Deel XVII Vectorruimten

WiskundeInzicht

eencursuswiskundevoor studierichtingenmetcomponentwiskunde derdegraadalgemeensecundaironderwijs geschrevendoor

KoenDeNaeghel

DeelXVIIVectorruimten

CREATIVECOMMONS

Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen3.0 (CCBY-NC-SA)

Ditisdevereenvoudigde(human-readable)versievandevolledigelicentie. Devolledigelicentieisbeschikbaaropdewebpagina http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode

Degebruikermag:

hetwerkkopieren,verspreidenendoorgeven Remixen-afgeleidewerkenmaken

Onderdevolgendevoorwaarden:

Naamsvermelding -Degebruikerdientbijhetwerkdedoordemakerofdelicentiegeveraangegevennaamte vermelden(maarnietzodanigdatdeindrukgewektwordtdatzijdaarmeeinstemmenmetjewerkofjegebruikvan hetwerk).

Niet-commercieel -Degebruikermaghetwerknietvoorcommerci¨eledoeleindengebruiken.

Gelijkdelen -Indiendegebruikerhetwerkbewerktkanhetdaaruitontstanewerkuitsluitendkrachtensdezelfde licentiealsdeonderhavigelicentieofeengelijksoortigelicentiewordenverspreid.

Metinachtnemingvan:

Afstandnamevanrechten -Degebruikermagafstanddoenvaneenofmeerderevandezevoorwaardenmet voorafgaandetoestemmingvanderechthebbende.

Publiekdomein -Indienhetwerkofeenvandeelementeninhetwerkzichinhetpubliekedomeinondertoepasselijke wetgevingbevinden,danisdiestatusopgeenenkelewijzebe¨ınvloeddoordelicentie.

Overigerechten -Ondergeenbedingwordenvolgenderechtendoordelicentie-overeenkomstinhetgedranggebracht:

• Hetvoorgaandelaatdewettelijkebeperkingenopdeintellectueleeigendomsrechtenonverlet.

• Demorelerechtenvandeauteur.

• Derechtenvananderen,ofwelophetwerkzelfofwelopdewijzewaarophetwerkwordtgebruikt,zoalshet portretrechtofhetrechtopprivacy.

Letop -Bijhergebruikofverspreidingdientdegebruikerdelicentievoorwaardenvanditwerkkenbaartemakenaan derdendoormiddelvaneenlinknaar http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/

DeelXVII Algebra-Vectorruimten

R3

Span{(2, 3, 1), (0, 1, 5)}

Span{(2, 3, 1)} Span{(0, 1, 5)} {(0, 0, 0)}

1Voorkenniseninleidendebegrippen1

1.1Verzamelingen.......................................................1

1.2Afbeeldingen........................................................3 1.3Matricesenlineairestelsels................................................5

1.4Vrijevectoreninhetvlak.................................................6 Oefeningen............................................................7

2Vectorruimten 8

2.1Definitievanvectorruimte.................................................8

2.2Voorbeeldenvanvectorruimten..............................................10

Voorbeeld1-Devectorruimte R, V2 , +.........................................10

Voorbeeld2-Devectorruimte R, V3 , +.........................................10

Voorbeeld3-Devectorruimte R, R2 , +.........................................11

Voorbeeld4-Devectorruimte R, Rn , +.........................................12

Voorbeeld5-Devectorruimte R, Rm×n , +.......................................13

2.3Basiseigenschappenvanvectorruimten..........................................14

2.4Voorbeeldenvanvectorruimten(vervolg)........................................16

Voorbeeld6-Detrivialevectorruimte R, {0V }, +...................................16

Voorbeeld7-Devectorruimte R, RN , +.........................................16

Voorbeeld8-Devectorruimte R, R[X], +........................................17 Voorbeeld9-Devectorruimte R, RR , +.........................................17 Oefeningen............................................................18

Voorkenniseninleidendebegrippen

Inditeerstehoofdstukdefinierenweenkelebelangrijkebegrippenenleggenwedenotatieenterminologievastdiein hetvervolgvanditdeelvoortdurendzalgebruiktworden.Weactiverenookwatvoorkennisinverbandmetmatrices envectoreninhetvlak.Dithoofdstukkanalszelfstudieaandeleerlingwordenovergelaten.

1.1Verzamelingen

Indezeparagraafoverlopenwedebelangrijkstekenmerkenvaneenvandemeestfundamentelebegrippeninde wiskunde: verzamelingen.Sommigeaspectenkwamenookalinjeparatekennisbijaanvangvijfdejaaraanbod.

✸ Afspraak. Eenverzamelingkanomschrevenwordenalseencollectieobjecten,diewehaar elementen noemen.Eenverzamelingheeftgeenordeningenelkelementkanhoogstens´e´enkeervoorkomen.Wekunneneen verzamelingbeschrijvendoorhaarelementenineenwillekeurigevolgordeoptesommen.Hetgeheelvanalle elementenwordttussenaccoladesgeplaatst.Westelleneenverzamelingschematischvooraandehandvaneen Venndiagram 1

Voorbeeld. A = {−2, 1, 3} iseenverzameling.Omdateenverzamelinggeenordeningheeft,zalbijvoorbeeld {3, 2, 1} dezelfdeverzameling A zijn.Deverzameling A kanalsvolgtwordenvoorgesteld: A 2 1 3

✸ Notatie. Beschouweenverzameling A.Alseenelement a tot A behoort,danschrijvenwe a ∈ A,watwelezen als a iseenelementvan A.Inhetanderegevalschrijvenwe a/ ∈ A.Bevat A eeneindigaantalelementen,dan noterenwedataantalmet#A.

✸ Definitie. Deuniekeverzamelingzonderelementennoemenwedelegeverzameling,genoteerdmet {} ofmet ∅

✸ Definitie. Deverzamelingvandenatuurlijkegetallen is {0, 1, 2, 3,...} enwordtgenoteerdmet N.Wemaken deafspraakdat0eenelementisvan N enwenoterendeverzameling {1, 2, 3,...} als N0.Deverzamelingvande gehelegetallen is {0, 1, 1, 2, 2,...},genoteerdmet Z. Insymbolen:

N = {0, 1, 2, 3,...}

N0 = {1, 2, 3,...}

Z = {0, 1, 1, 2, 2, 3, 3,...}

✸ Afspraak. Eenanderemogelijkheidomeenverzamelingtebeschrijvenishetgevenvaneenofmeerdere eigenschappenwaaraandeelementenvandieverzamelingmoetenvoldoen.Deverticalestreep | wordtgelezen als waarvoorgeldt Voorbeeld. Deverzameling {a ∈ Z | a2 =4} isdezelfdeals {2, 2}

✸ Definitie. Zij A en B verzamelingen.Danzeggenwedat A eendeelverzameling isvan B,genoteerdmet A ⊆ B, indienelkelementvan A ookeenelementisvan B. Insymbolen:

A ⊆ B ⇔∀x ∈ A : x ∈ B

Indatgevalzeggenwe:deverzameling B omvat deverzameling A.Isdatnietzo,danschrijvenwe A ̸⊆ B

DeelVectorruimtenisgebaseerdop[6](mettoestemmingvanbeideauteurs)enandereofeerdereuitgavenvan WiskundeInzicht 1 GenoemdnaarJohnVenn 1880.GelijkaardigediagrammenwerdeneerdergebruiktdoorLeonhardEuler 18eeeuw,Gottfried WillhelmLeibniz 17eeeuwenRamonLlull 13eeeuw.

Voorbeeld. Elknatuurlijkgetaliseengeheelgetal,dusdeverzamelingvanallenatuurlijkegetalleniseen deelverzamelingvandeverzamelingvanallegehelegetallen.Andersgezegd:deverzamelingvandegehele getallenomvatdeverzamelingvandenatuurlijkegetallen.Insymbolen: N ⊆ Z.

Schematisch: N 0 1 2

Z 1 2

✸ Opmerking. Beschouweenverzameling A.Omdatdelegeverzamelinggeenenkelelementbevat,isvoldaan aandeuitspraak ∀x ∈∅ : x ∈ A.Dus ∅⊆ A,metanderewoorden:elkeverzamelingomvatdelegeverzameling.

Hierbovenhebbenwealaangegevendat {−2, 1, 3} en {3, 2, 1} dezelfdeverzamelingvoorstellen.Devolgendedefinitie geeftbetekenisaanhetbegripgelijkheidvanverzamelingen.Daarnaastkunnenwemetdebewerkingendoorsnede, unieenverschilnieuweverzamelingenmaken.

✸ Definitie. Tweeverzamelingen A en B zijngelijk als A eendeelverzamelingisvan B enals B eendeelverzameling isvan A.Weschrijvendan A = B.Isdatnietzo,danschrijvenwe A = B

✸ Definitie. Zij A en B verzamelingen.Dedoorsnedevan A en B isdeverzamelingvanalleelementendiein A enin B bevatzijn.Wenoterendieverzamelingmet A ∩ B.

Insymbolen:

A ∩ B = {x | x ∈ A en x ∈ B}

Schematisch: A ∩ B

A B

✸ Definitie. Deunievan A en B,genoteerdmet A ∪ B,isdeverzamelingvanalleelementendiein A ofin B bevatzijn.

Insymbolen:

A ∪ B = {x | x ∈ A of x ∈ B}

Schematisch: A ∪ B

A B

✸ Definitie. Hetverschilvan A met B isdeverzamelingvanalleelementendieweltot A maarniettot B behoren. Dieverzamelingwordtmet A \ B genoteerd.

Insymbolen:

A\B = {x | x ∈ A en x/ ∈ B}

A B

Opmerking. Dedoorsnedeendeunievantweeverzamelingenkanveralgemeendwordentotdedoorsnedeen deunievaneeneindigaantalverzamelingen:

A1 ∩ A2 ∩···∩ An = {x |∀i ∈{1, 2,...,n} : x ∈ Ai}

A1 ∪ A2 ∪···∪ An = {x |∃i ∈{1, 2,...,n} : x ∈ Ai}

Eenanderebewerkingdieweinditdeelzullennodighebben,ishetcartesischproductvanverzamelingen.

✸ Definitie. Hetcartesischproductvan A met B isdeverzamelingvanallekoppels(a,b)met a ∈ A en b ∈ B Wenoterendieverzamelingmet A × B.Insymbolen:

A × B = {(a,b) | a ∈ A en b ∈ B}

Voorbeeld. Hetcartesischproductvan A = {1, 2, 3} met B = {α,β} is

A × B = {(1,α), (2,α), (3,α), (1,β), (2,β), (3,β)}

✸ Opmerking. Hetcartesischproductvantweeverzamelingenkanveralgemeendwordentothetcartesischproduct vaneeneindigaantalverzamelingen A1,A2,...,An alsdeverzamelingvanallegeordende n-tallen(a1,a2,...,an) waarbij ai ∈ Ai: A1 × A2 ×···× An = {(a1,a2,...,an) | a1 ∈ A1 en a2 ∈ A2 en en an ∈ An} = {(a1,a2,...,an) |∀i ∈{1, 2,...,n} : ai ∈ Ai}.

Indezecontextishetgebruikelijkomindebeschrijvingvandeverzamelingdespecificatie ∀i ∈{1, 2,...,n} weg telaten.Wenoterendusook:

A1 × A2 ×···× An = {(a1,a2,...,an) | ai ∈ Ai}

Voorbeeld. Wekunnenookhetcartesischproductnemenvaneenverzamelingmetzichzelf.Zois R × R = {(x,y) | x,y ∈ R}.Wenoterendikwijls R2 = R × R.Meeralgemeen,is n ∈ N0 danisdeverzamelingvanalle n-tallenreelegetallengelijkaan Rn = {(a1,a2,...,an) | ai ∈ R}

1.2Afbeeldingen

Wenemenhetbegripreelefunctiealsaanknopingspuntomtotdedefinitievaneenafbeeldingtekomen.Weherhalen daaromeerstenkelebegrippenuitDeelPrecalculus1.Demoderne,formeledefinitievaneenfunctiehebbenwete dankenaanDedekind.2

Eenreelefunctie f iseenverbanddataanelkreeelgetal x hoogstens´e´enreeelgetal y associeert.Meestalisdatgetal y afhankelijkvan x,hetgeenweuitdrukkenmet y = f (x).Eenreelefunctiewordtdangenoteerdals f : R → R : x → f (x)ofnog: f : R → R x → f (x).

Hetdomeinvaneenre¨elefunctie f isdeverzamelingvanalle x-waardenwaarbijer een y-waardehoortenhetbeeld(ofhetbereik)van f isdeverzamelingvanalle y-waardendiebereiktwordendoor f

Degelijkheidvantweereelefuncties f en g wordtalsvolgtgedefinieerd: f = g ⇔ dom f =dom g en ∀x ∈ dom f : f (x)= g(x)

2 Hetbegripfunctiezoalswijdiekennen,werdgesuggereerddoorNikolaiIvanovichLobachevsky 1834enPeterGustavLejeune Dirichlet 1837[7],zie[12,p.34]en[16].EenalgemeneversievandezedefinitieverscheenineenpublicatievandegroepNicolas Bourbaki 1939[3].JeanDieudonn´e,dieeenvandeoprichterswasvandegroepBourbaki,schreefdealgemene,modernedefinitievan hetbegripfunctietoeaanDedekind[4],waarvanalin1878eeneersteversievandezepublicatiebekendwas.

JuliusWilhelmRichard Dedekind (1805-1859)

verzamelingen,dankunnenweopdezelfdemaniereenfunctie f van X naar Y

dataanelkelement x ∈ X hoogstens´e´en element y ∈ Y associeert.

Schematischevoorstelling: X dom f

f

Y Im f

Een afbeelding van X naar Y ,genoteerdals f : X → Y ,iseenfunctiewaarvoordom f = X.Metanderewoorden, eenafbeeldingvan X naar Y iseenverbanddataanelkelement x ∈ X precies´e´en element y ∈ Y associeert.

Schematischevoorstelling: X =dom f Y Im f

f

Zoisbijvoorbeeld f : R0 → R : x → 1/x2 eenafbeelding,maar g : R → R : x → 1/x2 isgeenafbeelding(maarwel eenfunctie).

Eenafbeelding f : X → Y kanookbeschouwdwordenalseendeelverzamelingvandeproductverzameling X × Y , namelijk {(x,y) ∈ X × Y | y = f (x)}.

Opdiemanierkanhetbegripafbeeldingformeelingevoerdworden.

✸ Definitie. Zij X en Y verzamelingen.Eenafbeeldingvan X naar Y iseendeelverzameling f van X × Y zodat voorelke x ∈ X precies´e´enelement y ∈ Y bestaatzodat(x,y) ∈ f .Eenafbeeldingvan X naar Y wordtook weleen X Y afbeeldinggenoemd.Deverzamelingvanalle X Y afbeeldingennoterenwemet Y X Voorbeeld. Alswemetelkgetal n ∈ N depositievevierkantswortelassocieren,danverkrijgenwedeafbeelding f = {(n, √n) | n ∈ N}⊆ N × R Wenoterendieafbeeldingals f : N → R : n → √n

✸ Opmerking. Elke X Y afbeeldingiseenfunctie,zodatdedefinitiesvandomein,beeldengelijkheidvanfuncties zichalsvolgtvertalenvoorafbeeldingen f : X → Y en g : X → Y : dom f = X, Im f = {y ∈ Y |∃x ∈ X : f (x)= y}, f = g ⇔∀x ∈ X : f (x)= g(x)

IndezeparagraafoverlopenweenkelebasisbegrippenenresultatenuitDeelMatricesdieweinhetvervolgzullen nodighebben.

Hetbegrip matrix zalvaakaanbodkomen,alsookbewerkingenmetmatriceszoalsdeoptellingendevermenigvuldigingvanmatrices,samenmetdebijbehorendeeigenschappen.Wezullenvaaksteunenophetfeitdatweelkematrix kunnenrijherleidennaar trapvorm (ookwel gereduceerderij-echelonvorm, reducedrowechelonform of rijcanonieke matrix genoemd).Zoalsgebruikelijkisde rang vaneenmatrixhetaantalniet-nulrijenvandetrapvormvandiematrix.

Inditdeelishetnietnodigdatjehetherleidenvanmatrixnaartrapvormhandmatigkanuitvoeren.Daarvoorkangepastesoftwarewordengebruikt,bijvoorbeelddegrafischerekenmachineofMaple.Daaromzullenwedetussenstappen vanderijherleidingaltijdweglaten.Bijvoorbeeld:

Ookalsderechterkolomvaneenmatrixbestaatuitonbekenden,kunnenwedetrapvormvandiematrixmetde grafischerekenmachineberekenen.Datdoenwedoorenkelekolommentoetevoegendiestaanvoordecoefficienten vandieonbepaalden.Zoisbijvoorbeeld: ï 4 8 a 36 b ò ∼ ï 1 2 b/3 00 a +4/3b ò want ï 4 810 3601 ò ∼ ï 1 20 1/3 0014/3 ò

Opdiverseplaatsenzullenwegebruikmakenvanhetverbandtussenhetaantaloplossingenvaneen lineairstelsel en derangvande uitgebreidematrix ✸ Stelling(hoofdeigenschapvanaantaloplossingenvaneenlineairstelsel). Beschouweenlineair m × n stelselmetuitgebreidematrix[A | b].Danheefthetstelsel

(i) geenoplossingenalsrang A< rang[A | b], (ii) eenuniekeoplossingalsrang A =rang[A | b]= n, (iii) oneindigveeloplossingenalsrang A =rang[A | b] <n

Afentoezullenwegebruikmakenvandeterminanten.De determinant vaneenvierkantematrix A iseengetal datdoorzijnaldannietnulzijnbepaaltofdematrix A inverteerbaaris.Ookdeterminantenkunnenmetsoftware berekendworden.Wenemendanookdegewoonteaangeentussenstappentevermeldenbijdeterminantberekeningen, bijvoorbeeld: 2+ mn 2 m 21 mn 4 =6mn 12m 2n 16.

Tenslottevermeldenwedevolgendeversievandehoofdstellingvanvierkantematricesdieinditdeelvaakgebruikt zalworden.Deequivalentie(iv)⇔(vi)maaktdeeluitvandezogenaamde regelvanCramer.

✸ Stelling(hoofdstellingvanvierkantematrices). Zij A een n × n-matrix.Danzijndevolgendeuitspraken equivalent: (i) rang A = n, (ii) detrapvormvan A isdeeenheidsmatrix(enheeftdusgeennulrij), (iii) hethomogeenlineairstelsel A x =0heefteenuniekeoplossing(namelijkdenuloplossing), (iv) voorelke n × 1-matrix b heefthetlineairstelsel A · x = b eenuniekeoplossing, (v) dematrix A isinverteerbaar, (vi) dedeterminantvanmatrix A isverschillendvannul.

Wesluitenditeerstehoofdstukafmeteenkortebeschrijvingvanvrijevectoreninhetvlak.Wezullenzeenkelnodig hebbenalseenconcretevoorstellingvanhetabstractebegripvector.Vooreengrondigebehandelingvanvectorenin hetvlakverwijzenwenaarDeelXVVectorvlakeneuclidischvlak.

Netzoalseenverschuivingwordteen vrijevector −→ v inhetvlakgekarakteriseerddoorzijnlengte,richtingenzin.Het beginpuntisnietvanbelang.De nulvector −→ o correspondeertmetdeverschuivingoverafstandnul:delengteisnul enderichtingenzinzijnnietgedefinieerd.

Vectorenwordeninhetvlakvoorgestelddooreen representant.Vooreenvector −→ v ,verschillendvandenulvector,is dateenpijlmeteenconcreetbeginpunt,diedelengte,derichtingendezinvan −→ v heeft.Eenrepresentantvande nulvectoriseenwillekeurigpunt:begin-eneindpuntvallensamen.Tweerepresentantenvaneenzelfdeniet-nulvector kunnenverbondenwordenmeteenoftweeparallellogrammenzoalsoponderstaandefiguur. −→ v

−→ v −→ v

Deverzamelingvanallevectoreninhetvlaknoterenwemet V2.Willenwetweevectoren −→ u, −→ v ∈V2 optellen,dan kiezenwerepresentantenvanbeidevectorenzodatheteindpuntvandeenerepresentantsamenvaltmethetbeginpunt vandeandere.Depijldieweverkrijgendoorhetbeginpuntvandeeersterepresentantteverbindenmetheteindpunt vandetweede,iseenrepresentantvandesom −→ u + −→ v ,ziefiguurhieronder. −→ u −→ v −→ u + −→ v

Wekunnennuookvectoreninhetvlak vermenigvuldigenmeteenreeelgetal r.Is r =0,danheeftdevector r −→ v dezelfderichtingals −→ v eneenlengtedie |r| keerdievan −→ v is;voor r> 0isdezinvan r −→ v dezelfdealsdievan −→ v envoor r< 0isdezintegengesteld.Is r =0,danis r −→ v = −→ o . −→ v 2−→ v

1 2 −→ v 0 −→ v

Wekunnenooksprekenovervectorenindedriedimensionaleruimte,zieDeelRuimtemeetkunde.Deverzamelingvan dievectorenwordtgenoteerdmet V3.Analoogalsbijvectoreninhetvlakkunnennuookvectorenin V3 worden opgeteldenvermenigvuldigdmeteenreeelgetal.

1VoorkenniseninleidendebegrippenBasisVerdiepingUitbreiding ⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆

1.1Verzamelingen12 3 4 5 6

1.2Afbeeldingen7

Oefeningenbij 1.1

B Oefening1. Waarofvals?Beoordeeldevolgendeuitspraken.Verklaartelkensjeantwoord.

(a) ∅ = {0}

(b) 6 ∈{6}

(c) {2, 4, 6, 8, 10}⊆ N (d) ∅ = {∅}

(e) ∅∈{∅} (f) {1, 3, 6, 7, 8}⊆{1, 3, 6, 7, 9} (g) ∅⊆{3, 5, 7} (h) {0}∈ Z

B⋆ Oefening2. Beschrijftelkensdegegevenverzamelingdooropsomming.

(a) {y ∈ Z | 2y2 =50}

(b) {x ∈ N |∃m ∈ Z : x =2m 5} (c) {a ∈ Z | 3a2 = 12}

B⋆ Oefening3. Zij X = {a,c} en Y = {b,c,e,f }.Beschrijftelkensdeverzamelingdooropsomming.

(a) X × Y (b) Y × X (c) X × X × X (d) X ×∅

V Oefening4. Zij A en B tweeverzamelingenzodanigdat#(A × B)=6en {(1, 2), (2, 3), (3, 3)}⊆ A × B.Bepaalalle elementenvan A × B

V Oefening5(VlaamseWiskundeOlympiade1987eersteronde). Als V = {a,b, {c,d}} dangeldt

(A) c ∈ V

(B) {c,d}⊆ V

(C) {a,b,c,d}⊆ V

(D) {{c,d}}⊆ V

(E) {c}∈ V

V⋆ Oefening6. Zij P en Q tweedeelverzamelingenvan R2 waarvoor P ∪ Q = P .Watkanjeuitelkvandeonderstaande gegevensbesluitenover P en Q?

(a) P ∩ Q = ∅

(b) P ∪ Q = ∅

Oefeningenbij 1.2

B⋆

(c) P ∩ (R2 \ Q)= ∅

(d) (R2 \ P ) ∪ Q = ∅

Oefening7. Bepaaltelkenshetbeeldvandegegevenafbeelding.

(a) f :[0, 4] → R : x → √x

(b) f : {0, 1, 2, 3, 4}→ R+ : x → √x

(c) f :[ 1, 3] → R : x → 2x2 3x +4

(d) f : Z × N0 → R :(m,n) → m/n

(e) f : {1, 3}×{2, 4, 6}→ N :(a,b) → a b

(f) f : {6, 5, 7}×{10}→ N :(x,y) → ggd(x,y)

Vectorruimten

Stellenweeenalgemene2 × 2-matrixvoormet ïab cdò waarbij a,b,c,d ∈ R,dankunnenwetwee2 × 2-matrices optelleneneen2 × 2-matrixvermenigvuldigenmeteenreeelgetal(zieDeelMatrices): ïab cdò + ïa′ b′ c′ d′ò = ïa + a′ b + b′ c + c′ d + d′ò en r · ïab cdò = ïrarb rcrdò

Opdiemanierwordtdeverzameling R2×2 vanalle2 × 2-matricesuitgerustmeteenoptellingeneenvermenigvuldiging meteenreeelgetal,dieaanwelbepaaldeeigenschappenvoldoen:deoptellingvanmatricesisassociatief,devermenigvuldigingvaneenre¨eelgetalmeteenmatrixisdistributieftenopzichtevandeoptellingvanmatrices,etc.Menzegt datdeverzameling R2×2 destructuurvaneen vectorruimte heeft.

Naastverzamelingenvanmatriceskomeninhetsecundaironderwijsnogandereverzamelingenaanboddiedevectorruimtestructuurhebben.Veeltermen,complexegetallen,rijen,afbeeldingen,krachtvectoren...allegehoorzamen zeaandezelfdewetmatigheden.Menkanelkvandezeobjectenbundelenineenverzamelingdieuitgerustwordtmet eenoptellingeneenvermenigvuldigingmeteenreeelgetal.Doorziejeeenvandezeverzamelingen,voorzienvandeze tweevastebewerkingen,dandoorziejezeallemaal.Daaromloonthetdemoeiteomhetbegripvectorruimteopeen algemenemaniertebestuderen.Destudievandeabstractevectorruimtestructuureenhoeksteenvandehogere,zowel zuiverealstoegepaste,wiskunde.

