Hoofdstuk 8 Veeltermen by Koen De Naeghel

Wiskunde Aan zet een cursus wiskunde voor studierichtingen met vijf wekelijkse lestijden wiskunde vierde jaar algemeen secundair onderwijs geschreven door

Koen De Naeghel Hoofdstuk 8 Veeltermen

17/06/2018

CREATIVE COMMONS Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 (CC BY-NC-SA) Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie. De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode De gebruiker mag: het werk kopiëren, verspreiden en doorgeven Remixen - afgeleide werken maken

Onder de volgende voorwaarden: Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam te vermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik van het werk). Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerciële doeleinden gebruiken. Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfde licentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid.

Met inachtneming van: Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden met voorafgaande toestemming van de rechthebbende. Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijke wetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze beı̈nvloed door de licentie. Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht: • Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet. • De morele rechten van de auteur. • De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals het portretrecht of het recht op privacy. Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aan . derden door middel van een link naar http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/

Eerste druk: 2017 Versie: 17 juni 2018 Gepubliceerd door: Online publicatie platform Issuu.com Omslagfoto: http://nl.123rf.com/ Tekstzetsysteem: LATEX Royalty percentage: 0% c Koen De Naeghel, gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 i

Hoofdstuk 8

Veeltermen 8.1

Definitie van een veelterm

Tijdens de voorbije jaren heb je leren rekenen met eentermen, tweetermen en drietermen. Dat zullen we in deze paragraaf uitbreiden tot viertermen, vijftermen enzovoort. Algemeen spreken we dan van veeltermen. We starten met een opfrissing van enkele begrippen die je al kent. 3 Eenterm (herhaling). Een (reële) eenterm in (de variabele) x is een product van een (reëel) getal met een eindig aantal keer de letter x. Daarbij zetten we het getal voorop, gevolgd door de totale macht van x. In symbolen:

Th 1

A(x) = axn

a∈R

waarbij

n∈N

. We spreken af dat x0 = 1. . Het getal a noemen we de coëfficiënt van de eenterm. . Als a 6= 0 dan noemen we n de graad van de eenterm A(x), notatie n = gr A(x). . De graad van de eenterm A(x) = 0 wordt niet gedefiniëerd.1

Voorbeeld. Vereenvoudig de volgende eentermen, en geef telkens de graad (indien mogelijk). A(x) = 2xxx = . . . B(y) = y 5 ·

√

gr A(x) = . . .

17 = . . .

gr B(y) = . . .

C(x) = 8x0 = . . .

gr C(x) = . . .

D(x) = 0x2018 = . . .

gr D(x) = . . .

Hieronder herhalen we de belangrijkste regels voor het rekenen met eentermen. (1) Twee eentermen in x zijn gelijk als ze dezelfde graad en dezelfde coëfficiënt hebben. Voorbeeld. Vul aan: als A(x) =

√

2 xn en B(x) = bx35 dan is

A(x) = B(x)

⇔

b = ...

n = ...

(2) Twee eentermen in x zijn gelijksoortig als ze dezelfde graad hebben. De som van twee gelijksoortige eentermen in x is opnieuw een eenterm in x. Voorbeeld. Vul aan: als A(x) = −59x100 en B(x) = 600x100 dan is A(x) + B(x) = . . . (3) Het product van twee eentermen in x is opnieuw een eenterm in x. Voorbeeld. Vul aan: als A(x) = −15x4 en B(x) =

6 3 x dan is A(x) · B(x) = . . . 5

(4) Vervangen we in een eenterm A(x) de variabele x door een reëel getal r, dan verkrijgen we de getalwaarde van A(x) in x = r. Die getalwaarde noteren we met A(r). In symbolen:2 als A(x) = axn dan is A(r) = arn

Th 1

Voorbeeld. Vul aan: als A(x) = 5x3 dan is A(−2) = . . . 1 In

hogere wiskunde stelt men gr 0 = −∞ omdat op deze manier rekenregels in verband met de graad van een eenterm geldig blijven, zoals bijvoorbeeld de rekenregel de graad van het product van twee reële eentermen is gelijk aan de som van de graden van die eentermen. 2 Hierbij is a, r ∈ R en n ∈ N, waarbij we evenwel het geval r = n = 0 uitsluiten: aan de uitdrukking 00 geven we geen betekenis.

VIII-1

3 Veelterm. Een (reële) veelterm in (de variabele) x is een eindige som van reële eentermen in de variabele x. Meestal kiezen we ervoor om deze som te herschikken zodat de graden van de eentermen stijgend of dalend zijn. Voorbeeld. De volgende uitdrukkingen zijn veeltermen in x: 3x2

5 − 8x

− 1 + 3x − 2x2

4 1 − x5 − 2x3 + x − π 2 . 3 2

√ 1 1 en x 2 = x zijn geen veeltermen in x. x We willen nu ook een veelterm in symbolen kunnen schrijven. Onze eerste poging ziet er als volgt uit:  a waarbij a ∈ R      waarbij a, b ∈ R   a + bx

Uitdrukkingen zoals x−1 =

a + bx + cx2     a + bx + cx2 + dx3    ...

waarbij a, b, c ∈ R

waarbij a, b, c, d ∈ R

...

