Wiskunde Aan zet een cursus wiskunde voor studierichtingen met vijf wekelijkse lestijden wiskunde vierde jaar algemeen secundair onderwijs geschreven door
Koen De Naeghel Hoofdstuk 6 Driehoeksmeting
30/11/2017
CREATIVE COMMONS Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 (CC BY-NC-SA) Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie. De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode De gebruiker mag: het werk kopi¨eren, verspreiden en doorgeven Remixen - afgeleide werken maken
Onder de volgende voorwaarden: Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam te vermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik van het werk). Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerci¨ele doeleinden gebruiken. Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfde licentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid.
Met inachtneming van: Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden met voorafgaande toestemming van de rechthebbende. Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijke wetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze be¨ınvloed door de licentie. Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht: • Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet. • De morele rechten van de auteur. • De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals het portretrecht of het recht op privacy. Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aan . derden door middel van een link naar http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/
Eerste druk: 2016 Versie: 30 november 2017 Gepubliceerd door: Online publicatie platform Issuu.com Omslagfoto: http://nl.123rf.com/ Tekstzetsysteem: LATEX Royalty percentage: 0% c Koen De Naeghel, gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 i
Hoofdstuk 6
Driehoeksmeting 6.1
Elementaire eigenschappen van driehoeken
We herhalen enkele notaties uit het vorige hoofdstuk en een drietal basiseigenschappen van driehoeken. Daarna zien we nieuwe formules voor de oppervlakte van een willekeurige driehoek. 3 Notaties en afspraken. Beschouw drie verschillende punten A, B en C die niet collineair zijn. (1) De notatie ∆ABC betekent: driehoek met hoekpunten A, B en C.
C
(2) De ∆ABC heeft drie zijden. De lengte van de zijde tegenover het hoekpunt A noteren we met a. Idem voor de andere hoekpunten. In symbolen: a = |BC|
en
b = |CA|
en
γ
c = |AB| .
a
b
b B “ en C. “ Die zullen we met (3) De ∆ABC heeft drie binnenboeken: A, de Griekse letters α, β en γ noteren (lees als alpha, beta en gamma). In symbolen: b en β = B “ en γ = C. “ α=A
α A
β c
B
(4) De binnenhoeken van een driehoek zijn niet-geori¨enteerd en worden dus zonder pijltje voorgesteld. Met de sinus, cosinus en tangens van zo’n binnenhoek bedoelen we de sinus, cosinus en tangens van de geori¨enteerde hoek die deze binnenhoek, gemeten in graden, als kleinst positieve hoekwaarde heeft. Elke ∆ABC voldoet aan verbanden tussen a, b, c en α, β, γ. Zo is de som van de binnenhoeken gelijk aan de gestrekte hoek en is elke zijde korter dan de som van de lengtes van de andere zijden. 3 Som van de binnenhoeken van een driehoek. Beschouw drie hoeken α, β, γ ∈ ]0◦ , 180◦ [. Dan geldt: er bestaat een driehoek met binnenhoeken α, β, γ
⇔
α + β + γ = 180◦
Bewijs zonder woorden van Pythagoras.
C α
β γ a
b α
β c
A
B
Twee driehoeken met dezelfde binnenhoeken, zijn gelijkvormig. Een driehoek is dus niet volledig bepaald door zijn binnenhoeken. Voorbeeld. Teken twee verschillende driehoeken waarvoor twee binnenhoeken gelijk zijn aan 120◦ en 45◦ .
VI-1
3 Driehoeksongelijkheid. Beschouw drie getallen a, b, c ∈ R+ 0 . Dan geldt:
er bestaat een driehoek met zijden a, b, c
⇔
a < b + c b<c+a c<a+b
Twee driehoeken waarbij de zijden dezelfde lengte hebben, zijn congruent. Een driehoek is dus volledig bepaald door de lengtes van de zijden. Voorbeeld. Bewijs dat er een driehoek bestaat waarvan de lengtes van de zijden 4 cm, 3 cm en 6 cm zijn. Teken daarna die driehoek.
Voor een ∆ABC gelden ook nog andere verbanden tussen a, b, c en α, β, γ. De belangrijkste relaties zijn de zogenaamde sinusregel en cosinusregel.1 Die zullen we in de volgende paragrafen bespreken. Daarvoor zullen we formules voor de oppervlakte van een driehoek nodig hebben. Vooreerst herhalen we de bekende 3 Formule voor de oppervlakte van een driehoek met gegeven basis en hoogte. opp. driehoek =
basis × hoogte 2
Bewijs zonder woorden.
Wil je deze formule toepassen, dan moet je een basis en een hoogte loodrecht op die basis kennen. Zo kun je de formule niet meteen gebruiken om de oppervlakte van de twee driehoeken hieronder te berekenen. Daarom zullen we nog twee andere formules zien om de oppervlakte van een driehoek te berekenen: een formule die je kan gebruiken als je twee zijden en een tussenliggende hoek kent (linkerfiguur) en een formule voor het geval dat enkel de drie zijden gekend zijn (rechterfiguur).
