7 portfolio1

Naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PORTFOLIO

Klas: . . . . . . . . . . . . . . .

Nr.: . . . . .

1 DEEL I HOOFDSTUK 1 HERHALING

1 Herhaling

Basis ?

1.1 Cartesische co¨ordinaten en grafieken

1

2

1.2 Basisbegrippen in verband met functies

3

4

Verdieping ? ??

??

Uitbreiding ? ??

2 5

6

7

8

1.3 Elementaire functies, symmetrie¨en van de grafiek van een functie 1.4 Transformaties van functies

14 15

16

17

18

19

9

10

11

12 13

20

Oefeningen bij §1.1 Oefening 1. Gegeven is de grafiek

B

G=

1 | n ∈ N0 P n, n

(a) Beschrijf de verzameling G door opsomming. (b) Teken de grafiek G in een Cartesisch assenstelsel.

Oefening 2. Schets de volgende grafieken zonder gebruik te maken van je grafische rekenmachine: B? (a) G1 = {P (x, y) | y 2 = x} V

(b) G2 = {P (x, y) | y 2 = x3 }

Oefeningen bij §1.2 B

y

Oefening 3. Gegeven is de nevenstaande grafiek. (a) Waarom stelt deze grafiek de grafiek van een functie f voor?

3

(b) Wat is f (2)?

B?

(c) Voor welke waarde(n) van a ∈ R is f (a) = 2?

2

Oefening 4. Gegeven is de functie f (x) = 2x2 − 3.

1

(a) Bepaal f (2). (b) Bepaal alle waarden t ∈ R waarvoor f (t) = 47.

1

2

3

4

x

(c) Bepaal f (3x + 1), en vereenvoudig.

B??

Oefening 5. Gegeven is de functie t(x) = ax4 + bx2 + x + 5 waarbij a, b ∈ R. Bovendien is gegeven dat t(−4) = 3.

Bepaal t(4).

V

Oefening 6. Zij f (x) = ax2 + bx + c en g(x) = ax2 − bx + c waarbij a, b, c ∈ R. Als f (1) = g(1) + 2 en f (2) = 2, bepaal dan g(2).

V?

Oefening 7. Gegeven is de functie f (x) = x2 − x − 6. Is 6 ∈ im f ? Bewijs algebra¨Ĺsch.

V??

Oefening 8. Zij f een functie met domein ]−1, 1[. Bepaal het domein van de functie g(x) = f

Po-1

x+1 x−1

.

U

Oefening 9 (functies in meerdere variabelen). Een (re¨ele) functie in meerdere variabelen f is een verband dat aan elk n-tupel (met n > 1) re¨ele getallen (x1 , . . . , xn ) hoogstens ´e´en re¨eel getal y associeert. We schrijven dan y = f (x1 , . . . , xn ) Beschouw nu de functie f (a, b, c) = 3a − 2b + 7c2 . (a) Bepaal f (3, −5, −1). (b) Bepaal de waarde(n) b ∈ R waarvoor f (b, 2, −1) = 21.

U?

Oefening 10 (functies in meerdere variabelen). Zij f (x, y, z) = van f (a, c, b)?

x−z . Als f (a, b, c) = 1, wat is dan de waarde y−z

Oefeningen bij §1.3 U

Oefening 11 (semikubische parabool). De grafiek van de functie f (x) = parabool1 .

p

|x3 | noemt men een semikubische

(a) Schets de grafiek van f . (b) Bewijs dat de grafiek spiegelsymmetrisch is ten opzichte van de y-as.

U?

Oefening 12 (symmetrie-as van de grafiek van een functie). Een rechte x = a is een symmetrie-as van de grafiek van een functie f indien ∀x ∈ R : f (a − x) = f (a + x) We beschouwen nu de functie f (x) =

x(x + 2) . (x + 1)4

(a) Toon aan dat de rechte x = −1 een symmetrie-as is van de grafiek van de functie f . (b) Maak een schets van de grafiek van f waarop je de betekenis van de symmetrie-as aanduidt.

U?

Oefening 13 (symmetrie-middelpunt van de grafiek van een functie). Een punt S(a, b) is een symmetriemiddelpunt van de grafiek van een functie f indien ∀x ∈ R :

f (a − x) + f (a + x) =b 2

We beschouwen nu de functie f (x) = x5 − (10 − x)5 . (a) Toon aan dat het punt S(5, 0) een symmetrie-middelpunt is van de grafiek van de functie f . (b) Maak een schets van de grafiek van f waarop je de betekenis van het symmetrie-middelpunt aanduidt.

Oefeningen bij §1.4 B

Oefening 14. Gegeven is de nevenstaande grafiek van de functie f .

y 3

(a) Bepaal dom f .

