Hoofdstuk 2 Tweedegraadsfuncties

Wiskunde Aan zet een cursus wiskunde voor studierichtingen met vijf wekelijkse lestijden wiskunde vierde jaar algemeen secundair onderwijs geschreven door

Koen De Naeghel Hoofdstuk 2 Tweedegraadsfuncties

01/10/2017

CREATIVE COMMONS Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 (CC BY-NC-SA) Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie.

De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode De gebruiker mag: het werk kopi¨eren, verspreiden en doorgeven Remixen - afgeleide werken maken

Onder de volgende voorwaarden: Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam te vermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik van het werk).

Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerci¨ele doeleinden gebruiken.

Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfde licentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid.

Met inachtneming van: Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden met voorafgaande toestemming van de rechthebbende.

Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijke wetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze be¨ınvloed door de licentie.

Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht: • Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet.

• De morele rechten van de auteur.

• De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals het portretrecht of het recht op privacy.

Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aan . derden door middel van een link naar http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/

Eerste druk: 2016 Versie: 1 oktober 2017 Gepubliceerd door: Online publicatie platform Issuu.com Omslagfoto: http://nl.123rf.com/ Tekstzetsysteem: LATEX Royalty percentage: 0% c Koen De Naeghel, gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0

i

Hoofdstuk 2

Tweedegraadsfuncties Heel wat verschijnselen rondom ons kun je beschrijven met een functie. Zo heb je in het derde jaar de constante functies en de eerstegraadsfuncties gezien, waarbij de grafiek steeds een rechte is. Dat zullen we in de eerste paragrafen herhalen. Daarna bestuderen we de zogenaamde tweedegraadsfuncties.

2.1

Definitie en basisbegrippen van een functie (herhaling)

3 Op ontdekking. Een kaars is 15 cm lang. Vijf uur later is ze opgebrand. Met elk tijdstip x (in uren) associ¨eren we de lengte van de kaars y (in centimeter). Vul aan: x=0

7−−−−→

y = ...

x = 7, 5

7−−−−→ y = . . .

x=5

7−−−−→

y = ...

x = −2

7−−−−→ y = . . .

x=1

7−−−−→

y = ...

Met elk getal x associ¨eren we hoogstens ´e´en getal y. Zo’n verband noemen we een functie. We kunnen een functie vergelijken met een apparaat dat bij elke input x ofwel ´e´en output heeft, ofwel geen enkele output heeft:

input

functie

1

f

12

input

functie

geen output!

´e´en output

f

−24

We kunnen deze functie ook voorstellen met een tabel en met een grafiek (vul aan). . Tabel van enkele functiewaarden: x

−1

0

1

2

3

4

5

6

f (x)

...

...

...

...

...

...

...

...

5

6

7

. Grafiek:

y 15 12 9 6 3 −2

−1

1

2 II-1

3

4

x

Hieronder herhalen we de definitie van een functie. Daarbij horen heel wat begrippen. Op dit moment is het vooral belangrijk dat je bij een concreet (eenvoudig) voorbeeld van een functie het domein, het beeld, de nulwaarden, de tekentabel en de tabel stijgen/dalen uit de grafiek van de functie kan aflezen.1 Th 1

3 Definitie. Een functie f is een verband dat met elk getal x hoogstens ´e´en getal y associeert.

3 Modelvoorbeeld. In het assenstelsel hiernaast staat een grafiek afgebeeld.

y 2

(a) Waarom is dit de grafiek van een functie f ? (b) Benoem de grafiek. (c) Lees uit deze grafiek af: domein, beeld, nulwaarden, snijpunt(en) met de assen, tekentabel en tabel stijgen/dalen. Gebruik de correcte notaties.

Oplossing.

1

−3

−2

−1

1

2

x

−1 −2

1 Een

formele bespreking van de begrippen functievoorschrift en grafiek, domein, beeld en nulwaarden van een functie komt aan bod in Hoofdstuk Functies. In de derde graad beschrijven we hoe je in het algemeen de tekentabel en de tabel stijgen/dalen van een functie kan opstellen.

II-2

Soms kunnen we van een functie f het zogenaamde functievoorschrift geven. Dat is een formule waarmee je voor elk getal x meteen het getal y kan berekenen. Daarmee kun je een tabel van functiewaarden en de grafiek maken.

2.2

Constante functies (herhaling)

3 Op ontdekking. Bekijk de volgende functie f . Vul de tabel en de grafiek aan. Welke vorm heeft de grafiek? . functievoorschrift: f (x) = 2 . Tabel van enkele functiewaarden: x

−2

−1

0

1

2

f (x)

...

