Deel V Logica

Wiskunde In zicht een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs geschreven door

Koen De Naeghel Deel V Logica

09/04/2022

CREATIVE COMMONS Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 (CC BY-NC-SA) Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie.

De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode De gebruiker mag: het werk kopiëren, verspreiden en doorgeven Remixen - afgeleide werken maken

Onder de volgende voorwaarden: Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam te vermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik van het werk).

Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerciële doeleinden gebruiken.

Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfde licentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid.

Met inachtneming van: Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden met voorafgaande toestemming van de rechthebbende.

Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijke wetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze beı̈nvloed door de licentie.

Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht: • Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet.

• De morele rechten van de auteur.

• De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals het portretrecht of het recht op privacy.

Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aan . derden door middel van een link naar http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/

Eerste druk: Versie:

2019

9 april 2022

Gepubliceerd door: Online publicatie platform Issuu.com Auteursrecht omslagfoto: stylephotographs/123RF Stockfoto http://nl.123rf.com/profile stylephotographs Tekstzetsysteem: LATEX Royalty percentage: 0%

© Koen De Naeghel, gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0

Deel V

Discrete wiskunde - Logica

w(P ) w(Q) 0 0 1 1

0 1 0 1

w(P ⇒ Q) 1 1 0 1

V

Inhoudsopgave

Deel Logica

1 Uitsprakenlogica

1

1.1 Uitspraken . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Samenstellen en ontleden van uitspraken 1.3 Logisch equivalente uitspraken . . . . . .

Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

2 Predicatenlogica 2.1 Termen, predicaten en quantoren .

2.2 Negatie van uitspraken . . . . . .

2.3 Omwisselen van quantoren . . . .

Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . .

A

1 2 4 5

10 . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

Logische wetten bewijzen met inferentieregels

10 11 13 14

15

Antwoorden op geselecteerde oefeningen

17

Referentielijst

19

Logic is the beginning of wisdom, not the end.

Mister Spock, Star Trek VI: The Undiscovered Country (1991)

Hoofdstuk 1

Uitsprakenlogica Net zoals elke andere wetenschap is de wiskunde erop aangewezen om haar resultaten mondeling of schriftelijk te formuleren. Doorheen de geschiedenis werd wiskunde echter meer gecompliceerd, zodat de subtiele nuances in taal steeds vaker tot misverstanden leidde. Die problemen werden ook in de hand gewerkt door de veelheid aan talen en de dubbelzinnigheden die typisch zijn aan gewone omgangstaal. Gaandeweg heeft men dan ook uitspraken weergegeven in een kunstmatige, geformaliseerde taal die enkel de elementen van de omgangstaal met logisch belang bevat.

In dit hoofdstuk gaan we redenenen met zo’n uitspraken, ook wel proposities genoemd.

Deze (klassieke) uitsprakenlogica (of propositielogica) is erg eenvoudig van opbouw doch beperkt in uitdrukkingsmogelijkheid.1

1.1

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716)

Uitspraken

Allereerst moeten we het begrip uitspraak preciseren. Omdat we hier enkel een kennismaking met het vakgebied beogen, kiezen we voor een informele aanpak.2 Het volstaat om een uitspraak te omschrijven als een zinvol product van de schrijftaal dat voldoet aan de zogenaamde wet van de uitgesloten derde:3 elke uitspraak is ofwel waar ofwel onwaar Een uitspraak wordt met een Latijnse hoofdletter genoteerd: A, B, P, Q enzovoort. Sommige producten van de schrijftaal zijn zinloos en dus geen uitspraak, bijvoorbeeld (omdat ze niet gedefinieerde, zinloze uitdrukkingen bevat): 2 7 + 1 = + 1.

0 0 Aan elke uitspraak A wordt een waarheidswaarde toegekend: w(A) = 1 voor waar en w(A) = 0 voor onwaar (ook wel vals genoemd). Vaak is er kennis vereist om een uitspraak te kunnen beoordelen. Anderzijds staat de waarheidswaarde van tot op heden niet bewezen vermoedens van de wiskunde helemaal niet vast, maar mag men volgens de gebruikelijke opvatting aannemen dat ze ofwel waar, ofwel onwaar zijn. In dat geval noemen we hun waarheidswaarde onbekend.

3 Modelvoorbeeld. Geef van elke zinvolle uitspraak de waarheidswaarde (indien bekend). (a) Een roos is een plant.

(e) Hartelijk gefeliciteerd!

(b) 2 + 4 = 7

(f) George W. Bush is de 43e president van de VS.

(c) Het getal 4 is een priemgetal.

(g) Ieder even natuurlijk getal groter dan twee is de som van twee positieve priemgetallen.4

(d) Ofwel regent het ofwel regent het niet.

1 Het formaliseren van logica tot symbolische taal wordt toegeschreven aan Leibniz. Hoewel zijn werk de eerste in zijn soort was, bleef het grotendeels onbekend zodat zijn vooruitgang pas veel later onafhankelijk werden herontdekt, o.a. door George Boole en Augustus . In de wiskunde wordt een logica klassiek genoemd wanneer het voldoet aan de wet van de uitgesloten derde. Over het De Morgan algemeen worden alleen propositie- en predicatenlogica ertoe gerekend, waarop bijna alle wiskundeteksten gebaseerd zijn. Voorbeelden van niet-klassieke logica’s zijn intuı̈tionistische, paraconsistente en meerwaardige logica, die toepassingen vindt in de quantummechanica [9].

2 Formeel bestaat de propositielogica uit een verzameling priemformules P die we kunnen voorstellen als de constanten van de theorie P, Q, . . . en die verbonden worden door de logische symbolen ¬, ∧, ∨, ⇒. De kleinste verzameling van uitdrukkingen die de elementen van P bevat en gesloten is onder deze logische symbolen, noemt men de propositieformules van P. 3 Een belangrijke toepassing van deze wet is een bewijs uit het ongerijmde, waarbij men aantoont dat de aanname uitspraak A onwaar tot een contradictie leidt. Omdat A niet onwaar is, leidt de wet van de uitgesloten derde tot de noodzaak dat A waar is. Wordt deze wet verkeerd toegepast, dan kan dit leiden tot de drogreden van het valse dilemma: twee alternatieven worden voorgesteld als de enige mogelijkheden terwijl er in werkelijkheid nog andere zijn, zoals de aannemelijke maar foute redenering wie niet met mij is, is tegen mij.

4 Deze uitspraak is het vermoeden van Goldbach, een van de oudste onopgeloste problemen in de getaltheorie en in de gehele wiskunde.

Het vermoeden werd geuit in een brief die Christian Goldbach aan Leonhard Euler in 1742 schreef. De bewering is door veel theoretici onderzocht, maar tot op heden zonder een definitief resultaat. Met behulp van computers is het vermoeden gecontroleerd voor even getallen tot 4 · 1018 . De meeste wiskundigen geloven dat het vermoeden waar is. Zie [9].

V-1

1.2

Samenstellen en ontleden van uitspraken

Door uitspraken met elkaar te combineren, kunnen nieuwe uitspraken worden gevormd. Zo leiden de ware uitspraken Parijs is de hoofdstad van Frankrijk en Parijs heeft meer dan twee miljoen inwoners tot de nieuwe, ware uitspraak: Parijs is de hoofdstad van Frankrijk en Parijs heeft meer dan twee miljoen inwoners.

