Deel VIII Afgeleiden

Wiskunde In zicht een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs geschreven door

Koen De Naeghel Deel VIII Afgeleiden

04/08/2022

CREATIVE COMMONS Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 (CC BY-NC-SA) Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie.

De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode De gebruiker mag: het werk kopiëren, verspreiden en doorgeven Remixen - afgeleide werken maken

Onder de volgende voorwaarden: Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam te vermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik van het werk).

Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerciële doeleinden gebruiken.

Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfde licentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid.

Met inachtneming van: Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden met voorafgaande toestemming van de rechthebbende.

Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijke wetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze beı̈nvloed door de licentie.

Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht: • Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet.

• De morele rechten van de auteur.

• De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals het portretrecht of het recht op privacy.

Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aan . derden door middel van een link naar http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/

Eerste druk: 2018 Versie: 4 augustus 2022 Gepubliceerd door: Online publicatie platform Issuu.com Auteursrecht omslagfoto: stylephotographs/123RF Stockfoto http://nl.123rf.com/profile stylephotographs Tekstzetsysteem: LATEX Royalty percentage: 0% © Koen De Naeghel, gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0

Deel VIII

Analyse - Afgeleiden

y rico t =

df dx

rico AB = B

f (a)

A

y = f (x)

a

b

VIII

x

∆f ∆x

Inhoudsopgave

Deel Afgeleiden

1 Het begrip afgeleide

1

1.1 Raaklijn in een punt aan een kromme . . . . . . . . . . .

1.2 Gemiddelde hellingsgraad en ogenblikkelijke hellingsgraad 1.3 Afleidbaarheid en berekenen van afgeleiden . . . . . . . .

1.4 Continuı̈teit en afleidbaarheid . . . . . . . . . . . . . . .

1.5 Afgeleide functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6 Stijgen en dalen, lokaal extremum . . . . . . . . . . . . .

1.7 Hol en bol, buigpunt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. 1 . 3 . 6 . 8 . 9 . 10 . 11 . 12

2 Afgeleiden van veeltermfuncties

16

2.1 Rekenregels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Toepassingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Afgeleiden van rationale en irrationale functies

29

3.1 Rekenregels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2 Toepassingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Interludium 1

41

1.

Limieten van functies (herhaling) . . . . . . . . . . . . .

2.

Asymptoten (herhaling) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.

Volledig onderzoek van rationale en irrationale functies 4.

Hoekpunt, keerpunt en verticale raaklijn . . . . . . . . .

Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

4 Afgeleiden van exponentiële en logaritmische functies 4.1 Inleiding en motivatie . . . . . . . . . . .

4.2 Op zoek naar een bijzondere exponentiële 4.3 De natuurlijke logaritmische functie . . .

4.4 Rekenregels . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.5 Toepassingen . . . . . . . . . . . . . . . .

Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

41 49 51 58 61

64

Interludium 2

64 65 67 69 72 76

80

1.

Regel van de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.

Overige onbepaaldheden herleiden tot de regel van de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5 Afgeleiden van goniometrische en cyclometrische functies 5.1 Rekenregels . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2 Toepassingen . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3 Continuı̈teit van afgeleide functies . . . .

5.4 Harmonische trilling en gedempte trilling Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

86 . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

87 90 93 95 97

A

De kettingregel

102

B

Middelwaardestellingen

103

C

Rekenregels voor afgeleiden - Overzicht

107

D

Formules van de goniometrie - Overzicht

108

Antwoorden op geselecteerde oefeningen

109

Referentielijst

117

Et j’ose dire que c’est cecy le problésme le plus utile, & le plus general non seulement que ie sçache, mais mesme que i’aye iamais desiré de sçauoir en Geometrie ...

René Descartes, 1637 [6, p.342]

Hoofdstuk 1

Het begrip afgeleide Een van de centrale vragen in de ontwikkeling van de wiskunde in de 17e eeuw was om, gegeven een kromme of grafiek van een functie, de raaklijn in een punt aan die grafiek te bepalen. Deze vraag stond bekend als het raaklijnenprobleem.

In dit hoofdstuk laten we zien dat het raaklijnenprobleem kan worden herleid tot de berekening van een limiet.

1.1

Raaklijn in een punt aan een kromme

In het vierde jaar heb je het raaklijnenprobleem opgelost in het geval de gegeven grafiek een cirkel is.

3 Op ontdekking 1. Gegeven is de cirkel C met middelpunt de oorsprong en straal r = 5/2. We beschouwen tevens een punt A op die cirkel (zie figuur). Gevraagd is om de raaklijn in A aan de cirkel te tekenen.1 Een eerste manier om dat te doen is je welbekend, en kan zelfs gebruikt worden om de raaklijn enkel met gebruik van passer en liniaal te construeren. y Eerste werkwijze t Stap 1. Teken de middellijn door A.

3 A

Stap 2. Teken de rechte die door A gaat en loodrecht op de middellijn staat. Dan is die rechte de raaklijn t in A aan de cirkel.

C

2 1

−3

−2

−1

1

2

3

x

−1 −2

Helaas kan de eerste manier enkel worden toegepast op cirkels. Daarom bespreken we nog een tweede manier, die ook bij andere grafieken bruikbaar is. y Tweede werkwijze t

3

Stap 1. Teken door punt A een willekeurige rechte die de cirkel ook nog snijdt in een ander punt B (stippellijn op de figuur hiernaast).

A 2

Stap 2. Laat het punt B langs de cirkel naar het punt A naderen. Dan zal de rechte AB naar de raaklijn in A naderen.

−3

−2

−1

1 −1 −2

1 De

Engelse term voor raaklijn is tangent line. Daarom benoemt men een raaklijn doorgaans met de letter t.

VIII-1

B

1

2

3

x

3 Op ontdekking 2. Gegeven is de functie f (x) = −(x − 4)2 + 2. (a) Teken de raaklijn t in het punt A(3, 1) aan de grafiek van f . (b) Lees uit deze tekening de vergelijking van die raaklijn t af. Je mag aannemen dat rico t een geheel getal is.

Controleer met je grafische rekenmachine.

Oplossing. De functie f is een veeltermfunctie van graad twee, zodat de grafiek van f een parabool is. Uit de vergelijking lezen we af dat het om een bergparabool met top T (4, 2) gaat (ga na). (a) In tegenstelling tot een cirkel is er bij een parabool geen sprake van een middellijn, zodat we de eerste werkwijze niet kunnen toepassen. De tweede werkwijze lukt wel (vervolledig de schets).

y

Tweede werkwijze Stap 1. Teken door punt A een willekeurige rechte die de grafiek van f ook nog snijdt in een ander punt B. Stap 2. Laat het punt B langs de grafiek van f naar het punt A naderen. Dan zal de rechte AB naar de raaklijn in A naderen.

3 2 A

1

y = f (x) 1

2

3

4

5

6

x

−1 −2

(b)

Om de vergelijking van de raaklijn in A(3, 1) aan de grafiek van f te bepalen, volstaat het dus dat we de rico van die raaklijn t kennen. Die rico noemt men ook wel de afgeleide van de functie f in x = 3. Dit getal noteert men met f ′ (3). Dus hier is (vul aan): f ′ (3) = rico t = . . .

Controle met de grafische rekenmachine.

GRAPH

2ND

DRAW

VIII-2

5:Tangent

3

ENTER

1.2

Gemiddelde hellingsgraad en ogenblikkelijke hellingsgraad

Om de vergelijking van de raaklijn te vinden, volstaat het om de rico van de raaklijn te bepalen. In §1.1 hebben we de rico van de raaklijn afgelezen van de grafiek, maar doorgaans is deze methode niet exact genoeg. Daarom gaan we op zoek naar een nauwkeurige beschrijving. De tweede werkwijze uit §1.1 geeft ons een idee hoe we dat kunnen doen.

3 Definitie (differentiequotiënt). Gegeven is een functie f en a, b ∈ dom f met a ̸= b.

De gemiddelde hellingsgraad van f tussen x = a en x = b is gelijk aan: ∆f def f (b) − f (a) = ∆x b−a Meetkundige betekenis. De gemiddelde hellingsgraad is de rico van de rechte AB (zie figuur).

y

Opmerking. In de formule staat een quotiënt van verschillen, daarom noemt men dit ook wel het differentiequotiënt van f tussen a en b.

f (b)

Strikt genomen moeten we in de notatie de waar∆f b den a en b opnemen. We schrijven dan . ∆x a

rico AB =

f (a)

∆f ∆x

B

A

y = f (x)

a

x

b

3 Definitie (afgeleide). Gegeven is een functie f en a ∈ dom f .

De ogenblikkelijke hellingsgraad van f in x = a is gelijk aan (indien deze limiet bestaat): df def f (b) − f (a) = lim b→a dx b−a

y

Meetkundige betekenis. De ogenblikkelijke hellingsgraad is de rico van de raaklijn t (zie figuur).

rico t =

df dx

rico AB =

∆f ∆x

B Opmerking. De ogenblikkelijke hellingsgraad van f in x = a wordt ook wel afgeleide van f in a genoemd.

Strikt genomen moeten we in de notatie de df waarde a opnemen. We schrijven dan of dx a ′ hanteren de compacte notatie f (a).

f (a)

A

y = f (x)

a

b

3 Modelvoorbeeld. Gegeven is de functie f (x) = x2 . Bereken met behulp van de definitie (a) de gemiddelde hellingsgraad tussen x = 1 en x = 2, (b) de ogenblikkelijke hellingsgraad in x = 1.

Hanteer de correcte notaties. Maak telkens een schets waarop je de meetkundige betekenis aanduidt.

Oplossing.

VIII-3

x

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

y

0

0,5

1,0

A

1,5

2,0

2,5

3 Voorbeeld. In de onderstaande figuur is de grafiek van de functie f (x) =

3,0 VIII-4

3,5

4,0

B

x

a

↓

1, 0001

1, 001

1, 01

1, 1

1, 5

A(1; 0, 25)

coördinaten van A

↓

B(3, . . . . . .)

3

2

B(4, 4)

(b, f (b))

4

b

coördinaten van B

1 2 x gegeven, samen met de punten A(1; 0, 25) en B(4, 4).

4 We laten het punt B langs de grafiek van f naderen naar A. Vul de tabel aan, en teken bij elke stap zo nauwkeurig mogelijk de rechte AB.

Toepassing 1 - Expliciet van gemiddelde hellingsgraad naar ogenblikkelijke hellingsgraad

df f (b) − f (a) = lim = ... dx b→a b−a

ogenblikkelijke hellingsgraad

↓

. . . − 0, 25 = ... ... − 1

4 − 0, 25 = 1, 25 4−1

∆f f (b) − f (a) = ∆x b−a

gemiddelde hellingsgraad

Toepassing 2 - Gemiddelde snelheid en ogenblikkelijke snelheid

s (afstand)

3 Voorbeeld. Het grootste bouwwerk ter wereld is tot op heden de wolkenkrabber Burj Khalifa, met een hoogte van 828m.2 Als men bovenop de wolkenkrabber een steen laat vallen, dan wordt de afstand s (in meter) gemeten van de top van het gebouw tot de steen in functie van de tijd t (in seconden) gegeven door de volgende grafiek.3

y = s(t)

800 700 600 500 400 300 200 100 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

t (tijd)

Experimentele studie wijst uit dat de functie s(t) gegeven wordt door: s(t) = 4, 9 t2

waarbij

0 ≤ s ≤ 828.

(a) Op welk tijdstip bereikt de steen de begane grond? Bereken algebraı̈sch. (b) Bereken de gemiddelde hellingsgraad van s tussen t = 3 en t = 9 en duid de meetkundige betekenis aan op bovenstaande de grafiek. Wat is de fysische betekenis van dit getal? (c) Bereken de ogenblikkelijke hellingsgraad van s in t = 3 en duid de meetkundige betekenis aan op bovenstaande de grafiek. Wat is de fysische betekenis van dit getal?

Burj Khalifa Dubai, Verenigde Arabische Emiraten

Oplossing.

2 Op het moment dat deze cursus aangepast werd (augustus 2022). Burj Khalifa werd plechtig geopend op 4 januari 2010 en is sinds 1 september 2008 tevens het hoogste bouwwerk ooit. Hiervoor stond het hoogterecord op naam van de 646, 4 meter hoge mast van Radio Warschau (ingestort in 1991) [29].

3 Wordt de luchtweerstand verwaarloosd, dan kan theoretisch worden aangetoond dat het voorschrift van de functie s wordt gegeven door gt2 /2 waarbij g staat voor de valversnelling: de versnelling waarmee voorwerpen naar de aarde vallen in vrije val, dus als er geen andere krachten op werken dan de zwaartekracht. Omdat de aarde geen perfecte bol is, hangt de waarde van g af van plaats tot plaats.

Aan de polen is g = 9, 832 m/s2 , aan de evenaar is dat 9, 780 m/s2 . In Brugge bedraagt de valversnelling 9, 8118 m/s2 . Dat men afstand noteert door s, komt van het Latijnse woord spatium, wat zoveel betekent als ruimte of periode. Ook het Nederlandse woord spatie voor woord- en letterscheidingsteken is daarvan afgeleid.

VIII-5

1.3

Afleidbaarheid en berekenen van afgeleiden

In onze berekening afgeleiden kwam het er hierboven op neer om een veelterm te ontbinden in factoren, bijvoorbeeld b2 − 32 = (b − 3)(b + 3). Dat vergt bij veeltermen van hogere graad meer inspanning. Zo is voor f (x) = x5 (ga na): f (b) − f (−1) b+1 5 b − (−1)5 (b + 1)(b4 − b3 + b2 − b + 1) = lim = lim = lim (b4 − b3 + b2 − b + 1) = 5. b→−1 b→−1 b→−1 b+1 b+1

f ′ (−1) = lim

b→−1

We kunnen het ontbinden in factoren vermijden door de tweeterm b + 1 in de noemer op te vatten als een eenterm die we h zullen noemen. Dus in de definitie van afgeleide herschrijven we de limiet als volgt: lim

b→a

f (b) − f (a) f (a + h) − f (a) = lim a+h→a b−a h f (a + h) − f (a) = lim . h→0 h

noem h = b − a

Bij het bovenstaande voorbeeld wordt berekening dan: f (−1 + h) − f (−1) h (h − 1)5 − (−1)5 h5 − 5h4 + 10h3 − 10h2 + 5h = lim = lim = lim (h4 − 5h3 + 10h2 − 10h + 5) = 5. h→0 h→0 h→0 h h

f ′ (−1) = lim

h→0

In de laatste stap zien we een tweede voordeel: het is gemakkelijker om hier h = 0 in te vullen dan om in de voorgaande berekening b te vervangen door −1.4 Daarom geniet deze nieuwe werkwijze onze voorkeur.

3 Definitie (afleidbaarheid).5 Zij f een functie en a ∈ R zodat f bestaat in een omgeving van a.6 De functie f noemt men afleidbaar in a als de volgende limiet bestaat in R: f (a + h) − f (a) lim h→0 h In dat geval noemt men de uitkomst van deze limiet de afgeleide van f in a, notatie f ′ (a) en we zeggen dat f ′ (a) bestaat.7 3 Modelvoorbeeld 1. Gegeven is de functie f (x) = −2x2 + 6x. (a) Bewijs met behulp van de definitie dat f afleidbaar is in x = 2. (b) Maak een schets waar je de meetkundige betekenis van f ′ (2) aanduidt.

Controleer je uitkomst met behulp van je grafische rekenmachine.

Oplossing.

Augustin-Louis Cauchy (1789 - 1857)

4 Het nadeel van de tweede werkwijze dat een macht van een tweeterm moet worden uitgeschreven, weegt niet op tegenover de twee hierboven geformuleerde voordelen.

5 Het begrip afgeleide werd voor het eerst geformuleerd door Isaac Newton 1671 (publ. 1736) [16] en (onafhankelijk?) door Gottfried Wilhelm Leibniz 1684 [15], doch in primaire vorm eerder ontwikkeld door Pierre de Fermat 1637 [9]. Bovenstaande herformulering is afkomstig van Cauchy 1821 [3], hoewel het voor een formele definitie van limiet wachten was tot Karl Weierstrass 1874.

Deze ontstond tijdens de aritmetisering van de analyse waarbij eerdere intuı̈tieve formuleringen werden gegrondvest. Voor de geschiedenis df van dat proces verwijzen we naar de bron [28]. De notatie dx is afkomstig van Leibniz 1684, de notatie f ′ (a) werd voor het eerst gebruikt door Joseph-Louis Lagrange 1797.

6 Met f bestaat in een omgeving van a bedoelen we dat er een R > 0 bestaat waarvoor ]a − R, a + R[ ⊆ dom f . Zo’n waarde a noemt men ook wel een inwendige waarde (of inwendig punt) van dom f . Het is dus zinloos om te spreken over de afgeleide van f in een nietinwendig punt van het domein, bijvoorbeeld als a een randwaarde (of randpunt) van dom f is: een niet-inwendig punt van dom f waarvoor er een R > 0 bestaat waarvoor ]a − R, a[ ⊆ dom f (linkerrandpunt) of ]a, a + R[ ⊆ dom f (rechterrandpunt).

7 Is f ′ (a) = / i.e. f is niet afleidbaar in a dan wordt a een singuliere waarde van dom f genoemd, en dan zeggen we dat het bijbehorende punt P (a, f (a)) ∈ graf f een singulier punt van de grafiek van f is.

VIII-6

Controle met de grafische rekenmachine.

MATH

8:nDeriv(

3 Eigenschap. Gegeven is een functie f en a ∈ dom f .

Als f afleidbaar is in a dan is de vergelijking van de raaklijn t in A(a, f (a)) aan de grafiek van f gelijk aan: t : y − f (a) = f ′ (a) · (x − a)

y

Bewijs. Stel dat f afleidbaar is in a, dan is (vul aan): (

rico t = . . .

A(a, f (a)) ∈ t.

Dus de vergelijking van de raaklijn t wordt gegeven door de formule van de vergelijking van een rechte door een punt P (x1 , y1 ) en met rico m (vul aan):

f (a)

t : y − y1 = m(x − x1 ) ⇒

rico t = . . .

A

y = f (x)

a

x

...

3 Modelvoorbeeld 2. Bepaal algebraı̈sch de vergelijking van de raaklijn in het punt P (−2, · ) aan de grafiek van 1 de functie f (x) = x3 . Controleer je uitkomst met behulp van je grafische rekenmachine.

3 Oplossing.

Controle met de grafische rekenmachine. Vervolledig de laatste schermafdruk: GRAPH

2ND

DRAW

5:Tangent

VIII-7

-2

ENTER

1.4

Continuı̈teit en afleidbaarheid

Het volgend resultaat toont aan dat afleidbaarheid een sterkere voorwaarde is dan continuı̈teit.

3 Stelling (continuı̈teit en afleidbaarheid).

Zij f een functie, a ∈ R en stel dat f afleidbaar is in a. Dan is f continu in a.

Bewijs. Omdat f afleidbaar is in a, bestaat f in een omgeving van a. Dus om te bewijzen dat f continu is in a, volstaat het om aan te tonen dat lim f (x) = f (a). Uit de afleidbaarheid van f in a volgt ook dat de limiet x→a

f (a + h) − f (a) bestaat en een reëel getal is, wat we zoals gewoonlijk met f ′ (a) noteren. Op die manier is lim h→0 h ã Å f (a + h) − f (a) f (a + h) − f (a) · h = lim · lim h = f ′ (a) · 0 = 0 lim (f (a + h) − f (a)) = lim h→0 h→0 h→0 h→0 h h zodat lim f (a + h) = f (a). Voeren we de substitutie x = a + h door, dan verkrijgen we h→0

lim f (x) = f (a) en

x−a→0

dus is lim f (x) = f (a). x→a

Het omgekeerde van de vorige stelling is niet waar: er bestaan functies die continu zijn in een x-waarde, maar die niet afleidbaar zijn in die x-waarde.8 Het klassieke voorbeeld komt in de volgende eigenschap aan bod.

3 Eigenschap. Beschouw de functie f (x) = |x|. Dan geldt: (a) f is continu in 0, (b) f is niet afleidbaar in 0.

Bewijs.

Het niet afleidbaar zijn van een functie in een x-waarde betekent dat voor die x-waarde de raaklijn aan de grafiek niet bestaat, of dat de raaklijn bestaat maar de rico van de raaklijn niet bestaat (verticale rechte). Dat kan vaak uit de grafiek worden afgelezen.

3 Modelvoorbeeld. Ga na welke van de volgende functies continu zijn in a en welke afleidbaar zijn in a.

(a)

y

(b) y = f (x)

a

y y = f (x)

a

x

x

Oplossing.

8 Er

bestaan zelfs functies die continu zijn in elke x ∈ R, maar die nergens afleidbaar zijn. Het eerste voorbeeld van zo’n functie werd geleverd door Karl Weierstrass in 1872 [23]. Veel tijdgenoten konden deze exotische functies niet appreciëren en bestempelden deze functies als zijnde pathologisch: ziekelijk, afwijkend, niet normaal meer.

VIII-8

1.5

Afgeleide functie

Met behulp van het begrip afgeleide wordt het raaklijnprobleem herleid tot het berekenen van een limiet. Om te vermijden dat we telkens limieten moeten berekenen, stellen we in wat volgt de zogenaamde afgeleide functie op.

Daarmee zullen we in het vervolg afgeleiden efficiënter kunnen berekenen.

3 Op ontdekking. Beschouw de functie f (x) = x2 +3. We berekenen de afgeleide van f in een aantal verschillende x-waarden (gebruik je grafische rekenmachine): x

−2

−1

0

1

2

f ′ (x)

...

...

...

...

...

Hiermee ontstaat een verband dat bij elke x-waarde hoogstens één y-waarde associeert, namelijk y = f ′ (x). We vermoeden dat in dit geval f ′ (x) = 2x. Dat vermoeden kunnen we met de grafische rekenmachine controleren: Y=

MATH

8:nDeriv(

2ND

TABLE

We kunnen het vermoeden dat f ′ (x) = 2x ook algebraı̈sch aantonen, door gebruik te maken van de definitie van afleidbaarheid. Neem a ∈ R willekeurig. Dan is (vul aan): f ′ (a) = lim h→0 | {z }

f (a + h) − f (a) = ... h

bestaat?

Omdat 2a ∈ R is f is afleidbaar in a en is f ′ (a) = 2a voor elke a ∈ R. Hieruit volgt dat inderdaad f ′ (x) = 2x.9 3 Definitie (afgeleide functie). Zij f een functie. De afgeleide functie van f is het verband dat bij elke x-waarde de y-waarde f ′ (x) associeert indien f afleidbaar is in x, en geen y-waarde associeert indien f niet afleidbaar is df dy in x. Naast f ′ (x) noteren we de afgeleide functie ook wel met y ′ of of of Df of Dy.10 dx dx 3 Modelvoorbeeld. Gegeven is de functie f (x) = −2x2 + 6x. Bepaal met behulp van de definitie van afleidbaarheid de afgeleide functie f ′ (x). Controleer je resultaat met behulp van je grafische rekenmachine.

Oplossing.

9 Voor concrete functies zoals f (x) = x2 + 3 schrijven we, naast f ′ (x) = 2x, gemakshalve maar eigenlijk onjuist (f (x))′ = 2x, dus ook (x2 + 3)′ = 2x. Voor de afgeleide in een welbepaalde x-waarde, bijvoorbeeld x = 7, schrijven we niet “(72 + 3)′ = 14” maar wel degelijk f ′ (7) = 14.

10 De notatie ẏ is afkomstig van Isaac Newton 1671 (publ. 1736) en wordt vooral in de natuurkunde gehanteerd. Merk op dat uit deze definitie van afgeleide functie volgt dat dom f ′ ⊆ dom f . Beide extremen kunnen voorkomen: voor sommige functies is dom f = dom f ′ (bijvoorbeeld f (x) = x2 + 3), bij andere functies geldt dom f ′ = ∅ (zie de voetnoot bij §1.4).

VIII-9

1.6

Stijgen en dalen, lokaal extremum

Is een functie f gegeven, dan is zijn afgeleide functie f ′ volledig bepaald door f . Omgekeerd bevat de afgeleide functie f ′ cruciale informatie over de functie f zelf. Dat verband zal leiden tot de belangrijkste toepassingen van afgeleiden, en zullen we in alle volgende hoofdstukken voortdurend gebruiken.

3 Op ontdekking. Gegeven is de functie f (x) = 2x2 +4x−6. Je kan met behulp van de definitie van afleidbaarheid nagaan dat f ′ (x) = 4x + 4. (a) Schets de grafiek van f en lees hieruit de tabel stijgen/dalen van f af. (b) Schets de grafiek van f ′ en lees hieruit de tekentabel f ′ af. (c) Vergelijk de tekentabel van f ′ met de tabel stijgen/dalen van f . Wat merk je op? Verklaar dit verband voor de x-waarde −2.

Oplossing.

Het verband dat we opgemerkt hebben in de op ontdekking hierboven, kan nu als volgt worden veralgemeend tot willekeurige functies.11 Een bewijs van deze stelling steunt op de zogenaamde middelwaardestelling van Lagrange (Bijlage B) en laten we achterwege.

3 Stelling (stijgen en dalen, lokaal extremum).

Zij f een functie en a ∈ R zodat f bestaat in een omgeving van a. ▷ Als f ′ bestaat en continu is in een omgeving van a en f ′ (a) ̸= 0 dan geldt:12 f is stijgend in een omgeving van a

⇔

f ′ (a) > 0

f is dalend in een omgeving van a

⇔

f ′ (a) < 0

▷ Als f ′ bestaat en continu is in een geperforeerde omgeving van a dan geldt:13 ® f bereikt een lokaal maximum of minimum in a

⇔

f ′ (a) = 0 of f ′ (a) bestaat niet f ′ wisselt van teken in a

11 In de literatuur wordt dit kenmerk doorgaans anders geformuleerd, bekend onder de naam stelling van de monotoniciteit [18]: is f een functie en I ⊆ dom f een open interval zodat f ′ (c) > 0 (resp. f ′ (c) < 0) voor alle c ∈ I dan is f stijgend (resp. dalend) over I. Een nadeel van deze formulering is dat de omgekeerde implicatie niet waar is. Zo geldt voor f (x) = x3 dat f stijgend is over I = ]−∞, +∞[ terwijl het niet zo is dat f ′ (c) > 0 voor alle c ∈ I. 12 Met f is stijgend in een omgeving van a bedoelen we formeel dat er een R ∈ R+ bestaat zodat f stijgend over interval ]a − R, a + R[ 0 is, i.e. ∀x1 , x2 ∈ ]a − R, a + R[ : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) (zie Deel Precalculus 1). Is f ′ (a) = 0 dan wordt a een stationaire waarde van f genoemd, en dan zeggen we dat het bijbehorende punt P (a, f (a)) ∈ graf f een stationair punt van de grafiek van f is.

13 Zeggen dat f ′ bestaat in een geperforeerde omgeving van a betekent dat f ′ bestaat in een omgeving van a behalve eventueel in a zelf, ′ formeel: ∃R ∈ R+ 0 : ]a − R, a + R[ \ {a} ⊆ dom f . Een geperforeerde omgeving van a wordt ook wel een verminderde omgeving van a, verwijderde omgeving van a of doorprikte omgeving van a genoemd.

VIII-10

1.7

Hol en bol, buigpunt

Is f een functie, dan noteren we de afgeleide functie als f ′ . Van deze laatste kunnen we op zijn beurt de afgeleide functie beschouwen: (f ′ )′ . Deze functie wordt de tweede afgeleide functie van f genoemd, die we voortaan korter zullen noteren als f ′′ .14 In deze laatste paragraaf bespreken we het verband tussen de tweede afgeleide functie f ′′ en de oorspronkelijke functie f .

3 Op ontdekking. Gegeven is de functie f (x) = x3 . Je kan met behulp van de definitie van afleidbaarheid nagaan dat f ′ (x) = 3x2 en f ′′ (x) = 6x. (a) Schets de grafiek van f en lees hieruit de tabel hol/bol van f af.15 (b) Schets de grafiek van f ′′ en lees hieruit de tekentabel f ′′ af. (c) Vergelijk de tekentabel van f ′′ met de tabel hol/bol van f . Wat merk je op? Verklaar dit verband voor de x-waarde 2.

Oplossing.

De bevindingen die we in de vorige op ontdekking gemaakt hebben, worden in de stelling hieronder geformuleerd.16 Ook nu steunt een bewijs op de middelwaardestelling van Lagrange (Bijlage B).

3 Stelling (hol en bol, buigpunt). Zij f een functie en a ∈ R zodat f bestaat in een omgeving van a. ▷ Als f ′′ bestaat en continu is in een omgeving van a en f ′′ (a) ̸= 0 dan geldt:17 f is hol (of convex) in een omgeving van a

⇔

f ′′ (a) > 0

f is bol (of concaaf) in een omgeving van a

⇔

f ′′ (a) < 0

▷ Als f ′′ bestaat en continu is in een geperforeerde omgeving van a dan geldt:18 ® f bereikt een buigpunt in a

⇔

f ′′ (a) = 0 of f ′′ (a) bestaat niet f ′′ wisselt van teken in a 2

2

2

d y d f 2 2 f ′′ (x) noteren we de tweede afgeleide functie ook wel met y ′′ of ddxf2 of dx 2 of D f of D y. De notatie dx2 valt als volgt te begrijpen: het proces neem de afgeleide van dat bij elke functie f de functie f ′ associeert, is wat we in wiskunde de differentiaaloperator df d noemen, notatie dx . Op die manier wordt de afgeleide functie f ′ = dx van een functie f opgevat als het resultaat van f onder de differentid d aaloperator df , i.e. dx (f ). Het proces neem de tweede afgeleide van kan nu worden gezien als de samenstelling van de differentiaaloperator Ä ä Ä ä d2 f d d d d d2 ◦ dx (f ) = dx (f ) = (dx) met zichzelf. Toegepast op een functie f wordt dit logischerwijze genoteerd als dx 2 (f ) = dx2 . dx 15 Een deel van de grafiek van f heeft een holle vorm (resp. bolle vorm) als voor elke twee verschillende punten P en Q op dat deel van de grafiek geldt dat [P Q] boven (resp. onder) dat deel van de grafiek ligt, op de randpunten P en Q na. Een punt van de grafiek waarin een overgang van hol naar bol of van bol naar hol wordt gemaakt, benoemen we als een buigpunt.

16 Ook dit criterium wordt doorgaans anders geformuleerd, namelijk als de stelling van de concaviteit [18]: is f een functie en I ⊆ dom f een open interval zodat f ′′ (c) > 0 (resp. f ′′ (c) < 0) voor alle c ∈ I dan is f convex (resp. concaaf) over I. Ook deze formulering heeft als nadeel dat de omgekeerde implicatie vals is. Zo geldt voor f (x) = x4 dat f convex is over I = ]−∞, +∞[ terwijl het niet zo is dat f ′′ (c) > 0 voor alle c ∈ I. 17 Met f convex in een omgeving van a bedoelen we formeel dat er een R ∈ R+ bestaat zodat f convex over interval ]a − R, a + R[ is, 0 Ä ä f (x1 )+f (x2 ) 2 i.e. ∀x1 , x2 ∈ ]a − R, a + R[ : x1 < x2 ⇒ f x1 +x < .

De term convex werd met de volgende beweegredenen gekozen. In 2 2 de euclidische meetkunde is een verzameling of object convex als voor ieder tweetal punten van die verzameling het lijnstuk dat deze twee punten verbindt, geheel binnen de verzameling ligt. Bij een functie f en een open interval I ⊆ dom f beschouwen we nu de zogenaamde epigraaf van graf f over I: dat is de verzameling van alle punten die op of boven de grafiek beperkt tot I liggen [29]. Dan is die epigraaf van graf f over I een convexe verzameling precies wanneer de functie f convex over I is.

18 Zij f een functie en c ∈ dom f een inwendige waarde van dom f . Dan bereikt (de grafiek van) f een buigpunt in a indien er een R ∈ R+ 0 bestaat waarvoor geldt dat ofwel f convex is over ]a − R, c[ en f concaaf is over ]c, c + R[, ofwel f concaaf is over ]c − R, c[ en f convex is over ]c, c + R[.

14 Naast

VIII-11

Oefeningen 1 Het begrip afgeleide

Basis ⋆

⋆⋆

Verdieping ⋆ ⋆⋆

1.1 Raaklijn in een punt aan een kromme 1.2 Gemiddelde en ogenblikkelijke hellingsgraad

1

2 3

4 5

1.3 Afleidbaarheid en berekenen van afgeleiden 1.4 Continuı̈teit en afleidbaarheid

6

7

8

9

1.5 Afgeleide functie 1.6 Stijgen en dalen, lokaal extremum 1.7 Hol en bol, buigpunt

11 12 13

14 15 16

17 18

19 20

Uitbreiding ⋆ ⋆⋆

10

Oefeningen bij §1.1 en §1.2 B

Oefening 1. Bereken bij elke functie de gevraagde afgeleide met behulp van je grafische rekenmachine. (a) f (x) = x3 − 7x + 200

f ′ (1) = . . .

(b) f (x) = x3

f ′ (0) = . . .

(c)

f (x) =

x2 − 4x 2x + 1

f ′ (3) = . . . f ′ (−1) = . . .