Indithoofdstukdefinierenwehetbegripvectorruimte.Indevolgendehoofdstukkenkomenallerleiverwantebegrippen zoalslineairafhankelijkeenonafhankelijkevectoren,deelruimte,basisendimensieenbewerkingenmetdeelruimten aanbod.

2.1Definitievanvectorruimte

Indezeparagraafgevenwededefinitievaneenvectorruimte.Deideeendiegeleid hebbentothetconceptvectorruimtegaanterugtotinde17eeeuw,toenpijlenin hetvlakwerdenbestudeerd.In1888steldePeanoin[13]eenabstractedefinitie voor,opgebouwdvanuitachtbasiseigenschappen,die axioma’s wordengenoemd. Dezeaxioma’sdienenalsgrondslagomeigenschappentebewijzen.Telkensweeen eigenschapkunnenbewijzendoorenkeltesteunenopdeachtaxioma’svaneen vectorruimteenandereeigenschappendieenkeluitdieachtaxioma’svolgen,danzal dezeeigenschapautomatischgeldenvoorallevoorbeeldenvanvectorruimten,datwil zeggenvooralleconcretewiskundigestructurendievoldoenaandezeaxioma’s.We noemendezebenaderingeen axiomatischeopbouw

Vooraleerwededefinitievaneenvectorruimtekunnengeven,moetenwewetenwat eenbewerkingtussenverzamelingenis.

✸ Definitie. Zij X, Y en Z verzamelingen.Eenbewerking ∗ tussen X en Y is eenafbeeldingdiemetelketweeelementen x ∈ X en y ∈ Y eennieuwelement x ∗ y associeert.Wenoemeneenbewerkingtussen X en Y inwendigin Z als hetbeeldeendeelverzamelingvan Z is.Formeel: ∗ : X × Y → Z :(x,y) → x ∗ y.

Voorbeelden. Machtverheffing xn met x ∈ R0 en n ∈ N iseenbewerkingtussen R0 en N.Dezebewerkingisniet inwendigin N.De(positieve)grootstegemenedelervantweegehelegetallenbeideverschillendvannulbepaalt eenbewerkingdieinwendigisin Z0,insymbolen:

ggd: Z0 × Z0 → Z0 :(a,b) → ggd(a,b)

GiuseppePeano (1858-1932)

Definitie(vectorruimte).1 Een(reele)vectorruimte R,V, +iseenniet-legeverzameling V ,voorzienvantwee inwendigebewerkingenin V diewehierna deoptellingin V en descalairevermenigvuldigingin V noemen: +: V × V → V (u,v) → u + v en : R × V → V (r,u) → r u

zodataandevolgendeaxioma’sisvoldaan:

(1) deoptellingin V isassociatief: ∀u,v,w ∈ V :(u + v)+ w = u +(v + w) (2) eriseenneutraalelementvoordeoptellingin V : ∃0V ∈ V : ∀u ∈ V : u +0V = u =0V + u (3) elkelementin V heefteeninverselementvooroptelling: ∀u ∈ V : ∃u ′ ∈ V : u + u ′ =0V = u ′ + u

(4) deoptellingin V iscommutatief: ∀u,v ∈ V : u + v = v + u

(5) descalairevermenigvuldigingin V isgemengdassociatief: ∀r,s ∈ R, ∀u ∈ V :(rs) · u = r · (s · u)

(6) descalairevermenigvuldigingin V isdistributieften opzichtevandeoptellingin V : ∀r ∈ R, ∀u,v ∈ V : r · (u + v)= r · u + r · v

(7) descalairevermenigvuldigingin V isdistributieften opzichtevandeoptellingin R: ∀r,s ∈ R, ∀u ∈ V :(r + s) u = r u + s u

(8) hetreeelgetal 1 iseenneutraalelementvoordescalaire vermenigvuldigingin V : ∀u ∈ V :1 u = u. Wenoemenelementen u,v,... ∈ V vectoren endegetallen r,s,... ∈ R ookwelscalairen.Vooreenvector v en eenscalair r zullenwedescalairevermenigvuldiging r v vaaknoterenals rv ✸ Opmerkingen.

1. Deoptellingin V enscalairevermenigvuldigingin V zijnbewerkingendiebeideinwendigin V zijn.In symbolenbetekentdit: ∀u,v ∈ V : u + v ∈ V en ∀r ∈ R, ∀u ∈ V : r u ∈ V.

2. Axioma5steltdatscalairevermenigvuldiginggemengdassociatiefis.Determ gemengd wijsteropdat hiertweesoortenvermenigvuldigingaanhetwerkzijn.Zovoertmenbijdebewerking(rs) u eerst devermenigvuldiging rs uit(vermenigvuldigingin R)omdaarnamet u tevermenigvuldigen(scalaire vermenigvuldigingin V ).

3. Eenniet-legeverzameling V voorzienvaneeninwendigebewerking+: V × V → V dievoldoetaande axioma’s1,2en3noemtmeneengroep,notatie V, +.2 Voldoeteengroep V, +bovendienaanaxioma4 danspreektmenvaneencommutatieve (ofabelse)groep.3 Onderstaandefiguurtoonteenoverzichtvande hierbovenbesprokenstructurenopeenverzameling V verzameling V

+: V × V → V axioma’s1-3

groep V, + axioma4 commutatievegroep V, + · : R × V → V axioma’s5-8 reelevectorruimte R,V, +

1 Menkanookvectorruimtenbeschouwenovereenandervelddan R,zoals Q (hetveldvanderationalegetallen), C (hetveldvande complexegetallen), Zp met p priem(eindigveldmet p elementen).Echter,inwatvolgtbedoelenwemetdetermvectorruimtesteedseen reelevectorruimte.Vervangtmenindedefinitievaneenreelevectorruimtedeverzameling R dooreenring,zoals Z,danspreektmenover modulen inplaatsvanvectorruimten.

2 Detakvandewiskunde(binnendealgebra)diezichbezighoudtmetdestudievangroepenluistertnaardenaam groepentheorie

3 GenoemdnaarNielsHenrikAbel (1802-1829).

Indezeparagraafkomeneeneerstereeksvoorbeeldenvanvectorruimtenaanbod:datzijntelkensconcreteverzamelingen V voorzienvaneenoptellingeneenscalairevermenigvuldigingdievoldoenaandeachtaxioma’suitdedefinitie vaneenvectorruimte.

Voorbeeld1-Devectorruimte R, V2, +

✸ Beschrijving. Neemvoor ▷ verzameling V :deverzameling V2 vanalle(vrije)vectoreninhetvlak, ▷ optellingin V :degewoneoptellingvanvectoreninhetvlak, ▷ scalairevermenigvuldigingin V :degewonescalairevermenigvuldigingvaneenreeelgetalmeteenvector.

Menkanaantonendatdeverzameling V2 voorzienvandezeoptellingenscalairevermenigvuldiging,aandeacht axioma’svaneenvectorruimtevoldoet.Dus R, V2, +iseenvectorruimte. ✸ Voorbeeld. Gegevenzijnrepresentantenvoordevectoren −→ u en −→ v .Tekeneenrepresentantvoordevector −→ u + −→ v eneenrepresentantvoordevector2−→ u −→ v −→ u

Voorbeeld2-Devectorruimte R, V3, + Wekunnendevectorruimte R, V2, +alsvolgtveralgemenen.

✸ Beschrijving. Neemvoor ▷ verzameling V :deverzameling V3 vanalle(vrije)vectoreninderuimte, ▷ optellingin V :degewoneoptellingvanvectoreninderuimte, ▷ scalairevermenigvuldigingin V :degewonescalairevermenigvuldigingvaneenre¨eelgetalmeteenvector.

Opnieuwis,metdezeoptellingenscalairevermenigvuldiging,voldaanaandeachtaxioma’svaneenvectorruimte.

✸ Voorbeeld. Nevenstaandefiguurtoonteenkubusinderuimte.

(a) Tekeneenrepresentantvandevector −→ u + −→ v .

(b) Tekeneenrepresentantvaneeninverselementvan −→ u voordeoptellingin V3. (c) Welkevectorenzijnvandegedaante r −→ u + s −→ v met r,s ∈ R? Oplossing. −→ u

(c) Devectorenvandegedaante r −→ u + s −→ v hebbeneenrepresentantin hetvoorvlakvandekubus.

−→ v

Enkelindevectorruimten R, V2, +en R, V3, +zullenwedeelementen(vectoren)voorzienvaneenpijl.Weschrijven dus −→ u ∈V2 of −→ u ∈V3,terwijlwe u ∈ V noterenvooreenelement u ineenwillekeurigevectorruimte R,V, + verschillendvan V2 en V3.

✸ Beschrijving. Neemvoor

▷ verzameling V :deverzameling R2 vanallekoppelsreelegetallen

R2 = {(x,y) | x,y ∈ R}

▷ optellingin V :decomponentsgewijzeoptelling(vulaan)

(x1,y1)+(x2,y2)= (x1 + x2,y1 + y2),

▷ scalairevermenigvuldigingin V :decomponentsgewijzescalairevermenigvuldiging(vulaan)

r · (x,y)= (rx,ry) Danis R, R2 , +eenvectorruimte.Bijwijzevanvoorbeeldzullenwedithieronderexplicietnagaan.Datiseen lange,maartypischeoefeningopdedefinitievaneenvectorruimte.

✸ Modelvoorbeeld. Bewijsdat R, R2 , +eenvectorruimteis. Oplossing. Eerstgaanwenaofdeoptellingenscalairevermenigvuldiginginwendigin R2 zijn:ergeldtinderdaad dat(x1 + x2,y1 + y2) ∈ R2 voorelke x1,x2,y1,y2 ∈ R endat(rx,ry) ∈ R2 voorelke r,x,y ∈ R

Vervolgensgaanwedeachtaxioma’svaneenvectorruimtena.

(1) Optellingin R2 isassociatief,insymbolen: ∀u,v,w ∈ R2 :(u + v)+ w = u +(v + w). Neem u,v,w ∈ R2 willekeurig.Schrijvenwe u =(x1,y1), v =(x2,y2)en w =(x3,y3)danvolgtuitde definitievandeoptellingin R2 enerzijds:

(u + v)+ w = (x1,y1)+(x2,y2) +(x3,y3)

= (x1 + x2,y1 + y2)+(x3,y3)

= ((x1 + x2)+ x3, (y1 + y2)+ y3), terwijlanderzijds:

u +(v + w)= (x1,y1)+ (x2,y2)+(x3,y3)

= (x1,y1)+(x2 + x3,y2 + y3)

= (x1 +(x2 + x3),y1 +(y2 + y3))

Dat(x1 + x2)+ x3 = x1 +(x2 + x3)volgtuithetfeitdatdeoptellingin R associatiefiseneenanaloog argumentgaatopvoordeanderecomponent.Webesluitendat(u + v)+ w = u +(v + w).

(2) Eriseenneutraalelementvoordeoptellingin R2 , insymbolen: ∃0R2 ∈ R2 : ∀u ∈ R2 : u +0R2 = u =0R2 + u Stel0R2 = (0, 0).Danisvoorelke u =(x,y) ∈ R2 u +0R2 = (x,y)+(0, 0)=(x +0,y +0)=(x,y)= u

waarbijweindevoorlaatstegelijkheidgebruikgemaakthebbenvanhetreeelgetal0alsneutraalelement voordeoptellingin R.Analoogisook0R2 + u = u.

(3) Elkelementin R2 heefteeninverselementvooroptellingin R2 , insymbolen: ∀u ∈ R2 : ∃u′ ∈ R2 : u + u′ =0R2 = u′ + u Neem u =(x,y) ∈ R2 willekeurig.Danis u′ = ( x, y) eeninverselementvan u voordeoptellingin R2 want u + u ′ = (x,y)+( x, y)=(x +( x),y +( y))=(0, 0)=0R2 . Analoogis u′ + u =0R2

(4) deoptellingin R2 iscommutatief,insymbolen: ∀u,v ∈ R2 : u + v = v + u Neem u =(x1,y1) ∈ R2 en v =(x2,y2) ∈ R2.Danisenerzijds: u + v = (x1,y1)+(x2,y2)=(x1 + x2,y1 + y2),

terwijlanderzijds: v + u = (x2,y2)+(x1,y1)=(x2 + x1,y2 + y1) Deoptellingin R iscommutatiefzodat x1 + x2 = x2 + x1,enzovoort.Weverkrijgendat u + v = v + u

(5) descalairevermenigvuldigingin R2 isgemengdassociatief, insymbolen: ∀r,s ∈ R, ∀u ∈ R2 :(rs) u = r (s u). Neem r,s ∈ R en u =(x,y) ∈ R2 willekeurig.Danis: (rs) u = (rs) (x,y)= (rs)x, (rs)y en

r (s u)= r s (x,y) = r (sx,sy)= r(sx),r(sy)

Devermenigvuldigingin R isassociatiefzodat(rs)x = r(sx)enzovoort,waaruitvolgtdat(rs)· u = r ·(s · u).

(6) descalairevermenigvuldigingin R2 isdistributieftenopzichtevandeoptellingin R2 , insymbolen: ∀r ∈ R, ∀u,v ∈ R2 : r (u + v)= r u + r v Zij r ∈ R en u,v ∈ R2 willekeurig.Stellenwe u =(x1,y1)en v =(x2,y2)danisenerzijds:

r (u + v)= r (x1 + x2,y1 + y2)

= r(x1 + x2),r(y1 + y2)

= (rx1 + rx2,ry1 + ry2),

terwijlanderzijds:

r · u + r · v = r · (x1,y1)+ r · (x2,y2)

= (rx1,ry1)+(rx2,ry2)

= (rx1 + rx2,ry1 + ry2)

(7) descalairevermenigvuldigingin R2 isdistributieftenopzichtevandeoptellingin R, insymbolen: ∀r,s ∈ R, ∀u ∈ R2 :(r + s) u = r u + s u Nemenwe r,s ∈ R en u =(x,y) ∈ R2,danis: (r + s) u = ((r + s)x, (r + s)y)=(rx + sx,ry + sy)= r u + s v.

(8) hetreeelgetal 1 iseenneutraalelementvoordescalairevermenigvuldigingin R2 , insymbolen: ∀u ∈ R2 :1 u = u. Voor u =(x,y) ∈ R2 volgtuitdedefinitievanscalairevermenigvuldigingdat1 u = (1x, 1y)=(x,y)= u

Indezebewijzenhebbenweveelvuldiggebruikgemaaktvaneigenschappenvandeoptellingenscalairevermenigvuldigingin R,zoals:deoptellingin R isassociatief,hetreeelgetal0isneutraalelementvoordeoptellingin R enzovoort. Deaxioma’svandevectorruimte R2 werdendusaangetoondopbasisvangelijkaardigeaxioma’svan R.Ookinde volgendevoorbeeldenkaneensoortgelijkeovereenkomstwordenopgemerkt.

Voorbeeld4-Devectorruimte R, Rn , + Wekunnendevectorruimte R, R2 , +alsvolgtveralgemenen.

✸ Beschrijving. Zij n ∈ N0 enbeschouwals

▷ verzameling V :deverzameling Rn vanallegeordende n-tallenre¨elegetallen Rn = {(a1,a2,...,an) | ai ∈ R}

▷ optellingin V :decomponentsgewijzeoptelling(vulaan) (a1,a2,...,an)+(b1,b2,...,bn)= (a1 + b1,a2 + b2,...,an + bn),

▷ scalairevermenigvuldigingin V :decomponentsgewijzescalairevermenigvuldiging(vulaan) r (a1,a2,...,an)= (ra1,ra2,...,ran)

Oppreciesdezelfdemanieralshierbovenkunnenweaantonendatdezeverzameling Rn,voorzienvandebovenstaandeoptellingenscalairevermenigvuldiging,aandeaxioma’svaneenvectorruimtevoldoet.

✸ Modelvoorbeeld. Beschouwdevectorruimte R, R5 , +endevectoren u =(1, 1, 2, 0, 3)en v =(0, 3, 1, 2, 4).

(a) Berekendevectoren u + v en( 2)u

(b) Wegensaxioma2isereenneutraalelementvoordeoptellingindevectorruimte R, R5 , +.Geefzo’nelement. Oplossing.

(a) Wehebben u + v =(1, 4, 3, 2, 1)en( 2)u =( 2, 2, 4, 0, 6).

(b) 0R5 =(0, 0, 0, 0, 0)

Beschrijving. Zij m,n ∈ N0 enbeschouwals

Opnieuwkunnenwenagaandat Rm×n,voorzienvandezeoptellingenscalairevermenigvuldiging,aandeaxioma’s vaneenvectorruimtevoldoet. ✸ Modelvoorbeeld. Beschouwdevectorruimte R, R2×3 , +endevectoren u = ï 104 226ò en v = ï200 95 6ò (a) Berekendevectoren u + v en( 2)u +( 3)v (b) Geefeeninverselementvan u voordeoptellingindevectorruimte R, R2×3 , +. (c) Bewijsdatdescalairevermenigvuldigingin R, R2×3 , +gemengdassociatiefis. Oplossing.

(a) Wehebben u + v = ï 104 1170ò en( 2)u +( 3)v = ï 40 8 31 196 ò. (b) u′ = ï 10 4 2 2 6ò

(c) Wemoetenaantonendat ∀r,s ∈ R, ∀u ∈ R2×3 :(rs) u = r (s u). Neem r,s ∈ R en u = ïabc def ò ∈ R2×3 willekeurig.Danisenerzijds (rs) u =(rs) ïabc def ò = ï(rs)a (rs)b (rs)c (rs)d (rs)e (rs)f ò terwijlanderzijds r (s u)= r Ås ïabc def òã = r ïsasbsc sdsesf ò = ïr(sa) r(sb) r(sc) r(sd) r(se) r(sf )ò

Devermenigvuldigingin R isassociatiefzodat(rs)a = r(sa)enzovoort,waaruitvolgtdat(rs) · u = r · (s · u).

4 Voordefinities,basisbegrippeneneigenschappeninverbandmetmatrices(enlatermetoplossenvanstelsels),verwijzenwenaarDeel Matrices.

Indezeparagraafbewijzenweenkeleeigenschappendierechtstreeksuitdeaxioma’svaneenvectorruimtevolgen.Het voordeelisdatwedezeeigenschappenmaar´e´enkeerhoevenaantetonen,omzedaarnainelkvoorbeeldvaneen vectorruimtetekunnengebruiken.

✸ Eigenschap(uniciteitvanneutraalelementeninverselement).

Zij R,V, +eenvectorruimte.Dangeldendevolgendeeigenschappen: (i) erisjuist´e´enneutraalelementvoordeoptellingin V : ∃!0V ∈ V : ∀u ∈ V : u +0V = u =0V + u (ii) elkelementin V heeftjuist´e´eninverselementvoordeoptellingin V : ∀u ∈ V : ∃! u ′ ∈ V : u + u ′ =0V = u ′ + u

Bewijsvan (i). Wegensaxioma2iserminstens´e´enneutraalelementvoordeoptellingin V .Duseriseenvector 0V ∈ V waarvoorgeldt: ∀u ∈ V : u +0V = u =0V + u. (1)

Wetonennuaandaterhoogstens´e´enneutraalelementbestaat.Steldaartoedatereentweedezoubestaan, metanderewoordendatookvooreenvector0′ V ∈ V geldt: ∀u ∈ V : u +0′ V = u =0′ V + u. (2)

Wemoetenaantonendatnoodzakelijk0V =0′ V .Welnu(vulaanenverklaarelkeovergang): 0V = 0V +0′ V wegens (2)waarwe u =0V kiezen = 0′ V wegens (1)waarwe u =0′ V kiezen.

Webesluitendaterjuist´e´enneutraalelementvoordeoptellingin V is.

Bewijsvan (ii) Neem u ∈ V .Wegensaxioma3heeft u minstens´e´eninverselement u′ voordeoptellingin V : u + u ′ =0V = u ′ + u. (3)

Nemenweaandatookvooreenvector u′′ ∈ V geldtdat u + u ′′ =0V = u ′′ + u, (4)

danis(vulaanenverklaarelkeovergang):

u ′ = u ′ +0V wegens axioma2 = u ′ +(u + u ′′) wegens (4) = (u ′ + u)+ u ′′ wegens axioma1 = 0V + u ′′ wegens (3) = u ′′ wegens axioma2.

Bijgevolgheeft u juist´e´eninverselementvoordeoptellingin V

Deuniciteitvanhetneutraalelementlaatonstoeomover het neutraalelementvoordeoptellingtespreken.We sprekenookwelvandenulvector in V .Analoogsprekenwevan het inverselementvaneenvector u ∈ V ,ookwelde tegengesteldevector van u genoemd.Dievectorzullenweinhetvervolgmet u noteren.

✸ Definitie(verschilvanvectoren). Zij R,V, +eenvectorruimte.Hetverschilvantweevectoren u,v ∈ V is desomvandevector u metdetegengesteldevectorvan v.Insymbolen: u v def = u +( v)

Zij R,V, +eenvectorruimte.Dangeldendevolgendeeigenschappen: (iii) ∀u,v,w ∈ V : u + v = w + v ⇒ u = w,(schrappingswet) (iv) ∀v ∈ V :0 v =0V , (v) ∀r ∈ R : r 0V =0V , (vi) ∀r ∈ R, ∀v ∈ V : r · v =0V ⇔ r =0of v =0V , (vii) ∀v ∈ V :( 1) · v = v, (viii) ∀r ∈ R, ∀v ∈ V :( r) · v = (r · v)= r · ( v).

Webewijzendeeigenschappen(iii),(iv),(vi)en(vii).Debewijzen vandeeigenschappen(v)en(viii)wordenalsoefeningvoordelezer gehouden.

Bewijsvan (iii) Neem u,v,w ∈ V ensteldat u + v = w + v.Wezullenaantonendat u = w (vulaanenverklaar elkeovergang): u + v = w + v ⇒ (u + v)+( v)=(w + v)+( v) wegens gelijketermentoevoegen ⇒ u +(v +( v))= w +(v +( v)) wegens axioma1

⇒ u +0V = w +0V wegens axioma3 ⇒ u = w wegens axioma2.

Bewijsvan (iv). Neem v ∈ V .Wemoetenaantonendat0 v =0V .Wevinden: 0 v =(0+0) v ⇒ 0 v =0 v +0 v wegens axioma7 ⇒ 0 · v +0V =0 · v +0 · v wegens axioma2 ⇒ 0V =0 v wegens schrappingswet.

Bewijsvan (vi). Neem r ∈ R en v ∈ V .Als r =0of v =0V danvolgtuitdeeigenschappen(iv)en(v) onmiddellijkdat r · v =0V

Omgekeerd,steldat r v =0V .Omaantetonendat r =0of v =0V onderscheidenwetweegevallen. Geval1: r =0.Dangeldtoverduidelijk r =0of v =0V eninditgevalishetgesteldebewezen. Geval2: r =0.Wezullenaantonendat v =0V (vulaanenverklaardeovergangen): r v =0V ⇒ 1 r (r v)= 1 r 0V 1 r ∈ R want r =0 ⇒ Å 1 r rã v =0V wegens axioma5eneigenschap(v) ⇒ 1 v =0V ⇒ v =0V wegens axioma8.

Bewijsvan (vii) Neem v ∈ V .Tebewijzenisdat( 1) v = v,ofandersgeformuleerd:hetinverselement van v voordeoptellingin V isgelijkaan( 1) v.Datisinderdaadhetgeval,want(vulaanenverklaarde overgangen): v +( 1) v = 1 v +( 1) v wegens axioma8 = (1+( 1)) · v wegens axioma7 = 0 v =0V wegens eigenschap(iv). Uitdecommutativiteitvandeoptellingin V volgtookdat( 1) v + v =0V .

Dezebasiseigenschappenkunnenaangewendwordenomaantetonendateenverzameling,voorzienvaneenoptelling enscalairevermenigvuldiging,geenvectorruimteis(zieOefening9).

Indezeparagraafbesprekenweeentweedeenlaatstereeksvoorbeeldenvanvectorruimten.Westartenmethetmeest eenvoudigevoorbeeldvaneenvectorruimte.

Voorbeeld6-Detrivialevectorruimte R, {0V }, +

✸ Beschrijving. Neemvoor

▷ verzameling V :eenverzamelingmet´e´enelement V = {a}, ▷ optellingin V : a + a = a, ▷ scalairevermenigvuldigingin V : ra = a voorelke r ∈ R.

Danisdeoptellingenscalairevermenigvuldiginginwendigin V .Welatenhetalsoefeningvoordelezeromna tegaandaterookvoldaanisaandeachtaxioma’svaneenvectorruimte.Inhetbijzonderisdenulvectorin V gelijkaanhetenigeelementvan V ,zodat a =0V enwedanookmogennoterendat V = {0V }.Wenoemen dezevectorruimtedetrivialevectorruimte

Voorbeeld7-Devectorruimte R, RN , + ✸ Definitie(re¨elerij). Een(reele)rij iseenafbeeldingvan N naar R: (an): N → R i → ai.

Wenotereneenrij(an)als(a0,a1,a2,...)waarbij ai ∈ R voorelke i ∈ N ✸ Beschrijving. Neemvoor ▷ verzameling V :deverzamelingvanallerijen RN = {(a0,a1,a2,...) | ai ∈ R}

▷ optellingin V :determsgewijzeoptellingvanrijen(vulaan) (a0,a1,a2,...)+(b0,b1,b2,...)= (a0 + b0,a1 + b1,a2 + b2,...)

