Hoofdstuk 9 Ruimtemeetkunde ingevulde versie by Koen De Naeghel

Wiskunde Aan zet een cursus wiskunde voor studierichtingen met vijf wekelijkse lestijden wiskunde vierde jaar algemeen secundair onderwijs geschreven door

Koen De Naeghel Hoofdstuk 9 Ruimtemeetkunde

14/03/2018

CREATIVE COMMONS Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 (CC BY-NC-SA) Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie. De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode De gebruiker mag: het werk kopiëren, verspreiden en doorgeven Remixen - afgeleide werken maken

Onder de volgende voorwaarden: Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam te vermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik van het werk). Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerciële doeleinden gebruiken. Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfde licentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid.

Met inachtneming van: Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden met voorafgaande toestemming van de rechthebbende. Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijke wetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze beı̈nvloed door de licentie. Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht: • Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet. • De morele rechten van de auteur. • De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals het portretrecht of het recht op privacy. Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aan derden door middel van een link naar http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/ .

Eerste druk: 2018 Versie: 14 maart 2018 Gepubliceerd door: Online publicatie platform Issuu.com Omslagfoto: http://nl.123rf.com/ Tekstzetsysteem: LATEX Royalty percentage: 0% c Koen De Naeghel, gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 i

Inhoudsopgave

Wiskunde Aan zet

9 Ruimtemeetkunde 9.1 Punten, rechten en vlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Veelvlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Piramide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regelmatig veelvlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Onderlinge ligging van rechten en vlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . Onderlinge ligging van twee rechten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Onderlinge ligging van een rechte en een vlak . . . . . . . . . . . . . . . Onderlinge ligging van twee vlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Hoeken en loodrechte stand van rechten en vlakken . . . . . . . . . . . . Hoek tussen twee rechten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Loodrechte stand van twee rechten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Loodrechte stand van rechte en vlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hoek tussen twee vlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Loodrechte stand van twee vlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5 Doorsneden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Een rechte door twee punten van een veelvlak snijden met het grondvlak Een vlak door drie punten van een veelvlak snijden met het grondvlak . Een vlak snijden met een veelvlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 4 5 5 5 6 6 7 8 9 11 11 12 13 14 15 16 17 17 19 20 22

A Bouwplaten Kubus . . . . Tetraëder . . Octaëder . . Dodecaëder . Icosaëder . .

. . . . .

39 39 40 40 41 42

van regelmatige veelvlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

Antwoorden op geselecteerde oefeningen

. . . . .

Hoofdstuk 9

Ruimtemeetkunde Meetkunde is het onderdeel van de wiskunde dat gaat over het zoeken van patronen en structuren in vormen die bevat zijn in een ruimte. Zo kunnen we bijvoorbeeld lijnstukken, driehoeken en cirkels bekijken in het vlak, terwijl we een bol of een kubus zien in de driedimensionale ruimte.1 In dit hoofdstuk hebben we het over veelvoorkomende vormen in de driedimensionale ruimte. Eens we bepaalde vormen in gedachten hebben, kunnnen we nadenken hoe we de lengte, omtrek, oppervlakte of inhoud van zo’n vorm kunnen berekenen. Dat heb je al in de eerste graad gezien. In het vierde jaar is het de bedoeling om te beredeneren hoe twee vormen liggen ten opzichte van elkaar, welke hoek ze met elkaar maken en wat hun doorsnede is.

9.1

Punten, rechten en vlakken

In de (driedimensionale) ruimte zijn er die soorten basisobjecten: punten, rechten en vlakken. Hieronder zullen we die objecten beschrijven aan de hand van hun kenmerkende eigenschappen. We leren ook hoe we ze kunnen voorstellen in het vlak: een tekening op een blad papier die de ruimtelijke illusie zo goed mogelijk opwekt.2 3 Basisobjecten. (1) Een punt heeft geen lengte, geen breedte en geen dikte. Op ons blad papier tekenen we een volle bol. Bedenk dat die bol eigenlijk iets oneindig klein voorstelt: als we op een punt inzoomen dan verandert het niet (het wordt dus niet langer, breder of dikker). Punten benoemen we met een Latijnse hoofdletter: A, B, C enzovoort. (2) Een rechte strekt zich in de lengte oneindig ver uit, maar heeft geen breedte en geen dikte. Op ons blad papier tekenen we een lijn. Bedenk dat die lijn eigenlijk iets oneindig dun voorstelt dat zich in de lengte oneindig ver uitstrekt: als we op een rechte inzoomen dan verandert het niet (het wordt dus niet breder of dikker) en een rechte heeft geen begin- of eindpunt. Rechten benoemen we met een kleine Latijse letter: a, b, c enzovoort. (3) Een vlak strekt zich zowel in de lengte als in de breedte oneindig ver uit, maar heeft geen dikte. Op ons blad papier tekenen we een parallellogram, waarmee we de illusie opwekken dat het vlak wat schuin in de ruimte ligt. Bedenk dat zo’n parallellogram eigenlijk iets oneindig dun voorstelt dat zich zowel in de lengte als in de breedte oneindig ver uitstrekt. Een vlak heeft dus geen randen! Vlakken benoemen we met een Griekse letter: α, β, γ enzovoort.

1 Voor het vierde jaar volstaat een intuı̈tief begrip van wat die driedimensionale ruimte is: het meest voor de hand liggende wiskundig model van de fysische ruimte rondom ons. In dit model wordt elk punt geassocieerd met een drietal reële getallen (x, y, z) die de positie van dat punt ten opzichte van drie welgekozen getallenassen in de ruimte vastlegt. Dat gebeurt op een analoge manier als de voorstelling van het vlak met twee getallenassen. De beschrijving van deze driedimensionale ruimte met coördinaten komt aan bod in de derde graad 6u-8u wiskunde. De vroegst bekende logisch consistente behandeling van het vlak en de ruimte is bevat in het dertiendelige boek De elementen van Euclides van Alexandrië , geschreven rond 300 v.Chr. Bij opbouw vertrekt men van primitieve ideeën (zoals punten, rechten, vlakken en hun onderlinge relaties) samen met enkele welgekozen axioma’s waaruit dan eigenschappen worden uit afgeleid. Dat is de reden waarom we in deze klassieke zin van ruimte ook wel spreken over het euclidisch vlak en de euclidische ruimte. 2 De manier waarop we in dit hoofdstuk driedimensionale voorwerpen op ons blad zullen voorstellen, kan vergeleken worden met de schaduwvorming bij zonlicht: de zogenaamde scheve parallelprojectie. Hierbij ligt het projectiecentrum op een oneindige afstand van het projectievlak, zodat alle projecterende rechten evenwijdig zijn en schuin op het projectievlak invallen. Deze vorm van projectie laat toe om zeer vlug aanschouwelijke afbeeldingen van voorwerpen te tekenen, omdat ze voldoet aan een aantal handige eigenchappen. Zo behoudt scheve parallelprojectie de evenwijdigheid van rechten en middens van lijnstukken.

IX-1

Rechten en vlakkerr worden opgevat als verzarnelingen van punten. Op die manier kunnen hun onderlinge relaties in symbolen genoteerd worden.

O Notaties. (1) Als een punt Á tot een rechte o behoort, dan schrijven we Á € a. In het andere geval noteren we A /. a. (2) Ats een punt ,4 tot een vlak a behoort, dan schrijven we Á € a. In het andere geval noteren we A ( a. (3) Als alle prrnten van een rechte À tot een vlak a behoren, dan schrijven we o C o. In het andere geval noteren we a (- a. Een typische oefening in ruimtemeetkunde is een tekening maken waarbij je een gegeven verband tussen punten, rechten en vlakken ruimtelijk voorstelt. Daarbij wordt verwacht dat je de illusie zo goed mogelijk opwekt. Je tekent de verschillende objecten best in verschillende kleuren, en je moet alle gegeven objecten benoemen. Als je de gegevens in symbolen krijgt, dan stellen de Latijnse hoofdletters altijd verschillende punten voor, de kleine Latijnse letters verschillende rechten en de Griekse letters verschillende vlakken.

O Modelvoorbeeld 1. Maak telkens

een tekening waarin je het gegeven ruimtelijk voorstelt.

(a) Een rechte a die de punterr A es B bevat. (b) Ben vlak a die een rechte a bevat. (c) Een vlak a die twee snijdende rechten bevat. (d) Een vlak o die twee snijdende rechten bevat die onderling loodrecht staan op elkaar. (e) Áea,enBeaenC/a

(f) Áe aenA/aen oc0en Bla Oplossi,ng.

("\

r\\

Lb)

tt\

t/,v ..''-'

'l//

tL)

\ ,'L

.{l

:7-

Meerdere punten kunnen in relatie met eenzelfde rechte of vlak staan. Evenzo kunnen meerdere rechten in relatie met eenzelfde punt staan. Die bijzondere punten en reclrterr benoernen we als volgt.

O Definities. Twee of meer verschillende punten noemen we

> collineair als al die punten op eenzelfde rechte liggen; > coplanair als al die punten op eenzelfde vlak liggen. Twee of meer verschillende rechten noemen we

> concurrent als al die rechten door eenzelfde punt gaa,n; > coplanair als al die rechten op eenzelfde vlak liggen. Ruimtelijke voorstelling:

collineaire punten

coplanaire punten

concurrente rechten

IX.2

coplanaire rechten

Ten slotte overlopen we hoe een rechte of vlak volle<lig vastgelegd wordt door zijn deelobjecten.

