Wiskunde Aan zet een cursus wiskunde voor studierichtingen met vijf wekelijkse lestijden wiskunde vierde jaar algemeen secundair onderwijs geschreven door
Koen De Naeghel Hoofdstuk 7 Telproblemen
26/03/2018
CREATIVE COMMONS Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 (CC BY-NC-SA) Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie. De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode De gebruiker mag: het werk kopi¨eren, verspreiden en doorgeven Remixen - afgeleide werken maken
Onder de volgende voorwaarden: Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam te vermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik van het werk). Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerci¨ele doeleinden gebruiken. Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfde licentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid.
Met inachtneming van: Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden met voorafgaande toestemming van de rechthebbende. Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijke wetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze be¨ınvloed door de licentie. Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht: • Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet. • De morele rechten van de auteur. • De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals het portretrecht of het recht op privacy. Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aan derden door middel van een link naar http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/ .
Eerste druk: 2017 Versie: 26 maart 2018 Gepubliceerd door: Online publicatie platform Issuu.com Omslagfoto: http://nl.123rf.com/ Tekstzetsysteem: LATEX Royalty percentage: 0% c Koen De Naeghel, gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 i
Hoofdstuk -/-
Telproblemen 5.1 In
\o".,".,
Verzamelingen (herhaling)
ï,n
deze paragraaf overlopen we de belangrijkste kenmerken van een van de meest fundamentele begrippen
in
de
wiskunde: aerzameling en.
O Afspraak. Een verzameling kan omschreven worden als een collectie objecten, die we haar elementen noemen. Een verzameling heeft geen ordening en elk element kan hoogstens één keer voorkomen. We kunnen een verzameling beschrijven door haar elementen in een willekeurige volgorde op te sommen. Het geheel van alle elementen wordt tussen accolades geplaatst. We stellen een verzameling schematisch voor aan de hand van een venndiagraml.
A: {-2,1,3} is een verzarneling. Omdat een verzarnelirrg geerr ordening }reefh, zal bijvoorbeeld. dezelfde verzameling A zijn. De verzameling Á kan als volgt worden voorgesteld:
Voorbeeld.
{3,-2,1}
t-)
rl
.ll Notatie. Beschouw een verzameling Á. Als een element a tot A behoort, dan schrijven \/e íl € -4, wat we lezen als a is een element uan A. In het andere geval schrijven we a f Á. Bevat Á een eindig aantal elementen, dan noteren we dat aantal met ffA en lezen dit als het kard'inaalgetal uan A. Definitie.
De unieke verzameling zonder elementen noemen we de lege verzameling, genoteerd met
Orndat de lege verzameling geen elernenten bevat, is
ff0:
{}
of met 0.
0.
Afspraak. Een andere
mogelijkheid om een verzameling te beschrijven is het geven van een of meerdere eigenschappen waaraan de elementen van die verzameling moeten voldocn. De verticale streep I wordt gelezen als waaruoor geldt. Voorbeeld. De verzameling
{a
eZl a2:4}
is dezelfde als {2,
*2}.
o Definitie.
Zíj A en B verzamelingen. Dan zeggen we dat ,4 een deelverzameling is van B, genoteerd met A C B, indien elk element van Á ook een element is van B.
th1
In svmbolen:
ACB <+ YreA:re B In dat geval zeggen we: de verzameling B omvat de verzameling,4. Is dat niet zo, dan schrijven we Af B. Voorbeeld,. Elk natuurlijk getat is een geheel getal, dus de verzameling van alle natuurlijke getallen IS een deelverzameling van de verzameling van alle gehele getallen. Anders gezegd: De verzameline van de gehele getallen omvat de verzameling van de natuurlijke getallen. In symbolen: N C Z. Schematischt
ZZ
'Genoemd naar John Venn V. 1880. Gelijkaardige diagrammen'werden eerder gebruikt door Leonhard Euler V'* 18e eeuw, Gottfried \Millheim Leibniz V" 17e eeuw en Ra.mon Llull V" 13e eeuw. Zo'n venndiagram hoeft niet de vorm van een ellips of cirkel te hebben: dat mag ook een vierkant of algemener een rechthoek, een veelhoek of zelfs eender welke gesloten krornme zonder zelfdoorsnijding zijn.
