Deel IV Complexe getallen

Wiskunde In zicht een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs geschreven door

Koen De Naeghel Deel IV Complexe getallen

25/03/2022

CREATIVE COMMONS Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 (CC BY-NC-SA) Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie.

De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode De gebruiker mag: het werk kopiëren, verspreiden en doorgeven Remixen - afgeleide werken maken

Onder de volgende voorwaarden: Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam te vermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik van het werk).

Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerciële doeleinden gebruiken.

Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfde licentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid.

Met inachtneming van: Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden met voorafgaande toestemming van de rechthebbende.

Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijke wetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze beı̈nvloed door de licentie.

Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht: • Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet.

• De morele rechten van de auteur.

• De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals het portretrecht of het recht op privacy.

Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aan . derden door middel van een link naar http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/

Eerste druk: Versie:

2019

25 maart 2022

Gepubliceerd door: Online publicatie platform Issuu.com Auteursrecht omslagfoto: stylephotographs/123RF Stockfoto http://nl.123rf.com/profile stylephotographs Tekstzetsysteem: LATEX Royalty percentage: 0%

© Koen De Naeghel, gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0

Deel IV

Algebra - Complexe getallen

Im z

2

1

z=

θ= z

3

1 2

+

√

3 2

π 3

O

z6 1

z4

z5

IV

i

Re

Inhoudsopgave

Deel Complexe getallen

1 Cartesische vorm

1

1.1 1.2 1.3 1.4

Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Complexe getallen in cartesische vorm . . . . . . . . . . . .

Basisbewerkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vierkantswortels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Reële vierkantswortels van reële getallen (herhaling) . . . .

Complexe vierkantswortels van complexe getallen . . . . .

1.5 Tweedegraadsvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Reële tweedegraadsvergelijkingen oplossen in R (herhaling) Complexe tweedegraadsvergelijkingen oplossen in C . . . .

Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

2 Polaire vorm en Euler-vorm 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

Complexe getallen in polaire vorm . . . . . . . . .

Complexe getallen in Euler-vorm . . . . . . . . . .

Basisbewerkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Machten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Machtswortels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Reële machtswortels van reële getallen (herhaling) Complexe machtwortels van complexe getallen . .

Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 2 6 11 11 12 15 15 16 20

26 . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

26 29 32 34 37 37 38 41

Antwoorden op geselecteerde oefeningen

46

Referentielijst

50

[. . . ] of such numbers we may truly assert that they are neither nothing, nor greater than nothing, nor less than nothing, which necessarily constitutes them imaginary or impossible.

Leonhard Euler, Elements of Algebra, 1770

Hoofdstuk 1

Cartesische vorm Voegen we aan de verzameling van de reële getallen een denkbeeldige, niet reële oplossing i van de vergelijking x2 +1 = 0 toe, dan verkrijgen we de zogenaamde complexe getallen. Deze getallen zijn op te vatten als punten in het vlak, waardoor hun meest voor de hand liggende schrijfwijze cartesische vorm wordt genoemd. De bewerkingen met complexe getallen kunnen uitgevoerd worden volgens voor de hand liggende rekenregels, waarbij elke i2 vervangen wordt door −1.

Hoewel heel wat eigenschappen van de reële getallen ook voor de complexe getallen gelden, blijken er ook fundamentele verschillen te zijn. Zo is de traditionele relatie is kleiner dan of gelijk aan zinloos voor de complexe getallen. Anderzijds heeft elk complex getal dat verschillend is van nul twee verschillende complexe vierkantswortels, in tegenstelling tot het asymmetrische gevalsonderscheid bij de reële getallen.

1.1

Inleiding

In de ontwikkeling van de wiskunde heeft de uitbreiding van het getallenbegrip een belangrijke rol gespeeld. De eenvoudigste getallen zijn ontstaan als resultaat van een telling van een eindig aantal dingen, die men logischerwijze de natuurlijke getallen heeft genoemd: N = {0, 1, 2, 3, . . . }.

Gaandeweg heeft men deze verzameling uitgebreid. Een zinvolle manier om dat te motiveren, is de noodzaak om oplossingen van vergelijkingen te kunnen weergeven. Onderstaande figuur stelt deze opeenvolgende uitbreidingen van het getallenbegrip als venndiagrammen voor.

(1) De vergelijking x + 7 = 0 heeft geen oplossingen in N. Daarvoor hebben we negatieve getallen nodig. Dit geeft aanleiding tot de verzameling van de gehele getallen: Z = {0, 1, −1, 2, −2, . . . }.

(2) De vergelijking 2x + 7 = 0 heeft geen oplossingen in Z. Een uitbreiding van het getallenbegrip die dit wel toelaat, is de verzameling van de rationale getallen: ™ ß a a, b ∈ Z, b ̸= 0 .

Q= b (3) De vergelijking x2 − 2 = 0 heeft geen oplossingen in Q. Dat is echter wel het geval bij de reële getallen, die traditioneel voorgesteld worden als decimale vormen. Rationale getallen komen dan overeen met reële getallen die een repeterende decimale vorm toelaten.

R = a, a1 a2 a3 . . . | a ∈ Z en ai ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Q

R

Z 0 1 2 .. .

N −1 −2 .. .

IV-1

1 2

− 17 .. 3 .

√ π .. .

2

De verzameling van de reële getallen volstaat echter niet om alle reële veeltermvergelijkingen in x te kunnen oplossen.

Zo heeft bijvoorbeeld de vergelijking: x2 + 1 = 0 geen oplossingen in R, omdat het kwadraat van een reëel getal altijd positief is. Niets belet ons echter om de verzameling van de reële getallen uit te breiden zodat ook deze vergelijkingen oplosbaar zijn.1 √ kan dit niet omdat Wie echter geneigd is om een oplossing van de vergelijking x2 = −1 te noteren als −1, √ √ volhouden √ dit tot foutieve interpretaties van de vertrouwde rekenregels leidt. Zo zou bijvoorbeeld □△ = □ △ de volgende tegenstrijdigheid opleveren: » √ √ (−1)(−1) = −1 −1 . | {z } | {z } −1

1

Daarom spreken we af dat we voortaan

het symbool

√

□ enkel opschrijven voor □ ∈ R+

√ en in dat geval lezen we □ zoals gebruikelijk als de positieve vierkantswortel van □.2 Om toch een vierkantswortel van −1 te symboliseren, wordt een nieuw symbool i ingevoerd die voldoet aan:3 i2 = −1

1.2

Complexe getallen in cartesische vorm

In het vierde jaar werd een reële veelterm in de variabele x ingevoerd. Aansluitend werd geleerd wanneer twee veeltermen in x gelijk zijn en hoe je twee veeltermen kan optellen, aftrekken en vermenigvuldigen. Vervangen we in deze opbouw de variabele x door een symbool i waarbij we afspreken dat i2 = −1, dan verkrijgen we zogenaamde complexe getallen. Een meer eenvoudige doch gelijkwaardige formulering verloopt als volgt.4 3 Definitie (complex getal). Een complex getal is een uitdrukking a + bi waarbij a, b ∈ R en waarbij het symbool i voldoet aan i2 = −1.

Doorgaans noteren we zo’n uitdrukking met een Latijnse letter z of w, al dan niet voorzien van een subscript of een superscript.5 Spreken we in het vervolg over een complex getal z = a + bi, w = c + di,. . . dan wordt stilzwijgend verondersteld dat a, b, c, d, . . . ∈ R. Bij afspraak zijn twee complexe getallen a+bi en c+di aan elkaar gelijk als en slechts als a = c en b = d.

Voorbeeld. De volgende uitdrukkingen zijn complexe getallen: z = 5 + 3i,

√ 3 w = − + (− 5) i, 7

z1 = 541 + 0i

en

w′ = 0 + 1i.

Gerolamo Cardano (1501-1576)

Geef zelf drie andere complexe getallen.

1 Hoewel het gebruikelijk is om complexe getallen te introduceren vanuit het verlangen om kwadratische vergelijkingen zoals x2 + 1 = 0 op te lossen, is de stelling dat complexe getallen ook op deze manier werden ontdekt niet correct. Toen tweedegraadsvergelijkingen in opmars waren, was er geen enkele behoefte om de oplosbaarheid van elke tweedegraadsvergelijking te eisen. Zo waren kwadratische vergelijkingen al impliciet aanwezig in de meetkunde van de klassieke oudheid, zoals de onderlinge ligging van de parabool y = x2 en een rechte y = px + q met p, q ∈ R. Lossen we zo’n probleem analytisch op, dan komt dat neer op het bepalen van de reële oplossingen van de tweedegraadsvergelijking x2 = px + q: de parabool zal de rechte snijden als en slechts als de corresponderende vergelijking reële oplossingen heeft, dus als en slechts als p2 + 4q ≥ 0. In het andere geval is een denkbeeldige oplossing ongepast omdat er binnen de meetkundige context van het probleem geen betekenis aan kan worden gehecht. De werkelijkheid is dat complexe getallen zich opdrongen toen men oplossingen van derdegraadsvergelijkingen onderzocht. Zo de Italiaanse wiskundige Scipione del Ferro in 1515 een oplossing van q kon » q » 3 q 3 q q 2 p 3 q 2 p 3 de kubische vergelijking x3 = px + q beschrijven als x = + − + − − , een uitdrukking die enkel betekenis 2 2 3 2 2 3 2 3 heeft als 2q − p3 ≥ 0. Maar in tegenstelling tot kwadratische vergelijkingen kan men een oplossing voor andere waarden van p en q niet negeren, want de kubische parabool y = x3 snijdt de rechte y = px + q voor elke waarde van p en q. Daarom zocht men naar een 2 3 manier om de formule van del Ferro ook zin te geven voor waarden van p en q waarvoor 2q − p3 < 0, wat neerkomt op het invoeren van vierkantswortels van strikt negatieve reële getallen. Hoewel de oplossing van del Ferro werd herontdekt door Niccolò Fontana Tartaglia 1535 en tien jaar later gepubliceerd door Gerolamo Cardano [4], was het Rafael Bombelli die in 1572 als eerste complexe getallen serieus nam [2] en de formele algebra voor het√rekenen met complexe getallen uitwerkte. Zie [24, p.275-278].

2 Wie na dit betoog de ongelukkige notatie −1 hardnekkig blijft hanteren, wordt in onze wiskundige gemeenschap als ketter aangezien.

3 De letter i verwijst naar de Franse term imaginaire (denkbeeldig), dat teruggaat naar René Descartes 1637 [9]. Het symbool i werd , zie [10, p.88]. gestandaardiseerd door Leonhard Euler 4 Onze beschrijving van een complex getal eerder is informeel, doch volstaat ruimschoots als eerste kennismaking. De eerste formele definitie van een complex getal werd in 1835 geformuleerd door William Rowan Hamilton [14], zie Oefening 25.

5 In de kunst van het vormgeven, zetten en drukken van tekst, ook wel typografie genoemd, betekenen de termen subscript en superscript tekens die respectievelijk lager of hoger dan de normale schrijfhoogte worden gezet [29].

IV-2

3 Definities, notaties en afspraken.

(1) De uitdrukking a + bi van een complex getal wordt opgevat als de optelling van een reëel getal a met de term bi, die op zijn beurt staat voor de vermenigvuldiging van het reëel getal b met het symbool i. Om die vermenigvuldiging te benadrukken, noteren we de term bi soms ook als b · i.

Bij afspraak maken we gebruik van de schrijfwijzen: bi + a = a + bi,

a + (−bi) = a − bi,

0 + bi = bi

a+0·i=a

en

a + 1 · i = a + i.

De aanwezigheid van de bewerkingen + en · in de uitdrukking a + b · i leidt ertoe dat we z = a + bi ook wel de algebraı̈sche gedaante van het complex getal z noemen. Een complex getal van de vorm 0 + bi noemt men (zuiver) imaginair.

Voorbeeld. Vereenvoudig de volgende complexe getallen. Welke zijn ook een reëel getal? √ 3 w = − + (− 5) i, 7

z1 = 541 + 0i,

w′ = 0 + 1i

en

w′′ = 0 + 0i

(2) De verzameling van de complexe getallen wordt genoteerd met C. In symbolen: C = {a + bi | a, b ∈ R} Omdat elk reëel getal x kan geschreven worden als een complex getal x + 0i, is de verzameling van de reële getallen een deelverzameling van de verzameling van de complexe getallen. In symbolen: R⊆C (3) Met elk complex getal z = a + bi kunnen we een koppel reële getallen (a, b) associëren, dat opgevat wordt als de coördinaten van een punt P in een cartesisch assenstelsel Oxy (zie onderstaande figuur). Dat punt P wordt het beeldpunt van z genoemd.

Op die manier kunnen we elk complex getal z meetkundig voorstellen als een punt in het vlak. Daarom noemen we de schrijfwijze z = a + bi van een complex getal ook wel de cartesische vorm (of rechthoekige vorm) van z.

y

P (a, b)

b cartesisch assenstelsel Oxy 1

P is het beeldpunt van a + bi

O

1

a

x

Voorbeeld. Stel de volgende complexe getallen meetkundig voor door hun beeldpunt in een cartesisch assenstelsel te tekenen: z1 = −3 + 2i, z2 = −i en z3 = 3.

IV-3

(4) Is z = a + bi een complex getal, dan noemen we a het reële deel van z en b het imaginaire deel van z. Deze reële getallen worden respectievelijk met Re(z) en Im(z) genoteerd.

In symbolen: z = a + bi = Re(z) + Im(z)i Is P (a, b) het beeldpunt van z = a · 1 + b · i, dan wordt het reële deel van z afgelezen op de x-as en het imaginaire deel op de y-as. Daarom noemen we de x-as ook wel de reële as met reële eenheid 1, en de y-as ook wel de imaginaire as met imaginaire eenheid i.

Passen we in een cartesisch assenstelsel de naamgeving van de assen aan zoals op onderstaande figuur, dan spreken we van het complexe vlak.6 Hierbij is het gebruikelijk om elk punt te benoemen als complex getal.

Merk het onderscheid op tussen het benoemen van punten (complexe getallen) en lijntjes op de reële en imaginaire as (reële getallen).

Im z = a + bi

b complexe vlak i

cartesische vorm z = a + bi

1

a

Re

Voorbeeld. Stel de volgende complexe getallen voor in het complexe vlak: z1 = −3 + 2i,

z2 = −i

en

z3 = 3.

6 Het idee om een complex getal op te vatten als een punt in het vlak, werd voor het eerst beschreven door Caspar Wessel in 1799 [27], hoewel het reeds in 1685 geanticipeerd werd door John Wallis [26]. De publicatie van Wessel bleef echter grotendeels onopgemerkt, zodat de meetkundige interpretatie van complexe getallen nadien nog meermaals onafhankelijk van elkaar verscheen. Dat was onder andere het geval bij Jean-Robert Argand 1806 en Carl Friedrich Gauss 1797 en 1831. Zie [29]. Om deze redenen noemt men het complexe vlak ook het vlak van Wessel, argandvlak en vlak van Gauss, die elk hun vanzelfsprekende voorkeur genieten naargelang men zich respectievelijk in Scandinavië, Frankrijk of Duitsland bevindt.

IV-4

(5) Vervangen we in een complex getal z = a + bi zowel het reële deel als het imaginaire deel door hun tegengesteld reëel getal, dan verkrijgen we het complex getal −a + (−b)i die we het tegengestelde van z noemen, notatie −z.

In symbolen: als

z = a + bi

dan is

−z = −a − bi

Op die manier hebben we de rekenregel −(a + bi) = −a − bi ingevoerd.

Meetkundige betekenis. Stellen we het complex getal z = a + bi voor in het complexe vlak en spiegelen we z om de oorsprong, dan verkrijgen we het tegengestelde complex getal −z. Spiegelen we −z om de oorsprong, dan verkrijgen we opnieuw z, waaruit volgt dat −(−z) = z.7

Im z = a + bi

b i −a 1

Re

a

−b

−z = −a − bi

(6) Vervangen we in een complex getal z = a + bi enkel het imaginaire deel door zijn tegengesteld reëel getal, dan verkrijgen we het complex getal a + (−b)i die de complex toegevoegde (of complex geconjugeerde) van z wordt genoemd, notatie z.

In symbolen: als

z = a + bi

z = a − bi

dan is

Omwille van de eerder ingevoerde afspraken, kunnen we de actie neem het complex toegevoegde van z ook omschrijven als: vervang in de uitdrukking van z elke i door −i.

Meetkundige betekenis. Stellen we het complex getal z = a + bi voor in het complexe vlak en spiegelen we z om de x-as, dan verkrijgen we het complex toegevoegde z. Spiegelen we z om de x-as, dan verkrijgen we opnieuw z, waaruit volgt dat z = z.

Im z = a + bi

b i

1

−b

7 Het

Re

a

z = a − bi

nemen van het tegengestelde van een complex getal kan gezien worden als een afbeelding f : C → C : z 7→ −z die voldoet aan f (f (z)) = z. Een afbeelding die aan deze eigenschap voldoet, wordt in de wiskunde een involutie genoemd. Analoog is ook het nemen van het complex toegevoegde eveneens een involutie.