2, 8 cm6 cm
2, 8 cm3 cm
2, 8 cm
60◦ 7 cm
4, 6 cm opp. driehoek = ?
opp. driehoek = ? 1 De
tangensregel, die we niet zullen behandelen, luidt als volgt: in elke driehoek met hoekpunten A, B en C geldt:
a−b a+b
tan
= tan
α−β 2 α+β 2
.
Naast deze drie regels is de volgende formule ook nog het vermelden waard, maar zullen we eveneens niet bespreken: in elke ∆ABC geldt a = b cos γ + c cos β en analoog b = c cos α + a cos γ en c = a cos β + b cos α.
VI-2
Th 1
3 Formule voor de oppervlakte van een driehoek met gegeven twee zijden en tussenliggende hoek. In elke driehoek met hoekpunten A, B en C geldt: opp. ∆ABC = Analoog geldt ook dat opp. ∆ABC =
1 bc sin α 2
1 1 ca sin β en opp. ∆ABC = ab sin γ. 2 2
Bewijs.2 Teken het orthonormaal assenstelsel met als oorsprong punt A en als positieve x-as halfrechte [AB . Teken daarna de cirkel met middelpunt de oorsprong en straal b. Door eventueel de driehoek te spiegelen om rechte AB mogen we aanemen dat hoekpunt C in het eerste of het tweede kwadrant ligt (zie figuur). Dan is:
C co B = . . . co Eα = . . .
a
b
co C = . . .
α
Pas de formule voor de oppervlakte van een driehoek met gegeven basis en hoogte toe:
c
A
B
Voorbeeld. Bereken algebra¨ısch de oppervlakte van de onderstaande driehoek. Werk met exacte waarden en rond je eindresultaat af op ´e´en vierkante millimeter nauwkeurig.
2, 8 cm3 cm 60◦ 7 cm
Th 2
3 Formule van Heron (formule voor de oppervlakte van een driehoek met gegeven drie zijden).3 In elke driehoek met hoekpunten A, B en C geldt: opp. ∆ABC =
»
s(s − a)(s − b)(s − c)
waarbij s =
a+b+c 2
Voorbeeld. Bereken algebra¨ısch de oppervlakte van de onderstaande driehoek. Rond je eindresultaat af op ´e´en vierkante millimeter nauwkeurig.
2, 8 cm6 cm
2, 8 cm
4, 6 cm 2 Merk op dat we in het bewijs een driehoek getekend hebben waarbij α > 90◦ . Die keuze heeft geen enkele invloed op de redenering die we in het bewijs maken: de co¨ ordinaten van het punt C zijn bij definitie gelijk aan (b cos α, b sin α), ongeacht de grootte van de hoek α. Merk op dat we daarvoor gebruik maken van het feit dat (eventueel na spiegeling) C in het eerste of het tweede kwadrant ligt. 3 Genoemd naar de Griekse wiskundige Heron van Alexandri¨ e (ca. 75 n.Chr.) die deze formule neergeschreven en bewezen heeft. De letter s stelt de halve omrek van de driehoek voor (Engelse term: semiperimeter).
VI-3
6.2
De sinusregel
De volgende regel drukt uit dat in elke driehoek de lengtes van de zijden evenredig zijn met de sinussen van de overstaande hoeken. Th 3
3 Sinusregel.4 In elke driehoek met hoekpunten A, B en C geldt:
C
b c a = = sin α sin β sin γ
γ a
b Bewijs.
α A
HZH
β c
B
3 Modelvoorbeeld 1. In een ∆ABC is β = 120◦ , γ = 30◦ en a = 5. Bereken algebra¨ısch de lengte van de andere zijden (exacte waarden geven) en de grootte van de andere hoek (op 1 seconde nauwkeurig). Controleer nadien je oplossing door zo’n driehoek nauwkeurig te tekenen. Oplossing.
4 De sinusregel werd voor het eerst beschreven door de Perzische wiskundige Nasir al-Din al-Tusi in de 13e eeuw. Men kan bewijzen dat deze verhoudingen gelijk zijn aan de diameter van de omgeschreven cirkel van de driehoek (de zogenaamde uitgebreide sinusregel).
VI-4
ZZH
3 Modelvoorbeeld 2. In een ∆ABC is a = 8 cm, b = 10 cm en α = 43◦ . Bereken algebra¨ısch de lengte van de andere zijde (op 0, 01 cm nauwkeurig) en de grootte van de andere hoeken (op 1 seconde nauwkeurig). Controleer nadien je oplossing door zo’n driehoek nauwkeurig te tekenen. Oplossing.
