Hoofdstuk 7 Telproblemen

Wiskunde Aan zet een cursus wiskunde voor studierichtingen met vijf wekelijkse lestijden wiskunde vierde jaar algemeen secundair onderwijs geschreven door

Koen De Naeghel Hoofdstuk 7 Telproblemen

26/03/2018

CREATIVE COMMONS Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 (CC BY-NC-SA) Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie.

De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode De gebruiker mag: het werk kopi¨eren, verspreiden en doorgeven Remixen - afgeleide werken maken

Onder de volgende voorwaarden: Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam te vermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik van het werk).

Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerci¨ele doeleinden gebruiken.

Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfde licentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid.

Met inachtneming van: Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden met voorafgaande toestemming van de rechthebbende.

Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijke wetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze be¨ınvloed door de licentie.

Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht: • Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet.

• De morele rechten van de auteur.

• De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals het portretrecht of het recht op privacy.

Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aan . derden door middel van een link naar http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/

Eerste druk: 2017 Versie: 26 maart 2018 Gepubliceerd door: Online publicatie platform Issuu.com Omslagfoto: http://nl.123rf.com/ Tekstzetsysteem: LATEX Royalty percentage: 0% c Koen De Naeghel, gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0

i

Hoofdstuk 7

Telproblemen 7.1

Verzamelingen (herhaling)

In deze paragraaf overlopen we de belangrijkste kenmerken van een van de meest fundamentele begrippen in de wiskunde: verzamelingen.

3 Afspraak. Een verzameling kan omschreven worden als een collectie objecten, die we haar elementen noemen. Een verzameling heeft geen ordening en elk element kan hoogstens ´e´en keer voorkomen. We kunnen een verzameling beschrijven door haar elementen in een willekeurige volgorde op te sommen. Het geheel van alle elementen wordt tussen accolades geplaatst. We stellen een verzameling schematisch voor aan de hand van een venndiagram.1 Voorbeeld. A = {−2, 1, 3} is een verzameling. Omdat een verzameling geen ordening heeft, zal bijvoorbeeld {3, −2, 1} dezelfde verzameling A zijn. De verzameling A kan als volgt worden voorgesteld:

A

−2 1 3 3 Notatie. Beschouw een verzameling A. Als een element a tot A behoort, dan schrijven we a ∈ A, wat we lezen als a is een element van A. In het andere geval schrijven we a ∈ / A. Bevat A een eindig aantal elementen, dan noteren we dat aantal met #A en lezen dit als het kardinaalgetal van A. 3 Definitie. De unieke verzameling zonder elementen noemen we de lege verzameling, genoteerd met {} of met ∅.

Omdat de lege verzameling geen elementen bevat, is #∅ = 0.

3 Afspraak. Een andere mogelijkheid om een verzameling te beschrijven is het geven van een of meerdere eigenschappen waaraan de elementen van die verzameling moeten voldoen. De verticale streep | wordt gelezen als waarvoor geldt.

Voorbeeld. De verzameling {a ∈ Z | a2 = 4} is dezelfde als {2, −2}.

3 Definitie. Zij A en B verzamelingen. Dan zeggen we dat A een deelverzameling is van B, genoteerd met A ⊆ B, indien elk element van A ook een element is van B. Th 1

In symbolen: A⊆B

⇔

∀x ∈ A : x ∈ B

In dat geval zeggen we: de verzameling B omvat de verzameling A. Is dat niet zo, dan schrijven we A 6⊆ B.

Voorbeeld. Elk natuurlijk getal is een geheel getal, dus de verzameling van alle natuurlijke getallen is een deelverzameling van de verzameling van alle gehele getallen. Anders gezegd: De verzameling van de gehele getallen omvat de verzameling van de natuurlijke getallen. In symbolen: N ⊆ Z. Schematisch:

Z

N 0 1 2 ...

1 Genoemd

−1 −2 ...

naar John Venn 1880. Gelijkaardige diagrammen werden eerder gebruikt door Leonhard Euler 18e eeuw, Gottfried Willhelm Leibniz 17e eeuw en Ramon Llull 13e eeuw. Zo’n venndiagram hoeft niet de vorm van een ellips of cirkel te hebben: dat mag ook een vierkant of algemener een rechthoek, een veelhoek of zelfs eender welke gesloten kromme zonder zelfdoorsnijding zijn.

VII-1

Hierboven hebben we al aangegeven dat {−2, 1, 3} en {3, −2, 1} dezelfde verzameling voorstellen. De volgende definitie zegt wanneer twee verzamelingen gelijk zijn. Daarnaast kunnen we met de bewerkingen doorsnede, unie, verschil en complement nieuwe verzamelingen maken.