(d) f (x) = tan(2x) B⋆

Oefening 2. Bereken bij elke functie de gevraagde afgeleide met behulp van je grafische rekenmachine. Maak telkens een schets van de grafiek van f waarop je de meetkundige betekenis van de gevraagde afgeleide aanduidt. (a) f (x) = x2

f ′ (−2) = . . .

(b) f (x) = x

f ′ (1) = . . .

1 x

f ′ (3) = . . .

(c)

f (x) =

f ′ (2) = . . .

(d) f (x) = ln(x) (e)

f ′ (0) = . . . π = ... f′ 2

f (x) = 3x

(f) f (x) = sin x B⋆

Oefening 3. Gegeven is de functie f (x) = −0, 2x3 + x2 − 3.

(a) Bereken de gemiddelde hellingsgraad tussen x = −2 en x = 1. Gebruik de correcte notatie. (b) Maak een schets van de grafiek van f waarop je de meetkundige betekenis van die gemiddelde hellingsgraad aanduidt.

B⋆⋆

Oefening 4. Gegeven is de functie f (x) = x3 . Bereken met behulp van de definitie (a) de gemiddelde hellingsgraad tussen x = −1 en x = 3, (b) de ogenblikkelijke hellingsgraad in x = −1.

Hanteer de correcte notaties. Maak telkens een schets waarop je de meetkundige betekenis aanduidt.

B⋆⋆

Oefening 5. Een motorrijder maakt een rit van twee uur. De afgelegde weg s (in kilometer) op tijdstip t (in uur) wordt gegeven door s(t) = −42t3 + 130t2

met 0 ≤ t ≤ 2.

(a) Bereken algebraı̈sch de gemiddelde snelheid van de motorrijder gedurende de volledige rit. (b) Bereken algebraı̈sch de ogenblikkelijke snelheid van de motorrijder op tijdstip t = 1. (c) Maak een schets van de grafiek van f waarop je de meetkundige betekenis van (a) en de meetkundige betekenis van (b) aanduidt.

VIII-12

Oefeningen bij §1.3 en §1.4 B

Oefening 6. Ga telkens na of de functie f continu is in x = 1 en of de functie afleidbaar is in x = 1. Geef indien mogelijk ook de afgeleide van f in x = 1. (a)

(b)

y

(c)

y

y graf f

2

graf f

2

2

1

1

graf f 1

−2

−1

1

2

x

−1

−2

−1

−2

1

2

x

−1

−2

−1

−2

(d)

1

x

−1 −2

(e)

y

2

(f)

y

y graf f

−2

−1

2

2

2

1

1

1

1

x

−1 −2

B⋆

2

−2

graf f

−1

1

2

x

−1 −2

−2

−1

graf f

1 −1 −2

Oefening 7. Gegeven is de functie f (x) = 3x2 − 2x + 8. (a) Bewijs met behulp van de definitie dat f afleidbaar is in x = −1. (b) Maak een schets van de grafiek van f waarop je de meetkundige betekenis van f ′ (−1) aanduidt.

B⋆⋆

Oefening 8. Gegeven is de functie f (x) =

1 . x

(a) Schets de grafiek van f samen met de raaklijn in A(2, · ) aan de grafiek van f . (b) Bepaal algebraı̈sch de vergelijking van de raaklijn in het punt A aan de grafiek van f .

V

Oefening 9. Gegeven is de functie f (x) =

√

x.

(a) Schets de grafiek van f samen met de raaklijn in A(4, · ) aan de grafiek van f . (b) Bepaal algebraı̈sch de vergelijking van de raaklijn in het punt A aan de grafiek van f .

V⋆

Oefening 10. Beschouw de functie f (x) =

√ 3

x.

(a) Bepaal met behulp van je grafische rekenmachine de afgeleide van f in x = 0. (b) Is de functie f afleidbaar in x = 0? Bewijs je vermoeden!

VIII-13

2

x

Oefeningen bij §1.5, §1.6 en §1.7 B

Oefening 11. Gegeven is de grafiek van een functie f (links). Schets de grafiek van de afgeleide functie f ′ (rechts).

y

y y = f ′ (x) y = f (x)

2

2

1

−2

−1

1

1

2

x

−2

−1 −2

B

−1

1

2

x

−1 −2

Oefening 12. Waar of vals? Beoordeel de volgende uitspraken. Maak gebruik van je grafische rekenmachine. (a) Als f (x) = 3x2 dan is f ′ (x) = 6x. (b) Als f (x) = x4 − 3x3 + 2 dan is f ′ (x) = 4x3 − 9x2 . (c) Als f (x) = 2x dan is f ′ (x) = x · 2x−1 . (d) Als f (x) = cos x dan is f ′ (x) = sin x.

B

Oefening 13. Gegeven is de functie f (x) = (a) Geef f ′ (2).

x2 .

98 − x

(b) Is f stijgend of dalend in een omgeving van 2? Verklaar je antwoord.

B⋆

y

Oefening 14. Op nevenstaand assenstelsel zijn de grafieken van de eerste en de tweede afgeleide functie van een functie f getekend.

3

(a) Bepaal alle x-waarden waarvoor f stijgend is in een omgeving van x.

2

(b) Bepaal de abscis van het buigpunt van f .

1

(c) Bepaal de rico van de raaklijn in het buigpunt van f aan de grafiek van f .

−4

Leg telkens uit hoe je het antwoord gevonden hebt.

−3

−2

−1

1

2

x

3

−1 −2 −3

f B⋆

′

−4

Oefening 15. Gegeven is de functie f (x) = −x2 − 5x + 8. (a) Bepaal met behulp van de definitie van afleidbaarheid de afgeleide functie van f . (b) Bepaal algebraı̈sch de rico van de raaklijn in het punt P (2, 6) aan de grafiek van f .

VIII-14

f ′′

B⋆

y

Oefening 16. Nevenstaande figuur toont de grafiek van een functie f en de raaklijn in P (0, −1) aan de grafiek van f .

f

(a) Lees de afgeleiden f ′ (−1/2), f ′ (0) en f ′ (1) af.

1

(b) Bepaal de tekentabel van de eerste afgeleide van f . (c) Bepaal de tekentabel van de tweede afgeleide van f .

B⋆⋆

−1

Oefening 17. Gegeven is de functie

1

f (x) = −x2 + 6x − 4.

x

2

−1

(a) Bereken met behulp van de definitie (indien mogelijk) de afgeleide van f in 5. Gebruik de correcte notatie.

−2

(b) Kun je uit (a) besluiten of de functie f stijgend of dalend is in een omgeving van x = 5? Verklaar!

t

(c) Maak een schets van de grafiek van f waarop je de meetkundige betekenis van f ′ (5) aanduidt.

(d) Bepaal algebraı̈sch de vergelijking van de raaklijn in het punt (5, · ) aan de grafiek van f .

B⋆⋆

Oefening 18. Gegeven is de functie f (x) = 5x2 − 2x + 3. (a) Bepaal met behulp van de definitie van afleidbaarheid de afgeleide functie f ′ (x). Controleer je resultaat met behulp van je grafische rekenmachine. (b) Bepaal algebraı̈sch de vergelijking van de raaklijn in het punt P (−2, ·) aan de grafiek van de functie f .

V

Oefening 19. Voor een functie f wordt de grafiek van de afgeleide functie f ′ gegeven (links). Schets een mogelijke grafiek van f (rechts).

y

y ′

y = f (x)

−2

V

−1

1

2

y = f (x)

x

−2

Oefening 20. Gegeven is de grafiek van de afgeleide van een functie f . Welke uitspraak is waar? Verklaar je antwoord!

−1

1

y f

′

2

(A) De functie f bereikt een lokaal minimum in x = −3.

1

(B) De functie f bereikt een lokaal maximum in x = p.

p

(C) De functie f bereikt een lokaal maximum in x = q.

(D) De functie f bereikt een lokaal maximum in x = 3.

(E) Geen van de voorgaande antwoorden is juist.

−3

−2

−1

1 −1 −2

VIII-15

x

2

q

2

3

x

His positis calculi regulae erunt tales: Gottfried Wilhelm Leibniz, 1684 [15]

Hoofdstuk 2

Afgeleiden van veeltermfuncties In Precalculus 1 en 2 hebben we enkele bijzondere soorten functies bestudeerd: veeltermfuncties, rationale en irrationale functies, exponentiële en logaritmische functies, en ten slotte goniometrische en cyclometrische functies. In de volgende hoofdstukken leren we hiervan de afgeleide functie berekenen. Dat doen we door rekenregels op te stellen. Daarna komen telkens de toepassingen aan bod.

2.1

Rekenregels y

3 Op ontdekking. Gegeven is de functie f (x) = 2. (a) Teken op nevenstaand assenstelsel de grafiek van f .

2

(b) Lees op de grafiek van f de rico van de raaklijn in de xwaarden −1, 1 en 3 af.

1

(c) Wat betekent dit voor de afgeleiden f ′ (−1), f ′ (1) en f ′ (3)?

(d) Waaraan is de afgeleide functie f ′ (x) vermoedelijk gelijk?

−2

Oplossing.

−1

1

2

−1 −2

3 Rekenregel 1 (afgeleide van een constante).

Als f (x) = c (met c ∈ R) dan is f ′ (x) = 0.

c′ = 0

Bewijs. Neem a ∈ R willekeurig. Dan is f ′ (a) = lim

h→0

f (a + h) − f (a) h

= ...

Hieruit besluiten we dat f ′ (x) = 0.

Voorbeelden. Bereken telkens de afgeleide functie.

13 7

(a)

f (x) = −

(b)

y=

(c)

f (x) = sin(1, 23)

(d)

f (x) = 237

√

2

f ′ (x) = . . . y′ = . . . f ′ (x) = . . . df = ... dx VIII-16

x

y

3 Op ontdekking. Gegeven is de functie f (x) = x. (a) Teken op nevenstaand assenstelsel de grafiek van f .

2

(b) Lees op de grafiek van f de rico van de raaklijn in de xwaarden −1, 1 en 3 af.

1

(c) Wat betekent dit voor de afgeleiden f ′ (−1), f ′ (1) en f ′ (3)?

(d) Waaraan is de afgeleide functie f ′ (x) vermoedelijk gelijk?

−2

Oplossing.

−1

1

2

x

−1 −2

3 Rekenregel 2 (afgeleide van de identieke functie).

Als f (x) = x dan f ′ (x) = 1.

x′ = 1

Bewijs. Neem a ∈ R willekeurig. Dan is f ′ (a) = . . .

Voorbeeld. Beschouw de functie f (t) = t. Bepaal telkens de afgeleide functie naar de aangegeven variabele. (a)

df = ... dt

(b)

df = ... dx

3 Rekenregel 3 (afgeleide van een som).1 Zij f en g functies. Dan is (f + g)′ (x) = f ′ (x) + g ′ (x).

′

(□ + △) = □′ + △′

Bewijs. Neem a ∈ R willekeurig. We moeten aantonen dat (f + g)′ (a) = f ′ (a) + g ′ (a).

Welnu,

(f + g)′ (a) = . . .

Voorbeelden. Bereken en vereenvoudig telkens de afgeleide functie. (a)

f (x) = x + 7

(b)

y = 3x

(c)

f (x) = 7, 3 x

f ′ (x) = . . . y′ = . . . f ′ (x) = ?

1 Met de gelijkheid van functies (f + g)′ (x) = f ′ (x) + g ′ (x) wordt voluit bedoeld: als voor een a ∈ R het rechterlid f ′ (a) + g ′ (a) bestaat, dan bestaat ook het linkerlid (f + g)′ (a) en dan is rechterlid gelijk aan linkerlid. Meer formeel: als f en g beide afleidbaar zijn in a ∈ R, dan is ook f + g afleidbaar in a en dan is (f + g)′ (a) = f ′ (a) + g ′ (a). Ook bij volgende rekenregels die gelijkheden van functies uitdrukken, schuilt een soortgelijke betekenis en de bewijzen van die rekenregels kunnen ook telkens in die zin worden geı̈nterpreteerd.

VIII-17

3 Op ontdekking. Hoe kunnen we de afgeleide van een product berekenen? ? ▷ Is (□ · △)′ = □′ · △′ ?

? x′ 3′ · |{z} We gaan dit na met een voorbeeld van hierboven: (3 · x)′ = |{z} | {z } ...

′

′

...

...

′

▷ Wel is (□ · △) = □ · △ + □ · △ . !

En inderdaad, zo is (3 · x)′ = |3′{z· x} + |3 {z · x}′ | {z } ...

...

...

3 Rekenregel 4 (afgeleide van een product).

′

Zij f en g functies. Dan is (f · g)′ (x) = f ′ (x) · g(x) + f (x) · g ′ (x).

(□ · △) = □′ · △ + □ · △′

Bewijs. Neem a ∈ R willekeurig. We moeten aantonen dat (f · g)′ (a) = f ′ (a) · g(a) + f (a) · g ′ (a).

Welnu,

(f · g)′ (a) = . . .

′

(c · △) = c · △′

Voorbeelden. Bereken en vereenvoudig telkens de afgeleide functie. (a) f (x) = 7, 3 x

(c) f (x) = x2

(b) f (x) = (x + 3)(6 + 5x)

(d) y = x3

′

3 Gevolg. Als f (x) = xn (met n ∈ N0 ) dan is f ′ (x) = nxn−1 .

(xn ) = nxn−1

Bewijs. Herschrijven we f (x) = xn = x | · x{z· · · x} dan vinden we door Rekenregel 4 herhaaldelijk toe te passen: n keer

f ′ (x) = x′ · |x · x{z· · · x} n − 1 keer

= xn−1 |

+

x · x′ · x · · x} |{z} | ·{z

+

n − 1 keer

+ xn−1

{z

n keer

= nxn−1 .

VIII-18

+

′ x | · x{z· · · x} · x

···

+

···

+ xn−1 }

n − 1 keer

3 Op ontdekking. Bereken de afgeleide functie van f (x) = (7x + 1)3 .

Oplossing. Herschrijven we f (x) = (7x + 1)3 = (7x + 1) · (7x + 1) · (7x + 1) dan vinden we door de rekenregel afgeleide van een product herhaaldelijk toe te passen (vul aan en werk uit): f ′ (x) = . . .

Door in het eindantwoord de factor 7 terug te schrijven als (7x − 1)′ herkennen we een algemene regel om de afgeleide van een macht van een functie met een natuurlijke exponent te berekenen.

3 Rekenregel 5 (afgeleide van een macht met natuurlijke exponent).2 ′

′

Zij f een functie en n ∈ N0 . Dan is (f n ) (x) = nf (x)n−1 · f ′ (x).

(□n ) = n □n−1 · □′

Bewijs. Herschrijven we f (x)n = f (x) · f (x) · · · f (x) | {z } n keer

dan vinden we door de rekenregel afgeleide van een product herhaaldelijk toe te passen: ′

(f (x)n ) = f ′ (x) · f (x) · f (x) · · · f (x) + {z } | n − 1 keer

= f (x)n−1 · f ′ (x) |

= nf (x)n−1 · f ′ (x).

+

f (x) ·f ′ (x) · f (x) · · · f (x) | {z } |{z}

+

···

+

n − 1 keer

f (x)n−1 · f ′ (x) {z

f (x) · f (x) · · · f (x) ·f ′ (x) {z } | n − 1 keer

+

n keer

···

+ f (x)n−1 · f ′ (x) }

3 Modelvoorbeeld. Bereken en vereenvoudig telkens de afgeleide functie. (a) y = (1 − 5x)6

(c) f (x) = x5 (x2 − 7x)10

(b) f (u) = (3u − u3 + 2)4

(d) f (x) = 137

Oplossing.

2 Strikt genomen dient men eerst een functie af te leiden alvorens een functiewaarde van de afgeleide kan worden beschouwd, zodat (f (x)n )′ eigenlijk genoteerd moet worden als (f n )′ (x).

VIII-19

2.2

Toepassingen

Intuı̈tief kun je de raaklijn in een punt P aan de grafiek van een functie f opvatten als de rechte die door P gaat en die in P dezelfde richting heeft als de grafiek. De loodlijn tussen P en de raaklijn wordt de normaal in dat punt P aan de grafiek van f genoemd.3 3 Modelvoorbeeld 1 (raaklijn en normaal). ã Å 1 9 .

Gegeven is de functie f (x) = x2 en het punt P 3, 5 5 (a) Bepaal algebraı̈sch de vergelijking van de raaklijn t in het punt P aan de grafiek van f . (b) Bepaal algebraı̈sch de vergelijking van de normaal n in het punt P aan de grafiek van f .

Maak tevens een schets van de grafiek van f waarop je alle relevante objecten aanduidt. Controleer nadien met behulp van je grafische rekenmachine.

Oplossing.

Controle met de grafische rekenmachine.

Y=

ZOOM

5:ZSquare

2ND

DRAW

5:Tangent

3 De naam normaal is afkomstig van het schietlood, een instrument in de bouw om de loodrechte neerwaartse richting, de loodlijn, te bepalen. Een paal of muur staat in het lood als ze de richting van het schietlood volgen, dus loodrecht op het aardoppervlak staan [29].

VIII-20

Heel wat verschijnselen rondom ons kun je beschrijven met een wiskundig model, met als doel de verschijnselen te onderzoeken en voorspellingen te doen. In zo’n wiskundig model staat het begrip functie centraal. Zo worden wiskundige modellen met functies specifiek gebruikt in onder andere ▷ fysica: valsnelheid in functie van de tijd, ▷ milieukunde: de gemiddelde temperatuur in functie de hoeveelheid CO2 dat jaarlijks uitgestoten wordt, ▷ bosbouw: de hoogte van een eik in functie van het aantal jaren na aanplant, ▷ sociologie: het aantal mensen dat op de hoogte is van een gerucht in functie van de tijd na het lanceren ervan.

Eens we zo’n functie f kennen, dan kunnen we ons afvragen wat de snelheid op een bepaald tijdstip t is: de mate waarin de beschreven grootheid op tijdstip t toeneemt. In Toepassing 2 van Hoofdstuk 1 hebben we laten zien dat die snelheid op tijdstip t gelijk is aan de ogenblikkelijke hellingsgraad (of afgeleide) van f in dat tijdstip t, notatie f ′ (t).

Bondig geschreven: 1 1 mate van de toename = snelheid = afgeleide x x Kan een grootheid uitgedrukt worden met een andere grootheid, dan kan blijkbaar ook de afgeleide van de ene grootheid worden uitgedrukt met de andere grootheid.4 We spreken dan van verwante snelheden. In het volgend modelvoorbeeld zullen we een voorbeeld van zo’n verwantschap concreet bepalen. ⋆ Modelvoorbeeld 2 (verwante snelheden). Bij het gooien van een steen in het water vormen zich cirkelvormige waterkringen die zich uitbreiden over het ganse wateroppervlak. Stel dat de straal van zo’n kring, 2 seconden na z’n ontstaan, vier meter is en dat de straal op dat moment toeneemt met een snelheid van 1, 5 meter per seconde. (a) Noem r(t) de straal (in meter) van de kring in functie van de tijd t. Druk de drie gegevens uit met behulp van deze functie r(t). (b) Welke van de volgende voorstellen voor de functie r(t) voldoen aan de drie gegevens die je in (a) geformuleerd hebt en kunnen dus, enkel met kennis van deze gegevens, een mogelijk wiskundig model zijn? r(t) = 1, 5 t + 1

r(t) = −0, 25 t2 + 2, 5 t

r(t) = −0, 0625 t3 + 2, 25 t

r(t) = −0, 625 t3 + 2, 25 t2

(c) Noem A(r) de oppervlakte van de kring in functie van de straal r. Bepaal de functie A(r). (d) Noem A(t) de oppervlakte van de kring in functie van de tijd t. Kunnen we de functie A(t) bepalen? (e) Bereken voor de functie A(t) de afgeleide A′ (2). (f) Wat is de fysische betekenis van het getal A′ (2)?

Oplossing.

4 Noemen we de grootheden h en f waarbij h kan worden uitgedrukt als functie g in f , dan is dus h = g(f ) zodat h(t) = g(f (t)). Wegens de zogenaamde kettingregel (zie Bijlage A) is dan h′ (t) = g ′ (f (t)) · f ′ (t). Dit drukt de verwantschap tussen de snelheden h′ (t) en f ′ (t) uit.

VIII-21

Is een functie f gegeven, dan bevat de tekentabel van de (eerste) afgeleide functie f ′ informatie over het stijgen en dalen van de grafiek van f (zie Hoofdstuk 1). De kromming van de grafiek van f (hol en bol) wordt afgelezen uit de tekentabel van de tweede afgeleide functie f ′′ . Door met behulp van de rekenregels de afgeleide functies f ′ en f ′′ van een veeltermfunctie f te berekenen, kunnen we de grafiek van f correct schetsen zonder gebruik te maken van de grafische rekenmachine.5 3 Modelvoorbeeld 3 (verloop van een veeltermfunctie).

Gegeven is de functie f (x) = 3x4 − 8x3 + 6x2 . (a) Bepaal algebraı̈sch alle x-waarden waarvoor de grafiek van f stijgend/dalend is. (b) Bepaal algebraı̈sch alle x-waarden waarvoor de grafiek van f hol/bol is. Maak ook een samenvattende tabel. (c) Maak een correcte schets van de grafiek van f . Duid hierbij alle resultaten aan die je in de vorige vragen verkregen hebt. Controleer met behulp van je grafische rekenmachine.

Oplossing.

5 Met

een correcte schets bedoelen we in deze context dat in elk punt van de geschetste grafiek de kromming juist is: stijgend en convex (hol), dalend en convex, stijgend en concaaf (bol) of dalend en concaaf. Daarnaast moeten de x-waarden van alle eventuele extrema en buigpunten aangeduid worden. Daar je in voorafgaande vragen algebraı̈sch werkt, hoor je van zo’n x-waarde de exacte waarde te geven.

VIII-22

Bij een extremumprobleem wordt gevraagd om na te gaan wanneer iets zo groot mogelijk (maximaal) of zo klein mogelijk (minimaal) is. Een maximum of een minimum wordt ook wel een extremum genoemd. Zo’n extremumprobleem kun je algebraı̈sch oplossen door de stappen hieronder te volgen.

(1) Verken betekent: maak een tekening, een schets, een tabel of geef enkele voorbeelden zodat je het probleem beter begrijpt. Pas als je echt door hebt wat er gegeven is en wat er gevraagd wordt, kun je overgaan naar de volgende stap.

(2) Stel de vraag Voor welke . . . is . . . . . . maximaal of minimaal? Het eerste is de onbekende x, het tweede is het functievoorschrift f (x). Zijn er twee onbekenden, dan moet je op zoek gaan naar een verband tussen de onbekenden. Dat staat vaak verborgen in de opgave van het vraagstuk (gegevens).

(3) Maak tabel stijgen/dalen van f Dat doe je door de tekentabel van f ′ (x) op te stellen. Daarbij moet je rekening houden met het praktisch domein: de kleinst en grootst mogelijke waarde van x moeten in je tabel vermeld staan.

(4) Antwoord formuleren in een volzin. Let op de eenheden!

Extremumprobleem (1) Verken

(2) Stel de vraag

(3) Maak tabel stijgen/dalen

(4) Antwoord

(5) Controleer eventueel door jouw antwoord te toetsen aan de opgave van het extremumprobleem.

De volgende modelvoorbeelden laten zien hoe bij een oefening deze stappen concreet toepast. Het eerste modelvoorbeeld kwam al aan bod in het vierde jaar, als toepassing op tweedegraadsfuncties. Het tweede modelvoorbeeld lijkt op een extremumprobleem uit het vijfde jaar, die je toen enkel met behulp van je grafische rekenmachine kon aanpakken.

(5) Controleer

3 Modelvoorbeeld 4 (extremumprobleem). Van een positief reëel getal trekken we zijn kwadraat af. Wanneer is dit verschil zo groot mogelijk? Wat is dit verschil dan? Los algebraı̈sch op.

Oplossing.

(1) Verken Schrijf enkele voorbeelden op.

(2) Stel de vraag Voor welke . . . . . . is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . maximaal/minimaal?

Dus functie = . . .

(3) Maak tabel stijgen/dalen van f

(4) Antwoord VIII-23

3 Modelvoorbeeld 5 (extremumprobleem).

Van een rechthoekig stuk karton met afmetingen 20 cm op 10 cm snijdt men in elke hoek een vierkant met zijde x weg en plooit men het karton langs de stippellijnen, om zo de doos zonder deksel rechts te verkrijgen. Voor welke x is de inhoud van de doos maximaal? Los algebraı̈sch op. Controleer met behulp van je grafische rekenmachine.

20 cm x

10 cm

x x

x

Oplossing.

VIII-24

Oefeningen 2 Afgeleiden van veeltermfuncties

Basis ⋆

2.1 Rekenregels

1

2.2 Toepassingen

11 19 6 20 27

3 7 15 18 23 26

Verdieping ⋆ ⋆⋆

⋆⋆ 8 4 13 14 25

17 9 24

5 16 10

Uitbreiding ⋆ ⋆⋆

21 22 28 29

30

31

Oefeningen bij §2.1 B

Oefening 1. Bereken telkens de afgeleide functie. f (x) = (x + 1)(x − 1) + x3

(1) y = 2022

(9)

(2) f (x) = 2022x

(10) f (x) = x2022

(3) y = 3x − 2

(11) f (x) = 12x13

(4) f (u) = −12u + 24x

(12) f (x) = (x2 − 3)(2x3 + 12x − 1)

(5) f (x) = −12u + 24x

(13) f (t) = t2 (t2 + 4)(3t3 − 11)

(6) y =

3x − 17 5

(14) y = x(x − 12)(2x4 − 5x + 10)

(7) y = (3x − 2)(x + 2)

(15) y = (x2 − 7x + 2)3

(8) f (x) = (−2x + 11)(3x + 4)

(16) f (x) = (2x3 − 5x + 1)(x2 − 1)4 − 1218

Oefeningen bij §2.2 K

1 Oefening 2. Gegeven is de veeltermfunctie f (x) = x3 + 3x2 − 7x + 8. Bepaal algebraı̈sch de punten P ∈ graf f 3 waarvoor de raaklijn in P aan de grafiek van f horizontaal is.

B⋆

Oefening 3. Gegeven is de functie f (x) = (x − 3)(x2 + 1). Bepaal algebraı̈sch de punten P ∈ graf f waarvoor de 5 raaklijn in P aan de grafiek van f evenwijdig is met de rechte a : y = − x + 3.

4

B⋆⋆

Oefening 4. Gegeven zijn de functies f (x) =

3 2 x 8

en

g(x) = 4x −

5 3 x .

24

Bepaal de punten P (a, f (a)) en Q(a, g(a)) waarvoor de raaklijn in P aan de grafiek van f evenwijdig is met de raaklijn in Q aan de grafiek van g. Controleer met behulp van je grafische rekenmachine.

V⋆

Oefening 5. Wanneer men zand vanop een zekere hoogte laat vallen, vormt er zich een kegel waarbij de hoogte altijd 4 gelijk is aan van de straal van het grondvlak. Als de straal van het grondvlak 3 m is en toeneemt met een snelheid 3 1 van m/min, hoe snel vergroot dan het volume (in m3 /min) van de hoop zand?

4

B

Oefening 6. Gegeven is de functie f (x) = 3x4 −2x+72 . Bereikt graf f een buigpunt in P (0, 49)? Verklaar algebraı̈sch.

B⋆

Oefening 7. Gegeven is de functie f (x) = 2x3 − 6x. (a) Bepaal algebraı̈sch alle x-waarden waarvoor de grafiek van f stijgend/dalend is. (b) Bepaal algebraı̈sch alle x-waarden waarvoor de grafiek van f hol/bol is. Maak ook een samenvattende tabel. (c) Maak een correcte schets van de grafiek van f voorzien van alle informatie die je in (a) en (b) verkregen hebt.

VIII-25

B⋆⋆

Oefening 8. Gegeven is de functie f (x) = x4 − 6x2 + 8. (a) Bepaal algebraı̈sch alle x-waarden waarvoor de grafiek van f stijgend/dalend is. (b) Bepaal algebraı̈sch alle x-waarden waarvoor de grafiek van f hol/bol is. Maak ook een samenvattende tabel. (c) Maak een correcte schets van de grafiek van f voorzien van alle informatie die je in (a) en (b) verkregen hebt.

V

Oefening 9. Gegeven is een tweedegraadsfunctie f (x) = ax2 + bx + c met a, b, c ∈ R en a ̸= 0. Bewijs met behulp b van afgeleiden dat f een lokaal extremum bereikt in x = − .

2a

V⋆

Oefening 10. Bepaal het voorschrift Ç√ åvan de vierdegraadsfunctie die voor x = 1 een relatief minimum y = 5 bereikt, 3 49 wiens grafiek in het punt P , een buigpunt heeft en waarvoor de raaklijn in het punt (0, f (0)) aan de grafiek 3 9 van f horizontaal is.

B

Oefening 11. Voor welke x-waarde(n) is 6x4 − 56x3 + 147x2 maximaal? Bepaal algebraı̈sch en controleer grafisch.

K

Oefening 12. Een bedrijf produceert kalmeringsmiddelen. De totale kosten voor de productie van q dozen wordt gegeven door K = q 2 + 10q + 600.

Marktonderzoek heeft uitgewezen dat, teneinde een volledige afzet te hebben, men de verkoopprijs p van een doos best instelt op p = 110 − 2q. Bepaal algebraı̈sch hoeveel dozen men moet produceren opdat de winst maximaal is.

B⋆⋆

Oefening 13. Een kampeerder heeft de toelating gekregen om langs de oever van een rivier een rechthoekig terrein af te spannen (op die plaats vertoont de rivier geen bochten). Hij heeft een koord van 40 m. Bereken algebraı̈sch de lengte l en de breedte b opdat de oppervlakte zo groot mogelijk zou zijn. Aan de oever van de rivier hoeft geen draad gespannen te worden.

B⋆⋆

Oefening 14. Een atletiekpiste heeft een omtrek van 400 m. Ze bestaat uit twee rechte stukken en twee halve cirkels.

Bepaal algebraı̈sch de afmetingen van de piste waarvoor de rechthoek binnen de piste een zo groot mogelijke oppervlakte heeft. Hoeveel bedraagt deze maximale oppervlakte?

B⋆

Oefening 15. Een meubelfabrikant produceert tuinmeubelen. Voor een designtafel hangt de prijs af van de hoeveelheid q die hij per maand kan produceren p = −q 2 + 6q

met 0 ≤ q ≤ 6.

waarbij q het aantal geproduceerde tafels per maand in eenheden van 100 stuks is en p de prijs in 10 000 euro. De meubelfabrikant moet ook rekening houden met de kosten K(q) = q 3 .

Bepaal algebraı̈sch bij welke productie de winst maximaal is.

V⋆

Oefening 16. Men schat dat het aantal stemgerechtigden in een bepaalde stad de volgende jaren als volgt zal verlopen N (t) = 30 + 12t2 − t3

met 0 ≤ t ≤ 8

waarbij t de tijd in jaren is en N (t) het aantal stemgerechtigden (in duizenden) na t jaar. Wanneer zal de mate van de toename van het aantal stemgerechtigden het grootst zijn?

V

Oefening 17. Een voorwerp beweegt langs een rechte lijn. De afgelegde weg wordt gegeven door s(t) = t2 − 9t + pt met p ∈ R. Bepaal de waarde van p als we weten dat het voorwerp stilstaat na 8 seconden.

VIII-26

B⋆

Oefening 18. Van een hoge brug wordt op tijdstip t = 0 een vuurpijl verticaal omhoog geschoten. De hoogte van de vuurpijl wordt beschreven door de functie h met voorschrift h(t) = −5t2 + 30t + 80 waarbij t de tijd is (uitgedrukt in seconden) en h(t) de hoogte vanaf de grond (uitgedrukt in meter) op tijdstip t. (a) Met welke snelheid wordt de vuurpijl afgeschoten? Los algebraı̈sch op. (b) Met welke snelheid landt het voorwerp? Los algebraı̈sch op.

B

Oefening 19. Een motorrijder maakt een rit van 2 uur. De afgelegde weg van t = 0 tot t = 2 wordt beschreven door de functie s(t) = −42t3 + 130t2 met s de afgelegde weg in kilometer en t de tijd in uur. Wanneer bedraagt de snelheid van de motorrijder 120 kilometer per uur?

B

Oefening 20. In de jaren zeventig heeft men in Saoedi-Arabië erover gedacht om een ijsberg van het Zuidpoolgebied naar de havenstad Djebba te slepen om drinkwater te voorzien. Toen bleek dat het uitvoeren van het plan slecht voor het milieu zou zijn, is het niet doorgegaan. De haalbaarheid van het plan werd wel onderzocht. Het grootste probleem was het smelten van het ijs tijdens de tocht. Voor een bepaalde ijsberg geldt de volgende formule die het verband geeft tussen het volume V van de ijsberg in m3 en de vaartijd t in dagen V (t) =

4 π(130 − t)3 .

3

(a) Bepaal algebraı̈sch V ′ (25). (b) Wat is de betekenis van het getal dat we in (a) berekenden?

V⋆⋆

Oefening 21. Een cilindervormig vat met hoogte van 32 dm heeft een inhoud van 8000 liter en is geheel gevuld met water. Als men de kraan opendraait stroomt het vat leeg. Tijdens het leegstromen geldt voor de hoogte h van de waterspiegel op tijdstip t bij benadering de formule h(t) = 0, 0008 t2 − 0, 32t + 32.

