= 3
k − x1 =
M1 // C
y1
O
A
x1
k
x2 +x3 2
x
x + x + x y + y + y 1 2 3 1 2 3 , . Analoog 3 3 noemen we M2 het midden van [AC] en M3 het midden van [AB], en nemen we op de zwaartelijn BM2 het punt 2 2 Z2 waarvoor |Z2 B| = |M2 B| en op de zwaartelijn CM3 het punt Z3 waarvoor |Z3 C| = |M3 C|. Net zoals 3 3 hierboven vinden we dan dat x + x + x y + y + y 1 2 3 1 2 3 co(Z2 ) = , = co(Z3 ) 3 3 waaruit volgt dat Z1 = Z2 = Z3 . Bijgevolg ligt dit punt Z op de drie zwaartelijnen van de driehoek, zodat de drie zwaartelijnen van de driehoek concurrent zijn. De coördinaten van Z volgen nu uit het bovenstaande. en gelijkaardige redeneren voor de y-coördinaat leidt tot co(Z1 ) =
3 De
letter d is staat voor de eerste letter van distance, de Engelse term voor afstand.
XIII-2
13.2
Rechten
In het derde jaar heb je al heel wat begrippen en eigenschappen in verband met rechten gezien. Die vatten we nog eens samen op deze pagina. 3 Vergelijking van een rechte, rico en hellingshoek. Tekenen we een rechte op ons blad, dan kunnen we onderscheid maken tussen de volgende vormen: verticaal, horizontaal, stijgend of dalend. In het derde jaar heb je bij elke vorm de vergelijking van zo’n rechte opgesteld (zie hieronder). Omgekeerd, ken je de vergelijking van een rechte dan kun je weten welke vorm die rechte heeft. Meer bepaald geeft de rico (voluit: richtingscoëfficiënt) van de rechte aan hoe groot die stijging of daling is. Die informatie kunnen we ook nog op weergeven met de hellingshoek van de rechte (zie Hoofdstuk Goniometrie). Samengevat:
de rechte r is niet evenwijdig is met de y-as:
de rechte r is evenwijdig met de y-as:
r : y = mx + q
r:x=p
⊲ het getal m is de rico van de rechte
⊲ een verticale rechte heeft geen rico
⊲ de hellingshoek α voldoet aan
⊲ een verticale rechte heeft hellingshoek
−90◦ < α ≤ 0◦ r
0 ≤ α < 90◦
of
y
r
y q
+1 α
α +m x
q
O
α = 90◦ y
r
+m
+1
α x
O
p
O
x
⊲ verband tussen rico m en hellingshoek α: m = tan α
3 Standaardvergelijking. De vergelijking van een rechte r kan herschreven worden als r : ax + by = c
waarbij a, b, c ∈ R
3 Vergelijking van een rechte door twee punten. Beschouw een rechte r die niet verticaal is. Dan geldt voor elke twee punten A(x1 , y1 ) en B(x2 , y2 ) op de rechte r dat
y
r B
y2
y2 − y1 rico r = x2 − x1
y1
en de vergelijking van de rechte r is dan r : y − y1 = m(x − x1 )
O
y2 − y1
A x2 − x1 x1
x2
x
3 Evenwijdige rechten. Beschouw twee rechten r1 en r2 die beide niet verticaal zijn. Dan zijn ze evenwijdig als en slechts als hun rico’s gelijk zijn. In symbolen: r1 // r2
⇔
rico r1 = rico r2
XIII-3
Kennen we van twee niet-verticale rechten hun rico’s, dan weten we of die rechten evenwijdig zijn of niet. Hieronder zullen we zien dat we dan ook weten of die rechten loodrecht op elkaar staan of niet. Th 4
3 Loodrechte stand van rechten.4 Beschouw twee rechten r1 en r2 die beide niet verticaal zijn. Dan staan ze loodrecht op elkaar als en slechts het product van hun rico’s gelijk is aan −1. In symbolen:
r1 ⊥ r2
⇔
rico r1 · rico r2 = −1
Bewijs als r1 stijgend en r2 dalend is. Teken het orthonormaal assenstelsel Oxy met als oorsprong het snijpunt van de rechten r1 en r2 . Teken daarna de rechte x = 1 die de rechte r1 snijdt in punt A1 en de rechte r2 snijdt in punt A2 . Noem m1 = rico r1 en m2 = rico r2 . Dan is
r2
co O = . . . co A1 = . . .