VI-5
6.3
De cosinusregel
Wegens de stelling van Pythagoras is een ∆ABC rechthoekig in A als en slechts als a2 = b2 + c2 . Is de hoek α geen rechte hoek, dan bestaat er een soortgelijke formule waarbij het rechterlid b2 + c2 gecorrigeerd wordt.5 Th 4
3 Cosinusregel.6 In elke driehoek met hoekpunten A, B en C geldt: a2 = b2 + c2 − 2bc cos α Analoog geldt ook dat b2 = c2 + a2 − 2ca cos β en c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ. Bewijs.2 Teken het orthonormaal assenstelsel met als oorsprong punt A en als positieve x-as halfrechte [AB . Teken daarna de cirkel met middelpunt de oorsprong en straal b. Door eventueel de driehoek te spiegelen om rechte AB mogen we aanemen dat hoekpunt C in het eerste of het tweede kwadrant ligt (zie figuur). Dan is:
C co B = . . . co Eα = . . .
a
b
co C = . . .
α
Bereken het kwadraat van de afstand tussen de punten B en C:
ZZZ
A
c
B
3 Modelvoorbeeld 1. In een ∆ABC is a = 3 cm, b = 5 cm en c = 7 cm. Bereken algebra¨ısch de grootte van de drie binnenhoeken (op 1 seconde nauwkeurig). Controleer nadien je oplossing door zo’n driehoek nauwkeurig te tekenen. Oplossing.
5 Voor een ∆ABC met grootste binnenhoek α (en dus langste zijde a) geldt: (1) α < 90◦ ⇔ a2 < b2 + c2 , (2) α = 90◦ ⇔ a2 = b2 + c2 (Pythagoras) en (3) α > 90◦ ⇔ a2 > b2 + c2 . Wat het verschil is tussen linker- en rechterlid, wordt precies door de cosinusregel uitgedrukt. 6 De cosinusregel werd voor het eerst in elementaire vorm beschreven door Euclides van Alexandri¨ e (3e eeuw v.C.). Voor een expliciete formulering was het wachten op de Perzische wiskundige Jamsh¯ıd al-K¯ ash¯ı (15e eeuw). In de 16e eeuw populariseerde Fran¸cois Vi` ete deze formule in de Westerse wereld. Pas in het begin van de 19e eeuw liet de moderne algebra¨ısche schrijfwijze toe om de formule in hedendaagse vorm te schrijven.
VI-6
ZHZ
3 Modelvoorbeeld 2. In een ∆ABC is b = 10, c = 7 en α = 45◦ . Bereken algebra¨ısch de lengte van de andere zijde (exacte waarde geven) en de grootte van de andere hoeken (op 1 seconde nauwkeurig). Controleer nadien je oplossing door zo’n driehoek nauwkeurig te tekenen. Oplossing.
VI-7
6.4
Toepassingen en vraagstukken
De term driehoeksmeting verwijst naar een techniek in de landmeetkunde, waar een netwerk van vele driehoeken wordt opgemeten om zo een stuk land nauwkeurig in kaart te brengen. Tijdens dat proces worden zo weinig mogelijk lengtes gemeten en zoveel mogelijk hoeken gemeten. De overige zijden van de driehoeken worden dan bepaald door het toepassen van de sinusregel en de cosinusregel. Het verdelen van een veelvlak in meerdere driehoeken wordt ook gebruikt in de grafische industrie om driedimensionale modellen op een computer eenvoudiger te verwerken. Dat wordt toegepast bij computerspelletjes, animatiefilms en geografische informatiesystemen voor militaire en commerci¨ele doeleinden, zoals Google Earth. Bij het oplossen van vraagstukken komt het er vaak op neer om, na het lezen van de opgave, een schets te maken waarin je alle gegevens en het gevraagde aanduidt. Dat laten we in de volgende modelvoorbeelden zien. Daarna ga je zelf aan de slag!
Met een theodoliet kan men horizontale en verticale hoeken meten met een hoge nauwkeurigheid.
3 Modelvoorbeeld 1. Een toren wordt gezien vanop een zekere afstand onder een hoek van 43â&#x2014;Ś . Gaat men 20 meter vooruit in de richting van de toren, dan ziet men hem onder een hoek van 53â&#x2014;Ś 230 . Bepaal de hoogte van de toren. Oplossing.
VI-8
3 Modelvoorbeeld 2. Vanop een vliegdekschip vertrekt een vliegtuig naar het zuiden, aan een snelheid van 400 km/u. Intussen zet het schip koers in de richting van 60â&#x2014;Ś ten oosten van het noorden en met een snelheid van 32 km/u. Als het vliegtuig genoeg brandstof heeft om vijf uur te kunnen vliegen, wat is dan de grootste afstand die de piloot zuidwaarts kan vliegen, zodat er nog genoeg brandstof overblijft om veilig naar het schip te kunnen terugkeren? Oplossing. vliegdekschip
VI-9