Th2

O Basiseigenschappen,s

(1) Door twee verschillende punten A en B gaat juist één rechte a.

juist

Ruimtelijke voorstelling:

(4)

(2) Door drie niet-collineaire punten ,4, B en C gaat één

vlak a.

(3) Door twee snijdende rechten a en b gaat juist één vlak a. Ruimtelijke voorstelling:

Door twee parallelie rechten a en b gaat juist één vlak a. Ruimtelijke voorstelling:

{5)

Door een rechte a en een punt -4 niet op die rechte gaat juist één vlak a. Ruiurtelijke voorstelling:

Een andere typische oefening in ruimtemeetkunde is om bij een gegeven uitspraak na te gaan of ze waar is of niet: is hetgeen beweerd wordt juist voor elke rnogelijke situatic van de objecterr, is het nooit juist of is de bewering soms wel juist maar soms ook niet juist? Hierbij komt het er meestal op neer om een situatie voor te stellen die de uitspraak bevestigd en/of een voorbeeld te bedenken dat de bewering tegenspreekt. Op die manier lee,r je orn kritisch om te gaan met uitspraken en ontdek je zeH eigenschappen over punten, rechten en vlakken.

0 Modelvoorbeeld 2. Vul in met de woorden

altijd, soms of noo'it zodat je een ware uitspraak krijgt. Wees zo specifiek als mogelijk. Illustreer elk antwoord met tekeningen van ruimtelijke situaties die antwoord motiveren.

(a) Twee punten zíjn . ..

\r.L,

(b) Drie punten zijn .... \o'tfrr"....... collineair.

NT.t\

(d)

-JrlÏ.ÈT:

In feite wordt de (euclidische) ruimtemeetkunde op een logisch consistente manier opgebouwd door na het invoeren van de basisobjecten en hun onderlinge relaties zoals we op de vorige pagina's hebben beschreven vijf zogenaamde onioma's in te voeren: spelregels die elkaar niet tegenspreken, die onafhankelijk zijn van elkaar en die eens vastgelegd als grondslag dienen om eigenschappen te bewijzeri. Zo volgen de basiseigenschappen van hierboven rechtstreeks uit deze axioma's. Deze vijf axioma's van de euclidische ruimtemeetkunde luiden als volgt: (1) door elk tweetal punten gaat precies één rechte lijn; (2) door elke drie niet-collineaire punten gaat precies één vlak; (3) een rechte lijn waarvan twee punten in een vlak liggen, ligt geheel in dat vlak; (4) als in een vlak een rechte o en een punt P f a liggen, dan ligt er in dat vlak juist één rechte b door P met b ll o; (5) twee vlakken die een punt gemeenschappelijk hebben, hebben nog een tweede punt gemeenschappelijk. Als er initieel andere axioma's worden afgesproken, dan bedrijft men een andere, niet-euclíd'ische meetkunde. Vervangt men bijvoorbeeld in axioma (4) hierboven de woorden 3tist één d.oor rni.nstens twee, d.an verkrijgt men de hyperbolische meetkunde, onaÍhankelijk ontdekt door de drie wiskundigen Carl Friedrich Gauss V', János Bolyai V- en Nikolai lvanovich Lobachevsky V" * 1830. Worden in axioma (4) de woorden juist één vervangen door geen dan spreekt men over de elliptische meetlcunde, ingevoerd door Bernhard Riemann V" in 1854.

IX-3

9.2

Veelvlakken

In de vlakke meetkunde kunnen we veelhoeken bekijken. Zo’n veelhoek bestaat uit lijnstukken die in (rand)punten aan elkaar grenzen.4 Die lijnstukken zijn dan de zijden en hun eindpunten zijn de hoekpunten van de veelhoek. Als alle lijnstukken even lang zijn en alle binnenhoeken even groot zijn, dan spreken we van een we regelmatige veelhoek. In Hoofdstuk Cirkels leer je de binnenhoeken, omtrek en oppervlakte van zo’n regelmatige veelhoek berekenen. Enkele voorbeelden van veelhoeken:5

vierhoek

regelmatige zeshoek

Op een gelijkaardige manier kunnen we in de ruimtemeetkunde veelvlakken beschouwen. Een veelvlak bestaat uit (niet ontaarde) veelhoeken die in de (rand)zijden aan elkaar grenzen.6 Elk veelvlak heeft . zijvlakken: de veelhoeken van het veelvlak; . ribben: de zijden van de veelhoeken; . hoekpunten: de hoekpunten van de veelhoeken. Veelvlakken kunnen best ingewikkeld zijn. Hieronder staan enkele voorbeelden. De benamingen moet je niet kennen. Het is al een uitdaging om bij elk veelvlak de verschillende soorten zijvlakken (veelhoeken) te herkennen en hun aantal te tellen.7

octogonaalprisma

pentagramantiprisma

kleine sterdodecaëder

dodecadodecaëder

4 Een veelhoek is een verzameling van een eindig aantal lijnstukken in eenzelfde vlak, zodat aan de volgende eigenschap voldaan is: voor elk lijnstuk is elk randpunt van dat lijnstuk ook een randpunt van precies één ander lijnstuk. Als twee aangrenzende lijnstukken op dezelfde rechte liggen, dan kunnen we die twee lijnstukken op precies één manier vervangen een nieuw lijnstuk zodat nog steeds aan de definitie van veelhoek is voldaan. Door deze procedure eventueel een aantal keer te doorlopen, kun je ervoor zorgen dat de veelhoek niet ontaard is: twee aangrenzende lijnstukken liggen niet op eenzelfde rechte. Om triviale gevallen uit te sluiten, nemen we dan aan dat de (nieuwe) verzameling minstens drie lijnstukken bevat. 5 Een veelhoek is simpel als de zijden van de veelhoek elkaar enkel in de hoekpunten snijden. Als daarenboven de veelhoek volledig aan eenzelfde kant van elke (verlengde) zijde ligt, dan zeggen we dat de veelhoek convex is. Is een veelhoek simpel en is er minstens één zijde waarvoor de veelhoek niet aan dezelfde kant van die (verlengde) zijde ligt, dan noemen we de veelhoek concaaf. Een veelhoek die niet simpel is, noemen we gekruist (of complex). In de bovenstaande voorbeelden van veelhoeken is de eerste vierhoek gekruist (of complex), de tweede vierhoek simpel en concaaf, en de derde vierhoek simpel en convex. De vierde veelhoek is convex. Merk op dat er ook regelmatige veelhoeken bestaan die gekruist zijn, bijvoorbeeld het pentagram. 6 Een veelvlak is een verzameling van een eindig aantal veelhoeken, zodat aan de volgende eigenschap voldaan is: voor elke veelhoek is elke (rand)zijde van die veelhoek ook een (rand)zijde van precies één andere veelhoek. Als twee aangrenzende veelhoeken in eenzelfde vlak liggen, dan kunnen we die twee veelvlakken op precies één manier vervangen een nieuw veelvlak zodat nog steeds aan de definitie van veelvlak is voldaan. Door deze procedure eventueel een aantal keer te doorlopen, kun je ervoor zorgen dat het veelvlak niet ontaard is: twee aangrenzende veelhoeken liggen niet in eenzelfde vlak. Om triviale gevallen uit te sluiten, nemen we dan aan dat de (nieuwe) verzameling minstens vier veelhoeken bevat. 7 Het octogonaalprisma heeft als zijvlakken twee regelmatige achtvlakken (rood/donkere kleur) en acht vierkanten (geel/lichte kleur). De kleine sterdodecaëder heeft als zijvlakken twaalf regelmatige pentagrammen (gekruiste vijfhoeken, rood). De zijvlakken van het pentagramantiprisma zijn: twee regelmatige pentagrammen (rood) en zes gelijkzijdige driehoeken (geel). De dodecadodecaëder is opgebouwd uit twaalf regelmatige pentagrammen (gekruiste vijfhoeken, rood) en vijf regelmatige vijfhoeken (geel). Dit veelvlak werd onafhakelijk van elkaar ondtdekt door Edmund Hess (1878), Jean Paul Albert Badoureau (1881) en Johann Pitsch (1882).

IX-4

Hieronder overlopen we drie soorten veelvlakken die heel wat eenvoudiger zijn. Je moet in staat zijn om zo’n veelvlak te herkennen, de zijvlakken te benoemen en om zelf een voorbeeld van zo’n veelvlak te tekenen (de dodecaëder en de icosaëder moet je niet kunnen tekenen). Voor deze en volgende tekeningen van ruimtelijke voorstellingen moet je de lijnconventie hanteren: (zij)vlakken zijn niet-doorschijnend, zodat we de onzichtbare delen van rechten en lijnstukken tekenen als een stippellijn. Voor het maken van een eigen 3D-model verwijzen we naar Bijlage A.

