Wiskunde Aan zet een cursus wiskunde voor studierichtingen met vijf wekelijkse lestijden wiskunde vierde jaar algemeen secundair onderwijs geschreven door
Koen De Naeghel Hoofdstuk 6 Driehoeksmeting
30/11/2017
CREATIVE COMMONS Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 (CC BY-NC-SA) Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie. De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode De gebruiker mag: het werk kopiëren, verspreiden en doorgeven Remixen - afgeleide werken maken
Onder de volgende voorwaarden: Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam te vermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik van het werk). Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerciële doeleinden gebruiken. Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfde licentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid.
Met inachtneming van: Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden met voorafgaande toestemming van de rechthebbende. Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijke wetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze beı̈nvloed door de licentie. Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht: • Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet. • De morele rechten van de auteur. • De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals het portretrecht of het recht op privacy. Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aan . derden door middel van een link naar http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/
Eerste druk: 2016 Versie: 30 november 2017 Gepubliceerd door: Online publicatie platform Issuu.com Omslagfoto: http://nl.123rf.com/ Tekstzetsysteem: LATEX Royalty percentage: 0% c Koen De Naeghel, gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 i
Hoofdstuk
6
I)riehoeksmeting (o.r
Elementaire eigenschappen van
driehoeken
ii,**"#lr1r*,*)
.We
herhalen enkele notaties uit het vorige hoofdstuk en een drietal basiseigenschappen van driehoeken. Daarna zien we nieuwe formules voor de oppervlakte van een willekeurige driehoek.
O Notaties en afspraken. Beschouw drie verschillende punten A, B en C die niet collineair zijn. (1) De notatie LABC betekent: driehoek met hoekpunten A, B en C. (2) De LABC heeft drie zijden. De lengte van de zijde tegenover het hoekpunt Á noteren we met o. Idem voor de andere hoekpunten. In symbolen:
&:
lBCl
en 6:
en c:
lCAl
(3) De LABC heeft drie binnenboekeo, À, Ê
lABl
Ó. Di" zullen we met
".t de Griekse letters a, fr en 7 noteren (lees als alpha, betaen gamma).
In
symbolen: ^ a:A en Ê:B
A
en ^l:C.
(a) De binnenhoeken van een driehoek zijn niet-georiënteerd
en worden dus zonder pijltje voorgesteld. Met de sinus, cosinus en tangens va;;tzo'n binnenhoek bedoelen we de sinus, cosinus en tangens van de georiênteerde hoek die deze binnenhoek, gemeten in graden, als kleinst positieve hoekwaarde heeft.
Elke
LABC voldoet aan verbanden tussen a,b,c en a,0,^1. Zo is de som van de binnenhoeken gelijk aa"n de gestrekte hoek en is elke zijde korter da"n de som van de lengtes van de andere zijden. O Som van de binnenhoeken van een driehoek.
Beschouw drie hoeken
er bestaat een driehoek met binnenhoeken
n,8,7 <+
d,0,.f € ]0",180"[. Dan a
* 0* 7:
geldt:
180"
Beutijs zonder woorden uan Pythagoras.
-:-.sj
t-"i ',r \ï-i
)
AcBl
tr
Twee driehoeken met dezelfde binnenhoeken, z\jn gelijkvormig. Een driehoek is drts niet volledig bepaald door zijn binnenhoeken. Voorbeeld,. Teken twee verschillende driehoeken waarvoor twee binnenhoeken
\\\r
{\ó - 45,; - \( = t(. S.\tÀ'\.N\sÀét'*\*rt\'S',r"" I\J
K-t
gelijk zijn aan 120o en 45'
O DriehoeksongeliJkheid.
Beschouw drie getallen a,b,c e IRI-. Dan geldt: ,, \
À
.í
1.L: l,.L:
er bestaat een driehoek met zijden
a,b,c
{+
'1('i
g!
KÀ\
Voorbeeld. Bewijs dat er een driehoek bestaat v/aarvan de lengtes van de zijden 4 cm, 3 cm en 6 cm zijn. Teken daarna die driehoek.