Hierin is t de tijd in minuten vanaf het moment waarop de kraan opengedraaid wordt en h de hoogte van de waterspiegel in decimeter. (a) Bepaal algebraı̈sch de snelheid waarmee de waterspiegel daalt na 20 minuten. (b) Wanneer is de snelheid waarmee de waterspiegel daalt het grootst? Verklaar wiskundig!

V⋆⋆

Oefening 22. De straal van een bol wordt steeds groter. Wat is de straal op het moment dat de toename van de oppervlakte van de bol in functie van de tijd gelijk is aan de toename van de straal van de bol in functie van de tijd?

B⋆

Oefening 23. Een bedrijf produceert draadloze fietscomputers. De bedrijfsleiding wil weten hoeveel computers er per uur moeten geproduceerd worden om winst te maken. Het verband tussen de winst W (in euro) en de productie x (aantal geproduceerde computers) per uur wordt gegeven door 1 W (x) = − x3 + 8x2 − 24x.

2 Winst kan ook negatieve waarden aannemen, dan spreken we van verlies. Bepaal algebraı̈sch hoeveel eenheden het bedrijf moet produceren om een maximale winst te maken. Afronden op een eenheid nauwkeurig.

V

Oefening 24 (toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Katholieke Universiteit Leuven).

Bepaal de vergelijking van een parabool y = ax2 + bx + c die raakt aan de rechte y = x in het punt P (1, 1).

VIII-27

B⋆⋆

Oefening 25 (toelatingsexamen Burgerluchtvaartschool).

Bepaal algebraı̈sch het verloop (stijgen en dalen, hol en bol) van de functie y = x3 − 3x2 + 2 en gebruik dit om de grafiek van f te schetsen. Bepaal tevens de buigraaklijnen (dat wil zeggen, de raaklijnen van de eventuele buigpunten aan de grafiek van f ).

B⋆

Oefening 26 (toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven 2002).

Beschouw de grafiek van de veeltermfunctie f (x) = −2x3 + 5x2 + 4x + 5. Welk van de volgende beweringen is juist?

5 vertoont zij een relatief minimum.

6 1 (B) Voor x = − vertoont zij een relatief maximum.

3 5 (C) Voor x = vertoont zij een relatief maximum.

2

(A) Voor x =

(D) Voor x = 2 vertoont zij een relatief maximum.

B

Oefening 27 (toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven 2000).

Beschouw de grafiek van de veeltermfunctie f (x) = 3x4 − 10x3 − 12x2 + 12x − 7.

Welk van de volgende beweringen is juist?

1 (A) Voor x = − is haar bolle zijde naar boven gekeerd.

2 (B) Voor x = 0 is haar bolle zijde naar boven gekeerd.

(C) Voor x = 2 is haar bolle zijde naar boven gekeerd.

(D) Voor x = 3 is haar bolle zijde naar boven gekeerd.

V⋆⋆

Oefening 28 (toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Vrije Universiteit Brussel).

Bepaal de waarde(n) van k ∈ R zodat in de vergelijking x2 + kx − (5k − 4) = 0 de som der kwadraten van de wortels minimaal is.

V⋆⋆

Oefening 29 (toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Vrije Universiteit Brussel).

Toon algebraı̈sch aan dat de vergelijking x3 − 3x + c = 0

met c ∈ R

geen twee verschillende wortels kan hebben in het interval ]0, 1[. Kan de vergelijking één wortel hebben in ]0, 1[? Zo ja, voor welke waarden van c?

U⋆

Oefening 30 (kenmerk van deelbaarheid door (x − a)n ). Herhaal het kenmerk van deelbaarheid door x − a: Een veelterm A(x) is deelbaar door x − a als en slechts als A(a) = 0.

Bewijs nu de volgende veralgemening Een veelterm A(x) is deelbaar door (x − a)n als en slechts als A(a) = 0, A′ (a) = 0, . . . , A(n−1) (a) = 0.

U⋆⋆

Oefening 31 (tweede afgeleide test). Voor een functie f garandeert f ′ (a) = 0 niet dat f een extremum bereikt in x = a, want er moet bovendien nog nagegaan worden of de eerste afgeleide f ′ (x) wel van teken wisselt in x = a.

Gewoonlijk doen we dit met behulp van een tekentabel van de eerste afgeleide. Een alternatief is de zogenaamde tweede afgeleide test: Zij f een functie zodat f ′ (a) = 0 en f ′′ continu is in a.

(1) Als f ′′ (a) < 0 dan bereikt f een lokaal maximum in a.

(2) Als f ′′ (a) > 0 dan bereikt f een lokaal minimum in a.

(3) Als f ′′ (a) = 0 dan kan men hieruit geen conclusie trekken omtrent de aard van het punt P (a, f (a)). (a) Bewijs de tweede afgeleide test (enkel (1) en (2) bewijzen). (b) Zoek de minimale en maximale waarden van f (x) = x(12 − 2x)2 door gebruik te maken van de tweede afgeleide test.

VIII-28

Be wise! Generalize!

Max August Zorn, ±1950 [24]

Hoofdstuk 3

Afgeleiden van rationale en irrationale functies In Hoofdstuk 1 kwam de afgeleide van een product aan bod. In dit hoofdstuk leren we de afgeleide van een quotiënt berekenen. Op die manier kunnen we de afgeleide functie van eender welke rationale functie bepalen. Door de rekenregel voor de afgeleide van een macht met een natuurlijke exponent te veralgemenen tot die met een rationale exponent, kunnen we ook irrationale functies afleiden. Na deze rekenregels komen de intussen vertrouwde toepassingen aan bod: raaklijn en normaal in een punt van de grafiek van een functie, verloop van een functie en extremumproblemen.

3.1

Rekenregels

3 Rekenregel 6 (afgeleide van een quotiënt van functies). Å ã′ f ′ (x) · g(x) − f (x) · g ′ (x) f (x) = .

Zij f en g functies. Dan is g g(x)2 Å ã f Bewijs. Noem h(x) = (x). We zoeken h′ (x). g Welnu,

h(x) =

f (x) g(x)

⇒

h(x) · g(x) = f (x)

⇒

...

Voorbeeld. Bereken en vereenvoudig de afgeleide functie van y =

VIII-29

2x2 − 1 .

3x + 5

Å

□ △

ã′

=

□′ · △ − □ · △ ′ △2

1 . x3 Oplossing. We passen de rekenregel voor de afgeleide van een quotiënt toe (vul aan en werk uit):

3 Op ontdekking. Bereken de afgeleide functie van f (x) =

f ′ (x) = . . .

Door in de opgave het functievoorschrift te schrijven als f (x) = x−3 herkennen we een veralgemening van de rekenregel voor de afgeleide van xn uit Hoofdstuk 1. Die zullen we hieronder aantonen. Het bewijs dat deze formule ook opgaat voor de functie f (x) = x0 is subtiel en vergt daarom extra aandacht. ′

(xm ) = mxm−1

3 Gevolg. Als f (x) = xm (met m ∈ Z) dan is f ′ (x) = mxm−1 .

Bewijs. Als m > 0 dan is m ∈ N0 zodat het gestelde volgt uit een rekenregel in Hoofdstuk 1.

Als m = 0 dan is:

® f (x) = x

m

0

=x =

1 /

als x ̸= 0

zodat (ga na):

als x = 0

′

®

f (x) =

0 /

als x ̸= 0 als x = 0

0 . x Veronderstel dus dat m < 0. Noemen we n = −m dan is n > 0 zodat (vul bij elke stap de verantwoording aan): zodat f ′ inderdaad gelijk is aan de functie met als voorschrift mxm−1 = 0 · x0−1 = ′ (xm )′ = x−n Å ã′ 1 = xn

want . . . wegens . . .

=

0 · xn − 1 · (xn )′ (xn )2

wegens . . .

=

−nxn−1 x2n

wegens . . .

= −n · x−n−1 = m · xm−1

1 x

wegens . . .

1 x

want . . .

3 Op ontdekking. Bereken de afgeleide functie van f (x) = Oplossing. f ′ (x) = . . .

1 .

(3x − 7)4

Het bewijs van onderstaande rekenregel is analoog aan het bewijs voorgaand gevolg (oefening voor de lezer).

3 Rekenregel 7 (afgeleide van een macht met gehele exponent). ′

Zij f een functie en m ∈ Z. Dan is (f (x)m ) = mf (x)m−1 · f ′ (x) Voorbeeld. Bereken de afgeleide functie van f (x) =

(8x5

′

(□m ) = m □m−1 · □′

−7 . Schrijf je antwoord zonder negatieve exponent. − 13x)9

VIII-30

3 Op ontdekking. Beschouw de functie f (x) =

√

x.

(a) Bepaal met behulp van de definitie van afleidbaarheid de afgeleide functie f ′ (x). (b) Schrijf in de opgave het functievoorschrift als een macht van x. Hoe kun je een veralgemening van de rekenregel voor de afgeleide van xm herkennen? (c) Schrijf y = f (x), kwadrateer beide leden en leid daarna beide leden af. Bepaal zo de afgeleide functie y ′ .

Oplossing.

3 Rekenregel 8 (afgeleide van een macht met rationale exponent). ′

′

Zij f een functie en q ∈ Q. Dan is (f (x)q ) = qf (x)q−1 · f ′ (x)

(□q ) = q □q−1 · □′

Bewijs. We moeten aantonen dat de functie (f q )′ gelijk is aan de functie qf q−1 · f ′ . Noem g = f q . Schrijven we n m q=m n met m ∈ Z en n ∈ N0 dan is g = f . Beide leden afleiden geef dan, steunend op voorgaande rekenregels: ng n−1 · g ′ = mf m−1 · f ′

zodat

g′ =

m f m−1 · n−1 · f ′ . n g

Vervangen we g door f q dan vinden we: m f m−1 · · f′ n (f q )n−1 m f m−1 = · m− m · f ′ n n f q−1 ′ = qf ·f .

(f q )′ =

3 Gevolg. Als f (x) = xq (met q ∈ Q) dan is f ′ (x) = qxq−1

′

(xq ) = qxq−1

3 Modelvoorbeeld. Bereken telkens de afgeleide functie. Vereenvoudig je resultaat zoveel als mogelijk en schrijf je antwoord zonder negatieve of gebroken exponenten. » √ 5 3 (a) f (x) = 2x − 3 (b) f (x) = (x4 − 1) Oplossing.

VIII-31

3.2

Toepassingen

3 Modelvoorbeeld 1 (raaklijn en normaal).

Gegeven is de functie f (x) = x +

3 . x

(a) Bepaal algebraı̈sch alle punten P ∈ graf f waarvoor de normaal in P aan de grafiek van f verticaal is.

(b) Maak een correcte schets van de grafiek van f . Duid hierop alle relevante objecten aan.

Werk met exacte waarden. Controleer nadien met behulp van je grafische rekenmachine.

Oplossing. We plotten eerst de grafiek van f . Zo krijgen we een zicht op de resultaten die we kunnen verwachten.1 (b) Schets, te vervolledigen na het oplossen van vraag (a):

y

x

(a) Neem a ∈ R willekeurig. Dan geldt: in P (a, f (a)) is de normaal verticaal ⇔ in P (a, f (a)) is de raaklijn . . . ⇔ in P (a, f (a)) is de rico van de raaklijn gelijk aan . . . ⇔ f ′ (a) = . . . f ′ (x) = . . . ⇔

...

Å ã Å ã De gezochte punten zijn dus P1 . . . . . . , . . . . . . . . . en P2 . . . . . . , . . . . . . . . . .

Controle met de grafische rekenmachine. Vul aan: 2ND

DRAW

5:Tangent

...

2ND

DRAW

1:ClrDraw

2ND

DRAW

5:Tangent

...

1 Merk op dat de rechte y = x een schuine asymptoot voor x → ±∞ aan de grafiek van f is, zie Deel Precalculus 1 en de herhaling in Interludium 1 na dit hoofdstuk.

VIII-32

3 Modelvoorbeeld 2 (verloop van een rationale functie).

Gegeven is de functie f (x) =

x2 − x . x2 + 2x + 1

(a) Bepaal algebraı̈sch alle x-waarden waarvoor de grafiek van f stijgend/dalend, hol/bol is. Maak ook een samenvattende tabel. (b) Maak een correcte schets van de grafiek van f . Duid hierbij alle resultaten aan die je in de vorige vraag verkregen hebt.

Oplossing.

VIII-33

3 Modelvoorbeeld 3 (verloop van een irrationale functie).

Gegeven is de functie f (x) =

√ 3

x2 .

(a) Bepaal algebraı̈sch alle x-waarden waarvoor de grafiek van f stijgend/dalend, hol/bol is. Maak ook een samenvattende tabel. (b) Maak een correcte schets van de grafiek van f . Duid hierbij alle resultaten aan die je in de vorige vraag verkregen hebt.

Oplossing.

monument te Wolgograd, Rusland2

2 Dit monument in postmodernistische stijl werd opgetrokken ter nagedachtenis van de Slag om Stalingrad (23 augustus 1942 - 2 februari 1943). De overwinning van het Rode Leger (Rusland) op het Duitse 6e leger geldt als keerpunt van de Tweede Wereldoorlog. Stalingrad (het huidige Wolgograd) werd het symbool voor de wederopstanding van het Rode Leger en gaf het Duitse moreel een zware klap [29].

Deze overwinning liet ook in België een diepe indruk na.

VIII-34

3 Modelvoorbeeld 4 (extremumprobleem).

Een fabrikant van conservenblikken maakt cilindervormige blikjes (met straal r en hoogte h) met een inhoud van 1 dm3 . Het materiaal van de onder- en bovenkant kost 0, 20 euro per dm2 en het materiaal van de cilindermantel kost 0, 10 euro per dm2 . Voor welke afmetingen zijn de materiaalkosten minimaal?

Los algebraı̈sch op, afronden op 1 mm nauwkeurig.

Oplossing.

Campbell’s Soup Cans Andy Warhol 1962

VIII-35

3 Modelvoorbeeld 5 (extremumprobleem).

Een man is aan het mountainbiken in een groot bos (punt M ). Hij bevindt zich 20 km ten noorden van een rechte weg, die zich aan de rand van het bos ligt.

Zijn huis ligt 15 km westwaarts langs die weg (punt H). In het bos rijdt de man aan een snelheid van 15 km/u, op de weg haalt hij 30 km/u. Bepaal het punt P op de weg zodat de man, bij het volgen van het traject M P H, zo snel mogelijk thuis is. Los algebraı̈sch op.

M

20 km

H

P 15 km

Oplossing.

VIII-36

Oefeningen 3 Afgeleiden van rationale en irrationale functies

Basis ⋆

3.1 Rekenregels

1

3.2 Toepassingen

13 18 19

Verdieping ⋆ ⋆⋆

⋆⋆

Uitbreiding ⋆ ⋆⋆ 2

6 20 8

4 10 19

5 14 13

7 11 12

15 16 21

17

Oefeningen bij §3.1 B

Oefening 1. Bereken telkens de afgeleide functie. x2 − 2 (1) y = 2 x +2

Å (11) f (x) =

x (2) f (x) = (x2 + 4x + 3) x−2

3

(13) u 2

(15)

(6) y = x−5

(16)

2 x3

(17)

2

u 3 2 f (t) = (3t7 − 2t + 1066)4 u2 4 u p 3 y = x2 + 7x − 2 22 u 4 u √ y = 7 x 22 u 4 u √ x+2−x 2 f (x) = √ 4 x2 − 3 u2 4 u … x−2 2 f (x) = x + 3 u2 4

3

Oefeningen bij §3.2 V

−4

u 2 u2 4

u 3 2 (8) f (x) = (x − 7x + 2) (18) f (x) = √ 4 x3 − 7x2 + 2022x + 12 u2 4 u Ä ä p 4 1 x 5 2 − (19) f (s) = 1 + s2 + 3 (9) f (x) = (x2 + 3)(x3 − 1) + 2 x + 3 x4 u2 4 u … Ä ä √ 3 3 2 (10) f (x) = 15(6x + 7)−4 (20) f (x) = 1 − x2 u2 4 ′ ′′ Oefening 2 (differentiaalvergelijking). Een vergelijking in y, y , y , . . . noemt men een differentiaalvergelijking.

Oplossingen van differentiaalvergelijkingen zijn functies. Bepaal de waarde(n) van a, b ∈ R waarvoor de functie √ y = ax + b voldoet aan de differentiaalvergelijking 4x y ′ = 2y − . y 2

U⋆

(14)

u2 − 3u + 1 4

(5) f (x) = 3(x2 − 7x + 1302)−1

(7) y =

ã5 u 2 u2 4

(12) f (x) = (2x − 5x + 1)(x − 1)

x4 (3) y = 1000

(4) f (u) =

x−2 x+2

Oefening 3. Bepaal de waarde(n) van a ∈ R waarvoor de functie

ax2 − 20x x2 − 2x − 3 een relatief maximum bereikt in x = 2. Controleer met behulp van je grafische rekenmachine. f (x) =

VIII-37

B⋆⋆

Oefening 4. Een oliepijplijn moet punt A met punt B verbinden. Het punt A ligt aan de ene oever van een stroom die 25 km breed is, punt B aan de andere kant van de oever. De afstand van A tot B is 50 km. Een leiding trekken onder water kost 25 000 euro per kilometer, aan land is de kostprijs 13 000 euro per kilometer. Waar moet het punt D aan de andere kant van de oever liggen opdat de kostprijs voor het leggen van de pijplijn volgens het traject ADB zo klein mogelijk is? Los algebraı̈sch op en controleer met behulp van je grafische rekenmachine.

A

50

25 km

C

km

D

B

x V

Oefening 5. Gegeven zijn de functies f (x) =

√

x

en

g(x) =

p

3 − 2x2 .

Bewijs algebraı̈sch dat de grafieken van de functies f en g elkaar loodrecht snijden.

B⋆

Oefening 6. Ter gelegenheid van de Olympische Spelen in Peking brengt een firma een t-shirt met bijpassend logo op de markt. Het aantal verkochte t-shirts wordt gegeven door 3 N (t) = 210t − (10t) 2 waarbij t de tijd in dagen is en N (t) het aantal verkochte t-shirts in duizendtallen op de t-de dag na 8 augustus 2008. (a) Bereken algebraı̈sch hoeveel t-shirts er verkocht zijn op 24 augustus 2008. (b) Bereken algebraı̈sch de mate van de verandering van het aantal verkochte t-shirts op 24 augustus 2008. (c) Op welke datum is de verkoop van de t-shirts maximaal? Los algebraı̈sch op.

V⋆

Oefening 7. Gegeven is een kegel met straal r, hoogte h en apothema A. (a) Stel een verband op tussen r, A en h. (b) Gegeven is verder dat de oppervlakte van de mantel gelijk is aan 9π. Toon aan dat het volume van de kegel gegeven wordt door V (r) =

A h

1 p πr 81 − r4 .

3

27 − r4 (c) Toon aan dat V ′ (r) = π √ .

81 − r4

r

(d) Bepaal algebraı̈sch de straal r waarvoor het volume van de kegel maximaal is.

B⋆

Oefening 8. Bepaal twee positieve reële getallen x, y waarvoor het product gelijk is aan 12 en waarvoor de som van de kwadraten minimaal is.

B

Oefening 9 (toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Vrije Universiteit Brussel).

Bereken de afgeleide functie van x2 + 6x + 1 y= 3 .

4(x + 1) VIII-38

B⋆⋆

Oefening 10 (toelatingsexamen Burgerluchtvaartschool).

Bepaal algebraı̈sch het verloop (stijgen en dalen, hol en bol) van de functie y=

2x 1 + x2

en gebruik dit om de grafiek van f te schetsen. Bepaal tevens de buigraaklijnen (dat wil zeggen, de raaklijnen van de eventuele buigpunten aan de grafiek van f ).

V⋆

Oefening 11 (toelatingsexamen Burgerluchtvaartschool).

Gegeven is de functie x2 + px + q f (x) = waarbij p, q ∈ R. x Bepaal de waarde(n) van p en q waarvoor f als relatief minimum y = 6 bereikt en als relatief maximum y = 2 bereikt.

V⋆

Oefening 12 (Toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Universiteit Gent 1986).

Gegeven is de functie » met λ ∈ R+ fλ (x) = x3 (λ − x) 0.

Bepaal algebraı̈sch het verloop (stijgen en dalen) van deze functie.

B

Oefening 13 (toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven 2002).

Beschouw de kromme x2 y + 3y − 4 = 0. De waarde van de afgeleide y ′ in het punt van de kromme met x = 3 is (A) −

1 6

(C)

(B) 0

1 6

(D) 1

V

16 Oefening 14. Bepaal het punt van de grafiek van de functie f (x) = 4 in het eerste kwadrant gelegen, waarvoor de x afstand tot de oorsprong het kleinst is.

V⋆⋆

Oefening 15. Een kogel met een straal van 5 cm valt in een paraboolvormige schotel met vergelijking y = (eenheid 1 cm). Is er onder de kogel nog plaats voor een vlieg?

1 2 x 8

Aanwijzing. Waar de cirkel en de parabool elkaar raken, hebben ze een gemeenschappelijke raaklijn.

y

y=

1 2 x 8

20

10

−20

V⋆⋆

−10

10

20

x

Oefening 16. Een drinkbak voor koeien is 4 m lang en heeft een gelijkzijdige driehoek met zijde 60 cm als dwarsdoorsnede. We pompen per minuut 100 liter water in de bak. Hoe snel stijgt het waterpeil op het moment dat het water 20 cm hoog staat?

VIII-39

U⋆⋆

Oefening 17 (wet van Snellius). Een lichtstraal valt vanuit een medium onder een hoek θ1 met de normaal op het scheidingsoppervlak in. De lichtstraal breekt in het andere medium en heeft een uittreedhoek θ2 . De Wet van Snellius (of brekingswet) stelt dat sin θ1 v1 = sin θ2 v2 waarbij v1 de snelheid van het licht in het ene medium is en v2 de snelheid van het licht in het andere medium.

Bewijs deze wet met behulp van het principe van Fermat, die stelt dat het licht de snelste weg tussen twee vaste punten kiest.

Aanwijzing. Kies x als de onafhankelijk veranderlijke.

P

θ1

scheidingsoppervlak

θ2

Q x B

Oefening 18. Door een technische storing in de airconditioning van een groot gebouw neemt het zuurstofgehalte tijdelijk af. De technische staf heeft het verloop van het zuurstofgehalte beschreven met het volgende model Å ã 10 100 Z(t) = 200 1 − + . t + 10 (t + 10)2 Hierin is t de tijd in minuten, gerekend vanaf het moment dat de storing begon en is Z het aantal cm3 zuurstof per liter lucht op het tijdstip t. Bereken in het model algebraı̈sch het tijdstip waarop het zuurstofgehalte minimaal is.

B⋆⋆

Oefening 19. Een bloemenkweker teelt een bepaald soort sierplanten. De kwaliteit van de planten hangt af van de dichtheid van het uitzetten. Hoe meer hij er op 1 hectare zet, hoe lager de prijs die hij voor de planten ontvangt. √ euro per stuk, waarin x Uit ervaring weet hij dat de prijs die hij maakt voor 60% van zijn planten gelijk is aan 200 x het door hem per hectare uitgezette aantal planten is. Nu is 30% van de planten van betere kwaliteit, zodat zij het dubbele opbrengen en 10% van de aanplant gaat door ziekte of anderzins verloren. De kostprijs per klant is inclusief plantloon 50 eurocent per plant. Aan grondbewerking, spuiten enz. heeft hij verder nog 10000 euro vaste kosten per hectare en 10 eurocent per uitgezette plant. (a) Toon aan dat de winst per hectare wordt gegeven door de formule √ W = 240 x − 0, 6 x − 10 000. (b) Hoeveel planten moet deze kweker per hectare uitzetten om een zo groot mogelijke winst te behalen en hoe groot is deze winst dan? Bereken algebraı̈sch.

B⋆

Oefening 20. Een pottenbakker maakt potten aan de lopende band. Hij werkt minimaal 7 minuten aan één pot, zo’n pot kan hij aan 3 euro verkopen. Hoe meer tijd hij per pot besteedt, des te hoger is de prijs waarvoor hij hem kan verkopen. Het verband tussen de verkoopprijs p per pot (in euro) en de tijd t dat hij per pot besteedt (in minuten) wordt gegeven door de volgende formule √ waarbij t ≥ 7. p=3 t−6 De pottenbakker werkt 8 uur per dag. Bereken bij welke werktijd per pot zijn inkomsten per dag maximaal zijn.

V⋆⋆

Oefening 21. Een cilindrisch en een kegelvormig vat zijn communicerend verbonden. Het cilindrisch vat heeft een hoogte van 2 m en een diameter van 1 m, het kegelvormig vat heeft ook een hoogte van 2 m en de diameter van het bovenvlak is 2 m. Op het tijdstip t = 0 staat de vloeistof in beide vaten even hoog, 1 m boven de bodem. Een zuiger in het cilindrisch vat beweegt naar beneden met een constante snelheid van 1 centimeter per minuut. Met welke snelheid stijgt de hoogte van het vloeistofoppervlak in het kegelvormig vat op het ogenblik dat de zuiger zich 0, 5 m boven de bodem bevindt?

VIII-40

Interludium 1 Het deelgebied van de wiskunde dat limieten bestudeert, wordt de calculus genoemd. In Hoofdstuk 1 hebben we de afgeleide van een functie f in een x-waarde a gedefinieerd als de limiet (indien ze bestaat): f (a + h) − f (a) . h→0 h

f ′ (a) = lim

Op die manier is de studie van afgeleiden (ook wel differentiaalrekening genoemd) op te vatten als een studie van limieten. Anders gezegd: Deel Afgeleiden is een onderdeel van de calculus. In dit eerste intermezzo zullen we wat dieper ingaan op de wisselwerking tussen afgeleiden en limieten van functies.

1. Limieten van functies (herhaling) In deze eerste paragraaf herhalen we de basisbewerkingen met limieten: limieten aflezen uit de grafiek van een functie, praktische berekening van limieten en vuistregels voor onbepaaldheden die kunnen optreden bij limieten van rationale en irrationale functies.

In Deel Limieten, asymptoten en continuı̈teit werd het limietbegrip aangebracht aan de hand van de volgende, intuı̈tieve definitie:1 lim f (x) = L

als x ≈ a (met x ̸= a) dan zal f (x) ≈ L

betekent:

x→a

hetgeen we we interpreteren als: voor elke rij die convergeert naar a (met elke term ̸= a) geldt dat de bijbehorende rij van functiewaarden convergeert naar L. Vervangen we hierbij het onderdeel x ̸= a door x < a resp. x > a dan verkrijgen we de intuı̈tieve definitie van linkerlimiet resp. rechterlimiet. Net omwille van de x ̸= a, x < a en x > a is het al of niet hebben van een (rechter-/linker-)limiet in a onafhankelijk van het feit of de functie f al dan niet gedefinieerd is voor x = a, en ook de eventuele functiewaarde f (a) heeft geen belang.

Limieten van functies geven informatie weer over de grafieken van die functies. Kennen we de grafiek van een functie, dan kunnen we daaruit limieten aflezen. Bij zo’n oefeningen is een goed begrip nodig van de interpretatie van de intuı̈tieve definitie van limiet, meer bepaald: (1) we beschouwen enkel rijen (met elke term ̸= a) waarvoor de functiewaarde van elke term bestaat, en (2) er moet minstens één zo’n rij bestaan. Voor linker- en rechterlimiet dienen we opnieuw het onderdeel ̸= a te vervangen door < a resp. > a. We illustreren dit aan de hand van de onderstaande grafiek van een functie f .

y

a

lim f (x)

x→ a <

4 3 2 f

1

−2

−1

1

2

3

4

5

x

>

lim f (x)

x→a

−3

2

2

2

−2

3

4

/

−1

3

3

3

0

2

/

2

1

/

2

2

2

−∞

+∞

/

+∞

+∞

+∞

4

+∞

/

+∞

5

/

/

/

3

−3

lim f (x)

x→ a

lim f (x) = −∞

x→−∞

lim f (x) = /

x→+∞

1 Hierbij stelt f een functie voor en a, L ∈ R. Voor a = ±∞ en/of L = ±∞ hanteren we een soortgelijke definitie, en dienen we bij de interpretatie waar nodig de term(en) convergeert te vervangen door divergeert. Bij elk geval zeggen we dat de limiet van f in a bestaat. Bovenstaande interpretatie van de intuı̈tieve definitie van limiet is een afkorting van de formele betekenis die bekend staat als het rijenkenmerk, zie Deel Limieten, asymptoten en continuı̈teit.

VIII-41

Bij het aflezen van limieten uit de grafiek van een functie kunnen de uitkomsten geargumenteerd worden door middel van de interpretatie van de intuı̈tieve definitie van (eenzijdige) limiet. Zo is in bovenstaand voorbeeld: lim f (x) = 2

want

voor elke rij die convergeert naar −3 (met elke term ̸= −3) geldt dat de bijbehorende rij van functiewaarden convergeert naar 2;

lim f (x) = 3

want

voor elke rij die convergeert naar −2 (met elke term < −2) geldt dat de bijbehorende rij van functiewaarden convergeert naar 3;

want

er bestaat een rij die convergeert naar −2 waarvoor de rij van functiewaarden convergeert naar 3, en bestaat een rij die convergeert naar −2 waarvoor de rij van functiewaarden convergeert naar 4;

lim f (x) = 2

want

voor elke rij die convergeert naar 0 (met elke term ̸= 0 en waarbij de functiewaarde van elke term bestaat) geldt dat de bijbehorende rij van functiewaarden convergeert naar 2;

lim f (x) = +∞

want

voor elke rij die convergeert naar 3 (met elke term ̸= 3) geldt dat de bijbehorende rij van functiewaarden divergeert naar +∞;

lim f (x) = /

want

er bestaat geen rij die convergeert naar 5 met elke term ̸= 5 en waarbij de functiewaarde van elke term bestaat.

x→−3

x → −2 <

lim f (x) = /

x→−2

x→0

x→3

x→5

In het vervolg van deze cursus steunen heel wat berekeningen op limieten van functies. Het correct aflezen uit de grafiek vormt hierbij een onmisbare schakel. We verwachten dan ook dat je dit aspect volledig beheerst.

3 Modelvoorbeeld 1. Hieronder staat de grafiek van een functie f . Lees de gevraagde limieten af. (a) (b)

lim f (x) = . . .

(g) lim f (x) = . . .

(m) lim f (x) = . . .

(s) lim f (x) = . . .

lim f (x) = . . .

(h)

(n) lim f (x) = . . .

(t) lim f (x) = . . .

x→−∞

x → −4

x→−3

<

(c)

x→−1

lim f (x) = . . .

x → −2

x→ 0

<

lim f (x) = . . .

(i)

x → −4 >

x→1

x→ 3

<

lim f (x) = . . .

<

(o) lim f (x) = . . .

x → −2

(u) lim f (x) = . . .

x→ 0

>

x→ 3

>

>

(d) lim f (x) = . . .

(j) lim f (x) = . . .

(p) lim f (x) = . . .

(v) lim f (x) = . . .

(e)

(k)

(q) lim f (x) = . . .

(w) lim f (x) = . . .

x→−4

lim f (x) = . . .

x → −3

x→−2

<

(f)

x→0

lim f (x) = . . .

x → −1

x→ 1

<

lim f (x) = . . .

(l)

x → −3 >

x→3

x→ 5

<

lim f (x) = . . .

>

(r) lim f (x) = . . .

x → −1

(x)

x→ 1

>

>

y 4 3 2 f 1

−4

−3

−2

−1

1 −1 −2 −3 VIII-42

2

3

4

x

lim f (x) = . . .

x→+∞

3 Fundamentele limieten. In Deel Precalculus 1 en 2 kwamen de volgende elementaire functies aan bod.

Verwacht wordt dat je de grafieken van deze functies ten allen tijde onmiddellijk voor de geest kan halen (zie ook Deel Parate kennis bij aanvang van het zesde jaar). Op die manier ken je ook de vermelde limieten van deze elementaire functies. Hieruit blijkt ook dat de onderstaande elementaire functies f allemaal aan het volgend kenmerk voldoen: als a ∈ dom f dan is lim f (x) = f (a) x→a

hetgeen precies betekent dat deze elementaire functies allemaal continu zijn. Deze eigenschap is essentiëel om limieten van courante functies op een praktische manier te kunnen berekenen.

constante functie

identieke functie

y f (x) = c

y

x

x

lim |x| = . . .

x→+∞

omgekeerde functie

x→+∞

positieve vierkantswortel-functie

y

y √ f (x) = x

1 f (x) = x

x

1 = ... x→0 x 1 = ... lim x→+∞ x

x→−∞

lim x = . . .

lim c = . . .

x

lim |x| = . . .

x→−∞

x→+∞

lim

f (x) = |x|

lim x = . . .

lim c = . . .

x→−∞

1 = ... x→−∞ x 1 lim = . . . x→0 x < 1 lim = . . . x→0 x >

y

f (x) = x

c

lim

absolute waarde-functie

p derdemachtswortel-functie y √ f (x) = 3 x

x

lim

x→−∞

lim

x→0

√ x = ... √ x = ...

lim

√ x = ...

