Hoofdstuk 8 Veeltermen ingevulde versie by Koen De Naeghel

Wiskunde Aan zet een cursus wiskunde voor studierichtingen met vijf wekelijkse lestijden wiskunde vierde jaar algemeen secundair onderwijs geschreven door

Koen De Naeghel Hoofdstuk 8 Veeltermen

19/01/2018

CREATIVE COMMONS Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 (CC BY-NC-SA) Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie. De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode De gebruiker mag: het werk kopiëren, verspreiden en doorgeven Remixen - afgeleide werken maken

Onder de volgende voorwaarden: Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam te vermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik van het werk). Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerciële doeleinden gebruiken. Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfde licentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid.

Met inachtneming van: Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden met voorafgaande toestemming van de rechthebbende. Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijke wetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze beı̈nvloed door de licentie. Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht: • Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet. • De morele rechten van de auteur. • De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals het portretrecht of het recht op privacy. Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aan . derden door middel van een link naar http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/

Eerste druk: 2017 Versie: 19 januari 2018 Gepubliceerd door: Online publicatie platform Issuu.com Omslagfoto: http://nl.123rf.com/ Tekstzetsysteem: LATEX Royalty percentage: 0% c Koen De Naeghel, gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 i

Hoofdstuk t

Veeltermen t

l.f

Definitie van een veelterm

to**-

Tijdens de voorbije ja.ren heb je leren rekenen met eentermen, tweetermen en drietermen. Dat zullen we in deze paragraa,f uitbreiden tot viertermen, vijftermen enzovoort. Algemeen spreken we dan van ueeltermen. 'We starten met een opfrissing van enkele begrippen die je al kent. (de variabele) r is een product van een (reëel) getal met een einc1igaantalkeerdeletterz.'gevolgddoordetotalemachtvan3.

O Eenterm (herhaling). Een (reële) eenterm in Th

In symbolen:

A(r): qs" waarbij > > > >

We spreken

a"f

dat ro

IR en

neN

Het getal o noemen we de coëÍÍiciilnt van de eenterm.

Als o

A dan noemen we n de graad van de eenterm Á(z), notatiq

De graad van de eenterm

A(r):0

A(r).

wordt niel, gedefiniëbrd1.

Voorbeeld,. Vereenvoudig de volgende eenterrnen, eu geef telkens de graad (indien mogelijk).

Á(r) : 2rm:.?-Xj

grÁ(r) : .*3 sr

B(y): .(.

SrC(r) :.rf,.

D(r):0r2o17 : ,{)

D(r):

$A*urS*t'I*1 -')")

Hieronder herhalen we de belangrijkste regels voor het rekenen met eentermen.

(1) Twee eentermen in Voorbeeld,.

z4n gelijk als ze dezelfde graad en dezelfde coëfficiënt hebben.

Vulaan; alsÁ(r)

-rt*nenB(r):brssdanis

A(r):g1s1 <+ ó:{f

en ,r:.3(

(2) Twee eentermen in r zijn gelijksoortig als ze dezelf<le graad hebben. De som van twee gelijksoortige termen in r is opnieuw een eenterm in s. Voorbeeld,.

Vul aan: als Á(r)

-59"100 en

B(r)

6002100 dan is

Á(r) + B(n)

:{' (t

* ['.o)"

/*=

een-

(3) Het product van twee eentermen in z is opnieuw een eenterm in r. Voorbeeld.. Vul aan: als

.4(r)

-.15,.4 en

B(r): 3"t

dan is

A(r)-

B(r): .. *[( tl, !. x? = - 4ï *+ \

r door een reëel getal r, dan verkrijgen we de getalwaarde Die getalwaarde noteren we met á(r).

(4) Vervangen we in een eenterm Á(r) de variabele van

A(r)

itt

r : r.

In symbolen2

als A(r) : qv" dan is A(r):0,v" ("(-t1 Vaorbeeld.. Vul aan: ats Á(r) :5r3 dan is A(-2): .(. (-t\t =

-ho

rln hogere wiskunde stelt mer gr0: -co omdat op deze manier rekenregels in verba.nd met de graad van een eenterm geldig blijven, zoals bijvoorbeeld de rekenregel d,e graad uan het prod,uct rJan twee reële eentennen is geli,jk aan de som uan d.e graden uan d'ie eentermen. 2Hierbij is a,r € lR. en n € N, waarbij we evenwel het geval r : n:0 uitsluiten: aan de uitdrukking 0o geven we geen betekenis. \,í I

lï-1

O \Ieelterm.

Een (reële) veelterm in (de variabele)

is een eindige som van reiile eertermen in de variabele c.

Meestal kiezen we ervoor om deze som te herschikken zodat de graden van de eentermen stijgend of dalend zijn.

zijn veeltermen in r:

Voorbeeld,. De volgende uitdrukkingen

3n2

5-8r

Uitdrukkingen zoals x)-L

-1*3r-2r2

: L *È : 1/i ï "n

zijngeen veeltermen in

4F,

-t - \r"-2n"*r*-n

We willen nu ook een veelterm in syrnbolen kunnen schrijven. Onze eerste poging ziet er als volgt uit:

waarbiiaelR. waaÍbija,beR.

ía la+br II a + br + cu2

waarbij a, b, c €

I a + br + cr2 + dr3

waarbij a, b, c, d €

Maar om regel 27 op te schrijven, hebben we onvoldoende letters in het Latijns alfabet. Dat probleem kunnen we omzeilen door gebruik te maken van een ond,erind,e.{.in plaats van o,) b,c,d,... schrijven we o0, e,r jo,2tay. . .

Th1

Algemeen kunnen we

elke veelterm in

uitdrukken in de vorm

A(r):as*a1r*azr2 *.'-*anrn waarbij n€N en ao,&1,&2,...,a, Danlsij de afspraak ro : I kunnen we de uitdrukking herschrijven met het sommatieteken: A(r) :Louro -'-

I'h

waarbij n € N en

ao,ai.r(trZt-..

to,

€

€lR

Hierbij noemen we de getallen o,o1e,1)a2,. .. de coêffrciÈnten van de veelterm. De eentermer! e,g, o,1ï, &r2, . . . , anrn noemen we de termen van de veelterm. De term as wordt de consta,nte term van de veelterm genoemd. Als o, f 0 noemen we n de graad van de veelterm á(r), notatis n: gr A(r). In dat geval is a,nrn de hoogstegraadsterm en a* de hoogstegraadscoëfficiënt van de veelterm. > De graad va,n de veelterm A(r):0 word.t niet gedefiniaerd9-) > De verza,rneling van alle veeltermen in r wordt genoteerd met lR.[r]. In symbolen: R["]

: {oo+orr*azr2 +.''+

anfrn

ln € N€rr Gs,o1, a2t.".,a",

€

JR]

Voorbeeld,. Geef telkens de graad van de veelterm (indien mogelijk).

ao:l- or:.-.h 0z:O. az:t). bo:9. br:3. bz:O. co ::L5 cr : .O csz : .Q.

A(r):L-4r+2r3 B(r)-0r2+3r C(r) :9

grÁ(r):.3.

srB(r):f. srC(d:.O.