2

(b) Bepaal bld f .

1

(c) Beschouw de functie h(x) = f (x + 3) − 4.

Bepaal het domein en het beeld van de functie h.

−5 −4 −3 −2 −1 −1 −2

1

2

3

4

x

y = f (x)

−3 −4

1 De semikubische parabool werd ontdekt door William Neile 1657, die de booglengte van deze kromme berekende. Na het triviaal geval van een√rechte was dit de eerste kromme waarbij men erin daarin slaagde, zie Deel Integralen. De term semikubisch wijst op de macht 3/2 in x3 = x3/2 .

Po-2

B

Oefening 15. Gegeven is de grafiek van een functie f (links) en de grafiek van een functie g (rechts).

y 2

y y = f (x)

1

−1

y = g(x)

2 1

1

2

x

1

−1

−1

−2

−2

2

3

4

x

Welke uitspraken zijn juist? Verklaar.

(A) f (x) = g(x − 2) B?

(B) f (x) = g(2x)

(C) f (x) = g(x/2)

Oefening 16. Gegeven is de functie f (x) =

√

−2x + 7.

(a) Welke transformaties moet je uitvoeren op de functie y =

√

(D) g(x) = f (x − 2)

(E) g(x) = f (2x)

x om y = f (x) te bekomen? Wees volledig.

(b) Teken alle functies uit (a) in ´e´en assenstelsel. (c) Bepaal aan de hand van (b) het domein en het bereik van f .

B??

y

Oefening 17. Gegeven is de nevenstaande grafiek van de functie f .

4

(a) Schets de grafiek van de functie −f (x).

3

(b) Schets de grafiek van de functie f (−x). (c) Schets de grafiek van de functie 2f (x).

1

(d) Schets de grafiek van de functie f (2x).

V

y = f (x)

2

−5 −4 −3 −2 −1 −1

Oefening 18. De figuur hieronder toont de grafiek die men bekomt als unie van de grafiek van de wortelfunctie en zijn spiegelbeeld om de y-as.

1

2

3

4

x

−2 −3

(a) Waarom is deze grafiek de grafiek van een functie f ? (b) Bepaal een zogenaamd meervoudig functievoorschrift van f : ( ... als x < 0 f (x) = ... als x ≥ 0

(c) Bepaal een zogenaamd enkelvoudig functievoorschrift van f (dus zonder gevalsonderscheid).

y graf f 2 1

−4 V?

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

Oefening 19. Zij f een functie met domein R. Hoe kunnen we vanuit de grafiek van f de grafiek van de functie g(x) = f (|x|) bekomen?

Po-3

U

y

Oefening 20 (Heaviside-functie). De Heaviside-functie2 (of stapfunctie is de functie met als (meervoudig) voorschrift ( 0 als x < 0 H(x) = 1 als x > 0

graf f 2 1

(a) Teken de grafiek van de Heaviside-functie.

−2

(b) Bepaal algebra¨ısch het domein van H(x).

−1

(c) Bepaal grafisch het beeld van H(x).

1

x

2

−1

(d) Geef met behulp van de Heaviside-functie een enkelvoudig voorschrift van de functie f met nevenstaande grafiek.

Reflectie Vul dit overzicht aan telkens je een oefening gemaakt of verbeterd hebt. Zo reflecteer je over je • leerproces, • effici¨entie van werken, • sterke en zwakke elementen in de uitvoering van je oefeningen.

oefening verbeterd? (kruisje)

31/12

99a

X

Waarom is deze oefening gelukt/niet gelukt?

Welke fouten heb ik gemaakt?

• voldoende tijd besteed?

• notatiefout (NF)

• opgave goed gelezen?

• eenheden (EF)

• nauwkeurig gewerkt?

• grafisch rekenmachine (GF)

• modelvoorbeelden bekeken?

• rekenfout (RF)

• opgave begrepen?

• interpretatie van de opgave (IF)

• leerstof voldoende begrepen?

• denkfout (DF)

gelukt: m.b.v. modelvoorbeelden

verder oefenen nodig? (kruisje)

oefening nummer

vb.

datum oefening afgewerkt

Bovendien maak je je reflectie concreet door aan te stippen of je nog verder moet oefenen op het leerstofonderdeel.

EF, NF

2 Ingevoerd door Oliver Heaviside (1850 - 1925) waarmee hij de stroomsterkte in een elektrisch circuit kon beschrijven. De Heavisidefunctie wordt dan ook gebruikt bij signalen, en komt in heel wat regeltechninsche toepasingen voor. In de literatuur beschouwt men ook vaak de variant door de conventie van het halve maximum toe te passen, men stelt dan H(0) = 1/2. In dat geval kan de functie geschreven worden in termen van de sign-functie, zie Interludium.

Po-4