▷ scalairevermenigvuldigingin V :determsgewijzescalairevermenigvuldigingvanrijen(vulaan)

r · (a0,a1,a2,...)= (ra0,ra1,ra2,...)

Wekunnennagaandatdeverzameling RN,voorzienvandezeoptellingenscalairevermenigvuldiging,aande axioma’svaneenvectorruimtevoldoet.

✸ Voorbeeld. Beschouwindevectorruimte R, RN , +devectoren u =(1, 2, 3, 4, 5,...)en v =(1, 2, 1, 2, 1,...).

(a) Berekendevectoren √7 u en2u v (b) Geefdenulvectorindevectorruimte R, RN , +. (c) Geefdetegengesteldevectorvan u. (d) Bewijsdevolgendeuitspraak: ∀r,s ∈ R : ru + sv =0RN ⇒ r = s =0

Oplossing.

r + s =0 2r +2s =0 3r + s =0 4r +2s =0 .

⇒ r =0en s =0

✸

Beschrijving. Neemvoor

▷ verzameling V :deverzamelingvanalle(reele)veeltermenin X (zieDeelPrecalculus1) R[X]= {a0 + a1X + a2X 2 + + anX n | n ∈ N en a0,a1,a2,...,an ∈ R}

▷ optellingin V :deklassiekeoptellingvanveeltermen(vulaan) a0 + a1X + a2X 2 + ··· + anX n + b0 + b1X + b2X 2 + ··· + bmX m = (a0 + b0)+(a1 + b1)X +(a2 + b2)X 2 +

▷ scalairevermenigvuldigingin V :deklassiekevermenigvuldigingvaneenveeltermmeteenscalair r · (a0 + a1X + a2X 2 + ··· + anX n)= ra0 +(ra1)X +(ra2)X 2 + ··· +(ran)X n

Dezeoptellingenscalairevermenigvuldigingin R[X]voldoenaandedefinitievandevectorruimte.

Voorbeeld9-Devectorruimte R, RR , +

✸ Beschrijving. Beschouwals

▷ verzameling V :deverzamelingvanalle R R afbeeldingen(zieHoofdstuk1) RR = {f | f : R → R iseenafbeelding}

▷ optellingin V :depuntsgewijzeoptelling(zieDeelPrecalculus1)

f + g : R → R : x → (f + g)(x)= f (x)+ g(x)

▷ scalairevermenigvuldigingin V :depuntsgewijzescalairevermenigvuldiging(zieDeelPrecalculus1) r f : R → R : x → (r f )(x)= rf (x).

Ookdezeverzamelingis,voorzienvandezebewerkingen,uitgerustmetdestructuurvaneenvectorruimte.Ter illustratiebewijzenwetweeaxioma’svoor R, RR , +.Deandereaxioma’swordenalsoefeningvoordelezer gelaten.

✸ Modelvoorbeeld. Bewijsdatdeoptellingin RR voldoetaanaxioma’s2en3vaneenvectorruimte. Oplossing.

(2) Wegaannadatereenneutraalelementvoordeoptellingin RR is.Alskandidaatnemenwedeafbeelding van R naar R dieelkgetal x afbeeldtophetgetal0: 0RR : R → R x → 0

Wemoetenaantonendat ∀f ∈ RR : f +0RR = f =0RR + f .Beschouweenwillekeurigeafbeelding f ∈ RR Voorelke x ∈ R geldt,wegensdedefinitievandeoptellingin RR (vulaan): (f +0RR )(x)= f (x)+0RR (x)= f (x)+0= f (x).

Uitdedefinitievangelijkheidvanafbeeldingenvolgtdatde R R afbeeldingen f +0RR en f aanelkaargelijk zijn.Analoogisook f =0RR + f

(3) Wetonenaandatelkelement f ∈ RR eeninverselementvoordeoptellingin RR heeft.Beschouwde afbeelding f ′ van R naar R dieelkreeelgetal x afbeeldtophettegengesteldevanhetbeeldvan x onderde afbeelding f : f ′ : R → R x →−f (x).

Danis f ′ eeninverselementvan f voordeoptellingin RR.Inderdaad,voorelke x ∈ R is(vulaan): (f + f ′)(x)= f (x)+ f ′(x)= f (x)+( f (x))=0=0RR (x)

zodat f + f ′ =0RR .Analoogisook f ′ + f =0RR Merkopdathetnietvolstaatomdeafbeelding f alsinverselementvan f voortestellen,indien f niet eerstgedefinieerdwerd.

2VectorruimtenBasisVerdiepingUitbreiding ⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆

2.1Definitievanvectorruimte111

2.2Voorbeeldenvanvectorruimten23 4 56

2.3Basiseigenschappenvanvectorruimten7 8 91011

2.4Voorbeeldenvanvectorruimten(vervolg)12 13 14

Oefeningenbij 2.1

151617

Oefening1. Zij R,V, +eenvectorruimte.Beschouwin V tweegekendevectoren v1,v2 eneenonbekendevector u Opwelkeaxioma’svanvectorruimtenmoetjesteunenomdevolgendevergelijkingenin u optelossen?

B (a) u + v1 = v2

B (b) 3u = v1

B⋆ (c) 3u + v1 = v2

B⋆⋆ (d) 3(u + v1)+2(u + v2)=0V

Oefeningenbij 2.2

B Oefening2. Waaromisdeverzamelingvansinguliere n × n-matrices S = M ∈ Rn×n | det M =0 , voorzienvandeelementsgewijzeoptellingenscalairevermenigvuldigingvanmatrices,geenvectorruimte?

B⋆⋆ Oefening3. Beschouwindevectorruimte R, R4 , +dedeelverzameling

W = {(2s, 0, s,t) | s,t ∈ R} Toonaandat R,W, +eenvectorruimteis.

B⋆⋆ Oefening4. Beschouwdeverzamelingvanalle2 × 2-diagonaalmatrices D = ßïa 0 0 bò a,b ∈ R™ voorzienvandeelementsgewijzeoptellingenscalairevermenigvuldigingvanmatrices.Bewijsdat R, D, +eenvectorruimteis.

V Oefening5. Beschouwdeverzameling EX = ßÅx yã x,y ∈ R™,diewevoorzienvandevolgendeoptellingenscalaire vermenigvuldiging: Åx1 y1 ã + Åx2 y2 ã = Åx1 + x2 +1 y1 + y2 1ã en r Åx yã = Årx + r 1 ry r +1ã

(a) Toonaandat R, EX, +eenvectorruimteis.

(b) Watishetneutraalelementin EX?

Oefening6(magischevierkanten). Eenmagischvierkantvanorde n (met n ∈ N0)iseenvierkantschemawaarin n2 getallenzodanigzijningevulddatdekolommen,derijenendebeidediagonalenalledezelfdesomopleveren. Hieronderziejehetmagischvierkantvanorde4uitdekopergravure MelencoliaI vanAlbrechtDurer(1514).Bewijs datdeverzamelingvanmagischevierkantenvanorde4,voorzienvandehokjesgewijzeoptellingenhokjesgewijze scalairevermenigvuldiging,eenreelevectorruimteis.

Oefeningenbij 2.3

B Oefening7. Beschouwindevectorruimte R, R4 , +devectoren v1 =(2, 1, 3, 0),v2 =(5, 0, 2, 4)en v3 =(12, 1, 1, 8) Bereken v1 +2v2 v3

B Oefening8. Zij R,V, +eenvectorruimteen u,v1,v2,v3 ∈ V .Druktelkensdevector u uitinfunctievandevectoren v1,v2,v3 envereenvoudigzoveelalsmogelijk.

(a) (v1 u)+(v2 u)+(v3 u)=0V 1 2 (b) 1 2 (3u +2v1 v2)= 2 3 (v1 u +3v3)

B⋆ Oefening9. Opdeverzameling R2 voorzienweeennieuweoptelling: +: R2 × R2 → R2 : (x1,y1), (x2,y2) → (x1 + x2, 0) eneennieuwescalairevermenigvuldiging: : R × R2 → R2 : r, (x1,y1) → (rx1, 0).

Bewijsdat R2 voorzienvandezenieuweoptellingenscalairevermenigvuldiginggeenvectorruimteisdooraantetonen datnietvoldaanisaandeschrappingswet.

V Oefening10. Zij R,V +eenvectorruimte.Bewijsdatvoorelkevector u ∈ V geldtdat ( u)= u

U Oefening11(basiseigenschappenvaneenvectorruimte). Zij R,V, +eenvectorruimte.Bewijsdevolgende basiseigenschappen.Vermeldbijelkeovergangopwelkaxioma,welkedefinitieofwelkeeigenschapjesteunt.

(ix) ∀r ∈ R, ∀u,v ∈ V : r(u v)= ru rv (x) ∀r,s ∈ R, ∀v ∈ V :(r s)v = rv sv (xi) ∀r ∈ R0, ∀u,v ∈ V : ru = rv ⇒ u = v (xii) ∀r,s ∈ R, ∀v ∈ V \{0V } : rv = sv ⇒ r = s

B⋆ Oefening12. Zij R,V, +eenniet-trivialevectorruimte.Bepaaltelkens(indienmogelijk)dewaarde(n)van x ∈ R zo datvoorelkevector u ∈ V degegevenuitdrukkinggeldt.

(a) 3xu = u xu

(b) 4xu =2(2x 1)u

(c) 3xu = xu 4u (d) 6xu =2(3x 2)u +4u

B⋆ Oefening13. Bewijsdatdescalairevermenigvuldigingin RN gemengdassociatiefis.

B⋆ Oefening14. Bewijs:eriseenneutraalelementvoordeoptellingin R[X].

V⋆ Oefening15. Beschouwdevectorruimte R, RR , +van R R afbeeldingen.Beschouwdaarnaastdeverzamelingvan allereelefuncties

F = {f | f iseenfunctievan R naar R}

diewevoorzienvandepuntsgewijzeoptellingenscalairevermenigvuldigingvanfuncties.Tenslottenemenwede functies f : R → R : x → 1 x en g : R → R : x → √x + √ x.

(a) Toonaandat f en g niettot RR behoren.

(b) Steldatereenuniekneutraalelement0F voordeoptellingin F isendatelkelementin F eeninverselement voordeoptellingin F heeft.Toonmetbehulpvandefuncties f en g aandatnoodzakelijkdom0F = ∅.

(c) Toonaandat F ,voorzienvandepuntsgewijzeoptellingenscalairevermenigvuldigingvanfuncties,geenvectorruimteisdooraantetonendatnietvoldaanisaanbasiseigenschap(iv)vanvectorruimten.

U Oefening16(vectorruimtevanalleveeltermenin X m). Zij m ∈ N0 enbeschouwdeverzamelingvanallere¨ele veeltermenin X m: R[X m]= {b0 + b1X m + b2X 2m + ··· + bnX nm | n ∈ N en b0,b1,...,bn ∈ R}

voorzienvandeklassiekeoptellingenscalairevermenigvuldigingvanveeltermen.Toonaandat R, R[X m], +een vectorruimteis.

U⋆⋆ Oefening17(rationalevectorruimte). Gegevenisdeverzameling Q[√2]= {a + b√2 | a,b ∈ Q}

(a) Geefdrieverschillendeelementenvandeverzameling Q[√2].

(b) Toonaandat Q[√2],voorzienvandeklassiekeoptellingenscalairevermenigvuldiging,geenreelevectorruimte is.

(c) Menkanookvectorruimtenbeschouwenovereenandereverzamelingdan R,zoalsbijvoorbeeld Q.(Nietelke verzamelingkomtechterinaanmerking:zemoeteenzogenaamd veld zijn.Deverzamelingen Q, R en C zijn velden,maar N en Z niet.Dedefinitievaneenveldisnietnodigomdezeoefeningoptelossen.)Toonaandat Q[√2],voorzienvandeklassiekeoptellingenscalairevermenigvuldiging +: Q[√2] × Q[√2] → Q[√2] en : Q × Q[√2] → Q[√2], eenrationalevectorruimteis(duseenvectorruimteover Q).Dezevectorruimtewordtgenoteerdals Q, Q[√2], +.

Deelruimten

Indewiskundewordenalgebra¨ıschestructurenvaakbestudeerddoormiddelvanhundeelstructuren.Datiswatwe indithoofdstukzullendoen:kijkennaardeelverzamelingendiedevectorruimtestructuurbezitten.

3.1Definitievandeelruimte

Zij R,V, +eenvectorruimteen W ⊆ V .Omdatelkelementvan W tot V behoort,noemenwedeelementenvan W ookvectorenenkunnenwedevectorenvan W metelkaaroptellenenmeteenreeelgetalvermenigvuldigen.Opdie manierleidendeoptellingendescalairevermenigvuldigingin V totdetweebewerkingen: +: W × W → V (u,v) → u + v en : R × W → V (r,u) → r u. (1)

Hetisdenkbaardatvoor u,v ∈ W desom u + v niettot W behoort.Indatgevalisdeoptellingnietinwendig in W enis W ,voorzienvandebewerkingen(1),geenvectorruimte.Evenzokanvoor r ∈ R en u ∈ W descalaire vermenigvuldiging r u buiten W vallen.

✸ Voorbeeld. Neemdevectorruimte R, R2 , +enbeschouwdedeelverzameling W = {(a,a +1) | a ∈ R}

(a) Geefdrieverschillendevectorenvan W (b) Toonaandatdeoptellingnietinwendigisin W

Oplossing.

(a) Stellenwe a achtereenvolgensgelijkaan0,1en2danvindenwe(0, 1) ∈ W ,(1, 2) ∈ W en(2, 3) ∈ W . (b) Nuis u =(0, 1) ∈ W en v =(1, 2) ∈ W maar u + v =(1, 3) ̸∈ W .Deoptellingisdusnietinwendigin W

Wileenniet-legeverzameling W voorzienvandebewerkingen(1)zelfeenvectorruimtezijn,danishet nodig datdeze bewerkingeninwendigin W zijn.Zo’nniet-legedeelverzamelingnoemenwevoortaaneen deelruimte.Wezullenlater ziendatdezevoorwaardenook voldoende zijnopdat W destructuurvaneenvectorruimtezouhebben.

V W voorstellingvan W ≤ V 1 Zo’nvoorstellingisgerelateerdaanhetbegrip Hasse-diagram:eengrafischevoorstellingvaneeneindige,zogenaamde partieelgeordende verzameling,bijvoorbeeld {0, 1, 2, 3} voorzienvanderelatie < ofdel(12)voorzienvanderelatie iseengeheledelervan.Inhetdiagram wordendeelementenvandeverzamelinggetekendalspuntenendeordeningsrelatieweergegevendoortweeelementendieelkaarsdirecte opvolgerenvoorgangerzijn,teverbindendooreenlijnendegroterevandetweehogertetekenendandekleinere.Dusals x<y eneris geenelementtussendezetwee,zodat x eendirectevoorgangerisvan y,wordt y hogerdan x geplaatstenbeidedooreenlijnverbonden. Opdezemanierontstaateenoverzichtelijkevoorstellingvandeordening.Zoudenweallevergelijkbareelementenverbinden,danzoudoor deveelheidvanlijnenvaakeenonoverzichtelijkewirwarontstaan.DetermHasse-diagramisgenoemdnaardeDuitsewiskundigeHelmut Hasse (1898-1979).Zie[16].

W eendeelruimte van V alsdevolgendevoorwaardenvoldaanzijn:

Neemdevectorruimte R, R2 , +enbeschouwdedeelverzameling W = {(2a, 3a) | a ∈ R}.

Toonaandat W eendeelruimtevan R2 is. Oplossing. Wegaandedrievoorwaardenindedefinitievandeelruimtena.

(0) Is W = ∅? Stellenwe a =0danvindenwe(0, 0) ∈ W ,zodat W = ∅

(1) Is ∀u,v ∈ W : u + v ∈ W ?Neem u,v ∈ W willekeurig.Wemoetenbewijzendat u + v ∈ W .Omdat u ∈ W is u =(2a, 3a)vooreenzekere a ∈ R.Analoogis v =(2a′ , 3a′)vooreenzekere a′ ∈ R.Welnu, u + v = (2a, 3a)+(2a ′ , 3a ′)=(2a +2a ′ , 3a +3a ′)=(2(a + a ′), 3(a + a ′)) ∈ W.

(2) Is ∀r ∈ R, ∀u ∈ W : r u ∈ W ?Neem u ∈ W en r ∈ R willekeurig.Wemoetenbewijzendat ru ∈ W . Omdat u ∈ W is u =(2a, 3a)vooreenzekere a ∈ R.Welnu, ru = r(2a, 3a)=(2ra, 3ra)=(2(ra), 3(ra)) ∈ W.

Dankzijdevolgendeeigenschapkanhetschrijfwerkinzo’noefeningwatingekortworden.

✸ Eigenschap(criteriumvoordeelruimte). Zij R,V, +eenvectorruimteen W eenniet-legedeelverzameling van V .Dangeldt: W iseendeelruimtevan V ⇔∀u,v ∈ W, ∀r,s ∈ R : ru + sv ∈ W

Bewijs. Steleerstdat W eendeelruimtevan V is.Wemoetenaantonendat ∀u,v ∈ W, ∀r,s ∈ R : ru + sv ∈ W Neemdaartoe u,v ∈ W en r,s ∈ R willekeurig.Danis ru ∈ W en sv ∈ W (waarom?).Nuvolgtookdat ru + sv ∈ W (waarom?).

Omgekeerd,steldat

∀u,v ∈ W, ∀r,s ∈ R : ru + sv ∈ W. (∗)

Wemoetenbewijzendat W voldoetaanvoorwaarden(1)en(2)vandedefinitievandeelruimten. Om(1)tebewijzen,moetenweaantonendat ∀u,v ∈ W : u + v ∈ W .Neemdaartoe u,v ∈ W willekeurig. Passenwe(∗)toemet r = s =1danvindenwe ru + sv ∈ W ⇒ 1 u +1 v ∈ W ⇒ u + v ∈ W

waarbijwegesteundhebbenopaxioma8voordevectorruimte V Om(2)tebewijzen,moetenweaantonendat ∀r ∈ R, ∀u ∈ W : r u ∈ W .Neemdaartoe r ∈ R en u ∈ W willekeurig.Passenwe(∗)toemet s =0en v ∈ W willekeurigdanvindenwe ru + sv ∈ W ⇒ ru +0 v ∈ W ⇒ ru +0V ∈ W ⇒ ru ∈ W

waarbijwegesteundhebbenopaxioma’s2en8voordevectorruimte V .

✸

Modelvoorbeeld2. Beschouwdevectorruimte R, R2×3 , +endedeelverzameling U = ßï2aa + b 0 b 03aò a,b ∈ R™ .

Toonaandat U eendeelruimteisvan R2×3 .

Oplossing. Alvastis U = ∅ wantvoor a = b =0vindenwedat ï000 000ò ∈ U .Vervolgensgaanwehetcriterium voordeelruimtena. Neemdaartoe u,v ∈ U en r,s ∈ R willekeurig.Wemoetenaantonendat ru + sv ∈ U .Omdat u ∈ U is u = ï2aa + b 0 b 03aò voorzekere a,b ∈ R.Analoogis v = ï2a′ a′ + b′ 0 b′ 03a′ò voorzekere a′,b′ ∈ R.Welnu, ru + sv = r ï2aa + b 0 b 03aò + s ï2a′ a′ + b′ 0 b′ 03a′ò = ï2(ra + sa′)(ra + sa′)+(rb + sb′)0 (rb + sb′)03(ra + sa′)ò ∈ U.

Elkevectorruimteheeft,opeentrivialemanier,minstens´e´endeelruimte.Hetbewijsiseenvoudigenlatenweals oefeningvoordelezer.

✸ Eigenschap(trivialedeelruimten). Zij R,V, +eenvectorruimte.Dangeldt:

(1) {0V } iseendeelruimtevan V , (2) V iseendeelruimtevan V .

Wenoemendedeelruimte {0V } denulruimte van V endedeelruimte V devolleruimte van V .Ditzijndezogenaamde trivialedeelruimten van V .Elkeanderedeelruimtevan V wordteeneigenlijke(ofechte)deelruimte van V genoemd.

✸

Eigenschap(basiseigenschappenvaneendeelruimte). Zij R,V, +eenvectorruimteen W eendeelruimte van V .Dangeldt:

(i) 0V ∈ W , (ii) ∀v ∈ W : v ∈ W .

Bewijsvan (i). Omdat W ≤ V ,geldt ∀r ∈ R, ∀u ∈ W : r u ∈ W .Kiesnu r =0enneem u ∈ W willekeurig (datkanwant W = ∅).Danis

r u ∈ W ⇒ 0 u ∈ W ⇒ 0V ∈ W

waarbijwegesteundhebbenopbasiseigenschap(iv)voordevectorruimte V .

Bewijsvan (ii). Neem v ∈ W .Omdat W ≤ V ,geldt ∀r ∈ R, ∀u ∈ W : r u ∈ W .Kiesnu r = 1en u = v. Danis

r · u ∈ W ⇒ ( 1) · v ∈ W ⇒−v ∈ W waarbijwegesteundhebbenopbasiseigenschap(vii)voordevectorruimte V

Dezebasiseigenschappenzijnookhandigomtedetecterendateendeelverzamelingvaneenvectorruimtegeendeelruimteis.Wegeventoelichtingmetvolgend

✸ Modelvoorbeeld4. Beschouwdevectorruimte R, R3 , +endedeelverzameling W = {(x,y,z) ∈ R3 | 2x 3y +5z =1}

Bewijsdat W geendeelruimtevan R3 isdoorgebruiktemakenvandevorigeeigenschap. Oplossing. Mocht W eendeelruimtezijnvan R3 danzouwegensdevorigeeigenschapdenulvector0R3 =(0, 0, 0) tot W behoren.Maar(0, 0, 0) ̸∈ W want2 0 3 0+5 0 =1,zodat W geendeelruimtevan R3 is.

Totslottonenwehethoofdresultaatuitdezeparagraafaan.

✸ Stelling(hoofdeigenschapvandeelruimte). Zij R,V, +eenvectorruimteen W eendeelverzamelingvan V Beschouwdebewerkingen+: W × W → V en · : R × W → V .Dangeldt: W iseendeelruimtevan V ⇔ R,W, +iseenvectorruimte

Bewijs. Steleerstdat R,W, +eenvectorruimteis.Wemoetenaantonendat W eendeelruimtevan V is.Alvast is W ⊆ V ,zodatweenkeldedrievoorwaardenindedefinitievandeelruimtemoetennagaan. Uitdedefinitievanvectorruimtevolgtonmiddellijkdat W = ∅.Verdervolgtuitdedefinitieookdatdeoptelling enscalairevermenigvuldiginginwendigin W zijn,hetgeenpreciesbetekentdat ∀u,v ∈ W : u + v ∈ W en ∀r ∈ R, ∀u ∈ W : r u ∈ W .Webesluitendat W eendeelruimtevan V is.

Omgekeerd,steldat W eendeelruimteisvan V .Wemoetenaantonendat R,W, +eenvectorruimteis.Wegens voorwaarde(0)indedefinitievandeelruimteis W eenniet-legeverzameling.Voorwaarden(1)en(2)drukken uitdatdeoptellingenscalairevermenigvuldiginginwendigin W zijn.Vervolgensgaanwedeachtaxioma’sin dedefinitievanvectorruimtena.

Omaxioma1tecontroleren,moetenweaantonendatdeoptellingin W isassociatiefis,insymbolen: ∀u,v,w ∈ W :(u + v)+ w = u +(w + v).Neemdaartoe u,v,w ∈ W .Omdat W ⊆ V ,isook u,v,w ∈ V .Nuis V eenvectorruimte,zodat V voldoetaanaxioma1,dus(u + v)+ w = u +(w + v).

Opdezelfdemaniervolgenaxioma’s1,4,5,6,7en8onmiddellijkuithetfeitdat V eenvectorruimteis:omdat W ⊆ V endeoptellingenscalairevermenigvuldigingin W dezelfdezijnalsin V ,zullendezeaxioma’sookgelden voorvectorenvan W

Omaxioma2nategaan,moetenwebewijzendatereenneutraalelementvoordeoptellingin W is,insymbolen: ∃0W ∈ W : ∀u ∈ W : u +0W = u =0W + u.Omdat W eendeelruimteis,volgtuitdebasiseigenschappenvan eendeelruimtedat0V ∈ W .Omdat W ⊆ V zal ∀u ∈ W : u +0V = u =0V + u

Opdezelfdemanierwordtaxioma3nagegaan.Webesluitendat R,W, +eenvectorruimteis.

Indezeparagraaflerenwehoejemeteenbeperktaantalvectoreneendeelruimtekangenereren.

✸ Definitie(lineairecombinatievanvectoren). Beschouweenvectorruimte R,V, +en v1,v2,...,vn ∈ V Elkevectorvandegedaante

r1v1 + r2v2 + + rnvn waarbij r1,r2,...,rn ∈ R noemenweeenlineairecombinatievan {v1,v2,...,vn} Voorbeeld. Beschouwdevectorruimte R, R3 , +endevectoren v1 =(2, 0, 3)en v2 =( 1, 1, 0)van R3.Danis bijvoorbeeld3v1 +( 2)v2 =(8, 2, 9)eenlineairecombinatievan {v1,v2}.Algemeenkunnenweeenlineaire combinatievan {v1,v2} alsvolgtherschrijven(vulaan):

r1v1 + r2v2 = r1(2, 0, 3)+ r2( 1, 1, 0)

= (2r1, 0, 3r1)+( r2,r2, 0)

= (2r1 r2,r2, 3r1), waarbij r1,r2 ∈ R

✸ Definitie(opspanningvanvectoren). Beschouweenvectorruimte R,V, +en v1,v2,...,vn ∈ V .Deverzamelingvanallelineairecombinatiesvan {v1,v2,...,vn} noemenwedeopspanningvan {v1,v2,...,vn} diewe noterenmetSpan{v1,v2,...,vn}.