'8"-r
I
Hierboven hebben we aJ aangegeven dat {-2,1,3} en {3, -2,11 dezelfde verza^rneling voorstellen. De volgende definitie zegt wanneer twee verzamelingen gelijk zijn. Daarnaast kunnen we met de bewerkingen d,oorsnede, un'ie, uerschilen complernent nieuwe verzamelingen maken.
O Definitie. Twee verzamelingen Á en B zijn gqlijk als Á een deelverzameling is van B en als B een deelverzameling is van Á. We schrijven dan Á : B. Is dat niet zo, dan schrijven we A { B.
th1
O Deffnitie. Zij A en B verzamelingen. De doorsnede Yan ,4 en B is de verzameling 'We en in B bevat zijn. noteren die verzameling met An B. In symbolen:
va.rr alle elementen die
in á
AnB:{rln€AenreB}
Schematisch:
AenB
Definitie. Zlj A elementen die
-Th
1
en B verza,melingen. De in Á of in B be,vat ziin.
genoteerd met Á U
B, is de verzameling van alle
In symbolen:
AUB:{rlr€Aof ne B} Schematisch:
-Th
1
Definitie. Zij A en B verzarnelingen. Het verschil van Á met B is de verzameling van alle tot ,4 maar niet tot B behoren. Die verzameling wordt met Á \ B genoteerd. In symbolen:
elementen die wel
Á\B: {rlre.AenrSB}
Schematisch:
Definitie. Zij U
eer. verzameling
verzameling van alle elementen van
Thl
en Á een deelverzameling van [/. Het complement van Á met [/ is de die niet tot á behoren. Die verza"rneling wordt met /" of met 7 genoteerd.
[/
In symbolen:
A':A:{rlr ')tr\qlnÀ'^\.'t
U
Merkopdatá:U\Á. TS- -z
€[/en
rlA]
5.2
Tellen rnet behulp van venndiagrammen
O Op ontdekking.
Een kaartspel bevat 52 speelkaarten, die onderverdeeld worden in vier soorten: schoppen l, hafienl, klaueren * en ruiten (}. Elke soort bevat drie prentkaar"ten:. een boer, een d,ame en een heer.
[/
de verzameling van de 52 speelkaa,rten, Á de verzameling va,n de harB de verzameling van de prentkaarten. Beschrijf telkens de verzameling in woorden, stel schematisch voor en tel het aantal elementen. '\ \ \ r\ \ \ \ \, \ \
Noem
tenkaarten en
(a)
r
€ A a B betekent: e' is .\tc(grr.
Schematisch:
.
íl
ts g.r-rr.\ t Nt'a\or-\\c.( \b,c,\rv.' \rrr* \\,lÀR*\c.r\ ril
ffAnB:.3 Een boer draagt de letter J, naar de Engelse term jack.
(b)
re AUB
betekent:
Schematisch:
r
\
\',
is .IiÀ\,\tr,.
\*"t 4-3
#AuB: .*\rr*s*+\\\g IJU
À3 + {b
#Á\B: ..* \ àó
3\
'ïit
-r
* * \t\9, 4,3* 3
\-#Á:...tu
ít
-3
-* s' _ {_3
In de volgende eigenschap soruuen we de belarrgrijkste Íbrrnules van het kardinaalgetal van een bewerking nret eindige verzamelingen op. Het is niet de bedoeling dat je die formules uit het hoofd leert. Wel moet je in staat zijn om die formules te kunnen aanvullen en verklaren aan de hand van venndiagrammen, zoals we op de vorige pagina gedaan hebben. In een oefening komt het er dan ook op neeï om de gegevens voor te stellen in venndiagrammen, waaruit je het gewaagde kan beredeneïen. Dat maken we hieronder duidelijk met drie modelvoorbeelden.