\rt
L* -t\ÀoÀr **\.^.\or. n*t qLr,
i.rerirr, S Lï,r\
J
{.\
L.*,
htj
\"L
r\\t\r
an, \tr. L"'r.i\'.ot\-'* À-À"v\ilr",\
\'\)
Voor een LABC gelden ook nog andere verbanden tussen a,b, c en a, Ê,7. De belangrijkste relaties zijn de zogenaamde sinusregelen cos'inusregel.l Die zullen we in de volgende paragrafen bespreken. Daarvoor zullen we formules voor de oppervlakte vàn een driehoek nodig hebben. Vooreerst herha.len we de bekende a*s\rP
O Formule voor de oppervlakte van een driehoek metïbasis en hoogte. opp. driehoek: Betu'ijs zond,e,r utoord.en.
-\eïr,''!l
,,;,'1,r, '-q.'.,li'i,..
basis x hoogte 2
ii,).".*.;,'
nl,,
tr Wil je deze formule toepassen, dan moet je een basis en een hoogte loodrecht op die basis kennen. Zo kun je de formule niet meteen gebruiken om de oppervlakte van de twee driehoeken hieronder te berekenen. Daarom zullen we nog twee a.ndere formules zien om de oppervlakte van een driehoek te berekenen: een formule die je kan gebruiken als je twee zijden en een tussenliggende hoek kent (linkerfiguur) en een formule voor het geval dat enkel de drie zijden gekend
zijn (rechterfiguur).
/cm opp. driehoek:
4,6 cm
opp. driehoek:
?
?
,
LDe tangensregel, die we
t*í';9
)
niet zullen behandelen, luidt als volgt: in elke driehoek met hoekpunten A, B en C geldt: iá: :*-+t. tdrrl .ï | Naast deze drie regels is de volgende formule ook nog het vermelden waard. {maar zullen we oek niet .beha,ndelen}: in elke AáBC geldt elqYil.tNï \n.i,'Xa'1ir453 o-bcos'ï*ccosÉenanaloogb-ccosa+ocos'),enc:ocosÉ*bcoso. r
E-z
lptr
r\,:ï-\..
{ï:::i
Twee driehoeken wa,arbij de zijden dezelfde lengte hebben, zijn congruent. Een driehoek is dus volledig bepaald door de lengtes van de zijden.
:tL
q..
l\^'\l;t
:
Th1
Formule voor de oppervlakte van een driehoek met gegeven twee zijden en tussenliggende hoek. ln elke driehoek met hoekpunten ,4, B en C geldt:
AABC: 1ó"uirro
opp.
J
Analoog geldt ook dat
opp.
y'^ABC
: !
co"io g en
opp. AABC:
I
aósin?.
Bewijs.z Teken het orthonormaal assenstelsel met als oorsprong punt Teken daarna de cirkel met middelpunt de oorsprong en straal fr. Dan
Á en als positieve
e
coEÀ:
"oè
1,\" '. ,', ' L'u''À""\ "$
ic-as halfrechte
[Á8.
à\ i I
is:
"oB
I' ) '':\.or'\' '1' 'i"', '' ',. " ' ' ,j rrr+,t ,tí a"rir"' l^Vht'f'J
1 \t,.,,t.1. h( I ) ,,.t,r'*i
(",o) (ct l
: (L*
.\,tr'.L\
rlru^{
Pas de formule voor de oppervlakte van een driehoek met gegeven basis en hoogte toe:
q5 L\r\L
= n
Voorbeeld. Bereken algebrai'sch de oppervlakte van de onderstaande driehoek. Werk met exacte waard.en en
je eindresultaat af op één millime{er nauwkeurig. \ ll';ll'K.o-,t-\q-
S
rond
\u"V
i n'q" 1\( "r ili
''
Èx^k*-rL
)
7cm
\,\
=À\CtK-t a-\$ct(l Th2
Formule van [Ieron (formule voor de oppervlakte van een driehoek met gegeven drie zijden).3 In elke driehoek met hoekpunten Á. B en C seldt: opp.
.--.-.-..---.-i;----;-i.'--i
LABC: /s(s -
a)(s
-
b)(s
- c)
waarbij s
: a+b*c 2
Voorbeeld. Bereken algebrai'sch de oppervlakte van de onderstaande driehoek. Rond je eindresultaat af op één.íf,r\rn.',t
millimeter nauwkeurig.