Insymbolen:

Span{v1,v2,...,vn} = {r1v1 + r2v2 + ··· + rnvn | r1,r2,...,rn ∈ R}

Voorbeeld. Beschouwuithetvorigevoorbeelddevectorruimte R, R3 , +endevectoren v1 =(2, 0, 3)en v2 = ( 1, 1, 0).Dankandeopspanningvan {v1,v2} genoteerdwordenals(vulaan): Span{v1,v2} = {r1v1 + r2v2 | r1,r2 ∈ R} = {(2r1 r2,r2, 3r1) | r1,r2 ∈ R}

Omdatelkelineairecombinatievan {v1,v2,...,vn} tot V behoort,iselkelementvanSpan{v1,v2,...,vn} ookeen elementvan V .HieruitvolgtdatSpan{v1,v2,...,vn} eendeelverzamelingvan V is.Wezullenlateraantonendat Span{v1,v2,...,vn} ookeendeelruimtevan V is.Eerstlatenweeentypischeoefeningzien:nagaanofeenvector behoorttoteenopspanningvanvectoren.

✸ Modelvoorbeeld1. Beschouwindevectorruimtevanreeleveeltermen R, R[X], +devectoren v1 = 2+2X X 2 ,v2 =3+2X + X 2 ,v3 =5+2X 2 en w = 12+2X 5X 2 Ganaofdevector w behoorttotSpan{v1,v2,v3}.Zoja,schrijf w alseenlineairecombinatievan {v1,v2,v3}. Oplossing. Devector w behoorttotSpan{v1,v2,v3} enkelenalleenals w eenlineairecombinatievan {v1,v2,v3} is,dusalsenslechtsals

✸ Stelling(hoofdeigenschapvanopspanningvanvectoren).

Zij R,V, +eenvectorruimteen v1,v2,...,vn ∈ V .Dangeldt: (i) v1,v2,...,vn ∈ Span{v1,v2,...,vn}, (ii) Span{v1,v2,...,vn} iseendeelruimtevan V , (iii) als W eendeelruimteisvan V met {v1,v2,...,vn}⊆ W ,danis Span{v1,v2,...,vn}⊆ W

Bewijsvan (i) Omdat

Span{v1,v2,...,vn} = {r1v1 + r2v2 + ··· + rnvn | r1,r2,...,rn ∈ R} en v1 =1 v1 +0 v2 + +0 vn is v1 ∈ Span{v1,...,vn}.Analoogis v2,...,vn ∈ Span{v1,v2,...,vn}

V W v1,...,vn ∈ Span{v1,v2,...,vn}

voorstellingvan(iii) Bewijsvan (ii) AlvastisSpan{v1,...,vn} nietleeg(waarom?).Vervolgensgaanwemethetcriteriumvoor deelruimtenadatSpan{v1,...,vn} eendeelruimteisvan V Neem u,v ∈ Span{v1,...,vn} en r,s ∈ R.Danis u = r1v1 + ··· + rnvn voorzekere r1,...,rn ∈ R en v = s1v1 + + snvn voorzekere s1,...,sn ∈ R.Bijgevolgis ru + sv = r(r1v1 + + rnvn)+ s(s1v1 + + snvn)=(rr1 + ss1)v1 + +(rrn + ssn)vn eenlineairecombinatievan {v1,...,vn} zodat ru + sv ∈ Span{v1,...,vn} Bewijsvan (iii) Zij W ≤ V en v1,...,vn ∈ W .Danbehoortelkelineairecombinatievan {v1,...,vn} tot W , want R,W, +iseenvectorruimte(ziehoofdeigenschapvaneendeelruimte).DusSpan{v1,...,vn}⊆ W

✸ Afspraak. Zij R,V, +eenwillekeurigevectorruimte.Deel(iii)vandevoorgaandestellingkarakteriseertde opspanningSpan{v1,...,vn} alsdekleinstedeelruimtevan V diedeverzameling {v1,...,vn} omvat.Daarom ishetnatuurlijkomdeopspanningvandelegeverzameling ∅ tedefinierenalsdekleinstedeelruimtevan V die ∅ omvat.Datisdenulruimte {0V }.Wesprekendusafdatdeopspanningvandelegeverzamelinggelijkisaan denulruimte {0V }.Insymbolen:

Span{} = {0V }

Omdatdeopspanningvaneendeelverzamelingstaatvoorallelineairecombinatiesvandiedeelverzameling,leidt Span{} = {0V } totdeafspraak: eris´e´enlineairecombinatievandelegeverzameling,endieisgelijkaandenulvector0V

Dehoofdeigenschapvanopspanningvanvectorenleidttoteencriteriumomnategaanwanneertweeopspanningen vanvectorenaanelkaargelijkzijn.

✸ Gevolg(criteriumvoorgelijkheidvanopspanningen). Zij R,V, +eenvectorruimte, v1,...,vn ∈ V en w1,...,wm ∈ V .Dangeldt: Span{v1,v2,...,vn} =Span{w1,w2,...,wm} ⇕ v1,v2,...,vn ∈ Span{w1,w2,...,wm} en w1,w2,...,wm ∈ Span{v1,v2,...,vn} Bewijs. VerondersteleerstdatSpan{v1,...,vn} =Span{w1,...,wm}.Uitdehoofdeigenschapvanopspanning vanvectorenvolgtnu: v1,...,vn ∈ Span{v1,...,vn} =Span{w1,...,wm}

Analooggeldt w1,...,wm ∈ Span{v1,...,vn}

Omgekeerd,steldat v1,...,vn ∈ Span{w1,...,wm} en w1,...,wm ∈ Span{v1,...,vn}.Noemenwe W =Span{w1,...,wm},danis v1,...,vn ∈ W enuitdehoofdeigenschapvanopspanningvanvectorenvolgt datSpan{v1,...,vn}⊆ W .Hieruitvolgt: Span{v1,...,vn}⊆ Span{w1,...,wm}

EenanalogeredeneringleidttotSpan{w1,...,wm}⊆ Span{v1,...,vn}.Ditbesluithetbewijs.

Modelvoorbeeld2. Toonindevectorruimte R, R[X], +vanallereeleveeltermenaandat Span{1+ X, 1 X} =Span{1,X}

Oplossing. Wegenshetcriteriumvoorgelijkheidvanopspanningenvolstaathetomaantetonendat 1+ X, 1 X ∈ Span{1,X} endat1,X ∈ Span{1+ X, 1 X}.Deeerstebeweringvolgtuit

1+ X =1 1+1 X ∈ Span{1,X} en1 X =1 1+( 1) X ∈ Span{1,X}.

Detweedebeweringvolgtuit

1= 1 2 (1+ X)+ 1 2 (1 X) ∈ Span{1+ X, 1 X} en X = 1 2 (1+ X) 1 2 (1 X) ∈ Span{1+ X, 1 X}

Totdusverhebbenwe,omtebewijzendateendeelverzamelingvaneenvectorruimteookeendeelruimteis,telkens gebruikgemaaktvandedefinitievandeelruimteofvanhetcriteriumvoordeelruimte.Dehoofdeigenschapvan opspanningvanvectorenbiedtvaakeenkorteralternatief:iseendeelverzamelingteschrijvenalsdeopspanningvan vectoren,danisdiedeelverzamelingnoodzakelijkeendeelruimte.Welichtendittoeaandehandvantweevoorbeelden.

✸ Modelvoorbeeld3. Beschouwdevectorruimte R, R3 , +endedeelverzameling

W = {(2s, 3s t,s +5t) | s,t ∈ R}⊆ R3

Toonaandat W eendeelruimtevan R3 is. Oplossing. Doorhet scheidenvandeparameters kunnen wededeelverzameling W alsvolgtherschrijven:

W = {(2s, 3s t,s +5t) | s,t ∈ R}

= {(2s, 3s,s)+(0, t, 5t) | s,t ∈ R}

= {s(2, 3, 1)+ t(0, 1, 5) | s,t ∈ R}

= Span{(2, 3, 1), (0, 1, 5)}.

Wegensdehoofdeigenschapvanopspanningvanvectoren isSpan{(2, 3, 1), (0, 1, 5)} eendeelruimtevan R3.Dus W iseendeelruimtevan R3

MerkopdatSpan{(2, 3, 1)} enSpan{(0, 1, 5)} ophun beurtdeelruimtenzijnvandevectorruimte R,W, +. Daarnaastisookdenulruimteeendeelruimtevan devectorruimte R, Span{(2, 3, 1)}, +endevectorruimte R, Span{(0, 1, 5)}, +.Hetgeheelkangeschematiseerd wordenzoalsopnevenstaandefiguur.Merkopdat W ook noganderedeelruimtenheeft(geefeenvoorbeeld).

R3 W =Span{(2, 3, 1), (0, 1, 5)} Span{(2, 3, 1)} Span{(0, 1, 5)} {(0, 0, 0)}

voorstellingvan W ≤ R3 enzijndeelruimten

Hetbegripgraadvaneenveeltermlaatonstoeomindevectorruimtevanreeleveeltermeneenbijzondereklassevan deelruimtenteonderscheiden.

✸ Definitie(R[X]<n). Beschouwdevectorruimte R, R[X], +vanallere¨eleveeltermen.Voor n ∈ N0 defini¨eren wedeverzamelingvanreeleveeltermenin X metgraadkleinerdan n,samenmetdenulveelterm,als R[X]<n = {a0 + a1X + a2X 2 + + an 1X n 1 | a0,a1,...,an 1 ∈ R}

✸ Modelvoorbeeld4. Beschouwdevectorruimte R, R[X], +vanallereeleveeltermen.Toonaandat R[X]<n eendeelruimtevan R[X]is. Oplossing. Doorhetscheidenvandeparameterskunnenwededeelverzameling R[X]<n herschrijvenalseen opspanningvanvectoren: R[X]<n = {a0 + a1X + a2X 2 + ··· + an 1X n 1 | a0,a1,...,an 1 ∈ R} = {a0 · 1+ a1X + a2X 2 + ··· + an 1X n 1 | a0,a1,...,an 1 ∈ R} =Span{1,X,X 2,...,X n 1}, zodat R[X]<n eendeelruimteisvan R[X].

3DeelruimtenBasisVerdiepingUitbreiding ⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆

3.1Definitievandeelruimten

3.2Basiseigenschappenvandeelruimten 1 2 3 4 5

67 8 910 11 12

3.3Lineairecombinatiesenopspanningvanvectoren1314 15 16 17 18 19

Oefeningenbij 3.1en 3.2

20 21 22232425 26

B Oefening1. Gatelkensnaofdevermeldedeelverzamelingvandevectorruimte R, R2 , +ookeendeelruimteis.

(a) {(3s, 2+5s) | s ∈ R}

(b) {(x,y) ∈ R2 | x + y =1}

(c) {(x,y) ∈ R2 | x + y =0}

(d) {(x,y) ∈ R2 | x2 + y2 =1}

(e) {(x,y) ∈ R2 | xy =0}

(f) {(x,y) ∈ R2 | x ≥ 0}

B Oefening2. Beschouwdevectorruimte R, Rn×n , +endedeelverzamelingvanallescheefsymmetrischematrices W = {A ∈ Rn×n | AT = A} Toonaandat W eendeelruimtevan Rn×n is.

B⋆ Oefening3. Gatelkensnaofdevermeldedeelverzamelingvandevectorruimte R, R3 , +ookeendeelruimteis.

(a) {(3s, 1 t,s) | s,t ∈ R}

(b) {(x,y,z) ∈ R3 | 5x 3y +2z =0}

(c) {(x,y,z) ∈ R3 | x y + z =1}

(d) ß(x,y,z) ∈ R3 x 5 = y 3 = z 2 ™

(e) {(x,y,z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 =0}

(f) {(x,y,z) | x,y,z ∈ Q}

B⋆ Oefening4. Gatelkensnaofdevermeldedeelverzamelingvandevectorruimte R, R2×2 , +ookeendeelruimteis.

(a) ßï ab 1 b 0ò a,b ∈ R™

(b) ßïab cdò ∈ R2×2 a + d =0™

B⋆ Oefening5. Gatelkensnaofdevermeldedeelverzamelingvandevectorruimte R, R[X], +ookeendeelruimteis.

(a) {aX 2 | a ∈ R}

(b) {a + bX + cX 2 | a,b,c ∈ Z}

(c) {A ∈ R[X] | gr A ≥ 2}

(d) {A ∈ R[X] | gr A ≥ 2}∪{0R[X]}

(e) {A ∈ R[X] | A isdeelbaardoor X 2}

(f) {A ∈ R[X] | A isnietdeelbaardoor X 2}

Oefening6. Ganaofdevolgendedeelverzamelingvandevectorruimte R, RN , +eendeelruimteis: W = {(r s, 2r 4s, 3r 9s, 4r 16s, 5r 25s,...) | r,s ∈ R}

V Oefening7. Gatelkensnaofdevermeldedeelverzamelingvandevectorruimte R, RR , +ookeendeelruimteis.

(a) {f ∈ RR | f (2)=1}

(b) {f ∈ RR | f (2)=3 · f (0)}

(c) {f ∈ RR | f iseenevenfunctie}

(d) {f ∈ RR | f iseenonevenfunctie}

(e) f ∈ RR | f iseenveeltermfunctie

(f) {a sin x + b cos x | a,b ∈ R}

V Oefening8. Beschouwvooreenmatrix A ∈ Rm×n deoplossingsverzameling WA vanhetlineairhomogeenstelsel A · X =0.Toonaandat WA eendeelruimtevandevectorruimte R, Rn , +is.

V⋆⋆ Oefening9. Zij R,V, +eenvectorruimteen W1,W2 tweedeelruimtenvan V .Bewijs: W1 ∪ W2 = V ⇔ W1 = V of W2 = V.

U⋆ Oefening10(veralgemeenderijenvanFibonacci). EenveralgemeenderijvanFibonacci iseen(reele)rij(an) dievoldoetaanderelatie an+2 = an+1 + an voorelke n ∈ N.Toonaandatdeverzameling W vanalleveralgemeende rijenvanFibonaccieendeelruimtevandevectorruimte R, RN , +is.

U⋆ Oefening11(periodiekeafbeeldingenmetperiode p). Zij p ∈ R+ 0 .Eenperiodiekeafbeeldingmetperiode p is een R R afbeeldingwaarvoorgeldtdat f (x p)= f (x)= f (x + p)voorelke x ∈ R.Toonaandatdeverzameling Wp vanalleperiodiekeafbeeldingenmetperiode p eendeelruimtevandevectorruimte R, RR , +is.

U⋆⋆

Oefening12(tweedecriteriumvoordeelruimte). Zij R,V, +eenvectorruimteen W eenniet-legedeelverzamelingvan V .Bewijs: W iseendeelruimtevan V alsenslechtsalsvoorelke u,v ∈ W en r ∈ R geldt: r u + v ∈ W .

Oefeningenbij 3.3

B Oefening13. Zij R,V, +eenvectorruimteen u,v ∈ V .Bewijs:Span{u,v} =Span{u + v,u v}

B⋆ Oefening14. Beschouwdevectorruimte R, R2 , +endevectoren v1 =(1, 2)en v2 =( 3, 2).Ganaofdevector ( 3, 2)kangeschrevenwordenalseenlineairecombinatievan {v1,v2}.

B⋆ Oefening15. Toontelkensaandatdeverzamelingeendeelruimteisvandevermeldevectorruimte.

(a) {(x,y) ∈ R2 | x + y =0} in R, R2 , + (b) {(3s, 1 t,s) | s,t ∈ R} in R, R3 , + (c) {(x,y,z) ∈ R3 | 5x 3y +2z =0} in R, R3 , + (d) ß(x,y,z) ∈ R3 x 5 = y 3 = z 2 ™ in R, R3 , + (e) ßïab cdò ∈ R2×2 a + d =0™ in R, R2×2 , + (f) {aX 2 | a ∈ R} in R, R[X], +

B⋆⋆

Oefening16. Beschouwdevectorruimte R, R3 , +endevectoren

v1 =(1, 0, 1),v2 =(1, 2, 1),v3 =(2, 3, 2)en v4 =(4, 1, 4)

Gatelkensnaofdegegevenvectoreenlineairecombinatievan {v1,v2,v3,v4} is.Zoja,schrijfzo’nlineairecombinatie openganaofdezeschrijfwijzeuniekis.

(a) v =(7, 0, 7)

(b) v =(11, 6, 5)

(c) v =(1, 9, 1)

Oefening17. Beschouwdevectorruimte R, R4 , +endevectoren

v1 =(1, 3, 2, 5),v2 =(2, 6, 4, 10),v3 =(3, 2, 1, 7),v4 =(0, 7, 5, 8)en v5 =(0, 7, 7, 8)

Gatelkensnaofdegegevenvectortotdeopspanningvan {v1,v2,v3,v4,v5} behoort.Zoja,schrijfzo’nlineaire combinatieopenganaofdezeschrijfwijzeuniekis.

(a) v =(2, 1, 1, 2)

(b) w =(3, 2, 1, 6)

B⋆⋆ Oefening18. Beschouwdevectorruimte R, R2 , +endevectoren v1 =(√2, √3)en v2 =(√5, √13).Toontelkens aandatdevector u totdeopspanningvan {v1,v2} behoortenschrijf u alseenlineairecombinatievan {v1,v2}.Is dezeschrijfwijzeuniek?

(a) u =(√7, √10)

(b) u =(√2+ √5, √13 √3)

B⋆⋆ Oefening19. Toontelkensaanindevermeldevectorruimte.

(a) Span{(2, 3, 1)}≤ Span{(8, 8, 4), (6, 5, 3), (2, 1, 1)} in R, R3 , +

(b) Span{X 2 +2}≤ Span{3X 2 + X +1,X 5, 2X 2 + X 1,X 2 X 3} in R, R[X], +

(c) Span{(2, 3, 1, 0), ( 3, 1, 0, 2)} =Span{( 4, 5, 1, 4), (9, 8, 3, 2)} in R, R4 , + (d) Span{(1, 2, 1), (2, 3, 2)}̸=Span{(4, 1, 3), ( 3, 1, 2)} in R, R3 , + (e) Span{sin2 x, cos2 x} =Span{1, cos(2x)} in R, RR , +

V Oefening20. Bepaaltelkensdewaarde(n)van a ∈ R waarvoorindevermeldevectorruimtegeldt: (a) (2, 3,a) ∈ Span{(5, 1, 2), (3, 2, 1)} in R, R3 , +, (b) ( 1, 2, 3a) ∈ Span{(2,a, 7), ( 1, 2, 3)} in R, R3 , +, (c) (a + X)3 ∈ Span{1,X,X 2,X 3} in R, R[X], +.

V Oefening21. Beschouwdevectorruimte R, R3 , +.Bepaaldewaarde(n)van r waarvoordedeelruimtevoortgebracht door {(4, 5, 6), (r, 5, 1), (4, 3, 2)} eenechtedeelruimteis.

V⋆ Oefening22. Zij R,V, +eenvectorruimteen u,v ∈ V .Verderisgegevendat u ∈ Span{v} en v ̸∈ Span{u}.Welke vandevolgendeuitsprakenzijnjuist?Motiveerjeantwoord.

(1) u = v

(2) u = v

(3) u =0V en v =0V

(4) u =0V en v =0V

(5) u =0V en v =0V

(6) Deopgaveiszinloos,ergeldtimmersnooitdat u ∈ Span{v} en v ̸∈ Span{u}

Oefening23(transitiviteitvandeopspanningvanvectoren). Zij R,V, +eenvectorruimteen u,v,w

Bewijs:als u ∈ Span{v} en v ∈ Span{w} danis u ∈ Span{w}.

Oefening24(classificatievandedeelruimtenvan R2). Beschouwdevectorruimte R, R2 , +enzij W eendeelruimtevan R2.Toonaandat W toteenvandevolgendegevallenbehoort. (1) W iseentrivialedeelruimte: W = {0R2 } of W = R2 of (2) W iseenvectorrechte: W =Span{u} vooreenniet-nulvector u ∈ R2 U

Oefening25(criteriumvoorhetbehorenvaneenvectortoteenopspanningvanvectorenin Rm). Beschouwdevectorruimte R, Rm , +envectoren v1,v2,...,vn ∈ Rm en w ∈ Rm.Beschouwdematrices A en(A | w) dieweverkrijgendoordevectoren

Toonaan:

Oefening26. Zij R,V, +eenvectorruimteen v1,v2,...,vn ∈ W .Toonaan: denulvectorisopeenuniekemanierteschrijven alseenlineairecombinatievan {v1,v2,...,vn} ⇕ elkevectorvanSpan{v1,v2,...,vn} isopeenuniekemanier teschrijvenalseenlineairecombinatievan {v1,v2,...,vn}

Basis

Inhetvorigehoofdstukleerdenwedatje,vertrekkendvaneeneindigaantalvectoren,eenvectorruimtekanopspannen. Omgekeerdkunnenweonsdevraagstellenofje,vertrekkendvaneenvectorruimte,steedseeneindigaantalvectoren kanvindendiedezegegevenvectorruimteopspannen.Indatgevalkunnenweonsafvragenwathetminimaalaantal vectorenisdatnodigisomdievectorruimtevoorttebrengen.Totslotdringtzichhetprobleemophoeweineen concretesituatiedievoortbrengendevectorenkunnenvinden.

4.1Voortbrengendevectoren

✸ Definitie(voortbrengend). Zij R,V, +eenvectorruimteen D eeneindigedeelverzamelingvan V .Als Span D = V dannoemenwe D voortbrengendvoor V . Alserzo’neindigedeelverzameling D van V bestaat,dannoemenwedevectorruimte R,V, +eindigvoortgebracht

✸ Voorbeeld. Beschouwdevectorruimte R, R2 , +.Nuis: R2 = {(x,y) | x,y ∈ R} = {x(1, 0)+ y(0, 1) | x,y ∈ R} =Span{(1, 0), (0, 1)}

Dusdevectorruimte R, R2 , +wordtvoortgebrachtdoor D1 = {(1, 0), (0, 1)}.Bijgevolgis R2 eeneindigvoorgebrachtevectorruimte.Deverzamelingvoortbrengendevectoren D1 iszekernietuniek.Zoisbijvoorbeeld ook D2 = {(1, 1), (1, 1), (2, 1)} voortbrengendvoor R2.Inderdaad,(1, 1), (1, 1), (2, 1) ∈ R2 =Span D1 en daarnaastis(vulaan):

(1, 0)= (2, 1) (1, 1) ∈ Span D2 en (0, 1)= (1, 1)+(1, 1) (2, 1) ∈ Span D2

WegenshetcriteriumvoorgelijkheidvanopspanningenisSpan D2 =Span D1 = R2,zodat D2 inderdaad voortbrengendvoor R2 is.

✸ Opmerking. Beschouwdetrivialevectorruimte R, {0V }, +.Danis D1 = {0V } voortbrengendvoor R, {0V }, + want(vulaan):

Span D1 = Span{0V } = {r · 0V | r ∈ R} = {0V }

Daarnaastisook D2 = ∅ voortbrengendvoor R, {0V }, +wantwegenseeneerdergemaakteafspraakis(vulaan):

Span D2 = Span{} = {0V }

Beidevoortbrengendeverzamelingentonenaandatdetrivialevectorruimteeeneindigvoortgebrachtevectorruimteis.Weonthouden:

∅ isvoortbrengendvoordetrivialevectorruimte R, {0V }, +

✸ Modelvoorbeeld1. Beschouwdevectorruimte R, R3 , +endevectoren v1 =(2, 1, 3),v2 =(3, 1, 3),v3 =(9, 2, 6)en v4 =(0, 5, 15)

Ganaof D = {v1,v2,v3,v4} voortbrengendisvoor R3.Indienniet,geefdaneenvectorvan R3 diegeenlineaire combinatievan D is. Oplossing. Wil D = {v1,v2,v3,v4} voortbrengendvoor R3 zijn,danmoetelkevectorvan R3 eenlineaire combinatievan D zijn.Eenwillekeurigevector v =(a,b,c) ∈ R3 iseenlineairecombinatievan D alsenslechts als ∃r,s,t,u ∈ R :(a,b,c)= r(2, 1, 3)+ s(3, 1, 3)+ t(9, 2, 6)+ u(0, 5, 15) ⇔∃r,s,t,u ∈ R :    2r +3s +9t = a r + s 2t +5u = b 3r 3s +6t 15u = c.

