Hoofdstuk 4 Rijen

Wiskunde Aan zet een cursus wiskunde voor studierichtingen met vijf wekelijkse lestijden wiskunde vierde jaar algemeen secundair onderwijs geschreven door

Koen De Naeghel Hoofdstuk 4 Rijen

08/04/2018

CREATIVE COMMONS Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 (CC BY-NC-SA) Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie.

De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode De gebruiker mag: het werk kopiëren, verspreiden en doorgeven Remixen - afgeleide werken maken

Onder de volgende voorwaarden: Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam te vermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik van het werk).

Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerciële doeleinden gebruiken.

Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfde licentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid.

Met inachtneming van: Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden met voorafgaande toestemming van de rechthebbende.

Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijke wetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze beı̈nvloed door de licentie.

Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht: • Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet.

• De morele rechten van de auteur.

• De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals het portretrecht of het recht op privacy.

Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aan . derden door middel van een link naar http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/

Eerste druk: 2016 Versie: 8 april 2018 Gepubliceerd door: Online publicatie platform Issuu.com Omslagfoto: http://nl.123rf.com/ Tekstzetsysteem: LATEX Royalty percentage: 0% c Koen De Naeghel, gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0

i

Hoofdstuk 4

Rijen 4.1

Definitie van een rij en enkele bijzondere rijen

3 Op ontdekking. Je kan elk natuurlijk getal weergeven met een aantal stipjes. Zo kun je 5 voorstellen als •

•

•

•

•

Bij sommige natuurlijke getallen kun je die stipjes herschikken tot een vierkant. Dat is zo bij 1, 4, 9 en 16:

•

• •

• • •

• •

• • •

• • • •

• • •

• • • •

• • • •

• • • •

Zo’n natuurlijke getallen noemen we vierkantsgetallen (of kwadraatgetallen).1 Er zijn oneindig veel vierkantsgetallen, en daarom kun je ze nooit allemaal opschrijven. Om ze toch te kunnen opsommen, spreken we af dat we enkele (kleine) vierkantsgetallen opschrijven, gescheiden door komma’s. Daarachter schrijven we het beletselteken . . . zodat de lezer weet dat de opeenvolging van vierkantsgetallen niet eindigt. Concreet schrijven we de rij van de vierkantsgetallen dus als volgt: 1, 4, 9, 16, . . .

Zo verkrijgen we een niet-eindigende opeenvolging van getallen, gescheiden door komma’s. Dat object wordt in wiskunde een rij genoemd. De getallen zelf noemen we de termen van de rij. Voor onze rij van vierkantsgetallen is dat: 1 , 4 , 9 , 16 , ... |{z} |{z} |{z} |{z} eerste term

tweede term

derde term

vierde term

We zeggen dat de eerste term rangnummer 1 heeft, de tweede term rangnummer 2 heeft, enzovoort. Dat is allemaal nogal veel schrijfwerk. Om dat te vermijden, zullen we elke term een kortere naam geven. Dat doen we als volgt. Eerst kiezen we een letter, bijvoorbeeld de letter u. Daarna schrijven we het rangnummer rechts onderaan de letter u. Dus de eerste term is u1 , de tweede term is u2 enzovoort. Voor onze rij van vierkantsgetallen wordt dat: 4 , |{z} 9 , |{z} 16 , . . .

1 , |{z} |{z} u3

u2

u1

u4

Je merkt al snel een patroon op (vul aan): u5 = 52 = 25

is de vijfde term van de rij,

u10 = 102 = 100

is de tiende term van de rij,

u39 = 392 = 1521

is de negenendertigste term van de rij.

Dankzij dat patroon kun je elke term van de rij opschrijven (vul aan): un = n2

is de n-term van de rij, ook wel algemene term genoemd.

Hierbij staat n voor een willekeurig natuurlijk getal verschillend van nul. Door in die formule de letter n te vervangen door bijvoorbeeld 100, vind je dat de honderdste term van de rij gelijk is aan u100 = 1002 = 10 000.

De volledige rij noteren we met (un ). Samengevat is de rij van kwadraatgetallen: (un ) = |{z} 1 , |{z} 4 , |{z} 9 , |{z} 16 , . . . , |{z} n2 , . . . u1

u2

u3

u4

un

Let op de haakjes! Zo wil un zeggen: de formule voor de n-de term, terwijl (un ) wil zeggen: de ganse rij.

1 De

benaming kwadraat komt van het Latijnse woord quadratus, wat vierkant betekent.

IV-1

Th 1

3 Definitie. Een rij is een niet-eindigende opeenvolging van reële getallen, gescheiden door komma’s: (un ) = u1 , u2 , u3 , u4 , . . .

3 Afspraak. De opeenvolgende getallen u1 , u2 , u3 enzovoort noemen we de termen van de rij. De rangnummers van de opeenvolgende termen zijn 1, 2, 3 enzovoort.

Samengevat ziet elke rij er als volgt uit: (un ) =

u1 |{z}

eerste term

,

u2 |{z}

tweede term

,

u3 |{z}

,

derde term

u4 |{z}

, ... ,

vierde term

un |{z}

, ...

n-de term

Je mag de letter u overal tegelijk vervangen door om het even elke andere beschikbare letter, zoals bijvoorbeeld v, w, x enzovoort. Dat is handig wanneer er meerdere rijen aan bod komen.