Maar om regel 27 op te schrijven, hebben we onvoldoende letters in het Latijns alfabet. Dat probleem kunnen we omzeilen door gebruik te maken van een onderindex : in plaats van a, b, c, d . . . schrijven we a0 , a1 , a2 , a3 . . . Th 1

Algemeen kunnen we dus elke veelterm in x uitdrukken in de vorm A(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn

waarbij

n∈N

a0 , a1 , a2 , . . . , an ∈ R

Dankzij de afspraak x0 = 1 kunnen we de uitdrukking herschrijven met het sommatieteken: A(x) =

n X

ai xi

n∈N

waarbij

i=0

a0 , a1 , a2 , . . . , an ∈ R

. Hierbij noemen we de getallen a0 , a1 , a2 , . . . de coëfficiënten van de veelterm. De eentermen a0 , a1 x, a2 x2 , . . . , an xn noemen we de termen van de veelterm. De term a0 wordt de constante term van de veelterm genoemd. . Als an 6= 0 noemen we n de graad van de veelterm A(x), notatie n = gr A(x). In dat geval is an xn de hoogstegraadsterm en an de hoogstegraadscoëfficiënt van de veelterm.

Th 1

. De graad van de veelterm A(x) = 0 wordt niet gedefiniëerd.1 . De verzameling van alle veeltermen in x wordt genoteerd met R[x]. In symbolen: R[x] = {a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn | n ∈ N en a0 , a1 , a2 , . . . , an ∈ R} Voorbeeld. Geef telkens de graad van de veelterm (indien mogelijk). A(x) = 1 − 4x + 2x3

a0 = . . .

a1 = . . .

a2 = . . .

B(x) = 0x2 + 3x

b0 = . . .

b1 = . . .

b2 = . . .

gr B(x) = . . .

C(x) = 9 − 38

c0 = . . .

c1 = . . .

c57 = . . .

gr C(x) = . . .

a3 = . . .

gr A(x) = . . .

Hieronder overlopen we de belangrijkste regels voor het rekenen met veeltermen. (1) Twee veeltermen in x zijn gelijk als de coëfficiënten van hun gelijksoortige eentermen gelijk zijn. Voorbeeld. Gegeven zijn de veeltermen A(x) = ax3 − 4x2 + bx + 2 en B(x) = 5x3 + 2ax − c2 x2 − d waarbij a, b, c, d ∈ R. Bepaal de waarde(n) van a, b, c en d waarvoor A(x) = B(x).

(2) De som van twee veeltermen in x is opnieuw een veelterm in x. Voorbeeld. Bereken de som van A(x) = 3x3 + 2x2 − x + 4 met B(x) = 6x3 − x2 + 2.

VIII-2

(3) Het product van twee veeltermen in x is opnieuw een veelterm in x. Voorbeeld. Bereken het product van A(x) = 6x2 − x + 2 met B(x) = −3x3 + 5x2 .

Th 1

(4) Vervangen we in een veelterm A(x) de variabele x door een reëel getal r, dan verkrijgen we de getalwaarde van A(x) in x = r. Die getalwaarde noteren we met A(r). In symbolen:3 als

Th 1

A(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn

dan is

A(r) = a0 + a1 r + a2 r2 + · · · + an rn

Voorbeeld. Vul aan: als A(x) = 2x3 + x + 7 dan is A(10) = . . . (5) Is de getalwaarde van een veelterm in een reëel getal r gelijk aan nul, dan noemen we r een nulwaarde van die veelterm. In symbolen:4 r is een nulwaarde van A(x) ⇔ A(r) = 0 (6) De graad van een product van veeltermen is gelijk aan de som van de graden van de veeltermen. In symbolen:5 Å ã gr A(x) · B(x) = gr A(x) + gr B(x) Voorbeeld. Ga deze formule na voor A(x) = x3 en B(x) = x5 − x2 + 1.

Th 1

(7) De graad van de som van veeltermen is kleiner dan of gelijk aan de hoogste van de graden van de veeltermen. In symbolen:6 Å ã gr A(x) + B(x) ≤ max {gr A(x), B(x)} Voorbeeld. Ga deze formule na voor A(x) = x3 en respectievelijk B(x) = x5 + 2x2 , B(x) = 3x3 + 1, B(x) = x2 en B(x) = −x3 + 6x2 .

Is het product van twee getallen gelijk aan nul, dan is zeker één van die getallen nul. Die belangrijke eigenschap geldt ook voor veeltermen. Th 2

3 Eigenschap. Zij A(x) en B(x) twee veeltermen. Als A(x) · B(x) = 0 dan is A(x) = 0 of B(x) = 0. Bewijs. Veronderstel, uit het ongerijmde7 , dat A(x) 6= 0 en B(x) 6= 0.