∼ 

Weonderzoekendeoplosbaarheidvanditlineairstelseldoorrijoperatiestoetepassenopdeuitgebreidematrix:   2390 a 11 25 b 3 36 15 c 

103 3 a/5+ c/5 0112 a/5 2c/15 0000 b + c/3  

Opdiemanierzienwedathetoorspronkelijkstelseloplossingenheeftalsenslechtsals b + c/3=0.Zoisbijvoorbeeld(0, 1, 0) ̸∈ Span D,zodatSpan D = R3.Webesluitendatdeverzamelingvectoren D = {v1,v2,v3,v4} nietvoortbrengendisvoor R3

✸ Stelling(hoofdeigenschapvanvoortbrengendevectoren). Zij R,V, +eenvectorruimteen D eeneindige deelverzamelingvan V .Dangeldt: D isvoortbrengendvoor V ⇕ elkevectorvan V isopminstens´e´enmanierteschrijven alseenlineairecombinatievan D. Bewijs. Destellingiswaarvoor D = ∅ (gana)zodatwevoorhetvervolgmogenaannemendat D = ∅.Schrijven we D = {v1,v2,...,vn} danvolgtuitdedefinitievanvoortbrengendheid: D isvoortbrengendvoor V

V =Span D

V ⊆ Span D wantergeldtaltijddatSpan D ⊆ V

∀v ∈ V : v ∈ Span{v1,v2,...,vn}

∀v ∈ V : v iseenlineairecombinatievan D = {v1,v2,...,vn}

V ,danis R,W, +eenvectorruimtezodatweookkunnennagaanof W eindigvoortgebrachtis.Indatgevalkanmenuitdebeschrijvingvan W meestalvoortbrengendevectorenafleiden door hetscheidenvandeparameters,eentechniekdiealinhetvorighoofdstukwerdtoegepast.

✸ Modelvoorbeeld2. Beschouwdevectorruimte R, R2×2 , +endedeelruimte W = ßïab 2a 03a 5cò a,b,c ∈ R™

Toonaandat W eindigvoortgebrachtisenbepaaleenverzamelingvoortbrengendevectorenvan W Oplossing. Omvoortbrengendevectorenvan W tevinden,schrijvenwe W alseenopspanningvanvectoren: W = ßïab 2a 03a 5cò a,b,c ∈ R™

= ßïa 2a 03a ò + ï0 b 00ò + ï00 0 5cò a,b,c ∈ R™

= ßa ï1 2 03ò + b ï01 00ò + c ï00 0 5ò a,b,c ∈ R™

=Span ßï1 2 03ò , ï01 00ò , ï00 0 5ò™

Hieruitvolgtdat ßï1 2 03ò , ï01 00ò , ï00 0 5ò™ voortbrengendisvoor W .Dus W iseindigvoortgebracht.

Voegenweaaneenvoortbrengendeverzamelingvectorentoe,danblijftdieverzamelingvoortbrengend.Dathulpresultaatzullenwelaternognodighebben.Hetbewijsiseenvoudigenlatenwealsoefeningvoordelezer.

✸ Lemma(uitbreidenvanvoortbrengdeverzamelingblijftvoortbrengend). Zij R,V, +eenvectorruimte en D1 en D2 tweeeindigedeelverzamelingenvan V waarbij D1 ⊆ D2.Als V wordtvoortgebrachtdoor D1,dan wordt V ookvoortgebrachtdoor D2

Wesluitendezeparagraafafmeteenbelangrijkresultaat:nietelkevectorruimteiseindigvoortgebracht.Hetstandaardvoorbeeldisdevectorruimte R, R[X], +vanallereeleveeltermenin X.Menkanaantonendatookdevectorruimten R, RN , +en R, RR , +nieteindigvoortgebrachtzijn.

✸ Eigenschap. Devectorruimte R, R[X], +isnieteindigvoortgebracht.

Bewijs. Veronderstel,uithetongerijmde,datdevectorruimte R, R[X], +weleindigvoortgebrachtisenzij {v1,...,vn} zo’nvoortbrengendeverzameling.Dankanelke v ∈ R[X]geschrevenwordenalseenlineairecombinatievan {v1,...,vn}: v = r1v1 + r2v2 + ··· + rnvn waarbij r1,r2,...,rn ∈ R

Nemenwevanbeideledendegraadvandeveelterm,danverkrijgenwe gr v =gr(r1v1 + r2v2 + ··· + rnvn) ≤ max{gr v1, gr v2,..., gr vn}

Noem k =max{gr v1, gr v2,..., gr vn} enkiesnu v = X k+1.Danleidtdevorigeongelijkheidtot k +1 ≤ k,een strijdigheid.Webesluitendatdevectorruimte R, R[X], +nieteindigvoortgebrachtis.

Ineenvectorruimtezijnvoortbrengendevectorenmeestalnietuniek.Beschouwbijvoorbeelddevectorruimte R, R2 , + endevoortbrengendevectoren v1 =( 3, 1), v2 =( 2, 5)en v3 =(0, 13).Dangeldt v3 =2v1 3v2 zodat(gana):

R2 =Span{v1,v2,v3} =Span{v1,v2}

Inzekerezinwordt R2 efficientervoortgebrachtdoor {v1,v2} omdatdezeverzamelingeenelementmindertelt.Dereden datwedevoortbrengendeverzameling D = {v1,v2,v3} vandrievectorenkunnenherleidentoteenvoortbrengende verzamelingvantweevectorenisdateenvectoruit D kangeschrevenwordenalslineairecombinatievandeandere vectorenuit D,bijvoorbeeld v3 =2v1 3v2.Schrijvenwedevectoreninhetzelfdelid,danvindenwedebetrekking

2v1 3v2 v3 =0R2

watuitdruktdatdenulvectorgeschrevenkanwordenalslineairecombinatievan D.Eenlineairecombinatievande nulvectorzullenweeen lineairerelatie van D noemen.Uiteraardiseraltijdde triviale lineairerelatie

0v1 +0v2 +0v3 =0R2

Dusderedendateenvectorkangeschrevenwordenalslineairecombinatievandeanderevectorenendusinzekerzin afhangenvanelkaar,isdatdenulvectoropmeerdan´e´enmanierkangeschrevenwordenalseenlineairecombinatie van D.Andersgezegd:erismeerdan´e´enlineairerelatievan D.Ditleidtonstotdevolgendedefinities.

✸ Definitie(lineairerelatie). Zij R,V, +eenvectorruimteen v1,v2,...,vn ∈ V .Eenlineairerelatievan D = {v1,v2,...,vn} iseenbetrekkingvandegedaante

c1v1 + c2v2 + + cnvn =0V waarbij c1,c2,...,cn ∈ R.Debijzonderelineairerelatie0v1 + +0vn =0V noemenwedetrivialelineairerelatie.

Definitie(lineaironafhankelijkenlineairafhankelijk). Zij R,V, +eenvectorruimteen v1,v2,...,vn ∈ V Alsdeenigelineairerelatievan D = {v1,v2,...,vn} detrivialeis,dannoemenwe D lineaironafhankelijk Bestaaterdaarentegeneenlineairerelatievan D dieniettriviaalis,dannoemenwe D lineairafhankelijk Metdevolgendevoorbeeldenlatenwezienhoejenagaatofvectorenlineaironafhankelijkzijn.

✸

✸ Modelvoorbeeld1. Beschouwdevectorruimte R, R4 , +endevectoren v1 =(1, 3, 2, 5),v2 =(3, 2, 1, 7)en v3 =( 3, 5, 4, 1) Ganaof D = {v1,v2,v3} lineaironafhankelijkis.Zoniet,geefdaneenniet-trivialelineairerelatievan D Oplossing. Omnategaanof D = {v1,v2,v3} lineaironafhankelijkis,bepalenweallelineairerelatiesvan D Voor c1,c2,c3 ∈ R geldt: c1v1 + c2v2 + c3v3 =0R4 ⇔ c1(1, 3, 2, 5)+ c2(3, 2, 1, 7)+ c3( 3, 5, 4, 1)=(0, 0, 0, 0)

c1 +3c2 3c3 =0 3c1 +2c2 +5c3 =0 2c1 c2 4c3 =0 5c1 +7c2 + c3 =0 Wewetendat c1 = c2 = c3 =0inelkgevaleenoplossingvandithomogeenstelselis,maaropdatdegegeven vectorenlineaironafhankelijkzoudenzijn,moetenwenagaanofdenuloplossingdeenigeoplossingis.Daartoe lossenwehetstelselopdoorrijherleiden:

Modelvoorbeeld2. Beschouwdevectorruimtevanallereelerijen R, RN , +endevectoren v1 =(1, 2, 3, 4,...) en v2 =(1, 2, 3, 4,...).Ganaof {v1,v2} lineaironafhankelijkis.Zoniet,geefdaneenniet-trivialelineaire relatievan {v1,v2}.

Oplossing. Neem c1,c2 ∈ R,dangeldt: c1v1 + c2v2 =0RN ⇔ c1(1, 2, 3, 4,...)+ c2(1, 2, 3, 4,...)=(0, 0, 0, 0,...)

c1 + c2 =0 2c1 2c2 =0 3c1 +3c2 =0 4c1 4c2 =0

Webesluitendat {v1,v2} lineaironafhankelijkis. ✸ Afspraak. Zij R,V, +eenvectorruimteen D ⊆ V eeneindigedeelverzamelingvan V .Als D = ∅ dankunnen wedevorigedefinitiealsvolgtformuleren: D islineaironafhankelijkalsenslechtsalserprecies´e´enlineaire combinatievan D isdiegelijkisaandenulvector0V .Bekijknuhetgevaldat D = ∅.Wegenseeneerder gemaakteafspraakiserprecies´e´enlineairecombinatievan ∅,endieisgelijkaandenulvector0V .Anders gezegd,erisprecies´e´enlineairecombinatievan ∅ diegelijkisaandenulvector0V .Daaromishetlogischomaf tesprekendat,perdefinitie: ∅ islineaironafhankelijk

Devolgendetweeresultatenvertoneneentreffendegelijkenismetdieuitdevorigeparagraaf.Datwijsteropdat debegrippenvoortbrengendevectorenenlineaironafhankelijkevectoreninzekerezinenerzijdssterkverwant,maar anderzijdsookelkaarstegenpolenzijn.Indewiskundezegtmenweleensdatdezebegrippen elkaarsduale zijn.

✸ Stelling(hoofdeigenschapvanlineaironafhankelijkevectoren). Zij R,V, +eenvectorruimteen D een eindigedeelverzamelingvan V .Dangeldt: D islineaironafhankelijk ⇕ elkevectorvan V isophoogstens´e´enmanierteschrijven alseenlineairecombinatievan D.

Bewijs. Eerstgaanwenaofdestellingwaarisvoor D = ∅.Wegensdeafspraakhierbovenis D lineaironafhankelijk.Anderzijdsis,opnieuwwegenseeneerdergemaakteafspraak,enkeldenulvectoreenlineairecombinatie van ∅ endatopprecies´e´enmanier.Duselkevectorin V isophoogstens´e´enmanierteschrijvenalseenlineaire combinatievan D.Daarmeehebbenweaangetoonddatdestellingwaarisvoor D = ∅

Voorhetvervolgmogenweaannemendat D = ∅.Steldat D lineaironafhankelijkis.Omtebewijzendatelke vector v van V ophoogstens´e´enmanierteschrijvenisalseenlineairecombinatievan D,stellenwedatertwee manierenzijn,dus v = r1v1 + + rnvn en v = s1v1 + + snvn met ri,si ∈ R.Dangeldt: r1v1 + + rnvn s1v1 snvn =0V ⇒ (r1 s1)v1 + +(rn sn)vn =0V .

Dezelineairerelatieisnoodzakelijktriviaal,want D islineaironafhankelijk.Bijgevolgis ri si =0endus ri = si voor i =1,...,n

Omgekeerd,steldatelkevectorvan V ophoogstens´e´enmanierteschrijvenisalseenlineairecombinatievan D.Danisookdenulvectorophoogstens´e´enmanierteschrijvenalseenlineairecombinatievan D.Anders gezegd,erisprecies´e´enlineairerelatievan D.Dezelineairerelatiemoetdetrivialerelatiezijn,zodat D lineair onafhankelijkis.

Latenwevaneenlineaironafhankelijkeverzamelingvectorenweg,danblijftdeverzamelinglineaironafhankelijk. Opnieuwisheteenvoudigbewijseenoefeningvoordelezer.

✸ Lemma(verminderenvanlineaironafhankelijkeverzamelingblijftlineaironafhankelijk). Zij R,V, + eenvectorruimteen D1 en D2 tweeeindigedeelverzamelingenvan V waarbij D1 ⊆ D2.Als D2 lineaironafhankelijkis,danisook D1 lineaironafhankelijk.

Indezeparagraafcombinerenwedebegrippenvoortbrengendheidenlineaireonafhankelijkheidtothetbegripbasis.

✸ Definitie(basis). Zij R,V, +eenvectorruimteen D eeneindigedeelverzamelingvan V .Als D zowellineair onafhankelijkalsvoortbrengendvoor V is,dannoemenwe D eenbasis van V

✸ Voorbeeld. Beschouwdevectorruimte R, R2 , +.Danis

R2 = {(x,y) | x,y ∈ R} = {x(1, 0)+ y(0, 1) | x,y ∈ R} =Span{(1, 0), (0, 1)} Dusdevectorruimte R, R2 , +wordtvoortgebrachtdoor D1 = {(1, 0), (0, 1)}.Dezedeelverzamelingisooklineair onafhankelijk(gana),zodat D1 eenbasisvan R2 is.Debasis D1 iszekernietuniek.Zoisbijvoorbeeldook D2 = {(1, 1), (1, 1)} eenbasisvoor R2 (gana).

✸ Opmerking. Indetrivialevectorruimte R, {0V }, +isdelegeverzameling ∅ zowellineaironafhankelijkals voortbrengendvoor R, {0V }, +zodat: ∅ iseenbasisvandetrivialevectorruimte R, {0V }, +

Uitdehoofdeigenschapvanvoortbrengendevectorenendehoofdeigenschapvanlineaironafhankelijkevectorenvolgt nuonmiddellijkdevolgende

✸ Stelling(hoofdstellingvanbasisvectoren). Zij R,V, +eenvectorruimteen D eeneindigedeelverzameling van V .Dangeldt: D iseenbasisvan V ⇕ elkevectorvan V isopprecies´e´enmanierteschrijven alseenlineairecombinatievan D

Devolgendevoorbeeldenlatenzienhoejenagaatofeengegevenverzamelingvanvectoreneenbasisisvooreen vectorruimte V .

✸ Modelvoorbeeld1. Indevectorruimte R, R[X]<3, +beschouwenwedevectoren v1 =1+5X X 2 ,v2 =3+16X 3X 2 en v3 =7 8X 8X 2

(a) Toonaandat D = {v1,v2,v3} eenbasisvan R[X]<3 is. (b) Schrijf v =2022 2023X 2 alseenlineairecombinatievandebasis D Oplossing. (a) Wepassenwedehoofdstellingvanbasisvectorentoe:eenwillekeurigevector a + bX + cX 2 ∈ R[X]<3 isop eenuniekemanierteschrijvenalseenlineairecombinatievan D alsenslechtsals ∃! r,s,t ∈ R : a + bX + cX 2 = r(1+5X X 2)+ s(3+16X 3X 2)+ t(7 8X 8X 2)

+drievectoren

v1 =(2+ m,m,m),v2 =(n, 2,n)en v3 =(2, 1, 4)

waarbij m,n reelegetallenzijn.Bepaalnodigeenvoldoendevoorwaardenvoor m,n opdat D = {v1,v2,v3} een basisvan R3 is.

Oplossing. Eenwillekeurigevector v =(a,b,c) ∈ R3 isopeenuniekemanierteschrijvenalseenlineaire combinatievan D alsenslechtsals

∃! r,s,t ∈ R :(a,b,c)= r(2+ m,m,m)+ s(n, 2,n)+ t(2, 1, 4) ⇔∃! r,s,t ∈ R :    (2+ m)r + ns +2t = a mr +2s + t = b mr + ns 4t = c.

Ditiseenlineairstelselmetevenveelvergelijkingenalsonbekenden.Deeisdathetstelseleenuniekeoplossing heeftisgelijkwaardigmetdeeisdatdedeterminantvandecoefficientenmatrixverschillendvannulis.Dus D is eenbasisvan R3 alsenslechtsals 2+ mn 2 m 21 mn 4 =0 ⇔ 3mn 6m n 8 =0

Voorheelwattoepassingenisdevolgordewaarinvectorenwordengenoteerdnietvanbelang.Vandaardatvoortbrengendevectoren,lineaironafhankelijkevectorenenbasisvectorenmeestalineenverzamelingwordengenoteerd: {v1,v2,...,vn}.Inhetvervolgzullenweeenverzamelingbasisvectorennoterenals B

Isdevolgordevandevectorenw´elvanbelang,danvervangenwedeverzamelingdooreen geordend n-tal .Wenoteren ditals(v1,v2,...,vn).Eengeordend n-talvanbasisvectorennoterenweals B

✸ Definitie(coordinaatvector). Zij R,V, +eenvectorruimteen B = {v1,v2,...,vn} eenbasisvan V .Wegensde hoofdstellingvanbasisvectoreniselkevector v ∈ V opeenuniekemanierteschrijvenalseenlineairecombinatie van B,insymbolen: ∃! x1,x2,...,xn ∈ R : v = x1v1 + x2v2 + ··· + xnvn Het n-tal(x1,x2,...,xn) ∈ Rn noemenwedecoordinaatvectorvan v tenopzichtevande(geordende)basis B =(v1,v2,...,vn).Wenoterendat n-talalscoB (v).Insymbolen: coB (v)=(x1,x2,...,xn) ⇔ v = x1v1 + x2v2 + + xnvn

Degetallen x1,x2,...,xn ∈ R noemenwedeco¨ordinaatgetallenvan v tenopzichtevande(geordende)basis B.

✸ Modelvoorbeeld3. Beschouwindevectorruimte R, R2 , +degeordendebasissen B =((3, 1), ( 2, 1))en E =((1, 0), (0, 1)).

(a) Bepaaldeco¨ordinaatvectorvan( 7, 3)tenopzichtevandebasis B. (b) Bepaaldecoordinaatvectorvan( 7, 3)tenopzichtevandebasis E (c) Bepaaldeco¨ordinaatvectorvaneenwillekeurigevector(x1,x2) ∈ R2 tenopzichtevandebasis B

(d) Bepaaldecoordinaatvectorenvan(3, 1)en( 2, 1)tenopzichtevandebasis B Oplossing.

(a) Omdecoordinaatvectorvan( 7, 3) ∈ R2 tenopzichtevandebasis B tevinden,schrijvenwe( 7, 3)als eenlineairecombinatievan B.Daartoebepalenwe a,b ∈ R waarvoor

( 7, 3)= a(3, 1)+ b( 2, 1) ⇔ ®3a 2b = 7 a + b =3 ⇔ ®a = 1 b =2

Omdat( 7, 3)= (3, 1)+2 ( 2, 1)iscoE (( 7, 3))=( 1, 2). (b) Omdat( 7, 3)= 7 (1, 0)+3 (0, 1)iscoB (( 7, 3))=( 7, 3).

(c) Omdecoordinaatvectorvan(x1,x2) ∈ R2 tenopzichtevandebasis B tevinden,schrijvenwe(x1,x2)als eenlineairecombinatievan B.Daartoebepalenwe a,b ∈ R waarvoor

(x1,x2)= a(3, 1)+ b( 2, 1) ⇔ ®3a 2b = x1 a + b = x2 ⇔ ®a = x1 +2x2 b = x1 +3x2. Omdat(x1,x2)=(x1 +2x2)(3, 1)+(x1 +3x2)( 2, 1)iscoB ((x1,x2))=(x1 +2x2,x1 +3x2).

(d) Uit(c)volgtnudatcoB ((3, 1))=(1, 0)encoB (( 2, 1))=(0, 1).Datkondenweookalsvolgtinzien: (3, 1)=1 (3, 1)+0 ( 2, 1)en( 2, 1)=0 (3, 1)+1 ( 2, 1).

In R2 zaleenvectormeestalverschillenvanzijncoordinaatvector.Zoisinhetvorigevoorbeeld coB ((7, 3)) =(7, 3) terwijlvoordebijzonderebasis E =((1, 0), (0, 1)) coE ((7, 3))=(7, 3)

Menverwijstnaardebasis E =((1, 0), (0, 1))als destandaardbasisvan R2.Wekunnenhetbegripstandaardbasis veralgemenenvoorenkeleandereeindigvoortgebrachtevectorruimten.

✸ Definitie(standaardbasisvan Rn). Beschouwdevectorruimte R, Rn , +.Stellenwe e1 =(1, 0,..., 0),e2 =(0, 1, 0,..., 0),...,en =(0,..., 0, 1) danis E =(e1,e2,...,en)eenbasisvan Rn en coE ((x1,x2,...,xn))=(x1,x2,...,xn)

Mennoemt E destandaardbasisvan Rn Devolgendedefinitiekanuitgebreidwordenvoor Rm×n

✸ Definitie(standaardbasisvan R2×3). Beschouwdevectorruimte R, R2×3 , +.Stellenwe E11 = ï100 000ò ,E12 = ï010 000ò ,E13 = ï001 000ò ,E21 = ï000 100ò ,E22 = ï000 010ò ,E23 = ï000 001ò danis E =(E11,E12,E13,E21,E22,E23)eenbasisvan R2×3 en coE Åïabc def òã =(a,b,c,d,e,f )

Mennoemt E destandaardbasisvan R2×3

Devectorruimte R, R[X], +isnieteindigvoortgebracht.Erbestaatdusgeeneindigeverzamelingvoortbrengende vectorenvan R[X]enbijgevolgookgeeneindigeverzamelingbasisvectorenvan R[X].Dedeelruimte R[X]<n iswel eindigvoortgebrachtenheefteenvoordehandliggendestandaardbasis.

✸ Definitie(standaardbasisvan R, R[X]<n, +). Hetgeordend n-tal E =(1,X,X 2,...,X n 1)iseenbasisvan R[X]<n en coE (a0 + a1X + a2X 2 + + an 1X n 1)=(a0,a1,...,an 1)

Mennoemt E destandaardbasisvan R[X]<n.

✸

Procedure. Beschouwdevectorruimte R, R4 , +endedeelruimte W opgespannendoordevectoren

v1 =(1, 3, 2, 5),v2 =(2, 6, 4, 10),v3 =(3, 2, 1, 7)en v4 =(0, 7, 5, 8)

Dedeelruimte W wordtvoortgebrachtdoor D = {v1,v2,v3,v4} maardezeverzamelingisgeenbasisvan W want D islineairafhankelijk:zoisbijvoorbeeld v2 =2v1.Dooruitdeverzameling D eenofmeerderevectorenweg telaten,kunnenweeenbasisvan W vinden.Daarbijgaanwealsvolgttewerk:weordenendevectorenen overlopenhetviertalvectoren(v1,v2,v3,v4)vanlinksnaarrechts.Telkenseenvectorgeschrevenkanwordenals eenlineairecombinatievandevoorgaandevectoren,verwijderenwedievector.

(1) {v1} islineaironafhankelijkwant v1 =0V .(Verklaarhoedituit v1 =0V volgt.)

(2) {v1,v2} islineairafhankelijkwant v2 =2v1.DaaromisSpan{v1,v2} =Span{v1}.Verwijderdus v2

(3) {v1,v3} islineaironafhankelijk(controleerdit).

(4) {v1,v3,v4} islineairafhankelijkwant v4 =3v1 v3 (gana).DusSpan{v1,v3,v4} =Span{v1,v3}.We verwijderendusook v4.

Omdat W =Span{v1,v2,v3,v4} =Span{v1,v3} en {v1,v3} lineaironafhankelijkis,verkrijgenweopdiemanier debasis {v1,v3} van W .Doordeprocedurehierboventedoorlopen,zeggenwedatwedevoortbrengende verzameling D = {v1,v2,v3,v4} reduceren toteenbasis {v1,v3} van W

Hetideehierachterkunnenweookopanderevectorruimtentoepassen.Daarvoorhebbenweeenhulpresultaatnodig.

✸ Lemma. Zij R,V, +eenvectorruimteen D eeneindigedeelverzamelingvan V dielineaironafhankelijkis.Dan geldtvoorelke w ∈ V : D ∪{w} islineairafhankelijk ⇕ w ∈ Span D

Bewijs. Hetlemmaiswaarvoor D = ∅ (gana)zodatwevoorhetvervolgmogenaannemendat D = ∅.

Steleerstdat D ∪{w} = {v1,v2,...,vn,w} lineairafhankelijkis.Danbestaatereenniet-trivialelineairerelatie van D ∪{w},m.a.w. c1v1 + c2v2 + ··· + cnvn + cw =0V en c1,c2,...,cn,c ∈ R nietallenul.(1) Danis c =0,wantmocht c =0,danzou(1)eenniet-trivialelineairerelatievan D zijn,watinstrijdismetde lineaireonafhankelijkheidvan D.Zokunnenwedelineairerelatiein(1)herschrijvenals w = c1 c v1 c2 c v2 cn c vn ∈ Span D.

Omgekeerd,steldat w = r1v1 + r2v2 + + rnvn voorzekere r1,r2,...,rn ∈ R.Ditimpliceerteenniet-triviale lineairerelatie r1v1 + r2v2 + + rnvn +( 1)w =0V van D ∪{w},waaruitvolgtdat D ∪{w} lineairafhankelijk is.

✸ Stelling(reducerenvanvoortbrengendevectorentotbasis). Zij R,V, +eeneindigvoortgebrachte vectorruimte.Dankanelkevoortbrengendeverzamelingvan V gereduceerdwordentoteenbasisvan V Bewijs. Zij n hetaantalelementenvandevoortbrengendeverzameling.Webewijzendestellingvooralle n ≥ 0 metinductieop n

(i) Inductiebasis.Voor n =0isdevoortbrengendeverzamelingvaneenvectorruimte R,V, +delegeverzameling ∅.Dankan V enkeldetrivialevectorruimte {0V } zijn,omdatSpan{} = {0V }.Aangezien ∅ lineair onafhankelijkis,is ∅ meteenookeenbasisvan V .Dusvoor n =0isdestellingbewezen.