T
2
O Eigenschap. Zij U
een eindige verzameling en Á,
B twee deelverzamelingen van [/. Dan geldt:2
#(Au B) : ffA+ #B #(,4 \ B)
- #(An
B)
: #A - #(An B)
#A:
#U _ #A
O Modelvoorbeeld 1. In een kaartspei
van 52 speelkaarten noemen we verzameling van heren. Bereken telkensnhet gevraagde kardinaalgetal.
K
de verzameling van klaveren en
Í/
de
v\v\'À-
(a) #(K u H) (b) #(f1\ /{)
(") #E
@ #@nE) OpIoss'ing.
(c)
(")
+ku\
+H,
\\U-- *(ftnW) Ài \ \- l_
= iF K
*u * *\\" sL, \ ht
^[
t\
+(wrÈ = +\- tfi\'{rÈ
\-iJ-
tlL\ \r"\ ,+u-hKn\., . (L- lS
.(t
2 De eerste formule wordt hef príncípe uan inclusi,e en erclusie genoemd (inclusi,e bctekent insluiting, erclusie wil zeggen ui,tsluiting) . De formule kan veraigemeend worden voor meer dan twee verzamelingen, al kan ze enkel voor twee verzamelingen A, B of drie verzamelingen A. B, C met venndiagrammen aÍgebeeld en beredeneerd worden. Voor drie eindige verzamelingen A, B, C gaat het principe val inclusie
enexclusiealsvolgt: #(AuBuC):#A+#B+#C-#(AnB)-#(BnC)*#(CnA)+#(AnBoC). Hetprincipewordttoegekend aan AbraÀam de Moivre V- 1718, hoe;vcel het pas voor het eerst verse.heen in een artikel van Daniel da Silva !" 1854 en later irl een werk van James Joseph Sylvester
!-
1883.
VII.4
Modelvoorbeeld 2. Bij het bestellen van een nieuwe auto kan
de consument
kiezen voor een aantal opties, zoals bijvoorbeeld elektronische airco en een ingebouwd gps-systeem. Vorig jaar werden er in een bepaalde fabriek 180000 auto's geproduceerd. Daarvan hadden er 130000 auto's een elektronische airco. Van alle auto's werden er 70000 voorzien van een ingebouwd gps-systeem. Zo'n 40 000 auho's hadden geen v&n beide opties, Hoeveel auto's werden voorzien van beide opties?
\b.
Slob'àl pósitioning syStêiii
Oplossi,ng.
\f"*\ = Ln"
u
JL qll'^fusdhL"Àt À\
*.,t)t nrk
43cm- x
ho
,\Í.^t.
\cc*, - x
*\"
cco
(lt.r"m-,.) qzn <==\
\ x *(t"*.-t)
-Y": \\ocn t r<:koots
.- \3omt
- \o*, -
+\oo. - 4lom hsoo'
O ModéIvóctÈbëëld 3. Aan 150 Ieêrlingen van een Vierde jaar wofdt
geVraagd of ze in hun wije tijd naar een mriziekschóol (M), naar een sportClub (S) en/of iiaar een jèugdbeÍVeging (J) gaan. Van die leerliirgên gaan er 50 ondef andere naaf éeí muziekschool, 65 oirder aiidèrè i1áar èeii sportcliib en 60 oiiclei; airclere naar eeir jeiigdbewègiii$. Vérdér gààn 25 leerlingeii onder aiidefe zouel naai èen muziekschool als iiàar een spoitcliitr, 20 onder andere zowel naar een sportclub als naar een jeugdbeweging en 15 onder andere zowel naar een muziekschool als een jeugdbeweging. Ten slotte gaan 10 leerlingen zowel naa-r een muziekschool, naar een sportclub als naar een jeugdbeweging.
(a) (b) (c) (d)
\s^,*^
\
\.*.1r\\)
o\
Hoeveel leerlingen gaan naax ten minste één van de drie? Hoeveel leerlingen gaan naaÍ geen enkele van de drie? Hoeveel leeflingeir gáán naar
juist tivee van de drie?
