1 practicumcover

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

nr: . . . . . . . . .

klas: . . . . . . .

Practicum wiskunde

Pr

schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

WOORD VOORAF Jarenlang was men overtuigd dat leerlingen en studenten de beoogde wiskundige kennis het best aanleren door het observeren van een expert (leerkracht, docent) in actie. Al minstens even lang stelt men deze eenzijdige methode in vraag. Zo stelt de wiskundige en didacticus George P´olya (1945) dat kennisoverdracht door middel van het oplossen van problemen centraal moet staan in het wiskunde onderwijs, en dit op elk niveau. Leerlingen moeten zelf de kans krijgen om te ontdekken, en nadien een redenering op een haalbaar niveau kunnen leveren.

Het (zelfstandig) oplossen van problemen, ook wel probleemoplossend denken genoemd, is een voorbeeld van wat de jongste jaren een trend in het onderwijs is geworden: de zogenaamde competenties. Ruim genomen is een competentie het vermogen om naargelang de situatie correct en passend te handelen. De nadruk ligt bij het begrip competentie niet op weten maar op kunnen. In de vakliteratuur onderscheidt men zo’n dertig tot veertig competenties, zoals luisteren, analyseren, mondeling presenteren, overtuigen, leidinggeven en samenwerken.

George P´ olya (1887 - 1985)

Het feit dat competenties een trend binnen het onderwijs zijn, kan niet de enige drijfveer zijn om er aandacht aan te besteden. Maar het zou er de leerkracht en de leerling wel toe moeten aanzetten om er over na te denken. Typisch is dat hij/zij hierbij een aantal bedenkingen heeft. Hierna overlopen we enkele, en geven duiding binnen een maatschappelijke context. 3 1. Waarom volstaat de overdracht van kennis niet meer? Men heeft ontdekt dat de halveringstijd van kennis enorm achteruit gaat. Zo was bijvoorbeeld in 1987 de halveringstijd van de kennis van een juist afgestudeerd elektrotechnisch ingenieur tien jaar. Dat wil zeggen dat in tien jaar tijd, de helft van diens kennis was verouderd.

In 1997 bedroeg de halveringstijd van die kennis nog maar vijf jaar. De consequenties van die ontdekking zijn enorm. Stel je voor: je volgt een studie van ongeveer vijf jaar en vijf jaar later is de helft van wat je leerde al weer verouderd! Voor onderwijsinstellingen is het haast zinloos om veel tijd en geld te investeren in kennisoverdracht.

Wat men leerlingen en studenten vandaag leert, is morgen alweer achterhaald. Dat schiet niet op. Daarom is het onderwijs gaan inzetten op de overdracht van competenties.

2. Wat is het belang van probleemoplossend denken? Het bedenken van een oplossing voor een (complex) probleem kan worden gezien als een creatief denkproces wat ontstaat als een organisme en/of een kunstmatig intelligent systeem niet meer weet wat te doen om het doel te bereiken. En laat het nu net de vaardigheid om problemen op te lossen zijn die erg gegeerd is in de maatschappij. Bedrijven zijn voortdurend op zoek naar mensen die goed scoren op het oplossen van problemen. Denk maar aan de wijdverbreide intelligentiemetingen zoals de IQ-test, en de waarde die men bij sollicitatie hecht aan de typische intelligentietesten met als karakteristieke kenmerken logisch denken, ruimtelijk voorstellingsvermogen, numeriek inzicht, verbaal inzicht en technisch inzicht. Alleen al het vooruitzicht van een leerling op de toekomstige aanwerving bij een instelling of een bedrijf duidt op het belang van deze vaardigheden.

3. Wat kan de meerwaarde van op school ontwikkelde competenties voor het beroepsleven zijn? Per beroep kun je ongeveer acht competenties benoemen die doorslaggevend zijn. Men noemt dat ook wel een standaard. In een sollicitatie zal men vooral op die competenties letten.