3 Definitie. Twee verzamelingen A en B zijn gelijk als A een deelverzameling is van B en als B een deelverzameling is van A. We schrijven dan A = B. Is dat niet zo, dan schrijven we A 6= B.

Th 1

3 Definitie. Zij A en B verzamelingen. De doorsnede van A en B is de verzameling van alle elementen die in A en in B bevat zijn. We noteren die verzameling met A ∩ B. In symbolen:

A ∩ B = {x | x ∈ A en x ∈ B} Schematisch:

A

B A∩B

3 Definitie. Zij A en B verzamelingen. De unie van A en B, genoteerd met A ∪ B, is de verzameling van alle elementen die in A of in B bevat zijn.

Th 1

In symbolen: A ∪ B = {x | x ∈ A of x ∈ B} Schematisch:

A

B A∪B

Th 1

3 Definitie. Zij A en B verzamelingen. Het verschil van A met B is de verzameling van alle elementen die wel tot A maar niet tot B behoren. Die verzameling wordt met A \ B genoteerd.

In symbolen:

A\B = {x | x ∈ A en x ∈ / B} Schematisch:

A

B

A\B

Th 1

3 Definitie. Zij U een verzameling en A een deelverzameling van U . Het complement van A met U is de verzameling van alle elementen van U die niet tot A behoren. Die verzameling wordt met Ac of met A genoteerd.

In symbolen: Ac = A = {x | x ∈ U en x 6∈ A} Schematisch:

U A A

Merk op dat A = U \ A. VII-2

7.2

Tellen met behulp van venndiagrammen

3 Op ontdekking. Een kaartspel bevat 52 speelkaarten, die onderverdeeld worden in vier soorten: schoppen ♠, harten ♥, klaveren ♣ en ruiten ♦. Elke soort bevat drie prentkaarten: een boer, een dame en een heer.

Noem U de verzameling van de 52 speelkaarten, A de verzameling van de hartenkaarten en B de verzameling van de prentkaarten. Beschrijf telkens de verzameling in woorden, stel schematisch voor en tel het aantal elementen. (a) x ∈ A ∩ B betekent: x is . . .

Schematisch:

U A

#A ∩ B = . . .

B

(b) x ∈ A ∪ B betekent: x is . . .

Schematisch:

U A

#A ∪ B = . . .

B

(c) x ∈ A \ B betekent: x is . . .

Schematisch:

U A

#A \ B = . . .

B

(d) x ∈ A betekent: x is . . .

Schematisch:

U A

#A = . . .

VII-3

Een boer draagt de letter J, naar de Engelse term jack.

In de volgende eigenschap sommen we de belangrijkste formules van het kardinaalgetal van een bewerking met eindige verzamelingen op. Het is niet de bedoeling dat je die formules uit het hoofd leert. Wel moet je in staat zijn om die formules te kunnen aanvullen en verklaren aan de hand van venndiagrammen, zoals we op de vorige pagina gedaan hebben. In een oefening komt het er dan ook op neer om de gegevens voor te stellen in venndiagrammen, waaruit je het gevraagde kan beredeneren. Dat maken we hieronder duidelijk met drie modelvoorbeelden.

Th 2

3 Eigenschap. Zij U een eindige verzameling en A, B twee deelverzamelingen van U . Dan geldt:2 #(A ∪ B) = #A + #B − #(A ∩ B) #(A \ B) = #A − #(A ∩ B) #A = #U − #A 3 Modelvoorbeeld 1. In een kaartspel van 52 speelkaarten noemen we K de verzameling van klaveren en H de verzameling van heren. Bereken telkens met behulp van een formule het gevraagde kardinaalgetal. Tussenstappen opschrijven! (a) #(K ∪ H)

(b) #(H \ K) (c) #H

(d) # K ∩ H Oplossing.

2 De eerste formule wordt het principe van inclusie en exclusie genoemd (inclusie betekent insluiting, exclusie wil zeggen uitsluiting). De formule kan veralgemeend worden voor meer dan twee verzamelingen, al kan ze enkel voor twee verzamelingen A, B of drie verzamelingen A, B, C met venndiagrammen afgebeeld en beredeneerd worden. Voor drie eindige verzamelingen A, B, C gaat het principe van inclusie en exclusie als volgt: #(A ∪ B ∪ C) = #A + #B + #C − #(A ∩ B) − #(B ∩ C) − #(C ∩ A) + #(A ∩ B ∩ C). Het principe wordt toegekend aan Abraham de Moivre 1718, hoewel het pas voor het eerst verscheen in een artikel van Daniel da Silva 1854 en later in een werk van James Joseph Sylvester 1883.