(ii) Steldatdestellingwaarisvoor n = k (met k ≥ 0),dusdatelkevoortbrengendeverzamelingvaneen vectorruimtemet k vectorenkangereduceerdwordentoteenbasisvandievectorruimte.Wemoeten aantonendatdestellingookwaarisvooreenverzamelingvan k +1vectoren {v1,...,vk,vk+1} dieeen vectorruimte R,V, +voortbrengt.

Beschouwdedeelruimte W =Span{v1,...,vk}.Danis {v1,...,vk} eenvoortbrengendeverzamelingvan devectorruimte R,W, +.Wegensdeinductiehypothesekan {v1,...,vk} gereduceerdwordentoteenbasis {w1,...,wl} van W (waarbij0 ≤ l ≤ k).Ergeldtdus: W =Span{v1,...,vk} =Span{w1,...,wl}.Voegen weaandezebasisdevector vk+1 toe,danisSpan{w1,...,wl,vk+1} =Span{v1,...,vk,vk+1} = V .We onderscheidennutweegevallen.

Geval1: {w1,...,wl,vk+1} islineaironafhankelijk.Indatgevalis {w1,...,wl,vk+1} eenbasisvan V , gereduceerduitdevoortbrengers {v1,...,vk+1} van V

Geval2: {w1,...,wl,vk+1} islineairafhankelijk.Hetvorigelemmaimpliceertdat vk+1 eenlineairecombinatieisvan {w1,...,wl},zodat V =Span{w1,...,wl} (gana).Indatgevalis {w1,...,wl} eenbasisvan V ,gereduceerduitdevoortbrengers {v1,...,vk+1} van V

Uit(i)en(ii)volgtnudatdestellinggeldtvooralle n ≥ 0.

✸ Gevolg. Elkeeindigvoortgebrachtevectorruimteheefteenbasis.

Wesluitenafmeteenmodelvoorbeeld,waarinwedeprocedurevanhetreducerennogeensexplicietlatenzien.

✸ Modelvoorbeeld. Beschouwindevectorruimte R, R4 , +devectoren

v1 =(2, 3, 4, 6),v2 =( 4, 6, 8, 12),v3 =(3, 4, 5, 7)en v4 =(0, 1, 2, 4)

Noem W =Span{v1,v2,v3,v4}.Reduceerdevoortbrengendeverzameling {v1,v2,v3,v4} toteenbasisvan W Oplossing. Weordenendevectorenenoverlopenhetviertalvectoren(v1,v2,v3,v4)vanlinksnaarrechts.Telkens eenvectorgeschrevenkanwordenalseenlineairecombinatievandevoorgaandevectoren,verwijderenwedie vector.



     

2r =3 3r = 4 4r =5 6r = 7

Ditstelselheeftduidelijkgeenoplossingen,zodat v3 ̸∈ Span{v1}.Zodoendeis {v1,v3} lineaironafhankelijk. Webehouden v3 (4) Omnategaanof {v1,v3,v4} lineairafhankelijkofonafhankelijkis,volstaathetomnategaanof v4 aldan niettotSpan{v1,v3} behoort.Ergeldt: v4 ∈ Span{v1,v3}⇔∃r,s ∈ R : v4 = rv1 + sv3 ⇔∃r,s ∈ R :(0, 1, 2, 4)= r(2, 3, 4, 6)+ s(3, 4, 5, 7) ⇔∃r,s ∈ R :  

    



zodat v4 ∈ Span{v1,v3}.Zodoendeis {v1,v3,v4} lineairafhankelijk.Weverwijderen v4 Nuis W =Span{v1,v2,v3,v4} =Span{v1,v3} en {v1,v3} islineaironafhankelijk.Webesluitendat {v1,v3} een basisvan W is.

XVII-40

✸

Procedure. Beschouwdevectorruimte R, R3 , +endevectoren v1 =(3, 1, 5)en v2 =(2, 2, 10).Danis D = {v1,v2} lineaironafhankelijkmaar D isgeenbasisvan R3 want D isnietvoortbrengendvoor R3 (ga na).Dooraandeverzameling D eenofmeerderevectorentoetevoegen,kunnenweeenbasisvan R3 vinden. Daarbijgaanwealsvolgttewerk.Beschouweenbasisvan R3,bijvoorbeelddestandaardbasis {e1,e2,e3} waarbij e1 =(1, 0, 0), e2 =(0, 1, 0)en e3 =(0, 0, 1).Uitbreidenvaneenvoortbrengendeverzamelingblijftvoortbrengend: R3 =Span{e1,e2,e3} =Span{v1,v2,e1,e2,e3}. Nukunnenwedezevoortbrengendeverzameling {v1,v2,e1,e2,e3} reducerentoteenbasisvan R3.Daarvoorvolgenwedeprocedurevanhierboven,enreducerenzohetgeordend n-talvoortbrengendevectoren(v1,v2,e1,e2,e3) totdegeordendebasis(v1,v2,e2)van R3 (gana).Merkopdatdezebasisdevectoren v1 en v2 bevat.Datkomt omdat {v1,v2} lineaironafhankelijkis,zodatdieindeprocedurevanhetreducerennietwordengeschrapt.Door hettoepassenvandezewerkwijzezeggenwedatwedelineaironafhankelijkevectoren {v1,v2} uitbreiden toteen basis {v1,v2,e2} van R3

Opnieuwkunnenweditideeveralgemenennaareindigvoortgebrachtevectorruimten.

✸ Stelling(uitbreidenvanlineaironafhankelijkevectorentotbasis). Zij R,V, +eeneindigvoortgebrachte vectorruimte.Dankanelkelineaironafhankelijkeverzamelingvan V uitgebreidwordentoteenbasisvan V . Bewijs. Destellingistriviaalvoldaanvoordelineaironafhankelijkeverzameling ∅.Zijdus {w1,...,wm} de gegevenlineaironafhankelijkeverzamelingvaneenvectorruimte R,V, +.Beschouwvervolgenseenverzameling {v1,...,vn} die V voortbrengt.Uitbreidenvaneenvoortbrengendeverzamelingblijftvoortbrengendzodat:

V =Span{v1,...,vn} =Span{w1,...,wm,v1,...,vn}

Deverzameling {w1,...,wm,v1,...,vn} isvoortbrengendvoor V .Diekangereduceerdwordentoteengeordende basisvan V dooreenaantalvandevectoren v1,...,vn teverwijderen.Degeordendebasiszalzekerdevectoren w1,...,wm bevatten,aangeziendezelineaironafhankelijkzijn.

Methetvolgendmodelvoorbeeldillusterenwenogmaalsdeprocedurevanhetuitbreiden.

✸ Modelvoorbeeld. Beschouwindevectorruimte R, R2 , +devector v1 =(2, 1).Breiddelineaironafhankelijke verzameling {v1} uittoteenbasisvan R2 . Oplossing. Beschouwdestandaardbasis E =(e1,e2)van R2.Uitbreidenvaneenvoortbrengendeverzameling blijftvoortbrengend

R2 =Span{e1,e2} =Span{v1,e1,e2} zodat {v1,e1,e2} voortbrengendisvoor R2.Nureducerenwedezevoortbrengendeverzamelingdoordevectoren teordenenenhetdrietalvectoren(v1,e1,e2)vanlinksnaarrechtsteoverlopen.Telkenseenvectorgeschreven kanwordenalseenlineairecombinatievandevoorgaandevectoren,verwijderenwedievector.

(1) {v1} islineaironafhankelijk(zieopgave).Webehouden v1

(2) Omnategaanof {v1,e1} lineairafhankelijkofonafhankelijkis,volstaathetomnategaanof e1 aldan niettotSpan{v1} behoort.Ergeldt: e1 ∈ Span{v1}⇔∃r ∈ R : e1 = rv1 ⇔∃r ∈ R :(1, 0)= r(2, 1) ⇔∃r ∈ R : ®2r =1 r =0

Ditstelselheeftduidelijkgeenoplossingen,zodat e1 ̸∈ Span{v1}.Zodoendeis {v1,e1} lineaironafhankelijk. Webehouden e1.

(3) Omnategaanof {v1,e1,e2} lineairafhankelijkofonafhankelijkis,volstaathetomnategaanof e2 aldan niettotSpan{v1,e1} behoort.Ergeldt: e2 ∈ Span{v1,e1}⇔∃r,s ∈ R : e2 = rv1 + se1

⇔∃r,s ∈ R :(0, 1)= r(2, 1)+ s(1, 0)

⇔∃r,s ∈ R : ®2r + s =0 r =1

⇔∃r,s ∈ R : ®r = 1 s =2

zodat e2 ∈ Span{v1,e1}.Zodoendeis {v1,v2,e2} lineairafhankelijk.Weverwijderendus e2 Nuis R2 =Span{v1,e1} en {v1,e1} islineaironafhankelijk.Webesluitendat {v1,e1} = {(2, 1), (1, 0)} een basisvan R2 is.

4BasisBasisVerdiepingUitbreiding ⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆

4.1Voortbrengendevectoren12 3 4

4.2Lineaironafhankelijkevectoren5 6 7

891011

4.3Basisvectoren1213 14 15 16 17 18

Oefeningenbij 4.1

19 20 212223

B Oefening1. Bepaaltelkenseenvoortbrengendeverzamelingvandegegevendeelruimteindevermeldevectorruimte.

(a) {(r s 2t,r + s +2t) | r,s,t ∈ R} in R, R2 , + (b) {(x,y,z) ∈ R3 | x +2y z =0} in R, R3 , + (c) {(x,y,z,t) ∈ R4 | x y =0en z + t =0} in R, R4 , + (d) ßï 3st 2s + ttò s,t ∈ R™ in R, R2×2 , + (e) {a + b +(2a b)X | a,b ∈ R} in R, R[X], + (f) {A ∈ R[X]<6 | A isdeelbaardoor X 2 1} in R, R[X], +

B⋆⋆

Oefening2. Bepaaltelkensofdegegevenverzamelingaldannietvoortbrengendisvoordevectorruimte R, R3 , +. Zoniet,geefeenvectordiegeenlineairecombinatievandegegevenverzamelingis.

(a) {(3, 1, 1), (1, 1, 2), (0, 0, 1)} (b) {(5, 0, 2), (0, 1, 1)} (c) {(3, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 0, 1), (2, 1, 0)} (d) {( 7, 1, 3), (5, 9, 2), (8, 18, 5), (1, 13, 6)}

B⋆⋆ Oefening3. Toonaandat {1,X, 1 X 2 , 1+ X + X 2} voortbrengendisvoordevectorruimte R, R[X]<3, +. B⋆⋆ Oefening4. Beschouwdevectorruimte R, R2×2 , +endevectoren v1 = ï 13 25ò ,v2 = ï 36 410ò ,v3 = ï 22 17ò ,v4 = ï 07 58ò ,v5 = ï 72 16ò ,v6 = ï 54 215ò Is {v1,v2,v3,v4,v5,v6} voortbrengendvoor R2×2?Zoneen,geefeenvectordiegeenlineairecombinatieisvandeze vectoren.

Oefeningenbij 4.2

B Oefening5. Zij R,V, +eenvectorruimteen u,v,w ∈ V .Toonaandatdevolgendedeelverzamelingenvan V lineair afhankelijkzijn.

(a) {u,v,u v}

(b) {u,v, 3u}

(c) {u,u + v,u v}

(d) {u v,v + w,w + u}

B Oefening6. Beschouwindevectorruimte R, R3 , +eendeelverzameling {v1,v2,v3} dielineairafhankelijkis.Is

eenlineairecombinatievan {v1,v2}?Waarom(niet)?

B Oefening7. Zij R,V, +eenvectorruimteen v1,v2,...,vn ∈ V .Toonaan: {v1,v2,...,vn, 0V } islineairafhankelijk.

B⋆ Oefening8. Bepaalofdegegevendeelverzamelingvandevermeldevectorruimtelineairafhankelijkoflineaironafhankelijkis.

(a) {(1, 0), (0, 0)} in R, R2 , + (b) {(2, 3), (1, 5)} in R, R2 , + (c) {2x , 2 x} in R, RR , + (d) {(3, √3, √6), (√6, √2, 2)} in R, R3 , + (e) {1+X,X +X 2,X 2 +X 3} in R, R[X], + (f) {3sin2 x, cos2 x, 8} in R, RR , +

B⋆⋆ Oefening9. Bepaalofdegegevendeelverzamelingvandevectorruimte R, R3 , +lineairafhankelijkoflineaironafhankelijkis.

(a) {(3, 1, 1), (1, 1, 2), (0, 0, 1)}

(b) {(5, 0, 2), (0, 1, 1)}

(c) {(0, 1, 0), (1, 0, 1), (2, 1, 2), (3, 2, 3)} (d) {(8, 8, 5), (2, 1, 7), ( 6, 5, 1)}

V Oefening10. Bepaaltelkensdewaarde(n)van k ∈ R waarvoordegegevenverzamelingvectorenvan R, R3 , +lineair onafhankelijkis.

(a) {(3, 1, 6), (0, 1, 4), (1, 0,k)}

(b) {(1, 2, 3), ( 3, 5, 7), ( 4, 5,k)}

(c) {( 6, 5, 4), (9,k, 6), (15, 4, 10)}

(d) {(k, 1, 3), (4,k, 6), (6, 1, 4)}

U Oefening11(criteriumvoorlineaironafhankelijkevector). Zij R,V, +eenvectorruimteen v1 ∈ V .Toonaan: {v1} islineaironafhankelijkalsenslechtsals v1 =0V

Oefeningenbij 4.3

B Oefening12. Gegevenisdebasis B =((3, 0, 2), (0, 1, 5), (2, 1, 2))vandevectorruimte R, R3 , +.Bepaaldevector v ∈ R3 waarvoorgeldtdatcoB (v)=( 2, 1, 7).

B⋆ Oefening13. Bepaaldecoordinaatvectorvan v =(2, 4, 8)tenopzichtevan

(a) destandaardbasis E van R3 ,

(b) debasis B =((1, 3, 0), (0, 0, 2), (2, 1, 0))van R3 ,

(c) debasis B′ =((1, 0, 2), (2, 1, 0), (0, 3, 5))van R3

B⋆ Oefening14. Bepaaldecoordinaatvectorvan v = ï20 14ò tenopzichtevan

(a) debasis E = Åï10 00ò , ï01 00ò , ï00 10ò , ï00 01òã van R2×2 , (b) debasis B = Åï10 0 1ò , ï10 01ò , ï13 00ò , ï00 20òã van R2×2 .

Oefening15. Gatelkensnaofdegegevenverzamelingeenbasisvandevectorruimte R, R3 , +is.

(a) {(1, 2, 3), (1, 0, 1)}

(b) {(1, 2, 3), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (0, 1, 2)}

(c) {(1, 2, 3), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}

(d) {(1, 2, 3), (1, 0, 1), (0, 1, 2)}

B⋆⋆ Oefening16. Beschouwindevectorruimte R, R[X]<3, +devectoren v1 =1+ X, v2 = X + X 2 en v3 =1+ X 2

(a) Toonaandat {v1,v2,v3} eenbasisvan R[X]<3 is.

(b) Schrijf v =3+2X + X 2 alseenlineairecombinatievan {v1,v2,v3}

B⋆⋆ Oefening17. Gegevenisdevectorruimte R, R5 , +.Bepaaleenbasisvoordedeelruimte W = {(a + d,b + d, 2a b + d,a + d,c + d) | a,b,c,d ∈ R}

B⋆⋆ Oefening18. Beschouwindevectorruimte R, R3 , +devectoren v1 =(2, 1, 3)en v2 =( 5, 2, 6).Breiddelineair onafhankelijkeverzameling {v1,v2} uittoteenbasisvan R3

V Oefening19. Beschouwdevectorruimte R, R[X]<3, +.

(a) Bepaaleenvector v ∈ R[X]<3 zodat B =(1, 1+ X 2,v)eenbasisvan R[X]<3 is. (b) Bepaaldecoordinaatvectorvan2X 2 7 2 X tenopzichtevandebasis B

V Oefening20. Beschouwindevectorruimte R, R4 , +dedeelruimte W vanalleoplossingenvanhetlineairstelsel ï2123 1130ò     x1 x2 x3 x4

    = ï0 0ò . Bepaaleenbasisvan W .

V⋆ Oefening21. Beschouwdevectorruimte R, R3×3 , +endedeelruimtevanallesymmetrischematrices W = {A ∈ R3×3 | AT = A}

Bepaaleenbasisvan W .

U Oefening22(aantalvoortbrengende,lineaironafhankelijkeenbasisvectorenvan Rm). Beschouwdevectorruimte R, Rm , +envectoren v1,v2,...,vn ∈ Rm.BewijsmetbehulpvanOefening23: (a) {v1,...,vn} isvoortbrengendvoor Rm ⇒ n ≥ m, (b) {v1,...,vn} islineaironafhankelijk ⇒ n ≤ m, (c) {v1,...,vn} iseenbasisvan Rm ⇒ n = m

U⋆ Oefening23(criteriumvoorvoortbrengende,lineaironafhankelijkeenbasisvectorenvan Rm). Beschouw devectorruimte R, Rm , +enzij v1,v2,...,vn ∈ Rm.Beschouwdematrix A dieweverkrijgendoordevectoren v1,v2,...,vn optevattenalskolommen: A =   ||| v1 v2 ...vn |||   ∈ Rm×n .

Bewijs:

(a) {v1,...,vn} isvoortbrengendvoor Rm ⇔ rang A = m, (b) {v1,...,vn} islineaironafhankelijk ⇔ rang A = n, (c) {v1,...,vn} iseenbasisvan Rm ⇔ m = n endet A =0.

Dimensie

Inhetvorigehoofdstukhebbenwegeziendatelkeeindigvoortgebrachtevectorruimteeenbasisheeft.Opdetriviale vectorruimte R, {0V }, +nahebbenallevectorruimtenoneindigveelmogelijkebasissen.Nublijktdatallebasissenvan eenzelfdevectorruimtepreciesevenveelvectorenbevatten.

Dezefundamentelestelling,dievoorheteerstwerdgeformuleerdenaangetoonddoorGrassmann,zullenweindeeerste paragraafvandithoofdstukbewijzen.1 Daarnabestuderenweenkelemanierenomuittweebestaandedeelruimten vaneenzelfdevectorruimteeennieuwedeelruimteteconstruerenevenalshetverbandtussenhetaantalbasisvectoren indezedeelruimten.Totslotbesprekenwetweeconcreteproblemen,dieeenoplossingindeabstractetheorievande vectorruimtenvinden.

5.1Dimensiestellingvoorvectorruimten

DestellingvanGrassmannkanelegantbewezenwordendoortesteunenopeenhulpstelling,toegeschrevenaanSteinitz [14]diehetin1913ineenmeeralgemenecontextheeftgeformuleerdenbewezen.

Zowelinhetonderstaandelemmaalsverderindithoofdstukzullenweeenwillekeurigeeindigedeelverzamelingvaak noterenals {v1,v2,...,vn}.Alsbijzondergevalkanzo’ndeelverzamelingookdelegeverzameling {} zijn.Ditkomt overeenmet n =0.

✸ Lemma(Steinitz). Zij R,V, +eenvectorruimteenbeschouwtweedeelverzamelingen {v1,v2,...,vn} en {w1,w2,...,wm} van V .Als {v1,v2,...,vn} voortbrengendisvoor V enals {w1,w2,...,wm} lineaironafhankelijkis,danis m ≤ n.

Bewijs. Als m =0danis m ≤ n enisaandestellingvoldaan.Stelnudat m ≥ 1. Danisook n ≥ 1(gana).Beschouweenlineairerelatievan {w1,w2,...,wm}: c1w1 + c2w2 + + cmwm =0V . (1)

Enerzijdsis {w1,w2,...,wm} lineaironafhankelijk,zodatdelineairerelatie(1) triviaalis.Ditbetekent: c1 = c2 = = cm =0 (2)

Anderzijdswordt V voortgebrachtdoor {v1,...,vn},zodatwedelineairerelatie (1)kunnenherschrijveninfunctievandevectoren vi.Datdoenwedoorelkvan devectoren w1,...,wm teschrijvenalslineairecombinatievan {v1,...,vn}: w1 = a11v1 + a12v2 + ··· + a1nvn w2 = a21v1 + a22v2 + + a2nvn . wm = am1v1 + am2v2 + + amnvn voorzekere aij ∈ R.Substitutiein(1)geeftdan (c1a11 + c2a21 + + cmam1)v1 + +(c1a1n + c2a2n + + cmamn)vn =0V (3)

1 DelineairealgebrawerdvrijwelvolledigontwikkelddoorHermannGuntherGrassmann inzijn Ausdehnungslehre uit1844[10]en 1862[11],zie[9].Grassman,diegeenuniversitaireopleidingwiskundehadgenoten,bleefzijnlevenlangleraarinhetmiddelbaaronderwijs. Deleidendewiskundigenvandietijdzagendewaardevanzijnpublicatiesnietin.Zijnwerkwerdpasna1867geleidelijkerkend:eerstdoor HermannHankel ,daarnadoordeinvloedrijkeFelixKlein enAlfredNorthWhitehead .GiusseppePeano ,grondlegger vandeaxiomatischebenaderingvanvectorruimtenenlineaireafbeeldingen,wassterkbeıvloeddoorhetwerkvanGrassmann.

ErnstSteinitz

aanhetstelsel

c1a1n + c2a2n + + cmamn =0

Veronderstelnu,uithetongerijmde,dat m>n.Danheefthethomogeenlineairstelsel(4)meeronbekenden danvergelijkingen,zodatditstelselnogandereoplossingenheeftdandenuloplossing.Andersgezegd,erbestaan getallen c1,c2,...,cm nietallenulwaarvoor(3)enbijgevolgook(1)geldt.Ditisinstrijdmet(2).Webesluiten dat m ≤ n.

NukunnenwedestellingvanGrassmannbewijzen.

✸

Stelling(Grassmann,dimensiestellingvoorvectorruimten). Zij R,V, + eenvectorruimteen {v1,...,vn} en {w1,...,wm} tweebasissenvan V .Danis m = n

Bewijs. Omdat {v1,...,vn} voortbrengendvoor V isen {w1,...,wm} lineair onafhankelijkis,volgtuithetlemmavanSteinitzdat m ≤ n.Passenwedit lemmatoeopdevoortbrengendeverzameling {w1,...,wm} endelineaironafhankelijkeverzameling {v1,...,vn},danverkrijgenwe n ≤ m.Webesluiten hieruitdat m = n

Elkeeindigvoortgebrachtevectorruimteheefteen(eindige)basisenwegensdestellingvanGrassmannheeftelkebasis hetzelfdeaantalelementen.Datgeeftaanleidingtotdevolgendedefinitie.

✸ Definitie(dimensie). Zij R,V, +eeneindigvoortgebrachtevectorruimte.Hetaantalvectorenineenbasisvan V noemenwededimensie van V ,genoteerdmetdim V

Eindigvoortgebrachtevectorruimtennoemenwe eindigdimensionalevectorruimten.Eenvectorruimtedieniet eindigvoortgebrachtis,noemenweeen oneindigdimensionalevectorruimte

✸

Voorbeeld1. Inhetvorigehoofdstukhebbenwevoorenkelevectorruimteneenstandaardbasisgegeven.Door telkenshetaantalvectorenindiestandaardbasistetellen,vindenwededimensievandevectorruimte.Inhet bijzonderzijndezevectorruimteneindigdimensionaal.Hierbijstaan m,n voorpositievegehelegetallen: dim Rn = n dim Rm×n = mn dim R[X]<n = n

✸

✸

Voorbeeld2. Devectorruimte R, R[X], +isnieteindigvoortgebrachtenisduseenvoorbeeldvaneenoneindigdimensionalevectorruimte.Menkanaantonendatookdevectorruimte R, RN , +vanre¨elerijenende vectorruimte R, RR , +van R R afbeeldingenoneindigdimensionaalzijn.

Opmerking. Indetrivialevectorruimte R, {0V }, +isdelegeverzamelingeenbasis.Dieverzamelingteltnul elementen,dus: dim{0V } =0

Inhetbijzonderisdetrivialevectorruimteeindigdimensionaal.

Combinerenwehetbegripdimensiemetdeproceduresvoorhetreducerenvanvoortbrengendevectorentoteenbasis envoorhetuitbreidenvanlineaironafhankelijkevectorentoteenbasis(zieHoofdstuk4)danverkrijgenweenkele belangrijkevaststellingen.

✸ Gevolg1. Zij R,V, +eeneindigdimensionalevectorruimte.

(i) Zij {v1,v2,...,vp} voortbrengendvoor V .Dangeldt: (a) dim V ≤ p, (b) alsdim V = p danis {v1,v2,...,vp} eenbasisvan V .

(ii) Zij {w1,w2,...,wq } lineaironafhankelijk.Dangeldt: (a) q ≤ dim V , (b) als q =dim V danis {w1,w2,...,wq } eenbasisvan V

Bewijs. (i) Devoortbrengendeverzameling {v1,v2,...,vp} kangereduceerdwordentoteenbasisvan V .Inelke basisvan V ishetaantalelementengelijkaandim V .Bijgevolgis p ≥ dim V .Inhetgevaldat p =dim V geefteenzelfderedeneringnudatdeverzameling {v1,v2,...,vp} zelfeenbasisvormt.

(ii) Delineaironafhankelijkeverzameling {w1,w2,...,wq } kanuitgebreidwordentoteenbasisvan V .Inelke basisvan V ishetaantalelementengelijkaandim V .Bijgevolgis q ≤ dim V .Inhetgevaldatdim V = q geefteenzelfderedeneringnudatdeverzameling {w1,w2,...,wq } zelfeenbasisvormt.

