Hoofdstuk 5 Goniometrie ingevulde versie by Koen De Naeghel

Wiskunde Aan zet een cursus wiskunde voor studierichtingen met vijf wekelijkse lestijden wiskunde vierde jaar algemeen secundair onderwijs geschreven door

Koen De Naeghel Hoofdstuk 5 Goniometrie

08/11/2017

CREATIVE COMMONS Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 (CC BY-NC-SA) Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie. De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode De gebruiker mag: het werk kopiëren, verspreiden en doorgeven Remixen - afgeleide werken maken

Onder de volgende voorwaarden: Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam te vermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik van het werk). Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerciële doeleinden gebruiken. Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfde licentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid.

Met inachtneming van: Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden met voorafgaande toestemming van de rechthebbende. Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijke wetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze beı̈nvloed door de licentie. Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht: • Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet. • De morele rechten van de auteur. • De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals het portretrecht of het recht op privacy. Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aan . derden door middel van een link naar http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/

Eerste druk: 2016 Versie: 8 november 2017 Gepubliceerd door: Online publicatie platform Issuu.com Omslagfoto: http://nl.123rf.com/ Tekstzetsysteem: LATEX Royalty percentage: 0% c Koen De Naeghel, gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 i

Hoofdstuk

Goniometrie 5.1

.,1

Scherpe hoeken en hun goniometrische getallen (herhaling)

In deze eerste paragraa,f hertralen we leerstof die je in het derde jaar gezien hebt.

O Notaties.

Beschouw drie verschillende punten A,

en C die niet collinea'ir

zijn: niet op één rechte lijn.

(1) De notatie LABC betekent: driehoek met hoekpunten A, B en C. (2) De LABC heeft drie zijden. De lengte van de zijde tegenover het hoekpunt Á noteren we met a. Idem voor de andere hoekpunten. In symbolen:

en 6:

lBCl

er c:

lCAl

lABl

heeft drie binnenboeken À, Ê e. Di" zullen we met ^ABC letters a, B en 7 noteren (lees als"talpha, betaen gamma). de Griekse

(3) De In

symbolen: ^ a:A en 0:B

tl^

en j:C.

(a) In LABC kun je een binnenhoek meten

i,n (boog)grad,en. Dat kan door middel van een grailenboog, waarbij 1 graad staat voor een 360ste deel van een volledige cirkel.l

Voorbeeld.

In de figuur hieronder is a

125". Meet nu zelf de hoeken Ê en l. Waaraan is a* 0 *.y gelijk?

e.:' *{= 3("

L+l tY = 41,t"

Ë,\ïïf

o^? 7a

.*'2 _--9&' -s

s8.

-tso

(5) Een graad wordt verder onderverdeeld in 60 {boog)mi,nuten, die elk 60 (boog)seconden hebben. Meet a bijvoorbeeld 13 graden, 49 minuten en 13 seconden, dan schrijven we dat als a:13"49t13t1 waarmee we bedoelen: 13 graden plus 49 zestigsten van een graad plus 13 zestigsten van een zestigste van een graad. Samengevat:

7ro4e'|t3"

(rs

* # * #)" -

(rr,

8202TTT

...)"

'Men is niet zeker waarom de astronomen uit de Oudheid de volledige cirkel nu net in 360 stukken verdeeld hebben. Eén theorie geeft als reden dat 360 ongeveer overeenkomt met het aantal dagen in een jaar (dat was bijvoorbeeld zo bij de Persische kalender), zodat de zon op zijn schijnbare jaa,rlijkse baan ten opzichte van de sterren aan de hemelbol ongeveer 1 graad per dag opschuift, Anderzijds gebruikten de Babyloniërs een talstelsel gebaseerd op het getal 60. Ze verdeelden de drie gelijke hoeken van een gelijkzijdige driehoek in 60 eenheden (graden), wat het logisch maakt dat elke graad verder werd opgedeeld in 60 kleinere eenheden. (minuten) die op hun beurt werden onderverdeeld in 60 nog kleinere eenheden (seconden).

v-1

Gebruik uan de grafische rchenmachine. Omdat we de grootte van hoeken uitdruhken in graden, moet de grafische rekenmachine in DEGREE staan, de Engelse term voor booggraad. Dat doe je via M0DE. I

@trrrl

M tr trIENÏETI

MopEl

0123t56789 PiRSIIEIBIC POtfiB

ÍÍTDIÊ€TtOSTICS:EE

SEq

OII

Om een hoek in graden, minuten en seconden in te voereu, rnaak je gebruik va,n 2ND ANGLE (gtaden en minuten) en ALPHA + (seconden). Tik je op enter, darr verkrijg je het resultaat enkel in graden (kommagetal). Terug omzetten naar graden, minuten en seconden doe je met 2ND ANGLE 4: >DMS.