\\ \\tb- = \[x =\ :\ \ --
o,\n -L\( r' -c\ tn,\- n, =
L3: x_
t-'1"{-
t,.t\"*t -- x
4,6 cm
L
gou*í
2Merk op dat we in het bewijs een driehoek getekend hebben waarbij a ) 90o. Die keuze heeft geen enkele invloed op de redenering die we in het bewijs maken: de coórdinaat van het punt C is bij definitie gelijk aan (bcosa,bsina), ongeacht de grootte lan de hoek a. ' .., 3 Genoemd naar de Grieksc wiskundige Heron van Alexandrië (ca. 75 n.Chr.) die deze formule neergeschreven en bewezen heeft. De/
letterssteltdehalveomrekvandedrieh.ekvoor(Engetseterm: semíperímeter''
TL-:
ottr nn!;* r..l\oo^.1,r^nr\,,;,.fr,.":,.r;../or'rr í.r"r,' ït' ïï"'::er*l t r'-\À
Ihl:t'l:llx*str-l ,'il*"ït:\'.**'$o ttr.Àttt$
"
",'ï li il'.i'i*\"
6.2 De sinusregel
Qq"
r
iia,r1" 1{r xr r,i)
De volgende regel drukt uit dat in elke driehoek de lengtes van de zijden evenredig zijn met de sinussen van de overstaande hoeken.
Th3
O Sinusregel.a In
Bewi,js.
. í
elke driehoek met hoekpunten Á,
B
en C geldt:
abc sina sinB sinl -:
\ r\
\tr \U\\prr:
Oq. L\qL = L \. I*l"L = L cx)!uv\ = {À o{ , =à \. xr., J- -* ca,- fu \ = ^\ l^,,.{ ,u{L LL"
It J
c/)^!..-$
=\
4t-
.=
'}\i\- L
\,!"n
ri
L&\ni,.1t
Ap
I*r ^L,
,"rJc o-
1o.*L 4" lxc{o
l.i*{ = b(t
O Modelvoorbeeld 1. In een AABC is p : I20",1: 30o en o : 5. Bereken algebraïsch de lengte va^n de andere I NL. \ Á r.* , zijden (exacte waarden geven) en de grootte van de andere hoek (op 1 seconde nauwkeurig). Controleer nadien .LLïLÀrrs\ je oplossing door zo'n driehoek nauwkeurig te tekenen. IHZH
\)
Oplossing.
-r O \-r\oti,ag-
\\
Nu.ruL-c*"\p
lc\ls:
k***1,
0)
N ('\e=É.r}. ut?o
*
o,s- v.cr,-
/^
\.l- \.fiJ*,lr. t
L=\\ti-\-{ = A\d :50A9
\
ll-t-d
- 3ci
N\nL ^ oè,|J,)r",-\
[
=\ .=u-=ï
O
\I
lo
)r,\,"' )(u-
\:\ \=
=
Jr- Ét\
Lcw
n )*tt\ )È\À ( " xr.'tt-i
lL:o" \. 1/
L:\
tL ('rt = ï,[[or,.,
)riw3o'
= 'J f{5 E
\ \ ,\ \ro^rL. OJ
\rw\(t
=<{-ï
aDe sinusregel werd voor het eerst beschreven door de Perzische wiskundige Nasir al-Din al-Tirsi !- in de. 13e eeuw. Men kan bewijzen dat deze verhoudingen gelijk zijn aan de diameter van de omgeschreven cirkel van de driehoek (de zogenaa,mde uitgebreide sinusregel).
VI.4
@o S.'t
S
Ltfroo.\
-J
10 cm erl a : 43", Bereken algebra.rsch de lengte va;r de andere zijde (op 0, 01 cm nauwkeurig) en de grootte van de andere hoeken (op 1 seconde nauwkeurig). Controleer
Modelvoorbeeld 2. In
een
AABC is a :
8 cm,
b:
nadien je oplossing door zo'n driehoek nauwkeurig te tekenen. Oplossi,ng.
*t-f\
Ào\,r:
\'U, > tr3
@ )rlr*irr$t
?t }Y!h- J.
