Deel Inleiding voor het zesde jaar

Wiskunde In zicht een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs geschreven door

Koen De Naeghel Inleiding voor het zesde jaar

04/08/2022

CREATIVE COMMONS Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 (CC BY-NC-SA) Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie.

De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode De gebruiker mag: het werk kopiëren, verspreiden en doorgeven Remixen - afgeleide werken maken

Onder de volgende voorwaarden: Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam te vermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik van het werk).

Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerciële doeleinden gebruiken.

Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfde licentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid.

Met inachtneming van: Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden met voorafgaande toestemming van de rechthebbende.

Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijke wetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze beı̈nvloed door de licentie.

Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht: • Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet.

• De morele rechten van de auteur.

• De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals het portretrecht of het recht op privacy.

Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aan . derden door middel van een link naar http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/

Eerste druk: 2013 Versie: 15 augustus 2021 Gepubliceerd door: Online publicatie platform Issuu.com Auteursrecht omslagfoto: stylephotographs/123RF Stockfoto http://nl.123rf.com/profile stylephotographs Tekstzetsysteem: LATEX Royalty percentage: 0%

© Koen De Naeghel, gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0

Deel

Inleiding voor het zesde jaar

als a > 1

als 0 < a < 1

y

y a

y = log x

1

V.A. x = 0

x

x

1

V.A. x = 0

y = a log x

Inhoudsopgave

Deel Inleiding voor het zesde jaar

Voorwoord

ii

Wat is wiskunde?

Meetkunde . . . . .

Algebra . . . . . . .

Analyse . . . . . . .

Discrete wiskunde .

Toegepaste wiskunde

iii . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. iii . iv . v . vi . viii

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. x . xi . xii . xiii . xvi .xviii . xix

Parate kennis bij aanvang van het zesde jaar Verzamelingen . . . . . . . . . . . . .

Algebraı̈sch rekenen . . . . . . . . . .

Analytische meetkunde op een rechte Analytische meetkunde in een vlak . .

Driehoeksmeetkunde en goniometrie .

Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . .

Functies, limieten en continuı̈teit . . .

Referentielijst

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

x

xxviii

It is as if information presented to the eye and ear must first pass through the hand in order really to enter the brain.

Klaus Jänich, Linear Algebra, 1994 [3]

Voorwoord Deze cursus wiskunde is bestemd voor leerlingen van de derde graad algemeen secundair onderwijs in de studierichtingen met zes of acht wekelijkse lestijden wiskunde.

Leerlingen uit het middelbaar onderwijs krijgen heel wat wiskundige begrippen te verteren. De inhoud van de leerstofonderdelen ligt in grote mate vast: enerzijds vanuit het leerplan - opgemaakt op basis van de eindtermen van de Vlaamse Overheid, anderzijds vanuit de wiskunde zelf (wiskundige correctheid, conventies en traditie). Het begrijpen van deze inhoud hangt in grote mate af van de manier waarop die inhoud aangeboden wordt. In tegenstelling tot de inhoud kent de manier waarop leerkrachten die leerstofonderdelen aanbrengen een grote vrijheid. Hierin moeten dus heel wat keuzes gemaakt worden. De auteur is dan ook van mening dat een leerkracht maar met overtuiging en enthousiasme kan lesgeven wanneer die keuzes stroken met de visie die hij/zij heeft op het benaderen van de te geven concepten in de wiskunde.

Dit is het denkbeeld waarin deze cursus werd gescheven. Deze cursus is dus niet gebaseerd op een boek of op enkele boeken, maar werd net ontworpen vanuit de behoefte aan een correcte, maar toch haalbare benadering van basisconcepten in de wiskunde, waarvan de opbouw zich op een natuurlijke wijze opdringt. Daarnaast werd bewust gekozen voor een invulcursus, deels gemotiveerd door het bovenstaande citaat. Deze cursus heeft zeker niet de pretentie origineel te zijn, volledig te zijn of erger: zo moet het, maar wil laten zien: misschien kan het zo ook.

Om deze cursus optimaal te benutten, volgen nu enkele praktische richtlijnen.

3 Onderlijnde woorden geven aan dat het om een definitie gaat van die woorden.

3 Deze cursus maakt gebruik van de grafische rekenmachine TI-84 Plus CE. Alle noodzakelijke schermafdrukken werden in de cursus opgenomen, zodat de leerling ook buiten de les aan de slag kan.

3 Elk hoofdstuk is voorzien van oefeningen, die worden onderverdeeld in drie categorieën. ▷ Basisoefeningen liggen in de lijn van de eerder geziene theorie en modelvoorbeelden uit het bijbehorende hoofdstuk. Leerlingen die deze leerstof goed begrepen hebben, zullen de basisoefeningen doorgaans tot een goed einde brengen. ▷ Verdiepingsoefeningen veronderstellen het creatief omgaan met de leerstof en zijn onder meer bedoeld voor leerlingen die een wetenschappelijke of wiskundige vervolgopleiding ambiëren. ▷ Uitbreidingsoefeningen dienen om nieuwe begrippen of eigenschappen te formuleren. Hoewel zij niet noodzakelijk zijn voor het vervolg van de cursus, horen leerlingen die denken aan studies zoals burgerlijk ingenieur of burgerlijk ingenieur-architect zich ook naar zulke oefeningen te richten.

Antwoorden op geselecteerde oefeningen zijn terug te vinden op het einde van elk deel.

3 Sommige vragen komen uit de voorgaande edities van de Vlaamse Wiskunde Olympiade of vroegere toelatingsexamens. Deze oefeningen dienen opgelost te worden zonder gebruik te maken van de grafische rekenmachine.

3 Voetnoten verwijzen naar extra informatie en behoren niet tot de reguliere leerstof. geeft aan dat de digitale cursus een link voorziet naar een relevante webpagina. het icoon wijst 3 Het symbool op een link naar een geogebra-applet. Het symbool naast een oefening is de link naar het eindantwoord van de oefening achteraan. Een verwijzing zoals [3] duidt een publicatie aan, opgenomen in de referentielijst achteraan elk deel. De digitale versie is terug te vinden op de website [7].

Bij het realiseren van dit werk dank ik op de eerste plaats Jean-Marc Zwaenepoel, oudleraar aan het Onze-LieveVrouwecollege Oostende. Zijn nota’s, alsook de talloze discussies die ik met hem mocht voeren, waren een grote bron van inspiratie bij het schrijven van deze cursus. Daarnaast bedank ik ook Luc Heethem, gewezen leerkracht wiskunde en adjunct-directeur van het Onze-Lieve-Vrouwecollege Assebroek, voor het ter beschikking stellen van zijn cursus wiskunde, waarvan ik dankbaar gebruik gemaakt heb.

Daarnaast dank ik ook iedereen die mij op een of andere manier feedback gaf op deze cursus, in het bijzonder de leerlingen die sinds 2007 mijn lessen hebben bijgewoond. Hun opmerkingen, vragen en antwoorden waren en zijn nog steeds welkom, bijvoorbeeld via e-mail koendenaeghel@hotmail.com .

Brugge, augustus 2022

— KDN ii

The greatest wonder of the modern world is our understanding.

Stephen Hawking, God created the integers, 2005 [2]

Wat is wiskunde?

Men kan stellen dat wiskunde de wetenschap is die zich bezighoudt met het zoeken naar patronen en structuren. Het geheel van de wiskunde kan, vanuit historisch perspectief, onderverdeeld1 worden in vijf hoofdcategorieën: meetkunde,

algebra,

analyse,

discrete wiskunde,

toegepaste wiskunde.

Ondertussen is de hoeveelheid tot op vandaag bekende wiskunde gigantisch groot geworden. De volledige kennis hiervan is voor één enkel individu een utopie. Daardoor alleen al is samenwerking tussen wiskundigen (en in het algemeen wetenschappers) een noodzaak. Men moet er zich ook van bewust zijn dat wiskunde zeker niet af is. Dagelijks worden nog nieuwe wiskundige ontdekkingen gedaan, meestal van die aard dat het voor een persoon met gemiddelde kennis jaren duurt om zo’n eigentijds probleem te begrijpen, laat staan op te lossen. Naar schatting komen er elk jaar zo’n 300 000 nieuwe wiskundige ontdekkingen bij.2 Toch mogen deze feiten niemand afschrikken om wiskunde te leren. Wiskunde is een boeiende wetenschap die heel wat verder reikt dan het rekenen met getallen. Wat we wel onthouden is dat nederigheid tegenover wiskunde (en wetenschap in het algemeen) op zijn plaats is.

Ter informatie volgt een korte, onvolledige beschrijving van de vijf bovenvermelde takken van de wiskunde. Uiteraard raakt men tijdens het middelbaar onderwijs slechts enkele van deze onderwerpen aan.

Meetkunde Meetkunde of geometrie is het onderdeel van de wiskunde dat zich toespitst op het zoeken van patronen en structuren in vormen. We onderscheiden volgende deeltakken. behoort tot de oudste onderdelen van de wiskunde. Al in het klassieke Griekenland 3 Euclidische meetkunde (±6e eeuw v.Chr.) werden door Thales van Milete en Pythagoras van Samos de eerste stellingen bewezen, gevolgd door de Euclides geschreven Elementen, een van de meest invloedrijke boeken uit de geschiedenis. Hoewel veel van Euclides’ resultaten reeds eerder door Griekse wiskundigen waren geformuleerd, was hij de eerste die wiskunde in een deductief systeem goot. De methode van Euclides bestond erin om uitgaande van een aantal axioma’s vele andere proposities, lemma’s en stellingen te bewijzen. Gedurende lange tijd beperkte meetkunde zich tot de studie van vlakke en ruimtelijke figuren. In het vlak kent men de onder meer driehoeksmeetkunde en de daaruit vloeiende goniometrie (het meten van hoeken en hun onderlinge relaties). De ruimtemeetkunde bestudeert rechten en vlakken in de ruimte, alsook de vijf regelmatige veelvlakken (tetraeder, kubus, octaeder, dodecaeder, icosaeder), piramide, prisma, kegel, cilinder en bol.