VII-4

3 Modelvoorbeeld 2. Bij het bestellen van een nieuwe auto kan de consument kiezen voor een aantal opties, zoals bijvoorbeeld elektronische airco en een ingebouwd gps-systeem. Vorig jaar werden er in een bepaalde fabriek 180 000 auto’s geproduceerd. Daarvan hadden er 130 000 auto’s een elektronische airco.

Van alle auto’s werden er 70 000 voorzien van een ingebouwd gps-systeem. Zo’n 40 000 auto’s hadden geen van beide opties. Hoeveel auto’s werden voorzien van beide opties? global positioning system

Oplossing.

3 Modelvoorbeeld 3. Aan 150 leerlingen van een vierde jaar wordt gevraagd of ze in hun vrije tijd naar een muziekschool (M), naar een sportclub (S) en/of naar een jeugdbeweging (J) gaan. Van die leerlingen gaan er 50 onder andere naar een muziekschool, 65 onder andere naar een sportclub en 60 onder andere naar een jeugdbeweging. Verder gaan 25 leerlingen onder andere zowel naar een muziekschool als naar een sportclub, 20 onder andere zowel naar een sportclub als naar een jeugdbeweging en 15 onder andere zowel naar een muziekschool als een jeugdbeweging. Ten slotte gaan 10 leerlingen zowel naar een muziekschool, naar een sportclub als naar een jeugdbeweging. (a) Hoeveel leerlingen gaan naar ten minste ´e´en van de drie? (b) Hoeveel leerlingen gaan naar geen enkele van de drie? (c) Hoeveel leerlingen gaan naar precies twee van de drie? (d) Hoeveel leerlingen gaan niet naar een sportclub?

Oplossing.

VII-5

7.3

Tellen met behulp van boomdiagrammen

In een telprobleem wordt gevraagd om een aantal mogelijkheden te tellen. Vaak kun je zo’n telprobleem oplossen door een schema te maken waarin je alle mogelijkheden overzichtelijk weergeeft.

Het belangrijkste schema is een boomdiagram, dat bestaat uit punten (knopen genoemd) die met elkaar verbonden worden door lijnstukken (takken), gerangschikt van links naar rechts. In een boomdiagram bestaan geen cirkelpaden en is er altijd precies ´e´en pad van de linkerknoop (wortel) naar elke andere knoop.

Heel wat telproblemen kun je oplossen door alle mogelijkheden weer te geven met een boomdiagram. Door het aantal paden van de wortel (linkerknoop) naar een eindknoop rechts te tellen, weet je hoeveel mogelijkheden er zijn. Dat laten we hieronder met enkele modelvoorbeelden zien.

3 Modelvoorbeeld 1. De code van een kluis bestaat uit vier cijfers: het cijfer 0, twee keer het cijfer 4 en het cijfer 8. Hoeveel codes zijn er mogelijk? Formuleer je antwoord in een volzin.

Oplossing Na het lezen van een opgave is het aangeraden alvast eens ´e´en mogelijkheid op te schrijven. Dat helpt je om de opgave te begrijpen (vul aan): 1e cijfer

2e cijfer

3e cijfer

4e cijfer

0

4

8

4

Bij een code is de volgorde van de cijfers belangrijk: zo is de code 4840 een andere code dan 4804. Dat de volgorde belangrijk is, maken we duidelijk door zoals hierboven de cijfers in hokjes (of doosjes) te plaatsen.

Een elektronische kluis met een cijfercombinatie.

Hieronder lijsten we alle mogelijke codes op in een boomdiagram. Bij het opstellen van zo’n boomdiagram is belangrijk dat je steeds de kolommen na de wortel en de knopen in die kolommen benoemt. Hier zijn de kolommen 1e cijfer, 2e cijfer, 3e cijfer, 4e cijfer en de knopen in die kolommen de cijfers 0, 4, 8.

Vul het boomdiagram verder aan en tel nadien het totaal aantal paden van de wortel naar een eindknoop rechts:

2e cijfer

3e cijfer

4e cijfer }

1e cijfer

4 0 8

0 {z

totaal aantal 4

4

paden: . . .

8

0 8

|

4

Antwoord. . . .

VII-6

3 Modelvoorbeeld 2. Hoeveel woorden zijn er met drie letters, te kiezen uit a, b, c, d, e, f? De woorden hoeven geen betekenis te hebben.

Oplossing. Schrijf een voorbeeld op: Bij een woord is de volgorde van de letters belangrijk: zo is het woord ada verschillend van het woord aad.