3 Hierbij

is n ∈ N en a0 , a1 , . . . , an , r ∈ R, waarbij we ook hier het geval n = r = 0 uitsluiten: voor ons heeft 00 geen betekenis. is r ∈ R en A(x) een veelterm in x. In de literatuur wordt een nulwaarde soms ook een nulpunt genoemd. Onze voorkeur gaat uit naar de volgende afspraak: een nulpunt is een punt (dus een meetkundig object), een nulwaarde is een waarde (dus een getal). 5 Hierbij zijn A(x), B(x) veeltermen in x die verschillend zijn van de nulveelterm. Spreken we af dat gr 0 = −∞, dan zijn deze formules ook geldig voor het geval dat A(x) = 0 en/of B(x) = 0. 6 Hierbij zijn A(x), B(x) veeltermen in x die verschillend zijn van de nulveelterm en waarbij ook de som A(x) + B(x) verschillend is van de nulveelterm. Spreken we af dat gr 0 = −∞, dan zijn deze formules ook geldig voor het geval dat A(x) = 0 en/of B(x) = 0 en/of A(x) + B(x) = 0. 7 Een bewijs uit het ongerijmde is een bewijstechniek waarbij we het tegenovergestelde aannemen van wat we willen bewijzen en dan trachten een contradictie (of tegenstrijdigheid) te verkrijgen. Aangezien tegenstrijdigheden binnen de wiskunde onmogelijk zijn, moet die tegenovergestelde aanname foutief geweest zijn. Hiermee is de te bewijzen uitspraak aangetoond. 4 Hierbij

VIII-3

8.2

Deling van een veelterm door een veelterm

Net zoals deling van gehele getallen, kun je ook spreken over deling van veeltermen. De definitie, eigenschappen en werkwijzen staan centraal in de rest van dit hoofdstuk.

Deelbaarheid We noemen 7 een deler van 2023 omdat er een geheel getal q bestaat waarvoor 2023 = 7q, namelijk8 q = . . . Op dezelfde manier spreken we af wanneer een veelterm B(x) een deler is van een veelterm A(x).

Th 3

3 Definitie. Zij A(x) en B(x) twee veeltermen waarbij B(x) 6= 0. We noemen B(x) een deler van A(x) als er een veelterm Q(x) bestaat waarvoor A(x) = B(x) · Q(x). In symbolen:

B(x) | A(x)

⇔

∃Q(x) ∈ R[x] : A(x) = B(x) · Q(x)

. Hierbij zeggen we dat A(x) deelbaar is door B(x). . Hierbij noemen we A(x) het deeltal, B(x) de deler en Q(x) een quotiënt (van de opgaande deling). Voorbeeld. Zij A(x) = 14x2 + 17x + 5 en B(x) = 2x + 1. Dan is B(x) een deler van A(x), want 14x2 + 17x + 5 = (2x + 1) (7x + 5) . {z } | {z } | {z } | A(x)

B(x)

Q(x)

Hoe kun je dit controleren?

Hoe kon je quotiënt Q(x) = 7x + 5 zelf vinden?

Het volgende resultaat zegt dat we voortaan mogen spreken van het quotiënt van een opgaande deling. Th 4

3 Stelling (opgaande deling). Zij A(x) en B(x) twee veeltermen waarbij B(x) 6= 0. Dan bestaat er hoogstens één veelterm Q(x) zodat:

A(x) = B(x) · Q(x) Bewijs.

3 Modelvoorbeeld. Bepaal 9q − 16p als je weet dat 6x3 + px2 + 32x + q deelbaar is door 2x2 − 7x − 1. Oplossing.

Een kenmerk van deelbaarheid door 7 gaat als volgt: (1) trek het laatste cijfer tweemaal af van het getal gevormd door de overblijvende cijfers, en (2) ga na of dit nieuw getal deelbaar is door 7. Zo is 2023 deelbaar door 7 als en slechts als 202 − 2 · 3 = 196 deelbaar is door 7, dus als en slechts als 19 − 2 · 6 = 7 deelbaar is door 7 (wat het geval is).

VIII-4

Schema van de staartdeling In de lagere school heb je geleerd hoe je een deling van gehele getallen kan uitvoeren met een staartdeling. Zo geeft bijvoorbeeld de deling van 239 door 5 als quotiënt 47 en rest 4 (ga na). Dat resultaat kun je schrijven als 239 = 5·47+4. Kenmerkend is dat de rest kleiner is dan (de absolute waarde van) de deler. Hieronder leer je om een deling van veeltermen op een soortgelijke manier uit te voeren. 3 Werkwijze. We hernemen het voorbeeld A(x) = 14x2 + 17x + 5 en B(x) = 2x + 1. Om na te gaan dat B(x) een deler van A(x) is en om het quotiënt te vinden, gingen we op de vorige pagina te werk zoals hieronder links. Omdat dit nogal veel schrijfwerk is, zullen we deze werkwijze aan de hand van een korter schema uitvoeren: de zogenaamde staartdeling (ook wel lange deling genoemd).9 Voer eerst de lange werkwijze uit (links), daarna de korte (rechts).