3 Niet-euclidische meetkunde werd onafhankelijk ontdekt door de drie wiskundigen Carl Friedrich Gauss, János Bolyai en Nikolai Ivanovich Lobachevsky (hyperbolische meetkunde) ± 1830. Later voegde Bernhard Riemann er de elliptische meetkunde aan toe. De aanleiding hiervoor was eigenlijk een heel praktische: de euclidische meetkunde, zijnde de klassieke meetkunde van het platte vlak, is niet op het aardoppervlak van toepassing: op het gekromde vlak geldt het parallellenpostulaat van Euclides niet. Op het einde van de 19e eeuw werd het begrip meetkunde totaal vernieuwd door het Erlanger Program van Felix Klein. Hierbij worden meetkundige structuren begrepen in termen van transformatiegroepen. Niet-euclidische meetkundes blijken zeer goed bruikbaar bij de beschrijving van de ruimte volgens de (algemene) relativiteitstheorie van Albert Einstein 1916.

Op een bol is - in tegenstelling tot een vlak - de som van de hoeken van een driehoek meer dan 180◦ .

1 Voor een officiële onderverdeling van de wiskunde verwijzen we naar de 2010 Mathematics Subject Classification (MSC2010), terug te vinden op http://www.ams.org/msc/ .

2 Zie [1, 8]. Sinds 1991 is het voor wetenschappers gebruikelijk om zijn of haar vondsten digitaal beschikbaar te maken op de e-print service arXiv, beschikbaar op http://xxx.lanl.gov/ .

iii

3 Differentiaalmeetkunde is een tak van de wiskunde die meetkundige problemen bestudeert aan de hand van methodes uit de calculus en lineaire algebra. Het behelst onder andere meetkundige structuren op differentieerbare variëteiten: vormen die lokaal op een euclidische ruimte lijken. Het fundament voor de differentiaalmeetkunde werd in het begin van de 19e eeuw gelegd door Carl Friedrich Gauss. In zijn tijd was de wiskunde nog sterk verbonden met de praktische toepassingsgebieden in cartografie, navigatie en geodesie. Daaruit ontwikkelde zich de kaartprojectie, waarvan begrippen als geodeet en gaussiaanse kromming stammen. Ook stelde Gauss zich al de vraag of bij het meten van een zeer grote driehoeken (tientallen kilometers) de drie hoeken werkelijk optellen tot 180 graden. Met dit onderzoek legde hij de basis voor de moderne differentiaalmeetkunde. Toepassingen daarvan vindt men in de algemene relativiteitstheorie en de satellietnavigatie.

3 Topologie is de meetkunde van de rekbare oppervlakken (meer formeel: de eigenschappen van de ruimte die invariant zijn onder continue deformaties) en bevat onder andere grafentheorie, ontstaan door de oplossing van Leonhard Euler 1736 voor het zogenaamde zeven bruggen probleem van Königsbergen. is een brug tussen algebra en meetkunde waarbij een 3 Analytische meetkunde cartesisch asssenstelsel centraal staat. In de 17e eeuw introduceerden René Descartes en Pierre de Fermat zo’n rechthoekig assenstelsel waarmee meetkundige objecten konden worden beschreven met getallen en vergelijkingen. Gewoonlijk wordt het cartesisch coördinatenstelsel toegepast om vergelijkingen voor vlakken, lijnen, krommen en cirkels te manipuleren, vaak in twee of drie, maar in principe in willekeurig veel dimensies. Veel stellingen uit de vlakke meetkunde kunnen eenvoudig nagerekend worden met behulp van cartesische coördinaten.

Konigsbergen en het zeven bruggen probleem: bestaat er een rondwandeling in de stad zodat men elke brug precies één keer aandoet?

is een brug tussen algebra en meetkunde waarbij men technieken hanteert uit de 3 Algebraı̈sche meetkunde abstracte algebra. Aan de grondslag ligt de analytische meetkunde die via de klassieke projectieve meetkunde leidde tot de moderne algebraı̈sche meetkunde, in de jaren ’50 en ’60 van de vorige eeuw ontwikkeld door Alexander Grothendieck en Jean-Pierre Serre.

3 Eindige meetkunde is een meetkundig systeem dat slechts een eindig aantal punten kent. Eindige meetkundes kunnen gedefinieerd worden aan de hand van vectorruimten over een eindig veld, of op puur combinatorische gronden.

Eén onderdeel is de studie van de eindige projectieve vlakken, gebaseerd op drie axioma’s: door elke twee punten gaat precies één lijn, elke twee lijnen hebben precies één punt gemeen en er bestaan vier punten waarvan er geen drie op eenzelfde rechte gelegen zijn. Het meest eenvoudig voorbeeld van een eindig projectief vlak is het zogenaamde Fano-vlak, bestaande uit zeven punten en zeven lijnen. De eindige meetkunde kent toepassingen in de cryptografie en codeertheorie.

3 Beschrijvende meetkunde , ook wel wetenschappelijk tekenen genoemd, is een tak van de meetkunde die zich bezighoudt met de representatie van driedimensionale objecten in twee dimensies, door het gebruik van specifieke procedures.

De beschrijvende meetkunde is in de 18e eeuw ontwikkeld door de Franse wiskundige en staatsman Gaspard Monge. In 19e en 20e eeuw werd de beschrijvende het architecturaal en industrieel technisch tekenen.

Fano-vlak: door elke twee punten gaat een lijn en elke twee lijnen hebben een punt gemeen.

meetkunde de grondslag voor

Algebra Algebra (van het Arabische woord Al-Djabr dat hereniging, verbinding of vervollediging betekent) is dat deel van de wiskunde dat handelt over het oplossen van vergelijkingen en het zoeken van patronen en structuren in deze oplossingen. We onderscheiden volgende gebieden. , de studie van de eigenschappen van reële getallen, waarbij men symbolen (x, y, 3 Elementaire algebra etc.) gebruikt om constanten en variabelen aan te duiden. Ook de regels die gelden voor uitdrukkingen en vergelijkingen met deze symbolen worden bestudeerd. Het eerste gebruik van letters voor zowel de bekenden (coëfficiënten) als de onbekende grootheden (variabelen) gaat terug naar François Viète 1591. De betekenis van zijn bijdrage op het punt van de algebraı̈sche notatie mag niet worden onderschat. Dankzij een efficiënte manier om wiskundige vergelijkingen op te schrijven, hoeft de wiskundige immers niet veel tijd en energie meer te verspillen om zijn probleem te formuleren en kan hij zich beter concentreren op de oplossing ervan. Indirect heeft Viète daardoor een grote bijdrage geleverd aan de verdere ontwikkeling van de algebra in de eeuwen na hem. iv

3 Abstracte algebra is het deelgebied van de wiskunde waar men algebraı̈sche structuren bestudeert. Op het einde van de 19e en het begin van de 20e eeuw was men niet langer tevreden met het vaststellen van eigenschappen van concrete objecten. Wiskundigen verlegden hun aandacht naar de algemene theorie.

Uit de vroegere notie van symmetrie- en permutatiegroepen ontstond het algemeen begrip van een abstracte groep en vragen over classificatie kwamen aan bod. Formele definities van primitieve operaties en axioma’s werden voorgesteld voor vele algebraı̈sche basisstructuren, zoals groepen, ringen en lichamen of velden. De grondleggers Ernst Steinitz, David Hilbert, Emil Artin, Emmy Noether, Georg Frobenius en Issai Schur hebben de abstracte algebra als het ware gedefinieerd. Deze ontwikkelingen uit het laatste kwart van de 19e eeuw en het eerste kwart van de 20e eeuw werden systematisch uiteengezet in Bartel Leendert van der Waerden’s’ Moderne algebra, een twee-bandige monografie die werd gepubliceerd rond 1930. Dit werk veranderde de betekenis die de wiskundige wereld aan het woord algebra toekende van een theorie van de vergelijkingen in een theorie van algebraı̈sche structuren.

De symmetriegroep van de Rubiks kubus telt 43 252 003 274 489 856 000 permutaties. In 2010 bewees Tom Rokicki metabstracte algebra dat elke positie kan opgelost worden in 20 of minder draaiingen [6].

houdt zich bezig met de studie van vectoren, vector3 Lineaire algebra ruimten en lineaire transformaties die volgens bepaalde regels input-vectoren tot output-vectoren transformeren. De lineaire algebra omvat onder andere matrices, determinanten en stelsels van lineaire vergelijkingen en staat centraal in de moderne wiskunde en haar toepassingen in onder meer natuurwetenschappen en sociale wetenschappen.

3 Getaltheorie is de tak van de algebra die de eigenschappen van gehele getallen bestudeert, mede door het oplossen van vergelijkingen over de gehele getallen (o.a. Diophantische vergelijkingen). Getaltheorie heeft toepassingen in codeertheorie en cryptografie, met als voorbeeld de zogenaamde RSA-cryptografie (of hoe priemgetallen gebruikt worden om bijvoorbeeld veilig op internet te bankieren). De term elementaire getaltheorie is in gebruik geraakt voor de grotere klasse van problemen die gemakkelijk door leken kunnen worden begrepen maar daarentegen vaak erg moeilijk te kraken zijn, zoals de Laatste Stelling van Pierre Laatste Stelling van Fermat: de Fermat 1637 die na een zoektocht van meer dan 350 jaar aangetoond werd voor n = 3, 4, 5, . . . heeft xn + y n = z n geen oplossindoor wiskundige Andrew Wiles 1995 [5]. Befaamde, tot op heden onopgeloste gen x, y, z ∈ Z0 . problemen zijn onder andere het priemtweelingvermoeden (bestaan er oneindig veel priemtweelingen?), het vermoeden van Goldbach 1742 (kan elk even getal groter dan 2 geschreven worden als de som van twee priemgetallen?), het vermoeden dat elk perfect getal even is en het vermoeden van Collatz 1937 (ook wel het 3n + 1 probleem genoemd).

Analyse Analyse is een tak van de wiskunde die ontwikkeld werd uit de rekenkunde en de meetkunde en die zich bezighoudt met het bestuderen van functies van reële en complexe getallen.

De wiskundige analyse wordt tegenwoordig onderverdeeld in volgende klassen.