Daarom plaatsen we de letters in doosjes.

Opnieuw kunnen we alle mogelijkheden in een boomdiagram oplijsten. Alleen zou het deze keer erg veel werk vergen, omdat er zoveel takken zijn. Daarom kun je het boomdiagram zoals hieronder wat verkort weergeven. wel moet je bij elke bundel takken noteren hoeveel takken er precies zijn (vul aan):

2e letter

3e letter

..

.. ..

}

1e letter

|

{z

totaal aantal paden:

Antwoord. . . .

Opmerking. Achteraf gezien kunnen we ook als volgt redeneren. We schrijven nog steeds een voorbeeld op:

productregel

1e letter

2e letter

3e letter

a

d

a

In elk doosje hebben we een letter geplaatst. Voor het eerste doosje hebben we 6 mogelijheden, voor het tweede doosje ook 6 mogelijkheden en voor het derde doosje ook 6. Op die manier verkrijgen we 6 · 6 · 6 = 63 = 216 mogelijkheden.

In het vervolg mag je oefeningen op deze korte manier oplossen, op voorwaarde dat je nog steeds weet waarom je vermenigvuldigt. Die reden is duidelijk in het boomdiagram: uit de eerste knoop komen 6 takken, in elke tak ontstaan telkens 6 nieuwe takken, en daarna krijgt elke tak opnieuw 6 takken. Daarom is het totaal aantal paden van links naar rechts gelijk aan 6 · 6 · 6.

3 Modelvoorbeeld 3. In de volgende opdrachten hoeven de woorden die je met de gegeven letters maakt geen betekenis te hebben. (a) Hoeveel woorden zijn er met drie letters, te kiezen uit a, b, c, d, e, f waarin letter a minstens ´e´en keer voorkomt? (b) Hoeveel woorden zijn er met drie verschillende letters, te kiezen uit a, b, c, d, e, f? (c) Hoeveel woorden zijn er met zes verschillende letters, te kiezen uit a, b, c, d, e, f?

Oplossing.

VII-7

3 Modelvoorbeeld 4. Een firma wil twee vrachtwagens van verschillende merken aankopen. Bij merk A zijn er drie passende types, bij merk B vier passende types en bij merk C twee passende types. Op hoeveel manieren kan de firma een keuze maken?

Oplossing. Schrijf een voorbeeld op: Om zo’n voorbeeld te maken, moeten we eerst twee merken uit de drie kiezen. Daarna moeten we voor elk van de twee gekozen merken een type kiezen. Stel nu een boomdiagram op waarin je alle mogelijkheden weergeeft:

Antwoord. . . .

Opmerking. Achteraf gezien kunnen we ook als volgt redeneren: . voor de combinatie A-B zijn er 3 · 4 = 12 mogelijkheden, . voor de combinatie A-C zijn er 3 · 2 = 6 mogelijkheden, . voor de combinatie B-C zijn er 4 · 2 = 8 mogelijkheden. somregel

In totaal zijn er dus 12 + 6 + 8 = 26 mogelijkheden.

In het vervolg mag je oefeningen op deze korte manier oplossen, op voorwaarde dat je nog steeds weet waarom je optelt. Die reden is duidelijk in het boomdiagram: uit de eerste knoop komen 3 takken, waarbij de eerste tak 12 takken krijgt, de tweede tak 6 takken krijgt en de derde tak 8 takken krijgt. Daarom is het totaal aantal paden van links naar rechts gelijk aan 12 + 6 + 8.

3 Modelvoorbeeld 5. In klas 4d LWi zitten 24 leerlingen. Op hoeveel manieren kan je leerkracht wiskunde een groepje van twee leerlingen uit die klas kiezen?

Oplossing. Schrijf een voorbeeld op:

Jan Sofie Vera Bij een groepje is de volgorde van de leerlingen niet belangrijk: zo is het groepje Jitske en Noa hetzelfde als het groepje Noa en Jitske. Dat de volgorde niet belangrijk is, maken we duidelijk door de leerlingen in een venndiagram (of zakje) te plaatsen.

Omdat de volgorde niet belangrijk is, kunnen we het aantal mogelijkheden niet rechtstreeks tellen met een boomdiagram. Daarom moeten we het met een omweg aanpakken. Noem x het aantal groepjes van twee leerlingen uit de klas (zakje). Bij elk zo’n mogelijkheid kunnen we dat groepje van twee in volgorde plaatsen (doosjes). Anderzijds kunnen we ook meteen het aantal mogelijkheden tellen dat we twee leerlingen uit de klas in volgorde kunnen kiezen (doosjes). Op die manier kunnen we achterhalen wat x is (vul aan):

24 leerlingen

2 leerlingen

Tijs Floriane .. .