trE

tANcLEl

131

1301

:'rr : )DHS

: : :

R)Pr(

P>R,r(

R)PO{

P)Rx(

@tlNcLElM 13049'l

130491

1:o

:r : >DMS : :

R)Pr( R>P0(

7: P)Rx{ :

P)Rs{

EtrIALPHA]tr 13049'13u1

13049' 13"

ANcLEI

13('49'13" L3.829.27778 íá+4il éà:i7*áèiói6" " "'

L3.82427775

1:o 2zt IIDHS

: R)Pr{ 6:RlP9{ 7:P)Rx( : P)Ry{

T,-2

L3.82427775

Is irr een LABC de birrnenhoek a eerr rechte hoek, darr geldt de volgende betrekking tussen de zijden: a2 : b2 + c2. Ook het omgekeerde is waar: als in een LABC geldt dat a2 : b2 + c2, dan is de binnenboek a een rechte hoek. Dit resultaat noemen we de O Stelling van Pythagoras.2 In elke driehoek met hoekpunten A, B en C geldt:

LABC

is rechthoekig in

De stelling van Pythagoras kun je ook formuleren voor de hoeken

B en C

(zelf.).

Standbeeld van Pythagoras in de stad Plthagorio op het eiland Samos (Griekenland).

Voorbeeld,. Drie stokken hebben een lengte van 30 cm, 40 cm en 50 cm. Als je met die stokken een driehoek maakt, is die driehoek dan rechthoekig?

í.t=

for

lo: Lu., L\r\roL^',t\'\\rsy.

) ^'.

O Definitie (goniometrische getallen van scherpe hoeken).

Gegeven is een

Dan zijn de goniometrische getallen sinus, cosinus en tangens van B gelijk

\\urt

o,q

overstaande rechthoekszijde

schuine zijde

cosp:

aanliggende rechthoekszijde

tanB:

overstaande

' b

J\í\h.t'

sin

L':

JÀ\

_b rL

*- Jo*t"

(-\

schuine

zijde

Á.

rechthoekszijde aanliggenderechthoekszijde

o Gevolg (grondformule van de goniometrie voor scherpe hoeken). is in

AÁBC die rechthoekig is in

aarr:

Gegeven is een

AÁBC die rechthoekig

Wegens de stelling van Pythagoras is:

t,2

+c2:a2 :+- ï

..2

1: t

(Í)' :'

(:)'. (sinB)2

* (cos B)2 :1.+

sinzB+.os2B:1

Wil je de sinus, cosinus en tangens vàn een scherpe àoe,t (tussen 0o en 90") bepalen, dan kun je als volgt te werk gaan.

(1) Teken

een reclrthoekige driehoek zodat één van de binnenhoeken je hoek

is (dat kan omdat je hoek scherp is).

(2) Meet de zijden van de driehoek en pas de formules toe.

0 Modelvoorbeeld 1 (goniornetrische getallen van enkele

veelvoorkomende scherpe hoeken). Bepaal 60'. Schrijf ze nadien in de

algebraisch de exacte waarden van de sinus, cosinus en tangens van 30o, 45o en onderstaande tabel. Controleer met behulp van je grafische rekenmachine.

{;UL --L

^.? \j"T

-ï^tr í_

^ "* {-

zToegeschreven aan Py'thagoras van Samos \z--

tr L

(*570 v.Chr. - *495 v. Chr.), doch aI eerder toegepast in Soemerië, Babylonië en hei

Oude Egypte.

Ti-e

" ït'. qr,, bg&"trtr * h.o rut''ícr'[\rr\,rt','\[$.

Oploss'ing.

(a) Teken een rechthoekige driehnek zodat één van de binnenh<leken gelijk is aa,n 45". Dan meten de andere binnenhoeken 90" en 45o (waarom?). Dus de rechthoekige driehoek is ook gelijkbenig. We kiezen ervoor om de lengte van de rechthoekszijden gelijk te stellen aan 1. Bereken nu de lengte van de schuine zijde en pas de definitie van sinus, cosinus en tangens toe.

ol=t'LtLL =) ó-:{t \À\(

Lor\(:

LhC

L*q('_ (b) Teken een rechthoekige driehoek zodat één van de binnenhoeken gelijk is aan 30o. Da,n meten de andere Q*y binnenhoeken 90" en 60". Deze keer stellen we de lengte van de schuine zijde gelijk aan 1. Spiegel de driehoek om de grootste rechthoekszijde om zo de lengge van de kleinste rechthoe.kszijde te vinden. Bereken nu de lengte van de grootste rechthoekszijde en pas de definitie van sinus, cosinus en tangens toe.

nsnï :\ïy\' $\ry* \rV,,-:$

(.gr

":"'\

N"\"Gtra**

..À*,"[rr\*,lr*, a: ={!\ïn

\u$,i:,!,, tr.lh,r.