3 Reële analyse heeft betrekking op eigenschappen, afgeleiden en integralen van reële functies. Hieronder valt ook het bestuderen van continuı̈teit, limieten en machtreeksen van functies. Dat aspect van de analyse noemt men differentiaal- en integraalrekening of ook wel de calculus. Eén van de belangrijkste redenen om de calculus te ontwikkelen was om het zogenaamde raaklijnprobleem op te lossen, gemotiveerd uit de natuurwetenschappen, waar het beschrijven van verandering een terugkerend thema is. De ontwikkeling van afgeleiden en integralen wordt aan Gottfried Wilhelm Leibniz en Isaac Newton toegeschreven (17e eeuw), met als voorlopers Barrow, Descartes, de Fermat, Huygens en Bernoulli (16e eeuw).

3 Complexe analyse houdt zich bezig met functies van het complexe vlak naar zichzelf die complex differentieerbaar zijn. De grondlegger was ontegensprekelijk de Franse wiskundige Cauchy (19e eeuw). Toepassing hiervan zijn zogenaamde fractalen: figuren die er steeds hetzelfde uitzien, ongeacht hoeveel je in- of uitzoomt. behelst de studie van de relatie tussen 3 Analyse van differentiaalvergelijkingen (vergelijkingen met) afgeleiden van functies en de functies zelf.

3 Functionaalanalyse bestudeert vectorruimten van functies waarin gebruik gemaakt wordt van onder andere Banach- en Hilbertruimten. v

Mandelbrot fractaal, naar Benoit Mandelbrot

3 Fourieranalyse , genoemd naar Joseph Fourier, heeft betrekking op Fourierreeksen en generalisaties daarvan.

Elke periodieke functie kan - mits deze aan bepaalde voorwaarden voldoet - ontwikkeld worden in zijn Fourierreeks, een som van een (eventueel oneindig) aantal standaardfuncties. Voor het bestaan van de Fourierreeks volstaat het dat de periodieke functie begrensd is. Meestal gebruikt men als standaardfuncties de sinus- en cosinusfuncties. De coëfficiënten van de Fourierreeks worden bepaald met Fourieranalyse, een techniek ontwikkeld door Jean-Baptiste Joseph Fourier. Fourierreeksen kennen toepassingen in onder meer elektrotechniek, akoestiek, optica, signaalverwerking, analyse van trillingen, digitale beeldverwerking, kwantummechanica en econometrie (economisch modelleren).

3 Maattheorie is met de Lebesgue-integratie de theoretische basis voor de kansrekening en de integraalrekening. Zo kan dankzij de maattheorie de verwachting van een stochastische variabele worden opgevat als de Banach-Tarskiparadox integraal van een meetbare functie. Het uitgangspunt is een rigoureuze afbakening van het studiegebied op basis van de axiomatische verzamelingenleer. In de Banach-Tarskiparadox wordt duidelijk hoe een naı̈eve opvatting van het begrip maat van een verzameling wordt afgestraft. In die stelling uit de meetkunde toonden Stefan Banach en Alfred Tarski in 1924 aan dat een massieve driedimensionale bal in een eindig aantal verschillende (niet overlappende of disjuncte) deeltjes gesplitst kan worden die dan weer samengevoegd kunnen worden om twee identieke kopieën van de oorspronkelijke bal te herassembleren. Het venijn zit in het feit dat de deeltjes zelf bestaan uit verzamelingen van allemaal losse punten, met een zo ingewikkelde structuur dat ze niet meer meetbaar zijn en dat derhalve over het volume van de deeltjes niets te zeggen valt. , die de hyperreële getallen en functies daarvan bestudeert en een formele definitie 3 Niet-standaard analyse geeft van oneindig kleine en oneindig grote getallen.

Discrete wiskunde Discrete wiskunde is de studie van wiskundige patronen en structuren die au fond discreet zijn, dat wil zeggen dat er gehele, los van elkaar staande zaken bekeken worden. Hiermee onderscheidt de discrete wiskunde zich van de continue wiskunde zoals analyse. De meeste objecten die bestudeerd worden binnen de discrete wiskunde zijn aftelbare verzamelingen zoals de natuurlijke of rationale getallen.

De afgelopen decennia is de discrete wiskunde vooral opgekomen binnen de informatica omdat onderwerpen uit de discrete wiskunde en de daarbijbehorende notaties erg nuttig zijn om zaken en concepten uit te drukken met betrekking tot computeralgoritmes en programmeertalen. We sommen enkele onderwerpen op die onder de discrete wiskunde vallen. of redeneerkunst is de wetenschap die zich bezighoudt met de formele regels van het denken. Tradi3 Logica tioneel wordt de logica door de filosofie bestudeerd, maar zij wordt ook tot de wiskunde gerekend. Het eerste substantiële werk over logica dat overgeleverd is, werd geschreven door Aristoteles. De academische formele logica die wij tegenwoordig kennen, stamt af van de Griekse traditie. Sinds halverwege de 19e eeuw wordt de formele logica bestudeerd in de context van de grondslagen van de wiskunde, waar het veelal symbolische logica genoemd wordt. In 1903 hebben Alfred North Whitehead en Bertrand Russell met de publicatie van de Principia Mathematica getracht om de logica formeel tot de hoeksteen van de wiskunde te ontwikkelen. Met uitzondering van het elementaire gedeelte worden deze beginselen niet meer gebruikt en zijn ze grotendeels vervangen door de verzamelingenleer. In de verdere ontwikkeling van de studie van formele logica ging het onderzoek niet alleen meer over fundamentele onderwerpen. De studie van verschillende toepassingen op het gebied van de wiskunde resulteerde in de opkomst van een wiskundige logica. De ontwikkeling van formele logica en haar implicaties voor computers behoort tot de fundamenten van de computerwetenschap.

3 Verzamelingenleer vormt sinds het begin van de twintigste eeuw een van de grondslagen van de wiskunde. De verzamelingenleer betreft de bestudering en formalisering van het begrip verzameling en ondersteunt daarmee de axiomatische onderbouwing van andere deelgebieden van de wiskunde. De oorsprong van de verzamelingenleer gaat terug naar Georg Cantor 1874, dat het eerste formeel bewijs bevat dat er verschillende vormen van oneindigheid bestaan. Zo bewees hij later ook dat de verzameling van de rationale getalen aftelbaar is (rationale getallen zijn op te sommen in een rij) en dat de verzameling van de reële getallen overaftelbaar is (reële getallen zijn niet op te sommen in een rij).

Hoewel beide verzamelingen oneindig veel elementen bevatten, zijn er intrinsiek meer reële getallen dan rationale getallen. vi

Cantor toonde aan dat er evenveel natuurlijke getallen zijn als positieve breuken.

Rond het einde van de 19e eeuw ontstonden er voor het eerst discussies over paradoxen binnen de verzamelingenleer zoals die rond de eeuwwisseling bekend was. De meest befaamde is de zogenaamde Russell-paradox. Dit toonde de noodzaak aan om te kiezen voor een axiomatische aanpak, zoals de Zermelo-Fraenkel verzamelingenleer uit 1930.

3 Combinatoriek is de studie van eindige verzamelingen van objecten die aan specifieke eigenschappen voldoen. In het bijzonder houdt men zich bezig met het tellen van objecten in deze verzamelingen (oplossen van telproblemen) en het bepalen of er zekere optimale objecten in een verzameling aanwezig zijn (optimalizatietheorie). Combinatoriek kent raakvlakken met topologie, zoals grafentheorie. Diepere afsplitsingen zijn speltheorie, design theorie en Ramsey theorie. De beroemdste beoefenaar hierin was ongetwijHet vierkleurenprobleem: feld de excentrieke wiskundige Paul Erdös. Een berucht resultaat binnen heb je aan vier kleuren de combinatoriek is het zogenaamde vierkleurenprobleem, geponeerd door genoeg om elke vlakke kaart Francis Guthrie 1853. Pas in 1976 werd hiervan een bewijs gevonden, door in te kleuren?

Ken Appel en Wolfgang Haken, die het vierkleurenprobleem terug brachten tot een groot doch eindig aantal (vele honderden) speciale gevallen en lieten vervolgens een computer al deze speciale gevallen uitrekenen. Samen met hun trouwe IBM 370-computer hadden ze een belangrijk probleem gekraakt. Maar het applaus was schaars: ze hadden het bewijs met behulp van een computer geleverd en dit paste niet in het klassieke straatje van een wiskundig bewijs. De wiskunde wacht nog steeds op een traditioneel bewijs. houdt zich bezig met de studie en ontwikkeling van algoritmen (programmeren). Een voorbeeld 3 Algoritmiek van een algoritme is het algoritme van Euclides dat de grootste gemene deler van twee natuurlijke getallen geeft. Een formalisatie van algoritmen ontstond door David Hilbert 1928 en leidde tot Alan Turing’s Turing machines 1937: een mechanisch model van berekening en berekenbaarheid en daarmee een model voor een computer. Het bekendst bij het grote publiek is de Turing-test (om licht te werpen op de vraag of een machine menselijke intelligentie kan vertonen) en zijn betrokkenheid bij het kraken van de Enigma-code (waardoor de geallieerden tijdens de Tweede Wereldoorlog op de hoogte zijn geweest van de locaties van de onderzeeërs van de Nazi-Duitsers).

3 Operationeel onderzoek is een interdisciplinair vakgebied, gericht op de toepassing van wiskundige technieken en modellen om processen binnen organisaties te verbeteren of te optimaliseren. Een typisch operationeel probleem is het befaamde handelsreizigersprobleem: als er n steden gegeven zijn die een handelsreiziger moet bezoeken, samen met de afstand tussen ieder paar van deze steden, vind dan de kortste weg die kan worden gebruikt, waarbij iedere stad precies eenmaal wordt bezocht. Het vinden van de kortste reisweg is nog altijd onoplosbaar, maar huidige technieken leiden wel tot een zeer goede schatting . Het probleem is zelfs zo moeilijk oplosbaar dat men in het jaar 2000 een prijs van één miljoen dollar uitschreef voor de oplossing ervan. Het probleem is niet alleen academisch; het heeft talloze directe toepassingen in de praktijk, van het aanleggen van kabelnetten tot het bepalen van de route van de boorkop bij het boren van gaatjes in printplaten. Operationeel onderzoek wordt onder andere ontwikkeld in bedrijfskunde, econometrie en technische wetenschappen.

De meeste toepassingsgebieden zijn te vinden in het bedrijfsleven en binnen de non-profitsector.