3 Voorbeeld. Hieronder staan enkele voorbeelden van rijen. Beschrijf telkens het patroon en geef daarna de gevraagde term. (un ) = 7, 13, 19, 25, 31, . . .

patroon: telkens plus 6

u6 = 37

(vn ) = 5, −10, 20, −40, 80, . . .

patroon: telkens maal −2

v6 = −160

(wn ) = 0, 9 ; 0, 99 ; 0, 999 ; . . .

patroon: telkens na de komma cijfer 9 toevoegen

w4 = 0, 9999

(xn ) = 39, 39, 39, 39, 39, . . .

patroon: telkens 39

x100 = 39

(yn ) = 0, 1, 0, 1, 0, 1, . . .

patroon: telkens 0 en 1 afwisselen, of ook:

y8 = 1

patroon: telkens 1 min de vorige term 3 Enkele bijzondere rijen. Vul de volgende tabel aan. Berekeningen maak je op een kladblad. beschrijving in woorden

rij door opsomming

algemene term

honderdste term

rij van de vierkantsgetallen

(un ) = 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .

un = n2

u100 = 10 000

rij van de natuurlijke getallen

(vn ) = 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .

vn = n − 1

v100 = 99

rij van de even natuurlijke getallen

(wn ) = 0, 2, 4, 6, 8, 10, . . .

wn = 2n − 2

w100 = 198

rij van de oneven natuurl. getallen

(xn ) = 1, 3, 5, 7, 9, 11, . . .

xn = 2n − 1

x100 = 199

rij van de machten van twee

(yn ) = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .

yn = 2n

y100 = 2100

harmonische rij 2

1 1 1 1 1 (hn ) = 1, , , , , , . . .

2 3 4 5 6

hn =

rij van de faculteiten 3

(fn ) = 1, 2, 6, 24, 120, . . .

rij van de positieve priemgetallen

(pn ) = 2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

1 n

h100 = 0, 01

fn = 1 · 2 · 3 · . . . · n = n!

(n-faculteit)

onbekend 4

f100 = 100!

p100 = 541

2 De naam harmonische rij is afkomstig van de verhoudingen van de snaarlengten van de harmonische boventonen tot de grondtoon, die ontstaan door een snaar in delen onder te verdelen.

3 100! = 93 326 215 443 944 152 681 699 238 856 266 700 490 715 968 264 381 621 468 592 963 895 217 599 993 229 915 608 941 463 976 156 518 286 253 697 920 827 223 758 251 185 210 916 864 000 000 000 000 000 000 000 000, zo’n groot getal lees je met de Latijnse uitgangen: drieënnegentig vigintsextiljoen driehonderdzesentwintig vigintquintiljard tweehonderdvijftien vigintquintiljoen vierhonderddrieënveertig vigintquadriljard enzovoort.

4 Tot op de dag van vandaag (8 april 2018) heeft nog niemand een (efficiënte) formule gevonden die priemgetallen genereert.

IV-2

3 Voorstellingswijzen. We kunnen een rij op verschillende manieren voorstellen.

(1) Opsomming Je somt de eerste termen van de rij op, gevolgd door het beletselteken . . . .

Voorbeeld. De rij (un ) = 1, 2, 4, 8, 16, . . .

(2) Recursief voorschrift Je geeft de eerste term(en) van de rij en daarna de algemene term in functie van de voorgaande term(en). ® u1 = 1 Voorbeeld. De rij (un ) = 1, 2, 4, 8, 16, . . . heeft als recursief voorschrift (un ) un = 2un−1 voor n > 1.

Voorbeeld. Inderdaad: u1 = 1 OK!

u3 = 2u2 = 2 · 2 = 4 OK!

u2 = 2u1 = 2 · 1 = 2 OK!

u4 = 2u3 = 2 · 4 = 8 OK! enzovoort

(3) Expliciet voorschrift Je geeft een formule voor de algemene term van de rij je waarmee je meteen een willekeurige term kan berekenen (zonder dat je eerst de vorige termen moet uitrekenen).

Voorbeeld. De rij (un ) = 1, 2, 4, 8, 16, . . . heeft als expliciet voorschrift un = 2n−1 .

Voorbeeld. Inderdaad: u1 = 21−1 = 20 = 1 OK! u2 = 22−1 = 21 = 2 OK!

u3 = 23−1 = 22 = 4 OK! u4 = 24−1 = 23 = 8 OK! enzovoort

3 Voorbeeld. Hieronder staan enkele rijen gegeven door opsomming. Bepaal telkens een recursief voorschrift en (indien haalbaar) ook een expliciet voorschrift. Controleer nadien met behulp van je grafische rekenmachine. (an ) = 7, 8, 9, 10, 11, . . .

(cn ) = 2, 6, 12, 20, 30, . . . √ √ √ (dn ) = 0, 2, 0, 2, 0, 2, . . .

(bn ) = −1, 1, −1, 1, −1, . . .

Oplossing. ® recursief: (an )

®

a1 = 7 an = an−1 + 1

recursief: (cn )

voor n > 1

recursief: (bn )

®

b1 = −1 bn = −bn−1

voor n > 1

expliciet: cn = n2 + n (soms haalbaar)

expliciet: an = 6 + n ®

c1 = 2 cn = cn−1 + 2n

recursief: (dn )

voor n > 1

d1 = 0 √ dn = 2 − dn−1

√ n

expliciet: bn = (−1)

expliciet: dn =

voor n > 1

√ 2 + (−1)n 2 (soms haalbaar) 2

Controle met behulp van de grafische rekenmachine.

MODE

Y=

2ND

IV-3

7

(

X,T,Θ,n etc.