>

lim

x→0

lim

x→+∞

lim

√ 3

x = ...

lim

√ 3

x = ...

x→−∞

x→+∞

<

x→0

x

√ x = ... √ x = ...

VIII-43

exponentiële functie groeifactor 0 < a < 1

exponentiële functie groeifactor a > 1

y

y f (x) = a

x

f (x) = a

x

1

1

x

x

lim ax = . . .

lim ax = . . .

x→−∞

x→−∞

lim ax = . . .

lim ax = . . .

x→+∞

x→+∞

logaritmische functie grondtal 0 < a < 1

logaritmische functie grondtal a > 1

y

y a

a

f (x) = log x

1

lim

a

x→−∞

lim

a

x→ 0

f (x) = log x

x

1

log x = . . .

lim

lim

log x = . . .

a

lim

log x = . . .

log x = . . .

a

log x = . . .

x→ 0

>

>

lim a log x = . . .

lim a log x = . . .

x→0

lim

a

<

x→ 0

x→+∞

log x = . . .

x→ 0

<

lim

a

x→−∞

a

x→0

log x = . . .

lim

x→+∞

VIII-44

a

log x = . . .

x

sinusfunctie g

boogsinusfunctie y

y π 2

f (x)=Arcsin x

f (x) = sin x

1 π

π 2

2π

3π 2

x

−1

−1

x

1 − π2

lim sin x = . . .

x→−∞

lim sin x = . . .

x→+∞

lim Arcsin x = . . .

lim Arcsin x = . . .

x → −1

x→−∞

>

lim Arcsin x = . . .

x→−1

<

lim Arcsin x = . . .

x→1

<

lim Arcsin x = . . .

x → −1

lim Arcsin x = . . .

x→1

lim Arcsin x = . . .

lim Arcsin x = . . .

x→1

x→+∞

>

cosinusfunctie g

boogcosinusfunctie y

y

f (x)=Arccos x

π

f (x) = cos x 1 π

π 2

2π

3π 2

π 2

x

−1 −1 lim cos x = . . .

x→−∞

lim cos x = . . .

x→+∞

lim Arccos x = . . .

x→−∞

lim Arccos x = . . .

x → −1 >

lim Arccos x = . . .

x → −1

lim Arccos x = . . .

lim Arccos x = . . .

x→1

<

x→−1

<

lim Arccos x = . . .

x→ 1

x

1

lim Arccos x = . . .

x→ 1

lim Arccos x = . . .

x→+∞

>

tangensfunctie

boogtangensfunctie y

y f (x) = tan x 2

π 2

1 f (x)=Arctan x − π2

π 2

π

x

3π 2

−2

−1

−1

lim tan x = . . . lim tan x = . . .

x→+∞

2

− π2

−2

x→−∞

1

lim tan x = . . .

x→ −π 2 <

lim tan x = . . .

x→ −π 2 >

lim tan x = . . .

x→− π 2

limπ tan x = . . .

x→

< 2

VIII-45

limπ tan x = . . .

x→

> 2

lim tan x = . . .

x→ π 2

lim Arctan x = . . .

x→−∞

lim Arctan x = . . .

x→+∞

x

3 Praktische berekening van limieten.2 Zij a ∈ R en f een veeltermfunctie, of een rationale, irrationale, exponentiële, logaritmische, goniometrische of cyclometrische functie, of een eindige samenstelling van deze functies. Om een limiet van f te berekenen: lim f (x),

lim f (x),

x→ a

x→ a

>

<

lim f (x),

x→a

lim f (x),

x→+∞

lim f (x)

x→−∞

gaan we invullen: vervang x in f (x) door respectievelijk a− , a+ , a, +∞, −∞. Om de uitkomst verder te berekenen houden we, naast de bewerkingen met reële getallen en de symbolen a± en ±∞, ook rekening met de rekenregels voor limieten van functies en de fundamentele limieten van hierboven.

3 Modelvoorbeeld 2. Bereken algebraı̈sch de volgende limieten. Geef toelichting aan de hand van een schets, of duid de verkregen informatie aan op een schets.3 (a) (b) (c) (d) (e)

lim

x→+∞

1 , x

−8 lim , x→−∞ x3

lim

x→−∞

1 , x

lim

x→ 0 >

3 lim x → 0 x2 − x <

lim (x3 + 5x2 − 7),

1 , x

lim

x→ 0 <

1 x

lim (x3 + 5x2 − 7)

x→+∞

x→−∞

3x2 + 7x + 8 , x→+∞ 2x2 − 18 |x| |x| lim , lim x→+∞ x x→−∞ x

7x5 − 28x + 56 , x→−∞ 3x2 − 2x + 8

lim

lim

8x5 − 3x2 x→+∞ 2x6 lim

Oplossing.

2 Voor de limiet van f in a is ook nog vereist dat f bestaat in een linker- of rechtergeperforeerde omgeving van a. Bij deze praktische berekening van limiet zijn de√voorwaarden op f cruciaal. Zo bestaat de limiet van f (x) = sign(x) in a = 0 niet, terwijl f (a) = 0. Ook √ bestaat de limiet van f (x) = x + −x in a = 0 niet, terwijl f (a) = 0. Blindelings toepassen van de praktische berekening zou hier telkens tot een verkeerd antwoord leiden. Is men niet zeker dat f bestaat in een linker- of rechter(geperforeerde) omgeving van a, dan dient men de eenzijdige limieten in a te berekenen. Indien f (a) niet bestaat, dan kan de limiet van f in a bepaald worden door (1) de stelling limiet berekenen door vereenvoudiging, of (2) de eenzijdige limieten in a te berekenen.

3 De lezer kan eenvoudig nagaan dat de functie |x| precies de afgeleide functie van de functie |x| voorstelt, want veralgemeend kan x | □| worden tot een handige (maar niet noodzakelijke) rekenregel: (|□|)′ = □ · □′ .

VIII-46

3 Onbepaaldheden. Bij de praktische berekening van limieten zijn de volgende tussenuitkomsten wat men noemt onbepaald:4 Å ã ∞

0 , , (∞ − ∞) , (0 · ∞) , 00 , ∞0 , (1∞ ) ∞ 0 In Interludium 2 zien we een algemene methode om de meeste onbepaaldheden op te heffen.5 Voor rationale en irrationale functies kunnen enkel de volgende onbepaaldheden voorkomen: Å ã ∞ 0 , , (∞ − ∞) , (0 · ∞) . ∞ 0

Om zo’n onbepaaldheid op te heffen, kunnen de volgende vuistregels gebruikt worden. Hierbij verwijzen (1), (2) en (3) naar de richtlijnen onderaan. Na het toepassen van de vuistregels, onderneemt men een nieuwe poging om de limiet te berekenen door opnieuw de praktische berekening toe te passen (invullen). Is de uitkomst nog steeds onbepaald, dan worden de vuistregels opnieuw toegepast. lim f (x), lim f (x), lim f (x)

x→ a <

x→ a >

x→a

lim f (x)

x→±∞

x − a afzonderen in teller en noemer (1)(2), vereenvoudigen

▷ veelterm op veelterm? ▷ neem hoogstegraadstermen ▷ geen veelterm op veelterm? ▷ x afzonderen in teller en noe▷ mer (3), vereenvoudigen

(∞ − ∞)

breuken gelijknamig maken, vereenvoudigen

▷ ▷ ▷ ▷ ▷ ▷

(0 · ∞)

als quotiënt schrijven, vereenvoudigen

als quotiënt schrijven, vereenvoudigen

∞ Å0ã , ∞ 0

veelterm? neem hoogstegraadsterm geen veelterm? als quotiënt schrijven, x afzonderen in teller en noemer (2), vereenvoudigen

(1) Is de getalwaarde van een veelterm in x = a gelijk aan nul, dan is die veelterm deelbaar door x − a (kenmerk van deelbaarheid). Gebruik het schema van Horner om het quotiënt bij deling van die veelterm door x − a te vinden. √ √ (2) Om bij een√vorm√ □± △ een factor af te zonderen, vermenigvuldig je teller en noemer met de toegevoegde tweeterm □ ∓ △. √ (3) Om bij een vorm □ een factor x af te zonderen, schrijf je: ® … … … √ √ x als x ≥ 0 □ □ □ 2 2 □= x · 2 = x · = |x| en maak je gebruik van |x| = x x2 x2 −x als x < 0.

Ten slotte geven we het advies om bij een limiet van een macht de rekenregel limiet van een macht is macht van de limiet te gebruiken.6 Dat kan bijvoorbeeld ook bij een wortelvorm, zoals volgend voorbeeld laat zien: lim

x→−∞

p

2022x5 − 2021x4 + 541 = =

q

lim (2022x5 − 2021x4 + 541)

x→−∞

q

lim 2022x5

x→−∞

=

»

2022 · (−∞)5

=

»

2022 · (−∞)

=

√

−∞

=/ 4 In dat geval kan men niet meteen beslissen wat de werkelijke uitkomst is van de limiet! Net daarom plaatst men zo’n onbepaaldheid

1755. tussen haakjes. Dat 00 etc. om het even welke waarde kan hebben, werd voor het eerst opgemerkt door Leonhard Euler 5 De algemene methode om onbepaaldheden op te heffen, wordt de regel van de l’Hospital genoemd, zie Interludium 2.

6 Deze rekenregel gaat enkel op bij machten waarvan de exponent een constant getal is, dus niet afhangt van x. Limieten van machten waarbij de exponent wel afhangt van x, zullen in Interludium 2 aangepakt worden.

VIII-47

3 Modelvoorbeeld 3. Bereken algebraı̈sch de volgende limieten. Alle tussenstappen opschrijven! Controleer daarna met behulp van je grafische rekenmachine. √ x2 − 2x 2x + 3 − x (a) lim (c) lim x → 2 11x2 − x3 − 32x + 28 x→3 x−3 > √ Äp ä x2 − 1 (b) lim (d) lim 4x2 − 5x + 8 − 2x x→−∞ x→+∞ x Oplossing.

Controle met de grafische rekenmachine.

Y=

VARS

Y-VARS

1:Function

VIII-48

2. Asymptoten (herhaling) Dankzij limieten kunnen we de begrippen perforatie en verticale, horizontale en schuine asymptoot precies omschrijven.

Ook deze paragraaf is een herhaling van leerstof uit Deel Limieten, asymptoten en continuı̈teit.

3 Verticale asymptoot en perforatie. Zij f een functie en a ∈ R. We zeggen dat de rechte x = a een verticale asymptoot (kortweg V.A.) aan de grafiek van f is indien minstens één van de eenzijdige limieten van f in a gelijk is aan +∞ of gelijk is aan −∞, in symbolen: lim f (x) = ±∞

x→ a

lim f (x) = ±∞

of

x→ a >

<

We zeggen dat de grafiek van f een perforatie in a bereikt indien f (a) niet bestaat, maar de eenzijdige limieten in a beide wel bestaan en hetzelfde reëel getal zijn, in symbolen: a ̸∈ dom f

lim f (x) = lim f (x) ∈ R

en

x→ a

x→ a

>

<

Praktische werkwijze. Zij f een veeltermfunctie, of een rationale, irrationale, exponentiële, logaritmische, goniometrische of cyclometrische functie, of een eindige samenstelling van deze functies.7 Om alle verticale asymptoten en perforaties van f te berekenen, gaan we als volgt te werk.

(1) Bereken dom f .

(2) De kanshebbers voor een V.A. of perforatie in a zijn de randwaarden van dom f die niet tot dom f behoren.

(3) Bereken voor elk van die kanshebbers a beide eenzijdige limieten lim f (x)

en

x→ a <

lim f (x).

x→ a >

Als minstens één van deze eenzijdige limieten gelijk is aan ±∞, dan is de rechte x = a een V.A. aan de grafiek van f . Is daarentegen de uitkomst van beide eenzijdige limieten hetzelfde reëel getal, dan bereikt de grafiek van f een perforatie in x = a. In elk ander geval is er geen V.A. of perforatie in x = a.

3 Modelvoorbeeld 1. Gegeven is de functie … f (x) =

1−x .

1+x

(a) Bepaal algebraı̈sch de eventuele verticale asymptoten en/of perforaties aan de grafiek van f . (b) Duid op een assenstelsel de verkregen informatie over de grafiek van f aan. (c) Plot de grafiek van f met je grafische rekenmachine, en maak een correcte schets van de grafiek waarop je de verkregen informatie aanduidt en benoemt.

Oplossing.

7 Zo’n functie wordt ook wel een elementaire functie genoemd. Bij andere, niet-elementaire functies kan het voorkomen dat een rechte x = a een verticale asymptoot aan de grafiek van f is, terwijl toch a ∈ dom f . Dat is bijvoorbeeld het geval met de functie f en a = 4 uit het inleidend voorbeeld van de vorige paragraaf. Voor zo’n niet-elementaire functies kan de bovenstaande praktische werkwijze dus niet worden toegepast.

VIII-49

3 Horizontale asymptoot. Zij f een functie en b ∈ R. We zeggen dat de rechte y = b een horizontale asymptoot (kortweg H.A.) voor x → −∞ (resp. x → +∞) aan de grafiek van f is indien: lim f (x) = b

x→−∞

resp.

lim f (x) = b

x→+∞

Praktische werkwijze. Om alle horizontale asymptoten van een functie f te berekenen, gaan we als volgt te werk (hieronder voor x → +∞, analoog voor x → −∞).

(1) Bereken lim f (x). x→+∞

(2) Als deze limiet bestaat en gelijk is aan een reëel getal b, dan is de rechte y = b een H.A. voor x → +∞ aan de grafiek van f . In elk ander geval is er geen H.A. voor x → +∞.

3 Schuine asymptoot. Zij f een functie en a, b ∈ R met a ̸= 0. We zeggen dat de rechte y = ax + b een schuine asymptoot (kortweg S.A.) voor x → −∞ (resp. x → +∞) aan de grafiek van f is indien: lim

x→−∞

f (x) − (ax + b) = 0

resp.

lim

x→+∞

f (x) − (ax + b) = 0

Praktische werkwijze. Om alle schuine asymptoten van een functie f te berekenen, gaan we als volgt te werk (hieronder voor x → +∞, analoog voor x → −∞). f (x) . x (2) Als deze limiet bestaat en gelijk is aan een reëel getal a, bereken dan lim (f (x) − ax).

(1) Bereken lim

x→+∞

x→+∞

(3) Als ook deze limiet bestaat en gelijk is aan een reëel getal b, dan is de rechte y = ax + b een S.A. voor x → +∞ aan de grafiek van f . In elk ander geval is er geen S.A. voor x → +∞.

3 Modelvoorbeeld 2. Beschouw de functie f (x) =

p 9x2 + x − 3x.

(a) Bepaal algebraı̈sch de eventuele horizontale en schuine asymptoten aan de grafiek van f . (b) Duid op een assenstelsel de verkregen informatie over de grafiek van f aan. ⋆

(c) Plot de grafiek van f met je grafische rekenmachine, en maak een correcte schets van de grafiek waarop je de verkregen informatie aanduidt en benoemt.

Oplossing.

Controle met behulp van de grafische rekenmachine bij (a).

VIII-50

3. Volledig onderzoek van rationale en irrationale functies Bij een zogenaamd volledig onderzoek van een functie wordt het algebraı̈sch bepalen van het verloop (stijgen en dalen, hol en bol) gecombineerd met andere kenmerken zoals domein, tekentabel en asymptotisch gedrag. Daarbij is het de bedoeling om deze informatie samen te vatten in een correcte schets van de grafiek van zo’n functie, waarop alle kenmerken worden aangeduid. Op die manier krijgen we meer inzicht in de grafiek. De grafische rekenmachine wordt daarbij functioneel ingezet: controleren van de resultaten van berekeningen en plotten van de grafiek, zowel vooraf om een zicht te krijgen op de te verwachten resultaten als achteraf om deze plot te vergelijken met de schets van de grafiek.

Bij een volledig onderzoek van een functie f worden de volgende stappen overlopen, waarbij men telkens nieuwe informatie verkrijgt over de grafiek van f .

1. Domein 2. Tekentabel 3. Asymptoten 4. Tekentabel f ′ 5. Tekentabel f ′′ 6. Samenvattende tabel 7. Grafiek We geven toelichting aan de hand van twee modelvoorbeelden die als zelfstudie aan de lezer kunnen worden overgelaten.

In het eerste modelvoorbeeld ga je alle berekeningen zorgvuldig na: kun je elke overgang verantwoorden? Duid na elke stap de verkregen informatie van de grafiek aan op het kleine assenstelsel. In de laatste stap vat je alle informatie samen door een correcte schets van de volledige grafiek te maken. Daarna controleer je de resultaten van de berekeningen met de grafische rekenmachine.

3 Modelvoorbeeld 1. Maak een volledig onderzoek van de rationale functie f (x) =

1 − x3 . x2

Oplossing.

info graf f

1. Domein dom f = {x ∈ R | f (x) bestaat} = {x ∈ R

y

1 − x3 bestaat} x2

= {x ∈ R | x2 ̸= 0}

x

= R \ {0} 2. Tekentabel De x-waarden in de tekentabel van een rationale functie zijn de nulwaarden van de teller en de nulwaarden van de noemer. ▷ Nulwaarden teller: los op 1 − x3 = 0 ⇔ x = 1 ▷ Nulwaarden noemer: los op x2 = 0 ⇔ x = 0 ▷ Tekentabel f : x

0

info graf f y

1

x

3

1−x x2

+ +

+ 0

+ +

0 − + +

f (x)

+

|

+

0

−

3. Asymptoten ▷ V.A. kanshebbers: randwaarden van dom f die niet tot dom f behoren, dus x = 0. We berekenen:

info graf f y

1 − x3 1−0 1 = − 2 = + = +∞, en 2 x→ 0 x (0 ) 0 <

lim f (x) = lim

x→ 0 <

1 − x3 1−0 1 = + 2 = + = +∞ 2 → x 0 x (0 ) 0 >

lim f (x) = lim

x→ >

0

dus de rechte x = 0 is een V.A. aan de grafiek van f .

VIII-51

x

3. Asymptoten (vervolg) ▷ H.A. we berekenen: −x3 1 − x3 = lim = lim (−x) = ∓∞ x→±∞ x2 x→±∞ x→±∞ x2

lim f (x) = lim

x→±∞

dus geen H.A. voor x → ±∞ aan de grafiek van f . ▷ S.A. we berekenen: 3

3

f (x) −x 1−x = lim = lim (−1) = −1 = lim 3 x→±∞ x x→±∞ x3 x→±∞ x→±∞ x

a = lim

info graf f y

en Å

b = lim (f (x) − ax) = lim x→±∞

x→±∞

ã 1 1 1 − x3 + x = lim 2 = =0 x→±∞ x x2 ±∞

x

dus de rechte y = −x is S.A. voor x → ±∞ aan de grafiek van f .

4. Tekentabel f ′ −3x2 · x2 − (1 − x3 ) · 2x x4 4 −x − 2x = x4 −x3 − 2 = rationale functie, dus nulwaarden teller en noemer nodig x3 √ ▷ Nulwaarden teller: los op −x3 − 2 = 0 ⇔ x = − 3 2 = −1, 25 . . . ▷ Nulwaarden noemer: los op x3 = 0 ⇔ x = 0 ▷ Tekentabel f ′ : √ 0 x −32

▷ f ′ (x) =

f ′ (x)

−

↘

f (x)

0

+

min

↗

|

|

info graf f y

x

−

↘

5. Tekentabel f ′′ −3x2 · x3 − (−x3 − 2) · 3x2 x6 5 5 −3x + 3x + 6x2 = x6 6 = 4 rationale functie, dus nulwaarden teller en noemer nodig x

▷ f ′′ (x) =

▷ Nulwaarden teller: los op 6 = 0 geen oplossingen ▷ Nulwaarden noemer: los op x4 = 0 ⇔ x = 0 ▷ Tekentabel f ′′ : x ′′

f (x) f (x)

0 +

0

|

+

info graf f y

6. Samenvattende tabel x ′

f (x) f ′′ (x)

− +

√ −32 0 +

f (x) - min

0 + +

| − | + 6 |

VIII-52

x

y

7. Grafiek

x

Controle van de resultaten van de berekeningen met de grafische rekenmachine. ▷ Domein en tekentabel f : Y=

2ND

TABLE

VARS

Y-VARS

1:Function

▷ Asymptoten:

▷ Afgeleiden en hun tekentabel, schuine asymptoot en (lokaal) minimum: Y=

2ND

TABLE

VIII-53

2ND

CALC

3:minimum

Bij het volgende modelvoorbeeld moet je het rekenwerk zelf doen. Je krijgt de vereenvoudigde uitdrukkingen van de eerste en tweede afgeleide functie, zodat je weet waar je naartoe moet werken. Daarenboven kun je los van jouw berekeningen van deze afgeleiden toch de tekentabellen van de afgeleide functies opstellen en de informatie over de grafiek samenvatten. Maak daarbij functioneel gebruik van de grafische rekenmachine. … x+2 3 Modelvoorbeeld 2. Maak een volledig onderzoek van de irrationale functie f (x) = . x−2 Oplossing.

1. Domein dom f = {x ∈ R | f (x) bestaat} ß ™ x+2 = x∈R ≥ 0 en x − 2 ̸= 0 x−2 Maak tekentabel van

x+2 . x−2

▷ Nulwaarden teller: . . . ▷ Nulwaarden noemer: . . . ▷ Tekentabel: . . .

info graf f y

x = ...

2. Tekentabel De x-waarden in de tekentabel van een (irrationale) functie zijn de nulwaarden en de randwaarden van het domein. ▷ Nulwaarden f : los op

f (x) = 0

⇔

...

info graf f y ▷ Randwaarden dom f : . . . ▷ Tekentabel f :

x −2

x

2

f (x) 3. Asymptoten ▷ V.A. kanshebbers: randwaarden van dom f die niet tot dom f behoren, dus x = . . .

We berekenen: …

lim f (x) = lim

x → ... <

x → ... <

… lim f (x) = lim

x → ... >

x → ... >

info graf f

x+2 = ... x−2

y

x+2 = ... x−2

x

dus de rechte . . . . . . . . . is een V.A. aan de grafiek van f .

VIII-54

3. Asymptoten (vervolg) ▷ H.A. we berekenen … x+2 lim f (x) = lim = ... x→+∞ x→+∞ x−2

info graf f y

x dus de rechte . . . . . . . . . is H.A. voor x → ±∞ aan de grafiek van f . ▷ S.A. geen voor x → ±∞ want . . .

4. Tekentabel f ′ ▷ f ′ (x) = . . .

= ...

= ...

= ...

=p

−2 (x + 2)(x − 2)3

irrationale functie, dus nulwaarden en randwaarden domein nodig

▷ Nulwaarden f ′ : . . .

▷ Randwaarden dom f ′ : bereken eerst dom f ′ = {x ∈ R | f ′ (x) bestaat} ® =

x∈R

= ...

´ −2 p bestaat (x + 2)(x − 2)3

info graf f y

dus randwaarden dom f ′ zijn . . . ▷ Tekentabel f ′ : x

−2

2

x

f ′ (x) f (x) VIII-55

5. Tekentabel f ′′ ▷ f ′′ (x) = . . .

= ...

= ...

= ...

4(x + 1) =p (x + 2)3 (x − 2)5

irrationale functie, dus nulwaarden en randwaarden domein nodig

▷ Nulwaarden f ′′ : . . .

▷ Randwaarden dom f ′′ : bereken eerst dom f ′′ = {x ∈ R | f ′′ (x) bestaat} ® =

x∈R

= ...

´ 4(x + 1) p bestaat (x + 2)3 (x − 2)5

dus randwaarden dom f ′′ zijn . . . ▷ Tekentabel f ′′ : x

−2

2

′′

f (x) f (x)

info graf f y

6. Samenvattende tabel x

−2

2

f ′ (x)

x

f ′′ (x) f (x) VIII-56

y

7. Grafiek

x

Controle van de resultaten van de berekeningen met de grafische rekenmachine. ▷ Domein en tekentabel f : Y=

2ND

TABLE

▷ Asymptoten:

▷ Afgeleiden en hun tekentabel, horizontale asymptoot en minimum: Y=

2ND

TABLE

VIII-57

TRACE

4. Hoekpunt, keerpunt en verticale raaklijn In deze laatste paragraaf geven we zin aan de begrippen linker- en rechterafgeleide van een functie f . Op die manier achterhalen we punten waar de raaklijn aan de grafiek verticaal is, of waar de linker- en rechterraaklijn wel bestaan maar verschillend zijn van elkaar. Zo kunnen we dan onder andere spreken over een hoekpunt of een keerpunt van de grafiek van een functie.

3 Definitie (linker- en rechterafgeleide). Zij f een functie en a ∈ R zodat f bestaat in een linkeromgeving resp. rechteromgeving van a. De linkerafgeleide van f in a resp. rechterafgeleide van f in a is gelijk aan de eenzijdige limiet (indien ze bestaat):8 def

f ′ (a− ) = lim

h→ 0 <

f (a + h) − f (a) h

resp.

def

f ′ (a+ ) = lim

h→ 0 >

f (a + h) − f (a) h

Meetkundige betekenis. De linker- resp. rechterafgeleide van f in a is (indien een reëel getal) de rico van de linker- resp. rechterraaklijn in het punt P (a, f (a)) aan de grafiek van f .

rico tl = f ′ (a− )

y

y

f

f

rico tr = f ′ (a+ )

a

x

a

x

De stelling van de eenzijdige limieten uit Deel Limieten, asymptoten en continuı̈teit impliceert nu de volgende 3 Eigenschap. Gegeven is een functie f en a ∈ R zodat f bestaat in een geperforeerde omgeving van a. Dan geldt: 1 1 f is afleidbaar in a ⇔ f ′ (a− ) en f ′ (a+ ) bestaan in R en zijn gelijk x x en in dat geval hebben de linkerafgeleide, rechterafgeleide en afgeleide van f in a dezelfde waarde.

Is f ′ continu in a, dan kunnen de linker- en rechterafgeleide van f in a praktisch berekend worden als linker- en rechterlimiet van de afgeleide functie f ′ in de waarde a: f ′ (a− ) = lim f ′ (x) x→ a

resp.

f ′ (a+ ) = lim f ′ (x)

<

x→ a >

Dat is bijvoorbeeld het geval als f een rationale of irrationale functie is. √ 3 Modelvoorbeeld 1. Gegeven is de functie f (x) = x3 + 3x2 . (a) Bereken algebraı̈sch de linker- en rechterafgeleide van f in 0. (b) Maak een correcte schets van de grafiek van f waarop je de meetkundige betekenis van linker- en rechteafgeleide aanduidt en benoemt. Hanteer de correcte notaties!

Oplossing.

8 In tegenstelling tot de definitie van afleidbaarheid kan de linker- en rechterafgeleide van f in a wel gelijk zijn aan ±∞. Lees f ′ (a− ) als de linkerafgeleide van f in a, en zeker niet als de functiewaarde van f ′ in a− want a− is geen getal. Analoog voor f ′ (a+ ).

VIII-58

3 Definitie (hoekpunt). Zij f een functie en a ∈ R zodat f continu is in a. De grafiek van f bereikt een hoekpunt in a indien de linker- en rechterafgeleide van f in a beide bestaan in R maar verschillend zijn van elkaar, in symbolen: 1 ′ − 1 f (a ) ∈ R en f ′ (a+ ) ∈ R en f ′ (a− ) ̸= f ′ (a+ ) x x Voorbeeld. Onderstaande grafiek bereikt een hoekpunt in a.

y

f

a

x

3 Definitie (keerpunt). De grafiek van f bereikt een keerpunt in a indien ofwel de linkerafgeleide van f in a gelijk is aan +∞ en de rechterafgeleide van f in a gelijk is aan −∞, ofwel de linkerafgeleide van f in a gelijk is aan −∞ en de rechterafgeleide van f in a gelijk is aan +∞, in symbolen: 1 ′ − 1 f (a ) = ±∞ en f ′ (a+ ) = ∓∞ x x Voorbeelden. Onderstaande grafieken bereiken een keerpunt in a (vul aan).

y

y f f

a

f ′ (a− ) = . . .

en

a

x

f ′ (a+ ) = . . .

f ′ (a− ) = . . .

en

x

f ′ (a+ ) = . . .

3 Definitie (verticale raaklijn). De rechte x = a noemt een verticale raaklijn aan de grafiek van f indien minstens één van de eenzijdige afgeleiden van f in a gelijk is aan +∞ of gelijk is aan −∞, in symbolen: 1 ′ − 1 f (a ) = ±∞ of f ′ (a+ ) = ±∞ x x Voorbeelden. Onderstaande grafieken bereiken een verticale raaklijn in a (vul aan).

y

y

f f

a

f ′ (a− ) = . . .

en

a

x

f ′ (a+ ) = . . .

f ′ (a− ) = . . .

VIII-59

en

f ′ (a+ ) = . . .

x

In het geval dat f een irrationale functie is, kunnen we alle eventuele hoekpunten, keerpunten en verticale raaklijnen aan dee grafiek van f algebraı̈sch bepalen.

3 Praktische werkwijze. Voor een hoekpunt, keerpunt of verticale raaklijn in a zijn de kanshebbers voor a de randwaarden van dom f ′ die niet tot dom f ′ behoren, maar wel tot dom f . Bereken voor elk van die kanshebbers de beide limieten f ′ (a− ) = lim f ′ (x) en f ′ (a+ ) = lim f ′ (x) x→ a

x→ a

>

<

en gebruik dan de definitie van hoekpunt, keerpunt en verticale raaklijn.

3 Modelvoorbeeld 2. Bepaal algebraı̈sch de eventuele hoekpunten, keerpunten en verticale raaklijnen aan de grafieken van de volgende functies. Maak ook telkens een schets van de grafiek van f waarop je de verkregen informatie aanduidt. Gebruik daarvoor je grafische rekenmachine. p √ 3 (a) f (x) = x2 (b) f (x) = 2x2 − x4 Oplossing.

Gebruik van de grafische rekenmachine bij (b).

Y=

WINDOW

GRAPH

VIII-60

VARS

Y-VARS

1:Function

Oefeningen Interludium 1

Basis ⋆

⋆⋆

Verdieping ⋆ ⋆⋆

1 Limieten (herhaling)

1

2 Asymptoten (herhaling)

2 5

2

2

3 4

2

4 Hoekpunt, keerpunt en verticale raaklijn

8

6 8

8 10

7 8

8

9

Uitbreiding ⋆ ⋆⋆

11

Oefeningen bij §1 Oefening 1. Bereken algebraı̈sch de volgende limieten. Alle tussenstappen opschrijven! Å ã Äp ä 4 1 2 (1) lim x + 5x − x (6) lim − x→+∞ x → 2 x2 − 4 x−2 >

B

(2)

(3)

(4)

(5)

√

3x − 2 x

(7)

x2 − 5x + 4 lim √ x→ 3 x2 − 5x + 6 >

(8)

lim

x→7

Å

x→−∞

lim √

x−2 x+2−2

lim

x→2

x→ 2 <

p

4x2

lim

lim

4 1 − 2 x −4 x−2

√

x→ 1 <

−x−1

(9)

lim

√

x→ 1 >

(10)

ã

√ x−1− x √ x2 − x √ x−1− x √ x2 − x

1 · (x5 − 7) x

lim

x→−∞

Oefeningen bij §2 Oefening 2. Bepaal algebraı̈sch alle eventuele asymptoten aan de grafiek van de volgende functies.

V

2x3 − 2 x2 − 8x + 7

p f (x) = 2 x2 − 4x + 3

B⋆ (6)

B⋆⋆ (1)

f (x) =

B⋆ (2)

f (x) =

p x2 − 1

B⋆⋆ (7) f (x) =

B

(3)

f (x) =

x−1 x2 − 4

B⋆ (8)

f (x) =

B

(4)

f (x) =

x2 x+2

V⋆ (9)

f (x) =

B

(5)

f (x) =

x3 − 8 2x2

B⋆⋆ (10) f (x) =

x2 − 4 √ (x − 2) x

x2 − x − 6 x2 − 1 p 3

x3 − 4x2

p x2 − 4x + 3 + x

Oefening 3. Gegeven is een rationale functie f (x) =

x2 + ax + b cx2 + dx + e

met a, b, c, d, e ∈ R.

1 Bepaal de waarde(n) van a, b, c, d en e waarvoor de rechten y = , x = −2 en x = 1 asymptoten aan de grafiek van f 2 zijn en zodat −3 en 2 nulwaarden van f zijn.

V

Oefening 4. Gegeven is de functie f (x) =

ax2

x + bx + c

met a, b, c ∈ R.

Bepaal de waarde(n) van a, b, c waarvoor de rechten x= Å ã 2 en y = 0 asymptoten zijn aan de grafiek van f en zodat de 1 functie f een minimum bereikt in het punt P −2, − .

8 VIII-61

B

Oefening 5. De concentratie van een bepaald medicijn in het bloed van een patiënt wordt gegeven door p C(t) = t2 + 0, 5 t − t

met C de concentratie (in mg/cm3 ) en t de tijd (in uren) na het toedienen van het medicijn. Bereken algebraı̈sch naar welke waarde de concentratie in het bloed streeft naarmate de tijd na de inspuiting verstrijkt.

Oefeningen bij §4 B⋆

Oefening 6. Gegeven is de functie f (x) =

√

x−

√

x − 1.