In het algemeen kunnen uitspraken worden samengesteld met de volgende verbindende woorden: niet . . . ,

. . . en . . . ,

. . . of . . . ,

als . . . dan . . . ,

. . . als en slechts als . . . .

Het is gebruikelijk om hiervoor symbolen te gebruiken, die (logische) connectieven worden genoemd.5 naam

symbool

voorbeeld

lees als

negatie conjunctie disjunctie implicatie equivalentie

∧ ∨ ⇒ ⇔

¬P P ∧Q P ∨Q P ⇒Q P ⇔Q

niet P P en Q P of Q als P dan Q P als en slechts als Q

In de propositielogica worden deze connectieven zodanig vastgelegd dat de waarheidswaarde van een samengestelde uitspraak A eenduidig bepaald is door de waarheidswaarde van de deeluitspraken P, Q, . . ., onafhankelijk van het feit of er al dan niet qua inhoud een logisch verband bestaat tussen die verschillende deeluitspraken. Dat doen we aan de hand van zogenaamde waarheidstabellen, ook wel waarheidstafels genoemd.6 3 Definitie (connectieven). Zij P een willekeurige uitspraak.

(1) ¬P is waar enkel en alleen als P vals is:

w(P )

w(¬P )

0 1

1 0

(2) P ∧ Q is waar enkel en alleen als P waar is en Q waar is: w(P )

w(Q)

0 0 1 1

0 1 0 1

w(P ∧ Q) 0 0 0 1

(3) P ∨ Q is vals enkel en alleen als P vals is en Q vals is: w(P )

w(Q)

0 0 1 1

0 1 0 1

w(P ∨ Q) 0 1 1 1

(4) P ⇒ Q is vals enkel en alleen als P waar is en Q vals is: w(P )

w(Q)

0 0 1 1

0 1 0 1

w(P ⇒ Q) 1 1 0 1

(5) P ⇔ Q is waar enkel en alleen als P en Q beide waar, of beide vals zijn: w(P )

w(Q)

0 0 1 1

0 1 0 1

w(P ⇔ Q) 1 0 0 1

5 Bij de implicatie P ⇒ Q zegt men dat P voldoende is voor Q, en dat Q nodig is voor P . De equivalentie P ⇔ Q wordt ook wel als volgt voorgelezen: P als en alleen als Q, P dan en slechts dan als Q, P dan en alleen dan als Q, P is nodig en voldoende voor Q. 6 In deze cursus bespreken we de klassieke logica als regelsysteem aan de hand van waarheidstafels. In al zijn eenvoud is deze aanpak erg aangenaam als eerste kennismaking met logica. Het bewijzen van logisch equivalente uitspraken met waarheidstabellen is echter wat omslachtig, laat staan het vereenvoudigen van zulke uitspraken, zie §1.3. Als alternatief kan de klassieke logica als regelsysteem ingevoerd worden met zogenaamde structurele regels (premisse, hypothese, reı̈teratie) en inferentieregels (modus ponens, voorwaardelijk bewijs enzovoort). Het zijn precies deze regels die het logisch redeneren bewijsheuristiek mogelijk maakt. Voor een praktijkgerichte kennismaking van dit alternatief verwijzen we naar Bijlage 2.3, gebaseerd op [1]. Zie ook [3, Practicum 8].

V-2

Volgens deze definitie kun je de waarheidswaarde van een samengestelde uitspraak bepalen aan de hand van de waarheidswaarde van de deeluitspraken.

3 Modelvoorbeeld 1. Bepaal telkens de waarheidswaarde van de uitspraak. (a) ¬(2 + 4 = 7)

(f) (2 = −2) ⇒ (4 = 4)

√ (b) (23 = 8) ∧ ( 4 = −2)

(g) (volgend jaar win ik de lotto) ⇒ (1 + 1 = 2)

√ (c) (23 = 8) ∨ ( 4 = −2)

(h) (22 + 32 = 42 ) ⇔ (9197 is deelbaar door 17)

(d) (1 + 1 = 2) ⇒ (2 + 2 = 4)

(i) (1 = 2) ⇔ (¬(541 is een priemgetal))

(e) (2 = 3) ⇒ (4 = 9)

(j) (1 + 1 = 2) ⇒ ((1 + 1 = 3) ⇒ (1 + 1 = 4))

Naast het samenstellen van uitspraken kan men ook uitspraken ontleden tot zogenaamde priemcomponenten P, Q, . . . die verbonden zijn met de connectieven ¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔. Op die manier kan hun waarheidswaarde worden onderzocht.

Dat kan ook toegepast worden op het dagelijks taalgebruik, waardoor dubbelzinnigheden uit de weg geruimd worden.

3 Modelvoorbeeld 2. Je ouders doen vlak voor de proefwerken in juni de volgende uitspraak, die we als waar beschouwen: als je slaagt voor wiskunde dan krijg je een nieuwe smartphone.

Stel dat je na de proefwerken een nieuwe smartphone krijgt. Wil dat dan zeggen dat je geslaagd was voor wiskunde?

Oplossing. We kunnen de uitspraak van je ouders als volgt ontleden: stijlvol hoesje voor je nieuwe smartphone

als je slaagt voor wiskunde dan je krijgt een nieuwe smartphone . | {z } | {z } P

Q

In symbolen wordt de uitspraak van je ouders de implicatie P ⇒ Q. Er is gegeven dat deze uitspraak waar is, zodat w(P ⇒ Q) = 1. We weten ook dat w(Q) = 1. Volgens definitie van de implicatie is hieraan voldaan als w(P ) = 0, maar ook als w(P ) = 1. Op basis van deze gegevens kunnen we dus niets besluiten over de waarheidswaarde van P . Kortom: als na de proefwerken blijkt dat je een nieuwe smartphone gekregen hebt, dan was je niet noodzakelijk geslaagd voor wiskunde!

3 Modelvoorbeeld 3. In een rechtzaak doet de rechter de volgende uitspraak: de eerste getuige spreekt de waarheid of de tweede getuige spreekt niet de waarheid.

Hoe kan een advocaat aantonen dat de rechter ongelijk heeft?

Oplossing. We kunnen de uitspraak van de rechter als volgt ontleden: de eerste getuige spreekt de waarheid of niet de tweede getuige spreekt de waarheid . {z } | {z } | P

Q

In symbolen wordt de uitspraak van de rechter de disjunctie P ∨ (¬Q). Volgens de definitie van de disjunctie is de uitspraak P ∨ (¬Q) vals als en alleen als P vals is en Q waar is. De advocaat moet dus aantonen dat de eerste getuige niet de waarheid spreekt en ook aantonen de tweede getuige wel de waarheid spreekt.

V-3

1.3

Logisch equivalente uitspraken

Twee uitspraken A en B worden logisch equivalent genoemd als voor elke waarheidswaarde van hun priemcomponenten P , Q, R, . . . geldt dat w(A) = w(B). In dat geval noteren we A ≡ B.7 Om aan te tonen dat twee uitspraken logisch equivalent zijn, stelt men van beide de waarheidstabel op. Hieronder zullen we op die manier enkele fundamentele resultaten van de propositielogica aantonen.8 3 Stelling (wetten van De Morgan).9 Zij P en Q willekeurige uitspraken.

Dan geldt (vul aan):

(a) ¬(P ∧ Q) ≡ (¬P ) . . . (¬Q) ,

(b) ¬(P ∨ Q) ≡ (¬P ) . . . (¬Q) .

