Wiskunde Aan zet een cursus wiskunde voor studierichtingen met vijf wekelijkse lestijden wiskunde vierde jaar algemeen secundair onderwijs geschreven door
Koen De Naeghel Hoofdstuk 5 Goniometrie
29/05/2018
CREATIVE COMMONS Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 (CC BY-NC-SA) Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie. De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode De gebruiker mag: het werk kopiëren, verspreiden en doorgeven Remixen - afgeleide werken maken
Onder de volgende voorwaarden: Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam te vermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik van het werk). Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerciële doeleinden gebruiken. Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfde licentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid.
Met inachtneming van: Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden met voorafgaande toestemming van de rechthebbende. Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijke wetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze beı̈nvloed door de licentie. Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht: • Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet. • De morele rechten van de auteur. • De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals het portretrecht of het recht op privacy. Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aan . derden door middel van een link naar http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/
Eerste druk: 2016 Versie: 29 mei 2018 Gepubliceerd door: Online publicatie platform Issuu.com Omslagfoto: http://nl.123rf.com/ Tekstzetsysteem: LATEX Royalty percentage: 0% c Koen De Naeghel, gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 i
Hoofdstuk 5
Goniometrie 5.1
Scherpe hoeken en hun goniometrische getallen (herhaling)
In deze eerste paragraaf herhalen we leerstof die je in het derde jaar gezien hebt. 3 Notaties. Beschouw drie verschillende punten A, B en C die niet collineair zijn: niet op één rechte lijn. (1) De notatie ∆ABC betekent: driehoek met hoekpunten A, B en C.
C
(2) De ∆ABC heeft drie zijden. De lengte van de zijde tegenover het hoekpunt A noteren we met a. Idem voor de andere hoekpunten. In symbolen: a = |BC|
en
b = |CA|
en
γ
c = |AB| .
b B “ en C. “ Die zullen we met (3) De ∆ABC heeft drie binnenboeken: A, de Griekse letters α, β en γ noteren (lees als alpha, beta en gamma). In symbolen: b en β = B “ en γ = C. “ α=A
a
b α A
β c
B
(4) In ∆ABC kun je een binnenhoek meten in (boog)graden. Dat kan door middel van een gradenboog, waarbij 1 graad staat voor een 360ste deel van een volledige cirkel.1 Voorbeeld. In de figuur hieronder is α = 125◦ . Meet nu zelf de hoeken β en γ. Waaraan is α + β + γ gelijk?
C
A
B
(5) Een graad wordt verder onderverdeeld in 60 (boog)minuten, die elk 60 (boog)seconden hebben. Meet α bijvoorbeeld 13 graden, 49 minuten en 13 seconden, dan schrijven we dat als α = 13◦ 490 1300 waarmee we bedoelen: 13 graden plus 49 zestigsten van een graad plus 13 zestigsten van een zestigste van een graad. Samengevat: Å ã 49 13 ◦ ◦ α = 13◦ 490 1300 = 13 + + = (13, 8202777 . . .) . 60 3600 1 Men is niet zeker waarom de astronomen uit de Oudheid de volledige cirkel nu net in 360 stukken verdeeld hebben. Eén theorie geeft als reden dat 360 ongeveer overeenkomt met het aantal dagen in een jaar (dat was bijvoorbeeld zo bij de Persische kalender), zodat de zon op zijn schijnbare jaarlijkse baan ten opzichte van de sterren aan de hemelbol ongeveer 1 graad per dag opschuift. Anderzijds gebruikten de Babyloniërs een talstelsel gebaseerd op het getal 60. Ze verdeelden de drie gelijke hoeken van een gelijkzijdige driehoek in 60 eenheden (graden), wat het logisch maakt dat elke graad verder werd opgedeeld in 60 kleinere eenheden (minuten) die op hun beurt werden onderverdeeld in 60 nog kleinere eenheden (seconden).