IV-5

1.3

Basisbewerkingen

Een complex getal kan opgevat worden als een veelterm in de variabele x waarbij we x vervangen door het symbool i en rekening houden met de relatie i2 = −1. Op die manier kunnen we complexe getalen met elkaar optellen, aftrekken en vermenigvuldigen, en liggen heel wat eigenschappen van die bewerkingen voor de hand: de optelling van complexe getallen is commutatief, de vermenigvuldiging van complexe getallen is distributief ten opzichte van de optelling van complexe getallen enzovoort. Verder blijkt elk complex getal verschillend van nul een invers element voor de vermenigvuldiging te hebben. Daardoor krijgt de verzameling van de complexe getallen C een zogenaamde veldstructuur, wat gezien wordt als een natuurlijke uitbreiding van het veld van de reële getallen R. 3 Rekenregels in cartesische vorm. Zijn z = a + bi en w = c + di complexe getallen, dan is (vul aan): z + w = (a + bi) + (c + di) = . . . (a + c) + (b + d)i z − w = (a + bi) − (c + di) = . . . (a − c) + (b − d)i z · w = (a + bi) · (c + di) = . . . (ac − bd) + (ad + bc)i Zoals gebruikelijk stellen we z 1 = z, z 2 = z · z, z 3 = z 2 · z enzovoort. Is z = ̸ 0, dan spreken we af dat z 0 = 1. Het bijzonder geval waarbij een reëel getal met een complex getal wordt vermenigvuldigd, noemt men scalaire vermenigvuldiging.

3 Modelvoorbeeld 1. Gegeven zijn de complexe getallen z = 2 + 3i

en

w = 1 − 4i.

Werk telkens de bewerking algebraı̈sch uit en schrijf het resultaat in cartesische vorm. Controleer daarna je uitkomst met behulp van je grafische rekenmachine. (a) z − w z+z (b) 2 (c) 3z + 4w

(d) 3z + 4w

(g) z 2

(e) 3z + 4w

(h) z 3

(f) z · w

(i) (z − 2)4

Oplossing.

Controle met behulp van de grafische rekenmachine.

MODE

a + bi

2ND

.

STO>

IV-6

We kunnen ook afspreken hoe je complexe getallen door elkaar kunt delen. Daarvoor halen we inspiratie uit het derde jaar, waar je geleerd hebt dat je in sommige situaties een vierkantswortel uit de noemer kan verdrijven door teller en noemer te vermenigvuldigen met de toegevoegde tweeterm van de noemer. Zo is bijvoorbeeld (vul aan): √ √ √ √ 1 5−2 3 5−2 3 5−2 3 5−2 3 1 √ = ... √ · √ = √ = = .

25 − 4 · 3 13 5+2 3 5+2 3 5−2 3 52 − (2 3)2 Nu gaan we op een analoge manier te werk om het omgekeerde van een complex getal vast te leggen, en meer algemeen het quotiënt van twee complexe getallen te bepalen.

3 Rekenregels in cartesische vorm (vervolg). Zijn z = a + bi en w = c + di ̸= 0 complexe getallen, dan wordt: (vul aan):

1 1 = = . . . (a + c) + (b + d)i w c + di z a + bi = = . . . (a − c) + (b − d)i w c + di

Logischerwijze stellen we w−1 =

1 w,

w−2 =

1 w2

enzovoort.

3 Modelvoorbeeld 2. Gegeven zijn de complexe getallen z = 2 + 3i

en

w = 1 − 4i.

Werk telkens de bewerking algebraı̈sch uit en schrijf het resultaat in cartesische vorm. Controleer daarna je uitkomst met behulp van je grafische rekenmachine.

1 z z (b) w (a)

(c)

z

w z (d) w

Oplossing.

Controle met behulp van de grafische rekenmachine.

MATH

1:Frac

MATH

CMPLX

IV-7

1:conj(

In de voorgaande rekenregels en modelvoorbeelden kwamen enkele bewerkingen aan bod waarvan het resultaat het opmerken waard is, zoals de complex toegevoegde van een som, verschil, product of quotiënt van twee complexe getallen. Deze eigenschappen worden hieronder geformuleerd.

3 Basiseigenschappen van complex toegevoegde. Zij z = a + bi en w = c + di complexe getallen. Dan geldt: z z (i) z · z = a2 + b2 , = als w ̸= 0, (iv) w w (ii) z ± w = z ± w,

(v) Re(z) =

z+z , 2

(iii) z · w = z · w,

(vi) Im(z) =

z−z .

2i

We bewijzen de eigenschappen (i), (iii), (v). De bewijzen van (ii), (iv) en (vi) zijn analoog en worden als oefening voor de lezer gehouden.

Bewijs van (i). We berekenen: z · z = (a + bi) · (a − bi) = . . . a2 − abi + bai − b2 i2 = a2 − b2 (−1) = a2 + b2 .

Bewijs van (iii). Enerzijds is:

zodat:

z · w = (a + bi)(c + di) = . . . ac + adi + bci + bdi2 = (ac − bd) + (ad + bc)i

z · w = . . . (ac − bd) − (ad + bc)i.

terwijl anderzijds:

z ·w = . . . (a − bi)(c − di) = ac − adi − bci + bdi2 = (ac − bd) − (ad + bc)i. waaruit we mogen besluiten dat z · w = z · w.

Bewijs van (v). Enerzijds is: Re(z) = . . . terwijl anderzijds: z+z a + bi + a − bi 2a = ... = =a 2 2 2 hetgeen het gestelde bewijst.

We kunnen deze basiseigenschappen ook herhaaldelijk toepassen. Zo is voor elk complex getal z (vul telkens de verantwoording aan): 1 − 4z + 5z 2 = 1 − 4z + 5z 2

wegens . . .

= 1 − 4 z + 5 z2

wegens . . .

= 1 − 4 z + 5 z2

wegens . . .

= 1 − 4 z + 5 z2

wegens . . .

2

Noemen we P (x) = 1−4x+5x de bijbehorende reële veelterm in de variabele x, dan is wegens bovenstaande redenering P (z) = P (z). Dit kan moeiteloos veralgemeend worden tot eender welke veelterm P (x) met reële coëfficiënten. Het belang van dit gevolg ligt in het feit dat op deze manier P (z) = 0 ⇔ P (z) = 0, hetgeen in het vervolg van deze cursus nog nuttig zal blijken.

3 Gevolg. Beschouw een veelterm P (x) met reële coëfficiënten en z ∈ C. Dan geldt: P (z) = P (z).

IV-8

Tot slot van deze paragraaf gaan we na of enkele vertrouwde eigenschappen van reële getallen ook voor complexe getallen gelden. De volgende basiseigenschappen kunnen bewezen worden met behulp van de rekenregels van hierboven.

We zullen enkel eigenschap (10’) aantonen. De overige bewijzen worden achterwege gelaten. ⋆ Basiseigenschappen van optelling. De optelling in C kan opgevat worden als een afbeelding: +:C×C→C

(z, w) 7→ z + w

die voldoet aan de volgende eigenschappen: (1)

de optelling in C is associatief:

(2)

er is een neutraal element voor de optelling in C:

(3)

elk element in C heeft invers element voor de

∀z, w, w′ ∈ C : (z + w) + w′ = z + (w + w′ ) ∀z ∈ C : z + 0 = z = 0 + z

∀z ∈ C : z + (−z) = 0 = (−z) + z

optelling in C:

Omdat voldaan is aan deze eigenschappen (1)-(3) noemen we de verzameling C voorzien van de optelling + een groep, notatie C, +. Bovendien geldt ook de eigenschap: (4)

de optelling in C is commutatief:

∀z, w ∈ C : z + w = w + z.

Wegens deze vierde eigenschap noemen we de groep C, + commutatief (of abels).8

⋆ Basiseigenschappen van scalaire vermenigvuldiging. De scalaire vermenigvuldiging in C kan opgevat worden als een afbeelding: ·:R×C→C (r, z) 7→ r · z

die voldoet aan de volgende eigenschappen: (5) (6)

de scalaire vermenigvuldiging in C is gemengd associatief: de scalaire vermenigvuldiging in C is distributief ten opzichte van de optelling in C:

(7)

de scalaire vermenigvuldiging in C is distributief ten opzichte van de optelling in R:

(8)

het reëel getal 1 is een neutraal element voor de scalaire vermenigvuldiging in C:

∀r, s ∈ R, ∀z ∈ C : (r · s) · z = r · (s · z) ∀r ∈ R, ∀z, w ∈ C : r · (z + w) = r · z + r · w ∀r, s ∈ R, ∀z ∈ C : (r + s) · z = r · z + s · z ∀z ∈ C : 1 · z = z

Omdat de verzameling C voorzien van de optelling + en de scalaire vermenigvuldiging · voldoet aan eigenschappen (1)-(8) noemen we ze een (reële) vectorruimte (of lineaire ruimte), notatie R, C, +. ⋆ Basiseigenschappen van vermenigvuldiging. De vermenigvuldiging in C kan opgevat worden als een afbeelding: ·:C×C→C (z, w) 7→ z · w

die voldoet aan de volgende eigenschappen: (5’)

de vermenigvuldiging in C is associatief:

(6’) de vermenigvuldiging in C is links-distributief ten opzichte van de optelling in C: (7’) de vermenigvuldiging in C is rechts-ditributief ten opzichte van de optelling in C:

∀z, w, w′ ∈ C : (z · w) · w′ = z · (w · w′ ) ∀z, w, z ′ ∈ C : z · (w + z ′ ) = z · w + z · z ′ ∀z, w, w′ ∈ C : (z + w) · w′ = z · w′ + w · w′

(8’) er is een neutraal element voor de vermenigvuldiging in C : ∀z ∈ C : z · 1 = z = 1 · z (9’) de vermenigvuldiging in C is commutatief:

(10’) elk niet-nul element in C heeft invers element voor de vermenigvuldiging in C:

∀z, w ∈ C : z · w = w · z

∀z ∈ C0 : ∃w ∈ C : z · w = 1 = w · z

Omdat de commutatieve groep C, +, die voldoet aan eigenschappen (1)-(4), bovendien voldoet aan (5’)-(10’) noemen we de verzameling C voorzien van de optelling + en de vermenigvuldiging · een veld, notatie C, +, ·.9

8 De

(1802 - 1829). term abels verwijst naar Niels Henrik Abel begrip veld werd in 1858 ingevoerd door Richard Dedekind maar werd pas gangbaar rond 1890, zie [7]. De Duitse term voor veld is Körper, hetgeen in de taalkundige betekenis een organisch gesloten entiteit suggereert. De Engelse term field werd in 1893 bedacht door Eliakim Hastings Moore [19]. Zie [29] en [28]. Andere voorbeelden van velden zijn de rationale getallen Q, +, · en de reële getallen R, +, ·.

9 Het

IV-9

Bewijs van (10’). Zij z = a + bi ̸= 0 een complex getal. We beweren dat a2 + b2 ̸= 0. Inderdaad, omdat a, b ∈ R is alvast a2 ≥ 0 en b2 ≥ 0. Mocht a2 + b2 = 0 dan zou dus a2 = 0 en b2 = 0, waaruit z = 0, een tegenstrijdigheid.

Beschouw nu het complex getal

w=

b a − 2 i. a2 + b2 a + b2

Dan is (vul aan): z · w = (a + bi) ·

Å

ã a b a2 ab ab b a2 + b2 2 − i = . . . − i + i − i = 1. = a2 + b2 a2 + b2 a 2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2

Uit de commutativiteit van de vermenigvuldiging in C volgt nu ook dat w · z = 1.

Onderstaande figuur toont een overzicht van de verschillende structuren op de verzameling C.

verzameling C + :C×C →C eig. 1-3 groep C, + eig. 4 commutatieve groep C, + ·:R×C →C eig. 5-8

·:C×C→C eig. 5’-10’

reële vectorruimte R, C, +

veld C, +, ·

Naast de optellling en de vermenigvuldiging is de verzameling van de reële getallen R ook voorzien van de relatie kleiner dan of gelijk aan, genoteerd als ≤, die voldoet aan eigenschappen zoals: (A) ∀r, s ∈ R : r ≤ s of s ≤ r

(B) ∀r, s, t ∈ R : r ≤ s ⇒ r+t ≤ s+t

(C) ∀r, s, t ∈ R : r ≤ s en 0 ≤ t ⇒ rt ≤ st.

Vreemd genoeg is het onmogelijk om deze relatie ≤ uit te breiden naar de verzameling van de complexe getallen C.

3 Eigenschap. Er bestaat geen relatie ≤ die voldoet aan (A), (B) en (C) waarbij R telkens vervangen is door C. Bewijs. Veronderstel uit het ongerijmde dat er toch zo’n relatie ≤ zou bestaan. Dan zou wegens (A) gelden dat 0 ≤ i of i ≤ 0. In het eerste geval vinden we, na het vermenigvuldigen van beide leden met i, de tegenstrijdigheid: 0≤i

⇒

...

wegens . . .

⇒

...

wegens . . .

en in het tweede geval verkrijgen we, na het vermenigvuldigen van beide leden met −i, de contradictie: i≤0

⇒

...

⇒

...

⇒

...

wegens . . .

⇒

...

wegens . . .

wegens . . .

Bovenstaande eigenschap is de aanleiding om af te spreken dat we voortaan uitdrukkingen zoals □ ≤ △ en □ ̸≤ △ enkel opschrijven voor □, △ ∈ R IV-10

1.4

Vierkantswortels

In het derde jaar werd het begrip (reële) vierkantswortel van een reëel getal gedefinieerd. Aansluitend werd de eigenschap gezien √ dat enkel positieve reële getallen een reële vierkantswortel hebben. Op basis van dit kenmerk werd het symbool 7 ingevoerd. Dat zullen we hieronder hernemen. Daarna bekijken we vierkantswortels van complexe getallen.

Reële vierkantswortels van reële getallen (herhaling) 3 Definitie (reële vierkantswortel). Zij x, b ∈ R. We noemen x een (reële) vierkantswortel van b als x2 = b.

Voorbeeld. Het getal 6 is een vierkantswortel van 36 want 62 = 36. Ook −6 is een vierkantswortel van 36 want (−6)2 = 36. Het getal −64 heeft geen reële vierkantswortels want x2 = −64 heeft geen reële oplossingen.

3 Eigenschap van reële vierkantswortels. Zij b een reëel getal. Dan geldt: de vergelijking x2 = b heeft een reële oplossing x

⇔

b≥0

Elk positief reëel getal b heeft twee reële vierkantswortels die tegengesteld zijn aan elkaar, verschillend als b ̸= 0 en samenvallend als b = 0.

y

Meetkundige betekenis. We kunnen deze eigenschap verklaren aan de hand van de grafiek van de functie f (x) = x2 , zie rechterfiguur: een rechte y = b snijdt de grafiek van f

f (x) = x2

▷ tweemaal als b > 0,

y=b (b > 0)

▷ eenmaal als b = 0, ▷ geen enkele keer als b < 0.

3 Notatie. Zij b ∈ R+ 0 . Wegens de vorige eigenschap zijn de twee verschillende √ reële vierkantswortels van b tegengesteld aan elkaar.

We schrijven b voor de positieve vierkantswortel van b.√De negatieve vierkantswortel van b is dan het tegengestelde van b, en dus √ gelijk aan − b. Het getal 0 heeft één √ vierkantswortel, namelijk het getal 0. Die noteren we dan met 0.10

√ − b

√ b

x

y=b (b < 0)

Op die manier kan de tweede zin in de eigenschap van reële vierkantswortels als volgt worden aangevuld: Elk positief reëel getal b heeft twee reële vierkantswortels die tegengesteld zijn aan elkaar, verschillend als b ̸= 0 en samenvallend als b = 0, en worden gegeven door: √ x1,2 = ± b 3 Modelvoorbeeld 1. (a) Geef de reële vierkantswortels van 16. Hanteer de correcte notaties. √ √ (b) Vul aan en schrijf uit in woorden: 121 = . . . en − 4 = . . . √ √ √ (c) Vereenvoudig de volgende uitdrukkingen voor elke x ∈ R: x2 , x3 , x4 . Is elke uitdrukking zinvol?

(d) Waar of vals? Beoordeel de volgende uitspraak. Indien waar, bewijs. Indien vals, geef een tegenvoorbeeld en pas de valse uitspraak zinvol aan tot een ware uitspraak. ∀x ∈ R :

Oplossing.

√ 2 x =x

√ reëel getal x wordt in België positief genoemd als x ≥ 0, terwijl in Nederland positief betekent: x > 0. Dus in Nederland mag je 0 niet lezen als de positieve vierkantswortel van nul of de negatieve vierkantswortel van nul, maar zeg je: de niet-negatieve vierkantswortel van nul of de niet-positieve vierkantswortel van nul, zie [8].

10 Een

IV-11

Vervangen we in de definitie van reële vierkantswortel de verzameling van de reële getallen R door de verzameling van de complexe getallen C, dan verkrijgen we het begrip complexe vierkantswortel van een complex getal. De voor de hand liggende veralgemening van de eigenschap van reële vierkantswortels naar die van complexe vierkantswortels kan echter niet juist zijn: het is doorgaans niet zinvol om te spreken over een positief complex getal want in C bestaat er geen relatie ≤ die de basiseigenschappen in R veralgemeent (zie vorige paragraaf). Vreemd genoeg blijkt de eigenschap bij de complexe getallen net eenvoudiger te zijn: er doet zich namelijk geen (asymmetrisch) gevalsonderscheid voor.

Dat zullen we hieronder bewijzen.11

Complexe vierkantswortels van complexe getallen 3 Definitie (complexe vierkantswortel). Zij z, w ∈ C. We noemen z een (complexe) vierkantswortel van w als z 2 = w.