We zullen enkel (a) bewijzen. Een bewijs van de tweede wet wordt als oefening voor de lezer gelaten.

Bewijs van (a). We stellen de waarheidstabellen van de uitspraken ¬(P ∧ Q) en (¬P ) . . . (¬Q) op (vul aan).

P

Q

0 0 1 1

0 1 0 1

P ∧Q

¬(P ∧ Q) en

P

Q

0 0 1 1

0 1 0 1

¬P

¬Q

(¬P ) . . . (¬Q) Augustus De Morgan (1806 - 1871)

Voor elke waarheidswaarde van P en elke waarheidswaarde van Q hebben de twee uitspraken ¬(P ∧ Q) en ¬P . . . ¬Q dezelfde waarheidswaarde, zodat we mogen besluiten dat deze uitspraken logisch equivalent zijn.

3 Modelvoorbeeld 1. Formuleer van elke uitspraak telkens een andere, logisch equivalente uitspraak. (a) Hilde draagt geen bruine schoenen en Hilde draagt ook geen blauwe schoenen. (b) Het is niet waar dat Jan spiekt en goede punten behaalt.

Oplossing.

3 Stelling (disjunctie en contrapositie van de implicatie). Zij P en Q willekeurige uitspraken. Dan zijn de volgende uitspraken logisch equivalent:10 (i) P ⇒ Q (implicatie), (ii) (¬P ) ∨ Q (disjunctie van de implicatie), (iii) (¬Q) ⇒ (¬P ) (contrapositie van de implicatie).

Bewijs. We stellen van elke uitspraak de waarheidstabel op (vul aan).

P

Q

0 0 1 1

0 1 0 1

P ⇒Q en

P

Q

0 0 1 1

0 1 0 1

¬P

(¬P ) ∨ Q en

P

Q

0 0 1 1

0 1 0 1

¬Q

¬P

(¬Q) ⇒ (¬P )

Voor elke waarheidswaarde van P en elke waarheidswaarde van Q hebben de drie uitspraken (i), (ii) en (iii) dezelfde waarheidswaarde, zodat we mogen besluiten dat deze drie uitspraken logisch equivalent zijn.

3 Modelvoorbeeld 2. Je ouders doen vlak voor de proefwerken in juni de onderstaande uitspraak, die we als waar beschouwen. Formuleer twee andere uitspraken die hiermee logisch equivalent zijn.

Als je slaagt voor wiskunde dan krijg je een nieuwe smartphone.

Oplossing.

7 Voor

logisch equivalente uitspraken A en B schrijft men naast A ≡ B soms ook wel A ⇔ B, een notatie die ook gebruikt wordt voor het connectief als en slechts als, zodat betekenis van dit symbool uit de context moet blijken.

8 Om het schrijfwerk wat in te korten, zullen we de kolommen van die waarheidstafels benoemen met uitspraken P, Q, . . . terwijl we eigenlijk de waarheidswaarden w(P ), w(Q), . . . bedoelen.

9 In 1847 door De Morgan in formele taal gepubliceerd [2], doch eerder omschreven door o.a. Aristoteles in de 4e eeuw v.Chr. 10 Een belangrijke toepassing hiervan is een bewijs door contrapositie, een techniek om een wiskundig bewijs te geven van de uitspraak P ⇒ Q door het bewijzen van de stelling ¬Q ⇒ ¬P . Zo kan, voor een natuurlijk getal n, de uitspraak (n2 oneven) ⇒ (n oneven) eenvoudiger aangetoond worden door de contrapositie (n even) ⇒ (n2 even) aan te tonen.

V-4

Oefeningen 1 Uitsprakenlogica

Basis ⋆

1.1 Uitspraken

1

1.2 Samenstellen en ontleden van uitspraken

2 3

4 5 6

1.3 Logisch equivalente uitspraken

7

8 9

Verdieping ⋆ ⋆⋆

⋆⋆

10

11 12

Uitbreiding ⋆ ⋆⋆

13 14 15

16 17 18

19

Oefeningen bij §1.1 B

Oefening 1. Geef van elke zinvolle uitspraak de waarheidswaarde (indien bekend). (a) Een walvis is een vis.

(c) 2 + 4 = 6

(b) x + 3 = 8

(d) Het getal 5 is groter.

Oefeningen bij §1.2 B

B

Oefening 2. Bepaal telkens de waarheidswaarde van de uitspraak. (a) 5 = 5

(e) (32 = 9) ⇒ (6 − 2 = 4)

(b) ¬ i2 = −1

(f) (32 = 9) ⇒ (6 − 2 = 3)

(c) (3 − 7 = −5) ∧ (25 = 32)

(g) (3 − 7 = −5) ⇒ (25 = 64)

(d) (3 − 7 = −5) ∨ (25 = 32)

(h) (3 = 4) ⇔ (1 = −17)

Oefening 3. Gegeven zijn de uitspraken: P :

6 > 24

Q:

12 is een even getal

R:

1000 = 103

Zijn de volgende uitspraken waar of onwaar? Verklaar je antwoord.

B⋆

(a) P ∨ Q

(c) S ⇔ P

(b) (¬R) ∧ Q

(d) (P ⇒ S) ⇒ (R ⇒ P )

Oefening 4 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009 eerste ronde).

Drie leerlingen doen een uitspraak over een driehoek: ▷ Kwik: de driehoek is rechthoekig en gelijkzijdig, ▷ Kwek: de driehoek is stomphoekig en gelijkzijdig, ▷ Kwak: de driehoek is rechthoekig en gelijkbenig.

Wie heeft er zeker een foute uitspraak gedaan?

(A) Niemand (B) Kwik, Kwek en Kwak (C) Alleen Kwak en Kwik (D) Alleen Kwek en Kwak (E) Alleen Kwik en Kwek V-5

S:

π∈Q

20

B⋆

Oefening 5. Beoordeel de volgende uitspraak, laat zien hoe je te werk gaat: als de maan van kaas is, dan regent het.

B⋆

Oefening 6. Gegeven zijn de uitspraken P : je hebt koorts en Q : je bent ziek. (a) Schrijf de uitspraak P ⇒ Q in woorden. (b) In welk(e) geval(len) is de uitspraak P ⇒ Q vals? Formuleer in woorden. (c) Schrijf de uitspraak (¬Q) ⇒ (¬P ) in woorden. (d) In welk(e) geval(len) is de uitspraak (¬Q) ⇒ (¬P ) vals? Formuleer in woorden.

Oefeningen bij §1.3 B

Oefening 7. Zij P, Q willekeurige uitspraken. Onderzoek of de uitspraken P ⇒ Q en Q ⇒ P logisch equivalent zijn.

B⋆

Oefening 8. Beschouw de volgende uitspraak, die we als waar beschouwen: als de lift niet werkt, dan neem ik de trap. (a) Formuleer in woorden de contrapositie van deze implicatie. (b) Formuleer in woorden de disjunctie van deze implicatie. (c) Stel dat ik de trap neem. Is de lift stuk?

B⋆

Oefening 9. Beschouw de volgende uitspraak, die we als waar beschouwen: als mijn hond naar de maan blaft, dan is hij niet ziek. (a) Formuleer in woorden de contrapositie van deze implicatie. (b) Formuleer in woorden de disjunctie van deze implicatie. (c) Stel dat mijn hond niet naar de maan blaft. Is mijn hond ziek?