r1
co A2 = . . . r1 ⊥ r2
Welnu: ⇔
Bewijs als r1 dalend en r2 stijgend is. Analoog aan het voorgaande bewijs. Bewijs als r1 of r2 horizontaal is. Stel dat r1 horizontaal is. Dan is rico r1 = 0, zodat rico r1 · rico r2 6= −1. Anderzijds is r2 niet verticaal (gegeven), zodat r1 6⊥ r2 . Dus in dit geval geldt inderdaad dat r1 ⊥ r2 ⇔ rico r1 · rico r2 = −1. Het bewijs voor r2 horizontaal is analoog. Bewijs als r1 en r2 beide dalend of beide stijgend zijn. Stel dat r1 en r2 beide dalend zijn. Dan is rico r1 < 0 en rico r2 < 0 zodat rico r1 · rico r2 > 0. Hieruit volgt dat rico r1 · rico r2 6= −1. Anderzijds staan twee dalende rechten nooit loodrecht op elkaar, zodat r1 6⊥ r2 . Dus in dit geval geldt inderdaad dat r1 ⊥ r2 ⇔ rico r1 · rico r2 = −1. Het bewijs voor r1 en r2 beide stijgend is analoog. 4 Het criterium rico r · rico r = −1 voor loodrechte stand kan niet gebruikt in het geval dat r of r verticaal is, omdat een verticale 1 2 1 2 rechte geen rico heeft. Een meer algemeen criterium gaat als volgt: schrijven we twee willekeurige rechten r1 , r2 in standaardvergelijking ri : ai x + bi y = ci dan geldt: r1 ⊥ r2 ⇔ a1 a2 + b1 b2 = 0 ongeacht de vorm van de r1 en r2 . Dit criterium geldt dus ook als r1 of r2 verticaal zijn.
XIII-4
3 Modelvoorbeeld 1. Ga na welke rechten loodrecht op elkaar staan. a : y = 2x − 8
d : 2x + 4y = 14
b : 5x + y = −7
e:x=8
c : x − 5y − 9 = 0
f : y = −541
Oplossing.
3 Modelvoorbeeld 2. Gegeven zijn de rechten a : (1 − p)x + y = 8
en
b : px + 2y = 0
waarbij p ∈ R. Bepaal de waarde(n) van p waarvoor a ⊥ b. Oplossing.
3 Modelvoorbeeld 3. Toon aan dat de punten P (4, 6), Q(−2, 2) en R(2, −4) de hoekpunten zijn van een rechthoekige driehoek. Oplossing.
XIII-5
Loodlijn uit een punt op een rechte 3 Opbouw. Gegeven zijn een punt P en een rechte r. De loodlijn uit P op r is de rechte l door het punt P en loodrecht op de rechte r. Hoe bepalen we die loodlijn l?
r l P
Werkwijze. l ⊥ r P ∈l
3 Modelvoorbeeld 4. Bepaal telkens de standaardvergelijking van de loodlijn l uit het punt P op de rechte r. (a) P (1, 4) en r : x + 5y = 11 (b) P (2, −5) en r : x − 4 = 0 Oplossing.
Middelloodlijn van een lijnstuk 3 Opbouw. Gegeven is een lijnstuk [AB]. De middelloodlijn van [AB] is de rechte m loodrecht op de rechte AB en door het midden van het lijnstuk [AM ]. Hoe bepalen we het middelloodvlak m?