Het handelsreizigersprobleem: de optimale route route voor de 15 grootste steden van Duitsland, de kortste van 43 589 145 600 mogelijke routes.

3 Rijen en reeksen. Een rij is een geordende lijst van getallen, gescheiden door komma’s. Een reeks is een geordende lijst van getallen gescheiden door somtekens. Deze twee fundamentele concepten werden relatief laat in de geschiedenis ontwikkeld en zorgden voor heel wat verwarring. Rijen en reeksen zijn echter fundamenteel binnen de wiskundige opbouw van analyse en meerbepaald de calculus.

3 Recursievergelijkingen zijn vergelijkingen die rijen recursief definiëren. Dit gebied heeft onder andere toepassingen in de economie.

3 Informatietheorie is de wiskundige theorie die zich bezighoudt met het zo efficiënt en betrouwbaar mogelijk overdragen en opslaan van informatie via onbetrouwbare kanalen (media). Een in 1948 gepubliceerd artikel van Claude Shannon wordt algemeen gezien als de grondslag van dit vakgebied.

vii

3 Complexiteitstheorie is het gebied van wetenschappelijk onderzoek dat zich bezighoudt met de vragen welke wiskundige problemen al dan niet oplosbaar zijn en hoe efficiënt oplossingen voor een gegeven probleem zijn.

De complexiteitstheorie is een overlapgebied van de wiskunde en de informatica. Het is ook één van de oudste pijlers waarop de informatica als vakgebied en wetenschap gebaseerd is en het is niet onredelijk om te zeggen dat de informatica uit de vraagstukken van de complexiteit ontstaan is. Het grootste openstaande probleem is hier het fameuze P=NP probleem.

Toegepaste wiskunde Toegepaste wiskunde bestudeert het gebruik van abstracte wiskundige middelen voor het oplossen van concrete problemen in de wetenschap en de zakenwereld. We onderscheiden de volgende gebieden.

3 Kansrekening of stochastiek of waarschijnlijkheidsrekening is een tak van de wiskunde die zich bezighoudt met situaties waarin het toeval een rol speelt, met als gevolg dat er geen zekerheid is over allerlei uitkomsten. Kansrekening is ontstaan vanuit de maatschappelijke behoefte om zo effectief mogelijk om te gaan met onzekerheden. Een vraag van de 17e eeuwse fervente gokker Chevalier de Méré aan Blaise Pascal leidde tot het ontstaan van de kansrekening, met als voornaamste grondleggers Girolamo Cardano, Blaise Pascal, Pierre de Fermat en Christiaan Huygens. Latere hoofdrolspelers waren Jakob Bernoulli, Abraham de Moivre, Thomas Bayes en Simon Laplace. Een aanvaardbare definitie van het begrip kans en een axiomatische opbouw van kansrekening liet op zich wachten tot Andrey Kolmogorov 1933. Kansrekening laat een wiskundige analyse toe van problemen waarin het toeval een belangrijke rol speelt en speelt daarom een prominente rol in onder meer data-mining, expert systemen, probabilistische algoritmes, prestaties van netwerken, genetica, herkennen van beelden, voorspellen van de aandeelkoersen en populatie-groei. Kernbegrippen binnen de kansrekening zijn de stochastische variabele en de direct daarmee samenhangende kansverdeling, verwachtingswaarde en variantie.

Probleem van Chevalier de Méré: heb je meer kans om in 4 worpen met één dobbelsteen minstens een keer zes gooien, of om in 24 worpen met twee dobbelstenen minstens een keer dubbel zes te gooien?

is de wetenschap van het verzamelen, ordenen, analyseren, inter3 Statistiek preteren of verklaren en presenteren van gegevens. Binnen het vakgebied van de statistiek wordt onderscheid gemaakt tussen de volgende twee deelgebieden. Beschrijvende statistiek houdt zich bezig met het verzamelen en het bewerken van gegevens. De bedoeling is om op een (soms grote) hoeveelheid waarden een aantal bewerkingen toe te passen zodat de resultaten overzichtelijk worden. Hierbij denken we onder andere aan het maken van een tabel of grafiek; het berekenen van beschrijvende maten, zoals centrummaten, spreidingsmaten en boxplot. Anderzijds heeft verklarende statistiek (ook wel inductieve, wiskundige of inferentiële statistiek genoemd) als bedoeling om op basis van de resultaten van waarnemingen te komen tot algemene uitspraken over het onderzochte verschijnsel. Enkele bekende methoden zijn: toetsen van hypothesen, schatten van de numerieke karakteristieken en daarmee gelinkt het bepalen van de foutenmarge en betrouwbaarheidsinterval bij een gegeven betrouwbaarheidsniveau.

Willen de resultaten van waarnemingen leiden tot waardevolle algemene uitspraken, dan zullen die waarnemingen voldoende willekeurig moeten zijn. De kansrekening stelt ons in staat om het concept van willekeur te begrijpen.

Men kan kansrekening dan ook zien als de brug tussen de beschrijvende en de verklarende statistiek.

3 Numerieke wiskunde is het deelgebied waarin algoritmes voor problemen in de continue wiskunde bestudeerd worden (in tegenstelling tot discrete wiskunde). Dit betekent dat het vooral gaat over reële of complexe variabelen, het oplossen van differentiaalvergelijkingen en andere vergelijkbare problemen die optreden in de natuurkunde en techniek. Meestal bedoelt men met de term numerieke wiskunde de studie van de iteraties, waar men een probleem oplost door opeenvolgende benaderingen van de oplossing te bepalen uitgaande van eerste schatting. De meest bekende van deze numerieke procedures zijn de methode van Newton-Raphson (benaderen van een nulwaarde van een functie) en de methode van Euler (oplossen van gewone differentiaalvergelijkingen met gegeven beginvoorwaarde). Grafische rekenmachines maken gebruik van deze iteraties om bijvoorbeeld extrema, afgeleiden en integralen te berekenen. is het wetenschappelijke vakgebied dat zich bezighoudt met het grensgebied van 3 Wiskundige natuurkunde de wiskunde en de natuurkunde. De ontwikkeling van bepaalde onderwerpen in de natuurkunde waren vaak gelinkt met een wiskundige taal nodig om fenomenen te beschrijven en te begrijpen. Zo’n ontwikkelingen vonden bijvoorbeeld plaats in de tweede helft van de 18e eeuw door Jean Le Rond d’Alembert, Leonhard Euler en Joseph Louis Lagrange, op het gebied van partiële differentiaalvergelijkingen, variatierekening, Fourieranalyse, potentiaaltheorie en vectoranalyse. De studie van de spectraallijnen en later de kwantummechanica liep viii

parallel met de wiskundige ontwikkeling van de lineaire algebra, spectraaltheorie en functionaalanalyse. De speciale en algemene relativiteitstheorie zorgden voor de noodzaak van abstracte wiskunde zoals groepentheorie, differentiaalmeetkunde en topologie. Statistische mechanica werd gelinkt met de wiskundige ergodentheorie en kansrekening. Tot op vandaag neemt het aantal interacties tussen combinatoriek en natuurkunde toe, in het bijzonder in de statistische natuurkunde. legt zich toe op het modelleren van diverse aspecten en fenomenen in de economische en 3 Financiële wiskunde financiële wereld. Het kent toepassingen in het bank- en verzekeringswezen (interesten en annuı̈teiten) en op de financiële markt. Financiële wiskunde kent zijn oorsprong in 1900 toen Louis Bachelier de Brownse beweging (een natuurkundig verschijnsel waarbij deeltjes een onregelmatige eigen beweging vertonen en volgens een toevallig aandoend patroon in alle richtingen weg kunnen schieten) toepaste op de beurs.

ix

The true mathematician is not a juggler of numbers, but a juggler of concepts.

Ian Stewart

, Concepts of modern mathematics, 1975 [4]

Parate kennis bij aanvang van het zesde jaar Bij aanvang van het zesde jaar veronderstellen we dat je de volgende leerstof paraat kent, zodat je op elk moment beroep kunt doen op deze definities, notaties, afspraken, formules, eigenschappen en werkwijzen.

Verzamelingen 3 Een verzameling is een collectie van objecten, die we de elementen van die verzameling noemen. We kennen twee manieren om een verzameling te beschrijven. ▷ Opsomming. Je somt de elementen van de verzameling op, het geheel wordt tussen accolades geplaatst.

Hierbij speelt de volgorde van opsommen geen rol.

Voorbeeld 1. De verzameling van klinkers van het alfabet is {a, e, i, o, u}.

Merk op dat deze verzameling gelijk is aan de verzameling {e, a, i, o, u}.

Voorbeeld 2. De verzameling van alle natuurlijke getallen is N = {0, 1, 2, 3, . . .}

▷ Expliciet. Je beschrijft de elementen aan de hand van de eigenschap(pen) die deze elementen vastleggen.

Voorbeeld 1. De verzameling van klinkers van het alfabet is {□ | □ is een klinker van het alfabet}.

Voorbeeld 2. De verzameling van Belgen jonger dan 17 jaar is {B | B is Belg en leeftijd B < 17}.

We stellen een verzameling schematisch voor aan de hand van een Venndiagram.3 Voorbeeld. De verzameling van alle natuurlijke getallen wordt als volgt voorgesteld:

N 0 1 2 ...

3 De verzameling die geen enkel element bevat noemt men de lege verzameling, die we noteren met {} of met ∅.

Voorbeeld. {P | P is een vrouw die de president van de Verenigde Staten is geweest} = ∅

3 Is a een element van een verzameling A, dan schrijven we a ∈ A. In het andere geval noteren we a ∈ / A. Is elk element van een verzameling B ook een element van een verzameling A, dan noemen we B een deelverzameling van A en we schrijven B ⊆ A. In het andere geval noteren we B ̸⊆ A. In symbolen: B⊆A

B ̸⊆ A

⇔

⇔

∀b ∈ B : b ∈ A (lees als: voor alle elementen b van B geldt b is een element van A)

∃b ∈ B : b ∈ / A (lees als: er bestaat een element b van B waarvoor geldt b is geen element van A).

Voorbeeld. De verzameling van alle natuurlijke getallen is een deelverzameling van de verzameling van alle gehele getallen. In symbolen: N ⊆ Z. Schematisch: Z N 0 −1 1 −2 2 ... ...