Hoeveel leerlingen gaan niet naar een sportclub?
{
Èx\tt ilv[*\'
J\
tr\r\\\5\J: \s (r\ "iË \tt\t =L( b.* tj)
1r
S\1
t\) * \tt1
\* ="t( \"
:9-o
?:(-to = r.í
lo -ïo : to À(-rr =(
$ lk\t= {o \* (o- i(-ro-(- l-o ([\ +{ = L( kh ((- r(-\u-\o .: re iit *t ='* \Ít" [. *(-ru-io=3í
G) +\,. - + \Lop'**\-\Lki.=L( Là ( trí tr., : 3o tt\ .\K *tt- t\ :
iai t-{o
-;a=
$\
=
l(o
-L(
= K,
-o
vII-5
\
\) .=\(s
r(
\n r(o- e-.:- ( - \$ -\(- ... =L(
5.3
Tellen met behulp van
boomdiagrammen
QuS
In een telprobleem wordt gewaagd om een aantal mogelijkheden te tellen. Vaak krin je zo'r' telprobleem oplossen door een schema te maken waarin je alle mogelijkheden overzichtelijk weergeeft. Het belangrijkste schema is een boomr)iagram, dat bestaat uit punten (lcnopen genoemd) die met elkaar verbonden worden door lijnstukken (taklrcn), gerangschikt van links naar rechts. In een boomdiagram bestaan geen cirkelpaden en is er altijd precies één pad lan de linkerknoop (wor-tel) naar elke andere knoop. Heel wat telproblemen kun je oplossen door alle mogelijkheden weer te geven met een boomdiagram. Door het aantal paden van de wortel (linkerknoop) naar een eindknoop rechts te tellen, weet je hoeveel mogeliikheden er zijn. Dat laten we hieronder met enkele modelvoorbeelden zien.
O Modelvoorbeeld 1.
De code van een kluis beètaat uit vier cijfers: het cijfe.r 0, twee keer het cijfer 4 en het cijfer 8. Hoeveel codes zijn er mogelijk? Formuleer je antwoord in een volzin. Oploss'íng Na het lezen van een opgave is het aangeraden alvast eens één mogelijkheid op te schrijven. Dat helpt je om de opgave te beg-riipen (vul aan):
cijfer l*I
le
2e
cijfer
3e
r
cijfer
4e cijfer
0
1,1
Een elektronische kluis
Bij
een code is de volgorde van de cijfers belangriik: zo is de code 4840 een andere code dan 4804. Dat de volgorde belangrijk is, maken we duidelijk door zoals hierboven de cijfers in hokjes (of d,oosjes) te plaatsen.
een cijferconrbinatie.
Hieronder lijsterr we alle rnogelijke codes op in eerr boomdiagrarn. Bij het opstellen van zo'n boorndiagrarn is belangrijk dat je steeds de kolommen na de wortel en de knopen in die kolommen benoemt. Hier zijn de kolommen 1e cijfer,2e cijfer, 3e c'ijfer, le cijfer en de knopen in die kolommen de cijfers 0,4,8. Vul het boomdiagram verder aan en tel nadien het totaal aantal paden van de wortel naar een eindknoop rechts:
le cijfer
2e cijfer
3e cijfer
t
h
,, -/
r.
-/-ts
4e cijfer
,
,1
e,
t...-,a.
Í.
-
í. \4 '(
totaal aantal
14
.-__________ t
'1
o
\
tt
o
\ Antwoord,.
tn a,5" {"t.0\$^ -,no\l\t
.YlL- l"
I
O Modelvoorbeeld 2.
Hoeveel woorden zijn er met drie letters, te kiezen geen betekenis te hebben.
uit
a, b, c, d, e,
f? De wo<lrderr hneven
lIïqrj
Oploss'i,ng. Schrijf een voorbeeld op:
Bij
eeu woord is de volgorde van de letters belangrijk: zo is het woord ada verschillend van het woord aad. Daarom plaatsen we de letters in doosjes.