...

...

...

...

. Grafiek:

y

x

Controle met behulp van de grafische rekenmachine: Y=

2ND TABLE

GRAPH

Uit de grafiek van de functie lezen we de volgende kenmerken af (vul aan). . dom f = . . .

. Tekentabel: x f (x)

. bld f = . . .

. Tabel stijgen/dalen: . Nulwaarden:

x f (x) II-3

Th 2

3 Definitie. Een constante functie is een functie f met als voorschrift f (x) = a

Th 3

a∈R

waarbij

3 Eigenschap. De grafiek van een constante functie f (x) = a is een horizontale rechte:

a<0

a=0

of

y

of

y

a>0 y a

f

a x

x

x

a f

3 Voorbeeld. Welke van de volgende functies zijn constant? f (x) = 18

i(x) = x

g(x) = 0

j(x) = x2 √ k(x) = x

√

h(x) = − 10 + 20172

2.3

Eerstegraadsfuncties (herhaling)

3 Op ontdekking. Bekijk de volgende functie f . Vul de tabel en grafiek aan. Welke vorm heeft de grafiek? . Functievoorschrift: f (x) = 3x − 1

. Tabel van enkele functiewaarden:

x

−2

−1

0

1

2

f (x)

...

...

...

...

...

. Grafiek:

y

x

II-4

f

Controle met behulp van de grafische rekenmachine: Y=

WINDOW

GRAPH

Uit de grafiek van de functie lezen we de volgende kenmerken af (vul aan). Bereken de nulwaarden ook algebra¨ısch.

. dom f = . . .

. Tekentabel: x

. bld f = . . .

f (x) . Tabel stijgen/dalen:

. Nulwaarden:

x f (x)

Th 4

3 Definitie. Een eerstegraadsfunctie (of lineaire functie) is een functie f met als voorschrift f (x) = ax + b

waarbij

a, b ∈ R

en

a 6= 0

Hierbij noemen we ax + b de standaardvorm van de eerstegraadsfunctie.

Th 5

3 Eigenschap. De grafiek van een eerstegraadsfunctie f (x) = ax + b is een dalende rechte als a < 0 en een stijgende rechte als a > 0:

a<0

a>0

of

y

+1

y

+a

+a b

b

x

x

f

f

3 Voorbeeld. Welke van de volgende functies zijn lineair? f (x) = x g(x) = 2x − 3

h(x) = −35 +

i(x) = 2018 √

+1

j(x) = x2 √ k(x) = x

17 x II-5

3 Modelvoorbeeld. Gegeven is de functie f (x) = −0, 17 x + 28. (a) Teken, zonder gebruik te maken van de grafische rekenmachine, de grafiek van de functie f . Duid de snijpunten met de assen aan. (b) Plot de grafiek met behulp van de grafische rekenmachine en noteer geschikte vensterinstellingen. (c) Geef het domein, het beeld, de tekentabel en de tabel stijgen/dalen van de functie f .

Oplossing. (a) Om de grafiek van een eerstegraadsfunctie op te bouwen, doorlopen we de volgende stappen.

Stap 1. Vorm: . . .

Tekening:

Teken de vorm.

Stap 2. Snijpunt met de y-as: dan is . . .

Teken de y-as, daarna de x-as.

Stap 3. Snijpunt met de x-as: dan is . . .

(b) Uit onze schets van de grafiek in (a) leiden we geschikte vensterinstellingen af.

Xmin= . . .

Ymin= . . .

Xmax= . . .

Ymax= . . .

(c)

2.4 Th 6

Definitie van een tweedegraadsfunctie

3 Definitie. Een tweedegraadsfunctie (of kwadratische functie) is een functie f met als voorschrift f (x) = ax2 + bx + c

waarbij

a, b, c ∈ R

en

a 6= 0

Hierbij noemen we ax2 + bx + c de standaardvorm van de tweedegraadsfunctie.

3 Voorbeeld. Welke van de volgende functies zijn kwadratisch? f (x) = x2

i(x) = 2x3 − 2x + 8

g(x) = −x2 + 4x − 3 √ h(x) = πx2 − 2 x

j(x) = x2 − x + 3 − x2 √ k(x) = x2 − 5

Om de grafiek van willekeurige tweedegraadsfunctie f (x) = ax2 +bx+c te begrijpen, zullen we eerst een heel eenvoudig geval bespreken, namelijk a = 1, b = 0 en c = 0. Daarna zullen we deze grafiek transformeren.