(a) Bereken algebraı̈sch de linker- en rechterafgeleide van f in x = 1. (b) Maak een schets waarop je de meetkundige betekenis van f ′ (1− ) en f ′ (1+ ) aanduidt. (c) Bereikt de grafiek van f een hoekpunt, keerpunt of verticale raaklijn in x = 1?

V

Oefening 7. Gegeven is de functie f (x) = x2 − 9 . (a) Bereken algebraı̈sch de linker- en rechterafgeleide van f in x = 3. (b) Maak een schets waarop je de meetkundige betekenis van f ′ (3− ) en f ′ (3+ ) aanduidt. (c) Bereikt de grafiek van f een hoekpunt, keerpunt of verticale raaklijn in x = 3?

V⋆⋆

Oefening 8. Bepaal algebraı̈sch de eventuele hoekpunten, keerpunten en verticale raaklijnen aan de grafiek van de volgende functies. Maak telkens een schets van de grafiek van f waarop je de verkregen informatie aanduidt. p p B⋆ (a) f (x) = x2 − 1 B⋆⋆ (d) f (x) = 5x2 − x3 … » ä3 Ä √ 3 3 ⋆ 2 2 V (e) f (x) = B (b) f (x) = (4 − x ) 1 − x2 p p 3 B⋆⋆ (c) f (x) = 9x2 + x − 3x V⋆ (f) f (x) = x3 − 3x + 2 Oefening 9 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 2008 tweede ronde).

De grafieken van de reële functies met functievoorschrift » » p p g1 (x) = −(x2 + 2x) + 8x3 + 4x2 g3 (x) = −(x2 + 2x) − 8x3 + 4x2 » » p p g4 (x) = − −(x2 + 2x) − 8x3 + 4x2 g2 (x) = − −(x2 + 2x) + 8x3 + 4x2 vormen samen het trifolium van De Longchamps (zie figuur).

y

x

Welk deel van de kromme is bepaald door g1 ?

y

y

x

(A)

y

y

x

(B)

x

(C)

x

(D) VIII-62

y

x

(E)

B⋆⋆

Oefening 10. Gegeven is de volgende functie f (x) =

p

18x2 − x4 .

(a) Plot met je grafische rekenmachine de grafiek van f en maak een schets op je blad. (b) Bepaal (algebraı̈sch) het domein van f . (c) Bepaal (algebraı̈sch) alle asymptoten aan de grafiek van f . (d) Toon aan dat f ′ (x) =

2x(9 − x2 ) √ . |x| · 18 − x2

(e) Ga algebraı̈sch na waar de functie stijgend en dalend is en bepaal de eventuele lokale extrema. (f) Bepaal de vergelijking van raaklijn in het punt (−1, f (−1)) aan de grafiek van f . (g) Bepaal (algebraı̈sch) de eventuele horizontale en verticale raaklijnen aan de grafiek van de functie f . (h) Bepaal (algebraı̈sch) de eventuele hoekpunten en keerpunten van de functie f .

U⋆

Oefening 11 (impliciet afleiden). Een vergelijking van de vorm f (x, y) = c waarbij c ∈ R stelt een kromme K in het vlak voor, namelijk de verzameling van punten K = {P (x, y) | f (x, y) = c}. Bij elke x-waarde kunnen meerdere y-waarden horen waarbij f (x, y) = c. Daarom zeggen we dat y impliciet gedefinieerd is door x (anders dan expliciet gedefinieerd, waarbij we y in functie van x schrijven en er bij elke x-waarde dus hoogstens één y-waarde hoort). (a) Welke kromme K stelt de vergelijking x2 + y 2 = 25 voor? (b) Ga na dat deze kromme K de unie is van de grafieken van de twee functies p p f1 (x) = 25 − x2 en f2 (x) = − 25 − x2 en duid deze grafieken aan op een schets van de kromme K.

(c) Beschouw een punt P (a, b) van de kromme K. Ga na dat de rico van de raaklijn in P aan de kromme gelijk is aan  a ′  als b > 0 f1 (a) = − b  f ′ (a) = − a 2 b

als b < 0

zodat de rico van de raaklijn in P aan de kromme gelijk is aan −

a (als b ̸= 0). b

(d) We kunnen ook als volgt te werk gaan. Omdat de grafiek van f1 op K ligt, voldoet y = f1 (x) aan de vergelijking van de kromme K, zodat x2 + f1 (x)2 = 25. Beide leden afleiden naar x levert x2 + f1 (x)2 = 25

waaruit f1′ (a) = −

⇒

2x · x′ + 2f1 (x) · f1′ (x) = 0

⇒

f1′ (x) = −

x f1 (x)

a a als b > 0. Analoog vinden we f2′ (a) = − als b < 0. b b

(e) De werkwijze in (d) kunnen we reduceren tot de volgende handeling, die men impliciet afleiden noemt: x2 + y 2 = 25

⇒

2x · x′ + 2y · y ′ = 0

⇒

x y′ = − . y

Zo is voor een punt P (a, b) van de kromme x = a en y = b zodat de rico van de raaklijn in P aan de kromme a gelijk is aan y ′ = − (als b ̸= 0). b (f) Gegeven is de kromme K met als vergelijking x3 + xy − y 3 = 25. Bepaal de vergelijking van de raaklijn in P (3, 2) aan de kromme K. VIII-63

Hoofdstuk 4

Afgeleiden van exponentiële en logaritmische functies 4.1

Inleiding en motivatie

3 Op ontdekking. Salvinia Molesta is een snelgroeiende waterplant. In optimale omstandigheden verdubbelt de omvang van deze plantjes iedere week. Een visser ontdekt op een dag 1 dm2 van deze plantjes. Wat is de groeisnelheid van de omvang waterplantjes op het moment van de ontdekking?

Oplossing. Noem f (x) de totale oppervlakte van de plantjes (in dm2 ) op x weken na de ontdekking. ▷ Functievoorschrift: f (x) = . . .

Salvinia Molesta op de Finniss rivier, Australië

▷ Tabel van enkele functiewaarden: −2

x f (x) ▷ Grafiek:

−1

...

...

0

1

2

3

...

...

...

...

y 8 7 6 5 4 3 2 1

−2 −1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

Nu is de groeisnelheid van de omvang waterplantjes op het moment van de ontdekking 1 1 rico van de raaklijn aan de grafiek van 2x in x = 0 x = de x | {z } f ′ (0)

Maar wat is f ′ (x)? In §4.3 stellen we rekenregels op om zo’n functie af te leiden, maar voorlopig moeten we anders te werk gaan om f ′ (0) te bepalen. ▷ We tekenen zo nauwkeurig mogelijk de raaklijn in het punt P (0, 1) aan de grafiek van f .

We meten: rico raaklijn ≈ . . .

VIII-64

▷ Met behulp van de grafische rekenmachine:

We besluiten: 1 de rico van de raaklijn aan grafiek van 2x in x = 0 is gelijk aan . . . {z } x|

1 x

f ′ (0)

Antwoord. De groeisnelheid van de omvang waterplantjes op het moment van de ontdekking is . . .

3 Op ontdekking (vervolg). Een gevaarlijke ziekte tast het waterplantje Salvinia Molesta aan. Elke week blijft er slechts een derde over van de vorige week. Een biologisch instituut meet op een dag 1 km2 van deze plantjes.

Wat is de groeisnelheid van de omvang van de waterplantjes op het moment van de meting? Los op met behulp van je grafische rekenmachine.

Oplossing.

4.2

Op zoek naar een bijzondere exponentiële functie

3 Herhaling (Deel Precalculus 1). Een exponentiële functie (met beginwaarde 1) is een functie f waarbij: 1 f (x) = ax x

met a ∈ R+ 0 \ {1}

1 x

We noemen a de groeifactor (of het grondtal) van de exponentiële functie. ▷ Tabel van enkele functiewaarden: x

−2

f (x)

...

−1 ...

0

1

2

3

...

...

...

...

▷ Grafiek:

+1

y

x

·a

f (x) = a

y ·a 1

1 f (x) = ax

+1

of

x

x

0<a<1

a>1

exponentiële afname

exponentiële groei VIII-65

3 Kernvraag. Zij f (x) = ax een exponentiële functie.

1 1 Voor welk grondtal a is de rico van de raaklijn aan grafiek van ax in x = 0 gelijk aan 1? {z } | x x f ′ (0)

Voor dat grondtal a zal de raaklijn in het punt P (0, 1) aan de grafiek van y = ax gegeven worden door t : y = 1+x (figuur rechts). Echter, voor andere waarden van het grondtal a snijdt de grafiek van y = ax de rechte y = 1 + x naast het punt P (0, 1) ook nog in een punt Q (figuur links).1

y

y Q

y = ax

y= ?

P (0, 1)

x

x

O

P (0, 1) O

y =1+x

x

t:y =1+x

We laten het punt Q langs de rechte y = 1 + x naderen naar het punt P . Bij elke stap vinden we een nieuwe waarde voor het grondtal a. ▷

Voor snijpunt Q(1, ·)

is

......

dus

a = ...

▷

ã 1 Voor snijpunt Q ,· 2

is

......

dus

a = ...

▷

Voor snijpunt Q

ã 1 ,· 3

is

......

dus

a = ...

Å

Å .. .

.. .

ã 1 Voor snijpunt Q ,· n   n → +∞ y

.. .

Å

▷

▷

is

......

dus

Voor raakpunt P (0, 1)

is

a = ...   n → +∞ y

a = ...

We herhalen uit Deel Rijen: Å ã 1 n ▷ Stelling (Euler). De rij un = 1 + convergeert. n Å ã 1 n def = 2, 71828182 . . . ▷ Definitie. Het getal van Euler is e = lim 1 + n→+∞ n 2

3 Antwoord op de kernvraag. Zij f (x) = ex .

1 1 de rico van de raaklijn aan de grafiek van ex in x = 0 is gelijk aan 1 {z } x| x f ′ (0)

3 Besluit. Voor f (x) = ex is f ′ (0) = 1.

1 Meer bepaald voor sommige (kleine) waarden van a met a > 1. Uiteindelijk zal blijken dat een exponentiële functie met vergelijking y = ax en de rechte met vergelijking y = 1 + x twee verschillende snijpunten hebben als en slechts als 1 < a < e waarbij e = 2, 71 . . . het getal van Euler is.

2 Aangetoond door Leonhard Euler en in 1748 gepubliceerd in zijn monumentaal werk Introductio in analysin infinitorum (Een introductie tot de analyse van het oneindige) [7], waarin de grondslagen voor de wiskundige analyse worden gelegd. In een lezing in 1950 op het Internationaal Wiskundecongres vergeleek Carl Boyer , vooraanstaand geschiedkundige van de wiskunde, de invloed van Eulers’ Introductio met Euclides’ Elementen: de eerste het voornaamste leerboek uit de oudheid, de tweede uit de moderne tijden [2].

VIII-66

4.3

De natuurlijke logaritmische functie

3 Herhaling (Deel Precalculus 1). Zij a ∈ R+ 0 \ {1}.

De logaritmische functie g(x) = a log x met grondtal a is de inverse functie van de exponentiële functie f (x) = ax ▷ Functievoorschrift: f (x) = ax

▷ Functievoorschrift: g(y) = a log y

Tabel van enkele functiewaarden: x x

a =y

−2

a

−1

−2

−1

a

0 1

Tabel van enkele functiewaarden (vul aan):

1

2

a

a

y

2

a

x = log y

Grafiek als a > 1

Grafiek als a > 1

y

x

1 y = ax x

O

O

Grafiek als 0 < a < 1

y

Grafiek als 0 < a < 1

y

x

y = ax 1

x

O

O

Uit de overgang van tabel f naar tabel g volgt de grondformule van logaritmen en aanverwanten: ax = y ⇔ x = a log y 1 1 x = a log (ax ) x a log y x a =y We herhalen tevens de vier rekenregels voor logaritmen: a

log(y1 · y2 ) = a log y1 + a log y2 Å ã y1 a log = a log y1 − a log y2 1 1 y2 x a log(y r ) = r · a log y x a log y b log y = a log b VIII-67

y

3 De natuurlijke logaritme. De logaritme met grondtal e = 2, 718281 . . . (het getal van Euler) noemen we de natuurlijke logaritme (of Neperiaanse logaritme) en noteren we korter door e log x = ln x.3 Omdat e > 1 wordt de grafiek van f (x) = ln x gegeven door (schets):

y

O

Leonhard Euler (1707 - 1783)

x

De grondformule voor logaritmen en aanverwanten wordt in dit geval: ex = y ⇔ 1 x = ln (ex ) x ln y e =y

x = ln y

1 x

3 Controle met behulp van de grafische rekenmachine. ▷ De rico van de raaklijn aan de grafiek van f (x) = ex in x = 0 is gelijk aan 1:

▷ Voor f (x) = ex is f ′ (0) = 1:

▷ De grafiek van f (x) = ln x en het verband met de grafiek van y = ex :

3 Genoemd naar John Napier 1614, hoewel zijn opbouw van logaritmen geen verband houdt met het getal e. De meetkundige betekenis van de natuurlijke logaritme komt in Deel Integralen aan bod.

VIII-68

4.4

Rekenregels

In een vorige paragraaf vonden we als antwoord van de kernvraag het volgende besluit: voor

f (x) = ex

is

f ′ (0) = 1.

Dat resultaat is de sleutel om de afgeleide functie van f (x) = ex te bepalen. Daarmee zullen we dan afgeleiden van exponentiële en logaritmische functies kunnen berekenen.

3 Rekenregel 9 (afgeleide van ex ).4 Ä ä′ e □ = e □ · □′

Als f (x) = ex dan is f ′ (x) = ex .

Bewijs.

Voorbeelden. Bereken telkens de afgeleide functie.5 2

(a)

f (x) = e−x

(b)

y=e

(c)

f (t) = ex

√

f ′ (x) = . . .

+5x−7

dy = ... dx

x

df = ... dt

3 Rekenregel 10 (afgeleide van ln x).6 Als f (x) = ln x dan is f ′ (x) =

1 . x

′

(ln □) =

1 · □′ □

Bewijs.

Ä ä′ transitie van (ex )′ = ex naar ef (x) = ef (x) f ′ (x) voor elke functie f volgt uit een algemeen resultaat voor de afgeleide van samengestelde functies, ook wel de kettingregel genoemd (zie Bijlage A). Ook bij volgende rekenregels zullen we die overgang maken.

5 Voorbeeld (c) vertolkt een wiskundig mopje, zie Deel L AT X. E 6 De schrijfwijze (ln x)′ = 1 heeft enkel zin voor x-waarden waarvoor de originele functie ln x gedefinieerd is, i.e. x > 0. Ook bij x rekenregels die in het vervolg aan bod komen, moet die bedenking gemaakt worden.

4 De

VIII-69

Voorbeelden. Bereken en vereenvoudig telkens de afgeleide functie.7 (a) f (x) = ln(x2 + 3x − 7)

(b) f (x) = ln |x|

3 Op ontdekking. Bereken de afgeleide functie van f (x) = x

√

2

.

Oplossing. We kunnen het grondtal x schrijven als een macht met grondtal e door gebruik te maken van de identiteit x = eln x . Op die manier vinden we (vul aan):8 f (x) = x

√

2

= ...

zodat (vul aan en werk uit): f ′ (x) = . . .

3 Rekenregel 11 (afgeleide van een reële macht). ′

(xr ) = rxr−1

Als f (x) = xr (met r ∈ R) dan is f ′ (x) = rxr−1 . ′

(□r ) = r □r−1 . □′

Bewijs.

afgeleide van |x| kan handig berekend worden met de rekenregel die in Interludium 1 gesuggereerd werd: (|x|)′ = |x| . De rekenregel x (ln |x|) = x1 is ruimer dan rekenregel 10, omdat ze geldig is voor elke x ∈ R0 , een vaststelling waar we in Deel Integralen gebruik van zullen maken.

8 De identiteit x = eln x gaat enkel op voor x > 0, zodat het herschrijven van het functievoorschrift van f enkel geldig is voor x > 0. √ Dat is geen verlies, omdat de functie f toch niet bestaat voor x < 0. Inderdaad, wegens de definitie van reële macht bestaat x 2 precies √ u n als voor elke √ rij (un ) die naar 2 convergeert ook de corresponderende rij (x ) convergeert. Maar dat is niet het geval voor x < 0 daar een naar 2 convergerende rij kan worden gevonden waarvoor de corresponderende rij (xun ) oneindig vaak een even machtwortel van x oplevert en dus niet convergeert. Daarenboven is de functie f niet afleidbaar in x = 0 omdat het een randwaarde van het domein van f betreft. Ook de formulering van Rekenregel 11 (en het bewijs daarvan) moet in die zin geı̈nterpreteerd worden.

7 De

′

VIII-70

3 Rekenregels 12 en 13 (afgeleide van ax en

a

log x). Zij a ∈ R+ 0 \ {1}.

Ä ä′ a□ = a□ ln a · □′

Als f (x) = ax dan is f ′ (x) = ax ln a.

Als f (x) = a log x dan is f ′ (x) =

1 . x ln a

′

( a log □) =

1 · □′ □ ln a

Bewijs.

3 Modelvoorbeeld. Bereken en vereenvoudig telkens de afgeleide functie.

5x 3x √ 5x (b) f (x) = 2 x x 3 (a) f (x) = 10x

(c) y = 3 log x2 + 1

(d) f (t) = t2 · log t (e) y = 5x 3x

5x 3x

5x 3x

Oplossing.

Tot slot kunnen we nu ook het vraagstuk uit de op ontdekking in §4.1 algebraı̈sch oplossen. Daar was de functie f (x) = 2x gegeven, en werd de groeisnelheid f ′ (0) gevraagd.

Welnu (vul aan): f ′ (x) = . . . zodat (zowel exacte waarde als decimale voorstelling geven): f ′ (0) = . . .

VIII-71

4.5

Toepassingen

3 Modelvoorbeeld 1 (hyperbolische functies).9 De functies sinus hyperbolicus sinh x en cosinus hyperbolicus cosh x worden gedefinieerd als: def

sinh x =

ex − e−x 2

en

def

cosh x =

ex + e−x 2

y

y

2

2 y = sinh x

y = cosh x

1

−2

−1

1

1

2

x

−2

−1

−1

−2

′

1

2

x

−1 −2

′

(a) Bereken (sinh x) en (cosh x) . (b) Toon aan dat y = cosh x voor elke x ∈ R voldoet aan de vergelijking: y 2 = (y ′ )2 + 1.

Oplossing.

9 De benamingen sinus hyperbolicus en cosinus hyperbolicus kunnen als volgt verklaard worden. Uit de formule van Euler eix = cos x + i sin x voor elke x ∈ R (zie Deel Complexe getallen) volgt dat het functievoorschrift van de goniometrische functies sin x en cos x ix −ix eix − e−ix kan geschreven worden als sin x = en cos x = e +e . Vervangen we hierin de imaginaire eenheid i door de reële eenheid 1, 2 2i dan vinden we de functievoorschriften van sinus hyperbolicus en cosinus hyperbolicus terug. Anderzijds zijn x = cosh t en y = sinh t een stel parametervergelijkingen van de eenheidshyperbool met vergelijking x2 − y 2 = 1. Opnieuw is de analogie met de goniometrische functies treffend, daar x = cos t en y = sin t een stel parametervergelijkingen zijn van de eenheidscirkel met vergelijking x2 + y 2 = 1. In 1638 wierp Galileo Galilei het vermoeden op dat de vorm van een opgehangen ketting een parabool is. De Duitse wiskundige en filosoof Joachim Jungius was een van de eersten die eraan dacht om deze bewering proefondervindelijk te verifiëren. Dat kun je ook zelf doen door een ketting op te hangen en gebruik te maken van basiseigenschappen van de parabool [5]. Dat de vorm van een hangende ketting geen parabool is, werd in 1646 formeel aangetoond door de 17-jarige Christiaan Huygens . In 1691 vonden Huygens, Gottfried Wilhelm Leibniz en Johann Bernoulli onafhankelijk van elkaar de vergelijking Å ã x y = A cosh −1 waarbij A ∈ R+ 0 .

A

Door de grafiek van cosh x met 1 naar onder te verschuiven en daarna met gelijkvormigheidsfactor A > 0 te herschalen (rek uit volgens de x-as met factor A en volgens de y-as met factor A), dan verkrijgen we de de formule hierboven [19]. Het achterhalen van deze vergelijking betekende een triomf voor de toen pas ontwikkelde differentiaal- en integraalrekening.

VIII-72

3 Modelvoorbeeld 2 (uitstroomsnelheid).10 Een regenton bevat 100 liter water. Als we het vat kantelen loopt het langzaam leeg. De resterende hoeveelheid water wordt gemodelleerd door de functie: 2 V (t) = 100 · (0, 99)t

met V de hoeveelheid water (in liter) en t de tijd (in minuten). (a) Na hoeveel minuten is het vat halfleeg?11 Bereken algebraı̈sch. Afronden op een seconde nauwkeurig. (b) Bereken de afgeleide V ′ (t). Wat is de fysische betekenis van V ′ (t)? (c) Bereken de snelheid waarmee het water wegloopt op tijdstip t = 0 en t = 10. ⋆

(d) Op welk tijdstip is de uitstroomsnelheid het grootst? Bereken algebraı̈sch. Afronden op een seconde nauwkeurig.

Oplossing.

10 Met de benaming instroomsnelheid bedoelen we in deze context de mate van de verandering van het overblijvend volume water in functie van de tijd. Is op een tijdstip t de instroomsnelheid negatief, dan neemt het volume water op dat moment af, waarbij de tegengestelde functie (die op dat tijdstip t dan positief is) logischerwijze de uitstroomsnelheid wordt genoemd. Dit begrip is beter bekend onder de naam debiet Q (of het wiskundig begrip flux Φ), waarmee in het algemeen de doorstroom van een grootheid door een oppervlakte wordt aangeduid. Uitstroomsnelheid (of debiet) V ′ (t) = Q, dat de SI-eenheid m3 /s draagt, mag niet verward worden met de snelheid waarmee de vloeistof uit de opening stroomt. p Die zogenaamde stroomsnelheid met eenheid m/s is wegens de wet van Torricelli ( Evangelista Torricelli 1643) gelijk aan v(t) = 2gh(t) waarbij g staat voor de valversnelling 9, 81 m/s2 en h(t) de afstand tussen het vloeistofoppervlak en het midden van de opening op tijdstip t is. Die snelheid komt overeen met de snelheid die de vloeistof ook in vrije val zou halen, en is dus onafhankelijk van de vorm van het reservoir, vorm van de leiding, grootte van de uitstroomopening en massadichtheid van de vloeistof. Merk wel op dat deze wetmatigheid enkel waar is als het vat open is en als de oppervlakte van de opening onderaan het vat veel kleiner is dan het bovenoppervlak van het vat, zodat de snelheid aan het oppervlak gelijk aan nul mag gesteld worden [29]. Is het ′ doorstroomoppervlak constant, notatie p A, dan wordt de relatie tussen uitstroomsnelheid (of debiet) V (t) = Q en stroomsnelheid v(t) gegeven door V ′ (t) = A · v(t) = A 2gh(t). Merk op dat door een atypische vorm van de regenton de hoogte van het waterpeil geen eenvoudige functie in t hoeft te zijn.

11 De begrippen halfvol en halfleeg zijn wel degelijk op een (zinnige) manier te onderscheiden van elkaar. Drinkt men bijvoorbeeld uit een glas gevuld met water en stopt men in de helft, dan is het glas halfleeg. Wanneer men echter water in een leeg glas schenkt tot ze tot de helft gevuld is, dan is het glas halfvol. Wie nu nog steeds denkt dat 12 vol = 12 leeg, vermenigvuldigt beide leden met 2, en verkrijgt zo de contradictie vol = leeg.

VIII-73

3 Modelvoorbeeld 3 (verloop van een exponentiële functie).

Gegeven is de functie:12

2

f (x) = e−x . (a) Bereken algebraı̈sch het domein van f . (b) Bepaal alle x-waarden waarvoor de grafiek van f stijgend/dalend, hol/bol is (samenvattende tabel). (c) Bereken algebraı̈sch de eventuele asymptoten aan de grafiek van f . (d) Maak een correcte schets van de grafiek van f . Duid hierbij alle resultaten aan die je in de vorige vragen verkregen hebt.

Oplossing.

1

Ä

ä x−µ 2

van (de grafiek) van deze functie leiden tot een voorschrift van de vorm √1 e− 2 σ met µ ∈ R en σ ∈ R+ 0 , wiens σ 2π grafiek de normale verdeling wordt genoemd. Deze functies kennen hun belang in de statistiek, waar ze optreden als kansverdelingsfuncties van continue stochasten, zie Deel Beschrijvende statistiek en Deel Kansrekenen 2 en verklarende statistiek.

12 Transformaties

VIII-74

3 Modelvoorbeeld 4 (verloop van een logaritmische functie).

Gegeven is de functie: f (x) =

ln x . x

(a) Bereken algebraı̈sch het domein van f . (b) Bepaal alle x-waarden waarvoor de grafiek van f stijgend/dalend, hol/bol is (samenvattende tabel). (c) Bereken algebraı̈sch de eventuele verticale asymptoten aan de grafiek van f . (d) Bereken algebraı̈sch (indien mogelijk) de eventuele horizontale asymptoten aan de grafiek van f . (e) Maak een correcte schets van de grafiek van f . Duid hierbij alle resultaten aan die je in de vorige vragen verkregen hebt.

Oplossing.

VIII-75

Oefeningen 4 Afgeleiden van exponentiële en logaritmische functies

Basis ⋆

⋆⋆

Verdieping ⋆ ⋆⋆

4.4 Rekenregels

1

1

1

1

1

4.5 Toepassingen

4 16 17

5 7 13

6 8 15 19

9 10

20

Uitbreiding ⋆ ⋆⋆

14

2 21

3 11

12 18

Oefeningen bij §4.4 Oefening 1. Bereken telkens de afgeleide functie.13 B

(1)

f (x) = 3x

B

(2)

y = 7 log x5

B

(3)

f (x) = e

B

(4)

y = 3 log x2 − 2x + 1

B

(5)

B⋆⋆ (12) y =

x2 −7x+4

V

y=5

B⋆ (6)

Ä ä p f (x) = ln x + x2 − 4

B⋆ (7)

y = 5x

B⋆ (8)

f (x) =

B⋆ (9)

f (t) = t · 2 log t

2

−7 ln x+4

√

x3 ln x Å…

√ 7 x−6

B

(11) y = − ln(x17 )

2x − 3x + 7

B⋆ (10) f (x) = ln (x2 − 17) + ln 3

(13) f (x) = log

B⋆⋆ (14) f (x) = 4 log

1−x 1+x

Äp 3

x−2 B (15) f (x) = log x−3 V

(16) y = ee

ã

x2 + 2x − 5 + 1

Å

⋆⋆

ä

ã

ex

B⋆⋆ (17) f (x) = e

x2 +3 x+3

B⋆⋆ (18) y = 2 log x · 3 log x V⋆ (19) f (x) = xπ + π x + xx + π π V

(20) f (x) =

Oefeningen bij §4.5 U

3

7

log (x2 − 2x )

3

Oefening 2 (differentiaalvergelijking). Een vergelijking in y, y ′ , y ′′ , . . . noemt men een differentiaalvergelijking.

2 Oplossingen van differentiaalvergelijkingen zijn functies. Ga na dat elke functie y = 2 + ce−2x , met c een willekeurig reëel getal, een oplossing is van de differentiaalvergelijking y ′ + 4xy = 8x.

U⋆

Oefening 3 (differentiaalvergelijking). Een vergelijking in y, y ′ , y ′′ , . . . noemt men een differentiaalvergelijking.

Oplossingen van differentiaalvergelijkingen zijn functies. Bereken alle mogelijke waarden voor m ∈ R zodat y = emx een oplossing is van de differentiaalvergelijking y ′′′ − 3y ′′ − 4y ′ + 12y = 0.

B

Oefening 4. De verkoop van een bepaalde exclusieve wijn uit 2004 wordt gemodelleerd door de functie met voorschrift f (t) = 4, 5 e−0,2t waarbij t de tijd in jaren is, verstreken sinds 1 januari 2004 en f (t) staat voor het aantal verkochte flessen (in duizendtallen) op tijdstip t. Hoe snel stijgt of daalt de verkoop 1 jaar later? Los algebraı̈sch op. Controleer nadien met behulp van je grafische rekenmachine.

13 Opgave (16) is een origineel voorbeeld uit het bekende werk over differentiaalrekening [8] van Leonhard Euler, gepubliceerd in 1755.

Een eerste druk van dit werk staat sedert 2011 op het internet te koop voor 9323, 53 dollar (exclusief 40, 62 dollar verzendingskosten) [26].

VIII-76

B⋆

Oefening 5. Een kleine uitgeverij heeft gemerkt dat haar opbrengst A (in euro) logaritmisch afhangt van het aantal verkochte boeken q. Er geldt immers: A(q) = 250 ln q.

De kosten K (in euro) voor het maken van de verkochte boeken worden bepaald door K(q) = 1, 8 q.

Hoeveel boeken moeten verkocht worden opdat de winst maximaal is? Wat is deze winst dan? Los algebraı̈sch op.

B⋆⋆

Oefening 6. Gegeven is de functie

Johannes Gensfleisch zur Laden zum Gutenberg14 (± 1397 - 1468)

1

f (x) = e x . (a) Bereken algebraı̈sch het domein van f . (b) Bepaal alle x-waarden waarvoor de grafiek van f stijgend/dalend, hol/bol is. (c) Bereken algebraı̈sch de eventuele asymptoten aan de grafiek van f .

(d) Maak een correcte schets van de grafiek van f . Duid hierbij alle resultaten aan die je in de vorige vragen verkregen hebt.

B⋆

Oefening 7. Gegeven is de functie f (x) = x2 ex . (a) Bereken algebraı̈sch het domein van f . (b) Bepaal algebraı̈sch alle x-waarden waarvoor de grafiek van f stijgend/dalend, hol/bol is (samenvattende tabel). (c) Maak een correcte schets van de grafiek van f . Duid hierbij alle resultaten aan die je in de vorige vragen verkregen hebt.

B⋆⋆

Oefening 8. Gegeven is de functie f (x) =

Å ã 1 1−x ln .

4 1+x

(a) Bereken algebraı̈sch het domein van f . (b) Bepaal alle x-waarden waarvoor de grafiek van f stijgend/dalend, hol/bol is (samenvattende tabel). (c) Bereken algebraı̈sch de eventuele asymptoten aan de grafiek van f . (d) Maak een correcte schets van de grafiek van f . Duid hierbij alle resultaten aan die je in de vorige vragen verkregen hebt.

V

2

Oefening 9. Gegeven is de grafiek van de functie f (x) = e−x . Bepaal de rechthoek, waarvan één zijde samenvalt met de x-as en de tegenoverliggende hoekpunten tot de grafiek van f behoren, waarvoor de oppervlakte het grootst is.

y 1 y = e−x

−2

−1

1

2

2

x

14 Het oudste bekende complete gedrukte boek is de Diamantsoetra, geprint op 11 mei 868 n.Chr. door de Chinese drukker Wang Jie. In de westerse wereld dringt de boekdrukkunst pas vele eeuwen later door, waar Johannes Gutenberg wordt gezien als de uitvinder van de drukpers. Zijn bekendste werk is de in 1455 voltooide Gutenbergbijbel. De veelgehoorde bewering dat Gutenberg de boekdrukkunst zou hebben uitgevonden, is misleidend. De blokdruk bestond al langer, waarbij een hele bladzijde uit één blok werd vervaardigd. Als zo’n bladzijde achteraf moest worden gecorrigeerd en geredigeerd, dan moest er een heel nieuw blok worden gesneden. Gutenbergs zeer grote verdienste bestaat in het gebruik van losse letters. Door Gutenbergs vinding werden correctie en redactie gemakkelijker en goedkoper; kleine verwisselingen in het zetsel waren nu voldoende [29].

VIII-77

V

Oefening 10. Een treinspoor neemt de vorm aan van de grafiek van de functie f (x) = 1 − ln x.

In de oorsprong bevindt zich een boom. Bepaal het punt P op het treinspoor dat het dichtst bij de boom ligt.

U⋆

Oefening 11 (beperkte groei). Een wiskundig model voor de opwarming (of afkoeling) van een voorwerp is het beperkte groeimodel: T (t) = M − (M − c)e−kt met M, c ∈ R en k ∈ R+ 0 waarbij T (t) staat voor de temperatuur van het voorwerp op tijdstip t en M staat voor de omgevingstemperatuur.

Een ijsblokje wordt uit het vriesvak gehaald en in de keuken gelegd. De oorspronkelijke temperatuur van het ijsblokje is −17◦ C en de temperatuur van de keuken is 18◦ C. Na tien minuten (t = 10) is de temperatuur gestegen tot −8◦ C. (a) Bepaal, in het beperkte groeimodel, functie T (t). (b) Toon aan dat de verandering van de temperatuur op elk tijdstip t een veelvoud is van het verschil van de temperatuur op tijdstip t met de kamertemperatuur. Deze wetmatigheid staat bekend als de afkoelingswet van Newton.15

U⋆⋆

Oefening 12 (logistische groei). Een wiskundig model voor de verspreiding van een ziekte is het logistisch groeimodel:16 N (t) =

M 1 + ce−kM t

met k, M ∈ R+ 0 en c ∈ R

waarbij N (t) staat voor het aantal besmette personen op tijdstip t en M staat voor de grootte van de populatie.