L ={

! \-. tsb Ii'.ê

(,,

d"v

I I

-r"?)

lL__-_

:L=E+V

Loo

w 3d: a= -L

\\lx?t,t= rb

c=EC- 1hí) =\

too

-rF

'J lí ;

rlts\

cnbc I,4,L

: L:

l,'\.. |[.c

.\ï ]:

I: { ;\n\\jÈ=+=ïi c tr_ .Lr r L =\:'. = r:; =

Controle met behulp uan de grafi,sche releenmach'ine. Omdat we de grootte van hoeken uitdrukken in graden, moet de grafische rekenmachine in DEGREE staan. Dat controleer je met M0DE. Daarna kun je de sinus, cosinus en tangens van hoeken berekenen. Merk op dat je rekenmachine altijd een decimale voorstelling geeft (vaak aÍgerond zoals 0,7077067812), en meestal niet de exacte waarde kent (zoals \/rl2). Je kan je rekenmachine dus niet gebruiken om de voorgaande tabel te vinden, maar enkel om die tabel te ontroleren.

Furr-llsrlll "t.. n{45}

i"ià'_^"""""

@.79710678L2

| iËó;(6iti' rt.,,,..,..,....,... itan(30) itan{36} i'1""""""""

8.747ffi678l2

t.J1/Z

IIORIZOT{TiL 6RÊP1{.ÏRBLg STf,IDIÊ6HOSTIC$:

fff

'1Í +-*

r<a1

,I{TT\

a.5 6.5773sA2692

Modelvoorbeeld 2. Van een scherpe hoek is telkens een goniometrisch getal gegeven. Bepaal met behulp van je gra,fische rekenmachine de hoek in graden, minuten en seconden. Rond af op 1 seconde nauwkeurig. l

a: ; (b) tanp : iar (c) cosl : 1,2 (aJ

srn

Oplossing.

(a) Belangrijk is dat de rekenrnachine nog steeds in DEGREE staat. Dat kun je vooraf controleren rnet M0DE. Om een hoek a te vinden w'aarvan de sinus gelijk is aa,n 0,5 maken we gebruik van het comando SIN-I. Nadien kun je controleren dat de sinus van je gevónden hoek a wel degelijk gelijk is aan 0,5.

@Fífi]@@ in'r{l

stnt{It7l

I{ORIZONÏÊL 6BÊP[-TNBLE

Antwoord,. o

.3oo

(b) Omzetten van een kommagetal in lTr'rol

graden naar graden, minuten en seconden doe je met 2ND ANGTE 4: )DMS.

Írall | "t".

fANcrEl

lïNrER-lÍENrERl

tan'r ( 541 )

Lan'r ( 541 )

89.59449295

t'5'(l' :[ "\:(o

N)DHS :

.......... 9?,.9? 19.?.??s.

HnSIDMSI

2 :l

R>PrI

6: R)PO{ 7: P)Rx( 8: P)Rs{

Antwoord.. B

=.b$ (jt

3)" I

Hoe kon je vooraf weten dat je scherpe hoek B bijna gelijk is aan 90"?

A,q-v$*q.it\'ÀS\n*X\riil.ar. ?.'\À( Do,x $*il"

L ttr',À,\

\\\

o'fuuir,canL 1',\t_

r\r

(hL.

k ,."\*-

iï

(")

t5"*f"" Hoe kon je vooraf weten dat er geen scherpe hoek 7 bestaat waarvoor cosT

\uurx

ql,..

rÀ\\xlkrÈs hrà\ul\. $

ï)au \\,N-

Nr-;

V.,e\

qqt "\ JU-\ í\ I \'\ h';

5.2

Willekeurige hoeken en hun goniometrische

getallen

Tot nu toe hebben we enkel over de sinus, cosinus en tangens van een scherpe hoek gesproken (tussen 0' en 90'). Om ook betekenis te hechten aan bijvoorbeeld sin170", cos(*305") en tan541o moeten we eerst afspreken hoe we hoeken kunnen oriënteren.