Hieronder overlopen we de belangrijkste regels voor het rekenen met veeltermen.

(1) Twee veeltermen in

zljn Selijk

a.ls de coëfficiënten vàrr hun gelijksoortige eentermen

Voarbeeld,. Gegeven zijn de veeltermen A(r) : arg - 4r2 * br * 2 en B(r) a,b,c,d € lR. Bepaal de waarde(n) van o, b,c en d waarvoor A(r): 31*1.

\Ln : tL)o (=r

d,f- \xL*\* tL

(',f tio-* -rL*-L (:r =

[];l

5r3

2ar

1l=ï

\t* \ g[{\ = 3:: \LxL-x \\ \ t,Jvh\-il.

r"u = 5 r<3+

- êr2 -

d waa.rbij

È=(

(:\

r is opnieuw een veelterm in r. Voorbeeld,. Berekeu de som van Á(r):3r3 * 2r2 -r *4 met B{r):613 -rz +2.

(2) De som van twee veeltermen in

gelijk zijn.

t=rio ..

=t\

xL- x

t(.

i à,*--ïl

=-Y

(3) Het product van twee veeltermen in e is opnieuw

Á(r) :

Voorbeeld.. Bereken het product van

6r.2

in r. B(r) : -3r3 + 5r2.

lrzt

een veelterm

-r*

2 met

= -\\x)*?ox' . _ \ 3 xh -( x " [xjrioxt/ / = -\ï'x\ t33xï-44x3 + 4ox7, (4) Vervangen we in een veelterm A(r) de variíbele r door een reëel getal r, dan verkrijgen we de getalwaarde van Á(r) in r: r. Die getalwaarde noterer we met Á(r). In symbolen3

th1

als A(r): ao* atr *azrz *..- *anrn

dan

is A(r): o.s*a1r+azr2 *.-.*o*r^

Voorbeeld,.Vul aan: als Á(z) : 2r3 + r * 7 danis,4(10) : .l--{"o3 t {-o + \ = lO'tt. (b) Is de getalwaarde van een veelterm in een reëel getal r gelïk aan nul, dan noemen s/e r een nulwaarde van die veelterm.

nl1

In svmbolen:a

is een nulwaarde van

Á(r) {+ Á(r) :

(6) De $aad van een product van veeltermen is gelijk aan de som van de graden rran de veeltermen In symbolen:5

rh1

*,(r1"1 st")) :gr,4(r)+gB(r) A(r) :

Voorbeeld,. Ga deze formule na voor

\tn. $tn

13 en

B(r) : Í5 -

*fg

( = t' *( -xt tt) = *\- *i * *' \,^ Sg$=

'tt \!o (7)Degraa,dvandesornvanvee1termeniskleinerdanofgelijk'"";;;'*";ffi;*"'-J h1

In symbolen:6

*.(a1"y + B(r)) < max{grá(r),8(r)} Voorbeeld,. Ga deze formule na voor

B{r) :

12 en

B(r) - -r! * 6s2.

A(r) :

a3 en respectievelijk

B(r) : r5 +2r2, B(r) :3r3 + 1,

\tn= xiqptin = x( t r-xl i utn : f

(*^"1g).ffï s*^"l$.ffï i f.S4 sfN:-r^\ Ïsl\ \3WlS3-3t',b33 + v, SSg

v"tl- i ur.n=rf s(\ =-x'it,l hó\.':g\.y*lï i,f$n\snrrovio,r\,o,cn ( hó\.U{ i gS$***[S.fï

er- Bcn:

er.,.

*Tqí'l*ï-

tï

Is het product van twee ge,tallen gelijk aan nul, dan is zeke.r één van die ge.tallen nul. Die belangrijke eige.nschap geldt ook voor veeltermen.

O Eigenschap. Zi Á(X) en B(r) twee veeltermen. Als Á(r) . B(r)

Bewi,js. Veronderstel,

uit het ongerijmdeT, dat A(")

t\".\ t \.tn : rLnx^ \ --' t (r$ tu. x$ \ -. =

0 en

dan is

A(r)

t,N 6.= \\txr L,n

,r..

n".

B(r)

ttn Lun \,n. 1o hL\ ,i".t* *o

tyu!

B(r) 10.

='1.

stx = rL,.,Lu. t'il \\a,nr \ru*'* \t*. $tn \s . U,)L,À i[qLmN-\u! 'rr $qtw\" Dnx.'. \tnr,

.,Htn

--.\rt^ 5.

O .ritdlit"\: voor ons heeft 00 ge€n betekenis) een nulwaarde soms ook eeo nalpunt. genoemd. Onze voorkeur gaat uit naar de volgende afspraak: een nulpunt is een punt (dus een meetkundig object), een mÍwaarde is een waarde (dus een getal). sHierbij zijn A(r), B(e) veeltermen in z die verschillend zijn ran de aulveelterm. Spreken we af dat gr0: -oo, dan zijn deze formules

aHierbij is

r € lR en Á(:u) een veelterm in e. In de literatuur wordt

ook geldig voor het geval dat A(E):0 en/of B(z) : 3. oHierbij zijn A(r), B(z) veeltermen in c die verschillend zijn van de nulveelterm en waa.rbij ook de som A(s)+ B(r) verschillend is van de nulveelterm. Spreken we af dat gr0 * -@r dan zijn deze formules ook geldig voor het geval dat A(r) :0 en/of -B(r) : 0 en/of A(n) + B(r) :0. 'Een beurijs uit het ongerijmde is een bewijstechniek waarbij we het tegenovergestelde a€uulemen van wat we willen bewijzen en dan trachten een contradictie (of tegenstrijdigheid) te verkrijgen. Aangezien tegenstrijdigheden binnen de wiskunde onmogelijk zijn, moet die tegenovergestelde aanname foutief geweest zijn. Hiermee is de te bewijzen uitspraak aangetoond. q,. ur?t, S\\- ,

v\\r*3

y','.

u bí\cóf ) "-

i)^

t Z Deling van een veelterm door een veelterm Net zoals deling van gehele getallen, kun je ook spreken over werkwijzen staan centraal in de rest van dit hoofdstuk.

d,el'i.ng

{r^ 5

aan ueeltermen. De definitie, eigenschappen en

Deelbaarheid 2023 omdat er een geheel getal q besta.at waarvoor 2023 :7g, namelijks q Op dezelfde manier spreken we af wanneer een veelterm B(n) een deler is va.rr een veelterm Á(r).

'We

ih3

noemen 7 een deler

lan

O Definitie. Zij A(X) en B(r) twee veeltermen waarbij B(r) * 0. Wb noemer B(r) een veelterm Q(e) bestaat waarvoor A(r) : B(r) -Q@). In svmbolen: B(r) | A(r) <+ e R[r] : A(r): B(r)-Q@)

: .?.ts =4\ï

een deler van

Á(r)

als er

=Q@)

> Hierbij zeggen we dat Á(r) deelbaar is door B(r). > Hierbij noemen we Á(r) het deeltal, B(r) de deler en Q(z) een quotiënt Voorbeeld,.