3 Enkele bijzondere rijen (vervolg). Vul de volgende tabel aan. Berekeningen maak je op een kladblad. beschrijving in woorden

rij door opsomming

® rij van de driehoeksgetallen

rij van Fibonacci

5

expliciet

recursief voorschrift

voorschrift

u1 = 1

(un ) = 1, 3, 6, 10, 15, . . .

(un )

un =

(fn ) = 1, 1, 2, 3, 5, 8, . . .

   f1 = 1 (fn ) f2 = 1   fn = fn−1 + fn−2 voor n > 2

un = un−1 + n voor n > 1

n(n + 1) 2

zie later 6

3 Opmerking. We hebben de drie voorstellingswijzen geordend van zwak naar sterk.

(1) Opsomming is eerder zwak: als je het patroon niet ziet, dan kun je de volgende termen niet weten. Ken jij de zesde term van de volgende rij? (un ) = 1, 4, 6, 14, 26, . . .

(2) Recursief voorschrift is eerder matig: je kan termen berekenen, maar om bijvoorbeeld de honderdste term te kennen moet jij (of je rekenmachine) eerst de negenennegentig vorige termen berekenen. En dat kan wel een tijdje duren! Ken jij de honderdste term van de rij (un )? En de duizendste?    u1 = 1 (un ) u2 = 4   un = un−1 + 2un−2 voor n > 2.

Oplossing. We vinden u3 = u2 + 2u1 = 4 + 2 · 1 = 6 en u4 = u3 + 2u2 = 6 + 2 · 4 = 14 enzovoort, zodat (un ) = 1, 4, 6, 14, 26, 54, . . .

Nu is u100 = u99 + 2u98 dus om de 100e term te kennen, moet je eerst de 99e en de 98e term kennen. Om die te berekenen, moet je dan weer eerst de 97e en de 96e term kennen enzovoort.

Met gebruik van de grafische rekenmachine.

2ND

Y=

TABLE

2ND

QUIT

2ND

7

( etc.

(3) Expliciet voorschrift is sterk want je kan meteen elke term berekenen! Als je bijvoorbeeld weet dat een expliciet voorschrift van de rij (un ) gegeven wordt door 7 4 · (−1)n + 5 · 2n 6 dan kun je in een oogwenk de vorige vragen oplossen. . . zonder grafische rekenmachine!

Oplossing. un =

u6 =

4 · (−1)6 + 5 · 26 4 + 320 = = 54, 6 6

u100 =

4 + 5 · 2100 , 6

u1000 =

4 + 5 · 21000 .

6

5 Genaamd naar Leonardo van Pisa 1202 door de wiskundige François Édouard Anatole Lucas 1877. Leonardo van Pisa is beter bekend onder de naam Fibonacci, afgeleid van filius Bonacci wat zoveel betekent als zoon van Bonaccio. De rij van Fibonacci werd eerder ±1150. beschreven door de Indische wiskundige Acharya Hemachandra 6 Een expliciet voorschrift van de rij van Fibonacci bestaat, maar ligt niet voor de hand. Ze staat bekend als de formule van Binet, genoemd naar Jacques Binet die ze in 1843 beschreven heeft. Toch had Daniel Bernoulli de formule in 1728 al ontdekt. De formule van Binet komt aan bod in het vijfde jaar 6u en 8u wiskunde.

7 Leerlingen van het vijfde jaar 8u wiskunde leren hoe je uit het recursief voorschrift zelf dit expliciet voorschrift kan vinden.

IV-4

3 Modelvoorbeeld. Gegeven zijn de rijen (un ) en (vn ) waarbij hun expliciet voorschrift wordt gegeven door un = 2n2 + 5

en

vn = 3 · (1, 4)n .

(a) Geef de rijen (un ) en (vn ) door opsomming (telkens minstens vier termen). Laat je berekeningen zien! (b) Komt het getal 547 063 voor in de rij (un )? Zo ja, welk rangnummer heeft die term? Los algebraı̈sch op. (c) Vanaf welk rangnummer n is un kleiner dan vn ?

Oplossing. (a) We hebben: u1 = 2 · 12 + 5 = 7

v1 = 3 · (1, 4)1 = 4, 2

u2 = 2 · 22 + 5 = 13

v2 = 3 · (1, 4)2 = 5, 88

u3 = 2 · 32 + 5 = 23

v3 = 3 · (1, 4)3 = 8, 232

u4 = 2 · 42 + 5 = 37

v4 = 3 · (1, 4)4 = 11, 5248

u5 = 2 · 52 + 5 = 55

v5 = 3 · (1, 4)5 = 16, 13472

zodat (un ) = 7, 13, 23, 37, 55, . . . (b) Voor een rangnummer n is

en

(vn ) = 4, 2 ; 5, 88 ; 8, 232 ; 11, 5248 ; 16, 13472 ; . . .

un = 547 063 ⇔ 2n2 + 5 = 547 063 ⇔ 2n2 = 547 058 ⇔ n2 = 273 529 ⇔ n = 523

of

n = −523

⇔ n = 523

want n is een rangnummer dus n ∈ N0 .

Besluit: het getal 547 063 komt voor in de rij (un ) en die term heeft rangnummer 523.

In symbolen: u523 = 547 063.

(c) Deze vraag kunnen we oplossen met behulp van de grafische rekenmachine. Terloops kunnen we ons antwoord op vraag (b) controleren (vul aan). Met 2ND TABLE controleren we het antwoord op vraag (a). In die tabel merken we op dat de termen in de rij (un ) toenemen naarmate het rangnummer groter wordt.

Daarom zeggen we dat de rij (un ) een stijgende rij is. Analoog is ook (vn ) een stijgende rij. Verderop in de tabel vinden we het gevraagde rangnummer n.