Veronderstel dat er een ziekte uitbreekt in een populatie van 1000 mensen en dat er oorspronkelijk één persoon geı̈nfecteerd is. Stel verder dat na één week (t = 7) er 10 mensen besmet zijn. (a) Bepaal, in het logistisch groeimodel, functie N (t). (b) Toon aan dat de besmettingssnelheid op elk tijdstip t zowel een veelvoud is van het aantal besmette mensen als het aantal onbesmette mensen op tijdstip t.

Pierre François Verhulst (1804 - 1849)

(c) Op welk tijdstip is de besmettingssnelheid het grootst?

B⋆

Oefening 13 (toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Vrije Universiteit Brussel).

Als y = ln(aex + be−x ) met a, b ∈ R bereken dan y ′′ + (y ′ )2 .

V⋆⋆

Oefening 14 (toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Universiteit Gent 1986).

Gegeven een punt M op de grafiek van de functie 3 f (x) = √ x ln x 2

met x ≥

2 .

10

De raaklijn in M aan de grafiek van f snijdt de y-as in een punt N . Bepaal de plaats van het punt M waarvoor de lengte van het lijnstuk [M N ] minimaal is.

15 Anoniem gepubliceerd door Isaac Newton in 1701. Newton schreef geen formule neer, maar beschreef zijn afkoelingswet woordelijk als: the excess of the degrees of the heat [. . . ] were in geometrical progression when the times are in an arithmetical progression. Hij merkte op dat deze wet wiskundig kan afgeleid worden uit een lineair verband tussen de verandering van de termperatuur in functie van de tijd en het temperatuursverschil tussen het object en zijn omgeving, i.e. dT ∝ −(T − M ), zie Deel Integralen. Newton beschouwde zijn dt afkoelingswet niet als een experimenteel resultaat, maar als hypothese die het wiskundig gevolg is van de groeiwet dT ∝ −(T (t) − M ), aan dt de hand waarvan hij een temperatuurschaal definieerde [1].

16 Dit model werd voor het eerst beschreven door de Belgisch wiskundige en demograaf Verhulst in 1838 [22]. Zijn studie van de evolutie van de bevolkingscijfers leidde tot de hypothetische groeiwet dN ∝ N (M − N ). De nodige statistische gegevens om deze hypothese te dt testen, ontbraken echter nog volledig. Verhulsts werk bleef lang onopgemerkt en werd eerst ten volle gewaardeerd na de wederontdekking van de logistische kromme door de Amerikanen Raymond Pearl en Lowell Reed in 1920. Tegenwoordig wordt de logistische functie van Verhulst onder meer toegepast in ecologie (modelleren van populatiegroei), kunstmatige intelligentie (neurale netwerken), geneeskunde (groei van tumoren), chemie (reactiemodellen), fysica (statistische verdeling van fermionen over de energetische toestanden in thermisch evenwicht), taalkunde (modelleren van de manier waarop bepaalde kenmerken van een taal veranderen in de loop van de tijd), landbouw (reactie van een gewas naargelang de groeifactor verandert), economie en sociologie (verspreiding van een product of idee binnen een groep) [29].

VIII-78

B⋆⋆

Oefening 15 (toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Vrije Universiteit Brussel).

Gegeven is de functie x f (x) = e 2 − ex .

Bepaal alle x-waarden waarvoor de grafiek van f stijgend/dalend, hol/bol is.

B

Oefening 16 (wiskunde zelftest A Katholieke Universiteit Leuven 2009). z2 1 Bereken de tweede afgeleide van y naar z indien y = √ e− 2 2π z2 1 (A) √ e− 2 2π z2 1 (B) √ e− 2 (z 2 + 1) 2π z2 1 (C) √ e− 2 (z 2 − 1) 2π z2 1 (D) − √ z e− 2 2π

B

Oefening 17. Zij A(x) de kosten (in euro) om een huis te bouwen met een vloeroppervlakte van x vierkante meter.

Wat is de betekenis van A′ (x) = 250?

U⋆⋆

Oefening 18 (limietsnelheid van een vallend voorwerp). Op aarde is een vallend voorwerp met massa m naast de zwaartekracht ook nog onderworpen aan de luchtweerstand, een wrijvingskracht die evenredig is met het kwadraat van de snelheid: Fw = kv 2 met k > 0 (afhankelijk van de vorm van het voorwerp). De grootte van de snelheid van het vallend voorwerp in functie van de tijd is dan gelijk aan Ç… å … mg gk v(t) = tanh t k m met g de valversnelling (die in onze contreien ongeveer gelijk is aan 9, 81 m/s2 ) en waarbij tanh staat voor de tangens hyperbolicus, gedefinieerd door def sinh x . tanh x = cosh x (a) Bereken de versnelling van het vallend voorwerp in functie van de tijd t. (b) Bewijs dat de versnelling nadert naar 0 naarmate de tijd toeneemt. (c) Bepaal de snelheid die het voorwerp heeft na verloop van tijd (de zogenaamde limietsnelheid).

B⋆⋆

Oefening 19 (toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Katholieke Universiteit Leuven 2001).

Beschouw de functie enx f (x) = waarbij n ∈ N. 1 − ex Gegeven is dat f een maximum bereikt voor x = ln 2. (a) Bereken de waarde van n. (b) Bepaal alle eventuele verticale en horizontale asymptoten aan de grafiek van f .

V⋆

Oefening 20. Een rechte t door de oorsprong raakt de grafiek van de functie f (x) =

2 + 2 ln x x

in een punt A. Bepaal de coördinaten van het punt A en de vergelijking van de rechte t.

U

Oefening 21 (hoek tussen twee snijdende krommen). De hoek tussen twee snijdende krommen is bij definitie de scherpe hoek tussen de raaklijnen in dat snijpunt. Toon aan dat de tangens van de hoek tussen de krommen met vergelijkingen f (x) = ln(x − 2) en g(x) = x2 − 4x + 3 in het snijpunt S(3, 0) gelijk is aan 13 .

VIII-79

Au reste je reconnois devoir beaucoup aux lumieres de Mrs Bernoulli, sur tout à celles du jeune presentement Professeur à Groningue. Je me suis servi sans façon de leurs découvertes . . .

Guillaume-François-Antoine de l’Hospital, 1696 [12]

Interludium 2 Om van een functie f een limiet van de volgende vorm te berekenen (waarbij a ∈ R): lim f (x),

x→ a <

lim f (x),

x→ a >

lim f (x),

x→a

lim f (x),

x→+∞

lim f (x)

x→−∞

gaan we invullen: vervang x in f (x) door resp. a− , a+ , a, +∞, −∞. Bij deze praktische berekening van limieten zijn de volgende uitkomsten onbepaald: ∞ ∞

,

Å ã 0 , 0

(∞ − ∞) ,

(0 · ∞) ,

00 ,

∞0 ,

(1∞ )

Om zo’n onbepaaldheid op te heffen, kunnen de vuistregels uit Interludium 1 gebruikt worden. Dat leidt niet altijd tot een oplossing, zo blijkt uit: Å ã ∞ 0 x3 x2 − 1 = =? en lim x = =? lim x→+∞ e x→1 ln x 0 ∞ De zogenaamde regel van de l’Hospital is een machtig middel om onbepaaldheden te behandelen.

1. Regel van de l’Hospital Alvorens we de regel van de l’Hospital formuleren en tonen hoe je die bij het berekenen van limieten kan inzetten, zullen we deze regel eerst meetkundig aannemelijk maken.

Beschouw een limiet van een quotiënt van twee functies f en g die bij het invullen de onbepaaldheid ( 00 ) geeft:1 Å ã f (x) 0 lim = =? x→a g(x) 0 We plotten de grafieken van de functies f en g in één assenstelsel (linkerfiguur). Zoomen we in op x = a, dan worden beide grafieken benaderd door de rechten t1 en t2 (rechterfiguur). De rico’s m en n van de rechten t1 en t2 voldoen wegens de meetkundige betekenis van het begrip afgeleide aan: m = lim f ′ (x) x→a

en

n = lim g ′ (x). x→a

Op die manier kan de oorspronkelijke onbepaaldheid herleid worden tot een nieuwe limiet: Å ã f (x) 0 m(x − a) m f ′ (x) lim = = lim = = lim ′ . x→a g(x) x→a n(x − a) x→a g (x) 0 n

g

y

t2

t1

f

a

a

x

1 Bij deze redenering zullen we de gepaste voorwaarden op de functies f en g veronderstellen die in de opgave van de stelling hierna geformuleerd worden.

VIII-80

Een formeel bewijs van de volgende stelling steunt op de zogenaamde veralgemeende middelwaardestelling van Cauchy (Bijlage B) en laten we achterwege.2 Onder bepaalde voorwaarden is een zeer eenvoudig bewijs echter wel mogelijk.

3 Stelling (regel van de l’Hospital). 4 Zij f en g twee functies die beide bestaan, afleidbaar zijn en waarvoor g(x) ̸= 0 en g ′ (x) ̸= 0 in een verminderde omgeving van □ ∈ {a− , a+ , a, +∞, −∞}.

Dan geldt: Å ã ∞  0   of 0 ∞   f ′ (x)  lim ′ bestaat x→□ g (x)

f (x) lim = x→□ g(x)

⇒

f ′ (x) f (x) = lim ′ x→□ g (x) x→□ g(x) lim

Bewijs voor het geval 00 , □ = a en f en g bestaan in a, f en g zijn afleidbaar in a, f ′ en g ′ zijn continu in a, g ′ (a) ̸= 0. Å ã f (x) 0 lim = x→a g(x) 0 = lim

x→a

f (x) − f (a) g(x) − g(a)

Guillaume-François-Antoine 3 de l’Hospital (1661 - 1704)

want . . .

f (x) − f (a) x−a = lim x→a g(x) − g(a) x−a

want . . .

f (x) − f (a) x−a = g(x) − g(a) lim x→a x−a

want . . .

=

f ′ (a) g ′ (a)

want . . .

f ′ (x) x→a g ′ (x)

want . . .

lim

x→a

= lim

Praktische werkwijze. Bij een onbepaaldheid van de vormen 00 en ∞ ∞ nemen we de afgeleide van de teller en de noemer en herberekenen we de limiet. Het toepassen van de regel van de l’Hospital wordt aangeduid met de letter H boven het gelijkheidsteken.

Voorbeeld. De volgende limiet kan berekend worden door in de teller de factor x − 2 af te zonderen (schema van Horner, zie Interludium 1): Å ã x5 − 32 0 lim = x→2 x − 2 0 (x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16)(x − 2) = lim x→2 x−2 4 3 2 = lim (x + 2x + 4x + 8x + 16) = 80. x→2

Door voortaan de regel van de l’Hospital te gebruiken, kunnen we het rekenwerk flink inkorten: Å ã x5 − 32 0 H 5x4 = lim lim = = 80. x→2 x − 2 x→2 1 0

2 Bij de regel van de l’Hospital komen vijf types van limieten ter sprake, namelijk □ ∈ {a− , a+ , a, +∞, −∞}; vijf soorten quotiënten die +∞ +∞ −∞ −∞ tot een onbepaaldheid leiden, namelijk 00 , +∞ , −∞ , +∞ , −∞ ; en drie types van uitkomsten: een reëel getal, +∞ of −∞. In het totaal moeten dus 5 × 5 × 3 = 75 gevallen worden bewezen. Net om die reden maakt men in de literatuur bij een bewijs van de regel van de l’Hospital meestal gebruik van de veralgemeende middelwaardestelling van Cauchy, die in heel wat leerboeken over calculus zelfs enkel om die reden behandeld wordt. Voor een meer elementair bewijs verwijzen we naar de blog van Chris Impens [25, l’Hospital’s rule, 1 idea with 75 cases] van 6 september 2015.

3 . . . , Marquis de Sainte-Mesme et du Montellier, Compte d’Autremonts, Seigneur d’Ouques-la-Chaise. De schrijfwijze l’Hospital is oud Frans, waarbij de letter s niet uitgesproken wordt. Na de dood van de l’Hospital schreef men in de Franse taal ook wel l’Hôpital, waarbij men de letter s laat vallen (aangezien deze toch niet uitgesproken wordt) en men de letter o voorziet van een accent circonflexe om de uitspraak van de klinker aan te geven.

4 Edelman de l’Hospital publiceerde in 1696 anoniem het allereerste boek over analyse. De inhoud was grotendeels afkomstig van Johann Bernoulli 1691/92, die door de l’Hospital betaald werd om hem om de hoogte te houden van de ontwikkelingen in de differentiaalrekening en hem te helpen om problemen op te lossen waar de l’Hospital tegenaan liep. De historische fout dat deze regel naar de l’Hospital vernoemd wordt, is in het geheel niet te wijten aan de l’Hospital zelf, zo getuige het citaat uit zijn boek bovenaan de vorige pagina.

VIII-81

De regel van de l’Hospital herleidt de onbepaaldheden 00 en ∞ ∞ vaak tot limieten die de onbepaaldheid opheffen.

Als de limiet van afgeleide teller gedeeld door afgeleide noemer zelf tot een onbepaaldheid van dat type leidt, kan men de redenering herhalen.

3 Modelvoorbeeld. Bereken algebraı̈sch de volgende limieten door de regel van de l’Hospital toe te passen. Alle tussenstappen opschrijven! x2 − 1 x→1 ln x x3 (b) lim x x→+∞ e √ x2 − 1 (c) lim x→−∞ x (a) lim

Oplossing.

3 Opmerking. Het voorgaande Modelvoorbeeld (c) laat zien dat de regel van de l’Hospital niet altijd tot een oplossing leidt.5 Het blijft dus aangewezen om de vuistregels uit Interludium 1 in het achterhoofd te houden: √ x2 − 1 ∞ lim = x→−∞ x ∞ »

x2 1 − x12 = lim x→−∞ x » √ 2 x · 1 − x12 = lim x→−∞ x » |x| · 1 − x12 = lim x→−∞ x » −x · 1 − x12 = lim x→−∞ x Ç … å √ 1 1 = lim − 1− 2 =− 1− = − 1 − 0 = −1.

2 x→−∞ x (−∞) 5 Dit

probleem beperkt zich niet tot irrationale functies. Zo geeft het rechtstreeks toepassen van de regel van de l’Hospital ook bij x +e−x x vermenigvuldigt. limx→+∞ eex −e −x geen oplossing, tenzij men eerst de teller en noemer met e

VIII-82

2. Overige onbepaaldheden herleiden tot de regel van de l’Hospital

0 Onbepaaldheden van de vorm ∞ ∞ en 0 kunnen aangepakt worden door de regel van de l’Hospital te gebruiken.

Voor de vijf andere onbepaaldheden kan deze regel niet rechtstreeks toegepast worden. Het komt er dan op aan om

0 deze onbepaaldheden eerst te herleiden naar de vorm ∞ of . ∞ 0 lim f (x),

x→ a <

∞ Å0ã , ∞ 0 (0 · ∞)

(∞ − ∞)

00 , ∞0 en (1∞ )

lim f (x),

x→ a >

lim f (x),

x→a

lim f (x)

x→±∞

De regel van de l’Hospital toepassen: leid de teller af, leid de noemer af en zoek de limiet van het nieuwe quotiënt.

Als quotiënt schrijven door eventueel een factor in de noemer te forceren met behulp van □ = 11 zodat de onbepaaldheid □

0 wordt herleid tot ∞ ∞ of 0 .

Breuken gelijknamig maken, iets afzonderen of vereenvoudigen

0 zodat de onbepaaldheid wordt herleid tot ∞ ∞ of 0 .

Schrijf het grondtal □ als een macht van e door gebruik te maken van de identiteit □ = eln □ en pas de rekenregel limiet van een macht (met constant grondtal) is macht van0 de limiet zodat de onbepaaldheid wordt herleid tot ∞ of ∞ 0 .

3 Modelvoorbeeld. Bereken algebraı̈sch de volgende limieten. Alle tussenstappen opschrijven! Å ã ln 5 x−1 (c) lim x 1+ln x (a) lim x · ln →0 x x→+∞ x+5 > 1

(d) lim 1 4x2 2x+1 (b) lim e3x − 5x x→− x→+∞

2

Oplossing.

Controle met de grafische rekenmachine.

Y=

VARS

Y-VARS

1:Function

Deze techniek laat ons toe om de stelling van Euler uit Deel Rijen te veralgemenen. Het bewijs wordt als oefening aan de lezer overgelaten. Å ã 1 x 3 Gevolg. Er geldt: lim 1 + = e. x→±∞ x VIII-83

Oefeningen Interludium 2

Basis ⋆

1 Regel van de l’Hospital

1

2 Overige onbepaaldheden herleiden tot de regel van de l’Hospital

3 4 5 8 9 12

Verdieping ⋆ ⋆⋆

⋆⋆

Uitbreiding ⋆ ⋆⋆

2 3 5 9 12

3 5 9 12

3 5 9 10 12

3 6 9 11 12

7 12

Oefeningen bij §1 Oefening 1. Bereken algebraı̈sch de limiet

B

lim

x→ 31

en controleer met behulp van je grafische rekenmachine.

ln(3x) 1 − 3x

Oefening 2. Bereken algebraı̈sch de volgende limiet op twee verschillende manieren: √ x+2−2 . lim x→2 x−2

V

Oefeningen bij §2 Oefening 3. Bereken algebraı̈sch de volgende limieten. Toon nauwkeurig alle tussenstappen.

B

(1)

B

(2)

B⋆ (3)

3e2x x→+∞ 7 − 5e2x √ 3 5x + 7 − 3 lim x→4 x−4

B⋆ (6)

lim

B⋆⋆ (7)

x→

< 5

√

2

lim (x2 − 1) ln(x−1)

x→ 1 >

3

lim1

lim x1/x

x→+∞

log (1 − 5x) ln(2 − 10x)

V⋆ (8)

lim

x→+∞

1+

a x met a ∈ R x 2

B

(4)

B⋆ (5)

Ä ä 1 lim 1 + 2e− x2

B

(9)

lim xe−x

V

(10)

x→−∞

6 + e−2x lim 2 x→−∞ 6 − e−2x a

x→+∞

lim

x→0

log(1 + x) met a ∈ R+ 0 \ {1} x

Oefening 4 (modelvoorbeeld 4 pagina 75). Bepaal algebraı̈sch de eventuele horizontale asymptoten aan de grafiek van de functie ln x f (x) = . x

B

Oefening 5. Bepaal algebraı̈sch alle asymptoten aan de grafiek van volgende functies. f (x) = xex

B

(a)

B

(b) f (x) = x +

B⋆ (c)

f (x) =

B⋆ (d) f (x) = ln x x

V

(e)

2ex +1

ex x

f (x) = e 2 − ex

2 + 2 ln x x VIII-84

V⋆

Oefening 6 (toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Universiteit Gent 1984).

Bepaal lim f (x) voor f (x) = 2x2 ln |x| − 5x2 . x→0

V⋆⋆

Oefening 7 (toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Universiteit Gent 1987).

Bepaal de asymptoten aan de grafiek van de functie f (x) = 3 ln(ex + 1) − 2x.

Oefening 8. Waar of vals? Beoordeel de volgende berekening. Indien vals, verbeter tot een correcte berekening.

B

3x2 − 2x − 1 H 6x − 2 H 6 x3 − x2 − x − 2 H = lim 2 = lim = lim = 1 3 2 x→2 3x − 6x + 3 x→2 6x − 6 x→2 6 x→2 x − 3x + 3x − 2 lim

Oefening 9. Bereken algebraı̈sch de volgende limieten. Toon nauwkeurig alle tussenstappen.

B

(1)

x3 − x2 − x + 1 x→1 x3 − 2x2 + x

B⋆ (6)

lim

>

B

(2)

lim

23t − 3 ln 2 · t − 1 t→0 4t2

B⋆⋆ (7)

B

(3)

x ex x→0 1 − ex

B⋆⋆ (8)

B

(4)

B⋆ (5)

1

lim x x−1

x→ 1

lim

x2 − 1 x→1 log x Å ã 3 lim x · log x lim

V

10x2 − 12 x3 x→0 e4x2 − 1 Å ã 1 1 lim − x x→ 0 x e −1 < lim

(9)

x→+∞

2 + x2 x

lim (1 + kx)1/x met k ∈ R+ 0

V⋆ (10)

x→ 0

√

lim

x→ 0

>

>

Oefening 10. Zij f een functie, afleidbaar in een omgeving van a. Beschouw de limiet:

V

f (a + h) − f (a) . h→0 h lim

(a) Kan de regel van de l’Hospital toegepast worden op deze limiet? (b) Indien je antwoord in (a) ja is, wat is de uitkomst van de limiet als we de regel van de l’Hospital toepassen?

Oefening 11. Zij a, b, x, y ∈ R+ 0 waarvoor a + b = 1. Bereken algebraı̈sch:

V⋆

lim (axt + by t )1/t .

t→ 0 >

Oefening 12. Bereken algebraı̈sch de volgende limieten. Toon nauwkeurig alle tussenstappen.

B

(1)

lim

x4 − 256 x→4 x − 4

B⋆ (8)

8x − 2x x→0 4x

B

(2)

lim

x2 − 3x x→3 x2 − 9

B⋆ (9)

ex + 3x3 x→+∞ 4 ex + 2x2

B

(3)

x4 − 256 x→4 x2 − 16

B⋆ (10)

ex − e2 x→2 x − 2

B⋆⋆ (11)

B

B

(4)

(5)

B⋆ (6) B⋆ (7)

lim

lim

ln(2 + x) lim x→−1 x+1 lim

x→+∞

ln x √ x

5x + 2 ln x x→+∞ x + 3 ln x lim

lim

lim

lim xx

x→ 0 >

lim (ex + 3x)1/x

x→ 0 <

Å V

(12)

lim

x→ 1 <

V

(13)

V⋆ (14)

1 x − ln x x − 1

lim (1 − e−x )e

ã

x

x→+∞

ex (1 − ex ) x→0 (1 + x) ln(1 − x) lim

VIII-85

Relying on these rules, the computation of the derivative of any function composed of elementary functions (Descartes’ great dream, see quotation at the beginning of this section) has become a banality.1 Ernst Hairer en Gerhard Wanner, 1996 [10, p.87]

Hoofdstuk 5

Afgeleiden van goniometrische en cyclometrische functies In dit hoofdstuk wordt van de lezer de volgende parate kennis verondersteld (zie Deel Goniometrie en Precalculus 2): ▷ verband tussen graden en radialen: 360◦ = 2π(rad) 360◦ 2π π = = ; 6 6 3 ▷ sinus, cosinus, tangens van een hoek aflezen op goniometrische cirkel (projectie op resp. y-as, x-as, rechte x = 1); waaruit bijvoorbeeld: 60◦ =

▷ goniometrische getallen van enkele veelvoorkomende hoeken: π π α 0 6 4 √ 1 2 sin α 0 2 2 √ √ 3 2 cos α 1 2 2 √ 3 tan α 0 1 3

√

π 3

3 2 1 2 √ 3

π 2 1 0 |

▷ formules voor verwante hoeken (in de praktijk volstaat het om een schets van de goniometrische cirkel te maken waarbij je enkel de verwante hoeken aanduidt die je op dat moment nodig hebt); ▷ oplossen van goniometrische basisvergelijkingen:

sin x = sin a

⇔

cos x = cos a

⇔

tan x = tan a

⇔

  x = a + k 2π

of   x = (π − a) + k 2π

(k ∈ Z)

x = ±a + k 2π

(k ∈ Z)

x = a+kπ

(k ∈ Z)

▷ definitie en meetkundige betekenis van het begrip periodieke functie (wordt herhaald verderop dit hoofdstuk); ▷ grafieken van de goniometrische functies sin x, cos x, tan x en de cyclometrische functies Arcsin x, Arccos x en Arctan x vlot voor de geest kunnen halen, zodat kenmerken meteen uit deze grafieken kunnen worden afgelezen; ▷ grondformules van cyclometrische hoeken: Arcsin y = x

⇔

y = sin x

⇔

y = cos x

voor

i π πh , y ∈ [−1, 1] x∈ − , 2 2

x ∈ ]0, π[ , y ∈ [−1, 1] i π πh Arctan y = x ⇔ y = tan x voor x ∈ − , ,y ∈ R 2 2 Å ã π 1 π 1 π i π πh waaruit bijvoorbeeld: Arcsin = want = sin ∈ − , . en 2 6 2 6 6 2 2 Naast deze parate kennis kan het overzicht van formules van de goniometrie in Bijlage D vrij gebruikt worden.

Arccos y = x

1 Hairer

voor

en Wanner illustreren deze uitspraak met een opgave die we als Oefening 3 op het einde van dit hoofdstuk hebben opgenomen.

VIII-86

5.1

Rekenregels

We kunnen de afgeleide functie van f (x) = sin x raden met behulp van de grafische rekenmachine: plot de afgeleide en herken een elementaire functie (vul aan): f ′ (x) = . . .

Dit vermoeden zullen we hieronder aantonen. Ons bewijs steunt op (1) formules van de goniometrie, waarvan een overzicht beschrikbaar in Bijlage D, en (2) een bijzondere limiet die in Deel Limieten, asymptoten en continuı̈teit aan bod kwam. Eens de afgeleide van de sinusfunctie gekend is, volgen afgeleiden van cos x, tan x en cot x uit formules voor verwante hoeken en formules van de goniometrie.

3 Rekenregel 14 (afgeleide van sin x). ′

(sin □) = cos □ · □′

Als f (x) = sin x dan is f ′ (x) = cos x.

Bewijs.

Voorbeelden. Bereken telkens de afgeleide functie. (a)

f (x) = sin(3x2 − 7)

f ′ (x) = . . .

(b)

f (x) = sin5 x

df = ... dx VIII-87

3 Rekenregels 15, 16 en 17 (afgeleide van cos x, tan x en cot x). ′

Als f (x) = cos x dan is f ′ (x) = − sin x.

(cos □) = − sin □ · □′

Als f (x) = tan x dan is f ′ (x) =

1 . cos2 x

(tan □) =

Als f (x) = cot x dan is f ′ (x) =

−1 . sin2 x

(cot □) =

Bewijs.

3 Modelvoorbeeld. Bereken en vereenvoudig telkens de afgeleide functie. Å ã Å ã Ä√ ä 1 1 (a) f (x) = cos −3x + 5 cot (d) y = cot x x Å ã Å ã 1 1 (b) y = sin x cos xcot (e) f (x) = ln(cos x)cot xã x Å Å ã 1 (c) f (x) = tan sin(2x) cot x Oplossing.

VIII-88

′

1 · □′ cos2 □

′

−1 · □′ sin2 □

3 Rekenregel 18 (afgeleide van Arcsin x).

Als f (x) = Arcsin x dan is f ′ (x) = √

1 .

1 − x2

′ (Arcsin □) = √

1 · □′ 1 − □2

Bewijs.

Voorbeelden. Bereken telkens de afgeleide functie. (b) f (x) = x2 Arcsin7 (3x)

(a) y = Arcsin(7x2 − 31)

3 Rekenregels 19 en 20 (afgeleide van Arccos x en Arctan x).

Als f (x) = Arccos x dan is f ′ (x) = √ Als f (x) = Arctan x dan is f ′ (x) =

−1 .

1 − x2

′ (Arccos □) = √

1 .

1 + x2

′

(Arctan □) =

Bewijs voor de afgeleide van de boogcosinus. Voor elke x ∈ [−1, 1] geldt (zie Deel Precalculus 2): Arcsin x + Arccos x =

π .

2

Leiden we beide leden af, dan verkrijgen we voor elke x ∈ ]−1, 1[ (vul aan):

VIII-89

−1 · □′ 1 − □2 1 · □′ 1 + □2

5.2

Toepassingen

Herhaal uit Deel Precalculus 2 dat we een functie f periodiek noemen wanneer er een reëel getal p > 0 bestaat waarvoor geldt:2 ∀x ∈ dom f : f (x − p) = f (x) = f (x + p) (∗) Indien er een kleinste reëel getal p > 0 bestaat waarvoor (∗) geldt, dan noemen we p de (kleinste) periode van f .

Meetkundige betekenis. Bij een periodieke functie f bezit de grafiek een translatie-symmetrie: na het verschuiven met een geheel veelvoud van p eenheden volgens de x-as blijft de grafiek ongewijzigd (zie figuur).

y

f (x−p)

x−p

f (x)

f (x+p)

x

y = f (x)

x+p

x

Uit de grafieken van de elementaire goniometrische functies leiden we af dat de functies sin x en cos x periodiek zijn met periode 2π en dat de functie tan x periodiek is met periode π. Meer algemeen zijn sin(bx) en cos(bx) periodiek met periode 2π/b en is tan(bx) periodiek met periode π/b.

3 Modelvoorbeeld 1 (verloop van een goniometrische functie).

Gegeven is de functie f (x) = x − 2 sin x. (a) Plot met behulp van je grafische rekenmachine de grafiek van de functie f . Plot daarna ook de rechten r1 : y = x − 2 en r2 : y = x + 2. Wat merk je op?

(b) Is f een periodieke functie? Verklaar je antwoord.

(c) Toon algebraı̈sch aan dat de grafiek van f tussen de rechten r1 en r2 ligt. (d) Bepaal algebraı̈sch alle x-waarden waarvoor f stijgend/dalend, hol/bol is (samenvattende tabel). (e) Maak een correcte schets van de grafiek van f waarop je alle informatie aanduidt die je in de vorige vragen verkregen hebt.

Oplossing. (a)

2 Voor x ∈ dom f betekent de schrijfwijze f (x − p) = f (x) voluit: f (x − p) bestaat en is gelijk aan f (x). Analoog voor de schrijfwijze f (x) = f (x + p). Bijgevolg is onze definitie equivalent met ∀x ∈ dom f : x − p ∈ dom f en x + p ∈ dom f en f (x − p) = f (x) = f (x + p).

VIII-90

3 Modelvoorbeeld 2 (extremumprobleem).

Een gang vertoont een rechte hoek. De ene kant is 3 m breed, de andere kant slechts 2 m. Bepaal algebraı̈sch de lengte van de langste staaf die je horizontaal door de gang kan dragen.

3m

2m

Oplossing.

VIII-91

3 Modelvoorbeeld 3 (asymptoten).

Gegeven is de functie f (x) = 2x − 4 Arctan x.

Bepaal algebraı̈sch alle asymptoten aan de grafiek f .

Oplossing.

Controle met de grafische rekenmachine.

VIII-92

5.3

Continuı̈teit van afgeleide functies

In Hoofdstuk 1 hebben we aangetoond dat afleidbaarheid een sterkere voorwaarde is dan continuı̈teit: voor elke functie f en a ∈ R geldt: f afleidbaar in a ⇒ f continu in a

We hebben toen ook opgemerkt dat het omgekeerde van deze stelling niet waar is: er bestaan functies die continu zijn in een x-waarde, maar die niet afleidbaar zijn in die x-waarde. Uit de uitspraak f is continu in a volgt dus niet noodzakelijk f is afleidbaar in a, in symbolen: f continu in a ̸⇒ f afleidbaar in a met als klassiek voorbeeld:3

y

y f ′ (x) =

f (x) = |x| 1

1

−1

|x| x

x

1

−1

−1

1

x

−1

Als een functie afleidbaar is in a, dan hoeft dat nog niet te betekenen dat diens afgeleide functie f ′ continu is in a, zo zullen we hieronder met een weerom klassiek tegenvoorbeeld bewijzen: f afleidbaar in a ̸⇒ f ′ continu in a 3 Eigenschap. Beschouw de functie

Dan geldt:

Å ã  x2 sin 1 als x ̸= 0 x f (x) =  0 als x = 0.

(a) f is afleidbaar in 0, (b) f ′ is niet continu in 0.

Bewijs.

rekenregel voor de afgeleide van |x| werd in Interludium 1 gesuggereerd: (|x|)′ = |x| . Dit klassiek voorbeeld veralgemeent zich tot x f (x) = xn |x| met n ∈ N0 , met als eigenschap dat de (afgeleide) functies f, f ′ , f ′′ , f ′′′ , . . . , f (n−1) alle afleidbaar zijn in x = 0 (en bijgevolg continu zijn in x = 0), maar dat de n-de afgeleide functie f (n) = (n + 1)! |x| niet afleidbaar is in x = 0 (maar wel continu is in x = 0).

In het wiskundig vakjargon zeggen we dan dat f van de (differentieerbaarheids)klasse C n−1 is, maar niet van de klasse C n . Een functie die in elk (inwendig) punt van zijn domein willekeurig vaak afleidbaar is, wordt in de analyse een gladde functie genoemd, Engelse term: smooth function. Het woord glad doelt op het gladde, zeer gelijkmatige verloop van de grafiek van zo’n functie. Een gladde functie behoort daarmee tot de hoogste differentieerbaarheidsklasse, C ∞ . Zo is elke veeltermfunctie f een gladde functie, want f ′ is opnieuw een veelterm en het domein van een veeltermfunctie is gelijk aan √ R. De lezer kan eenvoudig beredeneren dat ook elke rationale functie glad is, maar niet elke irrationale functie, zo getuige f (x) = |x| = x2 .

3 De

VIII-93

Plotten we de functie f met de grafische rekenmachine, dan krijgen we volgend resultaat (telkens inzoomen factor 10).