Piramide Om een piramide te tekenen, ga je als volgt te werk. (1) In een (grond)vlak teken je een veelhoek. (2) Teken een punt T (top) die niet in het grondvlak ligt. (3) Verbind de top T met elk van de hoekpunten van de veelhoek. Wat zijn de zijvlakken van een piramide? Als het grondvlak een regelmatige veelhoek is, dan spreken we over een regelmatige piramide. Als de top loodrecht boven het zwaartepunt van de veelhoek ligt, dan spreken we over een rechte piramide.

Prisma Om een prisma te tekenen, ga je als volgt te werk. (1) In een (grond)vlak teken je een eerste veelhoek. (2) Teken in een (boven)vlak een tweede veelhoek die je verkrijgt door de eerste veelhoek evenwijdig te verschuiven maar niet te draaien. (3) Verbind elk hoekpunt van de eerste veelhoek met het overeenkomstige hoekpunt van de tweede veelhoek. Wat zijn de zijvlakken van een prisma? Als de verbindende ribbes loodrecht op het grond- en bovenvlak staan, dan spreken we over een recht prisma.

Regelmatige veelvlak Een regelmatig veelvlak (of platonisch lichaam) is een veelvlak dat voldoet aan de volgende eigenschappen: . De zijvlakken zijn congruente regelmatige veelhoeken, en . Elk hoekpunt ligt op hetzelfde aantal zijvlakken, en . Het veelvlak ligt volledig aan eenzelfde kant van (het vlak door) elk zijvlak.8 Men kan aantonen dat er precies vijf regelmatige veelvlakken zijn, die staan hieronder afgebeeld.9

regelmatig viervlak (tetraëder)

regelmatig zesvlak (hexaëder, kubus)

regelmatig achtvlak (octaëder)

regelmatig twaalfvlak (dodecaëder)

regelmatig twintigvlak (icosaëder)

8 Veelvlakken die aan deze eigenschap voldoen, worden convexe veelvlakken genoemd. Laten we ook niet-convexe veelvlakken toe, dan zijn er precies veertien veelvlakken die aan de eerste en de tweede eigenschap voldoen: de vijf regelmatige veelvlakken, de vier KeplerPoinsot-lichamen en de vijf regelmatige samengestelde veelvlakken. 9 Dat er precies vijf regelmatige veelvlakken zijn werd aangetoond door Euclides van Alexandrië als laatste stelling in zijn dertiendelige boek De elementen. De regelmatige veelvlakken worden sinds de romantiek ook wel platonische lichamen genoemd, omdat ze voor het eerst door de Griekse filosoof en schrijver Plato zijn beschreven. Pythagoras wist in 520 v.Chr. al van het bestaan van drie van de vijf regelmatige veelvlakken af: het viervlak, de kubus en de dodecaëder.

IX-5

9.3

Onderlinge ligging van rechten en vlakken

[*s

Onderlinge ligging van twee rechten O Benaming. Ztj a en b twee

rechten iri de ruimte" We bekijken de rnanier waarop die reclrten kunnen liggen ten opzichte van elkaar. Er zijn vier verschillende gevallen mogelijk:

,'-À

snijdend

samenvallend

a+b

A:b

parallel

kruisend

evenwijdig

o,ll

O Kenmerken. Vul

de volgende tabel aan.

snijdend

parallel

samenvallend

,nb : {.*l

ct,ob

aa,ntal snijpunten is

.à

:.e =t

aantal snijpunten is

atlry : *?.

kruisend

aab :.Q.

.?.

aantal snijpunten is .o.

aantal snijpunten is Q .

O Modelvoorbeeld. Gegeven zijn de onderstaande kubussen, viervlak en prisrna. Teken telkens de rechten ÁB et CD. Noteer daarna hun onderlinge ligging. Indien snijdend, teken en benoem het snijpunt ,9. (a) De rechten AB en

CD zijn .ï,-*U"*!

(b) De rechten AB en CD zijn.Xr..n\ortL it*, .B

zijnLntiu*L .....

---

IX.6

È-

(d) De rechten AB enCD zijn

t\B --

.'.

\ti

Onderlinge ligging vĂ&#x2039;rn een rechte en een vlak

0 Benaming. Zij o, een rechte en a een vlak in de ruimte. We bekijken de manier

waarop die rechte en dat vlak kunnen liggen ten opzichte van elkaar. Er zijn drie verschillende gevallen mogelijk:

rechte behoort

snijdend

al a

tot vlak

parallel

aCa evenwijdig

"llo O Kenmerken. Vul

de volgerrde tabel aan.

snijdend

,nt:.\S[ aantal snijpunten is

rechte behoort

afia :.Ai

.l-

parallel

tot vlak r nc-

aantal snijpunten is . ftoo

f!L*\

:.f

aantal snijpunten is .Q

M<rdelvoorbeeld. Gegeven zijn de onderstaande balk en piramide. Teken telkens de rechte AB en het vlak a bepaald door het aangeduide zijvlak. Noteer daarna de onderlinge ligging van die rechte en dat vlak. Indien snijdend, teken en benoem het snijpunt ,S. (b) De rechte AB enhet vlak

IX-7

ziin

.^h(\qiĂ J J

Onderlinge ligging van twee vlakken

0 Benaming.

Z1j a en B twee vlakken in de ruimte. We bekijken de manier waaxop die vlakken kunnen liggen ten opzichte van elkaar. Er zijn drie verschillende gevallen mogelijk:

parallel

samenvallend

a-Ê snijdend

evenwijdig

o+p

o'll p

O Kenmerken. Vul

de voleende tabel aan.

snijdend

rechte behoort

anP:.).5 aantal snijpunten is jt?s

tot

vlak

I a.p:.il.=\

tlLr,") | aantal snijpunten i, .t.-(thtr)

rechte behoort niet tot vlak

| 'np:.Ó. | aantal

snijpunten is.o.

Modelvoorbeeld.

Gegeven zijn een kubus, piramide, prisma en octaëder. Noteer telkens de onderlinge ligging van de aangegeven zijvlal<ken. Indien snijdend, teken en benoem de snijlijn s.

(b) De vlakken ABC enTAC zijn ..

ABC en DEF zíirr .

?Ï --tt--:-----),t-:

\\ i;

IX-8

\o =o*

Eigenschappen Stel telkens het gegeven ruimtelijk voor met behulp van de kubus. Formuleer daarna je vermoeden. Toets je antwoord met andere ruimtelijke voorstellingen van de gegevens. Forrnuleer ten slotte de eigenschap in symbolen.

o* t.i$ IA

Eigenschap L. Als een rechte twee punten gemeen heeft met een vlak,

{-Àb,

i..L[ doft-

f^ rr3À\ru''

\e,t I:, GeL

O Eigenschap 3. Als

d.e gegeven

!---\\

i \

rechte

ligt de rechte die door een punt van dat vlak

...,tL.iLh,ktq\"ht

)*\\'t,,

O.r\I

\ e,J\ E! \ \\ a.r

,( À r\\r /

een rechte evenwijdig is met een vlak, dan

gaat en evenwijdig is met

O Eigenschap

hBc-À

IX-9

:\ \ -L

9 *\\\

t LI tu

\\\

t \\\

O Eigeuschap 7. Als

een vlak één van twee evenwijdige rechten,snijdt,

\\ \r, n

O:l \\\.À*)f.:t\nW.

J.\,v

-\\\

i :, J.t! ,l

snijdt,

r \$

t" n)NXut '

À+f....

*rr\l*'UÀ\.r^n1,t'L\r,.

\ r+,h.

d-" . t$\N- .[rkoLU" .

) ï=, rkY ov$.n1$S*{ I

\\\\J

<(.a''::-

IX-10

* Y

9.4

Hoeken en loodrechte stand van rechten en vlakken

Q^t

Hoek tussen twee rechten O Definitie. Zij a en ó twee rechten in

de ruimte. We leggen de hoek tussen a en b vast naargelang de onderlinge

ligging van die rechten.ro

(1) Rechten

o, en b z'í,jn sn'ijd,end met

snijpunt S.

Dan bepalen de rechten o en b twee hoeken ,9t ,9r. Bij afspraak is "" de hoek tussen o en à gelijk aan de kleinste van die twee hoeken.11

In symbolen:

ïh3

fr (2)

: min {^9t;,gri

a enb z'ijn evenw'ijd,'íg (samenuallertd, of parallel). Dan spreken we a,f dat de hoek tussen a en b gelijk is aan de nulhoek.l2 In symbolen: Rechten,

De hoek ab tussen

snijdende reclrtena en is hier gelijk aan ,S2.

Th3 (3)

Rechten

en,

b zijn kru,i,send,.

Dan nemen rve een willekeurige rechte ó' die evenwijdig is met b en die de rechte a snijdt. Bij afspraak is de hoek tussen a en b gelijk aan de hoek tussen a eu ltt .13

In symbolen:

Th3 ab

: ab' waarbij

U en

b' ll b

De hoek ab tussen

krnisende rechten a en is gelijk uunfu.

O Modelvoorbeeld. Bij

de kubus hieronder is de lengte van een ribbe gelijk is aan 1. Noem Z het zwaartepunt van het bovenvlak. Bereken telkens de gevraagde hoek en duid deze hoek ook aan op de figuur.

(a) De hoek a tussen de rechten AG en EZ. (b) De hoek B tussen de rechten AZ en EF. Oplossr,ng.