14x2 + 17x + 5

14x2

17x

2x +

= . . . (2x + 1) − . . . =

Besluit:

14x2 + 17x + 5 = (2x + 1) · (. . . . . . . . . . . .) | {z } | {z } | {z } A(x)

B(x)

Q(x)

Ook in het geval dat een veelterm A(x) niet deelbaar is door een veelterm B(x), kunnen we te werk gaan zoals hierboven. In dat geval stopt de procedure bij een restveelterm (kortweg rest) die verschillend is van nul. Kenmerkend is dat de graad van zo’n rest kleiner is dan de graad van B(x). Inderdaad, mocht dat niet zo zijn dan konden we toch nog een stap verder werken! Voer eerst de lange werkwijze uit (links), daarna de korte (rechts).

2x3 + 3x2 − 1

2x3

3x2

0x − 1

= . . . (x2 + 3x) − . . . =

Besluit:

2x3 + 3x2 − 1 = (x2 + 3x) · (. . . . . . . . . . . .) + .|. . . . {z . . . . . .}. | {z } | {z } | {z } A(x)

B(x)

Q(x)

R(x)

In het vervolg zullen we meestal meteen het schema van de staartdeling opschrijven. Maar onthoud wel waar die staartdeling vandaan komt: het is een kortere schrijfwijze voor de lange werkwijze aan de linkerkant. Enerzijds komt die werkwijze nog aan bod in sommige bewijzen van eigenschappen die we nog zullen zien. Anderzijds ben je bij sommige oefeningen beter af door toch de lange werkwijze toe te passen (zoals bij het modelvoorbeeld op de vorige pagina). 9 De staartdeling is een voorbeeld van wat we in wiskunde een algoritme noemen: een eindige reeks instructies om vanuit een gegeven begintoestand een probleem op te lossen of een taak uit te voeren. De fundamentele vraag welke problemen met een algoritme kunnen opgelost worden, werd in 1937 opgelost door Alan Turing . Zijn werk lag aan de oorsprong van een van de grootste uitvindingen ooit: de computer.

VIII-5

Stelling van de euclidische deling Hernemen we het voorbeeld A(x) = 2x3 + 3x2 − 1 en B(x) = x2 + 3x, dan vonden we op de vorige pagina dat 2x3 + 3x2 − 1 = (x2 + 3x) · (2x − 3) + 9x − 1 {z } | {z } | {z } | {z } | A(x)

B(x)

waarbij

Q(x)

... . . . < |{z} |{z}

gr R(x)

R(x)

gr B(x)

Bij het voorbeeld met A(x) = 14x2 + 17x + 5 en B(x) = 2x + 1 was de deling opgaand: 14x2 + 17x + 5 = (2x + 1) · (7x + 5) + |{z} 0 | {z } | {z } | {z } A(x)

B(x)

Q(x)

waarbij

R(x) = 0.

R(x)

Ook voor elke andere keuze van A(x) en B(x) 6= 0 kunnen we zulke veeltermen Q(x) en R(x) vinden. Dat is het onderwerp van het volgende, belangrijkste resultaat uit dit hoofdstuk. Ons bewijs bestaat uit twee delen. Eerst bewijzen we dat de veeltermen Q(x) en R(x) bestaan. Daarna bewijzen we dat ze uniek zijn. Th 5

3 Stelling (deling met rest, euclidische deling).10 Zij A(x) en B(x) twee veeltermen waarbij B(x) 6= 0. Dan bestaat er precies één veelterm Q(x) en precies één veelterm R(x) zodat:11 A(x) = B(x) · Q(x) + R(x)

waarbij

gr R(x) < gr B(x)

R(x) = 0

(∗)

De veelterm A(x) wordt het deeltal genoemd, B(x) de deler, Q(x) het quotien̈t en R(x) de rest bij de deling van A(x) door B(x). Bewijs dat Q(x) en R(x) bestaan. Beschouw de verzameling S van alle veeltermen van de vorm A(x) − B(x) · C(x) met C(x) een veelterm: S = {A(x) − B(x) · C(x) | C(x) ∈ R[x]} . We onderscheiden nu twee gevallen.11 . Geval 1. 0 ∈ S In dit geval is dus 0 = A(x) − B(x) · Q(x) voor een zekere veelterm Q(x). Dan is A(x) = B(x) · Q(x) + R(x)

waarbij R(x) = 0.

In dit geval hebben we dus aangetoond dat er veeltermen Q(x) en R(x) bestaan zodat (∗) geldt. . Geval 2. 0 6∈ S Nemen we van elke veelterm in S de graad, dan12 zijn er veeltermen in S waarvoor de graad het kleinst is. Kies13 zo’n veelterm en noteer ze met R(x). Omdat R(x) ∈ S geldt dat R(x) = A(x) − B(x) · Q(x) voor een zekere veelterm Q(x). Dus we hebben alvast dat A(x) = B(x) · Q(x) + R(x)

waarbij R(x) 6= 0.