."il

O Georiënteerde hoek. Beschouw een AABC. Dan wordt de (binnen)hoek,4 vastgelegd door de twee halfrechten IAB en lAC, zie linke,rfiguur hieronder. Die halfrechten noemer we d.e benen van de hoek Á. Als we bij deze hoek Á de halfrechte [ÁB als heg'inbeennemen en de halfrechte [ÁC als eind.beenzien, dan hebben we een georiënteerd,e hoek die we noteren met BÀC (middelste figuur). We drriden de oriêntatie aan door een pijltje te tekenen van het beginbeen naar het eindbeen. Om zo'n pijl te tekenen, heb je heel wat mogelijkheden. Het gaat telkens om dezelfde georiënteerdehoek BÀC. Omgekeerd., beschouwen we bij de hoek .4 d* hulftu"l*e IAC als beginbeen en de ha]frechte [ÁB als eindbeen, dan hebben we een andere georiënteerde hoek, namelijk CAB (rechterfi.guur). Die zullen we de tegengesteld,evan BÀC noemerl, en vre schrijven CÀn - -AÁ.C.

IAC

IAB de hoek Á

de georiënteerde hoek B,4C

de georiënteerde hoek CÁB

Een georiënteerde hoek wordt vaak aangeduid met een Griekse letter, zoals a, B en 7. Het piiltie op de figuur moet dan duidelijk ma,ken wat het beginbeen en het eindbeen van de georiënteerde hoek is. In het vervolg van dit hoofdstuk zijn alle hoeken georiênteerd. Dat merk je aan de pijltjes op de tekeningen. Daarom is het gebruikelijk om de benaming georiënteerde hoek af te korten tot, hoek.

Voorstellen van hoeken op de goniometrische cirkel. Is

cr een (georiënteerde) hoek, dan kunnen we ze

verschuiven en draaien zodat het beginbeen samenvalt met de positieve r-as (zie figuur). Nu tekenen we de cirkel met rniddelpurrt de oorsprong en straal 1. Deze cirkel noernen we de gon'iometrisch,e cirkel Ze snijdt het nieuwe eindbeen van de hoek cv in een punt. Dat punt noemen we het beeldpunt van de hoek o, die we noteren met E-.

Kwadranten. De r-as en de y-as verdelen het vlak in vier

gebieden, die we kwadranten noemen. We zullen

ze met een Romeins cijfer aanduiden, tegen de wijze.rs van de klok in, zoals aangeduid op de figuur hierboven: I is het eerste kwadranf, II is het tweede kwad,rant, III is het derd.e kwadrant en IV is lnet uierde kwad,rant. Zo Iigt bijvoorbeeld het punt .8" op de figuur in het eerste kwadrant. We zeggen dan dat de hoek a in het eerste kwadrant ligt, in symbolen: a € I . Bij afspraak ligt een punt op de r-as of op de gr-as in geen enkel kwadrant.

E"-6

O Waarden van een hoek. Zij a een hoek die voorgesteld is op de gorriornetrisc-he cirkel (linkerfiguur). duiden het beeldpunt van o aa"rr. We duiden ook het beeldpunt van de nulhoek 0 *uo.

Om de hoek a in graden te meten gaan we als volgt te werk (rechterfiguur).

(1) Beschouw een denkbeeldig punt P dat op de cirkel van .O6 naar .Oo beweegt. Zo ontstaat een cirkelboog. (2) Meet die cirkelboog in graden. (3) Schrijf voor dat ge'tal in graden: een plusteken als het punt P in tegenwiizerzin beweegt, en een minte.ken als het punt P in wijzerzin beweegt. Het getal in graden, voorzien van het plus- of minteken, noemen we een hoekwaarde (in grad,en) vàn a.

Voorbeeld. Beschouw de onderstaande hoek a. Geeftelkens de hoekwaarde die hoort bij de aangeduide boog.

de boog

.5.c)

een hoekwaarde van o

. .h

5g'

.9i +3{lo- ' h(o"

een hoekwaarde van ,? is

i, . 3te'- )o" = i.to" een hoekwaarde van o i, .:.Í.to' de boog

f.h(d'

De hoek o heeft dus oneindig veel hoekwaarden. In dit voorbeeld worden alle hoekwaarden gegeven door de rij

90" , .90"+360" 90"+2-360" , .90"-2.360' , ... .--TIG. , .90"-360" ---L\d , Krijgen we één term van die

rij, a

--"t-!o6-

--.G3o"

dan weten we meteen over welke hoek het gaat. Daarom schrijven we

: 90" of a:450"

O Bijzondere hoekwaarden in graden.

EIke hoek

of a: -270"

etc.

heeft oneindig veel hoekwaarden in graden.