A m
// Werkwijze. m ⊥ AB M ∈m
M
//
B 3 Modelvoorbeeld 5. Gegeven zijn de punten A(−1, 3) en B(5, 7). Bepaal de middelloodlijn van [AB]. Oplossing.
XIII-6
Afstand van een punt tot een rechte 3 Opbouw. Gegeven zijn een punt P en een rechte r. De afstand van punt P tot rechte r is de kortste afstand tussen punt P en een willekeurig punt A van rechte r.
Th 5
Noem Q het voetpunt van de loodlijn l uit het punt P op de rechte r. Het is duidelijk dat (zie figuur): ∀A ∈ r : d(P, A) ≥ d(P, Q). Hieruit volgt dat de afstand van punt P tot rechte r gelijk is aan d(P, Q). In symbolen: d(P, r) = d(P, Q). Hoe bepalen we die afstand?
r A
l P
Voorlopige (1) Bepaal loodlijn l uit P op r Q
werkwijze. (2) Bepaal snijpunt Q = l ∩ r (3) d(P, r) = d(P, Q)
3 Voorbeeld.5 Gegeven zijn het punt P (5, 2) en de rechte r : 3x + 4y = 24. Bepaal de afstand van het punt P tot de rechte r. Oplossing.
5 Als we de coördinaten van het punt P invullen in de vergelijking van de rechte r, dan verkrijgen we 3 · 5 + 4 · 2 6= 24. Dat de gelijkheid niet geldt, betekent precies dat punt P niet op de rechte r ligt. Intuı̈tief kun je vermoeden dat het verschil tussen het linker- en rechterlid verband houdt met de afstand van het punt P tot de rechte r. Toch mag je niet verwachten dat het verschil precies gelijk is aan die afstand.
(1) Afstand is positief, dus moeten we de absolute waarde nemen: r : 3x + 4y = 24
en invullen van co(P ) = (5, 2) geeft
|3 · 5 + 4 · 2 − 24| = 1 6= d(P, r).
(2) Een vergelijking van de rechte r maar op een evenredigheid na bepaald: even goed is r:
3 4 24 x+ y = 5 5 5
en invullen van co(P ) = (5, 2) geeft
3 · 5 + 4 · 2 − 24 = 1 =! d(P, r).
5
5
5
5
Op die manier is het aannemelijk dat de afstand van een punt tot en rechte in het algemeen als volgt te berekenen valt, wat leidt tot een formule die we op de volgende pagina zullen bewijzen: voor een rechte r : ax + by = c en een punt P (x1 , y1 ) is r: √
a a2 + b2
x+ √
b a2 + b2
y= √
c a2 + b2
! a b c
= d(P, r). en invullen van co(P ) = (x1 , y1 ) geeft √ x1 + √ y1 − √ a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2
Ludwig Otto Hesse (1811-1874) schreef in zijn cursussen voor studenten een vergelijking van een rechte altijd in de vorige, bovenstaande vorm. Daarom noemt men zo’n vergelijking ook wel de Hesse normaalvorm van een rechte.