Zij A(r)

1412

17r

5 en

B(r) :2r *1. Dan is B(r)

een deler van

n\" !a*' + r7r * 5.: \--tqt (zr * 1) (?z + b) Á(')

Hoe kun je

B(")

(va.n de opgaande deling).

e@)

Á(r), *urrt t.V\ o,lt Qt'*"letrs'i'. GLflu**.rlrx \i:ii , i1i.rf i r, {í j

dit controleren?

(\x t< ) = {\xL\rox t\xt( : {-txltftxií:Atx\"

\"t \N-1*\'-Iu,'r\t ^u]**, Sln .C..Ln =(tx. Hoe kon je quotiënt Q@)

:7r *

t1.

5 zelf vinden?

\[K = A-\x-r$xt(: \x(LxrL)-tx \{1 Y+( = \x(ï.ktt\*\sxií : \. (Lxrr) t í (rx \ t) : [rx r \ (ix tí) Het volgende resultaat zegt dat we voortaan mogen spreken van het quotiënt van een opgaande deling.

O Stelling (opgaande deling). Dan bestaat er hoogstens

éé"n

7,\i

A{X) en B(r)

twee veeltermen waarbij

B(r)

veelterm Q@) zodat:

A(r):

B(r).Q@)

\* \r\. oo* \txr: Btxï \{t11.,*\s'* *r"irOt'*\r}i q tn : \LA. R(x (:tl-"{(Á\. : o \nls.,r,. RL)q ..'.t.n = tLrq da;-=; Bewijs. ï\q\.\",,&- ur

orx\ur.rL\&s^s"

o,t

txt air\t-a*r.

tlttn.

O Modelvoorbeeld. Bepaal 9q -16p

als

qpk\

Qtn* q't* =o =l Q(n=dtxlo

je weet dat 613 +hà2 + 32s * q deelbaar is door 2r2

* 7r - l.

I Een kenmerk van deelbaarheid door ? gaat als volgt: (1) trek het laatste cijfer tweemaal af van het getal gevormd door de overblijvende cijfers, en (2) ga ra of dit nieuw getal deelbaar is door 7. 7n is 2023 deelbaar door 7 als en slechts ab 2A2 - 2 . 3 : 196 deelbaar is door 7, dus als en slechts als l9 - 2' 6 : 7 deelbaar is door 7 (wat het geval is).

VI'il-\

Schema van de staartdeling In de lagere school heb je geieerd hoe je een deling van gehele getallen kan uitvoeren met een staartdeling. Zo geeft bijvoorbeeld de deling van 239 door 5 als quotiënt 47 en rest 4 (ga na). Dat resultaat kun je schrijven als 239 :5-47+4. Kenmerkend is dat de rest kleiner is dan de deler. tr{ieronder leer je om een deling van veeltermen op een soortgelijke rnanier

uit te voeren.

O Werkwijze. We hernemen het voorbeeld Á(r) : l4rz * I7r * 5 en B(r) :7r * 5. Om na te gaan dat B(r) een deler van Á(rr) is en om het quotiënt te vinden, gingen we op de vorige pagina te werk zoals hieronder links. Omdat dit nogal veel schrijfwerk is, zullen we deze werkwijze aan de hand rran een korter schema uitvoereu de zogenaamde staartdeli,ng (ook wel lange deli,ng genoemd)e. Voer eerst de lange werkwijze uit (links), daarna de korte (rechts).

I4r2+t7rI5

: tY (zr+\)- }x ï ,\\* í

14n2

+ 17n +

dlxL

t \x áox +\

: \x[r-xtr) +4,,rxr( (rx +\) -( i\ = \x LLx +t) +( = \x[i-xtt) r( (:-x tt1 = (zx tr).t\x r<) Besluit:

d-ox +(

t4r2 + ITr

S,: (2r *

A(*)

1) . (.

.+.X

B(")

Q@)

Ook in het geval dat een veelterm Á(r) niet deelbaar is door een veelterm Ë(r), kunnen we te werk gaan zoaJs hierboven. In dat geval stopt de procedure bij een restueelterm (kortweg resÍ) die verschillend is van nul. Kenmerkend is dat de graad van zo'n rest kleiner is dan de graad van B(r). Inderdaad, mocht dat niet zo zijn dan konden we toch nog een stap verder werken! Voer eerst de lange werkwijze uit (links), daa.rna de korte (rechts).

2r3

+3r2

- !*% 3vL- lq-v (xï t tx\ - 3 xL- lt-x (xL t 3x\ - S ( >l + lv\+1 x- I (xto:*).L"ux-3) n 5x- r !-x1rz+3r)

A(r)

B(")

2r3+3r2+or1 ï.x3 t Lxt' tryv+ o x-

3vL- q( 5x-

ti^ L| \J^

A-

Q@)

In het vervolg zullen we meestal meteen het schema van de staartdeling opschrijven. Maar onthoud wel wa,ar die staartdeling vandaan komt: het is een kortere schrijfwijze voor de lange werkwijze aan de linkerkant. Enerzijds komt die werkwijze rog aan bod in sommige bewijzen van eigenschappen die we nog zullen zien. Anderzijds ben je bij sommige oefeningen beter af door toch de lange werkwijze toe te passen (zoals bij het modelvoorbeeld op de vorige pagina). Boek

,.128

In het handtroek staan

de stappen voor het schema van de staartdeling nog eens afzonderlijk uitgelegd:

les

pagina 128. gDe

staartdeling is een voorbeeld van wat we in wiskunde een algoritme noemen: een eindige reeks instructies om lanuit een gegeven begintoestand een probleem op te lossen of een taak uit te voeren-. -DelFGdamentele rtaag welke problemen met een algoritme kunnen opgelost worden, werd in 1937 opgelost door AIan Ttrring \r-. Zijnwerk lag aau de oorsprong van eer ran de grootste uitvindingen ooit: de computer.

tt-(

+À.\ .r,rrt J l.\ N,r./ 4r' 4+ '

'^tL ,i,.' ,t' u." n \I

(\/

Stelling van de euclidische deling Hernemen we het voorbeeld A(r) : 2r3 + 3r2 ?r3 + sqz

A(*)

Ltii\

1 en

B(r) : rz + 3r,

- t: €p.Jzr - 3) + U R(r) Bi,)

Bij het voorbeeld met Á(rr) : l4r2 -f I7r l4s2 + I7r

waarbij

B(r) :2n *

5 en

1).(7r + 5) + B(") Q@) -#h#

-Y. 4,. R(r) gr B(c)

Ci,)

* 5.: (2r *

Á(")

dan vonden we op de vorige pagina dat

was de deling opgaand:

waa.rbij

-L J?(r)

R(r):

Ook voor elke andere keuze van Á(z) en n@) I 0 kunnen rve zo'n veeltermen Q(r) en .R(z) vinden. Dat is het onderwerp van het volgende, belangrijkste resultaat uit dit hoofdstuk. Ons bewijs bestaat uit twee delen. Eerst bewijzen we dat de veeltermen Q@) en .R(r) bestaan. Daarna bewijzen we dat ze uniek zijn.

th 5

O Stelting (deling met rest, euclidische deling).lO Zij A(r) en B(r) twee veeltermen waarbij B(r) 10. Dan bestaat er precies één veelterm Q(r) en precies één veelterm R(r) zodaf,:Ir

A(r): B(")' Q(r) + "R(r) waarbij grR(r) < srB(r) of .R(r) : De veelterm Á(r) wordt het deeltal genoemd, van Á(r) door B(r).