B⋆⋆

Oefening 10. Beschouw de volgende uitspraken: ▷ P : je slaagt voor het proefwerk wiskunde, ▷ Q: je maakt elke oefening in de cursus, ▷ R: je behaalt op elke toets wiskunde minstens 14 op 20.

Schrijf de volgende uitspraken in symbolen, met behulp van de uitspraken P, Q, R en de logische connectieven. (a) Je behaalt op elke toets wiskunde minstens 14 op 20, maar je maakt niet elke oefening in de cursus. (b) Om om elke toets wiskunde minstens 14 op 20 te scoren, is het nodig om te slagen voor het proefwerk wiskunde. (c) Voor elke toets minstens 14 op 20 behalen en elke oefening in de cursus maken volstaat om te slagen voor het proefwerk wiskunde.

V

Oefening 11. Zij n ∈ N. Beschouw de uitspraak A : (n2 oneven) ⇒ (n oneven). (a) Geef de contrapositie van deze implicatie A. (b) Bewijs uitspraak A.

V-6

V

Oefening 12 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 2002 eerste ronde).

Welke van de volgende uitspraken is juist?

I Deze lijst bevat juist één foutieve uitspraak.

II Deze lijst bevat juist twee foutieve uitspraken.

III Deze lijst bevat juist drie foutieve uitspraken.

IV Deze lijst bevat juist vier foutieve uitspraken.

V Deze lijst bevat juist vijf foutieve uitspraken.

(A) I

V⋆

(B) II

(C) III

(D) IV

(E) V

Oefening 13 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 2007 eerste ronde).

Een ver land is verdeeld in twee gebieden: het oosten en het westen. De mensen uit het westen spreken steeds de waarheid. De mensen uit het oosten liegen altijd. De koning vroeg aan zijn hofmaarschalk waar de premier woont.

De hofmaarschalk wist het antwoord niet en mailde naar de premier. Nadat hij antwoord kreeg van de premier, zei de hofmaarschalk tegen de koning: de premier woont in het oosten. Wat kan hieruit met zekerheid besloten worden?

(A) De premier komt uit het oosten.

(B) De premier komt uit het westen.

(C) De hofmaarschalk komt uit het oosten.

(D) De hofmaarschalk komt uit het westen.

(E) De koning komt uit het westen.

V⋆

Oefening 14 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 eerste ronde).

De heer Janssens liegt nooit behalve op woensdag, dan liegt hij altijd. Op welke dag(en) van de week kan hij zeggen: als ik gisteren niet gelogen heb, dan lieg ik morgen?

(A) enkel dinsdag (B) enkel woensdag (C) enkel donderdag (D) enkel dinsdag of donderdag (E) enkel dinsdag, woensdag of donderdag

V⋆

Oefening 15 (Wason-test). In 1966 bedacht de Engelse psycholoog Peter Cathcart Wason de volgende logische puzzel, waarmee hij het logisch redeneervermogen van zijn studenten testte [7]. Op een tafel liggen vier kaarten zoals hieronder te zien is. Op elke kaart staat aan de ene zijde een getal, aan de andere zijde een letter. Welke kaarten moet je omdraaien om te verifiëren dat volgende uitspraak waar is: als er op een kaart een even getal staat, dan staat er op de ommezijde een klinker.

Schrappen wat niet past: ▷ kaart E moet je wel/niet omdraaien,

▷ kaart 4 moet je wel/niet omdraaien,

▷ kaart K moet je wel/niet omdraaien,

▷ kaart 7 moet je wel/niet omdraaien.

V-7

U

Oefening 16 (tautologie). Een uitspraak wordt een tautologie genoemd als de waarheidswaarde gelijk is aan 1, ongeacht de waarheidswaarde van zijn priemcomponenten.11 Zij P en Q willekeurige uitspraken. (a) Toon aan dat de uitspraak P ∨ (¬P ) een tautologie is. (b) Toon aan dat de volgende uitspraak een tautologie is:

P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P ) ⇒ (P ⇔ Q). (c) Toon aan dat de volgende uitspraak een tautologie is: het regent of het regent niet.

U

Ludwig Josef Johann Wittgenstein (1889 - 1951)

Oefening 17 (contradictie). Een uitspraak wordt een contradictie genoemd als de waarheidswaarde gelijk is aan 0, ongeacht de waarheidswaarde van zijn priemcomponenten. Zij P en Q willekeurige uitspraken. (a) Toon aan dat de uitdrukking P ∧ (¬P ) een contradictie is. (b) Toon aan dat de volgende uitspraak een contradictie is: (¬P ) ∧ (¬(P ⇒ Q)). (c) Toon aan dat de volgende uitspraak een contradictie is: het regent en het regent niet.

U

Oefening 18 (conjunctie en disjunctie van drie uitspraken). Zij P , Q en R willekeurige uitspraken. Bewijs de volgende logische equivalenties.

(a) P ∧ (Q ∧ R) ≡ (P ∧ Q) ∧ R

(b) P ∨ (Q ∨ R) ≡ (P ∨ Q) ∨ R

U⋆

Oefening 19 (vervangingsregels). Logisch equivalente uitspraken worden ook wel vervangingsregels (of substitutieregels) genoemd. Onderstaande tabel geeft de meestvoorkomende vervangingsregels weer. Bewijs deze vervangingsregels door telkens aan te tonen dat de twee uitspraken logisch equivalent zijn. naam commutativiteit associativiteit distributiviteit De Morgan dubbele negatie contrapositie implicatie equivalentie tautologie exportatie

vervangingsregel

afkorting

(P ∧ Q) ≡ (Q ∧ P ) (P ∨ Q) ≡ (Q ∨ P )

(P ∧ Q) ∧ R ≡ P ∧ (Q ∧ R) (P ∨ Q) ∨ R ≡ P ∨ (Q ∨ R)

P ∧ (Q ∨ R) ≡ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R) P ∨ (Q ∧ R) ≡ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)

¬(P ∧ Q) ≡ (¬P ) ∨ (¬Q) ¬(P ∨ Q) ≡ (¬P ) ∧ (¬Q) (¬¬P ) ≡ P

(P ⇒ Q) ≡ (¬Q) ⇒ (¬P )

(P ⇒ Q) ≡ (¬P ) ∨ Q

(assoc) (dist) (DeM) (dn) (cpos)

(impl)

(P ⇔ Q) ≡ (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P )

(P ⇔ Q) ≡ (P ∧ Q) ∨ ((¬Q) ∧ (¬P )) (P ∧ P ) ≡ P (P ∨ P ) ≡ P

(com)

(equiv) (taut)

(P ∧ Q) ⇒ R ≡ P ⇒ (Q ⇒ R)

V-8

(exp)

U⋆⋆

Oefening 20 (nand en nor). De vier connectieven conjunctie, disjunctie, implicatie en equivalentie kunnen elk opgevat worden als een afbeelding

∗ : {0, 1} × {0, 1} → {0, 1}

(w(P ), w(Q)) 7→ w(P ∗ Q)

die we in deze context een binaire samenstelling noemen. Het is eenvoudig om in te zien dat er in totaal zestien verschillende binaire samenstellingen mogelijk zijn, die in onderstaande tabel worden weergegeven. Men kan gemakkelijk aantonen dat de vijf logische connectieven ¬, ∧, ∨, ⇒ en ⇔ volstaan om alle binaire samenstellingen uit te drukken.12 ∗1

∗2

∗3

∗4

∗5

∗6

∗7

∗8

∗9

∗10

∗11

∗12

∗13

∗14

∗15

∗16

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

⇔

∧

|

w(P )

w(Q)

0

0

0

symbool

1

0

1

∨

0

1

0

1

⇒

0

1

0

1

0

1

0

1

0

∇

In deze oefening toon je aan dat één (nieuw) connectief kan volstaan om alle binaire samenstellingen uit te drukken.