V-1
Gebruik van de grafische rekenmachine. Omdat we de grootte van hoeken uitdrukken in graden, moet de grafische rekenmachine in DEGREE staan, de Engelse term voor booggraad. Dat doe je via MODE. >
>
>
MODE
ENTER
2ND
QUIT
Om een hoek in graden, minuten en seconden in te voeren, maak je gebruik van 2ND ANGLE (graden en minuten) en ALPHA + (seconden). Tik je op enter, dan verkrijg je het resultaat enkel in graden (kommagetal). Terug omzetten naar graden, minuten en seconden doe je met 2ND ANGLE 4:IDMS. 1
3
2ND
ANGLE
ENTER
4
9
2ND
ANGLE
>
ENTER
1
3
4
ENTER
2ND
ALPHA
ANS
+
ENTER
2ND
ANGLE
V-2
Is in een ∆ABC de binnenhoek α een rechte hoek, dan geldt de volgende betrekking tussen de zijden: a2 = b2 + c2 . Ook het omgekeerde is waar: als in een ∆ABC geldt dat a2 = b2 + c2 , dan is de binnenboek α een rechte hoek. Dit resultaat noemen we de 3 Stelling van Pythagoras.2 In elke driehoek met hoekpunten A, B en C geldt: ∆ABC is rechthoekig in A
a2 = b2 + c2
⇔
C
a
b ? c
A
B
De stelling van Pythagoras kun je ook formuleren voor de hoeken B en C (zelf). Voorbeeld. Drie stokken hebben een lengte van 30 cm, 40 cm en 50 cm. Als je met die stokken een driehoek maakt, is die driehoek dan rechthoekig?
Standbeeld van Pythagoras in de stad Pythagorio op het eiland Samos (Griekenland).
3 Definitie (goniometrische getallen van scherpe hoeken). Gegeven is een ∆ABC die rechthoekig is in A. Dan zijn de goniometrische getallen sinus, cosinus en tangens van β gelijk aan:
C
cos β =
aanliggende rechthoekszijde c = schuine zijde a
b
tan β =
overstaande rechthoekszijde b = aanliggende rechthoekszijde c
A
a |
overstaande rechthoekszijde b = schuine zijde a
β
|
sin β =
c
B
3 Gevolg (grondformule van de goniometrie voor scherpe hoeken). Gegeven is een ∆ABC die rechthoekig is in A. Wegens de stelling van Pythagoras is: Å ã2 2 c b2 c2 b 2 2 2 + =1 b +c =a ⇒ + 2 =1 ⇒ a2 a a a ⇒
(sin β)2 + (cos β)2 = 1
⇒
sin2 β + cos2 β = 1
Wil je de sinus, cosinus en tangens van een scherpe hoek (tussen 0◦ en 90◦ ) bepalen, dan kun je als volgt te werk gaan. (1) Teken een rechthoekige driehoek zodat één van de binnenhoeken je hoek is (dat kan omdat je hoek scherp is). (2) Meet de zijden van de driehoek en pas de formules toe. 3 Modelvoorbeeld 1 (goniometrische getallen van enkele veelvoorkomende scherpe hoeken). Bepaal algebraı̈sch de exacte waarden van de sinus, cosinus en tangens van 30◦ , 45◦ en 60◦ . Schrijf ze nadien in de onderstaande tabel. Controleer met behulp van je grafische rekenmachine. α
30◦
45◦
60◦
sin α cos α tan α
2 Toegeschreven aan Pythagoras van Samos Oude Egypte.
(±570 v.Chr. - ±495 v. Chr.), doch al eerder toegepast in Soemerië, Babylonië en het
V-3
Oplossing. (a) Teken een rechthoekige driehoek zodat één van de binnenhoeken gelijk is aan 45◦ . Dan meten de andere binnenhoeken 90◦ en 45◦ (waarom?). Dus de rechthoekige driehoek is ook gelijkbenig. We kiezen ervoor om de lengte van de rechthoekszijden gelijk te stellen aan 1. Bereken nu de lengte van de schuine zijde en pas de definitie van sinus, cosinus en tangens toe.
(b) Teken een rechthoekige driehoek zodat één van de binnenhoeken gelijk is aan 30◦ . Dan meten de andere binnenhoeken 90◦ en 60◦ . Deze keer stellen we de lengte van de schuine zijde gelijk aan 1. Spiegel de driehoek om de grootste rechthoekszijde om zo de lengte van de kleinste rechthoekszijde te vinden. Bereken nu de lengte van de grootste rechthoekszijde en pas de definitie van sinus, cosinus en tangens toe.