(a) \è

elw

ÈT.

zlv lr..\LsL

(u)\"'

1\&, \LbE\Af

' \^t"4,= ! =r'Lrn= j(,it".: \rE

tr).a'.^\.\ÈL

\Lcr).

| /

- .ií.s

hi-:{ /-.--l

/r U'r i

-n'

') / Ht

"À

/rj

* i*":ïS':ï^l':]o*\ I o ]ïN:XS]lt

-, t3)F\)b{:i'^=3(i.r[ri i^ lb,::.* ï:-^;rÈ-ï

È.nn

= worden ze bij hun voorstelling dan ook niet van een pijltje voorzien. roln dit hoofdstuk zijn hoeken steeds niet-georiënteerd. Bijgevolg rrMet het begrip àoefr bedoelen we hier de binnenhoek valr een driehoek, zodat het maatgetal in graden van zo'n hoek behoort tot ]0o,1800[. Merk op dat ,9r * 5'z = 1800. AIs bij toeva] Sr en ,Sz hetzelfde ma.a,tgetal in graden hebben (namelijk beide 90o) dan zijn beide hoeken gelijk, zodat we ook in dat geml kunnen spreken over de kleinste van die twee hoeken ,Sr en ,52. r2Deze afspraak kunnen we volgt motiveren. (1) Als a en b samenvallend zijn, kies dan een vast punt.4 € a en een variabel punf B a. / Als we punt B verschuiven (maa.r niet in de richting van Á) zodat de a^fstand tussen .B en a steeds kleiner wordt, dan zal de hoek tussen de rechten a enbt : Á.B steeds kleiner worden. In de limiet za.l bt : b en zal de hoek gelijk zijn aa,n de nulhoek. (2) Ais a en ó parallel zijn, kies dan een variabel punt Á€ o en een vast punt B € b. Als we punt,4 op de reclrte Áverschuiven zodat de afsta,nd tussen A en .B steeds groter wordt, dan zal de hoek tussen de rechten a en b' : Á.B steeds kleiner worden. In de limiet za.l b' : b en zal de hoek gelijk zijn aan de nulhoek. 13Wil deze afspraak zinvoi zijn, dan moet de hoek tussen a en b onafhankelijk zijn van de keuze van b'. lin inderdaad, nemen we een andere rechte ó// die evenwijdig is met b en die a snijdt, dan zijn bt enbt'evenwijdig ztsdat abt : ab't. IX-11

Loodrechte stand van twee rechten O Definitie. Zij a en b twee rechten in

de ruimte. We zeggen dat a loodrecht staat op b als de hoek tussen a en b

de rechte hoek is.

Th4

In symbolen:

aLb <+ fr:90" O Modelvoorbeeld

Gegeven

d* k,tbr,.

(f ", '"

?r)

\Maar of vals'/ Beoordeel de volqende uitsprakerr. Verklazrr telkens

je antwoord.

{a) GH L CG

(b) G/I LCD (c) EF L BD

(d) cG L AB (e) EG L BD Oploss'irr,g.

(0,")

Nn*í,

tr)

\,L,

[c1

\,r\"

lL1

\*r'

t()

\(u.0.í'

Eurit^rutr rra*L J

ti',."r\*-*

!o^ Cd fn =d ytc E\ BD = EF^ \\t:h( lt's' \TG

t$-\\ t-b

: t-G^ tn = l,bu Ëc^Ànn - EG \\\ =1d

F. 11

LC^ s,R

l;í. 1,,'

r.J 1

Modelvoorbeeld 2.

(.q B c D\ (; í á ,). E

Een klaslokaal heeft de vorm van een balk is verder gegeven dat het klaslokaal 12 m lang, 4 m

breed en 3m hoog is. Staan de rechten Iíf'enES loodrecht op elkaar? Zo nee, wat is dan de hoek tussen deze rechten? Argumenteer je antwoord met behulp van een eigenschap of een berekening.

-:*

klaslokaal ergens in de Lage Landen

\a-\rsnirq' )-

'$'-.f-:í-

/tn traN-

^ \\ ^ Eb :

\,É tL"

\\K N L\ \$À W"' /r.I

tr\T* \Sàt:11t\u^ \\è,\={-h-G=a tï) T- \ t"b L,, 11È*^E'*

{

t I I

i tl, /'r

ïN-

''' \r(j

\è\\\={Iffi'=m

t I I

[r; r- \ \\.-1\ :'\gt\rc3x,rn IX-12

\\\"F\

(

\) t-^ tr \ t_\. crn I nu"roo*U

fi6' .{-u"' r (t - tf,G C.* * =l

h ',= rTa ït-í :o5\\ '

=\ J,=

"À' G

5$ ) =th'tjttS.l

v*\*k*fS1 ={ÉGil = \rbo' I

Loodrechte stand van rechte en vlak O Definitie. Zij a een rechte en a een vlak in

cle

mimte. \Me zeggen dat a loodrecht staat op a als a loodrecht

staat op elke rechte à van dat vlak a.

Th5

In symbnlen:

Th5

In dat geval noernen we rechte a een loodlijn op vlak a. Van zodra er een rechte ó c a is die niet loodrecht op o staat, dan staat o niet loodrecht op a. ln symbolen:

aLa

aIa

Vóca:aLb

4+ lbca:atb

O Modelvoorbeeld 1. Bij elk van de onderstaànde kubussen is er en rechte o en een vlak a aangeduid. Er is telkens gevraagd of a loodrecht staat op o. Forrnuleer je vermoeden met ja of nee. Als je denkt van niet, bewijs dan je vermoeden.

(b)

(a) Is aLa?

Oplossi,ng.

Isalrr?

\(*'f [ .

lAl

ttn-t

f I Ld: t{rut t ^-L oftyr' \G"'

o1\1"".. À =lt

. Om te bewijzen dat een rechte a loodrecht staat op een vlak a, moet je volgens de definitie nagaan dat elke rechte \i,r-hvN.*'x.o looclreclrt op a staat. In de praktijk moet je dus oneildig veel gevallen controleren. Gelukkig is er een eigerrschap a loodrecht op a staan. Zo'n nodige en die zegt dat we enkel maar moeten nagaan of twee sn'ijdend,e rechten ^Ltv la hráU genoemd. in wiskunde een cr'íteriurn voldoende voorwaarde wordt O Criterium voor loodrechte stand van rechte en vlak. Een rechte staat loodrecht op eerr vlak als en slechts als ze loodrecht staat op twee snijdende rechten van dat vla-k.

O Modelvoorbeeld 2.

Tekeu in onderstaande kubus een Uà"kvermoedt dat ze loodrecht op elkaar staan.ls Bewijs daarna je vermoeden.

en een diagonaalvlak waa,rvan je

Oplossing.

\r-.,1u-rrÀr-n.\r^k

Latt*^-L**

o,-

!,)..

^q\tt'r,ro-\k

L-

È-

\rU\*\*À,t N( ,'\.**S) o.L\\ cr-\Bc*(t) N LS L- cx- ti,è c o,_ -r- trtawl olst = -nbÈ ={oo (r1 t,n t BL

,-\ .t\

,*,J \_

laEen bewijs van dit criterium steunt op het begrip hoek tussen rechte en vlak, hetgeen buiten het bestek van deze cursus valt. l5Een lichaamsdiagonaal van een veelvlak is een rechte bepaald door twee verschillende hoekpunten van het veelvlak die niet beide in eenzelfiG zijvLak liggen. Een diagona.alvlak van een veelvlak is een vlak bepaald door een lichaamsdiagonaal van dat veelvlak en een hoekpunt van dat veelvlak dat nËt op-áie fiëhaamsdiagonaal ligt. In tegenstelling tot wat velen denken hoeft een diagonaalvlak van een kubus drls niet door vier verschillende hoekpunten van die kubus te gaan.

IX-13

Hoek tussen twee vlakken O Definitie. Zij a

en B twee vlakken in de ruimtc. W'e leggen de hoele tussen,

en P rast naargelang de onderlinge

ligging van die vlakken.

(l)

p zijn

snijdend met snijli,jn s. Dan nemen we een willekeurige rechte o, in rr die loodrecht op s staat, en een willekeurige rechte b in B die loodrecht op s staat. In dat geval is de hoek tussen a en B gelijk aan de hoek tussen de rechten a en b. ro Wakken

In svmbolen:

waarbij sLacc

&:A Voorbeeld: stel met behulp van

(2) Th6

d,e

definitie de hoek

íÈ

en sLbcB

uoor.

en B zijn euenwijd'ig (samenuallend, of parallel). Dan spre-ken we af dat de hoek tussen a en fl gelijk is aan de nulhoek.lT Wakhen

In symbolen:

Modelvoorbeeld. Gegeven is een rechte piramide TABCD met top 7 en vierkantig grondvlak ABCD. De zijden van het vierkant meten 6 cm. De hoogte van de piramide is 8 cm. Bereken de hoek die het voorvlaknmet het grondvla\maakt. Oplossi.ng. q

-\o

,rr*q\ vo*L$*r.u.*

\" ;;.