Bewi,js dat Q@) en

R(r)

A(r)

de deler,

Q(r) hgt quotieiit

bestaan.

Beschouw de verzameling ,9 van alle veeltermen van de vorm

{A(r)

A(")

(*)

en ,E(z) .{S-!gs! van de deling I

B{r) - C(r) met C(r)

een veelterm:

B(") . C(") | C(r) eR["]].

We onderscheiden nu twee gevallen.ll

> Geval 1. 0 e ^9 Irr dit geval is dus 0 : A(r) * B(").Q(r) voor

A(r)

een zekere veelterm

B(")'Q@) + R(r)

Q(r). Dan is

fi(r) :6' ert It(r) bestaan zodat (x) geldt.

waa.rbij

In dit geval hebben we dus aangetoond dat er veeltermen Q@)

>Geval 2.0#S Nemen we van elke veelterm in S de graad, dan12 zijn er veeltermen in ,9 waarvooï de graad het kleh,st is. Kies13 zo'n veelterm en noteer ze met rB(r). Omdat n(r) e S geldt dat.B(z) - A(r) - B(").Q(r) voor een zekere veelterm Q(r). Dus we hebben alvast dat

A{r) : B(r) 'Q@) + À(r) waarbij R(r) I Nu zullen we aantonen dat gr.R(r) < grB(r).

Veronderstel, uit het ongerijmde, dat grB(r) à SrB("). Delen we de hoogstegraadsterm van.R(r) door de hoogstegraadsterm wn Ê(r), dan vinden we e€n eenterm aÍft waarvoór de graad van Ë(r) - arkB(r) kleiner is dan de graad van l?(r). Nu is

R(*) * arhalrl = A(r) - B(") .Q@) - ark BlrS : A(r) - B("). (Q(") + arh) e s. Maar dan hebben we een veelterm in ,5 gevonden waarvan de graad kleiner is dan de graad van Ë(r). Dit is in strijd met ouze veronderstelling dat R(z) een veelterm in S is waarvoor de graad het kieinst is. We besluiten dat Dus ook in

dit

A(r): B(")

Q@) +

R(r) waarbij

grrB(r) <

geval hebben we aangetoond dat er veeltermert Q@) en

$a(r).

R(r) bestaan zodat (*) geldt. tr

loDeze euclidische deling voor veeltermen is analoog a^an het gêlijknaÍnig resultaat voor gehele getallen. Hoewei deze stelling genoemd is naar Euclides van Alexandrië V. +300 v.Chr., lijkt het weinig waa.rschijnlijk dat Euclides bewrxt was rràrl het bestaau en de uniciteit rran het quotiênt en de rest. In die tijd was de manier om quotiënt en rêst te bepalen beperkt tot het herhaaldelijk verminderen tran het deeltal met de deler. De reden is dat de sta"artdeling van gehele getallen berust op een positiestelsel zoals het Hindu-Arabisch getallensysteem, die in <le tijd van Euclides nog niet bekend was. De naam euclid;ische deling werd pas in de 19e eeuw geintroduceerd als verwijzing naar een algemeen resultaat uit de hogere wiskunde. Euclidische deling is dus wel degelijk een stelling, en geen algoritme. llSpreken we a.f dat gr0 : -m, dan is het gevalsonderscheid niet nodig. 12Op dit punt maken we gebruik van het zogenaamde principe aan d.e welordening, dat als volgt luidt (vijfde jaar 8u wiskunde): elke niet-legedeelverzameliaC ygNbevat eenkleinsteelement. Indecontextvanhet bewijsis y:{grv(r) lir(r) e S}.

13AchterafzaIblidkendat"*9.orec.i€€,.óén.vee1terra...be-vad-,'waarvoqr'de'$.aad"'h6t-.kloineLio*(ui|ut+er+--da$€k)err."B{c}.trnd}n}.

t\.\\,1\ \8,',+"r,')r O.txr 9u.\\Yr (r,0,,' ,.i !',\.'\\,\ }J .J

.. ttY:!. tt' 'VIil-L

iqL)\, ix

r:t,r't {aL\oghq^,0.,), \\.. \\,t,,,.'

qr c

Bewi.js d.at Q@) en

R(r)

uniek zijn.

Stel dat er nog een tweede veelterm

A(r):

Qt(r)

en een tweede veelterm

B(")'Q'@) + H(r) waarbij

Wb moeten aantonen dat Q'(z)

Q@) en dat

B[n Qtn \

Rt{r):

ï.,LR

gr-R

R'(r)

zou bestaan zodat

(r) < $B(")

,R'(r):0'

g1*1.

Sln e,tn \

v_.L\

=) RLrc e.L)$ * B[n grtX = V_\Ln _ f*t\ =) nt{i , ( qtK\ - u(n\ = ,[_([x\* Kt\ LL

(o*)

H.\k d.tn \ o.tx\ i* r.rxi! Krn tr,*r.. r*^ La;ï ttn \er*.È qrlatl{5(-.-l '-l r "rJt[:T.(\. \") '/ ) bu^ ui,r). ettrr - at[ \' \ r\ .. i -,rr.n qtn at5,& . Àl t]. L{\ \}.vi\,s};"t txx\ t\- ï-,1\3; Ktn, = n-d t{\) = " rr.1'J.- . Àr ttn = \r-ln \- tit-,5! -rt tr.L\ ,

t$ 4R04.5 t"

\qln-\N-i^\.r*

\r). dtn : qLA gv

K*[K =

ï.[x

Ctn= q[x\

O Modelvoorbeeld 1. Jeroen zoekt het quotiënt en de rest bij deling van gr3 vindt als quotiënt 3r en als rest -612 * llr.

21n2

11r door 3rz

- 5r. Hil

(a) Wanneer Saartje het antwoord van Jeroen bekijkt, beseft ze meteen dat zijn arrtwoord fout is. Leg uit hoe ze dat kan weten. (b) Saartje vindt als quotiênt 3r * 2 en als rest r. Hoe kan ze zeker weten dat haa,r antwoord wel correct is? Voer dit uit. Oplossing.

(o.)

[L)

\t' LL{i 44x =(:x"*(x).3x _ [xt{44Y ')

b,.3 *

\,tK\ :h. Rtn etA - fS

il-xtt4{x : ( I *"-(x\. (?x- L\' l__rr_ ---\,r-n srx\ G.r n G,L}q fh

X f-Lts

elv y

ïLLXI <

BLxr'\ntn="

NrÈll \

àr" d\( LtxJ ( \í tLn\

O Modelvoorbeeld 2. De veelterm Á(r): *" +w' -82*q is deelbaar door r- 1en 12-g isr-9. Watisq?

f*l: \

de rest

bij deling aoor

ÉÍ$..