Controle met behulp van de grafische rekenmachine. Omdat we de grootte van hoeken uitdrukken in graden, moet de grafische rekenmachine in DEGREE staan. Dat controleer je met MODE. Daarna kun je de sinus, cosinus en tangens van hoeken berekenen. Merk op dat je rekenmachine altijd een√ decimale voorstelling geeft (vaak afgerond zoals 0, 7071067812), en meestal niet de exacte waarde kent (zoals 2/2). Je kan je rekenmachine dus niet gebruiken om de voorgaande tabel te vinden, maar enkel om die tabel te ontroleren. MODE
2ND
QUIT
SIN etc.
V-4
3 Modelvoorbeeld 2. Van een scherpe hoek is telkens een goniometrisch getal gegeven. Bepaal met behulp van je grafische rekenmachine de hoek in graden, minuten en seconden. Rond af op 1 seconde nauwkeurig. 1 2 (b) tan β = 541 (a) sin α =
(c) cos γ = 1, 2 Oplossing. (a) Belangrijk is dat de rekenmachine nog steeds in DEGREE staat. Dat kun je vooraf controleren met MODE. Om een hoek α te vinden waarvan de sinus gelijk is aan 0, 5 maken we gebruik van het comando SIN−1 . Nadien kun je controleren dat de sinus van je gevonden hoek α wel degelijk gelijk is aan 0, 5. MODE
2ND
QUIT
2ND
SIN
Antwoord. α = . . . (b) Omzetten van een kommagetal in graden naar graden, minuten en seconden doe je met 2ND ANGLE 4:IDMS. 2ND
TAN etc.
2ND
ANGLE
4
ENTER
Antwoord. β ≈ . . . Hoe kon je vooraf weten dat je scherpe hoek β bijna gelijk is aan 90◦ ?
(c) γ = . . . Hoe kon je vooraf weten dat er geen scherpe hoek γ bestaat waarvoor cos γ > 1?
V-5
ENTER
5.2
Willekeurige hoeken en hun goniometrische getallen
Tot nu toe hebben we enkel over de sinus, cosinus en tangens van een scherpe hoek gesproken (tussen 0◦ en 90◦ ). Om ook betekenis te hechten aan bijvoorbeeld sin 170◦ , cos(−305◦ ) en tan 541◦ moeten we eerst afspreken hoe we hoeken kunnen oriënteren. b vastgelegd door de twee halfrechten 3 Georiënteerde hoek. Beschouw een ∆ABC. Dan wordt de (binnen)hoek A b [AB en [AC, zie linkerfiguur hieronder. Die halfrechten noemen we de benen van de hoek A. b de halfrechte [AB als beginbeen nemen en de halfrechte [AC als eindbeen zien, dan hebben Als we bij deze hoek A b (middelste figuur). We duiden de oriëntatie aan door een we een georiënteerde hoek die we noteren met B AC pijltje te tekenen van het beginbeen naar het eindbeen. Om zo’n pijl te tekenen, heb je heel wat mogelijkheden. b Het gaat telkens om dezelfde georiënteerde hoek B AC. b de halfrechte [AC als beginbeen en de halfrechte [AB als eindbeen, Omgekeerd, beschouwen we bij de hoek A b (rechterfiguur). Die zullen we de tegengestelde van dan hebben we een andere georiënteerde hoek, namelijk C AB b b b B AC noemen, en we schrijven C AB = −B AC.