XIII-7
Net zoals er een formule is om de afstand tussen twee punten te berekenen, is er ook een formule om de afstand van een punt tot een rechte te berekenen. Th 6
3 Afstand van een punt tot een rechte. Beschouw een punt P (x1 , y1 ) en een rechte r : ax + by = c. Dan is de afstand van het punt P tot de rechte r gelijk aan |ax1 + by1 − c| √ a2 + b2 Bewijs. Noem Q(x2 , y2 ) het voetpunt van de loodlijn uit het punt P op de rechte r. d(P, r) =
. Stap 1. We weten dat Q ∈ r. Hieruit volgt: ax2 + by2 = c
r : ax + by = c
6
. Stap 2. We weten dat P Q ⊥ r. Hieruit volgt: y2 − y1 −a rico P Q · rico r = −1 ⇒ · = −1 x2 − x1 b ⇒
P (x1 , y1 )
a(y2 − y1 ) = b(x2 − x1 )
2
. Stap 3. We schrijven (a2 + b2 ) · |P Q| als een kwadraat. Å ã 2 (a2 + b2 ) · |P Q| = (a2 + b2 ) · (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
Q(x2 , y2 )
= a2 (x2 − x1 )2 + b2 (x2 − x1 )2 + a2 (y2 − y1 )2 + b2 (y2 − y1 )2 = a2 (x2 − x1 )2 + 2ab(x2 − x1 )(y2 − y1 ) + b2 (y2 − y1 )2 Å ã2 = a(x2 − x1 ) + b(y2 − y1 ) . Stap 4. We berekenen d(P, r). Õ d(P, r) = d(P, Q) =
Å ã2 a(x2 − x1 ) + b(y2 − y1 ) a2 + b2
=
|a(x2 − x1 ) + b(y2 − y1 )| √ a 2 + b2
=
|−ax1 − by1 + ax2 + by2 | √ a2 + b2
=
|−ax1 − by1 + c| √ a2 + b2
=
|ax1 + by1 − c| √ . a2 + b2
3 Modelvoorbeeld 6. Bepaal telkens de afstand van het gegeven punt tot de gegeven rechte. (c) C(2, 1) en c : x = −3
(a) P (5, 2) en r : 3x + 4y = 24 1 1 (b) B(−4, 2) en b : x − y = −1 2 3
7 (d) D(−8, 27) en d : y = − x − 1 2
Oplossing.
6 Bij de uitwerking van stap 2 gaan we ervan uit dat de rechte r stijgend of dalend is. De lezer gaat moeiteloos na dat in geval r horizontaal of verticaal is, eveneens geldt dat a(y2 − y1 ) = b(x2 − x1 ).
XIII-8
Middenparallel van twee parallelle rechten 3 Opbouw. Gegeven zijn twee parallelle rechten r1 en r2 .7 De verzameling van alle punten op gelijke afstand van r1 en r2 is een rechte m. Die rechte noemen we de middenparallel van r1 en r2 (vervolledig de schets). Hoe bepalen we de vergelijking van die middenparallel?
r1
r2
// Voorlopige Neem een willekeurig punt P (x, y) in het vlak. werkwijze. Dan is P ∈ m ⇔ d(P, r1 ) = d(P, r2 )
//
P
3 Voorbeeld. Gegeven zijn de parallelle rechten r1 : 2x − y = 5 en r2 : 2x − y = 3. Bepaal hun middenparallel. Oplossing.
Th 7
3 Vergelijking van de middenparallel. Beschouw twee rechten r1 : ax + by = c1 en r2 : ax + by = c2 . Dan wordt de middenparallel van r1 en r2 gegeven door m : ax + by =
c1 + c2 2
3 Modelvoorbeeld 7. Gegeven zijn de rechten r1 : 9x − 3y = 5 en r2 : −6x + 2y = 2. (a) Toon aan dat r1 en r2 evenwijdig zijn. (b) Bepaal de middenparallel van r1 en r2 . Oplossing.
7 Twee rechten zijn parallel als ze evenwijdig en niet samenvallend zijn. De verzameling van alle punten op gelijke afstand van twee samenvallende rechten is het ganse vlak.
XIII-9
Bissectrices van twee snijdende rechten 3 Opbouw. Gegeven zijn twee snijdende rechten r1 en r2 . De verzameling van alle punten op gelijke afstand van r1 en r2 is de unie van twee rechten b1 en b2 . Die rechten noemen we de bissectrices (of deellijnen) van r1 en r2 (vervolledig de schets). Hoe bepalen we de vergelijkingen van die bissectrices?
r1
Werkwijze. Neem een willekeurig punt P (x, y) in het vlak. Dan is P ∈ b1 ∪ b2 ⇔ d(P, r1 ) = d(P, r2 )
3 Modelvoorbeeld 8. Gegeven zijn de rechten r1 : 2x − y = −6 en r2 : 4x + 2y = −1. (a) Toon aan dat r1 en r2 snijdend zijn. (b) Bepaal de bissectrices van r1 en r2 . Oplossing.