Is W eendeelruimtevaneeneindigdimensionalevectorruimte V ,danis R,W, +eenvectorruimtezodatweookkunnen nagaanof W eindigdimensionaalis.Indatgevalkandedimensievan W vergelekenwordenmetdedimensievan V HetresultaatisopnieuweengevolgvandestellingvanGrassmann.

✸ Gevolg2. Zij R,V, +eeneindigdimensionalevectorruimteen W eendeelruimtevan V .Dangeldt: (i) W iseveneenseindigdimensionaal, (ii) dim W ≤ dim V , (iii) alsdim W =dim V danis W = V

Bewijs. Webouwenvectorpervectoreenbasisvan W op,vertrekkendvandelegeverzameling.Omdat Span{} = {0V },geldtSpan{}⊆ W .IsSpan{}̸= W ,dannemenweeenvector w1 ∈ W \{0V }.Danis Span{w1}⊆ W enbovendienis {w1} lineaironafhankelijk.IsSpan{w1}̸= W ,dannemenweeenvector w2 ∈ W \ Span{w1}.WegenseenlemmainHoofdstuk4is {w1,w2} lineaironafhankelijk.IsSpan{w1,w2}̸= W , dannemenweeenvector w3 ∈ W \ Span{w1,w2}.Ditlemmaimpliceertopnieuwdat {w1,w2,w3} lineair onafhankelijkis,enzovoort.Ditprocesmoetstoppenwantalseeneindigedeelverzamelingvan V lineaironafhankelijkis,danishetaantalelementenvandiedeelverzamelingkleinerdanofgelijkaandim V ,zieGevolg 1(ii)hierboven.Dusis W =Span{w1,w2,...,wk} vooreennatuurlijkgetal k ≤ dim V ,waarbij w1,w2,...,wk lineaironafhankelijkevectorenzijn.Bijgevolgis {w1,w2,...,wk} eenbasisvan W zodatdim W = k ≤ dim V . Hiermeezijn(i)en(ii)bewezen.

Tenslotte,als k =dim V ,danzegtGevolg1(ii)hierbovendat {w1,w2,...,wk} eenbasisvan V is,zodat V =Span{w1,w2,...,wk} = W .Ditbewijst(iii).

Indezeparagraafbestuderenweenkelemanierenomuittweebestaandedeelruimtenvaneenzelfdevectorruimtetwee nieuwedeelruimtenteconstrueren:dedoorsnedeendesom.Hetverbandtussendedimensiesvandezevierdeelruimten isdezogenaamde dimensiestellingvoordeelruimten.

Doorsnedevandeelruimten

HerhaaluitHoofdstuk1datdedoorsnedevantweeverzamelingen U en W wordtgegevendoor U ∩ W = {x | x ∈ U en x ∈ W }

Devolgendeeigenschapzegtdatdedoorsnedevantweedeelruimtenvaneenvectorruimteopnieuweendeelruimteis.

✸ Eigenschap(doorsnedevandeelruimten). Zij R,V, +eenvectorruimteen U en W deelruimtenvan V Danis U ∩ W eendeelruimtevan V

Bewijs. Omdat U en W deelruimtenvan V zijn,bevattenzebeidedenulvector0V ,zodat U ∩ W = ∅.Methet criteriumvoordeelruimtegaanwenadat U ∩ W eendeelruimtevan V is.

Neem v1,v2 ∈ U ∩ W en r,s ∈ R.Danis v1,v2 ∈ U zodatook rv1 + sv2 ∈ U ,want U ≤ V .Analoogisook rv1 + sv2 ∈ W ,zodat rv1 + sv2 ∈ U ∩ W .

Dezeeigenschapkanveralgemeendworden:zijn U1,U2,...,Un eeneindigaantaldeelruimten,danisdedoorsnede U1 ∩ U2 ∩···∩ Un opnieuweendeelruimte.Hetbewijshiervanisanaloog.

✸ Voorbeeld. Beschouwindevectorruimte R, R[X], +dedeelruimte U1 vanveeltermendiedeelbaarzijndoor X 1,dedeelruimte U2 vanveeltermendiedeelbaarzijndoor X 2endedeelruimte U3 vanveeltermendie deelbaarzijndoor X 3.Danbestaat U1 ∩U2 ∩U3 uitdeveeltermendiedeelbaarzijndoor(X 1)(X 2)(X 3).

Alstweedeelruimteneindigdimensionaalzijn,danisookdedoorsnedeeindigdimensionaal(waarom?).Indatgeval kaneenbasisvandedoorsnedebepaaldworden.

✸ Modelvoorbeeld. Beschouwdevectorruimte R, R3 , +endedeelruimten U =Span{( 1, 2, 2), (2, 1, 5)} en W =Span{(1, 2, 7), (2, 1, 4)}. Bepaaleenbasisvoordedeelruimte U ∩ W .Geefookdedimensievan U ∩ W Oplossing. Voorelkevector v ∈ R3 is: v ∈ U ∩ W

∈ R : v = a( 1, 2, 2)+ b(2, 1, 5)en

c,d ∈ R : v = c(1, 2, 7)+ d(2, 1, 4)

a,b ∈ R : v =( a +2b, 2a b, 2a +5b)en

∈ R : v =(c +2d, 2c d, 7c +4d)

Somvandeelruimten

HerhaaluitHoofdstuk1datdeunievantweeverzamelingen U en W wordtgegevendoor

U ∪ W = {x | x ∈ U of x ∈ W }

Datdeunievantweedeelruimten U en W doorgaansgeendeelruimteis,komtomdatdesomvaneenvectorin U eneenvectorin W nietnoodzakelijktotdieuniebehoort.Beschouwbijvoorbeeldin R, R2 , +dedeelruimten U =Span{(1, 0)} en W =Span{(0, 1)}.Deunievan U en W isdan:

U ∪ W = {(x,y) | x =0of y =0}.

Nubehoren u =(1, 0)en w =(0, 1)tot U ∪ W ,maar u + w =(1, 1)behoortniettot U ∪ W .Derhalveisaande definitievandeelruimtenietvoldaan,zodatdeunievandetweedeelruimten U en W geendeelruimtevan R2 is.

Willenweeenechtedeelruimtevindendiebeidedeelruimtenomvat,danmoetenwehetvolgendebegripinvoeren.

✸ Definitie(somvandeelruimten). Zij R,V, +eenvectorruimteen U en W deelruimtenvan V .Desom van U en W isdeverzameling

U + W = {u + w | u ∈ U en w ∈ W }

Devolgendeeigenschapzegtdatdesomvantweedeelruimtenvaneenvectorruimteweleendeelruimteis.Hettweede deelkarakteriseertdesomvantweedeelruimten U en W alsdekleinstedeelruimtedie U ∪ W omvat.

✸ Eigenschap(somvandeelruimten). Zij R,V, +eenvectorruimteen U en W deelruimtenvan V .Dangeldt: (i) U + W iseendeelruimtevan V , (ii) als Z eendeelruimtevan V ismet U ∪ W ⊆ Z,danis U + W ⊆ Z.

Bewijs. (i) Omdat U en W deelruimtenvan V zijn,bevattenzebeidedenulvector0V ,zodat U + W = ∅.Om aantetonendat U + W eendeelruimtevan V is,gaanwehetcriteriumvoordeelruimtena.

Neem v1,v2 ∈ U + W en r,s ∈ R.Danis vi = ui + wi voorzekere ui ∈ U en wi ∈ W (i =1, 2).Bijgevolgis rv1 + sv2 =(ru1 + su2)+(rw1 + sw2) ∈ U + W.

Daarmeeisaanhetcriteriumvoordeelruimtevoldaan,zodat U + W ≤ V . (ii) Zij Z ≤ V met U ∪ W ⊆ Z.Wetonenaandat U + W ⊆ Z.Neemdaartoe v ∈ U + W willekeurig.Danis v = u + w vooreenzekere u ∈ U en w ∈ W .Maardanzijn u,w ∈ U ∪ W ⊆ Z.Omdat Z eendeelruimte van V is,geldtnuookdat v = u + w ∈ Z.Ditbesluithetbewijs.

Inhetgevalvaneindigdimensionaledeelruimtenkunnenwehetvolgendresultaatnoteren.

✸ Stelling. Zij R,V, +eenvectorruimteen U en W eindigdimensionaledeelruimtenvan V .Danis U + W eindigdimensionaalen dim(U + W ) ≤ dim U +dim W

Bewijs. Is {u1,...,uk} eenbasisvan U en {w1,...,wl} eenbasisvan W ,danvolgtuitdedefinitievanopspanning vanvectoren(controleerdit):

U + W =Span{u1,...,uk} +Span{w1,...,wl} =Span{u1,...,uk,w1,...,wl} zodatdesom U +W eindigdimensionaalis.Omdat U +W voortgebrachtwordtdooreenverzamelingmet k +l = dim U +dim W elementengeldt,wegensGevolg1(i)uitdevorigeparagraaf:dim(U + W ) ≤ dim U +dim W .

Hetbewijsvandezestellinggeeftaanhoeweindepraktijkeenbasisvandesomvandeelruimtenkunnenbepalen.

✸ Modelvoorbeeld. Beschouwdevectorruimte R, R3 , +endedeelruimten

U =Span{( 1, 2, 2), (2, 1, 5)} en W =Span{(0, 1, 3)}

Bepaaleenbasisvoordedeelruimte U + W .Geefookdedimensievan U + W . Oplossing. Wehebbenalvast:

U + W =Span{( 1, 2, 2), (2, 1, 5)} +Span{(0, 1, 3)} =Span{( 1, 2, 2), (2, 1, 5), (0, 1, 3)}.

Daarnareducerenwedevoortbrengendeverzameling {( 1, 2, 2), (2, 1, 5), (0, 1, 3)} van U + W toteenbasisvan U + W .Wevindendebasis {( 1, 2, 2), (2, 1, 5)}.Hieruitleidenweafdatdim(U + W )=2.

Metdehoofdeigenschapvanbasisvectoreningedachte,kunnenwedevraagstellenwanneerelkevectorvan U + W op eenuniekemanier teschrijvenisalsdesomvaneenvectorin U eneenvectorin W .Ditleidttoteennieuwbegrip.

✸ Definitie(directesomvandeelruimten). Zij R,V, +eenvectorruimteen U en W deelruimtenvan V .Als elkevectorvan U + W opeenuniekemanierkangeschrevenwordenalsdesomvaneenvectorin U eneenvector in W ,danzeggenwedat U + W dedirectesom van U en W is.Indatgevalschrijvenwe U + W als U ⊕ W

✸ Voorbeeld1. Beschouwindevectorruimte R, RN , +dedeelruimte U vanallereelerijenwaarvandetermen metevenrangnummernulzijnendedeelruimte W vanallerijenwaarvandetermenmetonevenrangnummer nulzijn:

U = {(0,a1, 0,a3, 0,a5,...) | ai ∈ R} en W = {(a0, 0,a2, 0,a4, 0,...) | ai ∈ R}.

Elkereelerijkanopeenuniekemaniergeschrevenwordenalsdesomvaneenrijin U eneenrijin W ,zodat RN = U ⊕ W .

✸ Voorbeeld2. Indevectorruimte R, R3×3 , +beschouwenwededeelruimte U vandebovendriehoeksmatrices endedeelruimte W vandeonderdriehoeksmatrices.Elke3 × 3-matrixkangeschrevenwordenalsdesomvan eenelementvan U eneenelementvan W ,maarnietopeenuniekemanier.Zoisbijvoorbeeld(vulaan): 

Dusinditvoorbeeldis U + W geendirectesom.

Omineeneindigdimensionalevectorruimtenategaanofeensomvandeelruimteneendirectesomis,kunnenwehet begripdimensieaanwenden.

✸ Stelling(eerstecriteriumvoordirectesom). Zij R,V, +eeneindigdimensionalevectorruimteen U en W deelruimtenvan V .Dangeldt: U + W iseendirectesom ⇕ dim(U + W )=dim U +dim W

Bewijs. Neemeenbasis {u1,...,uk} van U eneenbasis {w1,...,wl} van W .Danwordt U + W voortgebracht door {u1,...,uk,w1,...,wl}

Nuis U + W eendirectesomalsenslechtsalselkevectorvan U + W opeenuniekemanierteschrijvenisalseen lineairecombinatievan {u1,...,uk,w1,...,wl}.Ditisequivalentmetzeggendat {u1,...,uk,w1,...,wl} lineair onafhankelijkis(hoofdeigenschapvanlineaironafhankelijkevectoren),watgelijkwaardigismetdim(U + W )= k + l =dim U +dim W

✸ Modelvoorbeeld. Beschouwdevectorruimte R, R[X]<3, +endedeelruimten

U =Span{12, 7X +2X 2} en W =Span{3X, 4X +5X 2}

Ganaof U + W dedirectesomvan U en W is. Oplossing. Wegaaneenvoudignadat {12, 7X +2X 2} eenbasisvoor U is.Dusdim U =2.Analoogis dim W =2.Wegensheteerstecriteriumvoordirectesomis U + W dedirectesomvan U en W alsenslechts alsdim(U + W )=4.

Maardedeelruimten U en W behorentot R[X]<3 zodatook U + W ≤ R[X]<3.Ditimpliceertdeongelijkheid dim(U + W ) ≤ 3.Webesluitendat U + W geendirectesomis.

Dedefinitiesvoorsomendirectesomvantweedeelruimtenkunnenveralgemeendwordentotdesom U1 +U2 + +Un en dedirectesom U1 ⊕U2 ⊕···⊕Un vaneeneindigaantaldeelruimten U1,U2,...,Un.Ookdebijbehorendeeigenschappen enhunbewijzenzijnanaloog.

Inhetalgemeengeldtvoortweeeindigdimensionaledeelruimten U en W datdim(U + W ) ≤ dim U +dim W .Het modelvoorbeeldbijsomvandeelruimtenlietziendatdim(U + W ) < dim U +dim W mogelijkis.Devolgende basisstellingzegtdathetverschilvanbeideledenpreciesdedimensievandedoorsnedeis.Netzoalsdemeeste resultatenindelineairealgebrawerdookdezedezestellingdoorGrassmannontdekt.

✸ Stelling(Grassmann,dimensiestellingvoordeelruimten). Zij R,V, +eenvectorruimteen U en W eindigdimensionaledeelruimtenvan V .Dangeldt:

dim U +dim W =dim(U + W )+dim(U ∩ W )

Wezulleneersteenspecifiekgevalbewijzen.Hetbewijsvoorhetalgemeengevalkanalszelfstudieaandeleerling wordenovergelaten.

Bewijsvoorhetspecifiekgeval dim U =2, dim W =3 en dim(U ∩ W )=1.

Wemoetenaantonendatdim(U + W )=4.Omdattedoen,leggenweeerstbasissenvandeanderedeelruimten vast.

▷

▷

▷

Omdatdim(U ∩ W )=1,telteenbasisvan U ∩ W ´e´envector.Neemzo’nbasis {v1}.

Omdatdim U =2,telteenbasisvan U tweevectoren.Nuis v1 ∈ U ∩W ⊆ U en {v1} islineaironafhankelijk, duswekunnen {v1} uitbreidentoteenbasisvan U ,zeg {v1,u1}

Omdatdim W =3,telteenbasisvan W drievectoren.Nuis v1 ∈ U ∩ W ⊆ W en {v1} islineair onafhankelijk,duswekunnen {v1} uitbreidentoteenbasisvan W ,zeg {v1,w1,w2}

Nuis

U + W =Span{v1,u1} +Span{v1,w1,w2} =Span{v1,u1,v1,w1,w2} =Span{v1,u1,w1,w2} zodat U + W wordtvoortgebrachtdoor {v1,u1,w1,w2}.Omtebewijzendatdim(U + W )=4,volstaathetom aantetonendat {v1,u1,w1,w2} lineaironafhankelijkis.Steldusdat

r1v1 + s1u1 + t1w1 + t2w2 =0V (1)

voorzekere r1,s1,t1,t2 ∈ R.Danvolgt:

= r1v1 s1u1 ∈U zodat t1w1 + t2w2 ∈ U ∩ W =Span{v1}.Dus

t1w1 + t2w2 ∈W

t1w1 + t2w2 = λ1v1 (2)

voorzekere λ1 ∈ R.Maardangeeft(2)eenlineairerelatievandelineaironafhankelijkeverzameling {v1,w1,w2}, zodat t1 = t2 = λ1 =0.Delineairerelatie(1)herleidtzichdannaardelineairerelatie

r1v1 + s1u1 =0V

vandebasis {v1,u1} van U ,zodatook r1 = s1 =0.Wehebbenaangetoonddat {v1,u1,w1,w2} lineair onafhankelijkis,enduseenbasisvan U + W is.Bovendienbevatdiebasis4vectoren,zodatdim(U + W )=4. Ditbesluithetbewijsvoorhetspecifiekgevaldim U =2,dim W =3endim U ∩ W =1.

Bewijsvoorhetalgemeengeval. Omdat V eindigdimensionaalis,zijndedeelruimten U , W , U + W

U

W ookeindigdimensionaal,zodatwekunnensprekenoverdedimensiesvandezedeelruimten.

Kieseenbasis {v1,...,vd} van U ∩ W .Omdat U ∩ W ≤ U kunnenwedezeverzamelinglineaironafhankelijke vectorenuitbreidentoteenbasis {v1,...,vd,u1,...,uk} van U .Analoogkunnenwe {v1,...,vd} uitbreidentot eenbasis {v1,...,vd,w1,...,wl} van W .Metdezenotatiesis

dim U +dim W dim(U ∩ W )= d + k + l.

Omdestellingaantetonen,volstaathetomeenbasisvan U + W tegevendie d + k + l elemententelt.

Wekunnendedeelruimte U + W schrijvenals:

U + W =Span{v1,...,vd,u1,...,uk} +Span{v1,...,vd,w1,...,wl} =Span{v1,...,vd,u1,...,uk,v1,...,vd,w1,...,wl} =Span{v1,...,vd,u1,...,uk,w1,...,wl} zodat U + W wordtvoortgebrachtdoor {v1,...,vd,u1,...,uk,w1,...,wl}

Omaantetonendatdezeverzamelingeenbasisis,bewijzenwedatzelineaironafhankelijkis.Steldusdat r1v1 + + rdvd + s1u1 + + skuk + t1w1 + + tlwl =0V (3)

voorzekere r1,...,rd,s1,...,sk,t1,...,tl ∈ R.Danvolgt: t1w1 + ··· + tlwl ∈W

= r1v1 −···− rdvd s1u1 −···− skuk ∈U zodat t1w1 + + tlwl ∈ U ∩ W =Span{v1,...,vd}.Dus t1w1 + + tlwl = λ1v1 + + λdvd (4)

voorzekere λ1,...,λd ∈ R.Maardangeeft(4)eenlineairerelatievandelineaironafhankelijkeverzameling {v1,...,vd,w1,...,wl},zodat t1,...,tl,λ1,...,λd allegelijkzijnaannul.Delineairerelatie(3)herleidtzich dannaareenlineairerelatievandebasis {v1,...,vd,u1,...,uk} van U ,zodatook r1,...,rd,s1,...,sk allegelijk zijnaannul.

Wehebbenaangetoonddat {v1,...,vd,u1,...,uk,w1,...,wl} eenbasisvan U + W is.Bovendienbevatdiebasis d + k + l vectoren,zodatdim(U + W )= d + k + l.Ditbesluithetbewijsvoorhetalgemeengeval.

Omdedimensievandedoorsnedevantweeeindigdimensionaledeelruimten U en W tevinden,kunnenweeenbasis vandiedoorsnedebepalen.Alsalternatiefkunnenwededimensiesvan U , W en U + W berekenenomdaarnade dimensiestellingvoordeelruimtentoetepassen.

✸ Modelvoorbeeld1. Beschouwdevectorruimte R, R3 , +endedeelruimten

U =Span{( 1, 2, 2), (2, 1, 5)} en W =Span{(1, 2, 7), (2, 1, 4)}

Bepaaldim(U ∩ W )zondereenbasisvandedoorsnedetebepalen. Oplossing. Wezienonmiddellijkdat(2, 1, 5)geenlineairecombinatievan( 1, 2, 2)is,zodatdim U =2.Analoogisookdim W =2.Omdat U,W ≤ U + W ≤ R3,isdim(U + W )=2ofdim(U + W )=3.Passenwede dimensiestellingvoordeelruimtentoe,danvindenwedim(U ∩ W )=1ofdim(U ∩ W )=2.

Mochtdim(U ∩ W )=2danzou U = W (zieGevolg2uitdevorigeparagraaf).Zonderalteveelrekenwerkzien weechterindat(2, 1, 4) ̸∈ U ,zodat U = W .Webesluitendatdim(U ∩ W )=1.

Ookalswewillennagaanofeensomeendirectesomis,kunnenwededimensiestellingvoordeelruimtengebruiken. Combinerenwediestellingmethetcriteriumvoordirectesom,danverkrijgenwevoortweedeelruimten U en W van eeneindigdimensionalevectorruimte V : U + W iseendirectesom ⇔ dim(U ∩ W )=0 ⇔ U ∩ W = {0V }.

Ditresultaatkanveralgemeendwordennaaroneindigdimensionalevectorruimten.Omdattebewijzen,kunnenwe nietlangergebruikmakenvandedimensiestellingvoordeelruimten.

✸ Stelling(tweedecriteriumvoordirectesom). Zij R,V, +eenvectorruimteen U,W deelruimtenvan V Dangeldt: U + W iseendirectesom ⇕ U ∩ W = {0V }

Bewijs. Steldat U + W eendirectesomisenneemeenwillekeurigelement v van U ∩ W .Danis: v = v +0V =0V + v. Mocht v =0V danzijndittweeverschillendemanierenomdevector v ∈ U + W alsdesomvaneenvectorin U eneenvectorin W teschrijven,watinstrijdismethetfeitdat U + W eendirectesomis.Dus v =0V .Dit toontaandat U ∩ W = {0V }

Omgekeerd,steldat U ∩W = {0V }.Dedefinitievandesomvandeelruimtenimpliceertdatelkevector v ∈ U +W opminstens´e´enmanierteschrijvenisalsdesomvaneenvectorin U eneenvectorin W .Omtebewijzendat erhoogstens´e´enmanieris,stellenwedatertweemanierenzijn,dus v = u1 + w1 en v = u2 + w2 met ui ∈ U en wi ∈ W voor i ∈{1, 2}.Nuis u1 u2 ∈ U en w2 w1 ∈ W ,zodat u1 u2 = w2 w1 ∈ U ∩ W .Omdat U ∩ W = {0V } is u1 u2 = w2 w1 =0V zodat u1 = u2 en w1 = w2

✸ Modelvoorbeeld2. Beschouwdeoneindigdimensionalevectorruimte R, RR , +vanalle R R afbeeldingen. Noem U dedeelruimtevandeevenfunctiesen W dedeelruimtevandeonevenfuncties: U = {f ∈ RR |∀x ∈ R : f ( x)= f (x)} en W = {f ∈ RR |∀x ∈ R : f ( x)= f (x)}

Ganaof U + W eendirectesomis.

Oplossing. Omdat U ∩ W = {0RR } is,wegenshettweedecriteriumvoordirectesom, U + W eendirectesom. Hieruitvolgtdatelke R R afbeeldingopeenuniekemanierteschrijvenisalsdesomvaneeneveneneenoneven functie.

Maardesom U + W + Z isgeendirectesom.Zoisbijvoorbeeld (3, 5)=3(1, 0)+5(0, 1)+0(1, 1)en(3, 5)=2(1, 0)+4(0, 1)+(1, 1)

Aandehandvaneentweetaltoepassingenwillenwelatenziendatdestudievaneenabstractestructuurkanleiden toteenantwoordopconcreteprobleemstellingen.

Toepassing1-Symmetrischeenscheefsymmetrischematrices

Alseerstetoepassingbekijkenwede n × n-matrices.Sommigevandiematriceskunnengeschrevenwordenalsdesom vaneensymmetrischematrixeneenscheefsymmetrischematrix,zoals

Wekunnendevraagstellenwelkevierkantematriceskunnengeschrevenwordenalsdesomvaneensymmetrischeen eenscheefsymmetrischematrix.

Omhetantwoordopdievraagtevinden,beschouwenwedevectorruimte R, Rn×n , +.Noem U deverzamelingvan allesymmetrischematricesen W dievanallescheefsymmetrischematricesvan Rn×n: U = {A ∈ Rn×n | AT = A} en W = {A ∈ Rn×n | AT = A}

Uitdeeigenschappenvanhettransponerenvanmatricesvolgtrechtstreeksdat U en W deelruimtenvan Rn×n zijn. Desom U + W bestaatuitallematricesdiekunnengeschrevenwordenalsdesomvaneensymmetrischeeneen scheefsymmetrischematrix.Omteachterhalenwelkematricesdatzijn,moetenweeenbasisvan U + W bepalen. Daartoeberekenenweeerstdedimensievan U + W

Uitdedimensiestellingvoordeelruimtenvolgt: dim(U + W )=dim U +dim W dim(U ∩ W ). (1) Hetiseenvoudigominteziendatdedoorsnede U ∩ W detrivialedeelruimte {0Rn×n } is,zodatdim(U ∩ W )=0.We berekenendedimensiesvan U en W aandehandvanhetvoorbeeld n =3,datzichgemakkelijklaatveralgemenen naaranderewaardenvan n Eenalgemenesymmetrische3 × 3-matrixheeftdegedaante

endekeuzevanzo’nmatrixkent6vrijheidsgraden.Wevermoedendusdatdim U =6.Datkanformeelbewezen wordendoorhetscheidenvandeparameters:

Dedeelruimte U wordtdusvoortgebrachtdooreenverzamelingvanzesvectoren,waarvanmeneenvoudigaantoont datzelineaironafhankelijkisenduseenbasisvormt. Analoogiseenalgemenescheefsymmetrische3 × 3-matrixvandevorm

Maarnuisookdim Rn×n = n2.WegensGevolg2uit 5.1mogenwebesluitendat U + W = Rn×n.Metandere woorden:elkevierkantematrixkangeschrevenwordenalsdesomvaneensymmetrischeeneenscheefsymmetrische matrix.