Voorbeeld. Een secretaresse die ooit tijdens haar opleiding heeft leren notuleren kan notuleren. Maar als zij een andere baas krijgt die heel andere eisen stelt aan de notulen kan die secretaresse die bij haar eerste baas prima functioneerde, met de handen in het haar zitten. Als ze tijdens haar opleiding had geleerd hoe je hoofdzaken van bijzaken kan onderscheiden en hoe je in overleg met de opdrachtgever tot afspraken komt over het te leveren product, was ze beter af geweest.

3 Inspiratie

werd ontleend aan http://www.leren.nl/cursus/leren en studeren/portfolio/wat-is-portfolio.html

Pr-i

.

Omdat we bewust kiezen voor het ontwikkelen van competenties, is het wenselijk om het effect ervan te meten en verder op te volgen. Men zou geneigd kunnen zijn zijn die opvolging te noteren op een klassieke toets. Typisch daarbij zijn opmerkingen in de trend van: 3 “let op je notatie”, 3 “na een berekening je resultaat ook kritisch bekijken: heeft het resultaat zin?”, 3 “maak na rekenwerk ook de controle met behulp van je (grafisch) rekenmachine, indien mogelijk”, 3 “bij het tekenen van een assenstelsel de assen benoemen”, 3 “maak onderscheid tussen gegeven en gevraagde”, etc.

Doorgaans zal een leerling die een toets afneemt zich eerder focussen op het reproduceren van de kennis en demonstreren van basistechnieken. Het bewust tonen van competenties hoort daar niet meteen bij. Ook bij het krijgen van de gecorrigeerde toets achteraf zal een leerling eerder interesse hebben in de punten dan in de opmerkingen in verband met competenties. Voor een aantal leerlingen is dit te wijten aan het feit dat attitudes niet worden gequoteerd op punten: zin voor nauwkeurigheid en orde, zelfvertrouwen en zelfstandigheid, reflectievaardigheden, etc.

Hoewel het een onlosmakelijk met het ander verbonden is (kwaliteit in competenties zal op termijn ook leiden tot hogere punten) nemen sommige leerlingen die link niet onmiddellijk aan. Anderzijds hoort een leerkracht wel te beoordelen of de leerling de vaardigheden goed ontwikkelt. Een klassieke toets volstaat dus niet langer.

Practicum wiskunde - Inhoud en evaluatie, vaardigheden en attitudes Uit een poging om de wiskundige competenties op een uitgesproken manier te behandelen is het practicum wiskunde ontstaan. Het bestaat uit enkele projecten, practica4 genaamd. Het doel van deze practica is dat de leerkracht kan beoordelen of de leerling die vaardigheden goed ontwikkelt. Dat kan hij zien aan de verslagen die de leerling zelf of in groep geschreven heeft, en ook hoe de leerling in de groep heeft samengewerkt. Bovendien stimuleert het leerlingen om over de eigen ontwikkeling na te denken. Op die manier speelt de leerling zelf de hoofdrol bij het ‘managen’ van zijn eigen leerproces: 3 Wat zijn mijn sterke en zwakke punten? Welke competenties beheers ik goed, welke zou ik kunnen verbeteren?

3 Wat is het belang van bepaalde competenties voor mijn studie- en beroepskeuze?

3 Hoe kan ik anderen laten zien waar ik goed in ben?

3 Hoe kan ik mijn zwakke punten verbeteren?

Inhoud Naast het implementeren van de practica in de huidige leerstofonderdelen kunnen er - in tegenstelling tot een klassieke didactiek - een aantal methodes aan bod komen die zeker de moeite waard zijn. Enkele daarvan zijn zelfs essentieel in de uitvoering van de zogenaamde onderzoekscompetenties derde graad. We sommen enkele onderwerpen op, voor de concrete inhoud verwijzen we naar de practica zelf: 3 zelfstandig oefeningen maken met oplossingssleutels, 3 werken met een wiskundig model, 3 leren uit opgeloste problemen, 3 geven van een wetenschappelijke presentatie, 3 samen werken, 3 onderzoeksopdrachten, 3 inzicht in het studie- en beroepskeuzeproces.