\t '*L tÀ\. \t su*i-N" L'' \*\oJ'\

L ox

L*,Vi\r-ft.uwr*x

\S N.""I lw r,.- t \"\-\5""Xor\f \ \4, [ \utt

I*\ i!'k\í,*h-r\L v"*

\u'' i\ \^o- lX "-

\* i\

= \d \\t. \\&. h.nt $k,

tÈM\) sv /

I {

klnt,

= [{r-t3\

À$

è"..-

11,

16wil deze afspraak zinvol zijn, dan moet de hoek tussen a en B onaÍhankelijk zijn van de keuze van o en b. En inderdaad, nemen we een andere rechte a' in o die loodrecht op .s staat en een andere rechte b/ in B die loo<lrecht op s staat, dan zijn o en o/ evenwijdig en ook l, en b/ evenwijdig zodat À : íÈ. 17De hoek tussen twee evenwijdige vlakken kan op een analoge rnaurier gemotiveerd worden als de hoek tussen twee evenwijdige rechten,

zie voetnoot 12.

IX.14

Loodrechte stand van twee vlakken O Definitie. Zij a

en B twee vlakken

ruimte. We zeggen dat a loodrecht staat op p als de hoek tussen a en

B de rechte hoek is.

Th7

In symbolen:

aLp <+ a0:90" In dat geval noernen we a

eerr loodvlak op p.

O Modelvoorbeeld 1. Bij gewaagd of a

elk van de onderstaande kubussen zijn er twee vlakken a en B aangeduid. Er is telkens loodrecht staat op B. Formuleer je vermoeden met ja of nee. Bewijs daarna je vermoeden.

(b) Is aLB?

(a) IsaLBT

Oploss'ing,

l\.

Kee

,^l*t\. d.-LĂ&#x20AC;ra-L\

tLicr't a-(-d!ral\

\.\.bts t'\ = lL *q.Y

Om te bewijzen dat twee vlakken

tcs\\ \rr u\ - Ă?l =hf \1rr

\fne

ttje^\ -\

a en B loodrecht staan op elkaar, kun je ook het volgende criterium gebruiken.

O Criterium voor loodrechte stand van twee vlakken.

Twee vlakken staan loodrecht op elkaar als en sleclrts

als het ene vlak een loodlijn op het andere vlak omvat. Teken in onderstaande kubus twee diagonaalvlakken waarlan je vermoedt dat op elkaar staan. Bewijs daarna je vermoeden.

O Modelvoorbeeld 2.

ze loodrecht

Oplossi,ng.

tL\

,s"'-,(

s\^i \

L a-

(f-1"

\E-o)

rsEen bewijs voor dit criterium gaat als volgt. Stel eerst dat a C a en u, L B. Dan zijn a en B snijdend, noem de snijlijn s. Omdat a L B staat aloodrecht opelkerechteinp. Kies nu inB een rechtebl s. Danis al s, bI s en al- bzodat o IB. Omgekeerd, stel Omdat.a LBisa Ab. Aangezieno dataIB. DanzijnaenBsnijdend,aoemdesnijlijns. KiesoC<renbCametalsenbls. loodrecht staat op de twee snijdende rechten a en s in B, is ook a -L B. Dus o bevat een loodlijn op B.

IX-15

Stel telkens het gegeven ruimtelijk voor met behulp van de kubus. Formuleer daarna je vermoeden. Toets je antwoord met andere ruimteliike voorstellingen van de gegevens. Formuleer ten slotte de eigenschap in symbolen.

O Eigenschap 1. Door een gegeven punt gaat ertadra{en* / juist

h€€g€e€Bséén.loodhjn op een gegeven vlak"

l'UÀ In syrnbolen:

i='

Q.,

\ët- a' l. r*

o Eigenschap 2.

AIs twee loodvlakken op een derde vlak elkaar snijden, dan

Àe-\

-/-

k"^\

\ In symbolen:

ilt\ .l\'(

A) À Ií

\*"'( À= L\\ O Eigenschap 3. Als een vlak loodrecht staat op één van twee evenwijdi se vlakken.

L\*Lt

In symbolen:

d\\\ \LL

a'.' oo

Lre"'r1L[ -,f I

1 :,

.rl\rurk- tr

L n*[sr-

\^"J

[tl".w "il,

vo,^

L\oo-

(t$

Eigenschap 4. Als twee vlakken loodrecht staa,n op elkaar, en als een rechte loodrecht staat op het eerste vlak en een anaere rechte loodrecht staat op het tweede vlak, dan

In symbolen:

.À**Lr.L*U*\I..rl"l\rat"t*

t t\ ^-IL

tt\

IX.16

=l 6-ft

{}}1t$f.

9.5

Doorsneden

Als we een veelvlak snijden met een vlak, dan is de doorsnede een veelhoek. In deze paragraa^f zien we een methode om die veelhoek te construeren. Daarvoor leer je eerst een rechte en een vlak te snijden met het grondvlak.

Een rechte door twee punten van een veelvlak snijden met het grondvlak O Op ontdekking.

Hieronder staan een kubus, een piramide en een prisma voorgesteld. De punten P en Q liggen telkens op het veelvlak. We gaan op zoek naar het snijpunt van de rechte PQ rnet het grondvlak.

> Teken de rechte PQ.

(")

> Projecteer het punt P volgens een opstaande ribbe op het grclndvlak van de kubus. Noem dat nieuw punt P'. > Doe hetzelfde voor het punt 8, zo verkrijg je punt Q'. > 'Ieken de rechte PtQ'. Waatom snijdt PtQ' de rechte PQ?

a,' /,','

1c Projecteer opnieuw de punten P en Q volgens een opstaande ribbe op het grondvlak van de piramide. Noem die nieuwe punten P' en Q'. Waarom zijn de rechten PQ en

c..d

\ "{

P'Q'

snijdend?

clrUO.,

'q'

qry* i"-ní-Ïll-L- ri

il\t\*\-u\rr1

e' d''

:t \q c d.. trt 1tl c +'. =\ \q t."$a' )q^ r4ítilD(6 Punt P ligt op een opstaànde ribbe',run Xut prisría. f,fit'^\ Q niet, daarom rnoet je eerr extra opstaande ribbe van het prisma tekenen dat door het punt Q gaat. Projecteer daarna de punten P en Q volgens een (extra) opstaande ribbe op het grondvlak. Noem die nieuwe punten P' en Q'. 'Waarom zijn de rechten PQ en

11t

I qqt

P'Q'

snijdend?

=r 1+.': q\ ê L L\ qqt c ,r

lL'

Ad*r

{ q'c ;.

\qt

d,.

O Algemene werkwijze om een rechte door twee punten P en Q van een veelvlak te snijden met het grondvlak. (1) Projecteer P en Q volgens een (extra) opstaande ribbe op het grondvlak: je verkrijgt P' en Q'. (2) Het snijpunt van de reclrten PQ en PIQ| is het gewaagde snijpunt. IX-17

d\1

Modelvoorbeeld 1. Bij het ouderstaand viervlak TABC liggen de punten P en Q in het vlak ?ÁC. Construeer het snijpunt ,S van de rechte PQ rnet het grondvlak ABC van het viervlak. Leg kort uit waarom de rechten die je tekent elkaar snijden.

(,Iittes:

\.ta,\',.d \^5\- itLn-'d'^n'tcL\t$"*-1 L \* t t"'

tl I I

Pt _,' I \t'

d------

O Modelvoorbeeld 2. Bij het

onderstaa,nd

prir*" (É E ") tt*

het punt P in het vlak

ABE

en het punt Q

in het vlak BC F. Construeer het snijpunt S van de rechte PQ met het grondvlak van het prisma. Leg kort uit waarom de rechten die je tekent elkaar snijden.

(Iittes:

13 \to'( :) f ,L: 11t c l- eh' t}Q' c- À. :') J L,\*tl".q\\ e.,*..i\. A:) \q t\.*. \ )gJ , -.

IX-18

Een vlak door drie punten van een veelvlak snijden met het grondvlak een kubus, een piramide en een prisma voorgesteld- De punten P, Q en R liggen telkens op het veelvlak. We gaan op zoek naa,r de snijlijn^van het vlak PQ.R met het grondvlak. Deze genoernd. collineatie-as genoernd. snijlijn wordt ook wel collingatie-as à

O Op ontdekking. Hieronder staan

> Construeer het snijpunt van de rechte PQ met het grondvlak. Noem dat snijpunt

> Construeer nu ook het snijpunt

l?'

I a/

...--

van de rechte P-R net

> Teken met een rode pen de rechte ,Sr,9z. We beweren dat die rechte de snijlijn van vlal< PQR rnet het grondvlak is. Waarom ligt ^91,52 in het grondvlak?

-{.1. Y

I -

,92

het grondvlak.

,S1.

-t,-

a O\

{,EL 1"\rcL:\ Waarom li'gt

,S1S2

S,Src-L

in het vlak PQR?

tr e\q w \q c \qK ' =-t tt c\qf* I .( r^ \t \K cw \K..\qK *, \r, e\qK i='l'Ë* e-

Construeer opnieuw de snijpunten Sr en,9e van de rechten PQ en PrR met het grondvlak. Teken daarna met een rode pen de collineatie-as ,51,92'

Construeer nu ook eens het snijpunt ,Sg van de rechte QR met het grondvlak. lMat merk je op? Hoe kun je dit verklaren?

t-------lt ..