Voorbeeld. Het complex getal −5i is een vierkantswortel van −25 want . . .

Het complex getal 2 − 3i is een vierkantswortel van −5 − 12i want . . .

3 Op ontdekking. Bepaal algebraı̈sch alle complexe vierkantswortels van het complex getal w = 3 + 4i.

Oplossing. Zij z = x + yi een complex getal. We gaan op zoek naar alle reële getallen x, y waarvoor z 2 = w.

Welnu,

11 Men zou informeel kunnen stellen dat het invoeren van de imaginaire as, die ons dwong om de relatie ≤ over C op te geven, er nu precies voor zorgt dat er extra ruimte wordt gecreëerd voor het bestaan van vierkantswortels, i.e. oplossingen van z 2 = w met w ∈ C willekeurig.

Zoals we later zullen zien, blijkt deze gedachtengang ook voor andere vergelijkingen op te gaan, zoals tweedegraadsvergelijkingen met negatieve discriminant, n-de graadsvergelijkingen en zelfs transcendente vergelijken zoals ez = −1 en sin z = 2.

IV-12

De redenering die in de vorige op ontdekking werd opgebouwd, kan nu ook veralgemeend worden tot de volgende eigenschap. Het bewijs hiervan dient niet gememoriseerd te worden. Wel verwachten we dat je, gegeven het onderstaande bewijs, alle stappen kunt verklaren. Dat houdt niet enkel het rekenwerk in, maar bijvoorbeeld ook de verantwoording van de equivalenties (A) ⇔ (B), (B) ⇔ (C), (C) ⇔ (D) en de verklaring waarom de uitdrukkingen (3) en (4) zinvol zijn. De formulering van de eigenschap inclusief de formules voor z1,2 komt tijdens het oplossen van oefeningen bijzonder goed van pas en hoort daarom wel gekend te zijn.

3 Eigenschap van complexe vierkantswortels. Zij w een complex getal. Dan geldt: de vergelijking z 2 = w heeft altijd een complexe oplossing z Elk complex getal w = a + bi heeft twee complexe vierkantswortels z1 en z2 die tegengesteld zijn aan elkaar, verschillend als w ̸= 0 en samenvallend als w = 0, en worden gegeven door:

z1,2 =

     ±

    ±

a+

√

a+

√

a2 + b2 ± 2 a2 + b2 ∓ 2

−a + −a +

√

a2 + b2 i 2

als b ≥ 0

√

a2 + b2 i 2

als b < 0

Bewijs. Zij z = x + yi een complex getal. Dan geldt: z2 = w

⇔

(x + yi)2 = a + bi

⇔

x2 + 2xyi + (yi)2 = a + bi

⇔

(x2 − y 2 ) + (2xy)i = a + bi ®

⇔

x2 − y 2 = a (1) 2xy = b 2

(A)

(2)

2

(1) + (2) :

a2 + b2

= (x2 − y 2 )2 + (2xy)2

= x4 − 2x2 y 2 + y 4 + 4x2 y 2 = x4 + 2x2 y 2 + y 4 = (x2 + y 2 )2

⇔

 2 x − y2 = a   2xy = b  p  2 x + y 2 = a2 + b2 (3) + (1) : 2 (3) − (1) : 2

⇔

⇔

(1) (2) (3) √

a2 + b2 2 √ −a + a2 + b2 y2 = 2 2

x =

a+

 2xy = b     √    a + a2 + b2 x=± 2   √   2 2   y = ± −a + a + b 2

z=

     ±

    ±

(B)

a+

√

a+

√

(2) (4) (5)

a2 + b2 ± 2 a2

+

2 IV-13

b2

(C)

∓

−a + −a +

√

a2 + b2 i 2

√

a2

2

+

b2

i

als b ≥ 0 als b < 0.

(D)

De formules uit de vorige eigenschap laten ons toe om meteen de complexe vierkantswortels van een gegeven w ∈ C op te schrijven. Merk hierbij op dat we in het algemeen niet kunnen spreken over de positieve vierkantswortel en de negatieve vierkantswortel van w, omdat uitdrukkingen zoals 0 ≤ △ enkel √ zin hebben voor △ ∈ R. Een vierkantswortel van w mag in het algemeen ook niet genoteerd worden aan de hand van 7 wegens de afspraak die we in de inleiding van dit hoofdstuk hebben gemaakt: het symbool

√

□ enkel opschrijven voor □ ∈ R+

3 Modelvoorbeeld 2. Bereken algebraı̈sch de complexe vierkantswortels van de volgende complexe getallen.

Schrijf telkens je resultaat in cartesische vorm, en stel deze vierkantswortels voor in het complexe vlak.12 (b) −6i

(a) 3 + 4i Oplossing.

Controle met behulp van de grafische rekenmachine.13 MODE

a + bi

…

12 De

uitdrukkingen

2ND

.

√

±a+

a2 +b2 2

die optreden in de formules van de eigenschap van complexe vierkantswortels zijn zogenaamde geneste p √ √ vierkantswortels, en kunnen soms vereenvoudigd worden tot een som van vierkantswortels.

Zo is bijvoorbeeld 3 + 2 2 = 1 + 2 en √ p p √ √ √ √ √ √ k± k2 −l2 m 5 + 2 6 = 2 + 3. In het algemeen is k ± l m = x1 ± x2 met x1,2 = op voorwaarde dat k, l, m ∈ R, m ≥ 0, 2 √ 2 2 k ± l m ≥ 0, k − l m ≥ 0 en x1,2 ≥ 0. Zie [29].

13 De derde schermafdruk heeft, in het licht van de afspraak die we hierboven herhaald hebben, een hoogst ongelukkig resultaat. Mochten de ontwikkelaars van Texas intruments deze afwijking welbewust en opzettelijk geprogrammeerd hebben, dan hopen we dat hun ziel alsnog van het vagevuur gered kan worden door de reinigende werking van de vlammen van hun (imaginaire) brandstapel.

IV-14

1.5

Tweedegraadsvergelijkingen

In het vierde jaar heb je een algemene methode gezien waarmee je elke reële tweedegraadsvergelijking kan oplossen in R. Ook de omgekeerde vraag werd beantwoord: als je twee reële getallen x1 en x2 krijgt, kun je dan de tweedegraadsvergelijkingen bepalen waarvoor x1 en x2 de oplossingen zijn? Aansluitend werd geleerd wanneer je een reële tweedegraadsveelterm kan ontbinden in lineaire factoren over R. Dat wordt hieronder herhaald. Daarna lossen we tweedegraadsvergelijkingen op in C.

Reële tweedegraadsvergelijkingen oplossen in R (herhaling) 3 Vraagstuk. De oppervlakte van een rechthoek is 12 m2 . Als je weet dat de lengte van de rechthoek 4 m langer is dan de breedte, bepaal dan de lengte en de breedte van de rechthoek.

Oplossing. Om het vraagstuk beter te begrijpen, maken we een schets:

12 m2

3 Definitie. Een reële tweedegraadsvergelijking in x is een vergelijking die kan geschreven worden in standaardvorm ax2 + bx + c = 0 waarbij a, b, c ∈ R en a ̸= 0 Een tweedegraadsvergelijking wordt ook wel kwadratische vergelijking of vierkantsvergelijking genoemd. Elke x ∈ R die aan deze vergelijking voldoet, wordt een (reële) oplossing of (reële) wortel genoemd.

3 Eigenschap (reële wortelformule, abc-formule).14 Zij ax2 + bx + c = 0 een reële tweedegraadsvergelijking en noem D = b2 − 4ac de discriminant van de vergelijking.

Dan heeft de tweedegraadsvergelijking: (1) geen reële oplossingen als D < 0,

(2) precies één reële oplossing als D = 0, namelijk x = −

b , 2a

(3) precies twee reële oplossingen als D > 0, namelijk:15 x1,2

√ −b ± D = 2a

3 Eigenschap (som en product in R). Beschouw een tweedegraadsvergelijking ax2 + bx + c = 0 en x1 , x2 ∈ R willekeurig. Dan zijn de volgende uitspraken gelijkwaardig. (i) x1 en x2 zijn de oplossingen van ax2 + bx + c = 0 (ii) ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ) (iii) x1 + x2 = −

b a

en

x1 · x2 =

ontbinding in lineaire factoren over R

c a

14 De eerste beschrijving van de wortelformule heeft men gevonden in een boek van de Indische wiskunde Brahmagupta ca. 628 n.Chr. Het getal D = b2 − 4ac maakt onderscheid (of discrimineert) tussen nul, één of twee reële oplossingen van de tweedegraadsvergelijking, vandaar de naam discriminant, in 1851 bedacht door de Britse wiskundige James Joseph Sylvester [25, p.406].

15 De naam abc-formule is ontleend aan het feit dat de reële oplossingen van ax2 + bx + c = 0 kunnen geschreven worden in functie van de letters a, b en c. Daar een oplossing van een vergelijking ook een wortel wordt genoemd, √ gebruikt men ook wortelformule als alternatieve 0 b benaming. Ook als D = 0 mag je deze formule gebruiken, want dan verkrijg je x1,2 = −b± = −b±0 = − 2a . Omdat in dit geval x1 = x2 , 2a 2a spreken we ook wel van samenvallende oplossingen (of een dubbele wortel).

IV-15

Complexe tweedegraadsvergelijkingen oplossen in C Net zoals bij vierkantswortels laat het begrip reële vierkantsvergelijking zich feilloos veralgemenen tot complexe vierkantsvergelijking. Ook hier verdwijnt de asymmetrie in de bespreking van de oplossingen van zo’n vergelijking: elke complexe vierkantsvergelijking heeft twee (eventueel samenvallende) oplossingen in C. Bijgevolg is een complexe tweedegraadsveelterm steeds ontbindbaar in lineaire factoren over C. De bewijzen verlopen analoog aan die van het reële geval uit het vierde jaar. Als insteek beschouwen we een probleem dat in de geschiedenis van de wiskunde bekend staat als het eerste expliciete vraagstuk waarin de auteur niet-reële oplossingen in overweging nam.16 3 Vraagstuk (het probleem van Cardano). Deel een lijnstuk van lengte 10 cm in twee delen x en y, zodat de rechthoek met lengte x en breedte y een oppervlakte van 40 cm2 heeft.

Oplossing. We stellen het probleem meetkundig voor:

Cardano, Ars Magna, 1545

A |

B {z

}|

x

{z

y=10−x

}

10 − x

x Eisen dat de oppervlakte van de rechthoek gelijk is aan 40 levert de vergelijking: x(10 − x) = 40

⇔ ⇔

10x − x2 = 40

x2 − 10x + 40 = 0 D = (−10)2 − 4 · 1 · 40 = −60 < 0.

Het probleem heeft dus geen reële oplossingen. Dit kunnen we ook intuı̈tief inzien: de rechthoek met omtrek 20 cm die de grootste oppervlakte heeft is het vierkant met zijde 5 cm, dat slechts een oppervlakte van 25 cm2 bereikt.

Omdat D = −60 wel complexe vierkantswortels heeft, kunnen we de abc-formule van hierboven toch betekenis √ geven (bedenk dat we hier de notatie D niet mogen gebruiken omdat D ̸∈ R+ ): x(10 − x) = 40

⇔

⇔

10x − x2 = 40

x2 − 10x + 40 = 0

√ D = (−10)2 − 4 · 1 · 40 = −60 = ( 60 i)2 √ −(−10) ± 60 i ⇔ x1,2 = √ 2 ⇔ x1,2 = 5 ± 15 i. √ We kunnen ook controleren dat deze complexe getallen 5 ± √ 15 i oplossingen zijn van de oorspronkelijke reële tweedegraadsvergelijking. Stellen we bijvoorbeeld x = 5 + 15 i dan is: Ä ä Ä ä √ √ x(10 − x) = 5 + 15 i · 5 − 15 i = 25 − 15 · (−1) = 40.

3 Definitie. Een complexe tweedegraadsvergelijking in z is een vergelijking die kan geschreven worden in standaardvorm az 2 + bz + c = 0 waarbij a, b, c ∈ C en a ̸= 0 Elke z ∈ C die aan deze vergelijking voldoet, wordt een (complexe) oplossing of (complexe) wortel genoemd.

Voorbeeld. Complexe tweedegraadsvergelijkingen zijn bijvoorbeeld: z 2 − 4z − 12 = 0

en

(5 − 3i)z 2 + 17z −

√

35 + 3 i = 0.

16 Girolamo Cardano 1545 [4]. Hoewel Cardano de complexe oplossingen van deze tweedegraadsvergelijking als onmogelijk benoemt, schijnt hij wel de eerste te zijn die complexe getallen in een berekening gebruikt heeft. Hij schrijft (vrij vertaald): “[. . . ] This, however, is closest to the quantity which is truly imaginary since operations may not be performed with it as with a pure negative number, nor as in other numbers. [. . . ] This subtlety results from arithmetic of which this final point is as I have said as subtle as it is useless.”. Zie [22, p.201-202].

IV-16

3 Eigenschap (complexe wortelformule, abc-formule). Zij az 2 + bz + c = 0 een complexe tweedegraadsvergelijking en noem D = b2 − 4ac de discriminant van de vergelijking. Dan heeft de tweedegraadsvergelijking twee complexe oplossingen z1 en z2 , verschillend als D ̸= 0 en samenvallend als D = 0, namelijk: z1,2 =

−b ± w 2a

waarbij w ∈ C zodat w2 = D

Bewijs. We herschrijven de tweedegraadsvergelijking in de vorm (. . . z + . . .)2 = . . . az 2 + bz + c = 0 beide leden maal 4a dat mag want a ̸= 0 want az 2 + bz + c = 0 is een tweedegraadsvergelijking ⇔ 4a2 z 2 + 4abz + 4ac = 0 ⇔

(2az)2 + 2 · 2az · b + b2 − b2 + 4ac = 0 | {z } (ax+b)2

⇔

(2az + b)2 = b2 − 4ac . | {z } noem D

Wegens de eigenschap van complexe vierkantswortels heeft D twee complexe vierkantswortels. Noemen we één van die vierkantswortels w, dan is de andere vierkantswortel gelijk aan −w. Op die manier is: az 2 + bz + c = 0

⇔

(2az + b)2 = D

⇔

2az + b = w

⇔

2az = −b + w

⇔

z=

−b + w 2a

of of of

2az + b = −w 2az = −b − w z=

−b − w .

2a

3 Modelvoorbeeld 1. Los de volgende tweedegraadsvergelijking algebraı̈sch op in C. Schrijf de oplossingen in cartesische vorm. Geef ook de oplossingenverzameling V . iz 2 + (4 + 7i)z + 7 − 3i = 0 Oplossing.

IV-17

3 Eigenschap (som en product in C). Beschouw een complexe tweedegraadsvergelijking az 2 + bz + c = 0 en z1 , z2 ∈ C willekeurig. Dan zijn de volgende uitspraken gelijkwaardig. (i) z1 en z2 zijn de oplossingen van az 2 + bz + c = 0 (ii) az 2 + bz + c = a(z − z1 )(z − z2 ) (iii) z1 + z2 = −

b a

en

z1 · z2 =

ontbinding in lineaire factoren over C

c a

Bewijs van (ii) ⇔ (iii). We hebben: az 2 + bz + c = a(z − z1 )(z − z2 )

⇔

az 2 + bz + c = a(z 2 − z1 z − z2 z + z1 · z2 )

⇔

az 2 + bz + c = az 2 − a(z1 + z2 )z + az1 · z2 (

⇔

b = −a(z1 + z2 )

c = az1 · z2  b   − = z1 + z2 a    c = z1 · z2 . a

⇔

Bewijs van (ii) ⇒ (i). Stel dat az 2 + bz + c = a(z − z1 )(z − z2 ). Dan is: az 2 + bz + c = 0

⇔

a(z − z1 )(z − z2 ) = 0

⇔

x − z1 = 0

⇔

z = z1

of

of

x − z2 = 0

z = z2 .

Hieruit volgt dat z1 en z2 de oplossingen zijn van az 2 + bz + c = 0.

Bewijs van (i) ⇒ (iii). Stel dat z1 en z2 de oplossingen zijn van az 2 + bz + c = 0. Dan is: z1,2 =

−b ± w 2a

waarbij w ∈ C zodat w2 = D.

De som van de wortels is dan: z1 + z2 = =

−b + w −b − w + 2a 2a −b + w − b − w 2a

=−

b a

terwijl het product van de wortels gelijk is aan: z1 · z2 =

−b + w −b − w · 2a 2a

=

(−b)2 − w2 4a2

=

(−b)2 − D 4a2

b2 − (b2 − 4ac) 4a2 c = . a

=

IV-18

3 Modelvoorbeeld 2. Bepaal algebraı̈sch twee complexe getallen waarbij hun som 6 en hun product 11 is.

Oplossing. Gebruik de eigenschap som en product (iii) ⇔ (i).

3 Modelvoorbeeld 3. Ontbind de veelterm 3z 2 + z + 1 in lineaire factoren over C. Ga algebraı̈sch te werk.

Oplossing. Gebruik de eigenschap som en product (ii) ⇔ (i).

In het vorige modelvoorbeeld√vonden we dat de oplossingen van de reële tweedegraadsvergelijking 3x2 + x + 1 = 0 gegeven worden door − 16 ± 611 i, en dus elkaars complex toegevoegde zijn. Dat resultaat is een gevolg van een algemener principe dat ook bij veeltermen van hogere graad van toepassing is. Inderdaad, is P (x) een veelterm met reële coëfficiënten dan geldt voor elke z ∈ C: z is een oplossing van de vergelijking P (x) = 0

⇔

P (z) = 0

⇔

P (z) = 0

⇔

P (z) = 0

⇔

z is een oplossing van de vergelijking P (x) = 0.