Xmin=-10, Xmax=10 Ymin=-1, Ymax=1

Xmin=-1, Xmax=1 Ymin=-0.1, Ymax=0.1

Xmin=-0.1, Xmax=0.1 Ymin=-0.01, Ymax=0.01

Het plotten van de afgeleide functie f ′ levert de volgende schermafdrukken. Bij verder inzoomen is het resultaat eerder teleurstellend te noemen.

Xmin=-10, Xmax=10 Ymin=-5, Ymax=5

Xmin=-1, Xmax=1 Ymin=-1.5, Ymax=1.5

Xmin=-0.1, Xmax=0.1 Ymin=-1.5, Ymax=1.5

Een plot met het tekstzetprogramma LATEX (package pstricks met optie plotpoints=50000) geeft het gewelddadig gedrag van de afgeleide functie f ′ rond x = 0 wel prijs.

y



  2x sin 1 − cos 1 als x 6= 0 x x f ′ (x) =  0 als x = 0.

1

−0, 4

0, 4

−1

VIII-94

x

5.4

Harmonische trilling en gedempte trilling

Een periodiek verschijnsel waarbij een grootheid ten opzichte van zijn evenwichtsstand verandert in functie van de tijd, noemt men een trilling (of oscilatie). Voorbeelden van trillingen zijn: 3 de op- en neergaande beweging van een massa die opgehangen wordt aan een veer (massa-veersysteem), 3 de heen- en weergaande beweging van een massa die opgehangen wordt aan een draad (slinger), 3 geluid (als trilling van lucht), 3 licht (als trilling van een elektromagnetisch veld).

De meest eenvoudige trilling is de (vrije en ongedempte) harmonische trilling waarbij het periodiek gedrag van de grootheid y in functie van de tijd t beschreven wordt door een algemene sinusfunctie (zie Deel Precalculus 2):4 y(t) = A sin(ωt + φ)

waarbij A, ω en φ constanten zijn.

3 Modelvoorbeeld 1 (massa-veersysteem). Een massa wordt aan een elastische veer opgehangen en uit evenwichtsstand gebracht (zie figuur), zodat de massa omheen haar evenwichtsstand op de y-as oscileert. We verwaarlozen de luchtweerstand, zodat dit systeem kan worden gemodelleerd door een harmonische trilling: √ 1 π y(t) = sin 3t + .

2 2 Hierbij is y(t) de afstand van de massa tot de evenwichtsstand (in meter) op tijdstip t (in seconden) na het duwen van de massa. (a) Plot met je grafische rekenmachine de grafiek van deze functie en neem een schets over op je blad. (b) Welke uitspraak is juist? Verklaar je antwoord.

(A) Op tijdstip t = 0 kreeg de massa vanuit de evenwichtsstand een duw in verticale richting.

(B) Op tijdstip t = 0 werd de massa losgelaten vanuit een andere positie dan de evenwichtsstand. (c) Bereken algebraı̈sch de snelheid van de massa op tijdstip t = 4 seconden. (d) Wat is de maximale snelheid die de massa bereikt? Berekeningen opschrijven!

Oplossing.

4 Beschouw bijvoorbeeld een massa-veersysteem (zie Deel Precalculus 2) waarbij aan een volkomen elastische veer die verticaal wordt opgehangen een massa m wordt verbonden, die op tijdstip t = 0 uit evenwicht wordt gebracht. Noem y(t) de verticale uitwijking op tijdstip t ten opzichte van de evenwichtsstand. De wet van Robert Hooke 1678 [11] stelt dat de uitrekking van een veer recht evenredig is − → − → → met de kracht Fv die op de veer wordt uitgeoefend. Die evenredigheidsfactor noemt men de veerconstante k, zodat Fv = −k− y . In het model van de harmonische trilling wordt de luchtweerstand verwaarloosd, zodat de som van de krachtvectoren die op de massa inwerken − → gelijk is aan Fv (bij de wet van Hooke is het aandeel van de zwaartekracht op de massa m reeds in rekening gebracht). Anderzijds zegt de − → → tweede wet van Newton dat de som van alle inwerkende krachtvectoren evenredig is met de versnellingsvector, namelijk F = m− a . Daar ′′ ′′ a(t) = y (t) vinden we hieruit dat de functie y(t) voldoet aan de differentiaalvergelijking my (t) + ky(t) = 0. De lezer gaat moeiteloos na dat een functie van de vorm y(t) = A sin(ωt + φ) inderdaad een oplossing is van zo’n vergelijking, waarbij ω 2 = m/k. Omgekeerd kan men met meer geavanceerde wiskunde aantonen dat elke oplossing van zo’n differentiaalvergelijking noodzakelijk van die vorm is.

VIII-95

In het model van de ongedempte trilling blijft de beschreven grootheid, eenmaal uit evenwicht gebracht, altijd veranderen. In de realiteit zal een trillende massa een wrijvingskracht ondervinden, die haar uiteindelijk tot stilstand brengt. Een model dat daaraan tegemoet komt, is de gedempte trilling waarbij het periodiek gedrag van de grootheid y beschreven wordt door:5 y(t) = Ae−γt sin(ωt + φ)

waarbij A, γ, ω en φ constanten zijn.

3 Modelvoorbeeld 2 (massa-veersysteem). Een massa wordt aan een elastische veer opgehangen en uit evenwichtsstand gebracht (zie figuur), zodat de massa omheen haar evenwichtsstand op de y-as oscileert. Ten gevolge van de luchtweerstand ondervindt de massa een terugwerkende kracht, zodat dit systeem kan worden gemodelleerd door een gedempte trilling: Ä√ ä 3t . y(t) = e−t/2 sin Hierbij is y(t) de afstand van de massa tot de evenwichtsstand (in meter) op tijdstip t (in seconden) na het duwen van de massa. (a) Plot met je grafische rekenmachine de grafiek van deze functie en neem een schets over op je blad. (b) Welke uitspraak is juist? Verklaar je antwoord.

(A) Op tijdstip t = 0 kreeg de massa vanuit de evenwichtsstand een duw in verticale richting.

(B) Op tijdstip t = 0 werd de massa losgelaten vanuit een andere positie dan de evenwichtsstand. (c) Schets in hetzelfde assenstelsel de grafieken van de functies f1 en f2 , en toon algebraı̈sch aan dat de grafiek van y tussen deze twee grafieken ligt: f1 (t) = e−t/2

en

f2 (t) = −e−t/2 .

(d) Bereken algebraı̈sch de snelheid van de massa op tijdstip t = 0. Interpreteer je resultaat met het antwoord op vraag (b). (e) Bepaal algebraı̈sch de tijdstippen t ∈ [0, 6] waarvoor de snelheid van de massa gelijk is aan nul.

(f) Lees uit de grafiek de limiet van y(t) voor t → +∞ af. Welke fysische betekenis hecht je hieraan? Bereken daarna deze limiet algebraı̈sch.

Oplossing.

5 Bij

het voorbeeld van een massa-veersysteem wordt in het model van een gedempte trilling rekening gehouden met de luchtweerstand. − → Bij goede benadering is de grootte van die tegenwerkende kracht Fd evenredig met de snelheid v die de massa op dat moment heeft, zodat − → − → − → → − → − → Fd = −c− v voor een zekere c ∈ R+ 0 . De som van de krachtvectoren die inwerken op de massa is bij dit model gelijk aan Fv + Fd = −k y −c v , ′ ′′ zodat wegens de tweede wet van Newton −ky(t) − cv(t) = ma(t). Omdat v(t) = y (t) en a(t) = y (t) vinden we dat de functie y(t) voldoet aan de differentiaalvergelijking my ′′ (t) + cy ′ (t) + ky(t) = 0. De lezer kan weerom nagaan dat voor geschikte constanten γ en ω een functie van de vorm y(t) = Ae−γt sin(ωt + φ) inderdaad een oplossing is van zo’n differentiaalvergelijking. Omgekeerd kan men met meer geavanceerde wiskunde aantonen dat elke oplossing van zo’n differentiaalvergelijking noodzakelijk van die vorm is.

VIII-96

Oefeningen 5 Afgeleiden van goniometrische en cyclometrische functies

Basis ⋆

Verdieping ⋆ ⋆⋆

⋆⋆

5.1 Rekenregels

1 4

1 4

1 2 4

1 4

5.2 Toepassingen

6

11 18

14 12 19

13 10

15 9

Uitbreiding ⋆ ⋆⋆

3

1

17 16

5

7

8 19

Oefeningen bij §5.1 Oefening 1. Bereken telkens de afgeleide functie. Bij de opgaven (2), (7), (9), (13) en (19) moet je het resultaat ook zoveel als mogelijk vereenvoudigen. Å ã x+3 ⋆ B (1) y = sin(2x) B (11) f (x) = Arccos x−3 » B (2) y = sin2 (3x) B⋆ (12) y = Arccos(x2 − 3x + 2) + 2 (3)

B ⋆

B (4)

√ f (x) = Arcsin x

y = tan

p

x2

⋆

−3

(5)

y = sec(2x)

B

(6)

Å ã 2 f (x) = sin x

V

(7)

y = |tan x|

B

B⋆⋆ (13) f (x) =

B (14)

f (x) = Arctan

x2 + 1 x

ã x−1 B (15) y = cosec x+1 Å ã 3x ⋆⋆ B (16) y = Arctan 2x2 + 1 Å

⋆

B⋆⋆ (17) f (x) = »

B⋆⋆ (8)

f (x) = cot(7x) ·

B⋆⋆ (9)

p g(t) = Arcsin t + t 1 − t2

cos(2x)

sin(5x) − 2x cos3 (x2 − x + 2)

(18) y = Arctan(cosh x) Å x ã ⋆ B (19) f (x) = ln tan 2 U

B⋆⋆ (10) f (x) = 10sin(5x)

B⋆⋆

1 + sin x 1 − sin x Ç√

V

cos x

(20) f (x) = (sin x)

Oefening 2 (toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Universiteit Gent 1984).

Bereken de afgeleide van de functie gegeven door f (x) =

Å√ ã √ ä x 1 Ä √ 3 2 2 x + 3b x − 3b Arctan b2 + x b

met b een strikt positieve constante. Vereenvoudig het resultaat zoveel als mogelijk.

V⋆⋆

Oefening 3. Bereken de afgeleide

dy van dx

Å ã Ä ä p k 2 x2 ax − ln x 2 2x + 3 2 5 sin 3x + b x + e · tan 1 + u2 x2 a + x2 … y= Å ã 2 3 2 2 x 3a x 3x − x −b 2 Arccos √ + +e · Arcsin Arctan(1/x) 1 − x2 3+x waarbij a, b, k, u ∈ R.6 VIII-97

å

Oefening 4. Bereken algebraı̈sch de volgende limieten. Toon nauwkeurig alle tussenstappen.

B

B B

(1)

(2) (3)

B⋆ (4) B⋆⋆ (5)

ex − e−x x→0 sin x

B⋆⋆ (6)

x − sin x x→0 x3

B⋆ (7)

lim

1

lim (sin x) ln x

x→ 0 >

lim

2 Arctan x − x lim x→0 2x − Arcsin x Å ã 1 lim x · Arctan x→+∞ x

⋆

B (8) B⋆⋆ (9)

cos x

limπ (tan x)

V

x→

< 2

ex − esin x x→0 x − sin x lim

sin x1 lim x→+∞ Arctan lim (sin x)

1 x

tan2 x

x→ π 2

(10) lim (x − Arcsin x) · cosec3 x x→0

Oefeningen bij §5.2 U

Oefening 5 (differentiaalvergelijking). Een vergelijking in y, y ′ , y ′′ , . . . noemt men een differentiaalvergelijking.

Oplossingen van differentiaalvergelijkingen zijn functies. Bewijs dat y = sin x + 2 cos x voldoet aan de differentiaalvergelijking y ′′′ + y ′′ + y ′ + y = 0.

B

Oefening 6. Bepaal algebraı̈sch de vergelijking van de raaklijn in x =

U⋆

Oefening 7 (differentiaalvergelijking). Een vergelijking in y, y ′ , y ′′ , . . . noemt men een differentiaalvergelijking.

Oplossingen van differentiaalvergelijkingen zijn functies. Gegeven is de functie f (x) = x(a cos(2x) + b sin(2x)) met a, b ∈ R. Bepaal de waarde(n) voor a, b ∈ R waarvoor y = f (x) voldoet aan de differentiaalvergelijking

π aan de grafiek van f (x) = sin2 x.

3

y ′′ + 4y = sin x cos x.

U⋆⋆

Oefening 8 (hoek tussen twee snijdende krommen). De hoek tussen twee snijdende krommen is bij definitie de scherpe hoek tussen de raaklijnen in dat snijpunt. Karel wenst een nieuwe decoratiestrook aan te brengen.7 Hij heeft een mooi motief gevonden, namelijk de grafieken van de functies f (x) = 2 sin2 x en g(x) = cos(2x). Bepaal algebraı̈sch de hoek waaronder de grafieken van f en g elkaar snijden.

y 2 y = f (x)

1

1

2

3

4

5

6

x

y = g(x) −1

6 Naar

Ernst Hairer en Gerhard Wanner [10, p.89] waarmee zij de uitspraak vermeld in het begin van dit hoofdstuk rijkelijk illustreren. decoratiestrook geeft aanleiding tot een wiskundige structuur, de zogenaamde symmetriegroep, die alle symmetrieën (translaties en spiegelingen) van de decoratiestrook representeert. Op deze manier kan men aantonen dat er in wezen slechts 7 soorten decoratiestroken zijn. Analoog geeft elk behangpatroon aanleiding tot een symmetriegroep, waarvan men bewijst dat er 17 verschillende types behangpatronen bestaan. Dit werd aangetoond door Evgraf Stepanovich Fedorov 1891.

7 Elke

VIII-98

V⋆

Oefening 9. Gegeven is de functie f (x) = x2 + sin(πx). (a) Toon algebraı̈sch aan dat de grafiek van f tussen de parabolen y = x2 + 1 en y = x2 − 1 ligt. (b) Schets de grafiek van f zonder gebruik te maken van je grafische rekenmachine. Duid aan hoe je te werk gaat. (c) Is f een periodieke functie? Verklaar.

V

Oefening 10. Gegeven is de functie f (x) = x2 sin(πx). (a) Toon algebraı̈sch aan dat de grafiek van f tussen de parabolen y = x2 en y = −x2 ligt. (b) Schets de grafiek van f zonder gebruik te maken van je grafische rekenmachine. Duid aan hoe je te werk gaat. (c) Is f een periodieke functie? Verklaar.

B⋆

Oefening 11 (toelatingsexamen Burgerluchtvaartschool).

Voor welke waarde van x vertoont de uitdrukking √ y = cos x + 3 sin x haar lokaal maximum? Bereken algebraı̈sch dit lokaal maximum.

B⋆⋆

Oefening 12. Maak een volledig onderzoek (domein, nulwaarden, tekentabel, asymptoten, tekentabel van f ′ en f ′′ , hoekpunten, keerpunten en verticale raaklijnen en grafiek van f waarop je alle verkregen resultaten aanduidt) van de cylometrische functie f (x) = Arcsin(1 − x2 ).

V

Oefening 13. Een reuzenrad van 90 m hoog maakt drie omwentelingen per minuut. (a) Hoe snel verandert de hoogte in functie van de tijd? (b) Wanneer ondervindt een passagier de bovengenoemde snelheid als het grootst?

Bereken algebraı̈sch.

B⋆⋆

Oefening 14. Gegeven is de functie

Ferris Wheel

Å f (x) = Arctan

8

1 . x+1 ã

(a) Bepaal algebraı̈sch alle x-waarden waarvoor de grafiek van f stijgend/dalend, hol/bol is. (b) Bepaal algebraı̈sch alle asymptoten en perforaties aan de grafiek van f . (c) Schets de grafiek van f , waarop je de informatie aanduidt die je in (a) en (b) gevonden hebt.

V⋆

Oefening 15. Bepaal algebraı̈sch alle eventuele hoekpunten, keerpunten en verticale raaklijnen aan de grafiek van de functie Å ã 1−x f (x) = Arcsin .

1+x

V⋆⋆

Oefening 16. Maak een volledig onderzoek (domein, nulwaarden, tekentabel, asymptoten, tekentabel van f ′ en f ′′ , hoekpunten, keerpunten en verticale raaklijnen en grafiek van f waarop je alle verkregen resultaten aanduidt) van de goniometrische functie 1 + sin x f (x) = .

1 − sin x

8 Het Ferris Wheel (ook bekend als het Chicago Wheel) was een 80, 4 meter hoog reuzenrad dat ontworpen werd door de Amerkiaans bouwkundig ingenieur George Washington Gale Ferris Jr. (1859 - 1896). Het was het eerste reuzenrad ter wereld en diende als publiekstrekker voor de World’s Columbian Exposition van 1893 in Chicago. Het was destijds een vooruitstrevend stuk techniek. Ferris had zich laten inspireren door de techniek van het fietswiel waarbij de spaken van getrokken ijzer een wiel op spanning houden. Tegenwoordig staat op dezelfde plek een replica van het oorspronkelijke Ferris Wheel. In het engels wordt de term Ferris wheel gebruikt om een willekeurig reuzenrad mee aan te duiden.[29]

VIII-99

V⋆⋆

Oefening 17. Een schilderij dat 1 meter hoog is, bevindt zich 3 meter boven de grond en wordt door bewonderaar Jan Hoet bekeken onder een hoek θ (zie figuur).

De ogen van Jan bevinden zich op 1, 75 meter boven de grond. Voor welke afstand van Jan Hoet tot het schilderij is de hoek θ het grootst? Los algebraı̈sch op.

schilderij

θ

oog Ridder Jan Hoet (1936 - 2014)

grond

Highway 20

Oefening 18. In een Amerikaanse staat snijden de wegen Highway 20 en Highway 32 elkaar loodrecht. In het landschap ligt een boerderij, op 256 voet van Highway 20 en 108 voet van Highway 32. Men wil nu een nieuwe (rechte) weg aanleggen die Highway 20 en Highway 32 met elkaar verbindt en die de boerderij bereikt (zie figuur). Voor welke hoek α is de lengte van de nieuwe weg het kortst? Los algebraı̈sch op.

108 voet

B⋆

9

boerderij

α Highway 32 256 voet

B⋆⋆

Oefening 19. In de figuur hieronder zie je (een deel van) de cirkel met straal 1 en middelpunt M (1, 0). Een punt A ˜ ook bevindt zich op de y-as zodat |OA| = h < 2. Laat B het punt op de cirkel zijn zodat de lengte van de boog BO gelijk is aan h. Noem P het snijpunt van de rechte AB met de x-as. Bepaal algebraı̈sch de limietpositie van het punt P als h nadert tot 0.

Aanwijzing. Bepaal de coördinaten van de punten A en B, stel de vergelijking van de rechte AB op en toon aan dat voor elke waarde van h ∈ ]0, 2[ de positie van het punt P gegeven wordt door Å ã h − h cos h co(P ) = ,0 . h − sin h y

A B

h

O

h

1

2

P

x

9 Jan Hoet was een Belgisch curator en kunstkenner die zich bezighield met het bestuderen, begeleiden en beschermen van de hedendaagse beeldende kunst. In de Vlaamse media werd hij vaak kunstpaus genoemd. In 1994 nam Hoet voor de CVP als lijstduwer deel aan de gemeenteraadsverkiezingen voor Gent. Hij werd verkozen, maar nam zijn mandaat niet op. In 2000 veroverde de kunst de binnenstad van zorgden daarbij voor ophef. [29] Gent met Hoet’s concept Over the Edges. Vooral de hamzuilen van kunstenaar Jan Fabre

VIII-100

U⋆⋆

Oefening 20 (cardanische koppeling). Een cardanische koppeling is een verbinding tussen twee assen die krachten kan overbrengen. Hierbij staan de assen niet noodzakelijk in elkaars verlengde. Een as met één of meer van deze koppelingen noemt men een cardanas en kan bijvoorbeeld dienen als aandrijving van auto’s.10 In onderstaande figuur staat het horizontaal vlak (rood) loodrecht op de ingaande as en het gekanteld vlak (blauw) loodrecht op de uitgaande as. Het horizontaal vlak maakt een (vaste) hoek β ∈ [0, π/2[ met het gekanteld vlak.

cardanische koppeling

We beschouwen in deze figuur een punt X1 op de ingaande as met hoek γ1 ten opzichte van een vast assenstelsel Oxy op het horizontaal vlak. We nemen een punt X2 op de uitgaande as, met hoek γ2 ten opzichte van een vast assenstelsel − → − → Ox′ y op het gekanteld vlak. Men kan aantonen dat we het punt X2 zo kunnen kiezen dat de vectoren X1 en X2 loodrecht zijn. Bij de rotatie van de assen worden de hoeken γ1 en γ2 afhankelijk van de tijd t. Men kan inzien dat de − → − → vectoren X1 en X2 loodrecht blijven en hieruit kan men volgend verband tussen de hoeken γ1 (t) en γ2 (t) afleiden: tan γ1 (t) = cos β tan γ2 (t). (a) Bewijs dat het verband tussen de hoeksnelheden ω1 (t) = γ1′ (t) van de ingaande as en ω2 (t) = γ2′ (t) van de uitgaande as gegeven wordt door ω1 (t) cos β ω2 (t) = 1 − sin2 β cos2 γ1 (t) Wat gebeurt er als β = 0? Verklaar.

(b) In het vervolg onderstellen we dat de hoeksnelheid ω1 van de ingaande as constant is. Bewijs dat in geval β ̸= 0 de hoeksnelheid ω2 (t) van de uitgaande as een periodieke functie is met als periode de helft van de periode van de rotatie van de ingaande as. Hieruit volgt dat een cardanische koppeling als nadeel heeft dat de uitgaande as een niet-constante hoeksnelheid heeft. (c) Bepaal de minimale hoeksnelheid ω2min en de maximale hoeksnelheid ω2max van de uitgaande as en leid hieruit af dat de afwijkingen in de hoeksnelheid ω2 (t) groter worden naarmate de hoek β minder scherp wordt.

10 De cardanas is - ten onrechte - genoemd naar de Italiaanse renaissancewetenschapper Girolamo Cardano (1501 - 1576) die het in zijn werk enkel had over een zogenaamde cardanische ophanging (reeds vermeld in de oudheid) zoals die in een gyroscoop wordt 1664, die verkeerdelijk dacht dat de verhouding gebruikt. De cardanische koppeling werd het eerst beschreven door Gaspar Schott tussen de snelheid van de in- en uitgaande as constant is. Het was Robert Hooke die dit in 1676 besefte, en die het effect compenseerde door een tweede cardanische koppeling te gebruiken om zo een zogenaamde dubbele cardanische koppeling te verkrijgen. Zo’n koppeling waarbij de uitgaande as op ieder moment dezelfde hoeksnelheid heeft als de ingaande as wordt homokinetisch genoemd. Sindsdien werden vele andere types van homokinetische koppelingen bedacht, zoals het ontwerp van Alfred Hans Rzeppa 1928, dat bestaat uit een buitenbol, een tussenliggende kooi die kogellagers vasthoudt en een binnenbol: de Rzeppa koppeling . [29]

VIII-101

If y is a function of u, and u is a function of x, then we say “y is a function of the function u”.

Murray Bourne [27]

Bijlage A De kettingregel

In de voorgaande hoofdstukken hebben we rekenregels voor afgeleiden als volgt uitgebreid: vervang elke x door een functie in x (symbolisch genoteerd als □) en vermenigvuldig het eindresultaat met de afgeleide van die functie naar x, bijvoorbeeld: Ä ä′ ′ uit (2x ) = 2x ln 2 volgt 2□ = 2□ ln 2 · □′ .

Dat principe volgt uit de zogenaamde kettingregel: een formule om afgeleiden van samengestelde functies te berekenen.

3 Stelling (kettingregel). Zij f en g functies en a ∈ R. Als: (1) f is afleidbaar in a, en (2) g is afleidbaar in f (a), dan is g ◦ f afleidbaar in a en (g ◦ f )′ (a) = g ′ (f (a)) · f ′ (a).

Schets van het bewijs. Als x ≈ a dan is wegens definitie van de ogenblikkelijke hellingsgraad (zie Hoofdstuk 1): f ′ (a) ≈ waaruit:

f (x) − f (a) x−a

f (x) − f (a) ≈ f ′ (a)(x − a).

(A.1)

g(y) − g(b) ≈ g ′ (b)(y − b).

(A.2)

Noemen we b = f (a), dan vinden we analoog voor y ≈ b:

Is x ≈ a dan is y = f (x) ≈ b = f (a) zodat na substitutie van (A.1) in (A.2):

g(f (x)) − g(f (a)) ≈ g ′ (f (a))(f (x) − f (a)) ≈ g ′ (f (a)) · f ′ (a)(x − a)

zodat g ′ (f (a)) · f ′ (a) = lim

x→a

g(f (x)) − g(f (a)) (g ◦ f )(x)) − (g ◦ f )(a) = lim = (g ◦ f )′ (a). x→a x−a x−a

Zijn f en g functies, dan geeft de kettingregel ons de afgeleide van de samengestelde functie g ◦ f als (g ◦ f )′ (x) = g ′ (f (x)) · f ′ (x)

Schrijven we y = f (x) dan is (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(y), zodat wegens de kettingregel: g ′ (x) = g ′ (y) · y ′ . In de notatie van Leibniz wordt dit:1 dg dg dy = · (A.3) dx dy dx 3 Modelvoorbeeld. Gegeven zijn de functies y(u) = u3 + 3 en u(x) = 2x + 1. Bereken de afgeleide functie y ′ (x) op twee manieren: (a) door de samengestelde functie uit te werken, en (b) met behulp van de kettingregel.

Oplossing. (a) We bepalen eerst de samengestelde functie y(x) en bereken daarna y ′ (x): 3

y(x) = (u(x)) + 3 = (2x + 1)3 + 1 = 8x3 + 12x2 + 6x + 2

zodat

y ′ (x) = 24x2 + 24x + 6.

(b) We passen de kettingregel in de notatie van Leibniz toe, zie (A.3): y ′ (x) =

dy dy du = · = 3u2 · 2 = 3(2x + 1)2 · 2 = 24x2 + 24x + 6. dx du dx

Als we in (a) de afgeleide van y(x) = (2x + 1)3 + 1 berekenen met de rekenregel (□3 )′ = 3□2 · □′ uit Hoofdstuk 2, dan passen we eigenlijk de kettingregel in (b) toe. dy keuze om de afgeleide van y naar x te noteren als dx , werd gemotiveerd door de formulering van de kettingregel, die informeel dy kan worden opgevat als het vermenigvuldigen van twee quotiënten. Merk echter op dat dx geen quotiënt is, maar de limiet van een quotiënt.

1 Leibniz’

VIII-102

Das gestattet erst der sogenannte Mittelwertsatz, und es ist das Große Verdienst Cauchys, dessen zentrale Stellung voll erkannt und demgemäß ihn an die Spitze der Differentialrechnung gestellt zu haben; es ist nicht zuviel gesagt, wenn man Cauchy deshalb als Begründer der exakten Infinitesimalrechnung im modernen Sinne feiert.

Bijlage B

Felix Christian Klein, 1908 [13]

Middelwaardestellingen In een strenge opbouw van de theorie van de calculus spelen de volgende stellingen een fundamentele rol:1 (i) tussenwaardestelling van Bolzano, (ii) extremumstelling van Weierstrass, (iii) stelling van Rolle, (iv) middelwaardestelling van Lagrange (ook wel tussenwaardestelling voor afgeleiden genoemd), (v) middelwaardestelling van Cauchy (ook wel veralgemeende of tweede middelwaardestelling genoemd), (vi) bestaansstelling van primitieve functies, (vii) hoofdstelling van de calculus.

Als eerbetoon aan het historisch en wiskundig belang van deze zeven stellingen, worden ze in deze cursus ook expliciet bewezen. Stellingen (i) en (ii) werden in Deel Limieten, asymptoten en continuı̈teit besproken. In deze bijlage zullen we (iii), (iv) en (v) bewijzen. Zoals dat gebruikelijk is, zullen we daarvoor steunen op (ii). Stellingen (vi) en (vii) komen in Deel Integralen aan bod, onder de namen hoofdstelling 1 en hoofdstelling 2 van de integraalrekening.

Om de stelling van Rolle aan te tonen, zullen we gebruik maken van het volgend hulpresultaat dat in Hoofdstuk 1 vermeld werd en dat we in de vorige hoofdstukken meermaals toegepast hebben.

3 Lemma. Zij f een functie en a, b ∈ R met a < b. Als: (1) f is afleidbaar over ]a, b[, en (2) f bereikt een (lokaal) extremum in c ∈ ]a, b[.

dan geldt dat f ′ (c) = 0.

Bewijs. We moeten aantonen dat f ′ (c) = 0. Daar f afleidbaar is over ]a, b[, geldt alvast dat f ′ (c) bestaat. Het idee van het bewijs is om f (x) − f (c) af te schatten in een omgeving van c. Stel dat f een lokaal maximum bereikt in c. Wegens de definitie van lokaal maximum bestaat er een omgeving ]c − R, c + R[ van c waarvoor: f (x) ≤ f (c) voor elke x ∈ ]c − R, c + R[

⇒ ⇒

⇒

⇒ ⇒

f (x) − f (c) ≤ 0 voor elke x ∈ ]c − R, c + R[  f (x) − f (c)   ≤ 0 voor elke x ∈ ]c, c + R[  x−c  f (x) − f (c)   ≤ 0 voor elke x ∈ ]c − R, c[ x−c  f (x) − f (c)   lim ≤0  x → c x−c <  f (x) − f (c)   ≥0 xlim →c x−c >  f (x) − f (c)   ≤0  lim x→c x−c  f (x) − f (c)   lim ≥0 x→c x−c f (x) − f (c) lim =0 x→c x−c

waaruit we besluiten dat f ′ (a) = 0. Bereikt f een lokaal minimum in c, dan is het bewijs analoog.

1 Deze

opsomming is geenszins volledig, maar raakt enkel een selectie van hoofdresultaten aan waarvan de formulering in de loop van de derde graad aan bod komt. De indrukwekkende stamboom van stellingen die nodig zijn om de hoofdstelling van de calculus rigoureus te bewijzen vanuit de definitie van reële getallen, limieten en de logica, is bijvoorbeeld terug te vinden in [10, p.242].

VIII-103

3 Stelling van Rolle.2 Zij f een functie en a, b ∈ R met a < b. Als: (1) f is continu over [a, b], en (2) f is afleidbaar over ]a, b[, en (3) f (a) = f (b), dan bestaat er minstens één c ∈ ]a, b[ waarvoor f ′ (c) = 0.

Meetkundige betekenis. Indien een functie f voldoet aan de voorwaarden (1), (2) en (3) dan is er minstens één punt op de grafiek van f waar de raaklijn aan de grafiek horizontaal is (duid aan).

Michel Rolle (1652 - 1719)

y

f f (a) = f (b)

a

b

x

Bewijs. Wegens de extremumstelling van Weierstrass bereikt f over [a, b] zowel een absoluut maximum M als een absoluut minimum m. In symbolen: ∃x1 , x2 ∈ [a, b] : ∀x ∈ [a, b] : f (x1 ) ≤ f (x) ≤ f (x2 ) . | {z } | {z } noem m

noem M

Als M = m dan is m = f (x) = M voor elke x ∈ [a, b] zodat f constant is over [a, b]. Hieruit volgt dat f ′ (c) = 0 voor elke c ∈ [a, b], zodat de stelling in dit geval bewezen is.

Voor het vervolg van het bewijs mogen we dus aannemen dat m < M . Dan is m ̸= 0 of M ̸= 0 (leg uit).

Is m ̸= 0, dan is x1 ̸= a en x1 ̸= b (ga na). Bijgevolg bereikt f een (lokaal) extremum in x1 ∈ ]a, b[. Wegens het voorgaande lemma is f ′ (x1 ) = 0. Er bestaat dus minstens één c ∈ [a, b] waarvoor f ′ (c) = 0, namelijk c = x1 .

Is M ̸= 0, dan leidt een analoge redenering tot f ′ (x2 ) = 0, zodat ook in dit geval de stelling bewezen is.

Dat de voorwaarden (1), (2) en (3) ook alle noodzakelijk zijn, mag blijken uit de volgende voorbeelden (ga na).

y

y

y

f (b) f

f

f (a)

f

f (a) = f (b)

a

b

x

f (a) = f (b)

a

b

x

a

b

x

√ 3 Modelvoorbeeld. Gegeven is de functie f (x) = 1 − x2 . Ga na of de stelling van Rolle kan worden toegepast in het interval [a, b] = [−1, 1]. Zo ja, bereken een waarde van c.

Oplossing. De functie f is een irrationale functie en dus continu over zijn domein [−1, 1] (zie Deel Limieten, asymptoten en continuı̈teit). Verder berekenen we dat: x f ′ (x) = √ 1 − x2

en omdat dom f ′ = ]−1, 1[ is f afleidbaar over ]−1, 1[. Ten slotte is f (−1) = 0 = f (1), zodat aan de voorwaarden van de stelling van Rolle is voldaan. Bovenstaande uitdrukking voor de afgeleide functie geeft: f ′ (c) = 0 ⇔ c = 0.