In dat verband worden de volgende logische connectieven ingevoerd, waarvan hun definitie in de bovenstaande tabel kan worden afgelezen:13 naam

symbool

voorbeeld

lees als

nand

|

P | Q

P nand Q, niet tegelijk P en Q

nor

∇

P ∇Q

P nor Q, P noch Q, niet P en ook niet Q

(a) Bepaal een uitspraak die logisch equivalent is met P ⇔ Q en die enkel gebruik maakt van de vier connectieven negatie, conjunctie, disjunctie en implicatie. (b) Onderstaande tabel laat zien hoe je de vier connectieven negatie, conjunctie, disjunctie en implicatie kan herleiden tot nand, en ook hoe je ze kan heleiden tot nor. Bewijs deze logische equivalenties. Op die manier heb je aangetoond dat alle bineaire bewerkingen kunnen uitgedrukt worden met het connectief nand en dat ze ook allemaal kunnen uitgedrukt worden met het connectief nor.

¬P

P | P

P ∇P

P ∧Q

(P | Q) | (P | Q)

(P ∇ P ) ∇ (Q ∇ Q)

P ∨Q

(P | P ) | (Q | Q)

(P ∇ Q) ∇ (P ∇ Q)

P ⇒Q

P | (P | Q)

Q ∇ (P ∇ Q) ∇ Q ∇ (P ∇ Q)

(c) Bepaal een uitspraak die logisch equivalent is met P | Q en die enkel gebruik maakt van het connectief nor. (d) Bepaal een uitspraak die logisch equivalent is met P ∇ Q en die enkel gebruik maakt van het connectief nand.

11 De wiskundige term tautologie werd in 1921 geı̈ntroduceerd door Wittgenstein [8]. Deze term mag niet verward worden met de gelijknamige stijlfiguur, getypeerd als het benadrukken van een woord met een ander woord dat zo goed als dezelfde betekenis heeft. Zo zijn bijvoorbeeld Gratis en voor niets en identiek hetzelfde tautologiën in de betekenis van een stijlfiguur, maar niet in de wiskundige betekenis daar het zinloze uitspraken zijn.

12 Er doet zich een anti-symmetrie voor, in die zin, dat het tweede deel van de tabel uit het eerste ontstaat door spiegeling en gelijktijdige verwisseling van 1 en 0. Dus w(P ∗i Q) = w(¬(P ∗17−i Q)). Men heeft dus voldoende aan de eerste acht samenstellingen en ¬. De samenstelling ∗6 is onafhankelijk van P , ∗4 van Q, ∗1 van P en Q en dus overbodig. De samenstelling ∗3 is te herleiden tot ∗5 , omdat w(P ∗3 Q) = w(Q ∗5 P ). De vijf connectieven negatie, conjunctie, disjunctie, implicatie en equivalentie zijn dus voldoende voor de beschrijving van alle binaire samenstellingen. Zie [5, p.14].

13 Het Engelse woord nor komt overeen met het Nederlandse noch, en kan ook gezien worden als een samentrekking van not en or. Het woord nand bestaat niet in de Engelse taal, doch is in analogie met nor ontstaan als een samentrekking van not en and.

V-9

All animals are equal, but some animals are more equal than others.

George Orwell (Eric Arthur Blair), Animal Farm: A Fairy Story (1945)

Hoofdstuk 2

Predicatenlogica De uitsprakenlogica volstaat niet om wiskundige theorieën te formaliseren, omdat het niet in staat is om argumenten weer te geven. Men stuit namelijk op zogenaamde termen, predicaten en quantoren zoals voor alle en er bestaat. Het invoeren van deze begrippen leidt tot het uitbreiden van de uitsprakenlogica tot de zogenaamde predicatenlogica.1 Net zoals in het vorige hoofdstuk zullen we ons beperken tot het informeel aanraken van enkele belangrijke begrippen.

Het doel dat we voor ogen hebben, is het omgaan met (de negatie van) eenvoudige uitspraken met quantoren, waar we in de volgende delen meermaals zullen op steunen.

2.1

Termen, predicaten en quantoren

Een argument is een verzameling uitspraken die leidt tot een conclusie. De verzameling van uitspraken waarvan men vertrekt, noemt men de gegevens. De conclusie is waar als de gegevens waar zijn. Hieronder staat een voorbeeld van een argument.2 ß

alle zoogdieren zijn dieren Jan is een zoogdier

Jan is een dier

gegevens conclusie

In de predicatenlogica kennen we de volgende begrippen en notaties: ▷ termen a, b, c, . . . zijn namen voor elementen uit een (individuen)verzameling, ▷ predicaten A, B, C, . . . zijn namen voor relaties tot die verzameling, ▷ quantoren ∀, ∃ worden vastgelegd met de volgende tabel. quantor

symbool

voorbeeld

lees als

universele quantor existentiële quantor

∀ ∃

∀x : ∃x :

voor alle x geldt er bestaat een x waarvoor geldt

Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848 - 1925)

We hernemen nu het argument uit het bovenstaande voorbeeld. In de uitspraak Jan is een zoogdier is Jan de term en is een zoogdier het predicaat, een eigenschap die we (al dan niet) aan de term toekennen. Zo is de uitspraak Jan is een zoogdier formeel te schrijven als Z(j) met Z = (is een zoogdier) en j = Jan. Noem verder D = (is een dier). Met behulp van de quantor ∀ kan bovenstaand argument geformaliseerd worden tot: ∀z : Z(z) ⇒ D(z) Z(j) D(j)

hetgeen we lezen als:

voor alle z geldt: als z een zoogdier is dan is z een dier Jan is een zoogdier Jan is een dier.

1 In 1879 slaagde Frege er als eerste in om een axiomatisering van de predicatenlogica op te stellen [4]. Vult men de uitsprakenlogica aan met de uitdrukkingsmiddelen (1) individuele variabelen en -constanten, (2) predicaat variabelen en -constanten, en (3) kwantoren die betrekking hebben op de individuele variabelen dan verkrijgt men de zogenaamde 1e orde predicatenlogica. Aanvullend kan het gelijkheidsteken worden toegevoegd, alsook functievariabelen en -constanten. Door het invoeren van predicaten voor predicaten, predicaten voor predicaten voor predicaten, enzovoort onstaat een lagenopbouw van de predicatenlogica, en verkrijgt men zo de predicatenlogica van 2e orde, 3e orde enzovoort. Legt men geen beperking op aan deze lagenopbouw, dan spreekt men van typentheorie.

2 In deze context worden argumenten en gegevens ook wel syllogismen respectievelijk genoemd, en gegevens ook wel premissen genoemd.

De theorie van de syllogismen is van Aristoteles afkomstig. Hij mocht dan wel een ongeëvenaard logisch denker zijn, Aristoteles had geen oog voor het nut van waarnemingen en experimenten en sloeg daarom meer dan eens de plank mis. Zo had hij beweerd dat mannen meer tanden hebben dan vrouwen, een veralgemening die was gebaseerd op de waarneming dat hengsten meer tanden hebben dan merries.