3 Genoemd naar John Venn 1880. Gelijkaardige diagrammen werden eerder gebruikt door Leonhard Euler Willhelm Leibniz 17e eeuw en Ramon Llull 13e eeuw.

x

18e eeuw, Gottfried

3 Voor twee verzamelingen A en B kennen we de volgende bewerkingen: ▷ De doorsnede van A en B is de verzameling van alle elementen die zowel tot A als tot B behoren.

In symbolen: A ∩ B = {x | x ∈ A en x ∈ B} Schematisch:

A

B A∩B

▷ De unie van A en B is de verzameling van alle elementen die tot A of tot B behoren.

In symbolen: A ∪ B = {x | x ∈ A of x ∈ B} Schematisch:

A

B A∪B

▷ Het verschil van A met B is de verzameling van alle elementen die wel tot A maar niet tot B behoren.

In symbolen: A\B = {x | x ∈ A en x ∈ / B} Schematisch:

A

B

A\B

Algebraı̈sch rekenen 3 We kennen de volgende merkwaardige producten, die we eenvoudig bewijzen door uitwerking:4 voor a, b ∈ R geldt (a + b)(a − b) = a2 − ab + ba − b2 = a2 − b2

zodat

(a + b)(a − b) = a2 − b2

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2

zodat

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a − b)2 = (a − b)(a − b) = a2 − ab − ba + b2 = a2 − 2ab + b2

zodat

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

Analoog toont men voor a, b ∈ R aan dat: (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3

a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 )

(a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3

a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )

3 Een eerstegraadsvergelijking is van de vorm ax + b = 0 met a, b ∈ R en a ̸= 0. Een eerstegraadsvergelijking lossen we op door de onbekende x af te zonderen.

Voorbeeld. We lossen de eerstegraadsvergelijking −19x + 8 = 0 op. −19x + 8 = 0

⇔

−19x = −8 8 ⇔ x= = 0, 4210 . . .

19 ß ™ 8 De oplossingenverzameling noteren we met V of OplV. Hier is OplV = .

19 4 De benaming merkwaardig product wordt gebruikt om een product aan te duiden die het bemerken waard is, omdat ze regelmatig in rekenwerk voorkomt en daarom aangewezen is om ze uit het hoofd te kennen. Het bijvoegelijk naamwoord merkwaardig betekent in deze context dus niet zozeer eigenaardig (aan het uitschrijven van bijvoorbeeld (a − b)(a − b) is niets eigenaardig), maar eerder noemenswaardig.

Zo kunnen merkwaardige producten ook hoofdrekenen vergemakkelijken, zoals 98·102 = (100−2)·(100+2) = 1002 −22 = 10 000−4 = 9996.

xi

3 Een tweedegraadsvergelijking is van de vorm ax2 + bx + c = 0 met a, b, c ∈ R en a ̸= 0. De algemene werkwijze om een tweedegraadsvergelijking op te lossen is door √ de discriminant D = b2 − 4ac te berekenen, in het geval −b ± D D ≥ 0 worden de oplossingen gegeven door x = .

2a Voorbeeld. We lossen de tweedegraadsvergelijking −3x2 + 9x + 15 = 0 op. −3x2 + 9x + 15 = 0

® zodat OplV =

3−

√ 2

29 3 + ,

√

29

⇔

D = 32 − 4 · (−1) · 5 = 29 √ −3 ± 29 ⇔ x= −2 √ √ 3 − 29 3 + 29 ⇔ x= of x = 2 2

´

2

− x2 + 3x + 5 = 0

.

Analytische meetkunde op een rechte 3 Een getallenas is een rechte, voorzien van twee verschillende punten waar de getallen 0 en 1 bij geplaatst worden.

De afstand tussen 0 en 1 noemen we de lengte-eenheid (of ijk). Het is een afspraak dat er bij elk punt van de getallenas juist één reëel getal hoort. De verzameling van alle reële getallen noteren we met R. 1/2 π

−1

0

1

2

3

R

4

√ 2

3 De absolute waarde van een (reëel) getal x is de afstand tussen de punten 0 en x op de getallenas. Die afstand noteren we met |x|. Zo is bijvoorbeeld |3| = 3 terwijl |−2| = 2 = −(−2).

We kunnen twee gevallen onderscheiden:

als x ≥ 0

0

als x < 0

1

R

x

0

x

|x| = x

1

R

|x| = −x

In het algemeen geldt dus: |x| =

ß

x −x

als x ≥ 0 als x < 0

Meer algemeen: de afstand tussen twee punten x en y op de getallenas is de absolute waarde van hun verschil.

0

1

x

R

y |x − y|

3 Zij a en b twee getallen met a < b.

▷ Het open interval ]a, b[ is de verzameling van alle getallen tussen a en b.

In symbolen: ]a, b[ = {x ∈ R | a < x < b} Voorstelling op een getallenas:

]a, b[ 0

1

a xii

b

R

▷ Het halfopen interval [a, b[ is de verzameling van alle getallen tussen a en b, samen met a.

Analoog voor halfopen interval ]a, b].

In symbolen: [a, b[ = {x ∈ R | a ≤ x < b} en ]a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b} Voorstelling op een getallenas:

[a, b[ 0

1

a

R

b

▷ Het gesloten interval [a, b] is de verzameling van alle getallen tussen a en b, samen met a en b.

In symbolen: [a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} Voorstelling op een getallenas:

[a, b] 0

1

a

R

b

Voor zo’n open, halfopen en gesloten interval noemen we a en b de randpunten van dat interval.

Een bijzonder interval wordt op de volgende manier gevormd: de afstand |x| is kleiner dan een positief getal c als en slechts als x gelegen is tussen −c en c.

In symbolen:

|x| < c

⇔

−c < x < c

⇔

x ∈ ]−c, c[

Voorstelling op een getallenas:

0

−c

1

x

R

c

|x| < c

Analytische meetkunde in een vlak 3 Een orthogonaal assenstelsel (of cartesisch of cartesiaans assenstelsel) bestaat uit twee getallenassen die loodrecht op elkaar staan, de x-as en de y-as.Het snijpunt van de assen noemen we de oorsprong O. De figuur toont hoe elk punt P in het vlak volledig bepaald is door een koppel reële getallen (a, b). Dat koppel noemen we het koppel cartesische coördinaten van P , kortweg de coördinaten van P .

In symbolen: P (a, b)

of

y

P (a, b)

b 1

co(P ) = (a, b)

Hierbij noemen we a de x-coördinaat (of abscis) en b de y-coördinaat (of ordinaat) van P .

O

a

1

3 De vergelijking van een rechte r is

als r niet evenwijdig is met de y-as:

als r evenwijdig is met de y-as: of

r : y = mx + q

r:x=p

we noemen m de rico van de rechte r

de rico van een verticale rechte is onbepaald

voor de hellingshoek α geldt tan α = m

voor de hellingshoek α geldt α = 90◦

y α q O

y

r

r

+m

+1

α x

O

p

x

We kunnen de vergelijking van een rechte r altijd schrijven in de (standaard)vorm r : ax + by = c . xiii

x

3 De rico (voluit richtingscoëfficiënt) van de rechte r door de punten A(x1 , y1 ) en B(x2 , y2 ) is: y2 − y1 (als x2 = ̸ x1 ) m= x2 − x1

y2

Meetkundige betekenis. De rico is de verticale toename gedeeld door de horizontale toename.

y1

y

r B y2 − y1

A x2 − x1

3 De vergelijking van de rechte r met rico m en door het punt A(x1 , y1 ) is: r : y − y1 = m(x − x1 ) rico r1 = rico r2

en

3 Voor twee punten A(x1 , y1 ) en B(x2 , y2 ) en het midden M (k, l) van het lijnstuk [AB] geldt volgens de stelling van Thales: k − x1 |AM | = x2 − x1 |AB|

⇒ ⇒

1 k − x1 = · (x2 − x1 ) 2 1 k = (x1 + x2 ) 2

en analoog voor de y-coördinaat van M , zodat de coördinaten van het midden M van het lijnstuk [AB] gegeven worden door: M

zodat de afstand tussen die twee punten gelijk is aan: »

2

2

(x2 − x1 ) + (y2 − y1 )

y1

⇔

⇔

|P M | = r » (x − a)2 + (y − b)2 = r

M A

x1

x2

k

x

y

B

y2 y1

O

⇔

B

l

In plaats van |AB| noteert men ook wel d(A, B).

P (x, y) ∈ C(M, r)

rico r1 · rico r2 = −1

y2

5

3 De cirkel met middelpunt M (a, b) en straal r noteren we met C(M, r).

Uit de formule voor de afstand tussen twee punten volgt:

⇔

y

O

x + x y + y 1 2 1 2 , 2 2

3 Voor twee punten A(x1 , y1 ) en B(x2 , y2 ) geldt volgens de stelling van Pythagoras: 2 2 2 |AB| = |x2 − x1 | + |y2 − y1 |

|AB| =

r1 ⊥ r2

x

//

⇔

x2

//

3 Voor twee rechten r1 en r2 geldt: r1 // r2

x1

O

|y2 − y1 |

A |x2 − x1 | x1

x2

x

y C(M, r) r b

P

M

(x − a)2 + (y − b)2 = r2

zodat de vergelijking van de cirkel met middelpunt M (a, b) en straal r gegeven wordt door: C(M, r) : (x − a)2 + (y − b)2 = r2

a

x

y

r

|

|

3 De afstand van een punt P (x1 , y1 ) tot een rechte r : ax + by = c is gelijk aan: |ax1 + by1 − c| √ d(P, r) = a2 + b2

O

d(P, r)

y1

5 De

letter d is afkomstig van het woord distance, de Engelse term voor afstand.