Nu zullen we aantonen dat gr R(x) < gr B(x). Veronderstel, uit het ongerijmde, dat gr R(x) ≥ gr B(x). Delen we de hoogstegraadsterm van R(x) door de hoogstegraadsterm van B(x), dan vinden we een eenterm axk waarvoor de graad van R(x) − axk B(x) kleiner is dan de graad van R(x). Nu is R(x) − axk B(x) = A(x) − B(x) · Q(x) − axk B(x)

= A(x) − B(x) · (Q(x) + axk ) ∈ S.

Maar dan hebben we een veelterm in S gevonden waarvan de graad kleiner is dan de graad van R(x). Dit is in strijd met onze veronderstelling dat R(x) een veelterm in S is waarvoor de graad het kleinst is. We besluiten dat A(x) = B(x) · Q(x) + R(x)

waarbij

gr R(x) < gr B(x).

Dus ook in dit geval hebben we aangetoond dat er veeltermen Q(x) en R(x) bestaan zodat (∗) geldt. 10 Deze euclidische deling voor veeltermen is analoog aan het gelijknamig resultaat voor gehele getallen. Hoewel deze stelling genoemd is naar Euclides van Alexandrië ±300 v.Chr., lijkt het weinig waarschijnlijk dat Euclides bewust was van het bestaan en de uniciteit van het quotiënt en de rest. In die tijd was de manier om quotiënt en rest te bepalen beperkt tot het herhaaldelijk verminderen van het deeltal met de deler. De reden is dat de staartdeling van gehele getallen berust op een positiestelsel zoals het Hindu-Arabisch getallensysteem, die in de tijd van Euclides nog niet bekend was. De naam euclidische deling werd pas in de 19e eeuw geı̈ntroduceerd als verwijzing naar een algemeen resultaat uit de hogere wiskunde. euclidische deling is dus wel degelijk een stelling, en geen algoritme. 11 Spreken we af dat gr 0 = −∞, dan is het gevalsonderscheid niet nodig. 12 Op dit punt maken we gebruik van het zogenaamde principe van de welordening, dat als volgt luidt (vijfde jaar 8u wiskunde): elke niet-lege deelverzameling V ⊆ N bevat een kleinste element. In de context van het bewijs is V = {gr V (x) | V (x) ∈ S}. 13 Uit het bewijs dat Q(x) en R(x) uniek zijn, volgt dat S precies één veelterm bevat waarvoor de graad het kleinst is.

VIII-6

Bewijs dat Q(x) en R(x) uniek zijn. Stel dat er nog een tweede veelterm Q0 (x) en een tweede veelterm R0 (x) zou bestaan zodat A(x) = B(x) · Q0 (x) + R0 (x)

waarbij

gr R0 (x) < gr B(x)

R0 (x) = 0.

We moeten aantonen dat Q0 (x) = Q(x) en dat R0 (x) = R(x). Welnu,

3 Modelvoorbeeld 1. Jeroen zoekt het quotiënt en de rest bij deling van 9x3 − 21x2 + 11x door 3x2 − 5x. Hij vindt als quotiënt 3x en als rest −6x2 + 11x. (a) Wanneer Saartje het antwoord van Jeroen bekijkt, beseft ze meteen dat zijn antwoord fout is. Leg uit hoe ze dat kan weten. (b) Saartje vindt als quotiënt 3x − 2 en als rest x. Hoe kan ze zeker weten dat haar antwoord wel correct is? Voer dit uit. Oplossing.

3 Modelvoorbeeld 2. De veelterm A(x) = x3 + px2 − 8x + q is deelbaar door x − 1 en de rest bij deling door x2 − 9 is x − 9. Wat is q? Oplossing.

VIII-7

8.3

Deling van een veelterm door x − a

In de vorige paragraaf hebben we de stelling van de euclidische deling gezien: zijn A(x) en B(x) 6= 0 twee veeltermen, dan bestaan er (unieke) veeltermen Q(x) en R(x) waarvoor A(x) = B(x) · Q(x) + R(x)

waarbij

gr R(x) < gr B(x)

R(x) = 0

In het algemeen kun je dat quotiënt Q(x) en die rest R(x) bepalen met het schema van de staartdeling. In deze paragraaf bekijken we de meest eenvoudige soort delingen, namelijk als gr B(x) = 1. In dat geval hoef je de staartdeling niet uit te voeren: hieronder leer hoe je het quotiënt en de rest veel sneller kan vinden.

Reststelling 3 Op ontdekking. We beschouwen de deling van de veelterm A(x) = x3 − 2x2 + 3x − 1 door B(x) = x − 2. (a) Wat zegt de stelling van de euclidische deling over de rest R(x)? (b) Hoe kun je de rest bepalen zonder de staartdeling uit te voeren? Controleer nadien je resultaat door toch de staartdeling uit te voeren. Oplossing.