Hoewel Aristoteles twee keer trouwde, vond hij het kennelijk niet nodig een kijkje te nemen in de mond van een van zijn beide vrouwen.

Zie [6, p.7].

V-10

3 Modelvoorbeeld 1. Formaliseer telkens de gegeven uitspraak. Maak gebruik van de vermelde individuenverzameling. Geef ook telkens de waarheidswaarde van de uitspraak. (a) Elke stad uit S is een hoofdstad waarbij S = {London, Parijs, Antwerpen}. (b) Sommige plaatsen uit L zijn een eiland waarbij L = {Portugal, Kreta, Spanje, Rhodos}.

Oplossing.

3 Modelvoorbeeld 2. Schrijf telkens de formele uitspraak in woorden. Maak gebruik van het vermelde predicaat.

Bepaal ook telkens de waarheidswaarde van de uitspraak. (a) ∃z : z ∈ C \ {−1} ∧ (z 3 = −1)

(b) ∀x : (x ∈ N) ⇒ K(−1, x) waarbij K(x, y) = (x is kleiner dan y) Oplossing.

Het is gebruikelijk om formele uitspraken wat eenvoudiger op te schrijven door onder andere veelvoorkomende predicaten voluit te schrijven en de individuenverzameling waarop termen betrekking hebben bij hun quantoren te vermelden.

Zo worden de uitspraken in het vorige modelvoorbeeld voortaan geschreven als: ∃z ∈ C \ {−1} : z 3 = −1

2.2

en

∀x ∈ N : −1 < x.

Negatie van uitspraken

In de predicatenlogica kunnen de volgende negatiestellingen worden aangetoond (hierbij stelt A een willekeurig predicaat in één term voor):

¬ ∀x : A(x) ⇔ ∃x : ¬A(x)

¬ ∃x : A(x) ⇔ ∀x : ¬A(x) Op die manier kan de negatie van een uitspraak vereenvoudigd worden.

3 Modelvoorbeeld 1. Vereenvoudig telkens de negatie van de gegeven uitspraak. Maak gebruik van de gegeven individuenverzameling en het gegeven predicaat. Schrijf ook telkens de nieuwe uitspraak in woorden en geef de waarheidswaarde van die nieuwe uitspraak. (a) ∀x ∈ S : H(x) waarbij S = {Londen, Parijs, Antwerpen} en H = (is een hoofdstad) (b) ∃x ∈ L : E(x) waarbij L = {Portugal, Kreta, Spanje, Rhodos} en E = (is een eiland) Oplossing.

V-11

Bij het verenvoudigen van de negatie van een uitspraak komen de volgende vervangingsregels van pas.

3 Stelling (negatie van connectieven). Zij P en Q willekeurige uitspraken. Dan geldt: (a) (b) (c) (d) (e)

¬(¬P ) ≡ P (dubbele negatie),

¬(P ∧ Q) ≡ (¬P ) ∨ (¬Q) (wet van De Morgan),

¬(P ∨ Q) ≡ (¬P ) ∧ (¬Q) (wet van De Morgan),

¬(P ⇒ Q) ≡ P ∧ (¬Q) ,

¬(P ⇔ Q) ≡ (P ∧ (¬Q)) ∨ ((¬P ) ∧ Q) .

We zullen enkel (d) bewijzen. De wetten van De Morgan (b) en (c) werden in Hoofdstuk 1 aangetoond. De onderdelen (a) en (e) worden als oefening voor de lezer gelaten.

Bewijs. We hebben (vul aan en verklaar elke overgang):

¬(P ⇒ Q) ≡ ¬((¬P ) ∨ Q)

wegens . . .

≡ ...

wegens . . .

≡ ...

wegens . . .

De negatiestellingen kennen een belangrijke toepassing in het ontkrachten van uitspraken: om aan te tonen dat een uitspraak van de vorm ∀x : A(x) vals is, moet dus aangetoond worden dat ∃x : ¬A(x) waar is, zodat er een x moet gevonden worden die niet aan het predicaat A voldoet. Men spreekt dan van een tegenvoorbeeld. Wil men daarentegen bewijzen dat een uitspraak van de vorm ∃x : A(x) vals is, dan moet men aantonen dat ∀x : ¬A(x) waar is, zodat voor elke x moet aangetoond worden dat het niet aan predicaat A voldoet.

3 Modelvoorbeeld 2. Vereenvoudig telkens de negatie van de gegeven uitspraak. Bepaal ook telkens de waarheidswaarde van de nieuwe uitspraak en bewijs je antwoord. (a) ∃z ∈ C \ {−1} : z 3 = −1

(c) ∀x ∈ R : (x2 = 4) ⇒ (x = 2)

(b) ∃n ∈ N : 2 < n < 3

(d) ∀x ∈ R : (x = 2) ⇒ (x2 = 4)

Oplossing.

Bevat een uitspraak meerdere quantoren, dan kan de negatie van die uitspraak vereenvoudigd worden door de negatiestellingen herhaaldelijk toe te passen. Zo wordt bijvoorbeeld (met A een willekeurig predicaat in twee termen):

¬ ∀x : ∃y : A(x, y) ⇔ ∃x : ¬ ∃y : A(x, y) ⇔ ∃x : ∀y : ¬A(x, y).

Algemeen kunnen we die werkwijze als volgt formuleren: vervang elke ∃ door ∀, vervang elke ∀ door ∃ en neem de negatie van elke uitspraak 3 Modelvoorbeeld 3. Vereenvoudig telkens de negatie van de gegeven uitspraak. Bepaal ook telkens de waarheidswaarde van de nieuwe uitspraak en bewijs je antwoord. (a) ∀x ∈ R : ∃n ∈ N : x2 = n

(b) ∀x ∈ R : ∀y ∈ R : (x2 = y 2 ) ⇒ (x = y)

Oplossing.

V-12

2.3

Omwisselen van quantoren

In de predicatenlogica kunnen de volgende verwisselstellingen worden aangetoond (hierbij stelt A een willekeurig predicaat in twee termen voor): ∀x : ∀y : A(x, y)

⇔

∀y : ∀x : A(x, y)

∃x : ∃y : A(x, y)

⇔

∃y : ∃x : A(x, y)

∃x : ∀y : A(x, y)

⇒

∀y : ∃x : A(x, y)

Merk hierbij op dat in de laatste stelling een implicatie staat, maar geen equivalentie! Dus om in een uitspraak de quantoren van plaats te verwisselen en toch de uitspraak logisch equivalent te houden, mogen we in het algemeen enkel gelijksoortige quantoren met elkaar verwisselen.

3 Modelvoorbeeld 1. Stel V = {2, 3, 4, 5} en beschouw de uitspraken ∀x ∈ V : ∀y ∈ V : x2 + y 2 < 100

en

∀y ∈ V : ∀x ∈ V : x2 + y 2 < 100.

Hebben deze uitspraken dezelfde waarheidswaarde? Motiveer je antwoord.

Oplossing.

3 Modelvoorbeeld 2. Noem M de verzameling van alle personen en beschouw de volgende uitspraak, die we als waar beschouwen. ∀x ∈ M : ∃y ∈ M : y is de biologische vader van x Lijkt het je aannemelijk dat ook de volgende uitspraak waar is? Motiveer je antwoord. ∃y ∈ M : ∀x ∈ M : y is de biologische vader van x Oplossing.