II-6

2.5

De elementaire functie f (x) = x2

3 Bespreking. . Functievoorschrift: f (x) = x2 . Tabel van enkele functiewaarden: x

−3

−2

−1, 5

−1

−0, 5

0

0, 5

1

1, 5

2

3

f (x)

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

. Grafiek:

y

x

Uit de grafiek van de functie lezen we de volgende kenmerken af (vul aan). Bereken de nulwaarden ook algebra¨ısch. . dom f = . . . . bld f = . . . . Nulwaarden:

. Tekentabel:

x f (x)

. Tabel stijgen/dalen: x f (x) . Symmetrie¨en:

II-7

2.6

De transformatie verschuiven volgens de x-as en volgens de y-as

3 Op ontdekking. Gegeven is de functie f (x) = x2 . Voer de volgende stappen uit op het functievoorschrift van f en stel vast wat er gebeurt met de grafiek van f .

y f (x) = x2 2

⊲ f (x) = x

4

vervang x door x − 2:

3

verschuif volgens . . .-as met . . . naar . . .

2

f1 (x) = (x − 2)2

⊲ f (x) = x2

1

−4

−3

−2

−1

vervang x door x + 3:

1

2

3

4

x

−1 −2

verschuif volgens . . .-as met . . . naar . . .

−3

f2 (x) = . . .

−4

⊲ f (x) = x2

y f (x) = x2

vervang y door y − 4:

4

verschuif volgens . . .-as met . . . naar . . .

3

f3 (x) = x2 − 4

2

⊲ f (x) = x2

1

vervang y door y + 2: verschuif volgens . . .-as met . . . naar . . .

−4

f4 (x) = . . .

−3

−2

−1

1 −1 −2

vervang x door x − 3:

−3

verschuif volgens . . .-as met . . . naar . . .

−4

f5 (x) = . . .

Vul aan: de grafiek van f5 is een dalparabool met top T (. . . , . . .) en symmetrie-as . . .

II-8

2

3

4

x

3 Onthoud. De grafiek van f (x) = (x − k)2 + l is een dalparabool met top T (k, l) en symmetrie-as x = k:

f (x) = (x − k)2 + l f Tabel van enkele functiewaarden: k

x

k+1

k+2

k+3

f (x)

T (k, l)

y

3 Modelvoorbeeld 1. Nevenstaande grafiek stelt de grafiek van een tweedegraadsfunctie voor. Bepaal een mogelijk functievoorschrift. Controleer nadien met de grafische rekenmachine.

f 4

Oplossing.

3 2 1

−3

−2

−1

1

2

3

x

−1

3 Modelvoorbeeld 2. Een dalparabool P : y = (x − k)2 + l snijdt de x-as in x = −2 en x = 4. Bepaal de co¨ ordinaten van de top T van deze parabool.

Oplossing.

II-9

2.7

De transformatie spiegelen om de x-as

3 Op ontdekking. Gegeven is de functie f (x) = x2 . Voer de volgende stappen uit op het functievoorschrift van f en observeer wat er gebeurt met de grafiek van f .

y f (x) = x2 2

⊲ f (x) = x

4

vervang y door −y:

3

spiegel om de . . .-as

2

f1 (x) = −x2

1

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

−1 −2 −3 −4

⊲ f (x) = x2

y f (x) = x2

vervang y door y − 2:

4

....................................

3

f2 (x) = . . .

2

vervang y door −y:

1

....................................

f3 (x) = . . .

−4

vervang x door x − 3:

−3

−2

−1

1 −1 −2

....................................

−3

f4 (x) = . . .

−4

Vul aan: de grafiek van f4 is een bergparabool met top T (. . . , . . .) en symmetrie-as . . .

II-10

2

3

4

x

3 Onthoud. De grafiek van f (x) = −(x − k)2 + l is een bergparabool met top T (k, l) en symmetrie-as x = k:

f (x) = −(x − k)2 + l T (k, l)

Tabel van enkele functiewaarden: x

k

k+1

k+2

k+3

f (x)

f

3 Modelvoorbeeld 1. Onderstaande grafieken zijn ontstaan door de transformaties verschuiven volgens x-as, verschuiven volgens y-as en spiegelen om de x-as toe te passen op de parabool met vergelijking y = x2 . Bepaal voor elke grafiek het bijbehorende functievoorschrift.

y f

h 7 6 5 4 3 2 1 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

1

2

3

4

5

−2 −3 −4 i

−5

g

Oplossing.