Th 6

3 Reststelling. Zij A(x) een veelterm en a ∈ R. Dan is de rest bij deling van A(x) door x − a gelijk aan A(a). Bewijs.

3 Modelvoorbeeld. Zij A(x) = 5x7 − 3x2 + 2. (a) Bepaal de rest bij deling van A(x) door x + 1. (b) Bepaal de rest bij deling van A(x) door 2x − 1. Exacte waarde geven! Oplossing.

VIII-8

Deelbaarheid door x − a en deelbaarheid door (x − a)(x − b) In de vorige paragraaf hebben we de definitie van deelbaarheid gezien: zijn A(x) en B(x) 6= 0 twee veeltermen, dan is B(x) een deler van A(x) als er een veelterm Q(x) bestaat waarvoor A(x) = B(x) · Q(x). Wegens de stelling van de euclidische deling kunnen we dit ook nog als volgt formuleren (vul aan): B(x) | A(x)

⇔

de rest bij deling van A(x) door B(x) is gelijk aan . . .

In het geval dat B(x) = x − a geeft de reststelling ons een zeer eenvoudige manier om deelbaarheid na te gaan. Th 7

3 Kenmerk van deelbaarheid door x − a. Zij A(x) een veelterm en a ∈ R. Dan geldt: (x − a) | A(x)

⇔

A(a) = 0

Bewijs.

3 Modelvoorbeeld. Bepaal de waarde(n) van p ∈ R waarvoor 5x2 − 4x − 3 deelbaar is door x − 2p. Oplossing.

Het kenmerk van deelbaarheid door x − a kan gemakkelijk veralgemeend worden. Th 8

3 Kenmerk van deelbaarheid door (x − a)(x − b). Zij A(x) een veelterm en a, b ∈ R met a 6= b. Dan geldt: (x − a)(x − b) | A(x)

⇔

A(a) = 0

A(b) = 0

Bewijs. We bewijzen de eigenschap in twee delen.14 Onderstel eerst dat (x − a)(x − b) | A(x). We moeten aantonen dat A(a) = 0 en A(b) = 0.

Omgekeerd, onderstel dat A(a) = 0 en A(b) = 0. We moeten aantonen dat (x − a)(x − b) | A(x).

3 Modelvoorbeeld. Is de veelterm x2017 − x2001 deelbaar door x2 − 1? Schrijf je redenering op! Oplossing.

14 Een

bewijs van een equivalentie P ⇔ Q bestaat vaak uit twee deelbewijzen: het bewijs van de implicatie P ⇒ Q en het bewijs van de implicatie Q ⇒ P . Bij het bewijs van P ⇒ Q gaan we uit van de uitspraak P en tonen we aan dat Q geldt. Bij het bewijs van Q ⇒ P beschouwen we de uitspraak Q als het gegeven en wordt P bewezen.

VIII-9

Schema van Horner In de vorige paragraaf hebben we de stelling van de euclidische deling gezien: zijn A(x) en B(x) 6= 0 twee veeltermen, dan bestaan er (unieke) veeltermen Q(x) en R(x) waarvoor A(x) = B(x) · Q(x) + R(x)

waarbij

gr R(x) < gr B(x)

R(x) = 0

In het algemeen kun je dat quotiënt Q(x) en die rest R(x) bepalen met het schema van de staartdeling. Als B(x) = x − a dan kun je de rest veel sneller vinden door de reststelling toe te passen: de rest is gelijk aan A(a). Nu zal je leren hoe je ook het quotiënt veel sneller kan vinden. 3 Werkwijze. We nemen het voorbeeld A(x) = 3x3 + 5x2 + 8x + 13 en te vinden, gingen we vroeger te werk met een lange werkwijze (links). maakten we steevast gebruik van een korter schema: de staartdeling. is er een nog kortere manier: het zogenaamde schema van Horner.15 daarna de korte (rechts).

B(x) = x − 2. Om het quotiënt en de rest Dat was nogal veel schrijfwerk en daarom Maar omdat we delen door B(x) = x − a Voer eerst de lange werkwijze uit (links), 3

3x3 + 5x2 + 8x + 13

= . . . (x − 2) + . . . =

Besluit:

. . .}. 3x3 + 5x2 + 8x + 13 = (x − 2) · (. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .) + .|. {z | {z } | {z } | {z } A(x)

B(x)

Q(x)

R(x)

In het vervolg zullen we meestal meteen het schema van Horner opschrijven. Maar onthoud wel waar dat schema van Horner vandaan komt: het is een kortere schrijfwijze voor de lange werkwijze aan de linkerkant. 3 Modelvoorbeeld 1. Beschouw de veelterm A(x) = 2x3 + 5x2 − 3. (a) Bepaal het quotiënt en de rest bij deling van A(x) door x + 3. (b) Hoe kun je zeker weten dat je antwoord correct is? Voer dit uit. Oplossing.