[AC
C
A
b A b de hoek A
C b B AC
B
[AB
A
b B AC
C
A B
b = −B AC b C AB B
b de georiënteerde hoek B AC
b de georiënteerde hoek C AB
Een georiënteerde hoek wordt vaak aangeduid met een Griekse letter, zoals α, β en γ. Het pijltje op de figuur moet dan duidelijk maken wat het beginbeen en het eindbeen van de georiënteerde hoek is. In het vervolg van dit hoofdstuk zijn alle hoeken georiënteerd. Dat merk je aan de pijltjes op de tekeningen. Daarom is het gebruikelijk om de benaming georiënteerde hoek af te korten tot hoek. 3 Voorstellen van hoeken op de goniometrische cirkel. Is α een (georiënteerde) hoek, dan kunnen we ze verschuiven en draaien zodat het beginbeen samenvalt met de positieve x-as (zie figuur). Nu tekenen we de cirkel met middelpunt de oorsprong en straal 1. Deze cirkel noemen we de goniometrische cirkel. Ze snijdt het nieuwe eindbeen van de hoek α in een punt. Dat punt noemen we het beeldpunt van de hoek α, die we noteren met Eα .
y
II
I
1
Eα
α 1
x
α
III
IV
3 Kwadranten. De x-as en de y-as verdelen het vlak in vier gebieden, die we kwadranten noemen. We zullen ze met een Romeins cijfer aanduiden, tegen de wijzers van de klok in, zoals aangeduid op de figuur hierboven: I is het eerste kwadrant, II is het tweede kwadrant, III is het derde kwadrant en IV is het vierde kwadrant. Zo ligt bijvoorbeeld het punt Eα op de figuur in het eerste kwadrant. We zeggen dan dat de hoek α in het eerste kwadrant ligt, in symbolen: α ∈ I. Bij afspraak ligt een punt op de x-as of op de y-as in geen enkel kwadrant. V-6
3 Waarden van een hoek. Zij α een hoek die voorgesteld is op de goniometrische cirkel (linkerfiguur). We duiden het beeldpunt van α aan. We duiden ook het beeldpunt van de nulhoek b 0 aan.
y
y
1
1
Eα
Eα
α
P
α Eb0
x
Eb0
x
Om de hoek α in graden te meten gaan we als volgt te werk (rechterfiguur). (1) Beschouw een denkbeeldig punt P dat op de cirkel van Eb0 naar Eα beweegt. Zo ontstaat een cirkelboog. (2) Meet die cirkelboog in graden. (3) Schrijf voor dat getal in graden: een plusteken als het punt P in tegenwijzerzin beweegt, en een minteken als het punt P in wijzerzin beweegt. Het getal in graden, voorzien van het plus- of minteken, noemen we een hoekwaarde (in graden) van α. 3 Voorbeeld. Beschouw de onderstaande hoek α. Geef telkens de hoekwaarde die hoort bij de aangeduide boog.
y
y
y
Eα
Eα
Eα
α
α Eb0
α
x
Eb0
x
Eb0
x
de boog is . . .
de boog is . . .
de boog is . . .
een hoekwaarde van α is . . .
een hoekwaarde van α is . . .
een hoekwaarde van α is . . .
De hoek α heeft dus oneindig veel hoekwaarden. In dit voorbeeld worden alle hoekwaarden gegeven door de rij 90◦
,
90◦ + 360◦
,
90◦ − 360◦
,
90◦ + 2 · 360◦
,
90◦ − 2 · 360◦
,
...
Krijgen we één term van die rij, dan weten we meteen over welke hoek het gaat. Daarom schrijven we α = 90◦
of
α = 450◦
of
α = −270◦
etc.
3 Bijzondere hoekwaarden in graden. Elke hoek α heeft oneindig veel hoekwaarden in graden. (1) Er is precies één hoekwaarde die behoort tot ]−180◦ , 180◦ ]. Die noemen we de hoofdwaarde van α. (2) Er is precies één hoekwaarde die behoort tot [0◦ , 360◦ [. Die noemen we de kleinst positieve waarde van α. V-7
3 Op ontdekking. Zij α een scherpe hoek die voorgesteld is op de goniometrische cirkel (zie figuren). (a) Duid het beeldpunt van α aan. Schrijf de coördinaten van Eα als (x, y). (b) Teken in de linkerfiguur een rechthoekige driehoek zodat één van de binnenhoeken gelijk is aan α. Neem de meest logische keuze! (c) Bereken de sinus, cosinus en tangens van α. Wat merk je op? (d) Teken in de rechterfiguur de rechte met vergelijking x = 1. Gebruik die rechte om een nieuwe rechthoekige driehoek te tekenen zodat één van de binnenhoeken gelijk is aan α. (e) Bereken nu opnieuw de tangens van α. Wat merk je op?