Evaluatie Bijna elk practicum wordt ge¨evalueerd op inhoud, maar ook op vaardigheden en attitudes. Hierna volgt een opsomming van die vaardigheden en attitudes.

4 practicum

(-s, -tica mv) een les waarin niet alleen wordt geluisterd, maar waarin leerlingen praktisch oefenen.

Pr-ii

Pr-iii

. de waarde van de informatie beoordelen in functie van de opdracht;

3 Je kan informatie verwerken en op relevantie selecteren:

3 Je kan een aanpak plannen en zo nodig opsplitsen in deeltaken.

3 Je kan een onderzoeksopdracht formuleren en afbakenen.

6. Onderzoeksvaardigheden.

3 Je kan ICT-hulpmiddelen gebruiken om wiskundige informatie te verwerken en wiskundige problemen te onderzoeken.

3 Je kan je resultaten controleren op hun betrouwbaarheid en volledigheid.

3 Je kan reflecteren op de keuze van je zoekstrategie¨en en je plan.

3 Je kan zoekstrategie¨en toepassen bij het werken aan problemen, en daarbij een plan opstellen.

3 Je kan een probleem vertalen naar een passend wiskundig model (mathematiseren).

3 Je kan een probleem analyseren (onderscheid maken tussen gegeven en gevraagde, verbanden leggen tussen de gegevens, etc.).

3 Je kan een probleem ontdekken en het wiskundig behoorlijk stellen.

5. Probleemoplossende vaardigheden.

. je kan een vermoeden formuleren en argumenteren; . je kan een eigenschap formuleren op basis van een onderzoek op een aantal voorbeelden; . je kan bij het opbouwen van een redenering een ICT-hulpmiddel gebruiken.

3 Je kan een redenering of argumentering bij een eigenschap of de oplossing van een probleem opbouwen:

3 Je kan een gegeven redenering op haar geldigheid onderzoeken.

3 Je bent in staat een redenering of argumentering bij een eigenschap te begrijpen.

3 Je kan het onderscheid maken tussen hoofd- en bijzaken, gegeven en gevraagde, gegeven en te bewijzen.

4. Denk- en redeneervaardigheden.

3 Je bent leesvaardig bij het lezen van de tekst van opgaven, problemen en vraagstukken.

3 Je kan visuele informatie in voldoende mate lezen en interpreteren (op een tekening, grafiek, diagram).

3 Je kan in een situatie wiskundige begrippen herkennen en vertalen naar wiskundig model (mathematiseren).

3 Je bent vertrouwd met de beschrijvende taal waarin over het wiskundig handelen gesproken wordt (definitie, eigenschap, verklaar, bereken algebra¨ısch/grafisch, teken, contrueer).

. je kent de betekenis van typische vaktermen en gebruikt deze voldoende correct (functie, stelsel, etc.); . je kent de betekenis van specifieke logische kernwoorden en gebruikt deze voldoende correct (en, of, daaruit volgt, voor alle, etc.); . je bent in staat om een omschrijving van een begrip te formaliseren, en een voorwaarde te symboliseren; . je hanteert de visuele voorstellingen waar de wiskunde gebruik van maakt (grafiek, tabel, etc.).

3 Je bent vertrouwd met de vaktaal van de wiskunde:

3. Wiskundige taalvaardigheid.

3 Je kan ICT-hulpmiddelen zoals het grafisch rekenmachine of een computerrekenpakket gepast inschakelen om een figuur te bekomen. Je gaat ook kritisch om met de voorstellingen die je met ICT bekomen hebt.

3 Je hebt ruimtelijk voorstellingsvermogen.

3 Grafieken en voorstellingen van vlakke en ruimtefiguren teken je nauwkeurig.

2. Meet-en tekenvaardigheid.

3 Je kan ICT-hulpmiddelen zoals het grafisch rekenmachine of een computerrekenpakket gepast inschakelen om een bewerking uit te voeren. Je gaat ook kritisch om met de berekeningen die je met ICT bekomen hebt.