[,a{,

Oplossi,ng.

\\u

uils..\k \tn = x? * \'"'- \x -- Lx- r\ . c, $1 1 Lo. \tn = t'r\ït-\k\\ = (xt-b).qtx\ rx-_5 -.

(r) )u*1-\+\:o \L\\^ /):lt--o, ) l\+1=\ -.:i -\=_[ =,{rr.\=_3 (r) = -:^ .{ I I*l ï-11 Ufr)=-\L -.'* tep rr-h r\=-ru o* u\=+

\Lct\' Èx ?.'3 (.\ "\,

vrrt-\ ,\$

on\l

V*r

CIr..

Conr Q [n

É"\KLx-l

dLn.tut*t tlnL

li-)-t\,\rg=-rL =\

T*-ii

-?rA:\ \ =\ \=5. .\

aw tr\r

+ o{À {1,'13 11 (ir'l(r';

t.g

Deling van een veelterm door

ï-

Ar"

In de vorige paragraaf hebben we de stelling van de euclidische deling gezien: zijn A(r) en B(r) dan bestaan er (unieke) veeltermen Q(r) en .R(r) waarvoor

A(r)

B(")'Q@) + R(r) waarbij grÊ(c) < grB(z)

/?(r)

0 twee veeltermen,

In het algemeen kun je dat quotiënt Q@) en die rest R(r) bepalen met het schema van de staartdeling. In deze paragraaf bekijken we de meest eenvoudige soort delingen, namelijk als gï B(r) : 1. In dat geval hoef je de staartdeling niet uit te voeren: hieronder leer hoe je het quotiënt en de rest veel sneller kan vinden.

Reststelling

A(r):

Op ontdekking. We beschouwen de deling van de veelterm

-2rz *3r - l

door

B(r):s-2.

(a) Wat zegt de stelling van de euclidische deling over de rest R(z)? (b) Hoe kun je de rest bepalen zonder de staartdeling uit te voeren? Controleer nadien je resultaat door toch de staartdeling uit te voeren. Oplossi,ng.

{.*) 3ítLt)$($Í}t\ k'\ !-t$-o I (.U\te-u,&\\,^\---lr:) ï(

$-LA =o-.

l_L( =.

utn,:[x_L\.(ÀlAt '\1"\ - L '\-r-)'\*-'-" .

:) Kt*=q-.f \ t_Ll.l =s i \ r-Lx\='\-ê\\L' =) L ux'r QrLt\ ïh6

Reststelling. Zi A(r) Bewijs.

tt\ru.1-**L

Ë.\k

$0\J.

=, \tr1 =gj).etr1 r" rs l=) u=\t:.1 if-r"f+?"r_-L=(

$4.\

\N\lq.,*\rn

een veelterm en o € iR. Da,n is de rest

k\\*'xr

-qL\.-\uLtu\\'\.t\ tw

\tn

KLA

ft\ U

bij deling

*n71";

e-*L\o\- \N.À

Ào^V *f

= [x-0,\ " \3.1x\

\p-$ *t5 L6

lí(

\ul'r^

1's

t-Ln

door

$-Lxr

\o. x-r- À \Lr)

a gelijk aan Á(a).

qo \Í ?r}}r'r$^

$,q$\1,o="

:r L\\\r t_fr\_;*n"r\,tï. -

--) \ttr\=(L-tu\qtu\\ L \ro '^ of\r" d4!' \te\. --, U:\\r$+q\so'-'-^-

O Modelvoorbeeld. Ztj A(r)! 5*' -

3r2

qL\

+2.

(a) Bepaal de rest bij deling van Á(c) door r * 1. (b) Bepaal de rest bij deiing vaa A(r) door 2c - 1. Exacte

waande geven!

Oplossi,ng.

(^\ \L uNk",\\t-q\a-w \t{\ \* x- (-,) ,1il.q\ d.Av' ^ \L-\ = ("t-r\t- 3 [*r)-tL = - (-3 ti- =- [ /rCr tb \tn = (r*-r)"o,tn \ \-\í+ ILLXI ( f\í(Lr.-r) \ f{n : o Kt\ \rl o\( ."*"f- í\ J ''

=-)

)

\(+,\= v

[-]

t c\\*

L-- ( ( t$-: (!f +r ln{ ![(

_ tr\

n 1\ :^\ Àe , "1'

\íc,t,\1

ï-

Deelbaarheid door In de vorige paragraaf

B(r)

o en deelbaarheid door (r

hebbe,n we de de.finitie r..a,n de.elbaarheid gezien: zijn

Á(r)

als er een veelterm Q(r) bestaat waa.rvoor A{r) euclidische deling kunnen we dit ook nog als volgt formuleren (vul aan): een deler van

[*l

- a)(r -b) A(r) en B(r) I 0 twee veeltermen, dan is : B(") - Q(*). Wegens de stelling van de n

B{r) | A(r) +}

bij deling van Á(r) door B(r) is ge}ijk

de rest

uu-u

Jï\^L

- r - a geeft de reststelling ons eeÍl zeer eenvoudige manier om deelbaarheid na te gaan. O Kenmerk van deelbaarheid door ï - o,. Z\j A(r) ren veelterm en a € IR. Dan geldt:

In het geval dat B(r) lh.

Bewiis.

\t\

tX*a1 ï

a) | A(r)

Á(a)

\u.'r

r=,

\L\ \nr x - d- j\

tf\

'$rttr1

O Modelvoorbeeld. Bepaal Oplossinq. . uPLUssLrLs',x

- l-\ - í1"

de waarde(n)

*np

k *t- hx - "r) |li---

€

waarvoor 5r2

.1- \'ttt) c

q--

(=\

rr\

b\_.3:^

I,T-.

I n = \rL-h^.

Het kenmerk van deelbaarheid door

,l*1.

l,i}"

=ttf- h.to.(-3): 3otr = 4t. 15

a kan gemakkelijk veralgemeend worden.

O Kenmerk van deelbaarheid door (r - a)(r - b). Zij Á(r)

r -2p.

\ , .l-r:-1 (:\ \:\ -t!\h t!{l[. i-'r =1,"*\{_) ho -- - /to-"

deelbaar is door

.q/\ :o í (;-1f-r(r1\-:

(=)

$r {-X\

- 4r -3

a)(r

b) | Á(r)

een veelterm en a,b € lR met

<+ A(a):0 en

Á(b)

ó. Dan geldt:

Beui.js- We bewijzen de eigenschap in twee delen.la Onderstel eerst dat

bm.,r*

(r - a)(r -

a) | Á(r). We moeten aantonen dat A(a)

0 en Á(b)

\tn.= (x-0.).tr-tl.qLU i{c(sr-r,u\*e(n e \L[xl

\ (,"\ = Í"-5) t-tl, u tL1 ,o (" -\ a t a1 E'{ \tt) =(t-"1.!._c-

Omgekeerd, onderstel dat

\rLr,ro,

A(a):0

en Á(b)

:0.

We moeten aantonen dat

\co<'o\u^t-

(r - a)(r *

a) | Á(r).