Opnieuw kunnen we a,lle mogelijkheden in een boomdiagram oplijsten. Alleen zou het deze keer erg veel werk vergen, omdat er zovee,l takken zijn. Daarom kun je het boomdiagram zoals hieronder wat verkort weergeveu. wel moet je bii elke bundel takken notererr hoeveel takkerr er precies zijn (vul aan): 1e
letter
2e
letter
3e letter
totaal
aautal
paden:
Anhuoord,..
È< e"1*
f l[
.-
t.t"t = L'=
Z,IL
u]e'Í\&U
J
Opmerking. Achteraf
gezien kunnen v/e ook als volgt redeneren. We schrijven nog steeds en voorbeeld op: 1e
letter
2e
product- :egel
letter
3e letter
d
a
a
In elk doosje hebben we een letter geplaatst. Voor het eerste doosje hebben we 6 mogelijheden, voor het tweede doosje ook 6 mogelijkheden en voor het derde doosje ook 6. Op die manier verkrijgen we 6-6 . 6 : 63 :216 mogelijkheden.
In het vervolg mag je oefeningen op deze korte manier oplossen, op voorwaarde dat je nog steeds weet waarom je vermenigvuldigt. Die reden is duidelijk in het boomdiagrarn: uit de eerste knoop komen 6 takken, in elke ta,k ontstaan telkens 6 nieuwe takken, en daaxnà krijgt e.lke tak opnieuw 6 takken. Daarom is het totaal a,antal \sbx van links naar rechts gelijk aan 6'6.6.
o Modelvoorbeeld 3. In de volgerrde
opdracliteu hoeverr de woorden die je rnet de gegeven letters uraakt geen
betekenis te hebben.
(a) Hoeveel woorden zijn er met drie letters, te
kie,zen
uit a, b, c, d, e, f waaril letter a minstens
één keer
voorkomt?
(b) (c)
uit a, b, c, d, e, f? woorden zijn er met zes verschillende letters, te kiezen uit a, b, c, d, e, f?
Hoeveel woorden zijn er met drie verschillende letters, te kiezen Hoeveel
Oplossing.
(
,,N" *À* rÀr\"., \,$\-d-rÀil *\ s*-:q^ '\,tr\i"\ilk-* /, \ lu^ \,.\. .t í.'."( z L-Lt - {r( = 5 l-. r
Lr fn*\u^ 5'L U.icuk-
uoó.s,*\
,l
r\,1,r.il}rt,r^
"g.x\rf V*$,$*k,
J
Lt) \À-à* \,(.r
= {'r-r,
ur,ro\iLn^.,i
tÍ') SL-\
-{-í
O Modelvoorbeeld 4. Een firma wil twee wachtwagens van verschillende merkel aankcrpen. Bij merk A zijn ot drie passende types, bij merk B vier passende types en bij merk C twee passende types. Op hoeveel manieren I<an de
firma een keuze maken?
r{rt^L\\t,19s or^ ïr-^}" è-
Oploss'ing. Schrijf een voorbeeld op:
0r,1
bt t
Om zo'n voorbeeld te maken, moeten we eerst twee merken uit de drie kiezen. Daanna moeten we voor elk viur gpe kiezen. Stel nu een boomdiagrarn op waarin je alle mogelijkheden weergeeft:
de twee gekozen merken een
Lt*oo wi!*:",, i': (r 'lPv
qg
-
4#--""S'.è #+=--l-----___=-_
1: -\_ -
I
tt\í\ÍJ- t,tÍN\al*
d=-----"-- I 1*h' 4t ttt\ 3Lt
--'4 gff . i,,,1_nC Antwoord,.?*n"qfi)\"\fuJ \ :-= opmerking. A.rrt}# gezien kunnen *"
\L-)\lZr*Mf t*ÀAo\,(,J.'tr. ,U.I',^n*
,
> voor de combinatie A-B zijn er 3.4: 12 mogelijkheden, > voor de combinatie A-C zijn er 3 .2 :6 mogelijkheden, > voor de combinatie$.C zijn er 4.2:8 mogelijkheden.