Y=

2ND

QUIT

2ND

7

( etc.

Antwoord. Vanaf rangnummer n = 15 is un kleiner dan vn (vul aan).

IV-5

2ND

TABLE

4.2

Rekenkundige rijen

3 Op ontdekking. Gegeven is de rij (un ) = 7, 13, 19, 25, 31, . . .

Elke term is gelijk aan de vorige term plus een vast getal (namelijk 6). Daarom noemen we de rij (un ) een rekenkundige rij.8 Bij elke term is het verschil met z’n voorgaande term gelijk aan 6. Daarom noemen we 6 het verschil van deze rekenkundige rij, en schrijven dan v = 6.

De rij (un ) ontstaat door te starten met 7 (de beginterm a) waarbij we telkens 6 optellen (het verschil v). Door de sommen niet helemaal uit te rekenen, wordt het patroon zichtbaar (vul aan).

Opsomming (un ) = 7 , 7 + 6 , 7 + 2 · 6 , 7 + 3 · 6 , 7 + 4 · 6 , . . .

Elke term is dus gelijk aan de voorgaande term plus 6. Zo vinden we snel een recursief voorschrift (vul aan). ( u1 = 7 Recursief voorschrift (un ) un = un−1 + 6 voor n > 1 In de opsomming van de rekenkundige rij merken we een patroon op (vul aan): u1 = 7 + 0 · 6

u3 = 7 + 2 · 6

u2 = 7 + 1 · 6

u4 = 7 + 3 · 6

Op die manier vinden we een expliciet voorschrift (vul aan).

Expliciet voorschrift un = 7 + (n − 1) · 6 Th 2

3 Definitie. Een rekenkundige rij is een rij waarbij elke term gelijk is aan de vorige term plus een vast getal v.

Bij elke term is het verschil met z’n voorgaande term gelijk aan v. Daarom noemen we v het verschil van de rekenkundige rij.

3 Modelvoorbeeld 1. Ga na of de volgende rijen rekenkundig zijn of niet. Indien wel, geef dan het verschil v van de rekenkundige rij.

21 13 , 2, − , −15, . . .

2 2 (dn ) = 2, −5, 2, −5, 2, . . .

(an ) = 1, 4, 9, 16, 25, . . .

(cn ) = 19,

(bn ) = −10, −3, 4, 11, 18, . . .

Oplossing.

21 − 19 = −8, 5 2 13 c3 − c2 = − − 2 = −8, 5 enzovoort 2 rekenkundig met verschil v = −8, 5

rij (an ): a2 − a1 = 4 − 1 = 3

rij (cn ): c2 − c1 =

a3 − a2 = 9 − 4 6= 3 niet rekenkundig rij (bn ): b2 − b1 = −3 − (−10) = 7

Th 3

rij (dn ): d2 − d1 = −5 − 2 = −7

b3 − b2 = 4 − (−3) = 7 enzovoort

d3 − d2 = 2 − (−5) 6= −7

rekenkundig met verschil v = 7

niet rekenkundig

3 Eigenschap. Zij (un ) een rekenkundige rij. Dan kan ze als volgt worden voorgesteld.

(1) Opsomming (un ) = a, a + v, a + 2v, a + 3v, a + 4v, a + 5v, . . . ® u1 = a (2) Recursief voorschrift (un ) un = un−1 + v voor n > 1

waarbij a, v ∈ R

(3) Expliciet voorschrift un = a + (n − 1)v Bewijs van (3). Uit (1) volgt: (un ) = |{z} a , a + v , a + 2v , a + 3v , . . . | {z } | {z } | {z } u1

u2

u3

zodat un = a + (n − 1)v.

u4

8 De benaming rekenkundig is ontleend aan het feit dat elke term het rekenkundig gemiddelde is van zijn linker- en rechterterm. Zo is in dit voorbeeld de tweede term 13, en dat is het rekenkundig gemiddelde van de linkerterm 7 en de rechterterm 19. Inderdaad: 13 = 7+19 .

2

IV-6

3 Modelvoorbeeld 2. De hoeveelste term van de rekenkundige rij (un ) = 5, 14, . . . is 6458? Los algebraı̈sch op.

Oplossing. De rij (un ) is rekenkundig: 41 , . . . , 6458 32 , |{z} 23 , |{z} 14 , |{z} (un ) = |{z} 5 , |{z} |{z } , . . . u2

u1

u3

u4

u5

u?

Expliciet voorschrift: un = a + (n − 1)v = 5 + (n − 1) · 9 = 9n − 4.

Nu is un = 6458

⇔

9n − 4 = 6458

⇔

9n = 6462

⇔

n = 718.

Controle met behulp van de grafische rekenmachine: OK! 3 Modelvoorbeeld 3 (enkelvoudige intrest). Mieke heeft 5000 EUR gespaard. Met dat geld koopt ze bij de bank een kasbon met een rentevoet van 1, 5%. We spreken van enkelvoudige intrest omdat Mieke elk jaar 1, 5% van haar kapitaal van 5000 EUR krijgt. Hoeveel geld heeft ze in het totaal na 15 jaar?

Oplossing. Mieke krijgt elk jaar 1, 5% van 5000 EUR, dus 5000 ·

1, 5 = 75 EUR. 100

Op het einde van het 1e jaar: 5000 + 75 = 5075 EUR. Op het einde van het 2e jaar: 5075 + 75 = 5150 EUR. Op het einde van het 3e jaar: 5150 + 75 = 5225 EUR enzovoort.