xiv

O

P x1

x

3 De vergelijking van een parabool P is

P : y = ax2 + bx + c

Voor wat de vorm van deze meetkundige figuur betreft zijn er twee mogelijkheden:

a>0

a<0

of

dalparabool

bergparabool

P

P

De ligging van de parabool ten opzichte van de x-as wordt bepaald door de oplossingen van de tweedegraadsveelterm ax2 + bx + c = 0. Die vinden we door de discriminant D = b2 − 4ac te berekenen. We onderscheiden:

a>0

a<0

of

dalparabool

bergparabool

P

D>0

x1

x2 x

twee nulwaarden x1,2

√ −b ± D = 2a

x1

x2

P

x

of x1 = x2 P

D=0

x

één nulwaarde x1,2

√ b −b ± D =− = 2a 2a

P x

x1 = x2

of

x P

D<0 geen nulwaarden

P x xv

Driehoeksmeetkunde en goniometrie 3 Voor een driehoek met hoekpunten A, B en C (kortweg ∆ABC) hanteren we de volgende notaties:

a = |BC|

met overstaande hoek

b = |CA|

met overstaande hoek

c = |AB|

met overstaande hoek

C γ

b α=A

a

b

“ β=B “ γ=C

α

β

A

c

B

3 Stelling van Pythagoras.6 Gegeven een driehoek ABC. Dan geldt: ∆ABC is rechthoekig in A

⇔

a2 = b2 + c2

3 Goniometrische getallen van scherpe hoeken. In een rechthoekige driehoek ABC met rechte hoek α zijn de goniometrische getallen van β per definitie: overstaande rechthoekszijde b = schuine zijde a c def aanliggende rechthoekszijde cos β = = schuine zijde a b def overstaande rechthoekszijde tan β = = aanliggende rechthoekszijde c

C

def

sin β =

a

b |

β

|

A

c

B

zodat wegens de stelling van Pythagoras geldt: b2 c2 a2 + = =1 a2 a2 a2

3 Oppervlakte van een driehoek. In een driehoek ABC is de opper1 vlakte gelijk aan basis × hoogte, waaruit we vinden7 2 Opp. ∆ABC =

1 c · b sin α 2

C

b sin α

b α

|

A

|

sin2 β + cos2 β =

c

B

3 Sinusregel. Passen we de vorige formule voor de oppervlakte van een driehoek toe op de andere hoeken β en γ, dan vinden we: 1 1 1 Opp. ∆ABC = c · b sin α = a · c sin β = b · a sin γ 2 2 2 waaruit de zogenaamde sinusregel volgt: a b c = = sin α sin β sin γ

6 Toegeschreven aan Pythagoras van Samos (±570 v.Chr.-±495 v. Chr.), doch al eerder toegepast in Soemerië, Babylonië en het Oude Egypte.

7 Deze redenering gaat enkel op voor driehoeken ABC waarvoor α een scherpe hoek is. Indien α een stompe hoek is, bewijst men deze formule aan de hand van een analoge redenering en met behulp van het verband sin(180◦ − α) = sin α.

xvi

3 Cosinusregel.8 In een driehoek ABC kan a opgevat worden als de schuine zijde van een rechthoekige driehoek met zijden (c − b cos α) en b sin α, waaruit volgt:9 2

a2 = (c − b cos α)2 + (b sin α) 2

2

C

2

2

2

= c − 2bc cos α + b cos α + b sin α

= b2 + c2 − 2bc cos α

Analoog vinden wij soortgelijke formules voor de andere hoeken β en γ, wat leidt tot de zogenaamde cosinusregel:

|

A

b2 = c2 + a2 − 2ca cos β

c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ

|

α

a2 = b2 + c2 − 2bc cos α

a

b sin α

b

B

c c − b cos α

b cos α

3 Goniometrische getallen van willekeurige hoeken. Elke hoek α is voor te stellen op de zogenaamde goniometrische cirkel: de cirkel C(O, 1) met middelpunt de oorsprong O en straal 1. Bij elke hoek α hoort het zogenaamd beeldpunt: het punt Eα op de cirkel C(O, 1).

Per definitie is:

y

def

sin α = de y-coördinaat van Eα

1

C(O, 1)

def

cos α = de x-coördinaat van Eα def sin α tan α = cos α

Eα tan α

sin α

α cos α

In het geval dat α een scherpe hoek is, komen deze definities overeen met de goniometrische getallen van scherpe hoeken.

1

x

x=1 3 Goniometrische getallen van enkele veelvoorkomende scherpe hoeken. We kennen de volgende tabel: α

0◦

sin α

0

cos α

1

tan α

0

30◦ 1 2 √ 3 2 1 √ 3

45◦ √ 2 2 √ 2 2 1

60◦ √ 3 2 1 2 √ 3

90◦ 1 0 |

3 Grondformule van de goniometrie. Voor een hoek α ligt het beeldpunt Eα op de goniometrische cirkel.

Bijgevolg voldoen de coördinaten van Eα aan de vergelijking van die cirkel: Eα ∈ C(O, 1)

⇒

⇒ ⇒

co(Eα ) = (cos α, sin α) voldoet aan de vergelijking van de cirkel C(O, 1) : x2 + y 2 = 1

(cos α)2 + (sin α)2 = 1 sin2 α + cos2 α = 1

Deze formule noemt men de grondformule van de goniometrie.

Beide leden van de grondformule delen door cos2 α levert: 1 + tan2 α =

1 cos2 α

Beide leden van de grondformule delen door sin2 α geeft: cot2 α + 1 =

1 sin2 α

def

waarbij cot α =

cos α . sin α

8 De cosinusregel a2 = b2 + c2 − 2bc cos α wordt opgevat als een uitbreiding van de stelling van Pythagoras a2 = b2 + c2 (in een rechthoekige driehoek) naar een willekeurige driehoek, waarbij de formule a2 = b2 + c2 nu gecorrigeerd wordt met de term −2bc cos α.

9 Deze redenering gaat enkel op voor driehoeken ABC waarvoor α een scherpe hoek is. Indien α een stompe hoek is, bewijst men deze formule aan de hand van een analoge redenering en met behulp van het verband cos(180◦ − α) = − cos α.

xvii

Algebra 3 Een (reële) veelterm (of polynoom) in de variabele x is van de vorm A(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn

waarbij n ∈ N en a0 , a1 , a2 , . . . , an ∈ R

Als an ̸= 0 noemen we n de graad van de veelterm A(x), notatie n = gr A(x).

3 Euclidische deling.10 Gegeven twee veeltermen A(x) en B(x) waarbij B(x) ̸= 0. Dan bestaat er precies één veelterm Q(x) en één veelterm R(x) zodat: A(x) = Q(x) · B(x) + R(x)

en waarvoor gr R(x) < gr B(x) of R(x) = 0

We noemen Q(x) het quotiënt en R(x) de rest. Als R(x) = 0 dan zeggen we dat A(x) deelbaar is door B(x).

3 Reststelling. De rest bij deling van een veelterm A(x) door x − a is gelijk aan A(a).

Voorbeeld. Delen we A(x) = x4 − 3x3 + 7x2 − x − 18 door x − 3, dan is de rest gelijk aan A(3) = 34 − 3 · 33 + 7 · 32 − 3 − 18 = 42 Berekenen we A(2), dan vinden we A(2) = 24 − 3 · 23 + 7 · 22 − 2 − 18 = 0 waaruit blijkt dat de rest bij deling van A(x) door x − 2 gelijk is aan 0. Dus A(x) is deelbaar door x − 2. De redenering die we net gemaakt hebben noemen we het

3 Kenmerk van deelbaarheid door x − a.

Een veelterm A(x) is deelbaar door x − a als en slechts als A(a) = 0.

3 Staartdeling. Te gebruiken bij deling van twee veeltermen.

Voorbeeld. De deling van A(x) = 4x5 − 2x4 − 3x2 − 2x + 2 door B(x) = 2x3 + x − 1 door middel van staartdeling verloopt als volgt: 4x5 ±4x5

−2x4 −2x4 ∓2x4

−3x2 ±2x3 −2x3 −2x3 ∓2x3

+2x +2

∓2x2

−x2 ∓x2

+2x +2 ±x

2x3 + x − 1 2x2 − x − 1

+x +2 ∓x ±1

+2x +1

waaruit 4x5 − 2x4 − 3x2 + 2x + 2 = (2x2 − x − 1) · (2x3 + x − 1) + 2x + 1 | {z } | {z } | {z } | {z } A(x)

Q(x)

B(x)

R(x)

3 Schema van Horner. Te gebruiken bij deling van een veelterm door x − a.

Voorbeeld. De deling van A(x) = x5 − 2x4 − 3x3 − 2x + 31 door B(x) = x − 2 door middel van het schema van Horner verloopt als volgt: 2

1 ↓

1

−2 2

−3 0 −2 31 0 −6 −12 −28

0 −3

−6

−14

3

waaruit x5 − 2x4 − 3x3 − 2x + 31 = (x4 − 3x2 − 6x − 14) · (x − 2) + |{z} 3 | {z } | {z } | {z } A(x)

10 Genoemd

naar Euclides van Alexandrië

Q(x)

±300 v.Chr..

xviii

B(x)

R(x)

Functies, limieten en continuı̈teit 3 Een (reële) functie f is een verband dat aan elk reëel getal x hoogstens één reëel getal y associeert. Dit getal y hangt (meestal) af van het getal x. Daarom noteren we y = f (x) en noemen we f (x) het functievoorschrift van de functie f . Een functie f noteert men soms ook als volgt: f :R→R

x 7→ f (x)

Een functie f wordt geı̈dentificeerd met zijn (functie)voorschrift f (x). De drie voorstellingswijzen van een functie f en hun interactie kunnen als volgt worden voorgesteld:

tekenen of schetsen invullen functievoorschrift

tabel van enkele functiewaarden x

f (x) patroon zoeken

. . . −1 0

f (x) . . .

1

grafiek y

...

graf f

1

... aflezen

3 Het domein van een functie f is de verzameling van alle xwaarden waarbij er een y-waarde hoort. We noteren deze verzameling met dom f .

O

x

1

y graf f

In symbolen: def

dom f = {x ∈ R | f (x) bestaat} Meetkundige betekenis. Het domein van f is de loodrechte projectie van de grafiek van f op de x-as (zie figuur).

O

3 Het beeld (of bereik) van een functie f is de verzameling van alle y-waarden die bereikt worden door f . We noteren deze verzameling met bld f (of ber f of im f ).

dom f

x

y graf f

In symbolen:

bld f

def

bld f = {f (x) | x ∈ dom f } Meetkundige betekenis. Het beeld van f is de loodrechte projectie van de grafiek van f op de y-as (zie figuur).