IV-19

Oefeningen 1 Cartesische vorm

Basis ⋆

Verdieping ⋆ ⋆⋆

⋆⋆

1.1 Inleiding 1.2 Complexe getallen in cartesische vorm

1

2 3

4

1.3 Basisbewerkingen

5 6

7 8 9

10 11

12 13 14 15

16 17 18

1.4 Vierkantswortels

27

28

1.5 Tweedegraadsvergelijkingen

29

30 31

32 33 34

35 36

37

Uitbreiding ⋆ ⋆⋆

19 20

21 22 23

24 25 26

38

Oefeningen bij §1.1 en §1.2 B

Oefening 1. Stel de volgende complexe getallen voor in het complexe vlak. (a) z1 = −1 + 2i

(c) z2 = −3 √ (d) w2 = 2 i

(b) w1 = −3i + 2 B⋆

B⋆

Oefening 2. Geef een voorbeeld van . . . (a) een geheel getal dat geen natuurlijk getal is,

(c) een reëel getal dat geen rationaal getal is,

(b) een rationaal getal dat geen geheel getal is,

(d) een complex getal dat geen reëel getal is.

Oefening 3. Onderstaande figuur visualiseert de meetkundige betekenis van het tegengestelde en het complex toegevoegde van een complex getal. De complexe getallen z, z en −z vormen nu drie hoekpunten van een rechthoek. Welk complex getal hoort bij het vierde, ontbrekende hoekpunt en hoe zou je dat complex getal noteren?

Im

?

z = a + bi

b i

1

−a

−z = −a − bi

B⋆⋆

Re

a

−b

z = a − bi

Oefening 4. Waar of vals? Beoordeel de volgende uitspraken. Hierbij staat z voor een willekeurig complex getal.

Indien waar, bewijs. Indien vals, geef een tegenvoorbeeld. (a) z = Re(z) + Im(z)

(d) Im(z) ∈ C \ R

(b) Re(z) ∈ R

(e) Im(−z) = − Im(z)

(c) Re(z) ∈ C

(f) Re(z) = Re(z)

IV-20

Oefeningen bij §1.3 B

Oefening 5. Bereken algebraı̈sch de volgende complexe getallen en stel ze daarna voor in het complexe vlak. (a) i0 , i1 , i2 , i3 , i4 , i5 , i6 , i7 etc. (b) i−1 , i−2 , i−3 , i−4 , i−5 , i−6 , i−7 , i−8 etc.

B

Oefening 6. Bepaal telkens alle complexe getallen z ∈ C die voldoen aan de gegeven vergelijking. (a) 2z + 7i − 9 = 7 − 21i

B⋆

(b)

7+i = −1 + 2i z

Oefening 7. Gegeven zijn de complexe getallen z1 = 5 − 2i,

z2 = −2 − 5i,

w1 =

√

2−

√

2i

en

w2 =

√

3+

√

3i.

Bereken algebraı̈sch de cartesische vorm van de volgende complexe getallen. Werk met exacte waarden en vereenvoudig je resultaten zoveel als mogelijk. Controleer telkens je uitkomst met behulp van je grafische rekenmachine. (f)

(b) z2 − z1

(g) (z1 )2

(c) w1 − w1

(h)

(d) w1 · w1 (e)

B⋆

(w1 )2 (w2 )2 2

(i) (w1 · w2 )

1 w2

(j)

w1 + w1 2

Oefening 8. Bereken algebraı̈sch de cartesische vorm van de volgende complexe getallen. Werk met exacte waarden en vereenvoudig je resultaten zoveel als mogelijk. Controleer telkens je uitkomst met behulp van je grafische rekenmachine. (a) (3 − 4i)

−2

3

(d) (−2 + i)

(b) i239 (c) (2i)

B⋆

z1 z2

(a) z1 + z2

10

(e)

7 + 4i i

(f)

−2 + 8i 5

Oefening 9. Ga algebraı̈sch na dat z = − 12 een oplossing is van de vergelijking √ √ 4z 3 − 6i 3z 2 − 3(3 + 3 i)z − 4 = 0.

B⋆⋆

Oefening 10. Toon algebraı̈sch aan:

B⋆⋆

Oefening 11. Bepaal algebraı̈sch de cartesische vorm van het complex getal

1 1 − = i.

2 (1 − i) (1 + i)2

Ç z=

V

√ å2 Ç √ å2 1 + 2i 1 − 2i √ √ + .

1 − 2i 1 + 2i

Oefening 12. Gegeven is de vergelijking z 2 + az + b = 0 waarbij a, b ∈ R en waarbij z = 2 − i een oplossing is. (a) Bepaal de reële getallen a en b. (b) Bepaal een andere oplossing van die vergelijking.

IV-21

V

Oefening 13. Bepaal algebraı̈sch de cartesische vorm van het volgende complex getal (alle tussenstappen opschrijven): i + 2i2 + 3i3 + 4i4 + · · · + 64i64 .

V

Oefening 14. Bepaal alle reële getallen k zodat (3 + 2i)(3 + ki) een reëel getal is.

V

Oefening 15. Bepaal alle complexe getallen z die voldoen aan de vergelijking z + 2z = 6 − 4i.

V⋆

Oefening 16. Stel in het complexe vlak alle complexe getallen z voor die voldoen aan de vergelijking (3 + 2i)z + (3 − 2i)z = 36.

V⋆

Oefening 17. Er bestaan twee zuiver imaginaire complexe getallen die voldoen aan de vergelijking z 4 − 3z 3 + 5z 2 − 27z − 36 = 0.

Bepaal algebraı̈sch deze twee complexe getallen.

V⋆

Oefening 18. Bepaal de cartesische vorm van het volgende complex getal (alle tussenstappen opschrijven): (i + 1)3200 − (i − 1)3200 .

V⋆⋆

Oefening 19. Beschouw twee complexe getallen z1 en z2 , beide verschillend van nul, voorgesteld in het complexe vlak. Noem r1 en r2 de rechten die de oorsprong met respectievelijk z1 en z2 verbinden. Bewijs: z1 is zuiver imaginair. r1 ⊥ r2 ⇔ z2

V⋆⋆

Oefening 20. In het complexe vlak spiegelt men een complex getal z om de eerste bissectrice, en verkrijgt zo een complex getal w. Druk w uit in functie van z.

U

Oefening 21 (basiseigenschappen van complex toegevoegde). Zij z en w complexe getallen. Bewijs de volgende basiseigenschappen.

U

(vii) z = z ⇔ z is reëel

(ix) wz + wz is reëel

(viii) z = −z ⇔ z is imaginair

(x) wz − wz is imaginair

Oefening 22 (meetkundige betekenis van de optelling van complexe getallen). In deze oefening toon je aan dat de optelling van complexe getallen (linkerfiguur) kan voorgesteld worden als optelling van vectoren in het vlak (rechterfiguur).

Beschouw twee complexe getallen z en w, beide verschillend van nul, zodat wz ̸∈ R. Stellen we de complexe getallen 0, z, w en z + w in het complexe vlak, dan vormen deze de vier hoekpunten van een parallellogram. Bewijs dit.

Im

y

z

− → z z+w

0

− → → z +− w x

O

Re

− → w w

IV-22

U

Oefening 23 (meetkundige betekenis van de vermenigvuldiging met i). 17 In deze oefening toon je aan dat de vermenigvuldiging van een complex getal met de imaginaire eenheid i kan voorgesteld worden als de draaiing om de oorsprong over de hoek 90◦ .

Beschouw een complex getal z verschillend van nul. Stellen we de complexe getallen 0, z en z · i voor in het complexe vlak (linkerfiguur), dan vormen deze de drie hoekpunten van een gelijkbenige driehoek die rechthoekig is in 0. Bewijs dit, en pas dit resultaat toe om aan te tonen dat de complexe getallen 1, i, −1 en −i de hoekpunten van een vierkant in het complexe vlak voorstellen (rechterfiguur).

Im

Im

z

z·i

i

0

Re

−1

1

Re

−i U⋆

Oefening 24 (quaternionen). Net zoals complexe getallen een tweedimensionale uitbreiding zijn van de reële getallen, kan men een tweedimensionale uitbreiding van de complexe getallen beschouwen. Deze getallen worden quaternionen genoemd, en als volgt gedefinieerd.18 Een quaternion is een uitdrukking a + bi + cj + dk waarbij a, b, c, d ∈ R en waarbij de symbolen i, j en k voldoen aan de relaties i2 = j 2 = k 2 = ijk = −1.

De optelling en vermenigvuldiging van quaternionen verloopt volgens de voor de hand liggende rekenregels, waarvan men kan aantonen dat beide bewerkingen associatief zijn, de vermenigvuldiging zowel links-distributief als rechts-distributief ten opzichte van de optelling is en de verzameling H van quaternionen en reële vectorruimte is. (a) Bepaal de waarden van ij, ji, jk, kj, ki en ik.

William Rowan Hamilton (1805-1865)

(b) Toon aan dat:

(a + bi + cj + dk) · (α + βi + γj + δk) =+(aα − bβ − cγ − dδ) + (aβ + bα + cδ − dγ)i

+ (aγ − bδ + cα + dβ)j + (aδ + bγ − cβ + dα)k.

(c) Is de vermenigvuldiging van quaternionen commutatief? Verklaar je antwoord.

17 Het

vermenigvuldigen van een complex getal met i kan gezien worden als een afbeelding f : C → C : z → zi die voldoet aan f (f (z)) = −z. Op die manier kan de meetkundige betekenis van het tegengestelde van een complex getal ook gezien worden als de draaiing om de oorsprong over een hoek van 2 · 90◦ = 180◦ , hetgeen een geometrische interpretatie van de relatie i2 = −1 weerspiegelt.

18 Quaternionen werden in 1843 ontdekt door de Ierse wiskundige Hamilton. De verzameling van de quaternionen H is, net zoals R en C, een zogenaamd hypercomplex getallensysteem dat kan beschreven worden als een reële n-dimensionale vectorruimte V voorzien van een inwendige vermenigvuldiging die zowel links- als rechts-distributief is ten opzichte van de optelling en waarvoor er een zogenaamde multiplicatieve norm bestaat: een afbeelding | · | : V → R+ waarvoor |v · w| = |v| · |w| en |v| = 0 ⇔ v = 0 voor elke v, w ∈ V . Naast R, C en H is er nog één ander hypercomplex getallensysteem, namelijk de algebra van de octonionen O onafhankelijk ontdekt door John 1843 en Arthur Cayley 1845, die alle veldeigenschappen heeft behalve de commutativiteit en de associativiteit van de Thomas Graves vermenigvuldiging. Deze vier getallensystemen zijn n-dimenionale reële vectorruimten waarbij n respectievelijk gelijk is aan 1, 2, 4 en 8. Het al dan niet bestaan van hypercomplexe getallen in een bepaalde dimensie heeft een rechtstreekse link met getaltheorie, en werd in feite op die manier aangetoond door Adolf Hurwitz in 1898 [15]. Zijn twee natuurlijke getallen elk de som van twee kwadraten, zeg a2 +b2 en c2 +d2 , dan is ook hun product de som van twee kwadraten, namelijk (ac − bd)2 + (bc + ad)2 . Een geoefend oog herkent hierin de basiseigenschap √ |z| · |w| = |zw| waarbij z, w ∈ C en |a + bi| = a2 + b2 staat voor de zogenaamde modulus van een complex getal z = a + bi, zie Hoofdstuk 2. Een soortgelijk resultaat geldt niet voor een som van drie kwadraten: zo zijn bijvoorbeeld 3 = 11 + 11 + 11 en 21 = 12 + 22 + 42 elk een som van drie kwadraten, maar hun product 63 is dat niet. Op die manier kan men inzien dat er geen driedimensionaal hypercomplex getallensysteem bestaat. Een analogon geldt echter wel voor een som van vier kwadraten, naar een resultaat van Leonhard Euler uit 1748: (a2 + b2 + c2 + d2 )(α2 + β 2 + γ 2 + δ 2 ) = (aα − bβ − cγ − dδ)2 + (aβ + bα + cδ − dγ)2 + (aγ − bδ + cα + dβ)2 + (aδ + bγ − cβ + dα)2 .

Deze formule werd door Euler en Joseph-Louis Lagrange aangewend om te bewijzen dat elk natuurlijk getal de som van vier kwadraten is. Zie [24].

IV-23

U⋆

Oefening 25 (formele definitie van complexe getallen). In dit hoofdstuk hebben we een complex getal gedefinieerd als een uitdrukking van de vorm a + bi met a, b ∈ R en i een symbool dat voldoet aan i2 = −1. Hoewel deze beschrijving ruimschoots voldoet als eerste kennismaking, werd ze in de loop van de geschiedenis wat ontoereikend omwille van het controversieel object i. Om hieraan tegemoet te komen, werden formele definities van complexe getallen ontwikkeld. De meest bekende definitie komt in deze oefening aan bod.19 Een formeel complex getal is een koppel (a, b) van twee reële getallen. Zijn (a, b) en (c, d) twee formele complexe getallen, dan definieren we hun optelling en vermenigvuldiging als (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

en

(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc).

(a) Ga na dat in de vertaling van een formeel complex getal (a, b) naar een complex getal a + bi de optelling en vermenigvuldiging van formele complexe getallen overeenkomt met die van complexe getallen in deze cursus. (b) Beschouw de complexe getallen 1 en i. Met welke formele complexe getallen komen zij overeen?

U⋆

Oefening 26 (complexe getallen voorgesteld door matrices).

Beschouw de volgende verzameling van reële 2 × 2-matrices: ßï ò ™ a −b M= a, b ∈ R ⊆ R2×2 . b a (a) Toon aan dat optelling en vermenigvuldiging van matrices inwendig is in M: Definitie van complexe getallen in termen ∀Z, W ∈ M : Z + W ∈ M en Z · W ∈ M. van matrices.20 ï ò a −b (b) Ga na dat in de vertaling van een matrix Z = ∈ M naar een complex getal z = a + bi ∈ C de optelling b a en vermenigvuldiging van matrices overeenkomt met die van complexe getallen in deze cursus. (c) Beschouw de complexe getallen 1 en i. Met welke matrices in M komen deze getallen overeen? (d) Bepaal een matrix Z ∈ R2×2 waarvoor Z 8 = E2 .

Oefeningen bij §1.4 B

Oefening 27. Bepaal alle complexe getallen z die voldoen aan de vergelijking z 2 + 81 = 0.

B⋆

Oefening 28. Bereken algebraı̈sch de complexe vierkantswortels van de volgende complexe getallen. Schrijf telkens je resultaat in cartesische vorm, en stel deze vierkantswortels voor in het complexe vlak. Controleer nadien je uitkomsten met behulp van je grafische rekenmachine. (a) 1 + i

(g) 5 − 2i

(b) i

(h) −5 − 12i √ √ (i) 3 + 3 i

(c) 49 (d) −8 (e) −42 − 20i (f) 235 560 − 258 598i

19 De

(j) 8 + 15i √ (k) −7 + 6 2 i √ (l) ( 3 − i)6

[14]. eerste formele definitie van een complex getal werd in 1835 geformuleerd door William Rowan Hamilton leerlingen die in de jaren 70, 80 en 90 onderwijs liepen, was deze definitie de eerste kennismaking met complexe getallen. Die aanpak paste in het beeld van de zogenaamde moderne wiskunde, een vernieuwing ontstaan in de jaren 50 en 60 uit de bewustwording dat de onderwezen wiskunde niet langer was aangepast aan de economische, technische, wetenschappelijke en culturele uitdagingen van die tijd. Dit idee was deels onder invloed van Nicolas Bourbaki , een groep van wiskundigen die vanaf 1935 een reeks boeken schreef waarin de moderne wiskunde uiteen werd gezet, met het doel de hele wiskunde te baseren op de verzamelingenleer. De groep streefde uiterste strengheid en algemeenheid na, en introduceerde daarvoor veel begrippen. Een complex aan factoren leidde ertoe dat heel wat formele taal uit het werk van Bourbaki, initieel voor het het hoger onderwijs bedoeld, plots zijn ingang vond in het middelbaar onderwijs. Daar de zaken klaarblijkelijk te ver gingen, werd de moderne wiskunde in het begin van de jaren 80 afgevoerd. Laurent-Moı̈se Schwartz , zelf lid van de Bourbaki-groep, schreef in 1981: “[. . . ] De leerkrachten, ouders en kinderen leerden de ‘moderne wiskunde’ daar niet, maar alleen de taal van de elementaire basis die een buitengewoon uitgebreide moderne wiskunde ondersteunt. [. . . ] Hiervan vormen deze in de lycea en middelbare scholen (over de hele wereld) gegeven definities slechts het abc. [. . . ] Men heeft beetje bij beetje de hele rijkdom van de oude wiskunde, de stellingen, meetkundige afbeeldingen, relaties tussen de wiskunde en andere wetenschappen van de lycea vervangen door een overmaat aan axioma’s en definities, onbegrijpelijk voor een groot deel van de leerlingen, met zeer povere resultaten. Een wiskunde is rijk als ze weinig concepten en structuren introduceert en veel stellingen over het betreffende onderwerp. De moderne wiskunde van de scholen of colleges introduceerde enorm veel concepten en definities, en bijna geen stellingen. Het is een erg arme wiskunde. [. . . ] Het doel van de wiskunde is niet zaken streng bewijzen, die iedereen ziet, het is rijke resultaten te vinden en deze dan te bewijzen, om er zeker van te zijn.”. Zie [18].