3 Modelvoorbeeld 3. Ga na of de volgende uitspraken dezelfde waarheidswaarde hebben. Bewijs je antwoord. ∀x ∈ R : ∃n ∈ N : x < n

en

∃n ∈ N : ∀x ∈ R : x < n

Oplossing.

3 Modelvoorbeeld 4. Noem M de verzameling van alle levende personen en beschouw de volgende, ware uitspraak. ∀y ∈ M : ∃x ∈ M : x is minstens even oud als y Lijkt het je aannemelijk dat ook de volgende uitspraak waar is? Motiveer je antwoord. ∃x ∈ M : ∀y ∈ M : x is minstens even oud als y Oplossing.

V-13

Oefeningen 2 Predicatenlogica

Basis ⋆

2.1 Termen, predicaten en quantoren 2.2 Negatie van uitspraken 2.3 Omwisselen van quantoren

1

2 3

Verdieping ⋆ ⋆⋆

⋆⋆ 4

Uitbreiding ⋆ ⋆⋆

5

Oefeningen bij §2.1, §2.2 en §2.3 B

B⋆

Oefening 1. Verenvoudig telkens de negatie van de uitspraak. Bepaal ook telkens de waarheidswaarde van de nieuwe uitspraak en bewijs je antwoord. (a) ∃x ∈ R : x2 = −1

(d) ∃m ∈ Z : 0 < m < 1

(b) ∀n ∈ N : n ≥ 0

(e) ∀x ∈ R : (x2 = 1) ⇒ (x = 1)

(c) ∀m ∈ Z : m ≥ 0

(f) ∀x ∈ R : (x2 = −8) ⇒ (1 = 2)

Oefening 2. Ga telkens na of de twee gegeven uitspraken dezelfde waarheidswaarde hebben. (a) er bestaat een koning K zodat voor elke belg B geldt dat K de koning van de belg B is voor elke belg B bestaat er een koning K waarvoor geldt dat K de koning van de belg B is (b) er bestaat een jongen waarvoor er een meisje bestaat zodat die jongen verliefd is op dat meisje er bestaat een meisje waarvoor er een jongen bestaat zodat die jongen verliefd is op dat meisje

B⋆

Oefening 3. Formuleer telkens in woorden de negatie van de gegeven uitspraak. (a) Alle mensen zijn levende wezens. (b) Er bestaan raven die niet zwart zijn. (c) Alle metalen hebben geen solvent. (d) Voor elk reëel getal is het kwadraat niet negatief. (e) Er bestaat een geheel getal dat kleiner is dan ieder positief geheel getal. (f) Er bestaat minstens een horloge zodat voor alle wijzers op het horloge geldt dat ze niet zwart zijn.

B⋆⋆

V

Oefening 4. Zijn de volgende uitspraken waar of vals? Indien vals, bewijs je antwoord en geef de negatie van de uitspraak. Vereenvoudig ook je antwoord. (a) ∃z ∈ C : z 2 = −1

(d) ∀x ∈ R : ∃M ∈ R : x < M

(b) ∀m ∈ Z : ∃n ∈ N : m2 = n

(e) ∀n ∈ N : ∀x ∈ R : (|x| < n) ⇒ (x < n)

(c) ∃M ∈ R : ∀x ∈ R : x < M

(f) ∀n ∈ N : ∀x ∈ R : (x < n) ⇒ (|x| < n)

Oefening 5. Duid in volgende reeks alle alternatieven aan waarbij uitspraak (1) precies dezelfde betekenis heeft als uitspraak (2). ⃝

(1) Niet alle jongeren sporten en fuiven graag.

(2) Er zijn jongeren die niet graag sporten en niet graag fuiven.

⃝

(1) Niet alle domme jongeren zijn blonde meisjes.

(2) Er bestaan domme meisjes die niet blond zijn.

⃝

(1) Het is niet zo dat sommige mensen ongezond eten.

(2) Sommige mensen eten gezond.

⃝

(1) Alle kinderen die goed zijn in wiskunde zijn meisjes.

(2) Alle meisjes zijn goed in wiskunde.

⃝

(1) Alle kinderen die niet goed zijn in wiskunde, zijn jongens.

(2) Alle meisjes zijn goed in wiskunde.

V-14

Bijlage A Logische wetten bewijzen met inferentieregels Voor de uitsprakenlogica bestaan verschillende correcte en volledige bewijssystemen. In Hoofdstuk 1 kwam de klassieke logica aan bod door middel van waarheidstafels. Het bewijzen van logisch equivalente uitspraken met waarheidstabellen echter wat omslachtig, laat staan het vereenvoudigen van zulke uitspraken.

Een alternatief is het invoeren van de klassieke logica als regelsysteem met zogenaamde structurele regels (premisse, hypothese, reı̈teratie) en inferentieregels (modus ponens, voorwaardelijk bewijs enzovoort). Het zijn precies deze regels die het logisch redeneren bewijsheuristiek mogelijk maakt. Deze bijlage behandelt een praktijkgerichte kennismaking.1 Logische wetten zijn tautologiën van de vorm □ ⇒ △, waarbij □ staan voor een aantal uitspraken A, B, C, . . . (gegevens, ook wel premissen genoemd, genoteerd als PREM) en △ een uitspraak die hieruit volgt (conclusie genoemd). Meestal vervangt men dan het symbool voor implicatie ⇒ door het symbool ⊢. Men schrijft dus □ ⊢ △. We geven een overzicht van de meest courante inferentieregels die gebruikt worden om logische wetten te bewijzen. Elk van deze kunnen aangetoond worden met behulp van een waarheidstabel. naam

logische wet

modus ponens conjunctie

afkorting

A ⇒ B, A ⊢ B

MP

A∧B ⊢A A∧B ⊢B

SIM

A, B ⊢ A ∧ B

simplificatie

CONJ

A⊢A∨B B ⊢A∨B

ADD

A ∨ B, A ⇒ C, B ⇒ C ⊢ C

DIL

A ⇒ B, B ⇒ A ⊢ A ⇔ B

GI

eliminatie van de gelijkwaardigheid dubbele negatie

A⇔B⊢A⇒B A⇔B⊢B⇒A

GE

reductio ad absurdum

A ⇒ B, A ⇒ (¬B) ⊢ ¬A

additie dilemma introductie van de gelijkwaardigheid

¬(¬A) ⊢ A

DN RAA

3 Modelvoorbeeld 1. Als eerste voorbeeld van een bewijs met behulp van deze inferentieregels beschouwen we een eenvoudig bewijs van de logische wet P ∧ Q, P ⇒ R ⊢ R:

1 2 3 4 1 Deze

P ∧ Q, P ⇒ R ⊢ R P ∧Q

PREM

P ⇒R

PREM

P

1; SIM

R

2,3;MP

kennismaking is gebaseerd op [1], zie ook [3, Practicum 8].

V-15

Het eigenlijk bewijs wordt gevormd door de uitspraken in de tweede kolom. De nummers uit de eerste kolom gebruiken we om te verwijzen naar de uitspraken uit de tweede kolom; de verantwoording daarvoor staat in de derde kolom. Hieronder overlopen we bovenstaande bewijs.

1,2 We schrijven de gegevens (ook wel premissen genoemd).

3 We schrijven een uitspraak die volgt uit 1 door de inferentieregel SIM (simplificatie).

4 We schrijven een uitspraak die volgt uit 2 en 3 door de regel MP (modus ponens). Let even op volgende afspraak: in de derde kolom van lijn 4 staat een komma tussen de nummers van de uitspraken waaruit R werd afgeleid en een kommapunt tussen de nummers en de naam van de regel waaruit R uit die uitspraken volgt.