3 De nulwaarden van een functie f zijn alle x-waarden waarvoor f (x) = 0. De verzameling van alle nulwaarden noemen we de kern van f , we noteren deze verzameling met ker f .

x

O y

graf f

In symbolen: def

ker f = {x ∈ R | f (x) = 0} Elke nulwaarde van f behoort tot het domein van f , want de schrijfwijze f (x) = 0 betekent voluit f (x) bestaat en is gelijk aan 0.

Meetkundige betekenis. De nulwaarden van f zijn de xwaarden van de snijpunten van de grafiek van f met de x-as (zie figuur).

x

O nulwaarden van f

Bedoelen we een snijpunt van de grafiek van f met de x-as, dan hanteren we de term nulpunt. xix

3 De tekentabel van f heeft dezelfde vorm als een tabel van enkele functiewaarden, maar waarbij men

y

▷ in de eerste rij enkel x-waarden aanduidt die een nulwaarde of een randpunt van het domein zijn en

graf f

▷ in de tweede rij het teken van f (x) vermeldt, ook voor elk interval tussen twee x-waarden. Is f (x) er gelijk aan nul, dan plaatsen we 0. Dat f (x) niet bestaat voor een interval, duiden we aan met een gearceerde zone ///.

Voor het niet bestaan in één enkele x-waarde hanteren we liever één verticale |.

a

O

x f (x)

a

b

/// +

+

c −

0

|

−

d

e

0

− 0

c

b

Voor de functie f die hoort bij de nevenstaande grafiek is de tekentabel gelijk aan:

e

d

z

x

z |

+

///

Meetkundige betekenis. De tekentabel van f geeft aan waar de grafiek van f boven of onder de x-as ligt (zie bovenstaande figuur).

3 De tabel stijgen/dalen (of verloop) van f heeft dezelfde vorm als een tabel van enkele functiewaarden, maar waarbij men ▷ in de eerste rij enkel x-waarden aanduidt die een (lokaal) maximum of minimum11 , of een randpunt van het domein zijn en ▷ in de tweede rij vermeldt of de grafiek van de functie stijgend of dalend11 is, ook voor elk interval tussen twee x-waarden. Dat duiden we aan met de symbolen ↗ en ↘ . Bereikt de grafiek er een lokaal maximum of minimum, dan duiden we dat aan met max of min. Dat f (x) niet bestaat voor een interval, duiden we weerom aan met een gearceerde zone ///. Voor het niet bestaan in één enkele x-waarde schrijven we één verticale |.

y graf f

O

a i

c

j

d

k

z

x

Voor de functie f die hoort bij nevenstaande grafiek is de tabel stijgen/dalen gelijk aan: x f (x)

a ///

i

c

min ↗ max

↘

|

d ↗ max

j

k

↘ min ↗ max

z ↘

|

///

3 Een functie f is even als ∀x ∈ dom f : f (−x) = f (x) Meetkundige betekenis. Bij een even functie is de y-as een symmetrie-as: de grafiek van f blijft na het spiegelen om de y-as ongewijzigd.

Men zegt ook wel: de grafiek is spiegelsymmetrisch ten opzichte van de y-as.

3 Een functie f is oneven als12 ∀x ∈ dom f : f (−x) = −f (x) Meetkundige betekenis. Bij een oneven functie is de oorsprong een symmetrie-middelpunt: de grafiek van f blijft na het puntspiegelen om de oorsprong ongewijzigd.

Men zegt ook wel: de grafiek is puntsymmetrisch ten opzichte van de oorsprong.

11 Over

de precieze definitie van stijgend/dalend en maximum/minimum van een functie bestaat nogal wat verwarring: (1) er moet een onderscheid gemaakt worden tussen stijgend/dalend over een interval en stijgend/dalend in een x-waarde en (2) men verwoordt de definitie van relatief maximum/minimum (beter) niet in termen van stijgend/dalend over een interval of stijgend/dalend in een xwaarde. Formeel, zij f een functie, I ⊆ dom f met I geen singleton en c ∈ dom f . De functie f is stijgend over interval I indien ∀a, b ∈ I : a < b ⇒ f (a) < f (b). De functie f is stijgend in c als f stijgend is over een omgeving van c, i.e. indien er een R ∈ R+ 0 bestaat zodat f stijgend is over interval ]c − R, c + R[. De functie f bereikt een relatief maximum in c indien er een R ∈ R+ bestaat waarvoor 0 geldt dat ∀x ∈ ]c − R, c + R[ ∩ dom f : f (x) < f (c). Analoog voor dalend over een interval, dalend in een x-waarde en relatief minimum.

xx

3 We kunnen de grafiek van een functie f verschuiven, uitrekken en spiegelen door de volgende transformaties uit te voeren.

. f (x)

. f (x)

verschuif volgens x-as met k naar rechts:

verschuif volgens y-as met k naar boven:

vervang x door x − k

vervang y door y + k

f (x − k)

f (x) + k

⊲ f (x)

⊲ f (x)

rek uit volgens x-as met factor k > 0: vervang x door f

1 x k

rek uit volgens y-as met factor k > 0:

1 x k

vervang y door k y

k f (x)

. f (x)

. f (x)

spiegel om de x-as:

spiegel om de y-as:

vervang y door −y

vervang x door −x

−f (x)

f (−x)

y

y

y = f (x)

y = f (x) + 2

y = f (x) y = f (x − 1)

x

O

y

x

O

y = f (2x) y = f (x)

y

y = f (x)

y = 0, 5 f (x)

O

x

O

xxi

x

3 In het vijfde jaar kwamen de volgende elementaire functies aan bod. Verwacht wordt dat je de grafieken van deze functies ten allen tijde onmiddellijk voor de geest kan halen.

parabool

positieve vierkantswortel-functie

y

y 2

f (x) = x 3

3 f (x) =

−3

−2

2

2

1

1

−1

1

2

x

3

−3

kubische parabool

−2

−1

1

2

√

x

x

3

derdemachtswortel-functie

y

y 3

f (x) = x 3

3 f (x) =

−3

−2

−1

2

2

1

1

1

2

3

x

−1

−3

2

3

x

−1

−3

−3

3

−1

1

−2

y

−2

−1

−2

hyperbool

−3

−2

√ 3 x

absolute waarde-functie y

1 f (x) = x

2

2

1

1

1

2

f (x) = |x|

3

3

x

−1

−3

−2

−1

1 −1

−2

−2

−3

−3

xxii

2

3

x

lineaire groei, groeiterm a > 0

lineaire afname, groeiterm a < 0

y

y

+1 +a

+a

+1 x

0

x

0

y = ax

y = ax

exponentiële groei, groeifactor a > 1

exponentiële afname, groeifactor 0 < a < 1

y

·a 1 y = ax

y

+1

y = ax

·a 1

+1

x

H.A. y = 0

x

H.A. y = 0

logaritmische groei, grondtal a > 1

logaritmische afname, grondtal 0 < a < 1

y

y a

y = log x

1

x

x

1

V.A. x = 0

V.A. x = 0 xxiii

y = a log x

boogsinusfunctie

sinusfunctie

y y π 2

f (x)=Arcsin x

f (x) = sin x

1 π

π 2

2π

3π 2

x

−1

−1

1

x

− π2

cosinusfunctie

boogcosinusfunctie y

y

f (x)=Arccos x

π

f (x) = cos x 1 π

π 2

2π

3π 2

π 2

x

−1 −1

tangensfunctie

1

x

boogtangensfunctie y

y f (x) = tan x 2

H.A. y =

π 2

π 2

1 f (x)=Arctan x − π2

π 2

π

x

3π 2

−1

−1

1 − π2

−2 V.A.

−2

V.A.

V.A.

xxiv

2

H.A. y = − π2

x

3 Zij f een functie en a, L ∈ R. Zeggen dat de limiet van f in a is gelijk aan L, in symbolen lim f (x) = L

x→a

betekent:

als x ≈ a (met x ̸= a) dan zal f (x) ≈ L

hetgeen we we interpreteren als: voor elke rij die convergeert naar a (met elke term ̸= a) geldt dat de bijbehorende rij van functiewaarden convergeert naar L.13 Vervangen we hierbij het onderdeel x ̸= a door x < a resp. x > a dan verkrijgen we de intuı̈tieve definitie van linkerlimiet resp. rechterlimiet.

Voor a = ±∞ en/of L = ±∞ hanteren we een soortgelijke definitie, en dienen we bij de interpretatie waar nodig de term(en) convergeert te vervangen door divergeert.14 Bij elk geval zeggen we dat de limiet van f in a bestaat.

Limieten van functies geven informatie weer over de grafieken van die functies. Kennen we de grafiek van een functie, dan kunnen we daaruit limieten aflezen. Bij zo’n oefeningen is een goed begrip nodig van de interpretatie van de intuı̈tieve definitie van limiet, meer bepaald: (1) we beschouwen enkel rijen (met elke term ̸= a) waarvoor de functiewaarde van elke term bestaat, en (2) er moet minstens één zo’n rij bestaan. Voor linker- en rechterlimiet dienen we opnieuw het onderdeel ̸= a te vervangen door < a resp. > a. We illustreren dit aan de hand van de onderstaande grafiek van een functie f .

y

a

lim f (x)

x→ a <

4 3 2 f

1

−2

−1

1

2

3

4

5

x

>

lim f (x)

x→a

−3

2

2

2

−2

3

4

/

−1

3

3

3

0

2

/

2

1

/

2

2

2

−∞

+∞

/

+∞

+∞

+∞

4

+∞

/

+∞

5

/

/

/

3

−3

lim f (x)

x→ a

lim f (x) = −∞

x→−∞

lim f (x) = /

x→+∞

Bij het aflezen van limieten uit de grafiek van een functie kunnen de uitkomsten geargumenteerd worden door middel van de interpretatie van de intuı̈tieve definitie van (eenzijdige) limiet. Zo is in bovenstaand voorbeeld: lim f (x) = 2

want

voor elke rij die convergeert naar −3 (met elke term ̸= −3) geldt dat de bijbehorende rij van functiewaarden convergeert naar 2;

lim f (x) = 3

want

voor elke rij die convergeert naar −2 (met elke term < −2) geldt dat de bijbehorende rij van functiewaarden convergeert naar 3;

want

er bestaat een rij die convergeert naar −2 waarvoor de rij van functiewaarden convergeert naar 3, en bestaat een rij die convergeert naar −2 waarvoor de rij van functiewaarden convergeert naar 4;

lim f (x) = 2

want

voor elke rij die convergeert naar 0 (met elke term ̸= 0 en waarbij de functiewaarde van elke term bestaat) geldt dat de bijbehorende rij van functiewaarden convergeert naar 2;

lim f (x) = +∞

want

voor elke rij die convergeert naar 3 (met elke term ̸= 3) geldt dat de bijbehorende rij van functiewaarden divergeert naar +∞;

lim f (x) = /

want

er bestaat geen rij die convergeert naar 5 met elke term ̸= 5 en waarbij de functiewaarde van elke term bestaat.