20 Voor

IV-24

Oefeningen bij §1.5 B

B⋆

Oefening 29. Gegeven is de complexe tweedegraadsveelterm P (z) = (−2 + 3i)z 2 − (7 + 2i)z + 37 − 13i. Bereken telkens de gevraagde getalwaarde. (a) P (0)

(c) P (i)

(b) P (1)

(d) P (2 + i)

Oefening 30. Bepaal algebraı̈sch de complexe oplossingen van de volgende tweedegraadsvergelijkingen. Schrijf deze oplossingen telkens in cartesische vorm. (a) 2z 2 − 2z + 5 = 0 √ (b) ( 2 − i)z 2 − 7iz = 0

(d) z 2 + 2z + 10 = 0

(c) (z − 3 + 5i)2 + 16 = 0

(f) z 2 + 10iz = 16 + 6z + 30i

(e) (3z − 5)2 = 7 − 48z

B⋆

Oefening 31. Bepaal algebraı̈sch twee complexe getallen waarbij hun som −2 en hun product 5 is.

B⋆⋆

Oefening 32. Bepaal algebraı̈sch de complexe oplossingen van de volgende tweedegraadsvergelijkingen. Schrijf deze oplossingen telkens in cartesische vorm. (a) iz 2 + 2z − 13i − 16 = 0

(c) iz 2 + (4 − 5i)z + 11i − 13 = 0

(b) 6z 2 + z + 53 + 15i = 0

(d) z 2 + (−8 + 2i)z + 10 − 20i = 0

B⋆⋆

Oefening 33. Bepaal algebraı̈sch twee complexe getallen waarbij hun som 1 − 2i en hun product 9 + 19i is.

B⋆⋆

Oefening 34. Ontbind de volgende veeltermen in lineaire factoren over C. Ga algebraı̈sch te werk.

V

(a) z 2 − 6z + 10

(d) (z − 3 + 5i)2 + 16

(b) 4z 2 − 12iz − 9 √ (c) ( 2 − i)z 2 − 7iz

(e) (1 + i)z 2 − (144 − 212i)z − 10 658 − 4606i (f) z 2 + 1

Oefening 35. Bepaal telkens de waarde(n) van k ∈ C zodat de tweedegraadsvergelijking precies één oplossing heeft. (a) z 2 + (4 − 2k)z + 3 − 4k = 0

V

(b) z 2 + (3 + k − 2i)z + 2k − 1 − 8i = 0

Oefening 36. Zij c ∈ C. Bewijs de volgende eigenschappen. (a) De veelterm A(z) = (z − c)(z − c) heeft reële coefficiënten. (b) De reële veelterm A(z) = (z − c)(z − c) heeft strikt negatieve discriminant als en slechts als c ̸∈ R.

V⋆

Oefening 37. Bepaal de reële tweedegraadsveelterm P (x) waarvoor −5+2i een complexe wortel is en zodat P (1) = 5.

U⋆

Oefening 38 (bikwadratische vergelijkingen). Een complexe bikwadratische vergelijking in z is een vergelijking die kan geschreven worden in standaardvorm az 4 + bz 2 + c = 0

waarbij a, b, c ∈ C en a ̸= 0.

Los algebraı̈sch de volgende bikwadratische vergelijkingen op over C. (a) z 4 − 1 = 0

(c) 9z 4 + 23z 2 − 12 = 0

(b) z 4 + z 2 + 1 = 0

(d) z 4 + (1 − i)z 2 − i = 0 IV-25

Il apparut que, entre deux vérités du domaine réel, le chemin le plus facile et le plus court passe bien souvent par le domaine complexe.

Paul Painlevé, Analyse des travaux scientifiques, 1900

Hoofdstuk 2

Polaire vorm en Euler-vorm In Hoofdstuk 1 werd een complex getal z = a+bi genoteerd in cartesische vorm (of algebraı̈sche gedaante), zo genaamd omdat de schrijfwijze overeenkomt met cartesische coördinaten (a, b) van een punt in het vlak. Som en verschil van complexe getallen in cartesische vorm zijn eenvoudig uit te drukken. Voor product en quotiënt ligt dat moeilijker, zodat ook wat moeite moet gedaan worden om het kwadraat en een vierkantswortel van een complex getal in cartesische vorm te schrijven. In het algemeen zijn de formules voor machten en machtswortels van complexe getallen in cartesische vorm ingewikkeld.

Om hieraan tegemoet te komen, zullen we in dit hoofdstuk complexe getallen op een andere manier voorstellen. In plaats van een punt vast te leggen met zijn cartesische coördinaten, gebruiken we zogenaamde poolcoördinaten. Dat zal leiden tot het schrijven van complexe getallen in polaire vorm (of goniometrische gedaante) en, na het toepassen van zogenaamde reeksontwikkeling, Euler-vorm (of exponentiële gedaante). Waar product, quotiënt, machten en machtswortels moeilijk uitdrukbaar waren in cartesische vorm, blijken deze bewerkingen nu eenvoudig te schrijven zijn in termen van polaire vorm en Euler-vorm.

Met deze nieuwe schrijfwijze wordt duidelijk dat het vermenigvuldigen van complexe getallen in zekere zin overeenkomt met het optellen van hoeken. Op die manier geven complexe getallen ons ook nieuwe inzichten over de vertrouwde reële getallen. Zo kan het resultaat dat elk strikt positief reëel getal twee verschillende vierkantswortels heeft verklaard worden door het feit dat elke georiënteerde hoek twee verschillende helften heeft.

2.1

Complexe getallen in polaire vorm

Zoals gebruikelijk voorzien we het vlak van een cartesisch assenstelsel Oxy. Op die manier kan een punt bepaald worden door zijn ligging ten opzichte van de assen aan te geven. Dat geeft aanleiding tot de vertrouwde cartesische coördinaten.

3 Cartesische coördinaten (herhaling). Elk punt P van het vlak is bepaald door het koppel reële getallen (a, b) met: ▷ a de x-waarde van de loodrechte projectie van P op de x-as, en ▷ b de y-waarde van de loodrechte projectie van P op de y-as.

y P

b 1

Dat koppel (a, b) wordt het stel cartesische coördinaten van P genoemd.

We kunnen een punt van het vlak ook nog op een andere manier vastleggen.1 3 Poolcoördinaten. Elk punt P ̸= O van het vlak is bepaald door het koppel (r, θ) met:

O

a

1

x

y P

▷ r de afstand van O tot P , en ▷ θ de (georiënteerde) hoek met beginbeen de positieve x-as en eindbeen de halfrechte [OP .

Dat koppel (r, θ) wordt het stel poolcoördinaten van P genoemd. Bij afspraak wordt het stel poolcoördinaten van de oorsprong O niet gedefinieerd.

r

1

θ O

1

x

Voorbeeld. Beschouw het punt P met cartesische √ coördinaten (a, b) waarbij a = 1 en b = 1. Dan is het stel poolcoördinaten van P gelijk aan (r, θ) met r = 2 en θ = π4 . Merk dat we de hoek θ bijvoorbeeld ook konden vastleggen met de hoekwaarde π4 + 2π = 9π 4 .

1 De eerste schrijver die poolcoördinaten aanwendde om een punt in het vlak te localiseren, was Isaac Newton ontwikkeld door Johann Bernoulli [1]. Zie [5].

IV-26

[21], en werd verder

Elk punt P (a, b) van het vlak komt overeen met een complex getal z = a + bi. Is P ̸= O dan geeft het stel poolcoördinaten van P aanleiding tot nieuwe begrippen die bij het complex getal z horen.

3 Modulus en argument. Beschouw een complex getal z ̸= 0 met beeldpunt P . Zij (r, θ) het stel poolcoördinaten van P . We noemen:2

Im z

▷ r de modulus van z, notatie |z|, en ▷ θ het argument van z, en

▷ de unieke hoekwaarde in radialen van θ in ]−π, π] het hoofdargument van z, notatie Arg(z).

θ = Arg(z) 0

Samengevat: r = |z|

r = |z|

i

en

θ = Arg(z)

1

Re

waarbij Arg(z) ∈ ]−π, π]

Om te benadrukken dat Arg(z) + k · 2π een hoekwaarde in radialen van θ is voor elk geheel getal k, schrijven we ook wel: θ = Arg(z) + k · 2π (k ∈ Z) 3 Modelvoorbeeld 1. Gegeven is het complex getal z = −2 + 2i. (a) Stel z voor in het complexe vlak. (b) Bepaal algebraı̈sch de modulus en het hoofdargument van z.

Oplossing.

Controle met behulp van de grafische rekenmachine.

MODE

RADIAN

MATH

CMPLX

a+bi

MATH

CMPLX

4:angle(

5:abs(

MODE

DEGREE

2 Lees |z| niet als de absolute waarde van z maar wel als de modulus van z. Hoewel de notatie |x| voor absolute waarde van een reëel getal x en de notatie |z| voor modulus van een complex getal z dezelfde is, zijn hun eigenschappen niet gelijklopend, wat het strikte onderscheid ® x als x ≥ 0 tussen deze begrippen motiveert. Zo is bijvoorbeeld |x| = maar de soortgelijke formulering voor |z| is zinloos (zie onderaan −x als x < 0 2 2 pagina 10). Ook geldt |x| = x terwijl de analoge uitspraak voor modulus van een complex getal wel zinvol, maar vals is.

IV-27

3 Polaire vorm van een complex getal.

Im

Zij z = a + bi ̸= 0 een complex getal en (r, θ) het stel poolcoördinaten van het beeldpunt van z.

a = r cos θ

en

b = r sin θ.

z = a + bi = r(cos θ + i sin θ)

b

Uit de voorstelling van z in het complexe vlak leiden we af dat:

r

i

θ

Derhalve kunnen we z herschrijven als: z = a + bi = r (cos θ + i sin θ)

1

a

Re

Men noemt de schrijfwijze z = r (cos θ + i sin θ) de polaire vorm van z. De aanwezigheid van de goniometrische getallen cos θ en sin θ leidt ertoe dat we deze schrijfwijze ook wel de goniometrische gedaante van het complex getal z noemen.

Spreken we in het vervolg over een complex getal z = r(cos θ + i sin θ), w = s(cos φ + i sin φ),. . . dan wordt stilzwijgend verondersteld dat r, s, . . . ∈ R+ 0 en θ, φ, . . . (georiënteerde) hoeken zijn. Er volgt nu dat twee complexe getallen r(cos θ + i sin θ) en s(cos φ + i sin φ) gelijk zijn als (1) r = s en (2) θ en φ dezelfde hoek voorstellen.

Voorwaarde (2) kan ook uitgedrukt worden in hoekwaarden: θ = φ + k2π voor een zekere k ∈ Z. Bovenstaande figuur geeft aan hoe we een complex getal in goniometrische gedaante kunnen schrijven:3

z = r(cos θ + i sin θ)

 p  r = |z| = a2 + b2    b met θ = Arg(z) bepaald door tan θ = en in hetzelfde vlakdeel als z voor a ̸= 0 a     θ = Arg(z) en gelijk aan ± π en in hetzelfde vlakdeel als z voor a = 0 2 √

Å ã

π π 3 Modelvoorbeeld 2. Gegeven zijn de complexe getallen z = 2 + 2 3 i en w = 8 cos − 6 + i sin − 6 . (a) Stel z voor in het complexe vlak en bepaal algebraı̈sch de polaire vorm van z.

(b) Stel w voor in het complexe vlak en bepaal algebraı̈sch de cartesische vorm van w.

Oplossing.

2 Het

complex getal z = 0 heeft bij afspraak modulus 0 maar heeft geen (hoofd)argument Ä en ä bijgevolg ook geen goniometrische gedaante. is het hoofdargument Arg(z) van z = a + bi ∈ C0 gelijk aan (1) Arctan ab als a > 0, (2) sign(b) · π2 als a = 0 en (3) Ä ä Arctan ab + π als a < 0.

3 Formeel

IV-28

2.2

Complexe getallen in Euler-vorm

In de vorige paragraaf hebben we een complex getal z = a + bi ̸= 0 geschreven in polaire vorm z = r(cos θ + i sin θ) waarbij (r, θ) het stel poolcoördinaten van het beeldpunt van z voorstelt. Door cos θ en sin θ te vervangen door hun zogenaamde reeksontwikkeling, laten we zien hoe we z in een exponentiële gedaante kunnen schrijven.

In de 15e eeuw slaagden Indische wiskundigen erin om sommige goniometrische getallen te schrijven als een oneindige som, ook wel reeks genoemd.4 Door zo’n som na een eindig aantal termen af te breken, konden ze dan de sinus en cosinus van hoekwaarden vrij nauwkeurig berekenen. Zo vonden ze dat voor waarden van x (in radialen) dicht bij 0: sin x ≈ x,

sin x ≈ x −

1 3 x , 6

sin x ≈ x −

1 3 1 5 x + x 6 120

en

sin x ≈ x −

1 3 1 5 1 x + x − x7 .

6 120 5040

Door de corresponderende grafieken te tekenen, merken we dat deze benaderingen steeds beter worden.

y

y

y=x

1

−π

− π2

1 x

π

π 2

−π

− π2

y = sin x

−1

y = sin x π

π 2

−1 y = x−

y

y =x−

1 6

x3 +

1 120

x5

− π2

1

π 2

−1

π

1 6

x3

y

1

−π

x

x

−π

y = sin x

y = sin x

− π2

π

π 2

x

−1 y =x−

1 6

x3 +

1 120

x5 −

1 5040

x7

Met behulp van je grafische rekenmachine kun je zo’n benadering vergelijken met negen decimalen van de exacte waarde.

Door de graad van die veeltermfuncties te laten toenemen, werd een patroon zichtbaar die in de 17e eeuw ook formeel werd aangetoond:5 x3 x5 x7 sin x = x − + − + ...

3!

5!

7!

Het optreden van machten van x met een oneven exponent weerspiegelt het feit dat sin x een oneven functie is, terwijl x2 , x4 , x6 etc. allemaal even functies zijn. Ook voor de cosinusfunctie werd een zogenaamde reeksontwikkeling gevonden: x4 x6 x2 + − + ... cos x = 1 − 2!

4!

6!

4 Zie Deel Reeksen. De reeksontwikkeling van sin x, cos x en Arctan x werden in 1501 door Kelallur Nilakantha Somayaji beschreven (c.1340-c.1425). Een bewijs van zonder bewijs [23], die in een ander werk deze formules toeschreef aan Madhava van Sangamagrama deze reeksontwikkelingen kan gevonden worden in een werk van Jyes.t.hadeva , gepubliceerd rond 1530 [17].

5 In 1669 bewezen door Isaac Newton [20]. Hierbij staat de notatie n! = 1 · 2 · 3 · · · · · n voor de faculteit van n ∈ N0 . Newton leidde deze reeksontwikkeling van de sinusfunctie af door met behulp van de differentiaal- en integraalrekening eerst de reeksontwikkeling van de arcsinusfunctie te berekenen, om daaruit de reeksontwikkeling van de inverse functie te bepalen. Zie [11].

IV-29

We kunnen deze uitdrukkingen nu gebruiken om de polaire vorm van een complex getal z te herschrijven (vul aan): Å Å ãã θ2 θ4 θ6 θ3 θ5 θ7 z = r (cos θ + i sin θ) = . . . r 1 − + − − + ··· + i θ − + − + ...

2!

4!

6!

3!

5!

7!

Deze uitdrukking suggereert het bestaan van een functie f waarvan de reeksontwikkeling gelijk is aan: f (x) = 1 +

x x2 x3 x4 + + + + ...

1!

2!

3!

4!

De volgende eigenschap is een sleutel om deze functie te achterhalen: blijkbaar zet f een som om in een product!6 3 Eigenschap. Beschouw de uitdrukking f (x) = 1 +

x x2 x3 x4 + + + + . . . . Dan is f (0) = 1 en 1!

2!

3!

4!

∀x1 , x2 ∈ R : f (x1 + x2 ) = f (x1 ) · f (x2 ) Schets van het bewijs. Duidelijk is f (0) = 1 +

0 02 03 04 + + + + · · · = 1.

1!

2!

3!

4!

Neem x1 , x2 ∈ R willekeurig. We berekenen: ã Å ã Å (x1 )2 (x1 )3 x2 (x2 )2 (x2 )3 x1 + + + ... · 1 + + + + ... f (x1 ) · f (x2 ) = 1 + 1!

2!

3!

1!

2!

3! x1 x2 (x1 )2 x1 x2 (x2 )2 (x1 )3 (x1 )2 x2 x1 (x2 )2 (x2 )3 + + + · + + + · + · + + ...

1!

1!

2!

1! 1!

2!

3!

2!

1!

1!

2!

3! x1 + x2 (x1 )2 + 2x1 x2 + (x2 )2 (x1 )3 + 3(x1 )2 x2 + 3x1 (x2 )2 + (x2 )3 =1+ + + + ...

1!

2!

3! x1 + x2 (x1 + x2 )2 (x1 + x2 )3 =1+ + + + ...

1!

2!

3! =1+

= f (x1 + x2 ).