\t-ct1 =o

:\ [x- a: ï \tn :) \t-S:Lx-a5.it*l \L\

o' t*octu

\tt\l

lx-\; I \tx\

o Modelvoorbeeld. Is de veelterm

í*- r) | f rl\

:x2o17

\x qr-*,&$*d'(n

{ t=t \-.---

Lso i

1.'t\

Èï( (-ï\

=r:r ïht

laEen bewijs van een equivalentie P ++ bestaat vaak uit twee deelbewijzen, àpt bewijs van de implicatie P Q

loo\

t-----\--

s'r\\ (=\ ó =s q', Ë.$(

HL\ \1L\)

E\\tx1 n

door z2 - 1? Schrijf je redenering opl

!o{\

**t\

=r (x_t\ \ u't\ È\ dtn = (x-Ll.q'tn

tof\\

12001 deelbaar

l|_--

[x*\\\x\r) [x*r\[xrr)

oqN

tx:

=írx-n\- Lt-\1 'dt-n

=\ (x-*\ oPtossins'

Qsr

+ Q en hË bewijs van de implicatieQ+P.BijhetbewijsvanP+Qgaa.Dweuitv'andeuitspraa&PertonenweaêrrdatQgetdt.BijhetbewijsvanQ+P beschouwen we de uitspraak Q als het gegeven en wordt

bewezen.

\Tll-\ ;'ut, l\'.\lii

'Íli\\ \

,^i

' \ "u.t,,. 'Jd ' ii!

'l'I '

\\ru \tt^ru\

Schema van

llorner

|,-r,4o

In de vorige paragraaf hebben we de stelling van de euclidische deling gezien: zijn A(r) en B(r) dan bestaan er (unieke) veeltermen Q(r) en ,R(r) waarvoor

A(r)

B(")'Q@) + R(r) waa"rbij gr8(r) < grB(s)

Ë(r)

0 twee veeltermen,

In het algemeen kunie dat quotiënt Q@) en die rest -R(r) bepalen met het schema van de staartdeling. Als B(r) : n - a dan kun je de rest veel sneller vinden door de reststelling toe te passen: de rest is gelijk aan Á(a). Nu zal je leren hoe je ook het quotiênt veel sneller kan vinden.

O 'Werkwijze. We nemen het voorbeeld Á(r) : 3r3 + 5r2 +8r *

13 en

B(r) : r *2.

Orn het quotiënt en de

rmt

te vinden, gingen we vroeger te werk met een lange werkwijze (links). Dat was nogal veel schrijfwerk en daa,rom maakten we steevast gebruik van een korter schema: de staartdeling. Maar omdat we delen door B(r) : ï - e, is er een nog kortere manier: het zogenaamde schema aan Horner{5. Voer eerst de lange werkwijze uit (iinks), daarna de korte {rechts).

3,*'

1(*' +trr +,{3

:3x% _ 2) +.3.?-;i-+(xtt\x \

: 3 xt(x-21 + .44 xl t\x r r: ( = 3 * x-z; + 4\x (x-z\ + 4{ t-x +\x .= 3 rttx-t\ r (x-r) r 3o x \ L3 : ixt(x-'r1 \ ^4x 4Ax[x-r)t 3o(x-t\ = ( x- 'r)" ( g >t t"4{ x +3o) \ \i

+, 13

13o-ï-.

it3

- zl Í ,1.xitl1x.s3s) *

A(,)

ai,)

a(')

Ê(c)

ln het vervolg zullen we meestal meteen het schema va.n Horner opschrïjven. Maa,r onthoud wel waar dat schema '"ran Horner vandaan komt: het is een kortere schrijfwijze voor de lange werkwijze aan de linkerkant.

O Modelvoorbeeld 1.

Beschouw de veelterm

A(r) :znz +

5r2

de rest bij deling van .4(r) door r * 3. (b) Bepaal het quotiênt bij deling var. A{r) door r * 3. I (c) Hoe kun je zeker weten dat je antwoord correct is? Voer dit uit.

-\rê-tf,\'q. t( (a) eepaA

OpIossi,ng.

\ln' \*r x-L,.u\'^ uf\i\Lw5\qh í;ï"f. \ , .) )

-L

t-l)'t(.G3)

1\)

\\"io'alu"'.-\o"rrr(

h(e\

0.t*= t*-k r3 {c\ zJ t(*-:'i tx\i\ "tr:lx{l)-\i/

Lu"

O Modelvoorbeeld 2. Bepaal het quotiënt Oplossi.ng.

-3 : -(\ th(-3 =-\J

en de rest

ry-

bij deling ran 3r3

\..-t\ 3Y3-\* \rtx-L = íx* t \. -").QL\ \ Kt)\ \"n tn=0 È\ t Ètn =!*-i j. *q =l G.L\: \L-ïw+3. = (r"-L\.Qt\e\

S)2

+ 13r - 6 door 3r -

j -t 1_

Llz

ï3

"-t

-h t

De correcte naann voor het rekensc"hema,is sgnthetische d,eling. Uit dat schema volgt dat de rest bij deling door r - akarr geschreven : ((una* un-t)a+ ...)" * ao. Het belang ervan is dat ze het aa"ntal vernrenigvuldigingen tot een minimum beperkt, wat lêidt tot eêir groterë niimèiieke stabiliteit van de bèrèkehde wàarden. DeZe gemotiveerde schrijfifijze voór Á(a) werd voor het eerst door Williarn George Horner V. in 18Lg beschreven, ln de tage Landen wordt het ganse rekenschema van de synthetische delirrg ook het po^t"rtig) (1^16t1{t.\', schema oan Horner genoemd, maar dat is historisch gezien onjuist. t!"\\

worden als .4(a)

1.\',\

VIIFlO

\,1't(

l")

hiv t.+

i(t

Toepassingen

In deze paragraaf richten v/e ons tot drie soorten vragen die we over een veelterm Á(z) kunnen stellen. Bij elk van deze drie vragen passen we de leerstof uit de vorige paragrafen toe.

(1) Uitwerken:

de veelterm schrijven als een som van eentermen, waarbij de graden stijgend of dalend zijn.

(2) Ontbinden in factoren: de veelterm schrijven als een product van lineaire en kwadratische veeltermen.

(3) Nulwaarden bepalen: algebraïsch de r-waarden zoeken waarvoor Á(r)

Toepassing 1

- Een veelterm uitwerken

\rye soms gebruik maken van zogenaamde rnerkwaard,'ig producten.r6 Op verkort rekenwerk en sparen we die manier het tijd uit.

Bij het uitwerken van een veelterm kunnen

O Op ontdekking. (a

b)2:

\Merk

en stel een merkwaardig product vast.

\\).( d" \\,) = ,f o ru\ t\a *t"

\.rl'

(a-b)(a+

uit

: t .gN#* -*

* b*

c;2

+ b)3

rn9 ïb ./io

o,1tz,r\

Àv ab

^t-\t (o-b),: (^-\\.("-\) = J-è +ll+t b)

= o,L-LÀ

: .f,tu l\ rc\t,,tt\ r c\ 1* tÀ +cï= ÍJu I o-\ +tluc \ L,u\!t*\c\ca, í\^r$À. ---- rwvrÀ

ó2

Bewijs zonder woorden van

(a+b)2=a2*2ab+b2.17

tt\[,] t t^\ rti\ = rV t3 ? ,rf ; u:t !!É t ibr,r-Q-.^ f ïa.la t b |tl-

è, J

+:,,1!