3 Modelvoorbeeld 2. Bepaal het quotiënt en de rest bij deling van 3x3 − 8x2 + 13x − 6 door 3x − 2. Oplossing.

15 De correcte naam voor het rekenschema is synthetische deling. Uit dat schema volgt dat de rest bij deling door x − a kan geschreven worden als A(a) = ((an a + an−1 )a + . . . )a + a0 . Het belang ervan is dat ze het aantal vermenigvuldigingen tot een minimum beperkt, wat leidt tot een grotere numerieke stabiliteit van de berekende waarden. Deze gemotiveerde schrijfwijze voor A(a) werd voor het eerst door William George Horner in 1819 beschreven. In de Lage Landen wordt het ganse rekenschema van de synthetische deling ook het schema van Horner genoemd, maar dat is historisch gezien onjuist.

VIII-10

8.4

Toepassingen

In deze paragraaf richten we ons tot drie soorten vragen die we over een veelterm A(x) kunnen stellen. Bij elk van deze drie vragen passen we de leerstof uit de vorige paragrafen toe. (1) Uitwerken: de veelterm schrijven als een som van eentermen, waarbij de graden stijgend of dalend zijn. (2) Ontbinden in factoren: de veelterm schrijven als een product van lineaire en kwadratische veeltermen. (3) Nulwaarden bepalen: algebraı̈sch de x-waarden zoeken waarvoor A(x) = 0.

Toepassing 1 - Een veelterm uitwerken Bij het uitwerken van een veelterm kunnen we soms gebruik maken van zogenaamde merkwaardig producten.16 Op die manier verkort het rekenwerk en sparen we tijd uit. 3 Op ontdekking. Werk uit en stel een merkwaardig product vast. (a + b)2 = . . . (a − b)(a + b) = . . . (a − b)2 = . . . Bewijs zonder woorden van (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 .17

(a + b + c)2 = . . .

(a + b)3 = . . .

(a − b)3 = . . . Th 9 Th 10

3 Merkwaardige producten. We onthouden: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca

(a − b)(a + b) = a2 − b2

(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

(a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3

3 Modelvoorbeeld. Werk telkens uit met behulp van merkwaardige producten. (a) (−3x + 5)2 = . . . Å (b)

ãÅ ã 1 1 x − 3 3 + x = ... 2 2

16 De benaming merkwaardig product wordt gebruikt om een product aan te duiden die het bemerken waard is, omdat ze regelmatig in rekenwerk voorkomt en daarom aangewezen is om ze uit het hoofd te kennen. Het bijvoegelijk naamwoord merkwaardig betekent in deze context dus niet zozeer eigenaardig (aan het uitschrijven van bijvoorbeeld (a − b)(a − b) is niets eigenaardig), maar eerder noemenswaardig. Zo kunnen merkwaardige producten ook hoofdrekenen vergemakkelijken, zoals 98·102 = (100−2)·(100+2) = 1002 −22 = 10 000−4 = 9996. 17 Omdat a en b als lengte worden voorgesteld, is dit bewijs zonder woorden enkel geldig voor a, b ∈ R+ . 0

VIII-11

Toepassing 2 - Een veelterm ontbinden in factoren Men kan aantonen dat elke veelterm kan geschreven worden als een product van constante veeltermen, lineaire veeltermen en kwadratische veeltermen met negatieve discriminant.18 Zo is bijvoorbeeld 3x2 − 27 = 3(x − 3)(x + 3) x2 + 3x − 18 = (x − 3)(x + 6) ã Å 1 (x2 + 2x + 6) 2x3 + 5x2 + 14x + 6 = 2 x + {z } 2 | D<0

x4 + x2 + 1 = (x2 + x + 1) (x2 − x + 1) . | {z }| {z } D<0

D<0

Hieronder leer je hoe je eenvoudige veeltermen algebraı̈sch kan ontbinden in factoren. Is de veelterm toevallig een tweeterm van de vorm xn ± an , dan kun je het kenmerk van deelbaarheid door x ± a toepassen. x2 − a2 is de uitwerking van een merkwaardig product: x2 − a2 = . . . x3 − a3 is deelbaar door x − a (verklaar). We berekenen het quotiënt met het schema van Horner (vul aan): 1

−a3

Op die manier vinden we dat x3 − a3 = . . . x3 + a3 is deelbaar door x + a (verklaar). We berekenen het quotiënt met het schema van Horner (vul aan): 1

Op die manier vinden we dat x3 + a3 = . . . Th 11

3 Formules voor ontbinden in factoren.19 We onthouden: x2 − a2 = (x − a)(x + a) x3 − a3 = (x − a)(x2 + ax + a2 )

x3 + a3 = (x + a)(x2 − ax + a2 )

x4 − a4 = (x − a)(x3 + ax2 + a2 x + a3 ) x5 − a5 = (x − a)(x4 + ax3 + a2 x2 + a3 x + a4 )

x5 + a5 = (x + a)(x4 − ax3 + a2 x2 − a3 x + a4 )

3 Modelvoorbeeld 1. Ontbind telkens in factoren. (a) x3 + 8 = . . . (b) −2000x3 + 54 = . . . 18 Dit fundamenteel resultaat is een gevolg van de zogenaamde hoofdstelling van de algebra, dat voor het eerst werd aangetoond door Carl Friedrich Gauss in 1798. Daarvoor moet de verzameling van de reële getallen R uitgebreid worden tot de zogenaamde verzameling van de complexe getallen C. Deze leerstof komt aan bod in het vijfde jaar 6u en 8u wiskunde. 19 We merken op dat de tweeterm x4 − a4 verder kan ontbonden worden als (x − a)(x + a)(x2 + a2 ). Dat geldt ook voor andere tweetermen √ √ uit deze lijst. Daarnaast vermelden we dat x2 + a2 onontbindbaar is, en dat x4 + a4 = (x2 + 2 ax + a2 )(x2 − 2 ax + a2 ).