x→−3

x → −2 <

lim f (x) = /

x→−2

x→0

x→3

x→5

13 Daarbij nemen we stilzwijgend aan dat zo’n rij van x-waarden die naar a convergeert enkel termen u bevat waarvoor f (u ) bestaat. i i Deze interpretatie is een afkorting van de formele betekenis die bekend staat als het rijenkenmerk, en gaat als volgt. Voor a, L ∈ R betekent de uitspraak als x ≈ a (met x ̸= a) dan zal f (x) ≈ L formeel: (1) er bestaat minstens één rij (un ) die convergeert naar a waarbij elke term ui ∈ dom f en ui ̸= a zodanig dat de bijbehorende rij van functiewaarden (f (un )) convergeert naar L, en (2) voor elke andere rij (vn ) die convergeert naar a en waarbij elke term vi ∈ dom f en vi ̸= a, convergeert de rij van functiewaarden (f (vn )) eveneens naar L. Uit deze formele betekenis blijkt dat de schrijfwijze limx→a f (x) enkel zin heeft als aan de voorwaarde (1) van hierboven is voldaan, hetgeen equivalent is met ∀R ∈ R+ 0 : #(]a − R, a + R[ ∩ dom f ) = +∞. In dat geval noemt men a een ophopingspunt van dom f . Is dat niet het geval, dan is de limiet in a niet gedefinieerd. Ten slotte vermelden we dat de formele betekenis van hierboven equivalent blijkt te zijn met de (ϵ, δ)-definitie van Weierstrass uit 1872.

14 Wanneer L = ±∞ dan noemen we de limiet van f in a een oneindige limiet, ook wel oneigenlijke limiet genoemd.

xxv

3 Zij f een functie en a ∈ R. Zeggen dat f is continu in a

1 x

betekent:

als x ≈ a dan zal f (x) ≈ f (a)

hetgeen we interpreteren als: voor elke rij die convergeert naar a geldt dat de bijbehorende rij van functiewaarden convergeert naar f (a).15 Voegen we bij het onderdeel x ≈ a toe dat x ≤ a resp. x ≥ a dan verkrijgen we de intuı̈tieve definitie van linkercontinuı̈teit resp. rechtercontinuı̈teit. Is f niet continu in a, dan zeggen we ook wel: f is discontinu in a.

Kennen we de grafiek van een functie, dan kunnen we daaruit continuı̈teit aflezen. Opnieuw is daarvoor een goed begrip nodig van de interpretatie van de intuı̈tieve definitie van continuı̈teit, meer bepaald: (1) we beschouwen enkel rijen waarvoor de functiewaarde van elke term bestaat, en (2) er moet minstens één zo’n rij bestaan. Voor linker- en rechtercontinuı̈teit voegen we hier opnieuw aan toe dat bij zo’n rij elke term ≤ a resp. ≥ a is. We illustreren dit aan de hand van de onderstaande grafiek van een functie f .

y 4 3 2 f

−6

−5

1

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

x

f is continu in 0

want

voor elke rij die convergeert naar 0 geldt dat de bijbehorende rij van functiewaarden convergeert naar f (0) = 3;

f is discontinu in −3

want

er bestaat een rij die convergeert naar −3 waarvoor de bijbehorende rij van functiewaarden niet convergeert naar f (−3) = 1;

f is discontinu in −1

want

er bestaat een rij die convergeert naar −1 waarvoor de bijbehorende rij van functiewaarden niet convergeert naar f (−1) = 4;

f is niet linkscontinu in −1

want

er bestaat een rij die convergeert naar −1 (met elke term ≤ −1) waarvoor de bijbehorende rij van functiewaarden niet convergeert naar f (−1) = 4;

f is rechtscontinu in −1

want

voor elke rij die convergeert naar −1 (met elke term ≥ −1) geldt dat de bijbehorende rij van functiewaarden convergeert naar f (−1) = 4;

f is linkscontinu in 2

want

voor elke rij die convergeert naar 2 (met elke term ≤ 2) geldt dat de bijbehorende rij van functiewaarden convergeert naar f (2) = 2;

f is continu in 2

want

voor elke rij die convergeert naar 2 geldt dat de bijbehorende rij van functiewaarden convergeert naar f (2) = 2;

f is discontinu in −2

want

f (−2) bestaat niet;

f is continu in 6

want

voor elke rij die convergeert naar 6 geldt dat de bijbehorende rij van functiewaarden convergeert naar f (6) = 1.

15 Daarbij nemen we stilzwijgend aan dat zo’n rij van x-waarden die naar a convergeert enkel termen u bevat waarvoor f (u ) bestaat. i i Net zoals bij de intuı̈tieve definitie van limiet is ook deze interpretatie is een afkorting van een formele betekenis die bekend staat als het rijenkenmerk voor continuı̈teit, en gaat als volgt. Voor a ∈ R betekent de uitspraak als x ≈ a dan zal f (x) ≈ f (a) formeel: (1) er bestaat minstens één rij (un ) die convergeert naar a waarbij elke term ui ∈ dom f zodanig dat de bijbehorende rij van functiewaarden (f (un )) convergeert naar f (a), en (2) voor elke andere rij (vn ) die convergeert naar a en waarbij elke term vi ∈ dom f , convergeert de rij van functiewaarden (f (vn )) eveneens naar f (a). Uit deze formele betekenis blijkt dat de uitspraak f is continu in a enkel zin heeft als f (a) bestaat, i.e. a ∈ dom f . Op die manier is automatisch aan voorwaarde (1) voldaan, daar men bij a ∈ dom f steeds de constante rij (un ) = a, a, a, . . . kan beschouwen, waarvan de rij van bijbehorende functiewaarden (f (un )) = f (a), f (a), f (a), . . . vanzelfsprekend convergeert naar f (a). Is a ̸∈ dom f dan is f niet continu in a. Ook hier blijkt de formele betekenis van hierboven equivalent met de zogenaamde (ϵ, δ)-definitie van Weierstrass uit 1872.

xxvi

Het verband tussen (eenzijdige) limiet van f in a en (eenzijdige) continuı̈teit van f in a wordt als volgt uitgedrukt (waarbij respectievelijk f bestaat in een linker- of rechtergeperforeerde omgeving van a, f bestaat in een linkergeperforeerde omgeving van a en f bestaat in een rechtergeperforeerde omgeving van a): 1 x

⇔

x→a

⇔

x→ a

1 f is rechtscontinu in a ⇔ x

x→ a

f is continu in a

f is linkscontinu in a

1 x

lim f (x) en f (a) bestaan en zijn gelijk lim f (x) en f (a) bestaan en zijn gelijk <

lim f (x) en f (a) bestaan en zijn gelijk >

Toegepast op het bovenstaande voorbeeld verkrijgen we:

y 4 3 2 f

−6

−5

1

−4

−3

−2

−1

1

2

3

f is continu in 0

want

f is discontinu in −3

want

f is discontinu in −1

want

f is niet linkscontinu in −1

want

f is rechtscontinu in −1

want

f is continu in 2

want

f is discontinu in −2

want

4

5

6

x

lim f (x) = 3 = f (0)

x→0

lim f (x) = 2 ̸= f (−3)

x→−3

lim f (x) = /

x→−1

lim f (x) = 3 ̸= f (−1)

x → −1 >

lim f (x) = 4 = f (−1)

x → −1 >

lim f (x) = 2 = f (2)

x→2

f (−2) = /

Hoewel de limiet van f in 6 niet bestaat, is f toch continu in 6. Omdat f niet bestaat in een geperforeerde omgeving van 6, kan het verband tussen limiet en continuı̈teit niet worden toegepast. Analoog is f linkscontinu in 2, hoewel de linkerlimiet van f in 2 niet bestaat.

Wil een functie f continu zijn in een waarde a, dan moet f (a) bestaan, i.e. a ∈ dom f . Functies die in elke waarde van hun domein continu zijn, behoren tot een klasse van functies die zich in zekere zin goed gedragen, waarmee we bedoelen dat de functiewaarden niet abrupt veranderen. Concreet zeggen we: f is continu als f continu is in elke a ∈ dom f .

Tot slot vermelden we dat (eindige samenstellingen van) veelterm-, rationale, irrationale, exponentiële, logaritmische, goniometrische en cyclometrische functies allemaal continu zijn. Het belang hiervan blijkt uit de volgende eigenschap omtrent de limiet van een samenstelling: voor a ∈ R en f een functie is

lim f (□) = f lim □ x→a

x→a

waarbij □ een willekeurige functie in x voorstelt zodat lim □ bestaat in R en zodat f continu is in lim □. x→a

xxvii

x→a

Referentielijst [1] M. Hazewinkel, Mathematical knowledge management is needed, Proceedings of Computing Research Repository (2004). Online beschikbaar op http://arxiv.org/ftp/cs/papers/0410/0410055.pdf [2] S. Hawking, God created the integers: The mathematical breakthroughs that changed history, Penguin Books, 2005.

[3] K. Jänich, Linear Algebra, Springer-Verlag, 1994.

[4] I. Steward, Concepts of modern mathematics, Dover Publication, 1975.

[5] A.J. Wiles, Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem, Annals of Mathematics, 141, p. 443-551, 1995.

[6] Website M. Davidson, J. Dethridge, H. Kociemba, T. Rokicki, God’s Number is 20, . http://www.cube20.org/ [7] Website K. De Naeghel, http://www.koendenaeghel.be/

.

[8] Website G. Vernaeve, https://cage.ugent.be/∼gvernaev/wiskunde.nl.html

xxviii