Ctr-,

*tott*t'

CTIIÀ ;É\ = o3 - rr^-Lt r o-Lt* ,,3[ * i-o-f-f : ^]- ro]\ * 3*\t-L3

- b),:

L,r

-t1

O Merkwaardige producten. Wè onthouden:

* b*

c)2

(a-b)(a+à):a2-b2

(c,

b)3

(o-b)":e2 -2ab+b2

b)t

:03 -

(a+b)2

a,2

*2ab+b2

3a2b

3ab2

2ab

2bc

2ca

3a2b+3ab2 -b3

O Modelvoorbeeld. Werk telkens uit met behulp van merkwaardige producten. (a)

\z (-rr+b)2-((-: * \- = t\-L'('1k \ (3d = 5xL- 3ux t t('

(;"-3)

('";4: (U"-1 (\* *a) =lL"ï- .'=

\*-5 3 +'1 - br*"': ].:l::lJifï ï;)l: ?I*u'l = ,L['f -

xr \ h\\q--

3c5

\ t

"xL

16De benaming merkwaardig product wordt gebruikt om een product aan te duiden die het bemerken waard,is, omdat ze regehnatig in rekenwerk voorkomt en daarom aangewezen is om ze uit het hoofd te kennen. Het bijvoegelijk naamwoord merkwaard,ig betekent in deze context dus niet zozeet eigenaarilig (aa.n het uitschrijven van bijvoorbeeld (a - b)(o - ó) is niets eigenaardig), ma,ar eerder noemensuaard'ig. Zo kunnen merkwaa.rdige producten ook hoofdrekenen vergemakkelijken, zoals 98. 102 : (100- 2) .(100+2) : LOO? -22 : 10 000 -4 : 9996. lTomdat o en b als lengte worden voorgesteld, is dit bewijs zonder woorden enkel geldig voor a,b € IRJF.

v1\\-4\

Toepassing 2

- Een veelterm ontbinden in factoren

Men kan aantonen dat elke veelterm kan geschreven worden als een product van constante veeltermen, lineaire veeltermen en kwadratische veeltermen met negatieve discriminant .18 Zo is biivoorbeeld 3r2 12 2x3

+ 5rz

:3(r -

3)(r + 3)

+Jr _ 18: (r * 3)(r + 6)

* r4r * o :

ra + 12

2 ( r*

*) tr'

+'! : (rz *r *

-r2r

-+ 6)

,io

1) (r2

+I).

--?5---- -tG* n

Hieronder leer je hoe je eenvoudige veeltermen algebraïsch kan ontbinden in factoren. Is de veelterm toevallig tweeterm van de varm trn ! an, dan kun je het kenmerk van deelbaarheid door r t a toepassen.

13 * 12

Y,.cx$lN\L

r<- (r\-

a2 is de uitwerking van een merkwaardig product: 12 a3 is deelbaar door

\ Àl \,tr[

anr\u\

*'- J ï a---\_-

oj c:\ L-í--J

-f

: ...

=o otcll o

L 4_

Op die manier vinden we dar 13 13

(r2

We berekenen het quotiënt met het schema van Horner (vul aan):

Í1

\l*\.

\\{.q

r - a (verklaar).

een

+ a3 is deeibaar door

- a3: ( X-"\

r * o (verklaar).

( \ï

t,,^,

X t 0"L)

We berekenen het quotiënt met het schema van Horner (vul aan):

+-J \Ct ar^rVL r+a- [ y3+J ,o f * cJ =o ortrJ, ---^f

kur..rn

xrorr,

\L{)

\[_

op die manier vinden we dat 13 +

rh"4{ 0

a3:.f,X **\ ( XL- rt x t íLt\ /

Formules voor ontbinden in factoren.le We onthouden:

12-a2:(r-a)(r+a) 13

-a3: (r-a)(r2 +an+a2)

-a5:(r-a)(ra+ar3

: (r -a)(c3

+u3:(r*o)(r'-ar*a2)

+a5: (c* a)(# -ar3 +a2r2 -a3r+aa)

+ an2 I a2n + a3)

+a2r2

+asn+aa)

O Modelvoorbeeld 1. Ontbind telkens in factoren.

"'*8:..xa r f : (x+r1. 1v"-Lr (b) -2ooor3 + b4 : .: t- (^uot k3 '- L\\ (u)

**) Ix IL\ (*LLx r\) h(o

'"1

t = -L (to'K-3) ("toox"t }}x ï) g",,u,u,*d"ioofdstellingvandealgebra,datvoorheteerstwËrà-aa.rrgetoonddoor

- -ï-. ( ({ox\'- :') t í,

[o^

!: in 1798. Daarvoor moet de verzameling van de reële getallen IR uitgebreid worden tot de zogena,amde uerzameling uan d,e complere getallen C. Deze leerstof komt aan bod in het vijfde jaar 6u en 8u wiskunde. 19We merken op dat de tweeterm a4 a4 verder kan ontbonden worden als (c a) (r a)(* + a2). Dat geidt ook voor andere tweetermen * -

Carl Fbiedrich Gauss

uitdezelijst. Daarnaastvermeldenwedatrr2*a2 onontbindbaaris, endataa laa:(r2

vI\\-lY

+Jáar+a2)@? -t/1,an+a2)..

'(l'"t

\ rs'Ol\ce'

Om een veelterm

A(r) te ontbinden in factoren,

kun je de volgende stappen in volgorde overlopen.

Plan ontbinden in factoren (1) Kan ik iets afzonderen? (2) Tweeterm? > Verschil van twee kwadraten? a2 * b2: (0 _ b)(o + ó) > Som of verschil van twee derdemachten?

: a3 + b3 : a3

* (o, *

b)(az

b)(o,

* ab - *

b2) b2)

Som of verschil van n-de machten? e,n

-bn: (a-b)(o"-t +an-2b +...+ +bn : (a*b)(o*-t - an-zb+..'*

ebn-z ebn-2

+bn-r) +bn-r)

met

n) )

met n

2 oneven

(3) Drieterm? > Volkomen kwadraat?

+2abtb2: (a+b)z az_2ab*b2_(o_b)" az

> Kwadratisch met positieve discriminant?20 ar2

+br+c:a(r*r1)(r-12)

met 11,12 de oplossingen van ar2

+br *c:0

(4) Vierterm? > Volkomen derdemacht? a3 a3

Jazb ga2b

* *

* sabz Zabz

: b3 : b3

à)g

b)t

> Twee aan twee groeperen? ar * br * ay * by : a(n + a) + b(r + a) : (a * b)(r + a) > Drie aan één groeperen? (o+b- c)(a+ó+c) a2 +2ab+b2 - ê: (o+b)2 -

"":

(5) Zesterm? >

\y'olkomen kwadraat?