5ouregel
In totaal zijn er dus 12 + 6 + 8 : 26 mogelijkheden. In het vervolg mag je oefeningen op deze korte manier oplossen, op voorwaaxde dat je nog steeds weeL waa'rorrt, je optelt. Die reden is duidelijk in het boomdiagrarn: uit de eerste knoop komen 3 takken, waa.rbij de eerste tak 12 takken krijgt, de tweede tak 6 takkerr klijgt en de derde tak 8 takken krijSt. Daa,rom is het totaa,l aa,ntal paden van links naar rechts gelijk aan 12 + 6 + 8.
O Modelvoorbeeld 5. In klas 4d'zitten Zi'rleerlingen. Op hoeveel manieren groepje van twee leerlingen uit die klas kiezen?
kan
je leerkracht wiskunde
een
Oplossing. Schrijf een voorbe.eld op:
Bij
een groeoie is de volgorde van de leerlingen niet bela.ngrijk: zo is het groepjs J ,h{a *n l\ír,$./, hetzelfde als het groepje Nr,a, en l.\r$rz Dat de volgorde niet bela,ngrijk is, maken we duidelijk d.oor de leerlingen in een venndiagram (oï zakje) tc plaat.sen. Omdat de volgorde niet belangrijk is, kunnen we het aantal mogelijkheden niet rechtstreeks tellen met een boomdiagram. Daarom moe.ten we het met een omweg aanpakken. Noem r het aa.ntal groe.pjes van twee leerlingen uit de klas (zakje). Bij elk zo'n mogelijkheid kunnen we dat groepje van twee in volgorde plaatsen (doosjes). Anderzijds kunnen we ook meteen het aantal mogelijkheden tellen dat we twee leerlingen uit de klas in volgorde kunnen kiezen (doosjes). Op die manier kurrnen we achterhalen wat r is (vul aan):
2! leerlingen
2 leerlingen
Wo"J^".,
q\-.
Antwoord,.
=. 1*
*t,\**.^ - *t
ï3
\s-\t\Qr-
u*.W,
t.r* : th "13 1Ë= (
thll --L-- =nt
*
11,t1, (r.1r,31,t
{(.'o,nl,,(
7.4
ï,t
Tellen van wegen en de driehoek van Pascal
deze laatste paragraaÍ richten we ons tot een welbepaald tlpe van telproblemen: het tellen van ï/egen. Daarbij krijg je een figuur waarop een aantal plaatsen staan, die verbonden worden met wegen. Het telprobleem bestaat erin om te achterhalen hoeveel verschillende wegen er van de ene naar de andere plaats zijn.
In
O Modelvoorbeeld 1. Op
de figuur hiernaast staan metroverbindingen tussen vier stations A, B, C en D. De pijlen geven aan dat het om eenrichtingsverkeer gaat.
(")
Op hoeveel manieren kun je van Á naar
(b) (c) (d)
Hoeveel routes zijn er van
gaan?
Á naar D via B?
Hoeveei routes zijn er van ,4 naar Hoeveel routês zijn er van
B
D
L.4-
via C7
I "'U
=t
A rlaat D?
Apbssing.
G\ Ï- ltv.c^-u^tr.lvJ (\) 1.L= L tt*ev,rtur.J [.)
tL\
3.L = L.ru
[
v
\""-u-J 3"L
=
L+t =
\
ttrurun'c*J
Modelvoorbeeld 2. De figuur hieronder stelt
een rechthoekig stratenpatroon
voor. Elk lijnstuk is één weg
tussen het begin- en eindpunt van dat lijnstuk.
(a) Duid in de figuur een mogelijk pad van -,4 naar B aan (zonder ornwegen). (b) Bepaal het aantal kortste wegen van ,4 naar B. (c) Bepaal het aantal kortste wegen van A Á naar B via tussenpunt h
..t
)
"'to
!o
4
'rt
C
Lao
?
l-ï ( 4
4
3
h
.A
Ae
A
A
Oplobsi,ng.