Deze kenmerkende eigenschap doet ons vermoeden dat f een exponentiële functie met beginwaarde 1 is, zie Deel Precalculus 1. Men kan dus aantonen dat f (x) = ax voor een zeker grondtal a ∈ R+ 0 \ {1}. De waarde van a blijkt gelijk te zijn aan e = 2, 718 281 828 459 . . ., het getal van Euler. Toegepast op de bovenstaande redenering geeft dit: z = r(cos θ + i sin θ) = rf (iθ) = reiθ .

Voor r = 1 leidt dit tot de zogenaamde formule van Euler:7 eiθ = cos θ + i sin θ

voor elke θ ∈ R

Kiezen we in de formule van Euler θ = π dan vinden we de zogenaamde identiteit van Euler: eiπ = −1

of ook

eiπ + 1 = 0

een hoogst merkwaardige gelijkheid waarin de vijf belangrijkste getallen 0, 1, π, e, i uit de wiskunde in voorkomen, die met elkaar verweven zijn door middel van de hoofdbewerkingen optelling, vermenigvuldiging en machtsverheffing.8 2

1 we deze reeks termsgewijze af dan verkrijgen we f ′ (x) = 0 + 1! + 2x + 3x + · · · = f (x), een direct argument tot f (x) = ex .

2!

3! door Leonhard Euler en in 1748 gepubliceerd in zijn monumentaal werk Introductio in analysin infinitorum (Een introductie tot de analyse van het oneindige) [12], waarin de grondslagen voor de wiskundige analyse worden gelegd. In een lezing in 1950 , vooraanstaand geschiedkundige van de wiskunde, de invloed van Eulers’ op het Internationaal Wiskundecongres vergeleek Carl Boyer Introductio met Euclides’ Elementen: de eerste het voornaamste leerboek uit de oudheid, de tweede uit de moderne tijden [3]. In 1714 [6] ontdekte Roger Coates de alternatieve vorm ln(cos x + i sin x) = ix, doch miste het feit dat een complexe logartime oneindig veel complexe waarden heeft, die van elkaar verschillen op een geheel veelvoud van 2πi na, een gevolg van de periodiciteit van sinus en cosinus, zie [24]. De formule kan, opnieuw met behulp van Deel Afgeleiden, ook meteen beargumenteerd worden [29, Euler’s formula]: noemen we sin x g(x) = cos x+i dan is g ′ (x) = 0, wat erop wijst dat g is een constante functie is. Uit g(0) = 1 volgt nu dat g(x) = 1. eix 8 De eenheid voor optelling 0, de eenheid voor vermenigvuldiging (en reële eenheid) 1, de cirkelconstante π, het grondtal van de natuurlijke logaritme e en de imaginaire eenheid i. Dat deze vijf getallen op een eenvoudige manier verband met elkaar houden is verbazend. Dat Euler zo’n verband überhaupt herkende, getuigt van zijn wiskundige genialiteit.

6 Leiden

7 Aangetoond

IV-30

3 Euler-vorm van een complex getal.

Im

Zij z ̸= 0 een complex getal, met cartesische vorm a + bi en polaire vorm r(cos θ + i sin θ).

Uit de formule van Euler leiden we af dat:

z = a + bi = r(cos θ + i sin θ)

b

z = a + bi = r (cos θ + i sin θ) = reiθ

r

i

We noemen de schrijfwijze z = reiθ de Euler-vorm (of De aanwezigheid van de machtsnormaalvorm) van z. verheffing leidt ertoe dat we deze schrijfwijze ook wel de exponentiële gedaante van het complex getal z noemen.9

= reiθ

θ 1

a

Re

Spreken we in het vervolg over een complex getal z = reiθ , w = seiφ ,. . . dan wordt stilzwijgend verondersteld iθ dat r, s, . . . ∈ R+ en seiφ 0 en θ, φ, . . . (georiënteerde) hoeken zijn. Er volgt nu dat twee complexe getallen re gelijk zijn als (1) r = s en (2) θ en φ dezelfde hoek voorstellen, uitgedrukt als hoekwaarden: θ = φ + k2π voor een zekere k ∈ Z. √ π 3 Modelvoorbeeld. Gegeven zijn de complexe getallen z = −3 − 3 i en w = 2e 3 i . (a) Stel z en w voor in het complexe vlak. (b) Bepaal de Euler-vorm van z. (c) Bepaal de cartesische vorm van w.

Controleer met behulp van je grafische rekenmachine.

Oplossing.

Controle met behulp van de grafische rekenmachine.

9 Het

complex getal z = 0 heeft bij afspraak modulus 0 maar heeft geen (hoofd)argument en bijgevolg ook geen exponentiële gedaante.

IV-31

2.3

Basisbewerkingen

In Hoofdstuk 1 hebben we geleerd hoe we som, verschil, product en quotiënt van complexe getallen berekenen. Waar product en quotiënt moeilijker uitdrukbaar waren in cartesische vorm, blijken deze bewerkingen nu net eenvoudiger te schrijven zijn in polaire vorm en Euler-vorm.

3 Rekenregels in polaire vorm. Zijn z = r(cos θ + i sin θ) en w = s(cos φ + i sin φ) complexe getallen, dan is: Å ã z · w = . . . rs cos(θ + φ) + i sin(θ + φ) Å ã r z = ... cos(θ − φ) + i sin(θ − φ) w s Bewijs.

Passen we de formule van Euler toe op deze rekenregels, dan kunnen we deze bewerkingen vertalen naar Euler-vorm.

3 Rekenregels in Euler-vorm. Zijn z = reiθ en w = seiφ complexe getallen, dan is: z · w = rsei(θ+φ) r z = ei(θ−φ) w s 3 Opmerking. Men kan in de verleiding komen om deze rekenregels in Euler-vorm eiθ · eiφ = ei(θ+φ)

eiθ = ei(θ−φ) eiφ

en

rechtstreeks aan te tonen door te steunen op de rekenregels voor machten uit Deel Precalculus 1: ∀a ∈ R0 : ∀m, n ∈ R : am · an = am+n am = am−n an n

(am ) = am·n ∀a, b ∈ R0 : ∀n ∈ R :

n

(a · b) = an · bn

a n b

=

an bn

(1) (2) (3) (4) (5)

Dat zou echter een verkeerde redenering zijn. De uitdrukkingen eiθ en eiφ stellen immers machten met een complexe exponent voor, terwijl bovenstaande rekenregels (1)-(5) enkel betrekking hebben op machten met een reële exponent. Men moet het dus omgekeerd zien: de bovenstaande rekenregels in Euler-vorm geven aan dat rekenregels (1) en (2) ook gelden voor m, n ∈ C, mits een geschikte definitie voor az met a ∈ R0 en z ∈ C.10 10 Zijn

z, w ∈ C met w ̸= 0, dan is de z-de macht van w bepaald door ]−π, π] bij definitie gelijk aan wz = ez·(ln|w|+i Arg(w)) , zie [16].

IV-32

3 Modelvoorbeeld 1. Gegeven zijn de complexe getallen Å ãã Å Å Å ã π π ã 5π 5π + i sin , z2 = 3 cos z1 = 2 cos + i sin 12 12 6 6

en

z3 = e−

2π 3

i

.

Bereken algebraı̈sch de volgende complexe getallen waarbij je het resultaat in cartesische, polaire of Euler-vorm schrijft. Controleer met behulp van je grafische rekenmachine. z2 z1 z3 (e) z2 (f) z2 + z3

(a) z1 · z2

(d)

(b) z2 · z3 (c) (z1 )2 Oplossing.

3 Modelvoorbeeld 2. Gegeven zijn twee complexe getallen z en w die voorgesteld zijn in het complexe vlak.

Stel nu ook hun product en quotiënt in het complexe vlak voor. Maak gebruik van meetlat en gradenboog. Duid aan hoe je te werk gaat. Controleer nadien met behulp van je grafische rekenmachine.

Im

Im

z w

z w

i

1

Re

IV-33

i

1

Re

2.4

Machten

Door een macht z m van een complex getal z met gehele exponent m te schrijven als een herhaaldelijk product of quotiënt, kunnen we deze machtsverheffing eenvoudig in polaire vorm en Euler-vorm uitdrukken. Stellen we opeenvolgende machten van z in het complexe vlak voor, dan blijken deze op een zogenaamde logaritmische spiraal te liggen.

Het bijzonder geval waarbij de modulus van z gelijk is aan 1 leidt tot een resultaat dat bekend staat als de formule van de Moivre. Is daarenboven het argument van z een rationaal veelvoud van π, dan vormen de opeenvolgende machten van z de hoekpunten van een (eventueel gekruiste) regelmatige veelhoek.

3 Rekenregels in polaire vorm (vervolg). Is z = r(cos θ + i sin θ) een complex getal en m ∈ Z, dan (vul aan): z

m

Å ã = . . . r cos(mθ) + i sin(mθ) m

Bewijs. We onderscheiden drie gevallen: m > 0, m = 0 en m < 0.

Als m > 0, dan is: z m = |z · z ·{z. . . · z} = . . . m keer

Als m = 0, dan is wegens een eerdere afspraak: zm = z0 = . . .

Als m < 0, noem dan n = −m. Dan is n > 0 zodat wegens het eerste geval: zm =

1 z −m

=

1 = ... zn

Passen we de formule van Euler toe, dan kunnen we deze rekenregel opnieuw vertalen naar Euler-vorm.

3 Rekenregels in Euler-vorm (vervolg). Is z = reiθ een complex getal en m ∈ Z, dan is: z m = rm eimθ 3 Opmerking. Men kan opnieuw in de verleiding komen om deze rekenregel in Euler-vorm m eiθ = eimθ

rechtstreeks aan te tonen door te steunen op de rekenregels voor machten uit Deel Precalculus 1, zie pagina 32.

Dat zou echter opnieuw een verkeerde redenering zijn. De uitdrukking eiθ stelt een macht met een complexe exponent voor, terwijl de rekenregels (1)-(5) uit Deel Precalculus 1 enkel betrekking hebben op machten met een reële exponent. Men moet het dus omgekeerd zien: de bovenstaande rekenregel in Euler-vorm geeft aan dat rekenregel (3) ook geldt voor m ∈ C en n ∈ Z, mits een geschikte definitie voor az met a ∈ R0 en z ∈ C.

Is de modulus van een comlex getal gelijk aan 1, dan vertaalt de rekenregel voor gehele machten zich in de zogenaamde formule van de Moivre:11 Å ãm cos θ + i sin θ = cos(mθ) + i sin(mθ) voor elke θ ∈ R en m ∈ Z 11 Abraham

de Moivre

1707 in een primitieve vorm en 1722 in definitieve vorm voor gehele machten.

IV-34

√ 3 Modelvoorbeeld 1. Gegeven zijn de complexe getallen z = 1 + i en w = − 3 + i. Bepaal algebraı̈sch de cartesische vorm van de volgende complexe getallen. Alle tussenstappen opschrijven! (b) w−3

(a) z 10 Oplossing.

3 Modelvoorbeeld 2. Gegeven is een complex getal z dat voorgesteld is in het complexe vlak. Stel de volgende opeenvolgende machten van z voor. Maak gebruik van meetlat en gradenboog. Duid aan hoe je te werk gaat.

Controleer nadien met behulp van je grafische rekenmachine. z −2 , z −1 , z 0 , z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5

Im

i

z

1

IV-35

Re

3 Modelvoorbeeld 3. Gegeven is het complex getal z = cos

Å

3π 4

ã

Å + i sin

ã 3π .

4

(a) Bereken z 0 , z 1 ,z 2 , z 3 , . . . , z 8 en schrijf telkens het resultaat in cartesische vorm. (b) Stel deze opeenvolgende machten van z voor in het complexe vlak.

Oplossing.

3 Eigenschap (meetkundige betekenis van opeenvolgende machten van een complex getal).

Zij z ̸= 0 een complex getal en beschouw de opeenvolgende machten z 0 , z 1 , z 2 , z 3 , . . . van z die voorgesteld zijn in het complexe vlak (zie figuren). (i) Als |z| = ̸ 1 dan liggen de opeenvolgende machten van z op een spiraal.12

(ii) Als |z| = 1 dan liggen de opeenvolgende machten van z op een cirkel met straal 1.

(iii) Als |z| = 1 en Arg(z) = qπ voor een zekere q ∈ Q dan vormen de opeenvolgende machten van z de hoekpunten van een regelmatige veelhoek, en omgekeerd. (iv) Als |z| = 1 en Arg(z) = 2π n voor een zekere n ∈ N0 dan vormen de opeenvolgende machten van z de hoepunten van een niet-gekruiste regelmatige n-hoek.

Im z

z3

z4 z0

Im

Im z3

z2 z0

Re

z z0

Re

4

z ...

z

z4

(ii) |z| = 1

(iii) |z| = 1

Arg(z) =

12 Deze

z3

z0

Re

Re z4

z2 (i) |z| < 1

2

z

z

...

z2

Im z3

4 5

π

z5

(iv) |z| = 1

Arg(z) =

2 6

π

meetkundige figuur is een logaritmische spiraal: een verzameling van punten P ̸= O van het vlak waarvan het stel poolcoördinaten + (r, θ) voldoet aan r = b · aθ met a ∈ R+ 0 \ {1} en b ∈ R0 . Deze kromme heeft de kenmerkende eigenschap dat in elk punt P de hoek tussen de rechte OP en de raaklijn in P aan de kromme constant is, namelijk Arctan ( a log e), en wordt daarom ook wel de gelijkhoekige spiraal genoemd. Zo nadert een havik zijn prooi via een logaritmische spiraal: een gevolg van het feit dat hij het scherpst ziet onder een bepaalde hoek tegenover zijn vliegrichting [29]. Laat men de groeifactor a naderen naar 1, dan evolueert de logaritmische spiraal naar een cirkel met straal b. Voor a → +∞ wordt de spiraal een halfrechte zonder beginpunt. Zo is de vlucht van sommige nachtvlinders een rechte lijn precies omdat ze in de loop van hun evolutie geleerd hebben om tijdens het vliegen een constante hoek met de lichtstralen van de maan aan te houden. Komen ze echter in de nabijheid van een kaars, dan verandert hun traject in een logaritmische spiraal, waarmee ze hun onfortuinlijk einde opzoeken. Daarnaast kan men aantonen dat bij een logaritmische spiraal de aangroei van de voerstraal evenredig is met de voerstraal zelf, namelijk met factor ln a, hetgeen opnieuw een equivalente omschrijving van dit soort krommen is. Een aangroei die evenredig is met de reeds aanwezige afmeting komt veelvuldig in de natuur voor, zoals bij hoorns van dieren, in bladstanden bij planten en in de vorm van schelpen en weekdieren, omdat zo’n spiraal als voordeel heeft dat bij groei de vorm niet wijzigt. Ook tropische stormen en spiraalarmen van sterrenstelsels hebben bij benadering de vorm van een logaritmische spiraal [29]. Logaritmische spiralen werden rond 1590 door Thomas Harriot ontdekt, toen hij navigatie en kaartprojecties onderzocht, zie [24]. De spiraal duikt op als projectie van een zogenaamde loxodroom: een kromme op een boloppervlak die men verkrijgt wanneer men vaart onder een constante hoek met de meridianen.

IV-36

2.5

Machtswortels

De bespreking van reële machtswortels valt uiteen in twee wezenlijk verschillende gevallen: n even en n oneven. Dat zullen we hieronder hernemen. Daarna bekijken we machtswortels van complexe getallen.

Reële machtswortels van reële getallen (herhaling) 3 Definitie (reële machtswortel). Zij n ∈ N met n ≥ 2 en x, b ∈ R. We noemen x een (reële) n-de machtswortel van b als xn = b.

Voorbeeld. Het getal −2 is een zesdemachtswortel van 64 want (−2)6 = 64. Het getal −64 heeft geen reële zesdemachtswortels want x6 = −64 heeft geen reële oplossingen. Het getal 3 is een derdemachtswortel van 27.

3 Eigenschap van reële machtswortels. Zij n ∈ N met n ≥ 2 en b een reëel getal. (i) Als n even is dan geldt:

(ii) Als n oneven is dan geldt:

xn = b heeft een reële oplossing x ⇔ b ≥ 0

xn = b heeft altijd een reële oplossing x

Elk positief reëel getal b heeft twee reële n-de machtswortels die tegengesteld zijn aan elkaar, verschillend als b ̸= 0 en samenvallend als b = 0.

Elk reëel getal b heeft precies één reële n-de machtswortel.

Meetkundige betekenis. (i) Als n even is dan snijdt de rechte y = b de grafiek van f (x) = xn ▷ tweemaal als b > 0, ▷ eenmaal als b = 0, ▷ geen enkele keer als b < 0.

y

y

f (x) = xn n even y=b (b > 0)

√ −nb

(ii) Als n oneven is dan snijdt een rechte y = b de grafiek van f (x) = xn eenmaal.

√ n b

f (x) = xn n oneven y=b (b > 0)

√ n b √ n b

x

y=b (b < 0)

x

y=b (b < 0)

3 Notatie. Zij n ∈ N met n ≥ 2.

(i) Als n even is en b ∈ R+ 0 dan zijn wegens de vorige eigenschap de twee verschillende reële n-de machtswortels √ van b tegengesteld aan elkaar. We schrijven n b voor de positieve n-de machtswortel van b. De negatieve n-de machtswortel van b is √ n b, en dus gelijk aan dan het tegengestelde van √ − n b. Het getal 0 heeft één n-de machtswortel, √ namelijk het getal 0. Die noteren we dan met n 0.