y
y
1
1
α
α 1
x
1
x
Dit inspireert ons om af te spreken wat de sinus, cosinus en tangens van bijvoorbeeld een stompe hoek is, en hoe we die getallen van de goniometrische cirkel kunnen aflezen. Verder geven we ook het omgekeerde van tangens, cosinus en sinus een naam: cotangens, secans en cosecans. Th 1
3 Definitie (goniometrische getallen van willekeurige hoeken). Gegeven is een hoek α die voorgesteld is op de goniometrische cirkel (zie figuur). We duiden het beeldpunt van α aan. De sinus, cosinus en tangens van α zijn gelijk aan:
y
sin α = de y-coördinaat van het beeldpunt Eα
1
cos α = de x-coördinaat van het beeldpunt Eα tan α =
sin α cos α
Eα
sin α
als cos α 6= 0
α De cotangens, secans en cosecans van α zijn gelijk aan:
cos α cot α =
1 tan α
als tan α 6= 0
sec α =
1 cos α
als cos α 6= 0
cosec α =
1 sin α
als sin α 6= 0
1
x
De sinus, cosinus, tangens, secans, cosecans en cotangens van α noemen we de goniometrische getallen van α. 3 Opmerking. Als α een hoek is, dan worden de coördinaten van het beeldpunt Eα gegeven door co Eα = (cos α, sin α). Als α 6= ±90◦ dan kun je de tangens van α steeds aflezen op de rechte x = 1. Inderdaad, de vergelijking van de rechte OEα wordt gegeven door y = (tan α) · x en die snijdt de rechte x = 1 in het punt P (1, tan α). Ook de cotangens, secans en cosecans kun je op een bepaalde manier aflezen (zie vijfde jaar 6u-8u). V-8
3 Gevolg. Hieronder staat hoe de sinus, cosinus en tangens in elk kwadrant moet afgelezen worden (vul aan). Eerste geval: α ∈ I
y
y
y
1
1
1
α
α 1 x
α 1 x
1 x
Tweede geval: α ∈ II
y
y
y
1
1
1
α
α 1 x
α 1 x
1 x
Derde geval: α ∈ III
y
y
y
1
1
1
α
1 x
α
1 x
α
1 x
Vierde geval: α ∈ IV
y
y
y
1
1
1
α
1 x
α
V-9
1 x
α
1 x
3 Modelvoorbeeld 1. Teken een goniometrische cirkel waarop je telkens het gevraagde aanduid. (a) Het beeldpunt van de hoek α = 200◦ . 3 . 4 (c) De hoek ϕ (lees als: phi) waarbij tan ϕ = 2 en ϕ ∈ III. 1 (d) De hoek γ met sin γ = en −270◦ < γ < −180◦ . 2
(b) De hoek β in het vierde kwadrant waarvoor cos β =
Oplossing.
3 Modelvoorbeeld 2. Van een hoek α is bekend dat sin α = −0, 452. (a) Teken een goniometrische cirkel waarop je zo’n hoek α voorstelt. (b) Hoeveel mogelijkheden zijn er voor de hoek α? (c) Bereken voor elke mogelijkheid een hoekwaarde. Maak gebruik van je grafische rekenmachine. Rond af op 1 seconde nauwkeurig. Oplossing.
V-10
5.3
Elementaire eigenschappen en grondformule van de goniometrie
De volgende belangrijke eigenschappen volgen meteen uit de definitie van de sinus, cosinus en tangens van willekeurige hoeken. Maak telkens gebruik van de goniometrische cirkel om die eigenschappen aan te vullen en te onthouden. Th 2
3 Tekentabel van sinus, cosinus en tangens. Vul de tekens van de goniometrische getallen aan. α
I
II
III
IV
sin α cos α tan α Th 3
3 Bereik van sinus en cosinus. Zij α een willekeurige hoek. Dan geldt (vul aan): . . . ≤ sin α ≤ . . .
Th 4
. . . ≤ cos α ≤ . . .