2 In een elementaire vorm geformuleerd door Bhãskara II in de 12e eeuw n.Chr., voor veeltermen aangetoond door Rolle 1691 [20] doch door de tussenwaardestelling voor veeltermen zonder bewijs aan te nemen, zie [17].

VIII-104

3 Middelwaardestelling van Lagrange.3 Zij f een functie en a, b ∈ R met a < b. Als: (1) f is continu over [a, b], en (2) f is afleidbaar over ]a, b[, dan bestaat er minstens één c ∈ ]a, b[ waarvoor f ′ (c) =

f (b) − f (a) . b−a

Meetkundige betekenis. Indien een functie f voldoet aan de voorwaarden (1) en (2) dan is er minstens één punt op de grafiek van f waar de ogenblikkelijke hellingsgraad er gelijk is aan de gemiddelde hellingsgraad van f tussen x = a en x = b (duid bij benadering aan).

y

Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813)

f f (b)

f (a)

a

b

Bewijs. Beschouw de hulpfunctie h(x) = f (x) − van de stelling van Rolle, want:

x

f (b) − f (a) x. Deze functie voldoet aan de drie voorwaarden b−a

(1) h is continu over [a, b] want f is continu over [a, b], en (2) h is afleidbaar over ]a, b[ want f is afleidbaar over ]a, b[, en (3) h(a) = h(b) want f (b) − f (a) f (a)(b − a) f (b)a − f (a)a f (a)b − f (b)a a= − = , b−a b−a b−a b−a f (b) − f (a) f (b)(b − a) f (b)b − f (a)b f (a)b − f (b)a h(b) = f (b) − b= − = . b−a b−a b−a b−a

h(a) = f (a) −

Wegens de stelling van Rolle bestaat er minstens één c ∈ ]a, b[ waarvoor: h′ (c) = 0

f (b) − f (a) b−a f (b) − f (a) = 0. ⇒ f ′ (c) − b−a 3 Modelvoorbeeld. Een auto legt tussen 10 u. en 11 u. een afstand van 100 kilometer af. Toon formeel aan dat voor minstens één tijdstip tussen 10 u. en 11 u. de ogenblikkelijke snelheid van de auto precies 100 km/u is. h′ (x) = f ′ (x) −

Oplossing. Noem f (t) de afgelegde weg van de auto (in kilometer) in functie van het tijdstip t (in uur). De fysische context impliceert dat f continu is over [10, 11] en afleidbaar is over ]10, 11[, zodat er wegens de middelwaardestelling van Lagrange minstens één tijdstip c tussen 10 u en 11 u is waarvoor de snelheid op tijdstip c gelijk is aan 100 − 0 f (11) − f (10) = = 100 km/u. f ′ (c) = 11 − 10 1 3 De lezer kan eenvoudig nagaan dat middelwaardestelling van Lagrange een veralgemening is van de stelling van Rolle. Een speciaal geval van deze middelwaardestelling werd voor het eerst beschreven door Parameshvara (1370 - 1460), in meer algemene vorm verschenen en aangetoond bij Lagrange 1797 [14] doch waar een overvloed aan veronderstellingen werden aangenomen en zonder vermelding van de stelling van Rolle. De huidige, moderne versie van de middelwaardestelling van Lagrange werd in 1823 geformuleerd en bewezen door Augustin Louis Cauchy, maar met de onbewezen aanname dat alle Cauchy-rijen convergeren, hetgeen representeert dat R compleet is.

Voor het eerste correct en volledig bewijs van de middelwaardestelling van Lagrange was het wachten op Joseph Alfred Serret 1868 [21], waarbij gebruik gemaakt werd van de extremumstelling van Weierstrass (zoals de stelling van Rolle hierboven werd aangetoond), hoewel Serret zijn bewijs toeschreef aan Pierre Ossian Bonnet .

VIII-105

3 Middelwaardestelling van Cauchy.4 Zij f en g functies en a, b ∈ R met a < b. Als: (1) f en g continu over [a, b], en (2) f en g afleidbaar over ]a, b[, en (3) g(a) ̸= g(b) en g ′ (x) ̸= 0 voor alle x ∈ ]a, b[, Dan bestaat er minstens één c ∈ ]a, b[ waarvoor f ′ (c) f (b) − f (a) = . g ′ (c) g(b) − g(a)

(A.4)

Bewijs. Merk op dat we de uitdrukking (A.4) kunnen schrijven als Å ã Å ã g(b) − g(a) f ′ (c) = f (b) − f (a) g ′ (c).

Augustin-Louis Cauchy (1789 - 1857)

Beschouw de hulpfunctie Å ã Å ã h(x) = g(b) − g(a) f (x) − f (b) − f (a) g(x).

Deze functie voldoet aan de drie voorwaarden van de stelling van Rolle, want: (1) h is continu over [a, b] want f en g zijn continu over [a, b], en (2) h is afleidbaar over ]a, b[ want f en g zijn afleidbaar over ]a, b[, en (3) h(a) = h(b) want Å ã Å ã h(a) = g(b) − g(a) f (a) − f (b) − f (a) g(a) = f (a)g(b) − f (b)g(a), Å ã Å ã h(b) = g(b) − g(a) f (b) − f (b) − f (a) g(b) = f (a)g(b) − f (b)g(a).

Wegens de stelling van Rolle bestaat er minstens één c ∈ ]a, b[ waarvoor: h′ (c) = 0 Å ã Å ã ′ h (x) = g(b) − g(a) f (x) − f (b) − f (a) g ′ (x) ′

⇒

Å ã Å ã g(b) − g(a) f ′ (c) − f (b) − f (a) g ′ (c) = 0

⇒

Å ã Å ã g(b) − g(a) f ′ (c) = f (b) − f (a) g ′ (c)

⇒

f ′ (c) f (b) − f (a) = . g ′ (c) g(b) − g(a)

3 Modelvoorbeeld. De broers Wietse en Seppe nemen deel aan een loopwedstrijd. Bij de start om 12 u. neemt Wietse een fikse voorsprong, maar om 12.30 u. haalt Seppe hem in. Toon formeel aan dat Seppe tussen 12 u. en 12.30 u. minstens één keer even snel loopt als Wietse.

Oplossing. Noem f (t) de afgelegde weg van Wietse (in kilometer) in functie van het tijdstip t (in uur), en g(t) de afgelegde weg van Seppe (in kilometer) in functie van het tijdstip t (in uur).

De fysische context impliceert dat de functies f en g continu zijn over [12; 12, 5] en afleidbaar is over ]12; 12, 5[.

Daarenboven leiden we uit de context af dat Seppe blijft lopen, zodat g(12) ̸= g(12, 5) en g ′ (x) ̸= 0 voor alle x ∈ ]12; 12, 5[.

Omdat aan de voorwaarden van de middelwaardestelling van Cauchy is voldaan, bestaat er minstens één tijdstip c tussen 12 u en 12.30 u waarvoor de verhouding van snelheden van Wietse en Seppe op tijdstip c gelijk is aan f (12.5) − f (12) f ′ (c) = =1 g ′ (c) g(12.5) − g(12)

zodat op tijdstip c de snelheid van Wietse f ′ (c) even groot is als de snelheid van Seppe g ′ (c).

4 Passen we de middelwaardestelling van Cauchy toe voor g(x) = x, dan verkrijgen we de middelwaardestelling van Lagrange. Geformuleerd en bewezen door Cauchy 1829 [4], doch met de onbewezen aanname dat alle Cauchy-rijen convergeren (zie vorige voetnoot).

VIII-106

Bijlage C Rekenregels voor afgeleiden - Overzicht Bewerkingen met functies ′

(f + g)′ (x) = f ′ (x) + g ′ (x)

(□ + △) = □′ + △′

(f · g)′ (x) = f ′ (x) · g(x) + f (x) · g ′ (x)

(□ · △) = □′ · △ + □ · △′

′

(f r ) (x) = rf r−1 (x) · f ′ (x)

′

′

(□r ) = r□r−1 · □′

(r ∈ R)

Å ã′ f f ′ (x) · g(x) − f (x) · g ′ (x) (x) = g g(x)2

Å

□ △

ã′

=

□′ · △ − □ · △ ′ △2

Enkele elementaire functies en hun samenstellingen f (x) = c (c ∈ R)

f ′ (x) = 0

f (x) = x

f ′ (x) = 1

f (x) = xr

(r ∈ R)

f (x) = ex f (x) = ax

(a ∈ R+ 0 \ {1})

f ′ (x) = rxr−1

′

(□r ) = r · □r−1 · □′ ′

f ′ (x) = ex

e□

f ′ (x) = ax ln a

a□

′

= e □ · □′ = a□ ln a · □′ 1 · □′ □

f (x) = ln x

f ′ (x) =

1 x

(ln □) =

f (x) = a log x

f ′ (x) =

1 x ln a

( a log □) =

f (x) = sin x

f ′ (x) = cos x

(sin □) = cos □ · □′

f (x) = cos x

f ′ (x) = − sin x

(cos □) = − sin □ · □′

f (x) = tan x

f ′ (x) =

1 cos2 x

(tan □) =

f (x) = cot x

f ′ (x) =

−1 sin2 x

(cot □) =

f (x) = Arcsin x

f ′ (x) = √

1 1 − x2

′ (Arcsin □) = √

f (x) = Arccos x

f ′ (x) = √

−1 1 − x2

′ (Arccos □) = √

f (x) = Arctan x

f ′ (x) =

VIII-107

1 1 + x2

′

′

1 · □′ □ ln a

′

′

′

1 · □′ cos2 □

′

−1 · □′ sin2 □

′

(Arctan □) =

1 · □′ 1 − □2 −1 · □′ 1 − □2

1 · □′ 1 + □2

Bijlage D Formules van de goniometrie - Overzicht definities

def

sin α cos α

cot α =

def

1 cos α

cosec α =

tan α = sec α =

def

def

grondformule

sin2 α + cos2 α = 1

aanverwanten

1 + tan2 α =

som- en verschilformules

sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β

1 cos2 α

formules van Carnot

1 + cot2 α =

sin2 α = a

cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β

2 tan α 1 − tan2 α

1 − cos(2α) 2 … =±

halveringsformules

sin

t-formules

sin α =

2t 1 + t2

cos α =

1 − t2 1 + t2

tan α =

2t 1 − t2

2

1 sin2 α

cos(2α) = cos2 α − sin2 α

sin(2α) = 2 sin α cos α tan(2α) =

1 sin α

tan α ± tan β 1 ∓ tan α tan β

tan(α ± β) = verdubbelingsformules

cos α sin α

cos2 α =

1 − cos a 2

cos

met t = tan

a 2

1 + cos(2α) 2 … =±

α 2

(formules van Simpson)

ã Å ã a+b a−b sin a + sin b = 2 sin cos 2 2 Å ã Å ã a+b a−b cos cos a + cos b = 2 cos 2 2

product-naar-som formules

sin p cos q =

Å ã 1 sin(p + q) + sin(p − q) 2

cos p sin q =

cos p cos q =

Å ã 1 cos(p + q) + cos(p − q) 2

sin p sin q = −

Å

som-naar-product formules

1 + cos a 2

ã Å ã a−b a+b sin a − sin b = 2 sin cos 2 2 Å ã Å ã a−b a+b cos a − cos b = −2 sin sin 2 2 Å

Å ã 1 sin(p + q) − sin(p − q) 2

(omgekeerde formules van Simpson)

VIII-108

Å ã 1 cos(p + q) − cos(p − q) 2

Antwoorden op geselecteerde oefeningen Hoofdstuk 1 (3) (a) −1, 6 (4) (a) (b)

3

∆f ∆x df dx

=7 −1

=3 −1

(5) (a) 92 km/u (b) 134 km/u (7) (a) −8 1 (8) (b) t : y = − x + 1 4 (9) (b) t : y =

1 x+1 4

(12) (a) waar (b) waar (c) vals (d) vals (15) (a) t : y = −2x − 5 (b) −9

(16) (a) f ′ (−1/2) = 0, f ′ (0) = 2 en f ′ (1) = 0 (17) (a) f ′ (5) = −4

(b) f is dalend in een omgeving van 5 (c) t : y = −4x + 21

(18) (a) f ′ (x) = 10x − 2

(b) t : y = −22x − 17

(20) (D)

Hoofdstuk 2 (1) (1) y ′ = 0 (2) f ′ (x) = 2022 (3) y ′ = 3 (4) f ′ (u) = −12

(5) f ′ (x) = 24 3 (6) y ′ = 5 (7) y ′ = 6x + 4

(8) f ′ (x) = −12x + 25 (9) f ′ (x) = 2x + 3x2

VIII-109

(10) f ′ (x) = 2022x2021 (11) f ′ (x) = 156x12 (12) f ′ (x) = 10x4 + 18x2 − 2x − 36

(13) f ′ (t) = 2t(t2 + 4)(3t3 − 11) + 2t3 (3t3 − 11) + 9t4 (t2 + 4)

(14) y ′ = (x − 12)(2x4 − 5x + 10) + x(2x4 − 5x + 10) + x(x − 12)(8x3 − 5) (15) y ′ = 3(x2 − 7x + 2)2 (2x − 7)

(16) f ′ (x) = (6x2 − 5)(x2 − 1)4 + 8x(2x3 − 5x + 1)(x2 − 1)3 (2) In de punten P1 (1; 4, 33 . . .) en P2 (−7; 89, 66 . . .) is de raaklijn aan de grafiek van f horizontaal.

(3) In de punten P1 (1, 5; −4, 875) en P2 (0, 5; −3, 125) is de raaklijn aan de grafiek van f evenwijdig met de rechte a.

(4) P1 (2; 1, 5), Q1 (2; 6, 33 . . .) en P2 (−3, 2; 3, 84), Q2 (−3, 2; −5, 9733 . . .)

(5) Op dat moment vergroot het volume van de hoop zand met een snelheid van 9, 4247 . . . m3 /min.

(6) De grafiek van f bereikt geen buigpunt in P (0, 49).

(7) (a) De grafiek van f is stijgend voor x ∈ ]−∞, −1[ ∪ ]1, +∞[ en dalend voor x ∈ ]−1, 1[.

(b) De grafiek van f is hol voor x ∈ ]0, +∞[ en bol voor x ∈ ]−∞, 0[. ó √ î ó√ î ó √ î ó √ î 3, +∞ en dalend voor x ∈ −∞, − 3 ∪ 0, 3 .

(8) (a) De grafiek van f is stijgend voor x ∈ − 3, 0 ∪ (b) De grafiek van f is hol voor x ∈ ]−∞, −1[ ∪ ]1, +∞[ en bol voor x ∈ ]−1, 1[.

(10) f (x) = x4 − 2x2 + 6 (11) 6x4 − 56x3 + 147x2 bereikt geen maximum.

(12) Men moet 17 dozen produceren opdat de winst maximaal is.

(13) De oppervlakte is maximaal voor l = 20 m en b = 10 m.

(14) De oppervlakte van de rechthoek binnen de piste is maximaal voor 63, 6619 . . . m als diameter van de halve cirkels en 100 m als lengte van de rechthoek. De maximale oppervlakte van de rechthoek bedraagt 6366, 19 . . . m2 .

(15) De winst is maximaal bij een productie van 200 tafels per maand.

(16) Na 4 jaar is de toename van het aantal stemgerechtigden is het grootst.

(17) p = −7 (18) (a) De snelheid waarmee de vuurpijl wordt afgeschoten is 30 m/s. (b) De snelheid waarmee de vuurpijl landt is 50 m/s (19) De snelheid van de motorrijder is 120 kilometer per uur na ongeveer 41 minuten, 29 seconden en na ongeveer 1 uur, 21 minuten, 21 seconden.

(20) (a) V ′ (25) = −138544, 236 m3 /dag (21) (a) De snelheid waarmee de waterspiegel daalt na 20 minuten is 0, 288 dm/min. (b) De snelheid waarmee de waterspiegel daalt is het grootst op t = 0.

(22) Op dat moment is de straal gelijk aan

1 .

8π

(23) Het bedrijf moet ongeveer 9 computers per uur produceren om een maximale winst te maken.

(24) y = x2 − x + 1 (25) buigraaklijn y = −3x + 3 (26) (D) (27) (B) (28) k = −5

VIII-110

Hoofdstuk 3 8x (x2 + 2)2 −2 x (2) f ′ (x) = (x2 + 4x + 3) + (2x + 4) 2 (x − 2) x−2

(1) (1) y ′ =

(3) y ′ =

4x3 1000

2

′

(4) f (u) = Ä

− u8 +

u2 4

1 2

− 3u + 1

ä2

(5) f ′ (x) = −3(x2 − 7x + 1302)−2 (2x − 7)

(6) y ′ = −5x−6 −6 (7) y ′ = 4 x (8) f ′ (x) = 3(x2 − 7x + 2)2 (2x − 7)

(9) f ′ (x) = 2x(x3 − 1) + 3x2 (x2 + 3) +

4 −x2 + 3 + 5 (x2 + 3)2 x

(10) f ′ (x) = −360(6x + 7)−5 Å ã x−2 4 4 ′ (11) f (x) = 5 x+2 (x + 2)2 (12) f ′ (x) = (6x2 − 5)(x2 − 1)−4 − 8x(2x3 − 5x + 1)(x2 − 1)−5 −252t6 + 24 (2t7 − 2t + 1066)5 1 2x + 7 y′ = p 3 2 3 (x + 7x − 2)2 1 y′ = √ 7 7 x6 Ä ä√

√ x √1 x+2−x √ − 1 4 x2 − 3 − 2 x+2 2 4 (x2 −3)3 ′ √ f (x) = x2 − 3 …

1 x+3 5 f ′ (x) = 2 x − 2 (x + 3)2

(13) f ′ (t) = (14) (15)

(16) (17)

3 3x2 − 14x + 2022 p 4 4 (x3 − 7x2 + 2022x + 12)5 ä3 p 8 Ä s 5 (19) f ′ (s) = 1 + s2 + 3 p 5 2 5 (s + 3)4 p √ 3 − 1 − x2 √ (20) f ′ (x) = 3 x5 (18) y ′ = −

(2) a = 2, b =

1 2

(3) a = 7 (4) De kostprijs van het traject ADB is minimaal voor x = 15, 21 . . . km.

(6) (b) De mate van de verandering van het aantal verkochte t-shirts op 24 augustus 2008 is 20263, 34 . . . t-shirts/dag. (c) Op 28 augustus is de verkoop van de t-shirts maximaal. √ (7) (d) Het volume van de kegel is maximaal voor r = 4 27. √ (8) x = y = 12 √ √ 1 3 3 1 3 3 (10) buigraaklijnen t1 : y = − x − , t2 : y = 2x en t3 : y = − x + 4 4 4 4 (11) p = 4, q = 1 (13) (A) VIII-111

(14) punt P (2, 1) (15) De afstand onder de kogel is 0, 125 cm.

(16) Op dat moment stijgt het waterpeil met een snelheid van 10, 8253 . . . cm/min.

(18) Het zuurstofgehalte is minimaal op t = 10 min.

(19) De winst is maximaal als de kweker 40 000 planten per hectare uitzet. De winst per hectare is dan 14 000 euro.

(20) De inkomsten per dag zijn maximaal voor een werktijd van 12 minuten per pot.

(21) Op dat ogenblik stijgt het oppervlak van de zuiger met een snelheid van 0, 54288 . . . cm/min.

Interludium 1 (1) (1)

5 2 √

19 7 (3) −∞ (2)

(4) +∞ (5) 4

1 4 1 (7) − 4 (8) bestaat niet

(6) −

(9) −∞

(10) +∞ (2) (1) De rechte x = 7 is V.A. aan de grafiek van f , de grafiek van f bereikt een perforatie in x = 1, de rechte y = 2x + 16 is S.A. voor x → ±∞ aan de grafiek van f .

(2) De rechte y = x resp. y = −x is S.A. voor x → +∞ resp. x → −∞ aan de grafiek van f .

(3) De rechten x = 2 en x = −2 zijn V.A. aan de grafiek van f , de rechte y = 0 is H.A. voor x → ±∞ aan de grafiek van f .

(4) De rechte x = −2 is V.A. aan de grafiek van f , de rechte y = x − 2 is S.A. voor x → ±∞ aan de grafiek van f .

(5) De rechte x = 0 is V.A. aan de grafiek van f , de rechte y = x/2 is S.A. voor x → ±∞ aan de grafiek van f .

(6) De rechte y = 2x − 4 resp. y = −2x + 4 is S.A. voor x → +∞ resp. x → −∞ aan de grafiek van f .

(7) De rechte x = 0 is V.A. aan de grafiek van f , de grafiek van f bereikt een perforatie in x = 2.

(8) De rechten x = −1 en x = 1 zijn V.A. aan de grafiek van f , de rechte y = 1 is H.A. voor x → ±∞ aan de grafiek van f .

(9) De rechte y = x − 4/3 is S.A. voor x → ±∞ aan de grafiek van f .

(10) De rechte y = 2 is H.A. voor x → −∞ aan de grafiek van f , de rechte y = 2x − 2 is S.A. voor x → +∞ aan de grafiek van f .

(3) a = 1, b = −6, c = 2, d = 2, e = −4 (4) a = 1, b = −4, c = 4 (5) De concentratie in het bloed streeft naar 0, 25 mg/cm3 .

(6) (a) f ′ (1− ) bestaat niet, f ′ (1+ ) = −∞ (7) (a) f ′ (3− ) = −6, f ′ (3+ ) = 6 (8) (a) De rechten x = 1 en x = −1 zijn verticale raaklijnen aan de grafiek van f .

(b) De rechten x = 2 en x = −2 zijn verticale raaklijnen aan de grafiek van f , de grafiek van f bereikt een keerpunt in x = 2 en x = −2. (c) De rechten x = 0 en x = −1/9 zijn verticale raaklijnen aan de grafiek van f .

VIII-112

(d) De rechte x = 5 is een verticale raaklijn aan de grafiek van f , de grafiek van f bereikt een hoekpunt in x = 0. (e) De rechte x = 0 is een verticale raaklijn aan de grafiek van f , de grafiek van f bereikt een keerpunt in x = 0. (f) De rechten x = −2 en x = 1 zijn verticale raaklijnen aan de grafiek van f , de grafiek van f bereikt een keerpunt in x = 1.

(9) (A) î √ √ ó (10) (b) dom f = − 18, 18 √ √ 17 16 17 x+ (f) t : y = − 17 17 √ √ (g) De rechte y = 9 is een horizontale raaklijn aan de grafiek van f , de rechten x = 18 en x = − 18 zijn verticale raaklijnen aan de grafiek van f . (h) De grafiek van f bereikt een hoekpunt in x = 0.

(11)

23 29 x− 9 3

(f) t : y =

Hoofdstuk 4 (1) (1) f ′ (x) = 3x ln 3 5x4 x5 ln 7 √ 7e7 x−6 ′ √ (3) f (x) = 2 x 2 (4) y ′ = (x − 1) ln 3

(2) y ′ =

(5) y ′ = 5x

2

−7x+4

1

(6) f ′ (x) = √ (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14)

(2x − 7) ln 5

x2 − 4 ã Å 7 ′ x2 −7 ln x+4 ln 5 y =5 2x − x 2x ln 2 − 3 f ′ (x) = √ x 2 2 − 3x + 7 1 ′ 2 f (t) = log t + ln 2 2x f ′ (x) = 2 x − 17 17 y′ = − x 2 3x ln x − x2 y′ = (ln x)2 −2 f ′ (x) = (1 − x2 )3 ln 10 2x + 2 Å ã f ′ (x) = p √ 3 ln 4 3 (x2 + 2x − 5)2 3 x2 + 2x − 5 + 1

(15) f ′ (x) =

−1 (x − 2)(x − 3) ln 10

ex

x

(16) y ′ = ee ee ex

x2 + 6x − 3 (17) f (x) = e (x + 3)2 ′

x2 +3 x+3

log x 2 log x + x ln 2 x ln 3 (19) f ′ (x) = πxπ−1 + π x ln π + xx (ln x + 1)

(18) y ′ =

3

VIII-113

(20) f ′ (x) = 3

7

(3) m ∈ {2, 3, −2}

2 log (x2 − 2x )

(x2

1 (2x − 2x ln 2) − 2x ) ln 7

(4) Een jaar later daalt de verkoop met ongeveer 737 flessen per jaar.

(5) Er moeten 139 boeken verkocht worden opdat de winst maximaal is.

(8) (a) dom f = ]−1, 1[ (9) De oppervlakte van de rechthoek is maximaal als de basis

√

1 2 en de hoogte √ is. e

(10) Het punt P (1, 1) ligt het dichtst bij de boom.

(11) (a) T (t) = 18 − 35e−0,029725...t (12) (a) N (t) =

1000 1 + 999e−2,31163...t

(13) 1 Ç (14) M

√ å 1 −2 2 √ , √ e3e e3e

(16) (C) (18) (a) a(t) =

2

cosh … (c)

mg k

g »

gk m

t

(19) (a) n = 2 (b) De rechte x = 0 is V.A. aan de grafiek van f , de rechte y = 0 is H.A. voor x → −∞ aan de grafiek van f . Å ã 1 √ (20) A √ , e en t : y = ex e

Interludium 2 (3) (1) −

3 5

5 27 1 (3) ln 3 (4) 3

(2)

(5) 0 (6) 1 (7) e

√

2

(8) ea (9) 1 (10)

1 ln a

(5) (a) De rechte y = 0 is H.A. voor x → −∞ aan de grafiek van f .

(b) De rechte x = 0 is V.A. aan de grafiek van f , de rechte y = x is S.A. voor x → +∞ aan de grafiek van f .

(c) De rechte x = 0 is V.A. aan de grafiek van f , de rechte y = 0 is H.A. voor x → +∞ aan de grafiek van f .

(d) De rechte y = 0 resp. y = 2 is H.A. voor x → −∞ resp. x → +∞ aan de grafiek van f . (e) De rechte y = 0 is H.A. voor x → −∞ aan de grafiek van f .

(6) 0 (7) De rechte y = −2x resp. y = 2x is S.A. voor x → −∞ resp. x → +∞ aan de grafiek van f .

VIII-114

(8) vals (9) (1) 2 9 ln2 2 8 (3) −1 (2)

(4) 2 ln 10 (5) 0 (6) e 5 (7) 2 1 (8) 2 (9) 1 (10) ek (10) (b) f ′ (a) (11) xa · y b (12) (1) 256 1 (2) 2 (3) 32 (4) e2 (5) 1 (6) 0 (7) 5 ln 2 (8) 2 1 (9) 4 (10) 1 (11) e4 (12) −

1 2

1 e (14) 0 (13)

Hoofdstuk 5 (1) (1) y ′ = 2 cos(2x) (2) y ′ = 3 sin(6x) 1 (3) f ′ (x) = √ met x ≥ 0 2 x − x2 x √ (4) y ′ = √ 2 x − 3 cos2 x2 − 3 2 sin(2x) (5) y ′ = cos2 (2x) Å ãÅ ã 2 −2 (6) f ′ (x) = cos x x2 sin x (7) y ′ = 3 cos x |tan x| p −7 cos(2x) cot(7x) sin(2x) (8) f ′ (x) = − p sin2 (7x) cos(2x) p (9) g ′ (t) = 2 1 − t2

VIII-115

(10) f ′ (x) = 10sin(5x) cos(5x)5 ln 10 6 √ (11) f ′ (x) = (x − 3) −12x −2x + 3 p (12) y ′ = p 2 Arccos(x2 − 3x + 2) + 2 1 − (x2 − 3x + 2)2 cos x (13) f ′ (x) = (1 − sin x) |cos x| −1 √ (14) f ′ (x) = 2 (2x + 1) x2 + 1 ä Ä −2 cos x−1 x+1 ′ Ä ä (15) y = (x + 1)2 sin2 x−1 x+1 −6x2 + 3 (2x2 + 1)2 + 9x2 sinh x (18) y ′ = 1 + cosh2 x 1 (19) f ′ (x) = sin x Å ã cos2 x ′ cos x − sin x ln(sin x) + (20) f (x) = (sin x) sin x √ x x (2) f ′ (x) = 2 (b + x)2 (16) y ′ =

(4) (1) 2 1 (2) 6 (3) 1 (4) 1 (5) 1 (6) e (7) 1 (8) 1 1 (9) √ e 1 (10) − 6 √

√ 3 9 − 2 3π x+ (6) t : y = 2 12 1 (7) a = − , b = 0 8 (8) 60◦ (11) De uitdrukking bereikt haar lokaal maximum voor x =

π + 2kπ (k ∈ Z). De maximale waarde is 2.

3

(13) (b) De snelheid (in absolute waarde) is het grootst elke

k minuten (k ∈ Z).

6

(15) De rechte x = 0 is een verticale raaklijn aan de grafiek van f .

(16) (b) De grafiek van f bereikt een hoekpunt in x =

3π + 2kπ (k ∈ Z).

2

(17) Voor de afstand 1, 67705 . . . m is de hoek het grootst.

(18) Voor de hoek α = 36◦ 52′ 11, 63 . . .′′ is de lengte van de nieuwe weg het kortst.

(19) De limietpositie van P is het punt met coördinaten (3, 0).

(20) (c) ω2min = ω1 cos β, ω2max =

ω1 cos β VIII-116

Referentielijst [1] U. Besson, The history of Newton’s cooling law: when the search for simplicity can be an obstacle, the Wayback Machine, 2015.

[2] C. B. Boyer, The Foremost Textbook of Modern Times, The American Mathematical Monthly Vol. 58, No. 4, p.

223-226, 1951.

[3] A.L. Cauchy, Cours d’analyse de l’École Royale Polytechnique premiere partie Analyse Algebrique, Debure frères, Libraires du Roi et de la Bibliothèque du Roi, 1821.

[4] A.L. Cauchy, Leçons sur le Calcul Différentiel, Paris, 1829.

[5] K. De Naeghel, Wiskunde in actie, 6 december 2017 (aanvaard voor publicatie in Wiskunde & Onderwijs).

[6] R. Descartes, Discours de la Méthode Pour bien conduire sa raison, et chercher la vérité dans les sciences, Plus La Dioptrique, Les Météores et La Geometrie qui font des effais de cete methode, Ian Maire, Leiden, 1637.

[7] L. Euler, Introductio in analysin infinitorum, Lausannae : apud Marcum-MIchaelem Bousquet & socios, 1748.

[8] L. Euler, Institutiones Calculi Differentialis cum eius Usu in Analysi Finitorum ac Doctrina Serierum, Acadamiae Imperialis Scientiarum, St. Petersburg, 1755.

[9] Pierre de Fermat, Methodus ad disquirendam maximam et minimam et de tangentibus linearum curvarum, Oeuvres, Vol. 1, p. 133-136, 1637.

[10] E. Hairer, G. Wanner, Analysis by its history, Springer-Verlag, New York, 1996.

[11] R. Hooke, Lectures de Potentia Restitutiva, Or of Spring Explaining the Power of Springing Bodies, John Martyn, London, 1678.

[12] G. de l’Hospital, Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes, A Paris, de l’Imprimerie Royale 1696.

[13] F. Klein, Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus, Leipzig B.G. Teubner, 1908.

[14] J.L. Lagrange, Théorie des fonctions analytiques, Paris: L’Imprimerie de la République, 1797.

[15] G.W. Leibniz, Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quænec fractas, nec irrationales quantitates moratur, & singulare pro illis calculi genus, Acta Eruditorum 3, p. 467-473, Leibzig, 1684.

[16] I. Newton, The Method of Fluxions and Infinite Series: With Its Application to the Geometry of Curve-lines, Henry Woodfall, London, 1736.

[17] J. Plante, A Proof of Bonnet’s Version of the Mean Value Theorem by Methods of Cauchy, The American Mathematical Monthly, Vol. 124, p. 269-273, 2017.

[18] S.E. Rigdon, E.J. Purcell, D. Varberg, Calculus, Pearson Prentice Hall, 2007.

[19] M. Roelens, De kettinglijn en gelijkvormige grafieken, Uitwiskeling 33/1, p. 8-14, 2017.

[20] M. Rolle, Démonstration d’une Méthode pour resoudre les Egalitez de tous les degrez; Suivie de deux autres Méthodes, dont La premiere donne les moyens de résoudre ces mêmes égalitez par la Géométrie, Et la seconde, pour résoudre plusieurs questions de Diophante qui n’ont pas encore esté résolues., chez Jean Cusson, Paris, 1691.

[21] J.A. Serret, Cours de calcul différentiel et intégral, Paris, 1868.

[22] P.F. Verhulst, Notice sur la loi que la population poursuit dans son accroissement, Correspondance mathématique et physique, 10, p. 113-121, 1838.

[23] K. Weierstrass, Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen, Königlich Preussichen Akademie der Wissenschaften, Mathematische Werke von Karl Weierstrass, Berlin, Germany: Mayer & Mueller, Vol. 2, p. 71-74, 1895.

VIII-117

[24] M.A. Zorn, Piccayune Sentinel, University of Indiana, ±1950.

[25] Website (blog) Chris Impens Valvas, http://ci47.blogspot.com/ [26] Website AbeBooks, https://www.abebooks.com/

.

.

[27] Website Interactive Mathematics, https://www.intmath.com/

.

[28] Website Encyclopedia of Mathematics - Arithmetization of analysis, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Arithmetization of analysis [29] Website Wikipedia, http://en.wikipedia.org/

en http://en.wikipedia.org/

VIII-118

. .