(\)
NrY*oí L* qL\. \x,,^^,**,L
\k ***!eVb
''{ns-
\ NÁeíLík
\ur*1l. t\"tr''l) ' '\kv"*k, :( N*nY';qlqr"J
t)
+1fux-N6'\*\NeÓr B'v'^
L=
\ 1Àu.-\0.r,- \
t VII-9
'Y\ÁsÍL 1
-)
+\ettl{o*L"'ar " =
a\urf
\1
o Opmerking 1.
Je kan elke kortste weg van A naar B opschrijven aan de harrd van eerr code met een welbepaald aantal keer de letter H van horizontaal en de letter V van verticaal. Noteer de code voor de weg van A naar B die je op de figuur bij Modelvoorbeeld 2 hebt aangeduid:
'\"
\t
\
\
\\" \\ \
H"
Bij elk pad van A naar B hoort nu zo'n code met de letters H en V waarbij H vier keer voorkomt en V drie keer voorkomt. Omgekeerd, heb ie een code met vier keer letter H en drie keer letter V, dan hoort daar een pad van Á naar B bij. Duid op de vorige pagina het pad aan dat hoort bij de code VHVHHHV. Het aantal paden van á uaar B nroet dus gelijk zijn aan het aantal codes uret de letters H en V waarbij H vier keer voorkomt en V drie keer voorkomt. Uit onze oplossing van vraag (b) uit Modelvoorbeeld 2 weten we dat er precies 35 paden van A naar B zijn. Er zijn dus ook 35 mogelijke codes! Zo kun je ook bij andere opgaven waarbij je het aantal codes met twee letters moet telien het probleem vertalen naar het tellen van wegen. Kun je het volgend telprobleem oplossen?
Je gooit een
mun,stu,le ti,en
manieren kun
keer op, en houdt telken,s bij utat je gegoo'id h,ebt (kop of mttn.t). Op k:op en aier keer munt gooien? , ?to. \
h.oeueel
je in het totaal zes keer
^f*
Opmerking 2. De getallen die voorkomen in de figuur van Modelvoorbeeld 2, vormen een patroon dat driehoelr, aan Pascd,l wordt genoemd. Vlll het patroon enkele regels verder àan:3
3
3
1
4hqh / (.
{.
de
.i_
/p.
4q.
Dit patroon komt ook voor in de uitwerking van de volgende merkwaardige producten (vul
aan):
(o+ó)o-.À (a+à)1 (a
:"0'\\:4ru\{\
+ b)2:
. .4,L
t
9-^L
tLL -
,4.
r*
+
lrt\ - tf
.q,
s\1 = J b)3:1*'t\L-(^q =("5 i1*\ 1^ :tËÏ : fS *)-\] r'rJ' = 'r,J \3r,3\ Op die rnanier kun je die merkwaardige producten onthoudcn. Schrijf inêteen het eindtesultaat op: (a +
(a+b)a:.,r)
*\ ;\ * [ *U" r \ *f
(c+b)5:..ó
t(l\v\oiLLt
n
\o;t'
.i
f + (t-L"
rt
Een tweeterm zoals a * b wordt ook wel een binom'iurn genoemd. De getallen uit de driehoek van Pascal worden hin,om'íaalcoëffici,ënten genoemd omdat ze verband houden met de machten van het binomium a+b.a
\À 3\ \ 3Deze driehoekige vorm wordt toegeschreven aan Blaise Pascal
!-
maar kwam reeds voor bij de Indiase wiskunde Pingala
!-
3e eeuw
v.Chr., de Perzische wiskundige Omar Khayyám V- llde eeuw en de Chinese wiskundigen Yang Hui V- 1261 en (onaÍhankelijk?) Zhu Shijie. 4De eigenschap dat <ie coëfficiënten van (o * b)"' ktrnnen aJgelezen worden in cie n-de rij van de driehoek van Pascal st,aat trekend als hei binomium aan Newton, zie derde graad 6u-8u wiskunde. Dit resultaat is vernoemd naar Isaac Newton !".
VII.1O