(1) Er is precies één hoekwaa,rde die behoort tot ]-180',180']. Die noemen we de hoofdwaarde rran o. (2) Er is precies één hoekwaarde die behoort tot [0",360'[. Die noemen we de lcleinst, Ttositi,eae waarde van o.

T,-z

t, \

,.í::

o Op ontdekking. Zij cv een scherpe hoek die voorgesteld is op de goniometrische cirkel (zie figulen). !

\f,,ïiarh; (a) Duid het beeldpunt van e aan. Schrijf de coorJitt$t van ,Eo als (z, gr). f ,p l\ (b) Teken in de linkerfiguur een rechthoekige driehoek zodat één van de binnenhoeken geiijk is aan a. Neem'\- ï hï'Ut

de meest logische ke,uze!

(") Bereken de sinus, cosinus en tangens van o. Wat merk je op? (d) Teken in de rechterfiguur de rechte met vergelijking r: 1. G, lebruik die rechte )m een nieuwe rechthoekige driehoek te tekenen zodat één van de bin b innenhoeken gelijk is aan a.

(4,. z)

(") Bereken nu opnieuw de tangens van a. Wat urerk je op?

L.L

Jtt\r;l =

7{-

Í-fl,L: ftl\

K4_

')/

\r.rrt = -\ x

3:io^\

=hr..l

=\I cIA

^ rn\r: l

\\ó!. ]. :

:L X=

Dit inspireert ons om af te

spreken wat de sinus, cosinus en tangens van bijvoorbeeld een stompe hoek is, en hoe we die getallen van de goniometrische cirkel kunnen aflezen. Verder geven lve ook het omgekeerde van tangens, cosinus en sinus een naam: cotangens, secans en cosecans.

Th1

O Definitie (goniometrische getallen van willekeurige hoeken). op de goniometrische cirkel (zie figuur). We drriden het beeldpunt van De sinus, cosinus en tangens van

sin

cosa:

c zijn gelijk

Gegeven is een hoek o aan.

a die voorgesteld

aan:

de g-coórdinaat van het beeldpunt .U" de r-coórdinaat van het beeldpunt

sin a tana: ::cos a

als coso

De cotangensr secans en cosecans van

o zijn gelijk

aan: cos

cota:

tana

S€CO:

cos

als tana

als cosa

als sina

cosec.lsln (1

De sinus, cosinus, tangens, secans, cosecalrs en cotangens van a noemen we de goniometrische getallen van o.

O Opmerking. Als a een hoek is, dan wordt de coórdinaat van het beeldpunt .Eo gegeven door co -Eo : (cosa,sina). Als a I A90o dan kun je de tangens van a steeds a,flezen op de rechte r : L. Inderdaad, de f vergelijking van de rechte O.Eo wordt gegeven door gr : (tana) .r en die snijdt de rechte r : 1 in het punt ! P(1,tana). Ook de cotangens, secans en cosecans kun je op een bepaalde manier a^flezen (zie vijfde jaar 6u-8u). I fL -s

O Gevolg. Hieronder staat hoe Eerstegeval:

de sinus, cosinus en tangens in elk kwadrant moet afgelezen worden (vul aan).

a€I I

K-

lan"r-

Tweedegeval:

[AÀ

o€II I

\ \cl

\ 1

\0",,1- <o

Derde geval: rr €

III v

larr.r,,

Áj'

_/ Vierdegeval:

ÊJrï

\ d1

\ E-g

I -'"/

a€IV

, 'I*J.

o Modelvoorbeeld 1. Teken

t.*

een goniometrische cirkbl wa€Lrop je telkens het gewaagde aantlui<i.

r p.t\

(a) Het beeldpunt van de hoek o:200".

(b) De hoek p in het vierde kwadrant waarvoor co"B:1. (c) De hoek g (lees als: pft.i) waarbij tang

(d) Dehoek 7 met

9 e III.

ftr)

\*,q:;elc Xe,c,c,

sinT:1 *o -270" < 7 < -180".

ï'4$

Oplossins.

3 t-31

i Modelvoorbeeld 2. Van

een hoek

*=l-

o is beke.nd dat

sin

-0,452.

(a) Teken een goniometrische cirkel waarop je zo'n hoek'a voorstelt. (b) Hoeveel mogelijkheden zijn er voor de hoek o?

ilL fu.w*n o,\ut*-

(u)

nnLt'r.n , k*\{-frt t- o,,n(L) il

L'.x,-rt"

<"i

Lr =

r ttJ <l .tl ,\t..:'

4_5

t. ^\d i-"[" d- t]"

Lo'\.À,, \rv t-

ti ri' \: "t

** [ 3-.tb (L'

4_)

s,\\L

t -suh\L T.1o

$ o,1,

í,3

Elementaire eigenschappen en grondformule van de goniometrie

De volgende belangrijke eigenschappen volgen meteen rrit de definitie van de simrs, cosimrs en tangens van willekeurige hoeken. Maak telkens gebruik van de goniometrische cirkel om die eigenschappen aan te vullen en te onthouden.