+ b2 + c2 + 2ab + 2ac * 2bc : (a + b + c)2 a2 +b2 +c2 +2ab_2ac_2bc:(aïb*c)2 a2

(6) Gehele nulwaarden?2l Kanshebbers gehele nulwaarden: delers van de constante term. Als Á(a) : 0 dan is Á(r) deelbaar door r - o. Voer het schema van Horner uit.

2oDe reële nulwaarden van een derdegraadsveelterm kunnen gevonden worden met de zogenaamde forrnules uan Cardano !-^, vernoemd naar Girolamo Cardano !" die deze formules in 1545 gepubliceerd heeft. Zes jaar eerder had Ca,rdano die formules in vertrouwen gekregen van de ware ontdekker Niccoló Ta;rtaglia !-- met de eed om deze formules nooit kenbaar te maken, een belofte die Cardano blijkbaar schaamteloos verbroken heeft. Ook voor een veelterm van graad vier bestaan er formules om alle reële nulwaarden te vinden, toegeschreven aan Lodovico Ferrari !: 1540, Verrassend genoeg is aangetoond dat er geen formules bestaan om de reèle nulwaarden r,an veeltermen van graad vijf en hoger te vinden, een diepgaand resultaat dat in 1824 werd aangetoond door Niels Henrik Abel !-. 21Is A(r\ een veelterm met gehele coëfficiënten, dan geldt: (1) als Á(z) een gehele nulwaarde o heeft, dan is o een gehele deler rran de constante term, en (2) als Á(r) een rationale nulwaarde r f s heeP" (in onvereenvoudigbare vorm), dan is r een geheie deler van de constante term en s een gehele deler van de hoogstegraadsterm.

VIrt-13

Modelvoorbeeld 2. Ontbind telkens in factoren. (a) ra -25 (b) 9r5 - 614 - 1613 (c) 2r3 *2o2 - 6r* (d) rt*4r2-3n-78

,,1

\e)

t 3 ? rn *r"-r--3,x-,

Oplossing.

v"t s) fn\ xh-r(: (*t-() (xr+í\ = (*-K).( . \ G).( ' i__-J b(o tb) 3\ó*L'*h- rtxs = *=. ($xo- tx - \t\ h = Ft1-- 1.5 (*l[) =

i[tïf

X{:-= -l-t\

t_.

= trtKt 4\

(")

2r3

+2r2

-6r*18:2(r3

[u/: f.t'.t\ l

(rl ï rnl

;(; íl

{ í

l\ \\ -'l

_ ,rrfiï

=t' s ( x - rt$).1 " +12

-3r+9)

kanshebbers gehele nulwaarden: delers van de constante term 9.

GRM: dus

ei.=.3 .)

Á(r)

is deelbaar door

r - [-3) : X + 3

schema van Horner:

dus

á(r)

:..L

: (.x + j\.( xt- tx

Ix ra\.

( ><.L*ï-x

\ 3)

bco Gebru,i.le aan de grafi,sche rekenmach'ine. Delers X la,n de constante

IYJ

|ïABLEI

term overlopen waarvoor Y1=0.

Plotl ?lotz P'lot3 ;rV; Ë13;xï-ài;ti l\YzÊ Y3= Y+=

Ys= Yo=

Yl= .:)

vrtr-ttr

R *\1.rr,

{*-

Lt\

Yt \ \xL*?x-\b \,*lu\Jt*- ' d',\L\r,À!À{r^b$" ' \$},* Trw - \l \ L r,-u

, \Le\ : t3 Lbr \ [- 3\ ': s

Utn i \ldY-\,tn

lr\"'u*r.l[**

knor

\*r tx-r\ "Lk*i)

-3

r-L

-- Lv-z\. txt r [r. * \\ = Lx-r\. (**3\"({.xrj)

-\\ 1ï

ïl

l-,.t *h \ *'-- * - : * Le-\ /

+,.

(*h\Lk3-Lx'-tx-3) '"- \a--

''"

s,r\ otr.rr*r)

h'ÀI**

***.À**fu*

L\-$ ' \t-'\

, bu\n^'{rr- * 3

i,.

\,,il!,^^

\ox \txtuc

xtL

t -{_

,Í-l

-\j

{

.:) ,_)

a '- .) "1 .)

l. L" ( k \t\" ( k3 \ x1-- 3x -l)

qt\r\

( x'(xra-) r(x'U)

l("+\

(x r {. ( )."*- 3)

(

o')Ï

Ix-fi) (x-{ï)

; 1L'

Toepassing 3

- Algebrzusch bepalen van nulwaarden

Later zullen we elke veelterm zien als een functie. De nulwaarden van de veelterm corresponderen dan met de snijpunten va,n de grafiek met de r-as. Door de veelterm te ontbinden in factoren, kunnen we zo de nulwaarden aflezen en de tekentabel opstellen. Die geeft aan 'waa,ï de gra,fiek boven of onder de r-as ligt.

Modelvoorbeeld. Bepaal tlÀ*àLtnulwaarden van de veeltermur,. 0

(a) -17r + 38 (b) ,a - 4r3 + 4r2 (") (" - 3)(5z'2 * 5or + 110) (d) - 34rz - 2r3 - 2r - 35 "n (.) ,n - 923 + r4rz +35r *25 (f) r (z2o1t+ r2oo1) + 1 Oplossing.

* \\x + 3t ("\ trf =s e-l - \\x =-jt 3t

(=t x=

tt)

x\-

\xt

{ Grafiek die hoort bij veelterm

= o (={ x1(xo-\x+h\=o kL=

o )" xL- \k \\ \

A(r):14+".3-13':-r =ro

i-,.-tt I

e\ k=o t (=,. x=o\

t-\ - \.'1-.\ = o X: -(*IÀc =

2.4_

k:ï/

x *j \

(=t X= 3

bdN- rr,S-w,$o'"t.

k=3 \

frt )<=3

.tïo$

x.\x

t:\

.X y-o rt

Lsct-\

/+ L

\.}( LorL

)<l

,)_

k - -\ot LG ?)

k = -t

-o

)ro

.{*q}Jrt

huhux

k ê\$*

YS*'nf Vrtr-rr

ir'\\''-

r\ï.

*rf,**\*À,\&'r' Crr$\r. q'lurrL Vrnoí ) \ )t\e^lt,h

rt) c=\

\dit \

^r'*il. t

\tx\

h"'À-ff^ qb.il" w,So-4[-, \u\t" vn' - :(. \ Gtnr \-'. [\\ =o e'.. \Pi\ = o bu^ \-L>q L [iln\\-*\K Lx-\\. (xti), \

(:\

\ ÀgSo,X,l"r..\Às{wC

(x-\\Lx\q.(

xL+r-) -\3

'x+(

(=l

(:t

t(\

x -- {r

=(J \

X =*\

+1-

)ro

)o \r^

\ N I

=s f\

'(oardixr- ''<e-\\,-

ti-'\o^..rr\Ewh\ xo' \r ,r$-/

WI\rqp* Snn*{'tr'h\\L. \ \

J...I

+ I

L. I

+--

-i I I

_LI

J'--I

._-