Telkens plus 75 EUR dus rekenkundige rij: Voorbeeld van een kasbon.

(un ) = 5075, 5150, 5225, 5300, . . .

Expliciet voorschrift: un = 5075 + (n − 1) · 75.

Op het einde van het 15e jaar: u15 = 5075 + (15 − 1) · 75 = 6125 EUR.

3 Modelvoorbeeld 4. Bepaal drie opeenvolgende termen van een rekenkundige rij als hun som gelijk is aan 21 en hun product gelijk is aan 315.

Oplossing. We kunnen de drie opeenvolgende termen schrijven als x−v , x , x+v

voor zekere x, v ∈ R.

Wil er aan de voorwaarden voldaan zijn, dan moet ® x − v + x + x + v = 21,

(1)

(x − v) · x · (x + v) = 315. (2) Uit (1):

3x = 21

⇔

x = 7.

In (2):

(7 − v) · 7 · (7 + v) = 315

⇔

49 − v 2 = 45

⇔

v2 = 4

⇔

v = 2 of v = −2.

. 1e mogelijkheid: x = 7 en v = 2 Dan zijn de drie opeenvolgende termen 7 − 2 , 7 , 7 + 2 dus 5 , 7 , 9. . 2e mogelijkheid: x = 7 en v = −2 Dan zijn de drie opeenvolgende termen 7 − (−2) , 7 , 7 + (−2) dus 9 , 7 , 5.

IV-7

3 Op ontdekking. Gegeven is de rekenkundige rij (un ) = 7, 13, 19, 25, 31, . . .

Bereken eens de som van de termen tot en met een bepaald rangnummer: s1 = 7 s2 = 7 + 13 = 20 s3 = 7 + 13 + 19 = 39 s4 = 7 + 13 + 19 + 25 = 64 s5 = 7 + 13 + 19 + 25 + 31 = 95.

Om bijvoorbeeld s100 (de som van de eerste 100 termen) te berekenen, heb je heel veel werk. Daarom zou het handig zijn om een formule te hebben die ons meteen het antwoord geeft. We zullen die formule ontdekken met een voorbeeld. s5 = 7 + 13 + 19 + 25 + 31 s5 = 31 + 25 + 19 + 13 + 7 + 2s5 = 38 + 38 + 38 + 38 + 38 5 · 38 = 95. Die redenering kunnen we ook voor een ander rangnummer maken.

2 Zo vinden we meteen dat de som van de eerste 100 termen gelijk is aan (vul aan):

Zo vinden we meteen dat s5 =

s100

Th 4

100 7 + (7 + 99 · 6) 100(u1 + u100 ) = = 30 400. = 2 2

3 Eigenschap. Zij (un ) een rekenkundige rij en n ∈ N0 willekeurig. Dan is sn = u1 + u2 + u3 + · · · + un =

n(u1 + un ) 2

Bewijs. De rij (un ) is rekenkundig dus (un ) = |{z} a , a + v , a + 2v , a + 3v , . . . | {z } | {z } | {z } u1

u2

u3

voor zekere a, v ∈ R.

u4

Dan is sn

=

a

+

a+v

+

a + 2v

sn

=

a + (n − 1)v

+

a + (n − 2)v

+

2sn

=

2a + (n − 1)v

+

2a + (n − 1)v

+

+

···

+

a + (n − 1)v

a + (n − 3)v

+ ···

+

a

2a + (n − 1)v

+

+

2a + (n − 1)v

+

dus

2sn = n · 2a + (n − 1) · v =n·

(a) + a + (n − 1) · v {z } |{z} | u1

un

= n · (u1 + un )

zodat

sn =

n(u1 + un ) .

2

IV-8

···

3 Modelvoorbeeld 5. Bereken de som van de eerste twintig termen van de rij (un ) = 0, 5 ; 2 ; 3, 5 ; 5 ; . . .

Oplossing. De rij is rekenkundig met beginterm u1 = a = 0, 5 en verschil v = 1, 5 zodat 20 · (u1 + u20 ) 2

s20 =

u20 = a + (20 − 1) · v = 0, 5 + 19 · 1, 5 = 29 20 · (0, 5 + 29) 2

=

= 295.

3 Modelvoorbeeld 6. Kaatje en Joris zijn twee studenten. Voor een bepaald vak moeten ze elk een dik boek van 5000 bladzijden lezen. Kaatje studeert regelmatig en leest elke week 120 bladzijden. Joris houdt meer van uitgaan.

Hij leest de eerste week geen enkele bladzijde, de tweede week 8 bladzijden, de derde week 16 bladzijden, de vierde week 24 bladzijden enzovoort. (a) Hoeveel bladzijden heeft Kaatje in totaal na n weken gelezen? En Joris? (b) Na hoeveel weken heeft Kaatje het boek uit? En Joris? (c) Na hoeveel weken heeft Joris in totaal evenveel bladzijden gelezen als Kaatje?

Oplossing. (a-b) Kaatje:

120 |{z}

,

aant. blzn. in week 1

120 |{z}

,

aant. blzn. in week 2

120 |{z}

, . . . een constante rij.

120 |{z}

,

Het dikste boek ter wereld is Artamène ou le Grand Cyrus en werd rond 1650 geschreven door Georges en/of Madeleine de Scudéry. Het werk telt 13 095 pagina’s.

aant. blzn. in week 4

aant. blzn. in week 3

Totaal aantal bladzijden van n weken: 120 + 120 + · · · + 120 = 120n. {z } | n keer

Kaatje heeft het boek uit na n weken als

(a-b) Joris:

0 |{z} aant. blzn. in week 1

,

8 |{z} aant. blzn. in week 2

,

16 |{z} aant. blzn. in week 3

⇔

120n = 5000

⇔

n = 41, 66 . . .