en
3 Goniometrische getallen van enkele veelvoorkomende hoeken. Vul de goniometrische getallen aan. α
0◦
30◦
45◦
60◦
90◦
180◦
270◦
sin α
cos α
tan α
De grondformule van de goniometrie voor scherpe hoeken kan nu ook worden uitgebreid voor willekeurige hoeken. Th 5
3 Grondformule van de goniometrie. Zij α een willeurige hoek. Dan geldt: sin2 α + cos2 α = 1 Bewijs.
Een vergelijking van goniometrische getallen van α die opgaat voor elke keuze van de hoek α (waarvoor de vergelijking zin heeft) noemen we een goniometrische identiteit. De grondformule van de goniometrie is dus een voorbeeld van een goniometrische identiteit. Je kan zo’n identiteit met je grafische rekenmachine controleren door er een willekeurige hoekwaarde van α in te vullen (voer uit).
V-11
3 Modelvoorbeeld 1. Van een hoek α in het tweede kwadrant weten we dat sin α =
1 . 3
(a) Stel de hoek α voor in de goniometrische cirkel. (b) Bereken cos α en tan α zonder eerst een hoekwaarde van α te bepalen. Exacte waarden geven! (c) Bepaal met je grafische rekenmachine een hoekwaarde van α. Controleer nadien je antwoord op vraag (b). Oplossing.
Als we beide leden van de grondformule delen door sin2 α dan verkrijgen we een andere goniometrische identiteit. Analoog als we beide leden delen door cos2 α. Th 6
3 Identiteiten verwant aan de grondformule van de goniometrie. We hebben de volgende goniometrische identiteiten: 1 1 en 1 + cot2 α = tan2 α + 1 = cos2 α sin2 α Bewijs.
3 3 Modelvoorbeeld 2. Van een hoek α ∈ II is bekend dat tan α = − . Bereken algebraı̈sch sin α en cos α. 4 Oplossing.
V-12
Inoefenen van goniometrische formules kan door uitdrukkingen, die goniometrische getallen van een willekeurige hoek α bevatten, te vereenvoudigen. Het advies hierbij is om eerst de goniometrische getallen te schrijven in functie van sinus en cosinus. Dat doe je met de definitie van tangens, cotangens, secans en cosecans. Daarna werk je alles uit. Ten slotte gebruik je de goniometrische formules om te vereenvoudigen. 3 Modelvoorbeeld 3. Vereenvoudig zoveel als mogelijk de volgende uitdrukkingen. (a)
1 sec α − sin α · tan α
(b) (4 sin α − cos α)2 + (sin α + 4 cos α)2
Oplossing.
Inoefenen van goniometrische formules kan ook door het bewijzen van goniometrische identiteiten. Lukraak formules toepassen geeft meestal een uitzichtloze berekening die zelden tot een bewijs leidt. Het advies hierbij is om, startend met het linker- of rechterlid, enkel formules toe te passen die je dichter bij het ander lid brengen. Een andere strategie is om beide leden tegelijkertijd om te vormen, en wel op zo’n manier dat je de beide leden dichter bij elkaar brengt. 3 Modelvoorbeeld 4. Bewijs de volgende goniometrische identiteiten. (a) sin2 α =
tan2 α 1 + tan2 α
2
(b) (tan α + cot α) = sec2 α + cosec2 α
Oplossing.