II-11

6

7

x

3 Modelvoorbeeld 2. Een bergparabool P heeft als top T (−27; 18, 2). (a) Schets zo’n bergparabool. Welke assen kun je nu al tekenen? (b) Geef de vergelijking van zo’n bergparabool. (c) Bepaal algebra¨ısch de snijpunten van de parabool met de assen. Vervolledig nadien je schets. (d) Geef geschikte vensterinstellingen om de parabool met je grafische rekenmachine te plotten zodat de top van de parabool de snijpunten van de parabool met de assen zichtbaar zijn.

Oplossing.

Schets:

Controle met behulp van de grafische rekenmachine. We plotten de bergparabool en laten de co¨orinaten van de top berekenen. Dat doen we met het commando maximum. Controleer zelf de nulwaarden met behulp van het commando zero.

Y=

>

WINDOW

ENTER

GRAPH

2ND

CALC

4:maximum

ENTER

II-12

<

ENTER

2.8

De transformatie uitrekken volgens de y-as

3 Op ontdekking. Gegeven is de functie g(x) = x2 . Voer de volgende stappen uit op het functievoorschrift van g en observeer wat er gebeurt met de grafiek van g.

y

⊲ g(x) = x2

g 7

vervang y door 2y: rek uit volgens de . . . -as met factor . . .

6 5

f1 (x) = . . .

4

vervang x door x − 2: ....................................

3 2

f2 (x) = . . .

1

vervang y door y + 3: .................................... −3

f (x) = . . .

−2

−1

1

2

3

x

4

y

⊲ g(x) = x2

g 4

vervang y door −y: ....................................

3 2

f1 (x) = . . . vervang y door

1 y: 2

1

rek uit volgens de . . . -as met factor . . . −5

f2 (x) = . . .

−4

−3

−2

−1

1 −1 −2

vervang x door x + 3: ....................................

−3 −4

f3 (x) = . . . vervang y door y − 2: ....................................

f (x) = . . .

II-13

2

x

Th 7

3 Eigenschap. Beschouw een tweedegraadsfunctie f (x) = a(x − k)2 + l met a, k, l ∈ R en a 6= 0. Dan kunnen we de grafiek van f verkrijgen uit de grafiek van g(x) = x2 door volgende transformaties in volgorde toe te passen: (1) spiegel om de x-as (enkel als a < 0), (2) rek uit volgens de y-as met factor |a|,

(3) verschuif volgens de x-as met k naar rechts, (4) verschuif volgens de y-as met l naar boven.

Bijgevolg zijn er twee mogelijkheden voor de grafiek van f :

a<0

a>0

of

dalparabool

bergparabool T (k, l)

f

f T (k, l) Tabel van enkele functiewaarden:

Tabel van enkele functiewaarden:

x

x

k

k+1

k+2

f (x)

k

k+1

k+2

f (x)

3 Modelvoorbeeld 1. Onderstaande grafieken stellen de grafiek van een tweedegraadsfunctie f (x) = a(x−k)2 +l met a, k, l ∈ R en a 6= 0 voor. Bepaal voor elke grafiek het bijbehorende functievoorschrift. Je mag enkel roosterpunten gebruiken! Controleer nadien met de grafische rekenmachine. y Oplossing. f 7 h 6

5 4 3 2 1 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

1

2

3

4

−2 −3 −4 i

II-14

−5

g

5

6

7

x

y

3 Modelvoorbeeld 2. Gegeven is de functie f (x) = 4 −

1 (x + 2)2 .

2

4 3

(a) Geef een tabel van functiewaarden van f (negen waarden, rond de top).

2

(b) Schets met behulp van je resultaat op vraag (a) de grafiek van de functie f in nevenstaand assenstelsel.

1 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

Oplossing.

1

2

3

4

x

−2 −3 −4 3 Modelvoorbeeld 3. Gegeven is de functie f (x) = 2(x + 5)2 + 3. (a) Geef de volgende kenmerken van de grafiek van f : berg- of dalparabool, co¨ordinaten van de top, de vergelijking van de symmetrie-as en de snijpunten met de assen van de grafiek van f (algebra¨ısch). (b) Schets de grafiek van f in een assenstelsel waarop je jouw resultaten uit vraag (a) aanduidt. (c) Welke transformaties moet je uitvoeren op de parabool y = x2 om de grafiek van f te verkrijgen? Wees volledig!

Oplossing.

3 Modelvoorbeeld 4. Een parabool P gaat door het punt S(0, −27) en heeft het punt T (3, 18) als top. (a) Schets zo’n parabool in een assenstelsel. Hoeveel mogelijkheden zijn er? (b) Bepaal een vergelijking van de parabool.

Oplossing.