24 |{z}

,

dus na 42 weken.

, . . . een rekenkundige rij met a = 0 en v = 8.

aant. blzn. in week 4

Totaal aantal bladzijden van n weken: sn =

n(0 + 8(n − 1)) n(u1 + un ) = = 4n2 − 4n.

2 2

Joris heeft het boek uit na n weken als ⇔

4n2 − 4n = 5000

⇔

⇔ ⇔

n2 − n − 1250 = 0 D = (−1)2 − 4 · 1 · (−1250) = 5001 √ 1 ± 5001 n= 2 n = 35, 85 . . .

of

n = −34, 85 . . .

(c) Na n weken heeft Joris evenveel bladzijden gelezen als Kaatje als en slechts als 120n = 4n2 − 4n

⇔

n2 − 31n = 0

⇔

n(n − 31) = 0

⇔

n=0

Dus na 31 weken heben ze evenveel bladzijden gelezen.

IV-9

of

n = 31.

dus na 36 weken.

3 Modelvoorbeeld 7. Schrijf de volgende som uit, en bereken het resultaat met een formule: 45 X

(3k − 8) = 3 · 20 − 8 + 3 · 21 − 8 + 3 · 22 − 8 + · · · + 3 · 45 − 8

k=20

=

+

52 |{z}

+

55 |{z}

58 |{z}

=

n(u1 + un ) 2

=

26(u1 + u26 ) 2

=

26(52 + 127) 2

+ ··· +

127 |{z}

rekenkundig

un

u3

u2

u1

met n = 45 − 20 + 1 = 26

= 2327.

3 Modelvoorbeeld 8 (som van de getallen 1 tot en met n). Bedenk een formule voor de som van de eerste n natuurlijke getallen (met n ∈ N0 ):

1 + 2 + 3 + ··· + n =

n(n + 1) 2

Bereken daarna zonder rekenmachine de som 1 + 2 + 3 + · · · + 100.9 Oplossing. We hebben n X

k =

k=1

1 |{z}

+

2 |{z}

+

3 |{z} u3

u2

u1

=

n(u1 + un ) 2

=

n(1 + n) 2

=

n(n + 1) .

2

+ ··· +

n |{z}

rekenkundig

un

Hieruit volgt dat 100 X

k = 1 + 2 + 3 + · · · + 100

k=1

=

n(n + 1) 2

=

100(100 + 1) 2

=

10 100 2

met n = 100

= 5050.

9 In 1787 verblufte een tienjarige knaap zijn leraar J.G. Büttner. Die had namelijk de jaarlijke gewoonte om zijn klas een half uur zoet te houden met de opdracht tel eens de getallen van 1 tot en met 100 op. Na enkele seconden gaf de leerling zijn schrijfbord af, met daarop één enkel getal: 5050. In een oogwenk had hij op eigen houtje een algemene formule bedacht. Zijn leraar herkende in de leerling een jong genie.

Hij gaf hem een wiskundeboek cadeau, en vroeg aan zijn assistent Martin Bartels om de jonge leerling bijlessen te geven. De tienjarige jongen groeide later uit tot één van de beste wiskundigen die de mensheid ooit gekend heeft: Carl Friedrich Gauss (1777-1855).

IV-10

4.3

Meetkundige rijen

3 Op ontdekking. Gegeven is de rij (un ) = 5, 10, 20, 40, 80, . . .

Elke term is gelijk aan de vorige term maal een vast getal (namelijk 2). Daarom noemen we de rij (un ) een meetkundige rij.10 Bij elke term is het quotiënt met z’n voorgaande term gelijk aan 2. Daarom noemen we 2 het quotiënt van deze meetkundige rij, en schrijven dan q = 2.

De rij (un ) ontstaat door te starten met 5 (de beginterm a) waarbij we telkens met 2 vermenigvuldigen (het quotiënt q). Door de vermenigvuldigingen niet volledig uit te rekenen, wordt het patroon zichtbaar (vul aan).

Opsomming (un ) = 5 , 5 · 2 , 5 · 22 , 5 · 23 , 5 · 24 , . . .

Elke term is dus gelijk aan de voorgaande term maal 2. Zo vinden we snel een recursief voorschrift (vul aan). ( u1 = 5 Recursief voorschrift (un ) un = un−1 · 2 voor n > 1 In de opsomming van de meetkundige rij merken we een patroon op (vul aan): u1 = 5 · 20

u3 = 5 · 22

u2 = 5 · 21

u4 = 5 · 23

Op die manier vinden we een expliciet voorschrift (vul aan).

Expliciet voorschrift un = 5 · 2n−1 Th 5

3 Definitie. Een meetkundige rij is een rij waarbij elke term gelijk is aan de vorige term maal een vast getal q.

Als alle termen verschillend zijn van nul, dan is bij elke term het quotiënt (of de verhouding) met z’n voorgaande term gelijk aan q. Daarom noemen we q het quotiënt (of de reden) van de meetkundige rij.11 3 Modelvoorbeeld 1. Ga na of de volgende rijen meetkundig zijn of niet. Indien wel, geef dan het quotiënt q van de meetkundige rij.

1 1 (an ) = 9, −3, 1, − , , . . .

3 9

(cn ) = 7, −7, 7, −7, 7, . . . √ √ 2 1 (dn ) = 2, 2, 1, , ,...

2 2

(bn ) = 1, 2, 6, 24, 120, . . .