NW
i^
t-
Lt\
(\'
\:
\
)ratr-L
nl
=o
.t( L\...
n'f \
&È
4ï-'\"?o'([" \t- = ,ltd-\a-
@ xr"wr*È, )t'\J.
v
=\ L^=
44
$o
o"l
--- 0--- &a _t1_ 1"\(t. 9-- opv,,Ut
o
5,o'{^..r0.r,.-L\-re\&"/
\r=
4
\d *
O li,rrsu-$ t
l- !v:
rr('
L9t
\"
Lr=
N**\r*5\tv.lng' \,"r,v,*,$5\^\"\"'." \
\ul'4w
6.3
De cosinusregel
Wegens de stelling van Pythagoras is een AABC rechthoekig in Á als en slechts als a2 : b2 + c2. Is de hoek rechte hoek, dan bestaat er een soortgelijke formule waarbij het rechterlid b2 + I gecorrigeerd wordt.s
Th
4
O Cosinusregel.o In
elke driehoek met hoekpunten A,
B
Qtit 1[)
;iS;
en C geldt:
a2:b2 +c2 -2bccosu Analoog geldt ook dat b2
=
c2
*a2 *2cacosB enc2:
a2
*b2 -2abcos1.
Bewi,js.2 Teken het orthonormaal assenstelsel Snet als oorsprong punt Á en als positieve r-as halfrechte [Á8. Teken daa,rna de cirkel met middelpunt de oorsprong en straal ó. Door eventueel de driehoek te spiegelen om rechte ÁB mogen $'e aanemen dat hoekpunt C in het eerste of het tweede kwadrant ligt (zie figuur).
Dan is:
coB: co
Eo
coc
:
e.") =(x{-T\ (.Cn
l.l,tr..l'\
o
: (.\ co 0.,\xr.,0.\ = (xt.T)
Bereken het kwadraat van de afstand tussen de punten
\BL\t= (rr-x*\L
B en C:
r tt-tY t (L)'{'-L-o\t
:\ * --(\*t-d
= \" *l;, * t-\c i.p\ d, + J \ \'ÉxLil. L = \t 1x*,r. * c"* r\ + L - LLcco L à
Modelvoorbeeld 1. In
een
LABC is a :
3 cm,
ó:
5 cm en
c:
7
tr
cm. Bereken algebra.rsch de grootte van de
drie binnenhoeken (op 1 seconde nauwkeurig). Controleer nadien je oplossing door zo'n driehoek nauwkeurig te tekenen. Oplossi,ng.
CE L-. rl^.u""oo1l
Y-R-q'àÀis,
r
i - lLc car *. =) St= (ttt'- r.(.\,cor d o.$Lï('.. :\ {rt\ L = -L-(;n-' is-\ t tt\ ó. tf tt =\ a-L
= ttï
L"r'V'rr"'-O$:
(L=j{\\t-L.3\.Lo\
b\ = 'É.fr\
:r
- -o$\(\'*
S: 3(ttlt' \*vJr. ' '\ L\ovon =\\d- L-t t \to" =,
C:- \
sVooreen AABC met grootstebinnenhoeka (enduslangstezijdea) geldt: (1)
a(90" ëa2 <b2+"2,(2) a:90o <+a2 -b2+ê
(Pythagoras) en (3) a > 90" ê a2 > b2 +c2. Wat het verschil is tussen linker- en rechterlid, wordt precies door de cosinusregel uitgedrukt. 6De cosinusregel werd voor het eerst in elementaire vorm beschreven door Euclides va.n Alexandrië !- (3e eeuw v.C.). Voor een expliciete formulering wa^s het wachten op de Perzische wiskundige Jamshïd al-Káshf \z- (15e eeuw). In de 16e eeuw populariseerde FranEois Viète V-^ deze formule fur de Westerse wereld. Pas in het begin van de 19e eeuw liet de moderne algebraiische schrijfuijze toe om de formule in hedendaagse vorm te schrijven.
VI.6
@
een AABC is b : 10, c:7 en a : 45". Bereken algebrarsch de lengte r,nn de andere zijde (exacte waarde geven) en de grootte va,n de axrdere hoeken (op 1 seconde nauwkeurig). Controleer nadien je oplossing door zo'n driehoek nauwkeurig te tekenen.
O Modelvoorbeeld 2. In
Oplossi.ng.
{Àf\'\&..,
Lorivr$^í\u\ilJ
:
f= fï*" - r-.\ "io
. c-o,
\(
= 4-\\-
=\
,-=$ffi
oi'inu"no.utr\"
--\.o\M.,,
r BEr
ï OF
EÍL\.\.