3 Je kan de grootorde van een resultaat goed inschatten.

3 Bij het algebra¨ısch manipuleren van functievoorschriften, formules, vergelijkingen, etc. weet je welke technieken je moet aanwenden om tot een resultaat te komen, en voer je deze technieken correct uit.

1. Rekenvaardigheid.

Vaardigheden

Je Je Je Je Je

kan kan kan kan kan

losse gegevens verwerken. samenhangende informatie verwerken. informatiebronnen raadplegen. studietijd plannen. je eigen leerproces bijsturen.

Pr-iv

16. Inzicht in het studie- en beroepskeuzeproces. Je kan informatie inwinnen over het aandeel van wiskunde in een vervolgopleiding en die vergelijken met je voorbereiding.

15. Waardering voor de wiskunde. Je toont inzicht in de bijdrage van de wiskunde in culturele, historische en wetenschappelijke ontwikkelingen.

3 Je ziet in dat je mogelijkheden vergroot worden door het samenwerken met anderen.

3 Je toont appreciatie voor een andere oplossing of aanpak.

14. Zin voor samenwerking en overleg.

3 Je toont een onderzoeksgerichte houding ten aanzien van feiten, opgaven en problemen.

3 Je bent in staat om je in een oplossingsproces te ori¨enteren, het proces te plannen, het uit te voeren en het te bewaken.

13. Zelfregulatie.

3 Je toont zelfvertrouwen, zelfstandigheid, doorzettingsvermogen en doelmatigheid bij het aanpakken van problemen en opdrachten.

3 Je ziet in dat fouten maken inherent deel uitmaken van het leerproces.

12. Zelfvertrouwen en zelfstandigheid.

11. Kritische zin. Je hebt de houding om berekeningen, beweringen, argumenteringen en redeneringen niet zomaar te aanvaarden en over te nemen.

10. Zin voor kwaliteit van de wiskundige representatie. Je hebt de gewoonte om je gedachten behoorlijk te verwoorden, en de voor- en nadelen van een bepaalde werkwijze te bespreken.

3 Je hebt de gewoonte om na de uitvoering van een opdracht terug te kijken als een vorm van controle, om zo tot nauwkeurige resultaten te komen.

3 Je hebt een houding om ordelijk en systematisch te werken (noteren, maken van oefeningen, aanpakken van problemen).

9. Zin voor nauwkeurigheid en orde.

Attitudes

Je kan reflecteren over de aanpak van je werk en je studies.

Je kan reflecteren over je leerproces en je inzet (leiden ze tot het bereiken van de doelstelling?).

Je kan reflecteren over de effici¨entie van je werken en je leren.

Je kan reflecteren over de sterke en de zwakke elementen in de uitvoering van je opdracht.

Je kan je reflectie concreet maken door een plan van verbetering op te stellen (welke elementen worden gebruikt om het leren en werken te verbeteren?).

3 Je kan reflecteren over de gezamelijke aanpak en overleg bij een groepsopdracht.

3 3 3 3 3

8. Reflectievaardigheden.

3 3 3 3 3

7. Leervaardigheden.

. de relatie tussen gegevens en bewerkingen opzoeken en interpreteren.

3 Je kan doelmatig een wiskundig model selecteren of opstellen: . een onderdeel van een opdracht herkennen als een wiskundig of een statistisch probleem; . vaststellen of een model voldoet en het eventueel bijstellen; . zo nodig bijkomende informatie verzamelen om het aangewezen model te kunnen hanteren.

3 Je kan bij een model de passende oplossingsmethode correct uitvoeren.

3 Je kan resultaten binnen de context betekenis geven en ze daarin kritisch evalueren.

3 Je kan reflecteren op het gehele proces, i.h.b. op de gemaakte keuzen voor representatie en werkwijze.

3 Je kan het resultaat van het onderzoek zinvol presenteren, het standpunt argumenteren en verslag uitbrengen van het proces.