) t-\ .. : \

Êo.tt L \qT.- :1 tt E\q{..

4.t{.

\" {o o\qï.{\L- \ :, {re } > In dit voorbeeld ken je aJ meteen één punt van de collinea\ê as. Over welk punt gaat het? Leg uit'waaxom dat puut op dc collincatic'-as ligt. t^-

\\EN

{v e- d,v^Lyt"!-

_J_f,_

Lc 1ar-

o Algemene werkwijze

=) l.

\q[-tr

om een vlak door drie punten P, Q en À van een veelvlak te snijden met het grondvlak.

(1) Construeer de snijpunten van de rechten PQ, PR et QR met het grondvlak (twee snijpunten volstaan). (2) De rechte die door deze snijpunten gaat is de gewaagde snijlijn'(collineatie-as). IX-19

di=

]

Een vlak snijden met een veelvlak O Op ontdekking.

Hieronder staat een prisma voorgesteld. De prmten P, Q en rB liggen op een ribbe. We gaan op zoek naar de doorsnede van het vlak PQÀ met (de begrensde zijvlakken van) het prisma. Die doorsnede zullen we rnet een groene pen tekenen.

> Wat is de doorsnede van het vlak PQ-R met het linker-voorvlak met het prisma? Hoe weet ie dat?

Te.ken

die doorsnede met een groene pen.

\a f.. {\

\^'v,.r,l^v*'}.ilr{-

t\*\

1 L\g'] url$ \

..q

€ \q K [* t\ql

\q K

\.Q ê' ïru',hr-v*-vt^- Àir^ I-1'Ql c,..

> Kun je op die manier ook al de doorsnede van het vlak PQR met andere zijvlarkken van het prisma tekenen? Leg opnieuw uit waarom. Teken daarna die doorsnede(s) met groene pen.

tr-\kg^v*r$,u-L=Ltln-l \Q.r-\\ ' t\n"\

u00.r}.

q.LE\o'ï*

Lqn-l Lïqre,.K e- tÀ,Sí-{rrrl^a- à,',^ te f*l c...

> Van welke zijvlakken van het prisma ken je de doorsnede met het vtak PQB nog niet?

rr-\f,ut.^.v..L*^ltrr,.- ,.- Lr-

5*\$-^r.

> Construeer de snijlijn s van het vlak PQR met het grondvlak (collineatie.as). Teken s met een rode pen. > De achterste ribbe van het prisma dat op het grondvlak ligt, snijdt de collineatie-as in een punt ?. Waarom mag je nu ook een begrensd deel van de rechte TP in het groen tekenen?

L \q v* w*rk

-ïeÀ.\q.:lï:\ïL

Nu ken je ook de doorsnede van het vlak PQR met het bovenvlak van het prisma. Leg opnieuw uit waanom.

\È

ï- \ \r*:^.1-^r.- =. L\t.-l

IN\

e,\qf*h.L e,^r^^!. \J\u, r- L* f SK--) c- \ q K\ge-\wc"s\^r.- \* Lhf-1 c...

> Vergelijk nu de doorsnede van het bovenvlak met de collineatie.as. Wat valt er op? Kun je dit verklaren?

'*y

}-..-*-

Q Algemene werkwijze

om een vlak door drie punten P, Q en

-R

van een veelvlak te snijden met de (begrensde)

zijvlakken van het veelvlak.

(1) Soms kun je al een deel van de doorsnede tekenen, zoals IPQ] als P en Q op hetzelfde zijvlak liggen. (2) Construeer de snijlijn s van het vlak PQR met het grondvlak (collineatie-as). (3) Teken nu de andere snijpunten van de (verlengde) ribben op het grondvlak met de collineatie-as. (a) Ga nu omgekeerd te werk om de doorsnede van andere zijvlakken met het vlak PQ,B te bepalen. (5) Als twee zijvlakken parallel zijn, dan zijn de doorsnedes van die zijvlakken me,t het vlak PQrB ook evenwijdig. Op die manier vind je de volledige doorsnede.

0 Modelvoorbeeld 1. Bij onderstaande

kubus liggen de punten P, Q en Ê op de ribben. Construeer de doorsnede

van het vlak PQrR met de kubus.

L^k\"' À

\\ tr

---d---{ -.' bl \r

Modelvoorbeeld 2. Bij het onderstaurra nri.*u op een ribbe en het punt .R in het vlak

\ rr\

(f "" ") tt* het punt P in het vlak ÁBD,

ACD. Construeer

het print Q

de doorsnede va,n het vlak PQR met het prisma.

Oefeningen bij §9.1 B

Oefening 1. Hiernaast staat een ruimtelijke situatie voorgesteld. Vul telkens het correct symbool in: = ,

∈ ,

6∈

⊂

(a) P

... s

(d) P

(b) s

... β

(e) s

6= ,

... β

6⊂ .

... α ... α

Q (f) P

... Q

Oefening 2. Maak telkens een tekening waarin je het gegeven ruimtelijk voorstelt. (a) A, B en C zijn niet collineair. (b) A, B en C zijn coplanair en A, B, C en D zijn niet coplanair. (c) a en b zijn coplanair en concurrent. (d) a en b zijn coplanair en niet concurrent.

Oefeningen bij §9.2 B

Oefening 3. Teken telkens een ruimtefiguur die aan de beschrijving voldoet. (a) piramide met driehoek als grondvlak

(b) kubus

(d) octaëder

Oefening 4. Vul in met de woorden altijd, soms of nooit zodat je een ware uitspraak krijgt. Wees zo specifiek als mogelijk. (a) Een balk is . . . . . . . . . . . . een prisma.

(d) Een prisma . . . . . . . . . . . . een octaëder.

(b) Een prisma is . . . . . . . . . . . . een balk.

(e) Een veelvlak is . . . . . . . . . . . . regelmatig.

(f) Een icosaëder is . . . . . . . . . . . . een regelmatig veelvlak.

Oefeningen bij §9.3 B

Oefening 5. Stel telkens het gegeven ruimtelijk voor. Vul dan de eigenschap in verband met onderlinge ligging aan verder aan. Formuleer ten slotte de eigenschap ook in symbolen. (a) Als twee vlakken een punt gemeen hebben, dan zijn de vlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . . (b) Als een rechte een eerste vlak snijdt, dan zal een tweede vlak door die rechte . . . . . . . . . . . . . . . . . . (c) Als twee rechten evenwijdig zijn, dan zal elk vlak door de ene rechte . . . . . . . . . . . . . . . . . . (d) Als een vlak twee snijdende rechten bevat en een ander vlak is evenwijdig met beide rechten, dan zijn de twee vlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . . (e) Als twee vlakken evewijdig zijn, en een rechte snijdt het ene vlak, dan . . . . . . . . . . . . . . . . . . (f) Als twee rechten evenwijdig zijn, en een vlak snijdt de ene rechte, dan . . . . . . . . . . . . . . . . . . (g) Als een vlak een punt en een rechte bevat, en een andere rechte gaat door dat punt en is parallel met die rechte, dan. . . . . . . . . . . . . . . . . .

IX-22

Oefening 6. Vul telkens het correct symbool in zodat je een ware uitspraak krijgt: = ,

- ,

∈

⊂.

(a) Als P ∈ a en a . . . α dan is P ∈ α (b) Als a k b en a k α dan is b . . . α (c) Als a k α en a k b en P ∈ a ∩ b dan is b . . . α (d) Als a k α en P ∈ a ∩ α dan is a . . . α (e) Als α k β en β k γ dan is α . . . γ B

Oefening 7. Duid telkens de mogelijke vlakken aan die aan de gegeven voorwaarde voldoen.

(a) vlak α door A, B en C

(b) vlak β door A en a

A C

A (d) vlak α door a en b

(e) vlak β door A en parallel met α a

(f) vlak γ door A, B en a

B A

a B

Oefening 8. Gegeven is de onderstaande balk. Teken telkens de gegeven rechten en noteer nadien hun onderlinge ligging. Indien snijdend, teken en benoem het snijpunt van de rechten. (a) AC en BD

(d) DF en CH

(b) AG en BD

(e) AG en CH

(f) DF en BG

G IX-23

Oefening 9. Waar of vals? Beoordeel de volgende uitspraken. Indien vals, teken een tegenvoorbeeld. (a) Als twee vlakken parallel zijn en een rechte ligt in het ene vlak, dan is de rechte parallel met het andere vlak. (b) Als twee vlakken snijdend zijn en een rechte is parallel met het ene vlak, dan is die rechte ook parallel met het andere vlak. (c) Als twee rechten evenwijdig zijn met een vlak, dan zijn die rechten ook onderling evenwijdig. (d) Als een rechte parallel is met een vlak, dan is die rechte parallel met elke rechte in dat vlak.

Oefening 10. Teken bij elke kubus de rechten AB en CD. Noteer daarna hun onderlinge ligging. Zorg dat die onderlinge ligging ook duidelijk is op je tekening. Indien snijdend, verklaar waarom.