Op die manier kan de tweede zin in de eigenschap (i) van reële n-de machtswortels als volgt worden aangevuld: Elk positief reëel getal b heeft twee reële n-de machtswortels die tegengesteld zijn aan elkaar, verschillend als b ̸= 0 en samenvallend als b = 0, en worden gegeven door: √ n x1,2 = ± b IV-37

(ii) Als n oneven is en b ∈ R dan heeft wegens de vorige eigenschap b precies één √ reële n-de machtswortel. Die noteren we met n b.

Op die manier kan de tweede zin in de eigenschap (ii) van reële n-de machtswortels als volgt worden aangevuld: Elk reëel getal b heeft precies één n-de machtswortel, gegeven door: x=

√ n

b

Vervangen we in de definitie van reële machtswortel de verzameling van de reële getallen R door de verzameling van de complexe getallen C, dan verkrijgen we het begrip complexe machtswortel van een complex getal. Net zoals bij vierkantswortels het geval was (zie Hoofdstuk 1), toont de eigenschap van complexe machtswortels een hogere vorm van symmetrie ten opzichte van het reële geval omdat elke vorm van gevalsonderscheid wegvalt.

Complexe machtwortels van complexe getallen 3 Definitie (complexe machtswortel). Zij n ∈ N met n ≥ 2 en z, w ∈ C. We noemen z een complexe n-de machtswortel van w als z n = w. √ Voorbeeld. Het complex getal 3 − i is een derdemachtswortel van −8i want . . .

Complexe vierdemachtswortels van 1 zijn bijvoorbeeld: . . .

3 Op ontdekking. Bepaal algebraı̈sch alle complexe vierkantswortels van het complex getal w = 6i, en stel deze vierkantswortels samen met w voor in het complexe vlak.

Oplossing. Gebruiken we de eigenschap van complexe vierkantswortels uit Hoofdstuk 1, dan vinden we (vul aan): z=±

a+

√

a2 + b2 ± 2

−a +

√

a2 + b2 i = ...± 2

0+

√

02 + 62 ± 2

−0 +

√

√ √ 02 + 62 i = ± 3 ± 3i 2

We kunnen echter ook als volgt te werk gaan. Eerst schrijven we w in polaire vorm (ga na): Å π π ã w = 6 cos . + i sin 2 2 Zij z = s(cos φ + i sin φ) een complex getal. We gaan op zoek naar alle reële getallen s en hoeken φ met z 2 = w.

Welnu,

IV-38

De machtswortels van een complex getal laten zich, in tegenstelling tot de cartesische schrijfwijze uit Hoofdstuk 1, erg eenvoudig beschrijven met behulp van de polaire vorm en de Euler-vorm. Daarenboven laat deze aanpak ons toe om de eigenschap van complexe vierkantswortels ook te intrinsiek begrijpen: de reden waarom elk complex getal w ̸= 0 twee verschillende vierkantswortels heeft, is omdat elke hoek θ twee verschillende helften heeft (zie Deel Goniometrie).

3 Eigenschap van complexe machtswortels.13 Zij n ∈ N met n ≥ 2 en w een complex getal. Dan geldt: de vergelijking z n = w heeft altijd een complexe oplossing z

Elk complex getal w heeft n complexe n-de machtswortels z0 , z1 , . . . , zn−1 die allemaal verschillend zijn als w ̸= 0 en samenvallend zijn als w = 0. Schrijven we w = r cos θ +i sin θ dan worden deze n-de machtswortels in polaire vorm gegeven door:14 ã Å ãã Å Å √ θ θ 2π 2π + i sin waarbij k ∈ {0, 1, 2, . . . , n − 1} +k· +k· zk = n r cos n n n n en in Euler-vorm gegeven door: zk =

√ n

re

θ+2kπ n

i

waarbij k ∈ {0, 1, 2, . . . , n − 1}

Bewijs. Omdat z n = 0 ⇔ z = 0 heeft w = 0 precies één complexe n-de machtswortel. Voor de rest van het bewijs nemen we aan dat w ̸= 0. Zij z = s(cos φ + i sin φ) een complex getal. Dan geldt: Å ãn zn = w ⇔ s (cos φ + i sin φ) = r (cos θ + i sin θ) ⇔ ⇔

⇔

sn (cos(nφ) + i sin(nφ)) = r (cos θ + i sin θ)  n   s =r cos(nφ) = cos θ   sin(nφ) = sin θ ® n s =r

nφ = θ + k2π (k ∈ Z)  √  s= nr ⇔  φ = θ + k · 2π (k ∈ Z). n n De verzameling van alle complexe n-de machtswortels van w is bijgevolg {zk | k ∈ Z} waarbij Å Å ã Å ãã √ θ 2π θ 2π n zk = r cos +k· + i sin +k· . n n n n Voor k = 0, 1, 2, . . . , n − 1 vinden we achtereenvolgens de n verschillende complexe getallen Å ãã Å Å ã √ θ θ z0 = n r cos + i sin n n Å Å ã Å ãã √ θ 2π θ 2π z1 = n r cos + + i sin + n n n n Å Å ã Å ãã √ θ 2π θ 2π z2 = n r cos +2· + i sin +2· n n n n .. . Å Å ã Å ãã √ θ 2π θ 2π n zn−1 = r cos + (n − 1) · + i sin + (n − 1) · . n n n n De complexe getallen zn , zn+1 , zn+2 , . . . zijn herhalingen van z0 , z1 , . . . , zn−1 want Å Å ã Å ãã Å Å ã Å ãã √ √ θ 2π θ 2π θ θ zn = n r cos +n· + i sin +n· = n r cos + i sin = z0 n n n n n n enzovoort. Ook de complexe getallen z−1 , z−2 , z−3 , . . . zijn herhalingen van z0 , z1 , . . . , zn−1 want Å Å ã Å ãã Å Å ã Å ãã √ √ θ 2π θ 2π θ 2πn 2π θ 2πn 2π n n z−1 = r cos − + i sin − = r cos + − + i sin + − n n n n n n n n n n Å Å ã Å ãã √ θ 2π θ 2π = n r cos + (n − 1) · + i sin + (n − 1) · = zn−1 enzovoort. n n n n 13 Voor 14 In

het eerst beschreven door Leonhard Euler in 1749 [13], zie [10]. de formule voor de machtswortels zk staat θ voor een hoekwaarde in radialen, bijvoorbeeld Arg w, zodat de uitdrukking

IV-39

θ n

zinvol is.

De formules uit de vorige eigenschap laten ons toe om meteen de complexe machtswortels van een gegeven w ∈ C op te schrijven. De afspraak over de notatie van vierkantwortels die we in Hoofdstuk 1 gemaakt hebben, wordt logischerwijze uitgebreid voor machtswortels (met n ∈ N en n ≥ 2): ® √ □ ∈ R+ als n even is n het symbool □ enkel opschrijven voor □∈R als n oneven is 3 Modelvoorbeeld 1. Bereken algebraı̈sch de complexe vijfdemachtswortels van −4 − 4i. Schrijf het resultaat in Euler-vorm, en stel deze machtswortels voor in het complexe vlak.

Oplossing.

De complexe n-de machtswortels van w = 1 worden (complexe) n-de eenheidswortels genoemd. Wegens de eigenschap van complexe machtswortels worden de n-de eenheidswortels gegeven door: zk = e

2kπ n

i

waarbij k ∈ {0, 1, 2, . . . , n − 1}

De beeldpunten zijn de hoekpunten van een niet-gekruiste regelmatige n-hoek op de goniometrische cirkel. Merk op dat z0 = 1 en zk = z1k . Zijn k en n relatief priem (i.e. hun positieve grootste gemene deler is 1) dan nooemen we zk een primitieve n-de eenheidswortel.

3 Modelvoorbeeld 2. Bereken algebraı̈sch de complexe derde eenheidswortels. Schrijf de eenheidswortels in cartesische vorm en stel ze voor in het complexe vlak. Controleer met behulp van je grafische rekenmachine.

Oplossing.

Controle met behulp van de grafische rekenmachine.

MODE

a + bi

MATH

IV-40

Oefeningen 2 Polaire vorm en Euler-vorm

Basis ⋆

2.1 Complexe getallen in polaire vorm 2.2 Complexe getallen in Euler-vorm

1 2 3 4

5

2.3 Basisbewerkingen 2.4 Machten

10

11 12 23

2.5 Machtswortels

Verdieping ⋆ ⋆⋆

⋆⋆

Uitbreiding ⋆ ⋆⋆

6

7

8

13 14 15

16 17

18 19

20

24 25

26

9

21

22

27

28

Oefeningen bij §2.1 en §2.2 B

Oefening 1. Bepaal telkens algebraı̈sch de modulus van het complex getal z. (a)

√

(b)

1 3

2 + 7i

(c) −8

(6i − 5)

(d) −i

B

Oefening 2. Stel telkens de gegeven verzameling van complexe getallen voor in complexe vlak. n πo (b) B = {z ∈ C : |z| = 3} (a) A = z ∈ C | Arg z = 3

B

Oefening 3. Bereken algebraı̈sch de cartesische vorm en de Euler-vorm van de volgende complexe getallen. Stel telkens het complex getal z voor in het complexe vlak en controleer met behulp van je grafische rekenmachine. Å π π ã (c) cos(π) + i sin(π) (a) 3 cos + i sin 2 2 Å Å ã Å ãã Å ã Å ãã √ Å 2π 2π 5π 5π (b) 2 cos + i sin (d) 2 cos + i sin 3 3 4 4

B

Oefening 4. Bereken algebraı̈sch de cartesische vorm en de polaire vorm van de volgende complexe getallen. Stel telkens het complex getal z voor in het complexe vlak en controleer met behulp van je grafische rekenmachine. π

(a) 17e− 3 i √ (b) 5 e0 i B⋆

(c) e−5π i (d) 8 e

5π 2

i

Oefening 5. Bereken algebraı̈sch de polaire vorm en de Euler-vorm van de volgende complexe getallen. Stel telkens het complex getal z voor in het complexe vlak en controleer met behulp van je grafische rekenmachine. √ √ √ √ √ 2 2 2 2 (g) −2 − 5 i (a) i − i − i 2 2 2 2 √ √ √ √ 2 2 √ (b) −9 − i 2 2 2 2 − i (h) −1 + 2 i 2 2 √ √ 2 2 √ √ (c) 3 − 4i − i 2 2 2 2 √ √ (i) − i 2 2 2 2 (d) 1 − i − i 2 2 √ √ √ √ 2 2 (j) −2022i − i 2 2 2 2 (e) −1 + i − i 2 2 √ √ √ √ Ä√ ä 2 2 2 2 (f) 2 3−i − i (k) 1729 − i 2 2 2 2 IV-41

V

Oefening 6. Stel telkens de gegeven verzameling van complexe getallen voor in complexe vlak. (a) A = {z ∈ C : |z| ≥ 3}

(c) C = {z ∈ C : |z + 2 − 3i| = 4}

(b) B = {z ∈ C | Arg z = kπ voor een k ∈ Z}

(d) D = {z ∈ C : |z − 3| = |z + 2i|}

V⋆

Oefening 7. Een complex getal z voldoet aan z + |z| = 2 + 8i. Bepaal |z|.

U

Oefening 8 (meetkundige betekenis van de modulus). Beschouw twee complexe getallen z en w. Toon aan dat de modulus van het verschil van z en w gelijk is aan de afstand tussen de beeldpunten van z en w (zie figuur): |z − w| = d(P, Q)

Im

y

z−w |z − w|

z

0

P

x

O

Re

d(P, Q)

w

U⋆⋆

Q

Oefening 9 (basiseigenschappen van modulus). Zij z = a + bi en w = c + di complexe getallen. Bewijs de volgende basiseigenschappen. (i) |−z| = |z|

(v) |z · w| = |z| · |w|

(ii) |z| = |z|

(vi)

(iii) z · z = |z|

2

(iv) |z| = 0 ⇔ z = 0

z |z| = w |w|

als w ̸= 0

(vii) |z ± w| ≤ |z| + |w| (viii) |z| − |w| ≤ |z ± w|

We verwijzen naar elk van de ongelijkheden die bevat zijn in (vii) en (viii) als een complexe driehoeksongelijkheid.

Oefeningen bij §2.3 en §2.4 B

Oefening 10. Bereken telkens algebraı̈sch het product van de complexe getallen z en w. Schrijf het resultaat in polaire vorm. Å Å π π ã π π ã (a) z1 = 2 cos + i sin en z2 = 3 cos + i sin 6 6 10 10 √ 3πi 2πi (b) z1 = 5 e− 5 en z2 = 2 e 5

B⋆

Oefening 11. Bereken algebraı̈sch de cartesische vorm van de volgende machten. Å ã3 ◦ ◦ (a) 3 (cos 30 + i sin 30 ) (b) (−1 − i)10

Å Å π π ãã4 (c) 5 cos + i sin 16 16 Ä √ √ ä7 (d) − 2 + 2 i IV-42

B⋆

Oefening 12. Gegeven zijn twee complexe getallen z en w die voorgesteld zijn in het complexe vlak. Stel nu ook hun product en quotiënt in het complexe vlak voor. Maak gebruik van meetlat en gradenboog. Duid aan hoe je te werk gaat. Controleer nadien met behulp van je grafische rekenmachine.

Im

w

i

1

Re

z

B⋆⋆

Oefening 13. Bereken algebraı̈sch de cartesische vorm van de volgende complexe getallen. Controleer telkens je uitkomst met behulp van je grafische rekenmachine. Å (a)

1+i 1−i

1 1 − 2 (1 − i) (1 + i)2 √ 1 + 3i (g) Ä√ ä8 · i 3−i

ã2

(f)

(b) i239

(h) (2 − 2i)8

(c) (1 + i)8 (d) (1 + (e)

B⋆⋆

√

(i)

−4

3 i)

5(2 − 3i) 13(2 − i) + −3 − 2i 8+i

(j)

Ä √ ä3 15 + 5 3 i · (−2i)4 Ä √ ä3 − 3−i 1 4

+

√ 3 4

i

Oefening 14. Gegeven zijn de complexe getallen z1 = 2 − 2i,

√ z2 = − 3 − i

en

z3 = −2.

Bereken algebraı̈sch de volgende complexe getallen waarbij je het resultaat in cartesische, goniometrische of Euler-vorm schrijft. Controleer met behulp van je grafische rekenmachine. (a) z1 · z2

(d) z3−1 · z2

z2 z1 Å ã10 z2 (c) z1

(b)

(e) z3 · z2−1 (f) (−z1 ) · (z2 )2

IV-43

B⋆⋆

Oefening 15 (Toelatingsexamen burgerlijk ingenieur, Universiteit Gent 1987).

Druk uit in de vorm p + iq met p, q ∈ R:

√ (1 + i 3)13 √ . ( 3 − i)8

V

Oefening 16. Voor welke waarden van n ∈ N is zn = (2 + 2i)n een reëel getal? Schrijf je redenering uit.

V

Oefening 17. Zij z = cos θ + i sin θ een complex getal. Toon aan dat voor elke n ∈ N geldt: cos(nθ) =

z n + z −n 2

en

sin(nθ) =

z n − z −n .

2i

V⋆

Oefening 18. Bepaal alle hoeken α waarvoor geldt: Å ãÅ ãÅ ãÅ ã cos α + i sin α cos(2α) + i sin(2α) cos(3α) + i sin(3α) cos(4α) + i sin(4α) = i.

V⋆

Oefening 19. Gegeven zijn de complexe getallen √ √ z = −4 2 + 4 2 i

en

w = −1 +

√

3 i.

Bepaal algebraı̈sch het kleinste natuurlijk getal n dat verschillend is van nul waarvoor U

z n w

een reëel getal is.

Oefening 20 (meetkundige betekenis van de vermenigvuldiging van complexe getallen). In deze oefening toon je aan dat de vermenigvuldiging van complexe getallen (linkerfiguur) kan voorgesteld worden als de gelijkvormigheid van twee driehoeken in het vlak (rechterfiguur).

Beschouw twee complexe getallen z en w, beide verschillend van nul, zodat z, w ̸∈ R. Noem E, P , Q en R de beeldpunten van de respectievelijke complexe getallen 1, z, w en z · w. Toon aan dat de driehoeken OEP en OQR gelijkvormig zijn.

y

Im

z·w

R

w s 0

U⋆

ϕ

Q

z

P

r θ 1

O

Re

E

x

Oefening 21 (complexe logaritme). Is w ̸= 0 een complex getal, dan wordt de complexe natuurlijke logaritme van w bepaald door ]−π, π] gedefinieerd als het complex getal met als reëel deel ln |w| en als imaginair deel Arg(w). Dat complex getal wordt met Ln z genoteerd. In symbolen: Ln w = ln |w| + i Arg(w) Is w ̸= 0 een complex getal, dan wordt de de complexe natuurlijke logaritme van w gedefinieerd als de oplossingenverzameling van de vergelijking ez = w, die we noteren met ln w. In symbolen: ez = w

⇔

z ∈ ln w

(a) Bereken Ln(−3i). (b) Toon aan dat voor elk complex getal w ̸= 0 geldt: ln w = {ln |w| + (Arg(w) + k2π)i | k ∈ Z} (c) Bepaal alle (complexe) oplossingen van de vergelijking ez = −1.

(d) Bereken ln(cos θ + i sin θ) voor elke θ ∈ R.