XIII-10
r2
// P
//
13.3
Cirkels
De vlakke meetkunde zoekt patronen en structuren van vormen in het vlak. Vaak kan zoâ&#x20AC;&#x2122;n vorm gezien worden als een verzameling van punten, waarbij de ligging (of plaats) van die punten bepaald is door een of meerdere voorwaarden. Daarom noemen we zulke vormen meetkundige plaatsen. Zo ken je al enkele bijzondere rechten als meetkundige plaats. . De middelloodlijn van een lijnstuk is de meetkundige plaats van alle punten waarvan de afstand tot het ene eindpunt van het lijnstuk gelijk is aan de afstand tot het andere eindpunt van het lijnstuk. . De middenparallel van twee parallelle rechten zijn alle punten waarvan de afstand tot de ene rechte gelijk is aan de afstand tot de andere rechte. . De bissectrices van twee snijdende rechten zijn alle punten waarvan de afstand tot de ene rechte gelijk is aan de afstand tot de andere rechte. Andere meetkundige plaatsen zijn bijvoorbeeld de kegelsneden. . Een cirkel is de meetkundige plaats van alle punten waarvan de afstand tot een vast punt (middelpunt) een vast getal (straal) is. . Een parabool is de meetkundige plaats van alle punten waarvan de afstand tot een vast punt (brandpunt) gelijk is aan de afstand tot een vaste lijn (richtlijn). . Een ellips is de meetkundige plaats van alle punten waarvan de som van de afstanden tot twee vaste punten (brandpunten) een vast getal is. . Een hyperbool is de meetkundige plaats van alle punten waarvan het verschil van de afstanden tot twee vaste punten (brandpunten) een vast getal is. In Hoofdstuk Cirkels heb je al enkele enkele basisbegrippen in verband met cirkels gezien. In deze laatste paragraaf bestuderen we nu de cirkels met analytische meetkunde.
Een kegelsnede is de doorsnede van een dubbele kegel met een vlak. Die doorsnede is steeds een cirkel, ellips, parabool of hyperbool.
3 Definitie (herhaling). Zij M een punt en r > 0 een reeĚ&#x2C6;el getal. De cirkel met middelpunt M en straal r is de verzameling van alle punten P die op afstand r van punt M liggen. We noteren die cirkel met C(M, r). 3 Op ontdekking. Gegeven is het punt M (1, 3) en het getal r = 2. (a) Construeer in een assenstelsel de cirkel C(M, r).
(b) Waaraan moeten de cooĚ&#x2C6;rdinaten van een willekeurig punt P voldoen om op de cirkel C(M, r) te liggen?
(c) Gegeven zijn de punten A(3, 3), B(0, 1) en C(2, 4). Bepaal met behulp van de vergelijking van de cirkel of deze punten binnen, op of buiten de cirkel C(M, r) liggen.
Oplossing.
XIII-11
Th 8
3 Vergelijking van een cirkel. Beschouw een punt M (a, b) en een positief reëel getal r. Dan wordt de vergelijking van de cirkel C(M, r) met middelpunt M en straal r gegeven door y C : (x − a)2 + (y − b)2 = r2
C(M, r) r
Bewijs. Neem een willekeurig punt P (x, y). Dan is P ∈C
b
⇔
d(P, M ) = r
⇔
»
⇔
(x − a)2 + (y − b)2 = r2 .
P
M
(x − a)2 + (y − b)2 = r
O
a
x
3 Modelvoorbeeld 1. Gegeven is het punt M (−4, −3) en het getal r = 5. (a) Bepaal de vergelijking van de cirkel C(M, r).
(b) Ligt het punt P (1, −3) op de cirkel C(M, r)? Verklaar je antwoord. (c) Geef twee andere punten die op de cirkel C(M, r) liggen.
Oplossing.
ã Å ã Å 7 1 die punt A , 1 bevat. 3 Modelvoorbeeld 2. Bepaal de vergelijking van de cirkel met middelpunt M 2, − 5 5 Oplossing.