II-15

2.9

De grafiek van een willekeurige tweedegraadsfunctie

3 Op ontdekking. Bij de volgende tweedegraadsfuncties wordt het voorschrift telkens gegeven in standaardvorm.

Kun je het voorschrift telkens herschrijven in de vorm f (x) = a(x − k)2 + l? (a) f (x) = x2 − 6x + 8

standaardvorm

= = (b) f (x) = −x2 − 4x + 3

standaardvorm

= = = = (c)

f (x) = −2x2 + 4x − 3

standaardvorm

= = = = Th 8

3 Eigenschap. Elke kwadratische functie f (x) = ax2 + bx + c kan herschreven worden in topvorm: f (x) = a(x − k)2 + l

waarbij

k=−

b 2a

en

l = f (k)

Op die manier kan elke kwadratische functie verkregen worden door transformaties toe te passen op de elementaire functie g(x) = x2 . De grafiek is dus een bergparabool als a < 0 en een dalparabool als a > 0.

of

a<0

T (k, l)

+1

a>0

+1

f

+a +4a +4a

+a T (k, l)

f x=−

b 2a

+1 x=−

II-16

+1 b 2a

Bewijs. We herschrijven het functievoorschrift van f als volgt: f (x) = ax2 + bx + c

standaardvorm

=

3 Modelvoorbeeld 1. Gegeven zijn de volgende tweedegraadsfuncties. Zet telkens het functievoorschrift om naar topvorm. (a) f (x) = 3x2 − 6x + 5

(b) g(x) = −3x2 − 5x + 1

Oplossing.

II-17

3 Modelvoorbeeld 2. Gegeven is de tweedegraadsfunctie f (x) = 4x2 â&#x2C6;&#x2019; 24x + 35. (a) Schets, zonder gebruik te maken van je grafische rekenmachine, de grafiek van de functie f . (b) Geef geschikte vensterinstellingen om de grafiek van f met je grafische rekenmachine te plotten. (c) Onderzoek het verloop van de functie f .

Oplossing. (a) Om de grafiek van een tweedegraadsfunctie op te bouwen, doorlopen we de volgende stappen.

Stap 1. Vorm: . . .

Schets:

Schets de vorm. b dus x = . . .

2a Teken de symmetrie-as, daarna de y-as.

Stap 2. Symmetrie-as: x = â&#x2C6;&#x2019;

Stap 3. Top: T ( . . . , . . . ) Duid de top aan.

Stap 4. Snijpunt met de y-as: dan is . . .

Teken de x-as. (b) Dankzij (a) kunnen we geschikte vensterinstellingen kiezen (vul aan).

Y=

WINDOW

GRAPH

(c) Als we vragen om het verloop van de functie f te onderzoeken, dan bedoelen we om het domein, beeld, tekentabel en tabel stijgen/dalen van de functie f te geven. Dat kan zowel manueel als met behulp van de grafische rekenmachine.

II-18

3 Modelvoorbeeld 3. Bepaal telkens algebra¨ısch de tekentabel van de functie f . Geef daarna alle x-waarden waarvoor de grafiek van f onder de x-as ligt. Controleer je resultaten met je grafische rekenmachine.

1 (a) f (x) = − x2 + 2x + 8 2 (b) f (x) = 17x2 − 5x + 3

(c) f (x) = −x2 + 6x − 9 (d) f (x) = −7x + 13

Oplossing. Om de tekentabel van een functie f te bepalen, hebben we de nulwaarden van f nodig.

1 (a) f (x) = − x2 + 2x + 8 2 . Nulwaarden: los op

f (x) = 0 ⇔

...

⇔

...

D = ...

⇔ x = ... ⇔ x = ...

of

x = ...

. Tekentabel: x f (x)

Dus de grafiek van f ligt onder de x-as voor x ∈ . . .

Controle met behulp van de grafische rekenmachine. We plotten de parabool en laten de nulwaarden berekenen. Dat doen we met het commando zero (voer uit).

Y=

>

WINDOW

ENTER

GRAPH

2ND

CALC

ENTER

II-19

2:zero

<

ENTER

3 Modelvoorbeeld 4. Een parabool P snijdt de x-as in de punten P (−17, 0) en Q(28, 0). (a) Schets zo’n parabool in een assenstelsel. Hoeveel mogelijkheden zijn er voor zo’n parabool? (b) Als je weet dat het punt S(−1, 8) op de parabool ligt, bepaal dan de vergelijking van die parabool.

Oplossing.

3 Modelvoorbeeld 5. Een parabool P gaat door de punten P (0, 0), Q(80; −89, 6) en R(120; −129, 6). Bepaal de vergelijking van die parabool.

Oplossing.

II-20