^oL--*"d*-ï--o..\-co\ .Àrrt- *":\t ='l Go\=
:-
I
lËw
:-o.o{-os\ó[\...
g_
@ Xrur,r,$, .\tnr.t À' = t- )ttx -- o-1995h,.,
:r il"\
-d.-\
t t'!
-, \: tf x'r{' \\lt.í,1'rr. (=tt,i-r--it \ = \\s'-t- \
\ x sdetr3" \Dtn\cr^. L\n*,"t E{
\=\W-d"-\ x Ht('t\o
x
\rxl
N-ÍÀs',\f,u..5t
\t 3\'33"
:\\"tcn'
tfirÀÀ\t$"1 SJ
trtr.
6i-t.nm$'rt\
t\k vt,- i gnttL ' \n *"^\"*\
tíffhtuí \
\trLrr,-
ïíh\{'*F&Àu\
1"'I \ \
trrk
\
À=\(o ) "- -''
(
.,
\b=\O
VI-7
r.., r^\5 {\u.\.r, $i
6,4
Toepassingen en vraagstukken
!r-o
De term driehoeksmeting verwijst naar een techniek in de landmeetkunde, waar een netwerk van vele driehoeken wordt opgemeten om zo een stuk land nauwkeurig in kaart te brengen. Tijdens dat proces worden zo weinig mogelijk lengtes gemeten en zoveel mogelijk hoeken gemeten. De overige zijden van de driehoeken worden dan bepaald door het toepassen va.n de sinusregel en de cosinusregel.
Het verdelen van een veelvlak in meerdere driehoeken wordt ook gebruikt in de gra,fische industrie om driedimensionale modellen op een computer eenvoudiger te verwerken. Dat wordt toegepa^st bij computerspelletjes, animatiefilms en geografische informatiesystemen voor militaire en commerciële doeleinden, zoals Google Earth. Bij het oplossen van vraagstukken komt het er vaak op neer om, na het lezen van de opgave, een schets te maken waarin je alle gegevens en het gevraagde aa,nduidt. Dat laten we in de volgende modelvoorbeelden zien. Daarna ga je zelf aan de slag!
Met een theodoliet kan men horizontale en verticale hoe-
ken meten met een
hoge
nauwkeurigheid.
O Modelvoorbeeld 1. Een toren wordt gezien vanop een zekere afstand onder een hoek van 43o. Gaat men 20 meter vooruit in de richting van de toren, dan ziet men hem onder een hoek van 53o23/. Bepaal de hoogte van de toren. Oplossi,ng.
\4-,^-o-* cu'
ÀÀs
,
L**hiÀo*, ó,.=
À\d- \1' - (at'i-('Jt3')
-- 4o"Ld )\hÍn\rilLi
s-= h}\\f
to ItK
J-
9-o.Nr-\3"
=\ \: )
lrttr"
'K.\k)sÀart
=
\( " [$,,.
fï*J
'
O
q'Àk\'*r.'n.3\nÀ*,-
xw (:'L3t
=\
><
7
)"
=
X
) (3" L3t = Lo $:t.".
\ÀnJ
VI-8
í
:l lY!t( 4t !r 'r.\ir,.t. ol
r-\**./
O Modelvoorbeeld 2. Vanop
een vliegdekschip vertrekt een vliegtuig naa,r het zuiden, aan een snelheid van 400 km/u. Intussen zet het schip koers in de richting van 60o ten oosten ran het noorden en met een snelheid van 32 km/u. Als het vliegtuig genoeg brandstof heefï om vijf uur te kunnen vliegen, wat is dan de grootste afstand die de piloot zuidwaarts kan vliegen, zodat er nog genoeg bra.ndstof overblijft om veilig naar het schip te kunnen terugkeren? Oplossing.
\tar,t
fux
vliegdekschip
hMh,
I\,,/
t"rtr,.rrut$
t q
í L'"o -
\l
x\ = xt\ 4tot *
1--x- {ko. co'r \ï-s' --
(*\ ïe*a- \crro " */ =,/ t
(=\
h4tt
(=.
Y=
4[t.,L
t
*I
v
4tsY
x '= L"*x - \tst roo,l-
,r,[ov
hr[o
$((.3t\k... \"rJ
{\dk t tv.ry
Ltdtl\1il
' (.\.\\d[
VI-9
\"r t
\.rl.r[
L \,
g.4t.Lr,\\,