Dedoorsnede U ∩ W isdetrivialedeelruimte {0Rn×n },zodat U + W eendirectesomis(tweedecriteriumvoordirecte som).Uitdedefinitievandirectesomvolgtnu:elkevierkantematrixkan opeenuniekemanier geschrevenworden alsdesomvaneensymmetrischeeneenscheefsymmetrischematrix.

AlstweedetoepassingbeschouwenwederijvanFibonacci (fn)=0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... waarbijelketermgelijkis aandesomvandetweevoorgaandetermen.Eenrecursiefvoorschriftvandezerijwordtdusgegevendoor (fn)=      0als n =0 1als n =1 fn 1 + fn 2 als n> 2.

Ommetditrecursiefvoorschriftbijvoorbeeldde100etermtebepalen,moetenweeerstde99eende98etermkennen. Daartoemoetenweeerstde96eende97etermbepalen,etc.Datzouveelefficienterkunnen,mochtenweeenformule kennenwaarmeewemeteende n-determvanderijvanFibonaccikunnenbepalen,zondereerstde n 1voorgaande termentemoetenberekenen.Daaromluidtdevraag:bepaaleenexplicietvoorschriftvanderijvanFibonacci. Beschouwdaartoedevectorruimte R, RN , +vanallereelerijen.Noem W dedeelverzamelingvanallereelerijen(an) dievoldoenaanderecursierelatie an+2 = an + an+1 voorelke n ∈ N

Doorhetscheidenvandeparametersvindenwedat W = {(r,s,r + s,r +2s, 2r +3s, 3r +5s, 5r +8s, 8r +13s,...) | r,s ∈ R} =Span{(1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,...), (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...)}

waarmeeaangetoondisdat W eendeelruimtevan RN is.Bovendienzijndetweevoortbrengers(1, 0, 1, 1, 2, 3,...)en (0, 1, 1, 2, 3, 5,...)lineaironafhankelijk,zodatdim W =2.

Dedeelruimte W bevatderijvanFibonacci(fn)=(0, 1, 1, 2, 3, 5,...).Nugaanweopzoeknaareenanderebasis van W ,meerbepaaldeengeordendebasis B diebestaatuittweemeetkundigerijen.Deredenwaaromwedatdoenis omdatelkemeetkundigerij(an)eeneenvoudigexplicietvoorschriftheeft: an = a0qn vooreenzekere q ∈ R.Opdie manierzullendecoordinatenvan(fn)tenopzichtevan B toelateneenexplicietvoorschriftvanderijvanFibonacci tegeven.

Beschouwnueenmeetkundigerij(an)=(a0,a0q,a0q2 ,...)met q =0.Danis (an) ∈ W ⇔ a0qn+2 = a0qn + a0qn+1 voorelke n ∈ N ⇔ a0 =0of q 2 =1+ q.

Dekeuze a0 =0levertdenulrijop.Deanderemeetkundigerijenvan W hebbenalsquotient q deoplossingen van x2 =1+ x.Deoplossingenvandezevergelijkingzijn φ =(1+ √5)/2(hetgetalvandeguldensnede)en 1 φ =(1 √5)/2. Demeetkundigerijen(un)=(1,φ,φ2 ,...)en(vn)=(1, 1 φ, (1 φ)2 ,...)zijnlineaironafhankelijk(gana)enomdat dim W =2is B =((un), (vn))eengeordendebasisvan W Tenslottebepalenwedecoordinatenvan(fn)tenopzichtevan B.Kortom,wezoeken r,s ∈ R waarvoor(fn)= r(un)+ s(vn),dus (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,...)= r(1,φ,φ 2 ,...)+ s(1, 1 φ, (1 φ)2 ,...)

Vergelijkenwedeeerstetermendanvindenwe r = s =1/√5.Hieruitvolgteendirecteformulevoorde n-determ vanderecursiefgedefinieerderijvanFibonacci:dealgemenetermvanderijvanFibonacciis fn = φn (1 φ)n √5 waarbij φ =(1+ √5)/2 hetgetalvandeguldensnedeis.2 Dezewerkwijzekanooktoegepastwordenopandererijen.Meerbepaald,als(an)eenrecursiefgedefinieerderijisdie aandevolgendevoorwaardenvoldoet: (1) derecursierelatieislineair: an+m = r1an + r2an+1 + + rman+m 1 met m ∈ N0 en r1,r2,...,rm ∈ R,en (2) devergelijking qn+m = r1qn+r2qn+1+···+rmqn+m 1 heeftprecies m verschillendere¨eleoplossingen λ1,λ2,...,λm, dankandezerijexplicietuitgedruktwordenals an = s1λn 1 + s2λn 2 + + smλn m

voorzekere s1,s2,...,sm ∈ R.Wemerkentenslotteopdatdezemethodeequivalentismethetbepalenvaneen explicietvoorschriftviahetzogenaamd diagonaliserenvanmatrices,eenonderwerpdatinDeelLineaireafbeeldingen aanbodkomt.

2 In1843gepubliceerddoorBinet[2]docheerderbekendbijAbrahamdeMoivre [5](1718),DanielBernoulli [1](1726),en LeonhardEuler [8](1730).Zie[15].

5DimensieBasisVerdiepingUitbreiding ⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆

5.1Dimensiestellingvoorvectorruimten123 4 5 6

5.2Dimensiestellingvoordeelruimten7 8 9

10 11 12

13 14 15 16 17

5.3Toepassingen2021 22

Oefeningenbij 5.1

18 19

B Oefening1. Beschouwdevectorruimte R, R4 , +,zij v1,v2,v3 ∈ R4 ennoem W =Span{v1,v2,v3}.Schatzogoed mogelijkafenverklaarjeantwoord: ≤ dim W ≤

B⋆ Oefening2. Beschouwdevectorruimte R, R3 , +endedeelruimten U =Span{(3, 6, 5), (4, 8, 7)} en W =Span{(1, 2, 0), (0, 0, 1)}

(a) Toonaandat U ⊆ W

(b) Toonaandat U = W doorgebruiktemakenvanhetbegripdimensie.

B⋆⋆ Oefening3. Beschouwdevectorruimte R, R3 , +endedeelruimte W =Span{(1, 0, 1), (1, 1, 3), (2, 1, 2)}

(a) Bepaaleenbasisvan W (b) Bepaaldim W

B⋆⋆ Oefening4. Gegevenisdevectorruimte R, R5 , +endedeelruimte W = {(a + d,b + d, 2a b + d,a + d,c + d) | a,b,c,d ∈ R} Bepaaldedimensievan W

V Oefening5. Zij R,V, +eeneindigdimensionalevectorruimteenzij k eennatuurlijkgetalmet0 ≤ k ≤ dim V .Bewijs dat V eendeelruimtevandimensie k heeft.

V Oefening6. Zij R,V, +eeneindigdimensionalevectorruimteenverondersteldat V nietdetrivialevectorruimteis. Zijndevolgendeuitsprakenwaarofvals?Motiveertelkensjeantwoord.

(a) Alsdim V = n danbestaatereenverzamelingvan n +1vectorenvan V die V voortbrengt.

(b) Als {v1,v2,...,vp} voortbrengendvoor V isdangeldtvoorelke w ∈ V dat {v1,v2,...,vp,w} voortbrengendis voor V .

(c) Alsergeenenkelevoortbrengendeverzamelingvan p vectorenvan V bestaatdanisdim V>p

(d) Alsdim V = n> 1daniselkeverzamelingvan n 1vectorenvan V lineaironafhankelijk.

(e) Als {w1,w2,...,wq }⊆ V lineaironafhankelijkisdangeldtvoorelke v ∈ V dat {w1,w2,...,wq ,v} lineair onafhankelijkis.

(f) Alsergeenenkelelineaironafhankelijkeverzamelingvan q vectorenvan V bestaatdanisdim V<q

B⋆ Oefening7. Beschouwdevectorruimte R, R2×2 , +endeelruimten U en W van R2×2.Verderisergegevendat dim U =3endim W =2.

(a) Schatzogoedmogelijkafenverklaarjeantwoord:

≤ dim(U + W ) ≤

(b) Vulinenverklaar:

(i) alsdim(U + W )=3danis U + W = ... , (ii) alsdim(U + W )=4danis U + W = ... .

(c) Schatzogoedmogelijkafenverklaarjeantwoord: ≤ dim(U ∩ W ) ≤

B⋆ Oefening8. Beschouwindevectorruimte R, R2 , +dedeelruimten U =Span{(1, 1)} en W =Span{( 2, 1)}.

(a) Toonaandat U ∪ W geendeelruimtevan R2 is. (b) Bepaaldim(U + W ).

B⋆ Oefening9. Beschouwindevectorruimte R, R3 , +dedeelruimten W =Span{(1, 1, 0), (0, 2, 0)} en Z =Span{(2, 2, 0), (0, 0, 3)}.

(a) Bepaaleenbasisvandedeelruimte W + Z.

(b) Bepaaldim(W ∩ Z).

(c) Toonaandat W + Z geendirectesomis. (d) Bepaaleendeelruimte Z ′ van R3 zodat R3 = W ⊕ Z ′ .

B⋆⋆ Oefening10. Beschouwdevectorruimte R, R3 , +.Bepaaltelkenseenbasisvoordedeelruimte U ∩ W eneenbasis voordedeelruimte U + W

(a) U =Span{(5, 1, 9)} en W =Span{(11, 0, 3), (6, 2, 7)}

(b) U =Span{(3, 2, 10)} en W =Span{(2, 3, 2), ( 7, 3, 8)}

(c) U =Span{(1, 3, 7), ( 1, 2, 2)} en W =Span{(2, 5, 5), (6, 13, 3)}

B⋆⋆

Oefening11. Beschouwdevectorruimte R, R[X], +endedeelruimten U = {a + bX + cX 2 ∈ R[X] | a + b + c =0} en W =Span{1+ X +2X 2,X + X 2} Bepaaleenbasisvan U ∩ W

B⋆⋆

Oefening12. Beschouwdevectorruimte R, R3 , +endedeelruimten U =Span{(1, 1, 2), ( 3, 2, 5)} en W =Span{( 1, 3, 6)}.

(a) Toonaandatdedeelruimte U + W eendirectesomis.

(b) Bepaaldim(U ⊕ W ).

(c) Watis U ⊕ W ?Verklaar.

Oefening13. Beschouwindevectorruimte R, R[X], +dedeelruimte U vanveeltermendiedeelbaarzijndoor X +3 endedeelruimte W vanveeltermendiedeelbaarzijndoor X 2 +2X 3.Vulaanenstaafjeantwoord:deveeltermen in U ∩ W zijndeveeltermendiedeelbaarzijndoor...

V Oefening14. Beschouwdevectorruimte R, R3 , +endedeelruimten M =Span{(1+ a, 4, 2), (5, 6, 1 a)} en N =Span{(5+2a, 10, 0)}

waarbij a ∈ R

(a) Toonaandatdim M =2voorelkewaardevan a ∈ R.

(b) Bepaaldewaarde(n)van a waarvoor M + N geendirectesomis.

V Oefening15. Zij R,V, +eeneindigdimensionalevectorruimte.Zijndevolgendeuitsprakenwaarofvals?Indien waar,bewijs.Indienvals,geefeentegenvoorbeeld.

(a) ∀ U,W ≤ V : U ∩ W = ∅

(b) ∀ U,W ≤ V : U ∪ W ≤ V

(c) ∀ U,W ≤ V : U ∪ W ̸≤ V

(d) ∃ U,W ≤ V : U ∪ W = U + W

(e) ∀ U,W ≤ V :dim U +dim W =dim(U + W )

(f) ∃ U,W ≤ V :dim U +dim W =dim(U + W )

V Oefening16. Beschouwindevectorruimte R, R[X]<9, +dedeelruimte U vanveeltermendiedeelbaarzijndoor X 2 endedeelruimte W vanveeltermendiedeelbaarzijndoor X 3.Bepaal U + W

V Oefening17. Beschouwdevectorruimte R, RR , +ennoem U dedeelruimtevandeevenfunctiesen W dedeelruimte vandeonevenfuncties.

(a) Beschouweenwillekeurige f ∈ RR endefinieerhiermeede R R afbeeldingen f1 en f2 metvoorschrift f1(x)= 1 2 (f (x)+ f ( x))en f2(x)= 1 2 (f (x) f ( x))

Toonaandat f1 ∈ U en f2 ∈ W

(b) Jekangemakkelijknarekenendatvoordeafbeeldingen f,f1 en f2 uitdevorigedeelvraaggeldt: f = f1 + f2 Verklaarwaaromergeenanderemanierisom f teschrijvenalsdesomvaneeneveneneenonevenfunctie. V⋆

Oefening18. Zij R,V, +eeneindigdimensionalevectorruimteen U eendeelruimtevan V .Toonaandatereen deelruimte W van V bestaatzodat U ⊕ W = V . V⋆

Oefening19. Indedimensiestellingvoordeelruimtenisdeformuledim(U + W )=dim U +dim W dim(U ∩ W ) gelijkaardigaandeformulevoorhetaantalelementenvandeunievantweeeindigeverzamelingen A en B: #(A ∪ B)=#A +#B #(A ∩ B)

Voordrieeindigeverzamelingen A,B en C geldt: #(A ∪ B ∪ C)=#A +#B +#C #(A ∩ B) #(B ∩ C) #(A ∩ C)+#(A ∩ B ∩ C)

Geldteenanalogeformulevoordedimensiesbijdriedeelruimten?

Oefening20. Bepaaltelkenseenexplicietvoorschriftvanderij.

(a) (an)=      1als n =0 4als n =1 an 1 +2an 2 als n> 1

(b) (bn)=      1als n =0 5als n =1 3bn 2 als n> 1

V Oefening21. Schrijfeenwillekeurige3 × 3-matrixalsdesomvaneensymmetrischeeneenscheefsymmetrische matrix.

V Oefening22. Dematrix A hieronderisgeschrevenalsdesomvaneen symmetrischenulsommatrix eneen magische blokmatrix: A =   69 6 1107 5413   =   54 9 4 62 927   +   153 765 426  

Eensymmetrischenulsommatrixiseensymmetrischematrixwaarvoorallerijenenallekolommeneennulsomhebben. Eenmagischeblokmatrixiseenvierkantematrixwaarvanalle2 × 2-deelmatricesmetaansluitendeelementeneenzelfde somhebben.Zois   153 765 426  

eenmagischeblokmatrix,wantinelke2 × 2-deelmatrixmetaansluitendeelementen,zoals ï65 26ò , isdesomvandeelementengelijkaan19.

(a) Kanelke3 × 3-matrixgeschrevenwordenalsdesomvaneensymmetrischenulsommatrixeneenmagische blokmatrix?Zoja,isdieschrijfwijzedanuniek?Verklaarjeantwoord.

(b) Ganaofereenanalogeeigenschapvoor4 × 4-matricesgeldt.

Antwoordenopgeselecteerdeoefeningen

Hoofdstuk1

(1) (a) vals (b) waar (c) waar (d) vals (e) waar (f) vals (g) waar (h) vals

(2) (a) {−5, 5} (b) {1, 3, 5, 7, 9,...} (c) ∅ (5) (D)

(6) (a) Q = ∅ (b) P = ∅ en Q = ∅ (c) P = Q (d) P = R2 en Q = ∅

(7) (a) Im f =[0, 2] (b) Im f = {0, 1, √2, √3, 2} (c) Im f = ï 23 8 , 13ò (d) Im f = Q (e) Im f = {2, 4, 6, 12, 18} (f) Im f = {2, 5, 1}

Hoofdstuk2

(1) (a) axioma’s1,2en3 (b) axioma’s5en8 (c) axioma’s1,2,3,5en8 (d) axioma’s1,2,3,4,5,6,7en8

(2) Deoptellingvanmatricesisnietinwendigin S.

(5) (b) Hetneutraalelementindevectorruimte R, EX, +is0EX = Å 1 1 ã

(7) v1 +2v2 v3 =(0, 0, 0, 0)

(8) (a) u = 1 3 v1 + 1 3 v2 + 1 3 v3 (b) u = 2 13 v1 + 3 13 v2 + 12 13 v3

(12) (a) x = 1 4 (b) x ∈∅ (c) x = 2 (d) x ∈ R

(17) (a) bijvoorbeeld 1 2 + 5 3 · √2,0en √2

Hoofdstuk3

(1) (a) geendeelruimte (b) geendeelruimte (c) deelruimte (d) geendeelruimte (e) geendeelruimte (f) geendeelruimte

(3) (a) deelruimte (b) deelruimte (c) geendeelruimte (d) deelruimte (e) deelruimte (f) geendeelruimte

(4) (a) geendeelruimte (b) deelruimte

(5) (a) deelruimte (b) geendeelruimte (c) geendeelruimte (d) geendeelruimte (e) deelruimte (f) geendeelruimte (6) deelruimte

(7) (a) geendeelruimte (b) deelruimte (c) deelruimte (d) deelruimte (e) deelruimte (f) deelruimte

(14) Devector( 3, 2)kangeschrevenwordenalseenlineairecombinatievan {v1,v2} (16) (a) Devector v iseenlineairecombinatievan {v1,v2,v3,v4},bijvoorbeeld v =7v1 +4v2 +2v3 2v4,de schrijfwijzeisnietuniek. (b) Devector v isgeenlineairecombinatievan {v1,v2,v3,v4} (c) Devector v iseenlineairecombinatievan {v1,v2,v3,v4},bijvoorbeeld v = 7 2 v1 + 9 2 v2 +2v3 2v4,de schrijfwijzeisnietuniek.

(17) (a) v ∈ Span{v1,v2,v3,v4,v5},bijvoorbeeld v = 17v1 +5v2 +4v3 +3v4 +0v5,deschrijfwijzeisnietuniek. (b) v ̸∈ Span{v1,v2,v3,v4,v5}

(18) (a) u = √182 10 2√13+ √30 v1 + 2√10+ √42 2√13+ √30 v2 endezeschrijfwijzeisuniek. (b) u = v1 + v2 endezeschrijfwijzeisuniek.

(20) (a) a = 27 13 (b) a ∈ R (21) r =9 (22) Enkeldeuitspraken(2)en(5)zijnjuist.

(1) (a) bijvoorbeeld {(1, 1), ( 1, 1), ( 2, 2)} (b) bijvoorbeeld {(1, 0, 1), (0, 1, 2)} (c) bijvoorbeeld {(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)} (d) bijvoorbeeld ßï30 20ò , ï01 11ò™

(e) bijvoorbeeld {1+2X, 1 X} (f) bijvoorbeeld {X 5 X 3,X 4 X 2,X 3 X,X 2 1}

(2) (a) voortbrengend (b) nietvoortbrengend,bijvoorbeeld(1, 0, 0) ̸∈ Span D (c) voortbrengend (d) nietvoortbrengend,bijvoorbeeld(1, 0, 0) ̸∈ Span D

(4) ja

(6) Devector v3 isnietnoodzakelijkeenlineairecombinatievan {v1,v2}

(8) (a) lineairafhankelijk (b) lineaironafhankelijk (c) lineaironafhankelijk (d) lineairafhankelijk (e) lineaironafhankelijk (f) lineairafhankelijk (9) (a) lineaironafhankelijk (b) lineaironafhankelijk (c) lineairafhankelijk (d) lineairafhankelijk

(10) (a) k ∈ R \{ 2 3 } (b) k ∈ R \{6} (c) k ∈∅ (d) k ∈ R \{4}

(12) v =(8, 6, 23) (13) (a) coE (v)=(2, 4, 8) (b) coB (v)=( 2, 4, 2) (c) coB′ (v)= Å 18 17 , 8 17 , 20 17 ã

(14) (a) coE (v)=(2, 0, 1, 4) (b) coB (v)= Å 1, 3, 0, 1 2 ã

(15) (a) geenbasis (b) geenbasis (c) geenbasis (d) basis (16) (b) v =2v1 +0v2 + v3 (17) bijvoorbeeld {(1, 0, 2, 1, 0), (0, 1, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 0, 1)} (18) bijvoorbeeld {(2, 1, 3), ( 5, 2, 6), (0, 1, 0)} (19) (a) bijvoorbeeld v = X (b) Voordekeuze v = X iscoB (2X 2 7 2 X)=( 2, 2, 7 2 ).

(20) bijvoorbeeld {v1,v2} (21) bijvoorbeeld      100 000 000   ,   010 100 000   ,   001 000 100   ,   000 010 000   ,   000 001 010   ,   000 000 001     

Hoofdstuk5

(1) 0 ≤ dim W ≤ 3 (3) (a) bijvoorbeeld {(1, 0, 1), (1, 1, 3)} (b) dim W =2 (4) dim W =3 (6) (a) waar (b) waar (c) waar (d) vals (e) vals (f) waar (7) (a) 3 ≤ dim(U + W ) ≤ 4 (b) (i) U + W = U (ii) U + W = R2 (c) 1 ≤ dim(U + W ) ≤ 2 (8) (b) dim(U + W )=2 (9) (a) bijvoorbeeld {(1, 1, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 3)} (b) dim(W ∩ Z)=1 (d) bijvoorbeeld Z ′ =Span{(0, 0, 3)} (10) (a) bijvoorbeeld {(5, 1, 9), (11, 0, 3), (6, 2, 7)} (b) bijvoorbeeld {(3, 2, 10)} (c) bijvoorbeeld {(2, 5, 5), (6, 13, 3)} (11) bijvoorbeeld {−1+ X} (12) (b) dim(U ⊕ W )=3 (c) U ⊕ W = R3 (13) Deveeltermenin U ∩ W zijndeveeltermendiedeelbaarzijndoor X 2 +2X 3. (14) (b) a =1of a =15 (15) (a) waar (b) vals (c) vals (d) waar (e) vals (f) waar (16) U + W = R[X]<9 (20) (a) an = 2 ( 1)n +5 2n 3 (b) bn = (3+5√3)(√3)n +(3 5√3)( √3)n 6 (21)   abc def ghi   =   a b+d 2 c+g 2 b+d 2 e f +h 2 c+g 2 f +h 2 i   +   0 b d 2 c g 2 b d 2 0 f h 2 c g 2 f h 2 0   (22) (a) nee

Referentielijst

[1] D.Bernoulli, Observationesdeseriebusquaeformanturexadditionevelsubtractionequacunqueterminorumse mutuoconsequentium,CommentariiacademiaescientiarumimperialisPetropolitanae3,p.85-100,1728.

[2] J.P.Binet, M´emoiresurl’int´egrationdes´equationslin´eairesauxdiff´erencesfinies,d’unordrequelconque`acoefficientsvariables,ComptesRendusdesS´eancesdel’Acad´emiedesSciences17,p.559-567,1843.

[3] N.Bourbaki, ´ El´ementsdemath´ematiqueLivreI:Th´eoriedesensembles, ´ EditionsHermann,Paris,1939.

[4] R.Dedekind, WassindundwassollendieZahlen?,Braunschweig:Vieweg,1888.

[5] A.deMoivre, Miscellaneaanalyticadeseriebusetquadraturis,London,1730.

[6] K.DeNaeghel,L.VandenBroeck, SOHOWiskundePlantynLineaireAlgebraI,Plantyn,2014.

[7] G.L.Dirichlet, UberdieDarstellungganzwillkurlicherFunctionendurchSinusundCosinusreihen,Rep.der Physik,1837.

[8] L.Euler, Observationesanalyticae,NovicommentariiascaemiaescientiarumimperialisPetropolotanae,11,p. 124-143,1765.

[9] D.Fearnley-Sander, HermannGrassmannandthecreationoflinearalgebra,TheAmericanMathematical Monthly,Vol.86,p.809-817,1979.

[10] H.G.Grassmann, Dielinealeausdehnungslehre,eineneuerZweigderMathematik,dargestelltunddurchAnwendungenaufdie ubrigenZweigederMathematik,wieauchaufdieStatik,Mechanik,dieLehrevomMagnetismus unddieKrystallonomieerlautert,VerlagvonOttoWigand,Leipzig,1844.

[11] H.G.Grassmann, DieausdehnungslehreVollstandigundinstrengerFormbearbeitet,VerlagvonAdolphEnslin, Berlin,1862.

[12] S.Lavine, UnderstandingtheInfinite,HarvardUniversityPress,1994.

[13] G.Peano, CalcoloGeometricosecondol’AusdehnungslehrediH.GrassmannprecedutodalleOperazionidella LogicaDeduttiva,FratelliBoccaEditori,Torino,1888.

[14] E.Steinitz, BedingtkonvergenteReihenundkonvexeSysteme,J.ReineAngew.Math.,143,p.128-175,1913.

[15] Website StefanPorubsk´y, http://www.cs.cas.cz/portal/contents.htm

[16] WebsiteWikipedia, http://en.wikipedia.org/ en http://en.wikipedia.org/