O Tekentabel van sinus, cosinus en tangens. Vul

de tekens van de goniometrische getallen aan.

,r\ tï I

rLiL

J.--.---*-*--)

N. fh3

O Bereik van sinus en cosinus . Zij aeen wiliekeurige hoek. Dan geldt (vul aan): -.1- < sina

ïh4 --.*

en -1-. < coscvsà.

O Goniometrische getallen van enkele veelvoorkomende hoeken. Vul de goniometrische getallen

if ê.Fï

lg ry w g g 30"

r,*\o$t*l.

.,_

n,^.f1 (r

tl-\r,

,ËÀ .\t

aolu.*ot",\.

) "orol l*1-?-L

Ë-

blur*t"

ta,nal o I

'ï.G {.L

lg{T

60"

^70

90'

180"

l+.--

270"

'x-

-L

Yl I. {

*r-

aan.

De grond.formule van de goniometrie voor ,.È""rp" hoeken kan nu ook worden uitgebreid voor willekeurige hoeken.

O Grondformule van de goniometrie.

Z1j

een willeurige hoek. Dan geldt:

sinzcr*cos20:1 Bewi,is.

\th."NL --_ \

)lrfi,l.

trn' ).

Een vergelijking van goniometrische getallen van

: L. a

die opgaat voor

a (waarvoor de vergelijking zin heeft) noemen we e.en gon,i,ometri,sche identiteit. De grondformule van de goniometrie is dus een voorbeeld van een goniometrische identiteit. Je tan elke keuze van de hoek

zo'n identiteit met je gra,fische rekenmachine controleren door er een willekeurige hoekwaarde van cv in te mllen (voer uit).

sin(17)z+cos(17)z ;iirïË4ïlïéó; (541i1"

"""""

"1'

- {,.0{13... '*lrt,ft- tsrr,f xrrJ | 1 16f ir z"

\60

T--tt

O Modelvoorbeeld L. Van een hoek o in het tweede kwadrant weten we dat sino:

Lt,

(a) Stel de hoek o voor in de goniometrische cirkel. (b) Bereken coso en tano zonder eerst een hoekwaarde van a te bepalen. Exacte waarden geven! (c) Bepaal met je grafische rekenmachine een hoekwaa,rde van c. Controleer nadien je antwoord op waag (b).

,",\y..

Oplossi,ng. ,t (Lt

),ri".

i" \ L*^'t

: l-

ï LíNil= 4-- N\

l'.

,"bs

rr_..---ï*-' 4-- N\\.* L

=\ c(^ r : !\

-- nrf4 -\- - '1,5 - + ',f11 \5 \ *,. tnx.\= ryh'À -- l

r.-.{T L\ L

uJaJ$ LÊ -\L

^ -!L L{ï 3 , \ i.r:ra .x'r-rí .\\ lil \t) \ï\L\1: N\ \ 4r = 5\ : Lr*

<_rn\

r, =

4\i - {rl\.

-" = 4-[u" r

ir:.[*

Als we beide leden van de grondformule delen door sinz a dan ve;rkrijgen we een antlere goniometrische identiteit. Analoog als we beide leden delen door cos2 o.

-1r

O Identiteiten verwant aan de grondformule van de goniornetrie. We hebben

de volgende gouiornetrische

identiteiten:

tan2afl:

èro\*À",

Bewiis.

\tu'\K

cos2

1*cot2a:

.L!

k.(

sinz rr

J\rxi\irn-À:1_-r

Àrb'.L\(-rÀ-), t_

I+\.*-r

Ltnd

LN. À

-".-*r*fuÀ'\

)h\"i').

een hoek

o € II is bekcnd dat

tana: -:.

\if

Bereken algebra;rsch

.o* I sina en cosa.

OpIoss'i:ng.

L-^*,L

\ t- :-

\-ax't =

Crh\\

:) =\

Lo\- 'L

Crr

Jt* -.

't^*l.\L *\\t .f--n %

-_-''

\-Itl \tb

*'.Ï--_a\, -\!