XIII-12
Als bijzonder geval bekijken we even de cirkel met middelpunt de oorsprong en straal 1. Dat is de goniometrische cirkel, zie Hoofdstuk Goniometrie. Th 9
3 Goniometrische cirkel. De vergelijking van de goniometrische cirkel is 2
2
2
(x − 0) + (y − 0) = 1
⇒
2
y 1
C : x2 + y 2 = 1
2
x +y =1
Eα
Elke (georiënteerde) hoek α bepaalt een (beeld)punt Eα op de goniometrische cirkel. Bij definitie is ® sin α = de y-coördinaat van het beeldpunt Eα cos α = de x-coördinaat van het beeldpunt Eα
sin α
α cos α
1
x
zodat co Eα = (cos α, sin α). Dat punt ligt op de goniometrische cirkel zodat de coördinaten van Eα aan de vergelijking van die cirkel moet voldoen: 2
2
(cos α) + (sin α) = 1
⇒
sin2 α + cos2 α = 1
Zo vinden we de grondformule van de goniometrie terug. In het algemeen kan de vergelijking van een cirkel met middelpunt M (a, b) en straal r als volgt uitgewerkt worden:8 C : (x − a)2 + (y − b)2 = r2 ⇔
C : x2 − 2ax + a2 + y 2 − 2by + b2 = r2
⇔
C : x2 + y 2 − 2ax − 2by + a2 + b2 − r2 = 0.
Is de vergelijking van een cirkel volledig uitgewerkt, dan kunnen we ze herschrijven in de vorm (x − a)2 + (y − b)2 = r2 . Op die manier vinden we het middelpunt M (a, b) en de straal r van de cirkel terug. 3 Modelvoorbeeld 3. Ga telkens na of de vergelijking een cirkel bepaalt. Zo ja, geef dan de coördinaten van het middelpunt M en de straal r van de cirkel. (a) x2 + y 2 + 2x − 6y + 5 = 0
(b) 2x2 + 2y 2 + 8x + 12y + 76 = 0 Oplossing.
8 Elke cirkel is dus de oplossingsverzameling van een tweedegraadsvergelijking in twee onbekenden x en y. Daar een parabool met symmetrie-as evenwijdig met de y-as als vergelijking y = ax2 + bx + c heeft (met a, b, c ∈ R en a 6= 0), wat kan geschreven worden als ax2 + bx − y + c = 0, is ook zo’n parabool de oplossingsverzameling van een tweedegraadsvergelijking in twee onbekenden x en y. Ten slotte kan ook de vergelijking van de hyperbool y = x1 herschreven worden als xy − 1 = 0, zodat ook deze hyperbool de oplossingsverzameling van een tweedegraadsvergelijking in twee onbekenden x en y is. Het is precies deze gelijkaardige beschrijving die de nauwe verwantschap tussen cirkels, parabolen en hyperbolen belicht.
XIII-13
Cirkel door drie niet-collineaire punten 3 Opbouw. Gegeven zijn drie niet-collineaire punten A, B en C. Dan is er precies één cirkel die door deze drie punten gaat, en het middelpunt van de cirkel is het snijpunt van de drie middelloodlijnen van ∆ABC (vervolldig de schets).9 Die cirkel noemen we de omgeschreven cirkel van ∆ABC. Hoe bepalen we de vergelijking van die omgeschreven cirkel?
B
Werkwijze. (1) bepaal de middelloodlijn m1 van [AB] C
(2) Bepaal de middelloodlijn m2 van [BC] (3) M ∈ m1 ∩ m2 (4) r = d(M, A)
A
3 Modelvoorbeeld 4. Gegeven zijn de punten A(7, −2), B(−1, 4) en C(13, 4). Bepaal de vergelijking van de cirkel die de punten A, B en C bevat. Oplossing.
9 Zie
Hoofdstuk Cirkels.
XIII-14
Raaklijn in een punt aan een cirkel 3 Opbouw. Gegeven is een cirkel C(M, r) en een punt A op de cirkel.