IV-44

U⋆⋆

Oefening 22 (variaties op de formule van de Moivre). Bewijs de volgende uitspraken. Å ãm = cos(mθ) − i sin(mθ). (a) Voor elke θ ∈ R en m ∈ Z is cos θ − i sin θ Å ãm

m−1 (b) Voor elke θ ∈ R en m ∈ Z met m oneven is sin θ + i cos θ = (−1) 2 · sin(mθ) + i cos(mθ) .

Oefeningen bij §2.5 B⋆

Oefening 23. Bereken telkens de complexe vierkantswortels van het gegeven complex getal zonder gebruik te maken van een rekenmachine. Hanteer de formules voor vierkantswortels in cartesische vorm (Hoofdstuk 1) of de formules voor machtswortels in polaire vorm en Euler-vorm. √ (b) 5 − 2i (a) 3 + i

B⋆⋆

Oefening 24. Bereken algebraı̈sch de volgende machtswortels. Stel de oplossingen telkens voor in het complexe vlak. (a) De tweedemachtswortels van 2 + 2i in polaire vorm. (b) De derdemachtswortels van −8 in cartesische vorm. (c) De derdemachtswortels van −2 − 2i in Euler-vorm. (d) De vijfdemachtswortels van i in polaire vorm. √ 3 1 (e) De zesdemachtswortels van − + i in Euler-vorm.

2 2 (f) De twaalfdemachtswortels van −4096 in polaire vorm.

B⋆⋆

Oefening 25. Bepaal telkens algebraı̈sch alle complexe getallen z die aan de vergelijking voldoen. √ 1+i 2(1 − 3 i)5 √ (a) z 3 = (c) z 4 = i− 3 (i − 1)4 √ (b) z 6 = (−2 + 2 3 i)6 (d) (z 2 − 2)3 = 8

V

Oefening 26. Bepaal algebraı̈sch alle complexe getallen z waarvoor z 5 + z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0.

U⋆

Oefening 27 (binomiaalvergelijkingen). Een complexe binomiaalvergelijking in z is een vergelijking die kan geschreven worden in standaardvorm az n + b = 0

waarbij n ∈ N0 en a, b ∈ C met a ̸= 0.

Los algebraı̈sch de volgende binomiaalvergelijkingen op over C. (a) iz 2 = 3 − 2i

(c) (1 + i)z 5 − i = 0

5

(b) (i z) = (1 + i)10 U⋆⋆

(d) iz 6 = −8

Oefening 28 (som en product van eenheidswortels). Gegeven zijn de complexe getallen zk = ek

2πi 5

met k ∈ Z.

(a) Stel de complexe getallen zk voor in het complexe vlak. (b) Toon aan dat (zk )5 = 1 voor elke k ∈ Z. (c) Bewijs dat zm = zm+5 voor elke m ∈ Z. (d) Bereken z0 · z1 · z2 · z3 · z4 . (e) Bereken z0 + z1 + z2 + z3 + z4 .

IV-45

Antwoorden op geselecteerde oefeningen Hoofdstuk 1 (3) −z = −a + bi

(17) z1 = 3i en z2 = −3i

(4) (a) vals

(18) 0

(b) waar (c) waar (d) vals (e) waar

(20) w = z · i (24) (a) ij = k, ji = −k, jk = i, kj = −i, ki = j, ik = −j (c) neen

(f) waar (5) (a) 1, i, −1, −i, 1, i, −1, −i etc. (b) −i, −1, i, 1, −i, −1, i, 1 etc.

(6) (a) z = 8 − 14i

(b) z = −1 − 3i

(7) (a) 3 − 7i

(25) (b) (1, 0) en (0, 1) ï ò ï ò 1 0 0 −1 (26) (c) en 0 1 1 0 ñ√ (d) bijvoorbeeld Z =

(b) −7 − 3i √ (c) 2 2 i

(27) z = 9i of z = −9i

(d) 4 √

(28) (a) z1 =

(e)

√ 3 3 − i 6 6

z2

(f) i (b) z1

(g) 21 − 20i 2 (h) − 3 (i) 24 √ (j) 2

(c) z1 (d) z1 (e) z1 z2

(8) (a) −117 − 44i (b) −i

2 √2 2 2

√

−√ 22

ô

2 2

√ √ 1+ 2 −1 + 2 + i en 2 2 √ √ 1+ 2 −1 + 2 =− − i 2 2 √ √ √ √ 2 2 2 2 + i en z2 = − − i = 2 2 2 2 = 7 en z2 = −7 √ √ = 2 2 i en z2 = −2 2 i » » √ √ −21 + 541 − » 21 + 541 i en = » √ √ = − −21 + 541 + 21 + 541 i

(f) z1 = 541 − 239i en z2 = −541 + 239i √ √ 5 + 29 −5 + 29 (g) z1 = − i en 2 2 √ √ 5 + 29 −5 + 29 z2 = − + i 2 2 (h) z1 = 2 − 3i en z2 = −2 + 3i √ √ √ √ 3+ 6 − 3+ 6 (i) z1 = + i en 2 2 √ √ √ √ 3+ 6 − 3+ 6 z2 = − − i 2 2 5 3 5 3 (j) z1 = √ + √ i en z2 = − √ − √ i 2 2 2 2 √ √ (k) z1 = 2 + 3i en z2 = − 2 − 3i

(c) −1024 4 3 + i (d) 25 24 (e) 4 − 7i 2 8 (f) − + i 5 5 14 (11) − 9 (12) (a) a = −4 en b = 5 (b) z = 2 + i

(13) 32 − 32i (14) k = −2

(l) z1 = −8i en z2 = 8i

(15) z = 2 + 4i IV-46

(29) (a) 37 − 13i

(34) (a) (z − 3 − i)(z − 3 + i)

(b) 28 − 12i

(b) (2z − 3i)2 √

(c) ( 2 − i)z − 7i z

(c) 41 − 23i

(d) 7 − 23i ß ™ 1 3 1 3 (30) (a) V = + i, − i 2 2 2 2 ® √ ´ 7 7 2 i (b) V = 0, − + 3 3

(d) (z − 3 + i)(z − 3 + 9i) (e) (1 + i)(z + 17 + 89i)2 (f) (z − i)(z + i) (35) (a) k = i of k = −i

(c) V = {3 − i, 3 − 9i}

(b) k = 3 − 2i of k = −1 + 6i

(d) V = {−1 + 3i, −1 − 3i} (e) V = {−1 + i, −1 − i}

(37) P (x) =

(f) V = {3 − 5i}

1 2 5 29 x + x+ 8 4 8

(38) (a) V = {1, −1, i, −i}

(31) z1 = −1 + 2i en z2 = −1 − 2i

(b) V ®= √ √ √ √ ´ 1 3 1 3 3 3 1 1 + i, − i, − + i, − − i 2 2 2 2 2 2 2 2 ß √ ™ 2 2 √ (c) V = , − , 3 i, − 3 i 3 3 ® √ √ √ ´ √ 2 2 2 2 (d) V = i, −i, + i, − − i 2 2 2 2

(32) (a) V = {4 − i, −4 + 3i} ß ™ 1 1 (b) V = − 3i, − + 3i 3 2 (c) V = {3 − i, 2 + 5i} (d) V = {7 + i, 1 − 3i}

(33) z1 = 3 − 5i en z2 = −2 + 3i

Hoofdstuk 2 √

51 √ 61 (b) 3 (c) 8

(1) (a)

(d) 1 π

(3) (a) Euler-vorm 3e 2 i , cartesische vorm 3i (b) Euler-vorm 2e

2π 3

πi

i

, cartesische vorm −1 +

√

3i

(c) Euler-vorm e , cartesische vorm −1 √ 5π (d) Euler-vorm 2 e 4 i , cartesische vorm −1 − i √ Å π π ã 17 17 3 (4) (a) polaire vorm 17 cos − + i sin − , cartesische vorm − i 3 3 2 2 √ √ (b) polaire vorm 5 (cos 0 + i sin 0), cartesische vorm 5 (c) polaire vorm cos (−5π) + i sin (−5π), cartesische vorm −1 Å Å ã Å ãã 5π 5π (d) polaire vorm 8 cos + i sin , cartesische vorm 8i 2 2 π π π (5) (a) polaire vorm cos + i sin , Euler-vorm e 2 i 2 2 (b) polaire vorm 9 (cos π + i sin π), Euler-vorm 9eπi (c) polaire vorm 5 (cos(−0, 9272 . . .) + i sin(−0, 9272 . . .)), Euler-vorm 5e−0,9272...·i π π ã √ Å √ π (d) polaire vorm 2 cos − + i sin − , Euler-vorm 2 e− 4 i 4 4 Å ã Å ãã √ Å √ 3π 3π 3π (e) polaire vorm 2 cos + i sin , Euler-vorm 2 e 4 i 4 4 Å π π ã π + i sin − , Euler-vorm 4e− 6 i (f) polaire vorm 4 cos − 6 6 (g) polaire vorm 3 (cos(3, 9826 . . .) + i sin(3, 9826 . . .)), Euler-vorm 3e3,9826...·i √ √ (h) polaire vorm 3 (cos(2, 1862 . . .) + i sin(2, 1862 . . .)), Euler-vorm 3 e2,1862...·i IV-47

π π π + i sin − , Euler-vorm e− 4 i (i) polaire vorm cos − 4 4 Å ãã Å Å ã 3π 3π 3π + i sin , Euler-vorm 2022e 2 i (j) polaire vorm 2022 cos 2 2 (k) polaire vorm 1729 (cos 0 + i sin 0), Euler-vorm 1729e0 i (7) 17 Å ãã Å Å ã 4π 4π + i sin (10) (a) 6 cos 15 15 π π ã √ Å (b) 5 2 cos − + i sin − 5 5 (11) (a) 27i (b) 32i

√ √ 625 2 625 2 + i (c) 2 2 √ √ (d) −64 2 − 64 2 i

(13) (a) −1 (b) −i (c) 16

√ 3 1 (d) − + i 32 32 (e) 3 + 3i (f) i √

(g) (h)

(i) (j) (14) (a) (b) (c) (d)

1 3 + i 256 256 4096 √ 48 000 3 i √ −8 3 − 8i √ 11π 4 2 e 12 i 1 17π √ e 12 i 2 1 πi e6 32 π e6 i π

(e) e− 6 i √ π (f) −4 2 e 12 i √ (15) 16 − 16 3 i (16) n = 4l met l ∈ N ß ™ π 5π 9π 13π 17π 21π 25π 29π 33π 37π (18) α ∈ , , , , , , , , , 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 (19) n = 12 π i 2 (c) z = (2k + 1)πi met k ∈ Z

(21) (a) ln 3 −

(d) {(θ + k2π)i | k ∈ Z} π

π ã √ Å (23) (a) zk = 2 cos met k ∈ {0, 1} + kπ + i sin + kπ 12 12 √ √ √ √ 3+2 − 3+2 3+2 − 3+2 z1 = + i en z2 = − − i 2 2 2 2 √ √ √ √ 5 + 29 −5 + 29 5 + 29 −5 + 29 (b) z1 = − i en z2 = − + i 2 2 2 2 IV-48

Å

π ã π √ 4 + kπ + i sin + kπ met k ∈ {0, 1} 8 cos 8 8 √ √ = 1 + 3 i, z1 = −2 en z2 = 1 − 3 i √ 5π 2kπ = 2 e( 12 + 3 )i met k ∈ {0, 1, 2} Å ã Å ã π 2kπ π 2kπ + i sin met k ∈ {0, 1, 2, 3, 4} = cos + + 10 5 10 5 5π kπ = e( 36 + 3 )i met k ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5} Å Å ã Å ãã π π kπ kπ = 2 cos + i sin met k ∈ {0, 1, 2, . . . , 11} + + 12 6 12 6

(24) (a) zk = (b) z0 (c) zk (d) zk (e) zk (f) zk

1 − 7π i 1 11π i 1 41π i (25) (a) z = √ e 36 of z = √ e 36 of z = √ e 36 6 6 6 2 2 2 √ √ π 2π 4π 5π (b) z = 4 of z = 4e 3 i of z = 4e 3 i = −2 + 2 3 i of z = −4 of z = 4e 3 i of z = 4e 3 i = 2 − 2 3 i π

(c) z = 2e− 6 i of z = 2e−

2π 3

(d) z = 2 of z = −2 of z = (26) z = e

kπ 3

i

i

√

met k ∈ {1, 2, 3, 4, 5}

of z = 2e− π

7π 6

2 e 6 i of z =

i

√

of z = 2e−

2e

√ √ −2 + 13 2 + 13 (27) (a) z = − i of z = − 2 2 π k2π (b) z = 2e( 10 + 5 )i met k ∈ {0, 1, 2, 3, 4} π k2π 1 √ e( 20 + 5 )i met k ∈ {0, 1, 2, 3, 4} (c) z = 10 2 √ π kπ (d) z = 2 e( 12 + 3 )i met k ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}

7π 6

i

5π 3

of z =

i

√

√ −2 + 13 + 2

(28) (d) 1 (e) 0

IV-49

π

2 e− 6 i of z =

2+

√ 2

13

i

√

2e

5π 6

i

Referentielijst [1] Joh. Bernoulli, Specimen calculi differentialis in dimensione parabolae helicoidis, Acta Eruditorum, 1691, Opera Genva, p. 431, 1744.

[2] R. Bombelli, L’algebra, Prima edizione integrale, Introduzione di U. Forti, Prefazione di E. Bortolotti, Bologna, 1572.

[3] C. B. Boyer, The Foremost Textbook of Modern Times, The American Mathematical Monthly Vol. 58, No. 4, p.

223-226, 1951.

[4] G. Cardano, Artis magnae, sive de regulis algebraicis, Nuremberg, 1545.

[5] J.L. Coolidge, The Origin of Polar Coordinates, The American Mathematical Monthly, 59(2), p. 78-85, 1952.

[6] R. Cotes, Logometria, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 29, p. 5-45, 1714.

[7] R. Dedekind, Vorlesungen über Zahlentheorie vom P.G. Lejeune Dirichlet, herausgegeben und mit zusätzen versehen von R. Dedekind, vierte ungearbeitete und vermehrte auflage, Braunsschweig, Friedrich Vieweg und Sohn, 1894.

[8] K. De Naeghel, Vijf minuten wiskunde: een verzameling van kortverhalen, print-on-demand online publishing Issuu.com, 2018. Beschikbaar op https://issuu.com/koendenaeghel/docs/vijfminutenwiskundedeel .

[9] R. Descartes, Discours de la Méthode Pour bien conduire sa raison, et chercher la vérité dans les sciences, Plus La Dioptrique, Les Météores et La Geometrie qui font des effais de cete methode, Ian Maire, Leiden, 1637.

[10] W. Dunham, Euler: The master of us all, MAA Dolciani Series, No. 22, 1999.

[11] W. Dunham, The calculus gallery, Princeton University Press, 2005.

[12] L. Euler, Introductio in analysin infinitorum, Lausannae : apud Marcum-MIchaelem Bousquet & socios, 1748.

[13] L. Euler, Récherches sur les racines imaginaires des équations, Mémoires de l’académie des sciences de Berlin 5, p. 222-288, (1749), 1751.

[14] W.R. Hamilton, Theory of conjugate functions, or algebraic couples, Royal Irisch Academy, 1835.

[15] A. Hurwitz, Über die komposition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variabelen, Göttinger Nachrichten, p. 309-316, 1898.

[16] C. Impens, Analyse III, Universiteit Gent, uitgave 1997-1998.

[17] Jyes.t.hadeva, Yuktibhās.ā, c. 1530.

[18] M. Mashaal, Bourbaki, Veen Magazine, Amsterdam, 2009.

[19] E.H. Moore, A doubly-infinite system of simple groups, Bulletin of the American Mathematical Society, 3 (3), p.

73–78, 1893.

[20] I. Newton, De analysi per aequationes numero terminorum infinitas, brief van Dr. Barrow aan Mr. Collins op 31 juli 1669, gepubliceerd door editor William Jones, London, 1711.

[21] I. Newton, The Method of Fluxions and Infinite Series: With Its Application to the Geometry of Curve-lines, Henry Woodfall, London, 1736.

[22] D. E. Smith, A Source Book in Mathematics, McGraw-Hill Book Co., New York, 1929.

[23] K. Nilakantha Somayaji, Tantrasamgraha, 1501.

[24] J. Stillwell, Mathematics and its history, Springer, New-York, 1989.

IV-50

[25] J.J. Sylvester, On a remarkable discovery in the theory of canonical forms and of hyperdeterminants, Philosophical Magazine, 4th series, 2, p. 391–410, 1851.

[26] J. Wallis, A treatise of algebra, both historical and practical : shewing the original, progress, and advancement thereof, from time to time, and by what steps it hath attained to the heighth at which now it is ; with some additional treatises , London, printed by John Playford, for Richard Davis, Bookfeller, in het University of Oxford, 1685.

[27] C. Wessel, Om Directionens analytiske Betegning, et Forsog, anvendt fornemmelig til plane og sphæriske Polygoners Oplosning, Nye Samling af det Kongelige Danske Videnskabernes Selskabs Skrifter, Copenhagen, Royal Danish Academy of Sciences and Letters 5, p. 469-518, 1799.

[28] Website Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics, http://jeff560.tripod.com/mathword.html .

[29] Website Wikipedia, http://en.wikipedia.org/

en http://en.wikipedia.org/

IV-51

.