De lijnen 1-4 tonen aan dat we uit de gegevens P ∧ Q en P ⇒ R de R kunnen afleiden. Zo hebben we de logische wet P ∧ Q, P ⇒ R ⊢ R bewezen.

3 Modelvoorbeeld 2. In het vorig bewijs werden eerst de premissen neergeschreven en werden daarna stap voor stap inferentieregels toegepast op uitspraken die in het bewijs voorkomen. Een heel andere en bijzonder interessante bewijsmethode maakt gebruik van zogenaamde subbewijzen. Hier is een voorbeeld:

1 2 3 4 5 6

P ⇒ Q ⊢ (P ∧ R) ⇒ Q P ⇒Q

PREM

(P ∧ R) ⇒ Q

2,5;VB

P ∧R P P ⇒Q Q

HYP 2; SIM 1; REIT 3,4; MP

Laat ons dit even bekijken.

1 We schrijven de premisse op.

2 We veronderstellen P ∧ R. Deze stap volgt dus niet uit de premisse, maar is een veronderstelling (ook hypothese genoemd, genoteerd als HYP). Om dat duidelijk te maken trekken we er een verticale lijn naast.

We laten die lijn doorlopen zolang we nagaan wat uit de hypothese volgt.

3 Uit P ∧ R volgt P .

4 In een subbewijs mogen we een beroep doen op alle gegevens die beschikbaar waren voor we de hypothese invoerden - in dit geval de premisse P ⇒ Q uit lijn 1. We drukken dit uit door P ⇒ Q te reı̈tereren op lijn 4. Reı̈tereren betekent: iets wat we ter beschikking hebben, binnen het subbewijs halen. We noteren dit met REIT. 5 We passen modus ponens toe.

6 Het subbewijs 2-5 toont aan dat, gegeven de premisse, Q volgt uit P ∧ R. Met andere woorden, gegeven P ⇒ Q hebben we getoond: als P ∧ R, dan Q. Dit staat op lijn 6. De regel die we hier gebruiken noemen we een voorwaardelijk bewijs, notatie VB. 3 Oefening. Zoek bewijzen met behulp van inferentieregels (dus niet met waarheidstabellen) voor de volgende logische wetten. Maak je bewijs zo effeciënt als mogelijk. (a) P ∧ Q ⊢ P ∨ Q (b) (P ∨ Q) ⇒ (R ∧ S), P ⊢ R (c) ¬(¬P ), (P ∨ Q) ⇒ R, S ⊢ R ∧ S (d) P ⇔ Q, Q ∨ R, R ⇒ P ⊢ P (e) P ⇒ Q, ¬Q ⊢ ¬P (f) P ⇒ (Q ∧ R), P ⇒ ¬R ⊢ ¬P

V-16

Antwoorden op geselecteerde oefeningen Hoofdstuk 1 (1) (a) 0 (b) geen (zinvolle) uitspraak (c) 1 (d) geen (zinvolle) uitspraak (2) (a) 1 (b) 0 (c) 0 (d) 1 (e) 1 (f) 0 (g) 1 (h) 1 (3) (a) 1 (b) 0 (c) 1 (d) 0 (4) (E) (5) De uitspraak is waar.

(6) (a) Als je koorts hebt, dan ben je ziek. (b) De uitspraak is vals in het geval je koorts hebt, en toch niet ziek bent. (c) Als je niet ziek bent, dan heb je geen koorts. (d) De uitspraak is vals in het geval je koorts hebt, en toch niet ziek bent.

(7) De uitspraken P ⇒ Q en Q ⇒ P zijn niet logisch equivalent.

(8) (a) Als ik de trap niet neem, dan werkt de lift. (b) De lift werkt of ik neem de trap. (c) De lift is niet noodzakelijk stuk.

(9) (a) Als mijn hond ziek is, dan blaft hij niet naar de maan. (b) Mijn hond blaft niet naar de maan of mijn hond is ziek. (c) Mijn hond is niet noodzakelijk ziek.

(10) (a) R ∧ (¬Q) (b) R ⇒ P

(c) (R ∧ Q) ⇒ P

(11) (a) n even ⇒ n2 even (12) (D) (13) (C) V-17

(14) (E) (15) Kaarten E en 7 moet je niet omdraaien, kaarten K en 4 moet je wel omdraaien.

(20) (a) bijvoorbeeld P ⇔ Q ≡ (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P )

(c) bijvoorbeeld (P ∇ P ) ∇ (Q ∇ Q) ∇ (P ∇ P ) ∇ (Q ∇ Q)

(d) bijvoorbeeld (P | P ) | (Q | Q) | (P | P ) | (Q | Q)

Hoofdstuk 2 (1) (a) ∀x ∈ R : x2 ̸= −1, waar (b) ∃n ∈ N : n < 0, vals

(c) ∃m ∈ Z : m < 0, waar

(d) ∀m ∈ Z : (0 ≥ m) ∨ (m ≥ 1), waar (e) ∃x ∈ R : (x2 = 1) ∧ (x ̸= 1), waar

(f) ∃x ∈ R : (x2 = −8) ∧ (1 ̸= 2), vals

(2) (a) Beide uitspraken hebben dezelfde waarheidswaarde. (b) Beide uitspraken hebben dezelfde waarheidswaarde.

(3) (a) Er bestaan mensen die geen levend wezen zijn. (b) Alle raven zijn zwart. (c) Er bestaat een metaal dat een solvent heeft. (d) Er bestaat een reëel getal waarvoor het kwadraat negatief is. (e) Voor elk geheel getal bestaat er een positief geheel getal dat kleiner dan of gelijk aan dat geheel getal is. (f) Voor elk horloge is er een wijzer op dat horloge dat zwart is.

(4) (a) waar (b) waar (c) vals, negatie ∀M ∈ R : ∃x ∈ R : x ≥ M

(d) waar (e) waar

(f) vals, negatie ∃n ∈ N : ∃x ∈ R : (x < n) ∧ (|x| ≥ n) (5) Enkel bij het laatste alternatief heeft uitspraak (1) precies dezelfde betekenis als uitspraak (2).

V-18

Referentielijst [1] D. Batens, Logicaboek: praktijk en theorie van het redeneren, Antwerpen - Apeldoorn Garant, zevende druk, 2008.

[2] A. De Morgan, Formal Logic: or, The Calculus of Inference, Necessary and Probable, Taylor and Walton, London, 1847.

[3] K. De Naeghel, Het practicum wiskunde: coöperatief aanleren van vaardigheden en attitudes, print-on-demand online publishing Lulu.com, 2013.

[4] G. Frege, Begriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, Halle, 1879.

[5] F. Reinhardt, H. Soeder, Sesam Atlas van de wiskunde, Bosch & Keuning NV, Baarn, 1977.

[6] B. Russell, The Impact of Science on Society, Simon & Schuster Inc, 1968.

[7] P.C. Wason, Reasoning, Foss, B. M. New horizons in psychology 1, Harmondsworth: Penguin, 1966.

[8] L. Wittgenstein, Logisch-philosophiche Abhandlung, Annalen der Naturphilosophie (Leipzig), v. 14, p. 185-262, 1921.

[9] Website Wikipedia, http://en.wikipedia.org/

en http://en.wikipedia.org/

V-19

.