Dan is er precies één rechte t door dat punt die de cirkel raakt, namelijk de rechte door A die loodrecht staat op de middellijn AM (vervolledig de schets).10 Die rechte t noemen we de raaklijn in A aan de cirkel C.
Hoe bepalen we de vergelijking van die raaklijn?11
C(M, r) A Werkwijze. t ⊥ AM A∈t
M
3 Modelvoorbeeld 5. Gegeven is het punt A(2, 6) en de cirkel C : (x + 2)2 + (y − 3)2 = 25. (a) Toon aan dat het punt A op de cirkel C ligt.
(b) Bepaal de standaardvergelijking van de raaklijn in A aan de cirkel C. Oplossing.
10 Zie
Hoofdstuk Cirkels. C : (x − a)2 + (y − b)2 = r2 en co(A) = (x1 , y1 ) dan wordt de vergelijking van de raaklijn in A aan de cirkel C gegeven door t : (x − a)(x1 − a) + (y − b)(y1 − b) = r2 . Deze werkwijze wordt in de volksmond de harmonicaregel genoemd. Het bewijs van deze eigenschap laten we als oefening voor de lezer. 11 Is
XIII-15
Onderlinge ligging van een cirkel en een rechte Beschouw een cirkel C(M, r) en een rechte a. Dan zijn er drie mogelijkheden voor hun onderlinge ligging. De eventuele snijpunten bepalen we door het gemeenschappelijk stelsel van hun vergelijkingen op te lossen.
rechte ligt buiten cirkel
rechte raakt cirkel
rechte is verlengde koorde van cirkel
geen snijpunten
één snijpunt
twee snijpunten
r < d(M, a)
r = d(M, a)
d(M, a) < r
a
C(M, r)
a
M
C(M, r) M
a
C(M, r) M
3 Modelvoorbeeld 6. Onderzoek telkens de onderlinge ligging van de cirkel en de rechte. Bepaal ook alle eventuele snijpunten. (a) C : x2 + y 2 = 25 en a : 2x − y = 11
(b) C : x2 + y 2 = 9 en a : x − y = 6
(c) C : (x − 1)2 + y 2 = 25 en a : 3x + 4y = 28
Oplossing.
XIII-16
Onderlinge ligging van twee cirkels Beschouw twee cirkels C1 (M1 , r1 ) en C2 (M2 , r2 ). Dan zijn er zeven mogelijkheden voor hun onderlinge ligging. De eventuele snijpunten bepalen we door het gemeenschappelijk stelsel van hun vergelijkingen op te lossen.
cirkels liggen buiten elkaar
cirkels raken elkaar uitwendig
cirkels snijden elkaar
geen snijpunten
één snijpunt
twee snijpunten
r1 + r2 < d(M1 , M2 )
r1 + r2 = d(M1 , M2 )
|r1 − r2 | < d(M1 , M2 ) < r1 + r2
M1
M2
M1
M2
M1
M2
cirkels raken elkaar inwendig
cirkel ligt binnen cirkel
cirkels zijn concentrisch
cirkels zijn samenvallend
één snijpunt
geen snijpunten
geen snijpunten
geen snijpunten
|r1 − r2 | = d(M1 , M2 )
d(M1 , M2 ) < |r1 − r2 |
M1 = M2 en r1 6= r2
M1 = M2 en r1 = r2
M1
M2
M1
M2
M1 = M2
3 Modelvoorbeeld 7. Onderzoek telkens de onderlinge ligging van de twee cirkels. (a) C1 : x2 + y 2 = 1 en C2 : (x − 5)2 + (y + 3)2 = 4
(b) C1 : (x + 1)2 + (y − 2)2 = 1 en C2 : x2 + (y − 3)2 = 9
(c) C1 : (x − 3)2 + (y − 2)2 = 4 en C2 : (x + 1)2 + (y − 5)2 = 49
Oplossing.
XIII-17
M1 = M2