?-(

L( **\. d.ÉT. ='-rz

J,\lux ilo,r

t L =JLIAL À

.=\ ,l+ *ttr ,. ï [n*,' I 4= ,ttlË,1 s , -. -l Modelvoorbeeld 2. Van

/ I

)r\K'l-

1qr'

c(^

t-ax

Lcr

,^'t,

Inoefenen van goniometrische forrnules kan door uitdrukki:rgen, die goniolretrische getallen van een willekeurige hoek a bevatten, te vereenvoudigen. Het advies hierbij is om eerst de goniometrische getallen te schrijven in functie van sinus en cosinus. Dat doe je met de definitie varr tangens, cota.ngens, secans en cosecans. Daarna werk je alles uit. Ten slotte gebruik je de gouiometrische formules om te veleenvoudigen.

O Modelvoorbeeld 3. Vereenvoudig zoveel als mogelijk de volgende uitdrukkingen. I

(b) (

)H_r_rt -. sin rt . tar

sin

cos

o)2

(sin a

4 cos a)2

OpIossi,ng.

/\I

le)

\R-{-, k

nf -.-rn tt) $)ïd^r**"f * ( fY Q,..1 L = 4t roxl - \ bUf"l ,i. \ Ltrr \ t mlr . \)hdLo\ ,\ + I! *\ }u..x o-

- lr"x $. . Lar.' r

tyl"t". N\!\a.

A,_

[.rh ,],

Ld! è\

,L-;Á3ï Líni.. = l L

1-\

ctl

v c,nt l-)

= {\, 'l-

ó.

LJA!

: {\ x* r. \ = L\ [ r;* I

Lfi.\ t-n

Lrn

4-\"

=N.LL_

LI^ s-

Inoefenen van goniometrische formules kan ook door het bewijzen van goniometrische identiteiten. Lukraak formules tot een bewijs leidt. Het advies hierbij is om, startend

toepassen geeft meestal een uitzichtloze berekening die zelden

met het linker- of rechterlid, enkel formules toe te passen die je dichter bij het ander lid brengen. Een andere strategie is om beide leden tegelijkertijd om te vormen, en wel op zo'n manier dat je de beide leden dichter bij

elkaar

brengt'

O Modelvoorbeeld 4. Bewijs de volgende goniometrische identiteiten.

., (al sln-G:

tanzo. 1 + tan'n

OpIossi,ng. a

.")

)ï{n. L

$.tL

N! (l^',L

(--\

secz

r l,^xLr-

-ffir

,tr/1...

LLrxLu.Lx

x'* I

: {I*\

t;r*\i+.^tu

rí'*:- = LL KL=

cosec2

o{l

= L+!raY, + t+ (=r ,/!e^l,oL \ --ny

n*,r'

ïffi tsrL-r

cot a)2

(t) (u"^ I \c,L{ = n* I r coari r

f,^ï,1,

4-+

(b) (tanc *

YJit

(=t

L= L

[L.

tr-A-b. d\

r:nlL

mlr '{**l-

ï-rs

')Í" , t' 't'"

OIL \

r {"

Hellingshoek van een rechte. Tekenen we eerr rechte op ons blad, tlan kunnen we onderscheid makerr torr"u th de volgende vormen: verticaal, horizontaal, stijgend of dalend. In het derde jaa,r heb je bij elke vorm de vergslijking van zo'n rechte opgesteld (zie hieronder).

Omgekeerd, ken je de vergelijking van een rechte dan kun je weten welke vorm die rechte heeft. Meer bepaald geeft de rico (voluit: richtingscoëfficiënt) van de rechte aan hoe groot die stijging of daling is. Die informatie kunnen we ook nog op een andere rnanier v/eergeven, bijvoorbeeld met de zogenaamde helli,ngshoek van de rechte. Dat is een hoek o die voldoet aan -90o ( a { 90o. In het kader hieronder leer je hoe je de hellirrgsgraad van een rechte kan aflezen,3 de rechte a is niet evenwijdig is met de y-as:

de rechte a is evenwijdig met de y-as:

F:;;41

F:e=ft

> het getal rn. is de rico van de rechte

> een verticale rechte heefb geen rico

> de hellingshoek a voldoet aan

> een verticale rechte heeft hellingshoek

-90"<o(0"

> verband tussen rico

Modelvoorbeeld

tï=; < ro.l

m en hellinsshoek

G"g",r"o is de rechte a

E: 'gFl

cv:

:3r *5y :

18.

(a) Teken de rechte a op een assenstelsel. (b) Duid op je figuur de hellingshoek o van de rechte a aan. (c) Bereken een waarde van hellingshoek a. Rond aÍ op 1 seconde nauwkeurig. Oplossing.

,.^

ï.n\ ci-,3r r(1:4\ =t á*'.