VIII-12

Om een veelterm A(x) te ontbinden in factoren, kun je de volgende stappen in volgorde overlopen.

Plan ontbinden in factoren (1) Kan ik iets afzonderen? (2) Tweeterm? . Verschil van twee kwadraten? a2 − b2 = (a − b)(a + b)

. Som of verschil van twee derdemachten? a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ) a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 )

. Som of verschil van n-de machten?

an − bn = (a − b)(an−1 + an−2 b + · · · + abn−2 + bn−1 ) an + bn = (a + b)(an−1 − an−2 b + · · · − abn−2 + bn−1 )

met n > 2 met n > 2 oneven

(3) Drieterm? . Volkomen kwadraat? a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 − 2ab + b2 = (a − b)2

. Kwadratisch met positieve discriminant?20 ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 )

met x1 , x2 de oplossingen van ax2 + bx + c = 0

(4) Vierterm? . Volkomen derdemacht? a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 = (a − b)3

. Twee aan twee groeperen?

ax + bx + ay + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y) . Drie aan één groeperen? a2 + 2ab + b2 − c2 = (a + b)2 − c2 = (a + b − c)(a + b + c) (5) Zesterm? . Volkomen kwadraat? a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c)2 a2 + b2 + c2 + 2ab − 2ac − 2bc = (a + b − c)2 (6) Gehele nulwaarden?21 Kanshebbers gehele nulwaarden: delers van de constante term. Als A(a) = 0 dan is A(x) deelbaar door x − a. Voer het schema van Horner uit.

20 De reële nulwaarden van een derdegraadsveelterm kunnen gevonden worden met de zogenaamde formules van Cardano , vernoemd naar Girolamo Cardano die deze formules in 1545 gepubliceerd heeft. Zes jaar eerder had Cardano die formules in vertrouwen gekregen van de ware ontdekker Niccoló Tartaglia met de eed om deze formules nooit kenbaar te maken, een belofte die Cardano blijkbaar schaamteloos verbroken heeft. Ook voor een veelterm van graad vier bestaan er formules om alle reële nulwaarden te vinden, toegeschreven aan Lodovico Ferrari 1540. Verrassend genoeg is aangetoond dat er geen formules bestaan om de reële nulwaarden van veeltermen van graad vijf en hoger te vinden, een diepgaand resultaat dat in 1824 werd aangetoond door Niels Henrik Abel . 21 Is A(x) een veelterm met gehele coëfficiënten, dan geldt: (1) als A(x) een gehele nulwaarde a heeft, dan is a een gehele deler van de constante term, en (2) als A(x) een rationale nulwaarde r/s heeft (in onvereenvoudigbare vorm), dan is r een gehele deler van de constante term en s een gehele deler van de hoogstegraadsterm.

VIII-13

3 Modelvoorbeeld 2. Ontbind telkens in factoren. (a) x4 − 25

(b) 9x5 − 6x4 − 16x3

(d) x3 + 4x2 − 3x − 18 1 3 (e) x4 + x3 − x2 − 3x − 2 2 Oplossing.

2x3 + 2x2 − 6x + 18 = 2 (x3 + x2 − 3x + 9) | {z } A(x)

kanshebbers gehele nulwaarden: delers van de constante term 9. GRM: A(. . . . . . ) = 0 dus A(x) is deelbaar door x − . . . . . . schema van Horner: 1

−3

dus A(x) = . . . = ...

Gebruik van de grafische rekenmachine. Delers X van de constante term overlopen waarvoor Y1 = 0. 2ND

TABLE

VIII-14

(c)

Toepassing 3 - Algebraı̈sch bepalen van nulwaarden Later zullen we elke veelterm zien als een functie. De nulwaarden van de veelterm corresponderen dan met de snijpunten van de grafiek met de x-as. Door de veelterm te ontbinden in factoren, kunnen we zo de nulwaarden aflezen en de tekentabel opstellen. Die geeft aan waar de grafiek boven of onder de x-as ligt. 3 Modelvoorbeeld. Bepaal algebraı̈sch de nulwaarden van de veeltermen.

(a) −17x + 38

(b) x4 − 4x3 + 4x2

(d) x4 − 34x2 − 2x3 − 2x − 35

(e) x4 − 9x3 + 14x2 + 35x − 25 (f) x x2017 + x2001 + 1

Oplossing.

Grafiek die hoort bij veelterm A(x) = x4 + x3 − 13x2 − x

VIII-15