Oplossing. a2 1 −3 =− = a1 9 3 1 a3 1 = − enzovoort = a2 −3 3 1 meetkundig met quotiënt q = − 3 b2 2 rij (bn ): = =2 b1 1 b3 6 = = 3 6= 2 b2 2

c2 −7 = −1 = c1 7 c3 7 = −1 enzovoort = c2 −7 meetkundig met quotiënt q = −1 √ d2 2 rij (dn ): = d1 2 √ d3 1 2 =√ = enzovoort d2 2 2 √ 2 niet meetkundig meetkundig met quotiënt q = 2 3 Eigenschap. Zij (un ) een meetkundige rij. Dan kan ze als volgt worden voorgesteld.12 rij (an ):

Th 6

rij (cn ):

(1) Opsomming (un ) = a, aq, aq 2 , aq 3 , aq 4 , aq 5 , . . . waarbij a, q ∈ R ® u1 = a (2) Recursief voorschrift (un ) un = un−1 · q voor n > 1 (3) Expliciet voorschrift un = aq n−1 Bewijs van (3). Uit (1) volgt: (un ) = |{z} a , aq , aq 2 , aq 4 , . . . |{z} |{z} |{z} u1

u2

u3

10 De

zodat un = aq n−1 .

u4

benaming meetkundig is ontleend aan het feit dat, indien alle termen van de rij positief zijn, elke term het zogenaamde meetkundig gemiddelde is van zijn linker- en rechterterm.

Zo is in dit voorbeeld de tweede term 10, terwijl het meetkundig gemiddelde van de linkerterm √ 5 en de rechterterm 20 gelijk is aan 5 · 20 = 10.

11 Het woord reden is een synoniem van het woord verhouding. Men kan eenvoudig aantonen dat een rij zowel rekenkundig als meetkundig is als en slechts als die rij een constante rij is: (un ) = a, a, a, a, . . . met a ∈ R. 12 Het expliciet voorschrift u = aq n−1 mag niet gebruikt worden als q = 0 en n = 1. n

IV-11

3 Modelvoorbeeld 2 (vouw-probleem).13 Een beddelaken is 0, 4 mm dik. (a) Als je het laken dubbel vouwt, hoe dik is het dan? En als je het twee keer, drie keer of vier keer dubbel vouwt? (b) Mocht het beddelaken groot genoeg zijn, hoeveel keer moet je het dan dubbel vouwen om tot de maan te reiken? De gemiddelde afstand aardemaan bedraagt 384 400 km.

Oplossing. (a) Na 1 keer vouwen: dikte 0, 4 · 2 = 0, 8 mm, na 2 keer: 0, 4 · 22 = 1, 6 mm.

Na 3 keer vouwen: dikte 0, 4 · 23 = 3, 2 mm, na 4 keer: 0, 4 · 24 = 6, 4 mm. (b) Na n keer vouwen: dikte 0, 4 · 2n mm.

Na n keer vouwen tot of voorbij maan als 0, 4 · 2n ≥ 384 400 000 000 mm.

Met behulp van de grafische rekenmachine: na n ≥ 40 keer vouwen.

Britney Crystal Gallivan (◦ 1985) vouwt een laken elf keer dubbel.

3 Modelvoorbeeld 3. Bepaal drie opeenvolgende termen van een meetkundige rij waarvan het product gelijk is aan 1000 en de kleinste term gelijk is aan 2.

Oplossing. We kunnen de drie opeenvolgende termen van klein naar groot schrijven als x , x , x·q voor zekere x, q ∈ R met q 6= 0. q Wil er aan de voorwaarden voldaan zijn, dan moet  x  (1)  q =2   x · x · x · q = 1000 (2) q Uit (2):

x3 = 1000

In (1):

10 =2 q

⇔

⇔

x = 10.

q = 5.

De opeenvolgende termen van de meetkundige rij zijn dus 2, 5, 10 of 10, 5, 2.

3 Modelvoorbeeld 4 (samengestelde intrest). Mieke heeft opnieuw 5000 EUR gespaard. Deze keer plaatst ze dat geld op een spaarrekening. De bank belooft haar een rentevoet van 1, 5%. Dus elk jaar zal de bank 1, 5% van het saldo dat ze het jaar voordien had op de rekening storten. De intrest zal Mieke op haar spaarrekening laten staan, zodat die intrest het jaar nadien op zijn beurt ook weer intrest oplevert. Daarom spreken we van samengestelde intrest.

Hoeveel geld staat na 15 jaar op de spaarrekening van Mieke? En na 100 jaar?

Oplossing. Op het einde van het 1e jaar: 5000 + 1, 5% van 5000 = 5000 + 5000 ·

1, 5 100

Bij samengestelde intrest groeit kapitaal exponentiëel aan. Is dit plaatje correct?

= 5000 + 5000 · 0, 015 = 5000(1 + 0, 015) = 5000 · 1, 015 = 5075 EUR Op het einde van het 2e jaar: 5000 · 1, 0152 = 5151, 125 EUR. Telkens maal 1, 015 dus meetkundige rij: (un ) = 5075 ; 5151, 125 ; 5228, 39 . . . ; 5306, 81 . . . ; 5386, 42 . . . ; . . .

Op het einde van het 15e jaar: 5000 · 1, 01515 ≈ 6251, 16 EUR. Op het einde van het 100e jaar: 5000 · 1, 015100 ≈ 22 160, 23 EUR. 13 Men heeft lang gedacht dat je een stuk papier of een laken, ongeacht zijn grootte, maximaal zeven of acht keer dubbel kunt vouwen.