V-13
3 Hellingshoek van een rechte. Tekenen we een rechte op ons blad, dan kunnen we onderscheid maken tussen de volgende vormen: verticaal, horizontaal, stijgend of dalend. In het derde jaar heb je bij elke vorm de vergelijking van zo’n rechte opgesteld (zie hieronder). Omgekeerd, ken je de vergelijking van een rechte dan kun je weten welke vorm die rechte heeft. Meer bepaald geeft de rico (voluit: richtingscoëfficiënt) van de rechte aan hoe groot die stijging of daling is. Die informatie kunnen we ook nog op een andere manier weergeven, bijvoorbeeld met de zogenaamde hellingshoek van de rechte. Dat is een hoek α die voldoet aan −90◦ < α ≤ 90◦ . In het kader hieronder leer je hoe je de hellingsgraad van een rechte kan aflezen.3
de rechte a is niet evenwijdig is met de y-as:
de rechte a is evenwijdig met de y-as:
a : y = mx + q
a:x=p
⊲ het getal m is de rico van de rechte
⊲ een verticale rechte heeft geen rico
⊲ de hellingshoek α voldoet aan
⊲ een verticale rechte heeft hellingshoek
−90◦ < α ≤ 0◦ a
0 ≤ α < 90◦
of
y
a
y q
+1 α
α +m x
O
α = 90◦
q
y
a
+m
+1
α x
O
O
p
x
⊲ verband tussen rico m en hellingshoek α: m = tan α
3 Modelvoorbeeld 5. Gegeven is de rechte a : 3x + 5y = −18. (a) Teken de rechte a op een assenstelsel. (b) Duid op je figuur de hellingshoek α van de rechte a aan. (c) Bereken een waarde van hellingshoek α. Rond af op 1 seconde nauwkeurig. Oplossing.
3 Met een ongelijkheid zoals −90◦ < α ≤ 90◦ bedoelen we dat α een hoek is waarvoor een hoekwaarde van α tussen −90◦ en 90◦ ligt (90◦ inbegrepen). Zo voldoet bijvoorbeeld ook de hoek α = 360◦ aan die ongelijkheden.
V-14
5.4
Formules voor verwante hoeken
De formules die in deze paragraaf aan bod komen, moet je visueel onthouden. Leer de kadertjes dus niet uit het hoofd, maar lees het linkerlid telkens af van de goniometrische cirkel. Op die manier moet je de formules kunnen opschrijven en verklaren. Th 7
3 Tegengestelde hoeken. We noemen α en −α tegengestelde hoeken omdat hun som gelijk is aan 0◦ . Teken op onderstaande goniometrische cirkel de goniometrische getallen van −α en stel vast.
y
x=1
1
Eα sin(−α) =
tan α
sin α α
cos(−α) =
cos α
1
x
tan(−α) =
Voorbeeld. Bepaal zonder grafische rekenmachine (tussenstappen opschrijven en exacte waarde noteren).
Th 8
(a)
sin(−45◦ ) = . . .
(b)
cos(−60◦ ) = . . .
3 Supplementaire hoeken. We noemen α en 180◦ − α supplementaire hoeken omdat hun som gelijk is aan 180◦ . Teken op onderstaande goniometrische cirkel de goniometrische getallen van 180◦ − α en stel vast.
y
x=1
1
Eα sin(180◦ − α) =
tan α
sin α α
cos(180◦ − α) =
cos α
1
tan(180◦ − α) =
Voorbeeld. Bepaal zonder grafische rekenmachine (tussenstappen opschrijven en exacte waarde noteren). (a)
cos(120◦ ) = . . .
(b)
tan(150◦ ) = . . . V-15
x
Th 9
3 Complementaire hoeken. We noemen α en 90◦ − α complementaire hoeken omdat hun som gelijk is aan 90◦ . Teken op onderstaande goniometrische cirkel de goniometrische getallen van 90◦ − α en stel vast.
y
x=1
1
Eα sin (90◦ − α) =
tan α
sin α α
cos (90◦ − α) =
cos α
1
x
tan (90◦ − α) =
Voorbeeld. Vul telkens de verklaring aan met behulp van de formules voor complementaire hoeken. (a) cos (30◦ ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = sin (60◦ ) (b) tan (60◦ ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = cot (30◦ ) 3 Modelvoorbeeld 1. Vereenvoudig de volgende uitdrukking zoveel als mogelijk. sin(180◦ − α) tan(−α) cos(90◦ − α) sin(α − 360◦ ) Oplossing.
3 Modelvoorbeeld 2. Herleid telkens naar plus of min een goniometrisch getal van een hoek uit het eerste kwadrant. Alle tussenstappen opschrijven! (a) cos 315◦
(c) tan 3934◦
(b) sin 175◦
(d) cos(−261◦ )
Oplossing.
V-16