(b)

(a)

B D

(c)

(d) B

D B

Oefening 11. ĂŁ Welke van de volgende uitspraken zijn waar? Duid aan en bewijs je antwoord: als je in een kubus Ă&#x2026; A B C D de punten B, E en G met elkaar verbindt, dan is die driehoek: E F G H scherphoekig rechthoekig stomphoekig gelijkbenig gelijkzijdig ontaard (de drie hoekpunten zijn collineair) IX-24

Oefening 12. Vul in met de woorden altijd, soms of nooit zodat je een ware uitspraak krijgt. Illustreer elk antwoord met rechten en vlakken van onderstaande kubussen: . bij antwoord altijd geef je een voorbeeld waarvoor de eigenschap geldt; . bij antwoord soms geef je één voorbeeld waarvoor de eigenschap geldt en geef je één voorbeeld waarvoor de eigenschap niet geldt; . bij antwoord nooit geef je een voorbeeld waarvoor de eigenschap niet geldt. Werk met kleuren! (a) Door twee verschillende punten gaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . juist één vlak.

(b) Door twee verschillende rechten gaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . juist één vlak.

(d) Twee vlakken snijden elkaar . . . . . . . . . . . . . . . . . . in één punt.

(e) Als twee rechten evenwijdig zijn met een vlak, dan zijn die rechten onderling . . . . . . . . . . . . . . . . . . evenwijdig.

IX-25

Oefening 13. Hieronder staat de ontwikkeling van een kubus. Waar of vals? Beoordeel de volgende uitspraken voor de kubus die bij deze ontwikkeling hoort. Indien vals, verbeter de onderlinge ligging tot een ware uitspraak. (a) De rechte AF snijdt het vlak BCG.

(b) De rechte F B behoort tot het vlak ABC. (c) De vlakken ACH en BDG zijn snijdend.

(d) De rechte EG snijdt het vlak ABF . (e) De rechten EH en AC zijn kruisend.

(f) De rechte AG is parallel met het vlak BF C. (g) De snijlijn van het vlak ACH en het vlak BDE is de rechte DE. V

Oefening 14. In onderstaande kubus zijn de rechten AB, CD en EF twee aan twee kruisende rechten. Construeer een rechte a die elk van deze drie rechten snijdt. Redenering opschrijven!

Oefening 15. Construeer de schaduw die een doel afwerpt op de grasmat (a) bij kunstlicht als de lichtbron zich in punt L bevindt en als G is het voetpunt van de lichtpyloon is; (b) bij zonlicht als de schaduw van [AB 0 ] van de paal [AB] is reeds getekend is.

Bâ&#x20AC;˛

IX-26

Oefeningen bij §9.4 B

Oefening 16. Beschouw een kubus met ribben van lengte 7 cm. (a) Teken de kubus waarbij je de twee lichaamsdiagonalen aanduidt. (b) Welke lichaamsdiagonaal (binnen de kubus) lijkt het langst? (c) Bereken de lengte van beide lichaamsdiagonalen (binnen de kubus). Alle tussenstappen opschrijven!

Oefening 17. Een rechte staaf moet vervoerd worden. De lengte van de staaf is 11, 1 m. De laadruimte van de vrachtwagen heeft de vorm van een balk met lengte 10 m, breedte 3 m en hoogte 4 m. Kan de staaf in de vrachtwagen? Voorzie je redenering van een duidelijke tekening.

Oefening 18. Hieronder staat een eenvoudige ruimtelijke voorstelling van een vrachtwagen huis. Het huis is 8 m breed en 10 m diep. Het dak maakt een hoek van 45◦ met het het plafond van het gelijkvloers. Dat plafond bevindt zich op 2, 5 m van de begane grond. De nieuwe eigenaars van het huis willen enkele verbouwingswerken uitvoeren. De architect heeft in de zolder van het huis al enkele lijnen aangebracht (vetgedrukt). (a) Duid de gegevens aan op de figuur. (b) Aan de rechterkant van het huis wil men een raam maken dat symmetrisch is met het bestaande raam aan de voorzijde. Teken zo’n raam op de figuur. (c) Op de zolder van het huis wil men een balkvormige kamer maken. De zijmuur aan de rechterkant werd al getekend (vetgedrukt). Teken nu zelf de tweede zijmuur die parallel en symmetrisch is met de eerste zijmuur. De nieuwe kamer heeft ook een verlaagd plafond die even hoog is als de zijmuren. Ook die moet je tekenen. Houd rekening met de lijnconventies! (d) Als je weet dat de zijmuren van de nieuwe zolderkamer 2 m hoog zijn, bereken dan de breedte van de nieuwe zolderkamer. Redenering opschrijven!

IX-27

Oefening 19. De figuur hiernaast stelt een recht prisma voor met als grondvlak een regelmatige zeshoek. De zijden van het grondvlak meten 6 cm. De opstaande ribben hebben een lengte van 8 cm.

(a) Teken de rechten AB en CD. Houd rekening met de lijnconventies! (b) Bereken de lengte van [AB]. Redenering opschrijven! (c) Waarom is |AB| = |CD|? Geef een goed argument. (d) Bereken de hoek α tussen de rechten AB en CD. Duid deze hoek ook aan op de figuur. Alle tussenstappen opschrijven!

Oefening 20. Gerrit de Slak staat voor een kubusvormige blok.19 Een ribbe van de kubus meet 1 m. De slak vertrekt in het punt S dat 20 cm van hoekpunt A verwijderd is. Hij wil via de zijvlakken het punt B bereiken. Gerrit zal een punt P op de ribbe [CD] passeren. Hoe ver moet het punt P van hoekpunt C verwijderd zijn opdat het traject SP B een zo klein mogelijke afstand heeft? Schrijf je redenering op.

D P B C

A S

Oefening 21. Hieronder staat een piramide T ABCD afgebeeld waarbij alle ribben 6 cm meten. Het grondvlak is een vierkant. Noem M het midden van [AT ]. (a) Bereken de lengte van [BM ]. (b) Bereken de hoek α tussen de rechten CT en M T . Duid deze hoek ook aan op de figuur. cC. (c) Bereken AM

(d) Wat is de hoek β tussen de rechten AM en M C? Duid deze hoek ook aan op de figuur. (e) Wat is de hoek γ tussen de rechten AB en CD? Verklaar je antwoord. Schrijf telkens je redenering op.

19 Gerrit is een fictieve slak uit de animatieserie SpongeBob SquarePants. In de originele serie luistert Gerrit naar de naam Gary the Snail.

IX-28

Oefening 22 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 2000 tweede ronde). In een kubus verbindt men het middelpunt van het bovenvlak met de vier hoekpunten van het grondvlak. Hierdoor ontstaat een regelmatige piramide. Hoe groot is de cosinus van de tophoek α van een opstaand zijvlak?

(A)

√

3 3

(B)

2 3

(C)

√

2 2

(D)

7 9

(E)

√

3 2

Oefening 23. Onderstaande figuren stellen dezelfde kubus voor. De ribben van de kubus zijn 12 eenheden lang. Noem M het snijpunt van de diagonalen van het grondvlak, en N het snijpunt van de diagonalen van het bovenvlak. Het punt T ligt op de ribbe [EH] waarbij |ET | = 3. (a) Teken op beide figuren de punten M en N . (b) Bereken de afstand tussen de punten T en B. Exacte waarde geven en zoveel als mogelijk vereenvoudigen. (c) Bereken |T N |. Exacte waarde geven en zoveel als mogelijk vereenvoudigen. (d) Teken op de linkerfiguur de rechten T N en F B. Wat is hun onderlinge ligging? (e) Duid op de linkerfiguur de hoek α tussen de rechten T N en F B aan. Bereken daarna deze hoek. (f) Teken op de rechterfiguur de rechten AN en GC. Wat is hun onderlinge ligging? (g) Duid op de rechterfiguur de hoek β tussen de rechten AN en GC aan. Bereken daarna deze hoek. Schrijf telkens je redenering op.

D C

Oefening 24. Methaan is een bepaald type materie die gevormd wordt door de aantrekkende kracht (binding) tussen de chemische elementen koolstof en waterstof. Een methaanmolecule bestaat uit een centraal koolstofatoom dat omringd wordt door vier waterstofatomen, die elk op de hoekpunten van een denkbeeldige tetraëder gelegen zijn (zie figuur). Het koolstofatoom ligt in het zwaartepunt van de tetraëder: het snijpunt van de zwaartelijnen uit de hoekpunten (de rechten door een hoekpunt en het zwaartepunt van de tegenoverliggende driehoek). De hoek tussen twee bindingen wordt de bindingshoek van het atoom genoemd. Bereken de theoretische bindingshoek van methaan. Voorzie je redenering van een tekening. ruimtelijke schikking van de molecule CH4

IX-29

Oefening 25. Onderstaande figuren stellen dezelfde kubus voor. Een ribbe meet 10 cm. Het punt P ligt op de ribbe [AE] en er is gegeven dat |AP | = 2 cm. Noem M het zwaartepunt van het bovenvlak en N het zwaartepunt van het ondervlak. (a) Teken op beide figuren de punten M en N . cG. (b) Bereken de hoek P M

(d) Teken op de rechterfiguur de rechten P M en DH. Wat is hun onderlinge ligging? (e) Duid op de rechterfiguur de hoek β tussen de rechten P M en DH aan. Bereken daarna deze hoek. (f) Bereken de hoek γ tussen de rechten BN en M G. (g) Bereken de hoek δ tussen de rechten M N en DH. Schrijf telkens je redenering op.