\;'I it

x_\t -i J:

(") \o..'. =

(

Q,tr,o ru"

-1

Lrtt, L;'

itrl : - iQ..9k^.-" \t^ rr -ii<tq.d-"

3Met een ongelijkheid zoals -90" ( a { 90o bedoelen we dat a een hoek is waarvoor een hoekwaarde tigt (90o inbegrepen). Zo voldoet ook de hoek a:360o aan die vergelijking!

T-tn

va,n alpha tussen

ï!$'.i'\

|'] i!..),. !'.

-90o en ,

90o

. .: t: E

,/i(À

! ,r,',

5.+

Formules voor verwante hoeken

tont

De formules die in deze paragraa^f aan bod komen, moe;t je visueel onthouden. Leer de kadertjes dus niet uit heÍ hoofd, maar lees het linkerlid telkens a,f van de goniometrische cirkel. Op die manier moet je de formules kunnen opschrijven en verklaren.

O Tegengestelde hoeken.

'W'e

noemen rr en

-a

tegengestelde hoeken omdat hun som geiijk is aan 0".

Teken op onderstaande goniometrische cirkel de goniometrische getallen vaÁ

-a

en stel vast.

v 1

sin(-a) : cos(-a)

tan(-c) :

Nrrr J.

Lr,n

+..

rít-nr

- Lcr..l-

)tr\br.

: -[nxÀ

Voorbeeld,. Bepaal zonder gra,fische rekenmachine (tussenstappen opschrijven en exacte waarde noteren).

118

(r)

sin(-45")

(b)

cos(-60')

LÀÀ"U\-\\1.

: . - XY'(o =- {!t_

Co\

td = {u

Supplementaire hoeken. We noemen a en 180"

-a

supplementaire hoeken omdat hun som gelijk is aan 180o.

Teken op onderstaande goniometrische cirkel de goniometrische getallen van 180'

sin(180"

- c en stel vast.

- c) : Àft I

cos(180"-a):

fuÀ 'L \

t-___

cosG

rortt\,j - *\

tan(180'*o): -\Cr,l

;-LoL

Voorbeeld.. Bepaal zonder grafische rekenmachine (tussenstappen opschrijven en exacte waa"rde noteren).

(u)

cos(r2o')

:,(.n($i* td) = -

(b) tan(150.): \^*(\\d

Lr^

- 3o*) : - \*^ 3C - -

f:- r(

t-Àq^\"írLhl

4-V

jfh 9

O Complementaire hoeken. 'We noemen a en 90o - o compleme.ntaire

hoeken orndat hun som gelijk is aan 90o.

Teken op onderstaande goniometrische cirkel de goniometrische getallen va,n 90"

\ I

\rr

trtlsxt.

sin (90"

- a) :

Lr^

cos (90o

* o) :

)v.\..

tan (90'

- o) :

- a en stel vast. i

il.

Voorbeeld. Vul telkens de verklaring aan met behulp van de formules voor complementaire hoeken.

(a)

cos

(e0";

(b) tan (60")

: .tuf).[5sÏ-.!f).. : sin(60")

.t*o

tgi

..3.d):

cor (30")

ó Modelvoorbeeld 1. Vereenvoudig de volgende

uitdrukking zweel als mogelijk.

sin(180"

cos(9Oo

opto

sins.'\h. \h,,gb^Nt*k\* U,tk-

x"S'S -\ Lo*

L*r:

= )*".L

- o) tan(-a) a) sin(a - 360")

I Ao 'r "r,.\tr.-ttr--.

cJt\'\

-Lur.-.r

16fr\

cr^t(\Ë-r.) =)r'\{ xr"

)NhrÀ

Kl- " (-to'' *\ :

.,/

[].*1té\ =]N\( t- j[d \3t{\

O Modelvoorbeeld 2.

Lot Herleid telkens naar plus of min een goniometrisch getal va"r een hoek

lK;, uit het

&,\

{

eerste

kwadrant. Alle tussenstappen opschrijven!

(a) cos315" (b) sin\7S'

1";

f*nros+"

(d) i:f^

Oplossing.

la\ o,{rlf) :

t\)

)-I.-À\(

uÀ (3

tt\

g\ \ t-lI

rf - :te I = Lír\ (- \(\ = co,\Cá \

=xr'[Àtsn*f )= ]*ru'("

tq\ La" 3\1{

| r[ r" ]

= L.nrf:rj\" -,1À.3[e.]

= ba*.(-lt'l=

-L.nn

cn,(L[,'')= co (-L[r"r3td)a t-r,,95" : L0\(4to'-\L')=-crnti" T.-r[