In 2002 echter verbaasde de 17-jarige Gallivan de wereld door een vel papier maar liefst twaalf keer dubbel te vouwen. Het jaar voordien had ze een formule gevonden voor de minimale lengte die een laken of papier moet hebben om het n keer in dezelfde richting dubbel te (2n +4)(2n −1) vouwen: L(n) = πd waarbij d staat voor de dikte van het laken of het papier [112]. Willen we een beddelaken van 0, 4 mm 6 dubbel vouwen tot de maan, dan moet het laken L(40) ≈ 2, 5 · 1017 km lang zijn, goed voor de afstand die het licht in zo’n 26 763 jaar aflegt, ongeveer een vierde van de diameter van ons zonnestelsel. Als je het wereldrecord van Gallivan wil verbreken, hoe lang moet je strook papier met dikte 0, 1mm dan zijn?

IV-12

3 Op ontdekking. Gegeven is de meetkundige rij (un ) = 1, 7, 49, 343, 2401, . . .

Bereken eens de som van de termen tot en met een bepaald rangnummer: s1 = 1 s2 = 1 + 7 = 8 s3 = 1 + 7 + 49 = 57 s4 = 1 + 7 + 49 + 343 = 400 s5 = 1 + 7 + 49 + 343 + 2401 = 2801.

Om bijvoorbeeld s10 (de som van de eerste 10 termen) te berekenen, heb je veel werk. Daarom zou het handig zijn om een formule te hebben die ons meteen het antwoord geeft. We zullen die formule ontdekken met een voorbeeld. s5 7s5

= =

1

s5 − 7s5

=

1

−

+ +

7 + 72 7 + 72

+ +

73 73

+ +

74 74

+

0

+

0

+

0

− 75

+

0

75

1 − 75 = 2801. Die redenering kunnen we ook voor een 1−7 ander rangnummer maken. Zo vinden we meteen dat de som van de eerste 10 termen gelijk is aan (vul aan):

Dus s5 (1 − 7) = 1 − 75 . Zo vinden we meteen dat s5 =

s10 =

Th 7

1 − 710 = 47 079 208.

1−7

3 Eigenschap. Zij (un ) een meetkundige rij en n ∈ N0 willekeurig. Als het quotiënt q 6= 1 dan is sn = u1 + u2 + u3 + · · · + un = u1

1 − qn 1−q

Bewijs. De rij (un ) is meetkundig dus (un ) = |{z} a , aq , aq 2 , aq 3 , . . . |{z} |{z} |{z} u1

voor zekere a, q ∈ R.

u4

u3

u2

Dan is sn

= a

qsn

=

+ aq

+ aq 2

+

···

+

aq n−1

aq

+ aq 2

+

···

+

aq n−1

+

aq n

0

+

+

···

+

0

−

aq n

− sn − qsn

dus

= a

+

0

sn (1 − q) = a − aq n = u1 − u1 q n = u1 (1 − q n ).

We delen beide leden door 1 − q. Dat mag want q 6= 1 (zie gegeven).

We vinden sn =

u1 (1 − q n ) 1−q

= u1 ·

1 − qn .

1−q

IV-13

3 Modelvoorbeeld 5. Bereken de som van de eerste tien termen van de rij (un ) = −2, 4, −8, 16, −32, . . .

Oplossing. De rij is meetkundig met beginterm u1 = a = −2 en quotiënt q = −2 zodat s10 = u1 ·

1 − q 10 1−q

= −2 ·

1 − (−2)10 1 − (−2)

= −2 ·

1 − 1024 3

= 682.

3 Modelvoorbeeld 6. Schrijf de volgende som uit en bereken het resultaat met een formule: 6 X

2−k = 2−0 + 2−1 + 2−2 + 2−3 + 2−4 + 2−5 + 2−6

k=0

1 1 1 1 1 1 + + + + + 2 4 8 16 32 64

= 1+ = u1 · = 1·

1 − qn 1−q

met u1 = 1, q =

meetkundig

1 en n = 7 2

1 − (0, 5)7 1 − 0, 5

= 1, 984 375 =

127 .

64

3 Modelvoorbeeld 7. Beschouw de meetkundige rij (un ) = 0, 9 ; 0, 09 ; . . . (a) Geef de som van de eerste tien termen van de rij (un ). Controleer je antwoord met behulp van de formule. (b) Bereken met behulp van je rekenmachine de som van de eerste elf termen. Wat merk je op? (c) Beschouw nu de zogenaamde rij van de partieelsommen (sn ) = s1 , s2 , s3 , . . .

Naar welk getal evolueert deze rij? Kun je dit aantonen?

Oplossing. De rij is meetkundig met u1 = a = 0, 9 en q =

1 = 0, 1.

10

(a) We vinden s10 = 0, 9 + 0, 09 + 0, 009 + · · · + 0, 000 000 000 9 = 0, 999 999 999 9.

Controle met behulp van de formule: s10 = u1 ·

1 − qn 1 − (0, 1)10 = 0, 9 · = 1 − (0, 1)10 = 0, 999 999 999 9 1−q 1 − 0, 1

OK!

(b) We vinden s11 = 1−(0, 1)11 = 0, 999 999 999 99 6= 1 dus de grafische rekenmachine maakt een afrondingsfout! (c) De rij van de partieelsommen is (sn ) = 0, 9 ; 0, 99 ; 0, 999 ; . . .

Deze rij evolueert naar 1 want 0, 999 . . . = 1.

Inderdaad:

0, 999 . . . = 3 · 0, 333 . . .

1 =3· 3 = 1.

IV-14