Jitske

˙˙ ˙ x takken

Antwoord. . . .

VII-8

7.4

Tellen van wegen en de driehoek van Pascal

In deze laatste paragraaf richten we ons tot een welbepaald type van telproblemen: het tellen van wegen. Daarbij krijg je een figuur waarop een aantal plaatsen staan, die verbonden worden met wegen. Het telprobleem bestaat erin om te achterhalen hoeveel verschillende wegen er van de ene naar de andere plaats zijn.

3 Modelvoorbeeld 1. Op de figuur hiernaast staan metroverbindingen tussen vier stations A, B, C en D. De pijlen geven aan dat het om eenrichtingsverkeer gaat.

B

(a) Op hoeveel manieren kun je van A naar B gaan? (b) Hoeveel routes zijn er van A naar D via B?

D

A

(c) Hoeveel routes zijn er van A naar D via C? (d) Hoeveel routes zijn er van A naar D? Oplossing.

C

3 Modelvoorbeeld 2. De figuur hieronder stelt een rechthoekig stratenpatroon voor. Elk lijnstuk is ´e´en weg tussen het begin- en eindpunt van dat lijnstuk. (a) Duid in de figuur een mogelijk pad van A naar B aan (zonder omwegen). (b) Bepaal het aantal kortste wegen van A naar B. (c) Bepaal het aantal kortste wegen van A naar B via tussenpunt C.

B

C

A Oplossing.

VII-9

3 Opmerking 1. Je kan elke kortste weg van A naar B opschrijven aan de hand van een code met een welbepaald aantal keer de letter H van horizontaal en de letter V van verticaal. Noteer de code voor de weg van A naar B die je op de figuur bij Modelvoorbeeld 2 hebt aangeduid:

Bij elk pad van A naar B hoort nu zo’n code met de letters H en V waarbij H vier keer voorkomt en V drie keer voorkomt. Omgekeerd, heb je een code met vier keer letter H en drie keer letter V, dan hoort daar een pad van A naar B bij. Duid op de vorige pagina het pad aan dat hoort bij de code VHVHHHV. Het aantal paden van A naar B moet dus gelijk zijn aan het aantal codes met de letters H en V waarbij H vier keer voorkomt en V drie keer voorkomt. Uit onze oplossing van vraag (b) uit Modelvoorbeeld 2 weten we dat er precies 35 paden van A naar B zijn. Er zijn dus ook 35 mogelijke codes!

Zo kun je ook bij andere opgaven waarbij je het aantal codes met twee letters moet tellen het probleem vertalen naar het tellen van wegen. Kun je het volgend telprobleem oplossen?

Je gooit een munstuk tien keer op, en houdt telkens bij wat je gegooid hebt (kop of munt). Op hoeveel manieren kun je in het totaal zes keer kop en vier keer munt gooien?

3 Opmerking 2. De getallen die voorkomen in de figuur van Modelvoorbeeld 2, vormen een patroon dat de driehoek van Pascal wordt genoemd. Vul het patroon enkele regels verder aan:3 1 1 1 1 ... ...

2 ...

... ...

1 1 ... ...

...

1 ...

...

... ...

...

Dit patroon komt ook voor in de uitwerking van de volgende merkwaardige producten (vul aan): (a + b)0 = . . . (a + b)1 = . . . (a + b)2 = . . . (a + b)3 = . . .

Op die manier kun je die merkwaardige producten onthouden. Schrijf meteen het eindresultaat op: (a + b)4 = . . . (a + b)5 = . . .

Een tweeterm zoals a + b wordt ook wel een binomium genoemd. De getallen uit de driehoek van Pascal worden binomiaalco¨effici¨enten genoemd omdat ze verband houden met de machten van het binomium a + b.4 3 Deze driehoekige vorm wordt toegeschreven aan Blaise Pascal maar kwam reeds voor bij de Indiase wiskunde Pingala 3e eeuw v.Chr., de Perzische wiskundige Omar Khayy´ am 11de eeuw en de Chinese wiskundigen Yang Hui 1261 en (onafhankelijk?) Zhu Shijie.

4 De eigenschap dat de co¨ effici¨ enten van (a + b)n kunnen afgelezen worden in de n-de rij van de driehoek van Pascal staat bekend als het binomium van Newton, zie derde graad 6u-8u wiskunde. Dit resultaat is vernoemd naar Isaac Newton .

VII-10