A D

F G

Oefening 26 (duaal veelvlak). Beschouw een willekeurig veelvlak. Dan wordt het duaal veelvlak verkregen door de zwaartepunten van aangrenzende zijvlakken te verbinden. (a) Maak een tekening waarin je een kubus met ribbe 10 cm ruimtelijk voorstelt. (b) Teken het zwaartepunt van elk zijvlak en bereken de afstand tussen de zwaartepunten van twee aangrenzende zijvlakken. (c) Teken het duaal veelvlak van de kubus. Welk veelvlak is dit? Bewijs je antwoord! (d) Teken het duaal veelvlak van het duaal veelvlak van de kubus. Welk veelvlak is dit?20

Oefening 27. Gegeven is de nevenstaande kubus waarbij de lengte van een ribbe gelijk is aan 4. Noem α het diagonaalvlak door de punten B, E en G. Noem β het diagonaalvlak door de punten C, D en E. Beschouw ook de rechte a = F H.

E F

(a) Staat de rechte a loodrecht op het vlak α? Bewijs je antwoord. (b) Bepaal de snijlijn van de vlakken α en β. (c) Staan de vlakken de vlakken α en β loodrecht op elkaar? Verklaar je antwoord met een berekening. Alle tussenstappen opschrijven!

C B

20 Op een analoge manier kan men aantonen dat het duaal veelvlak van een tetraëder opnieuw een tetraëder is, dat het duaal veelvlak van een dodecaëder een icosaëder is en dat het duaal veelvlak van een icosaëder een dodecaëder is.

IX-30

Oefeningen bij ยง9.5 B

Oefening 28. Bij onderstaande kubussen liggen de punten P en Q op een ribbe. Construeer indien mogelijk telkens het snijpunt S van de rechte P Q met het grondvlak van de kubus. Hulplijnen laten staan!

(b)

(a)

P P Q Q

(c)

(d) Q

Oefening 29. Bij elk van de onderstaande kubussen is aangegeven in welk zijvlak de punten P en Q liggen. Construeer telkens het snijpunt S van de rechte P Q met het grondvlak van de kubus. Hulplijnen laten staan!

(a) Punt P ligt in vlak DCG en Q ligt in vlak ABE.

(b) Punt P ligt in vlak ADE en Q ligt in vlak BCF .

Q F E

IX-31

G H

Oefening 30. Bij onderstaande veelvlakken liggen de punten A en B op een ribbe. Construeer telkens het snijpunt S van de rechte AB met het grondvlak van het veelvlak. Hulplijnen laten staan!

(b)

(a)

A B B

(c)

(d)

B A

Oefening 31. Bij elk van de onderstaande veelvlakken is aangegeven in welk zijvlak de punten A en B liggen. Construeer telkens het snijpunt S van de rechte AB met het grondvlak van het veelvlak. Hulplijnen laten staan!

(a) Punt P ligt in vlak ABC en Q ligt in vlak DEF .

(b) Punt P ligt in vlak T AC en Q ligt in vlak T AB. T

E A D

P Q P Q

A C B

B C IX-32

Oefening 32. Bij onderstaande veelvlakken liggen de punten A, B en C op een ribbe. Construeer telkens de snijlijn s van het vlak ABC met het grondvlak van het veelvlak (collineatie-as). Hulplijnen laten staan! (a)

(b)

C A

(c)

C A

IX-33

Oefening 33. Bij onderstaande kubussen is een veelhoek P QRS aangeduid waarvan de zijden op de zijvlakken van de kubus ligt. Ga telkens na of deze veelhoek de doorsnede van een vlak met de kubus voorstelt. Verklaar telkens je antwoord.

(a)

(b) Q

S R R=S

(c)

(d)

P Q R

P S S R

Oefening 34. Bij de onderstaande piramide ligt het punt P op een ribbe. Beschouw het vlak Îą dat door P gaat en evenwijdig met het grondvlak van de piramide is. Construeer de doorsnede van het vlak Îą met de piramide. Op welke eigenschap steun je?

IX-34

Oefening 35. Bij de onderstaande kubussen liggen de punten P , Q en R op de ribben. Construeer telkens de doorsnede van het vlak P QR met de kubus. Hulplijnen laten staan!

(b)

(a) Q

R P R

(c)

(d)

R Q P R

Oefening 36. Bij onderstaand prisma liggen de punten A, B en C op de ribben. Construeer de doorsnede van het vlak ABC met het veelvlak. Hulplijnen laten staan!

A B

IX-35

Oefening 37. Bij de onderstaande kubussen liggen de punten P , Q en R op de ribben. Construeer telkens de doorsnede van het vlak P QR met de kubus. Hulplijnen laten staan!

(a)

(b) R P

R Q

(c)

(d) P

R P

Q Q

Oefening 38. Bij onderstaande piramide liggen de punten A, B en C op de ribben. Construeer de doorsnede van het vlak ABC met het veelvlak. Hulplijnen laten staan!

C A

IX-36

Oefening 39. Bij de onderstaande balken liggen de punten I, J en K op de ribben. Construeer telkens de doorsnede van het vlak IJK met de balk. Hulplijnen laten staan!

(b)

(a) J

K K

(d)

(c)

I I

J K

Oefening 40. Bij de onderstaande piramide liggen de punten P , Q en R op de ribben. Construeer de doorsnede van het vlak P QR met de piramide.

IX-37

Oefening 41. Bij onderstaand prisma liggen de punten I, J en K op de ribben. Construeer de doorsnede van het vlak IJK met het veelvlak. Hulplijnen laten staan!

Oefening 42. Bij de onderstaande piramide liggen de punten H, I en J op de ribben. Construeer de doorsnede van het vlak HIJ met de piramide.

IX-38

Bijlage A

Bouwplaten van regelmatige veelvlakken Door bij een veelvlak enkele aantal welgekozen ribben te verwijderen, kun je het veelvlak openplooien om zijn (vlakke) ontwikkeling te verkrijgen. Zoâ&#x20AC;&#x2122;n vlakke figuur is dan een bouwplaat, die je dan terug kan vouwen tot het oorspronkelijke veelvlak. Op het internet zijn heel wat van die bouwplaten te vinden. Zo kun je op de volgende website van Gijs Korthals Altes de bouwplaten van honderden verschillende veelvlakken vrij downloaden: http://www.korthalsaltes.com/nl/selecion.php?sl=download Hieronder vind je zijn bouwplaten voor de regelmatige veelvlakken. Met wat knip- en plakwerk heb je zo een 3D-model van de vijf belangrijkste veelvlakken.

Kubus

IX-39

Tetraëder

Octaëder

IX-40

DodecaeĚ&#x2C6;der

IX-41

IcosaeĚ&#x2C6;der

IX-42

Antwoorden op geselecteerde oefeningen (1) (a) (b) (c) (d) (e) (f)

P ∈s s 6⊂ β Q 6∈ β P ∈α s⊂α P 6= Q

(4) (a) (b) (c) (d) (e) (f)

altijd soms altijd nooit soms altijd

(5) (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g)

snijdend of samenvallend het eerste vlak snijden evenwijdig zijn met de andere rechte parallel snijdt die rechte ook het andere vlak snijdt dat vlak ook het andere vlak ligt die andere rechte ook in dat vlak

(6) (a) (b) (c) (d) (e)

a⊂α bkα bkα a⊂α αkγ

(8) (a) (b) (c) (d) (e) (f)

snijdend kruisend snijdend kruisend kruisend kruisend

(9) (a) (b) (c) (d)

waar vals vals vals

(10) (a) (b) (c) (d)

kruisend snijdend kruisend kruisend

(11) gelijkbenig, gelijkzijdig en scherphoekig (12) (a) nooit (b) soms

waar vals waar waar vals waar vals

(16) (c) Beide lichaamsdiagonalen hebben dezelfde lengte binnen de kubus, namelijk 7 cm. (17) De staaf kan in de vrachtwagen. (18) (d) De breedte van de nieuwe zolderkamer is 4 m. (19) (b) |AB| = 10 cm (d) α = 62◦ 360 46, 41 . . .00 (20) 40 cm (21) (a) |BM | = 5, 19 . . . cm (b) α = 90◦ cC = 116◦ 330 54, 18 . . .00 (c) AM (d) β = 63◦ 260 5, 8100 (e) γ = 0◦

(22) (B) (23) (b) (c) (d) (e) (f) (g)

√ |T B| = 3 33 √ |T N | = 3 5 De rechten T N en F B zijn kruisend. α = 90◦ De rechten AN en GC zijn snijdend. β = 35◦ 150 51, 80 . . .00

cG = 131◦ 280 22, 56 . . .00 PM α = 48◦ 310 37, 43 . . .00 De rechten P M en DH zijn kruisend. β = 41◦ 280 22, 56 . . .00 γ = 90◦ δ = 0◦ √ 5 2 (26) (b) 2 (c) octaëder (d) kubus (25) (b) (c) (d) (e) (f) (g)

IX-43