Deel XI Integralen (Hoofdstukken 1, 2 en 3)

Wiskunde In zicht een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs geschreven door

Koen De Naeghel Deel IX Integralen (Hoofdstukken 1, 2 en 3)

12/02/2021

CREATIVE COMMONS Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 (CC BY-NC-SA) Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie.

De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode De gebruiker mag: het werk kopiëren, verspreiden en doorgeven Remixen - afgeleide werken maken

Onder de volgende voorwaarden: Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam te vermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik van het werk).

Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerciële doeleinden gebruiken.

Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfde licentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid.

Met inachtneming van: Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden met voorafgaande toestemming van de rechthebbende.

Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijke wetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze beı̈nvloed door de licentie.

Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht: • Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet.

• De morele rechten van de auteur.

• De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals het portretrecht of het recht op privacy.

Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aan . derden door middel van een link naar http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/

Eerste druk: 2019 Versie: 12 februari 2021 Gepubliceerd door: Online publicatie platform Issuu.com Auteursrecht omslagfoto: stylephotographs/123RF Stockfoto http://nl.123rf.com/profile stylephotographs Tekstzetsysteem: LATEX Royalty percentage: 0% c Koen De Naeghel, gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0

Deel XI

Analyse - Integralen

y

y

graf g

graf f t

a

x

rico raaklijn

b

a

t

′

= g (x) = f (x)

geor. opp.

XI

b

=

Z

t

f (x) dx = g(t) a

x

Inhoudsopgave

Deel Integralen

1 Bepaalde integralen

1

1.1 Afstand-tijd diagram en snelheid-tijd diagram 1.2 Meetkundige betekenis van bepaalde integraal 1.3 Benaderingen met rechthoeken . . . . . . . . .

1.4 Oppervlaktefunctie en hoofdstelling 1 . . . . .

1.5 Primitieve functies en hoofdstelling 2 . . . . .

1.6 Fundamentele integralen . . . . . . . . . . . .

1.7 Basiseigenschappen . . . . . . . . . . . . . . .

Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

2 Toepassingen op bepaalde integralen

27

2.1 2.2 2.3 2.4

Oppervlakte tussen grafieken . . . . . . . .

Gemiddelde functiewaarde over een interval Inhoud van een omwentelingslichaam . . .

Toepassingen uit fysica . . . . . . . . . . .

Afstand uit snelheid . . . . . . . . . . . . .

Snelheid uit versnelling . . . . . . . . . . .

Volume uit debiet . . . . . . . . . . . . . .

Arbeid uit kracht . . . . . . . . . . . . . .

Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

3 Onbepaalde integralen en integratietechnieken 3.1 Onbepaalde integralen . . . . . . . .

3.2 Fundamentele integralen . . . . . .

3.3 Basiseigenschappen . . . . . . . . .

3.4 Differentialen . . . . . . . . . . . . .

3.5 Integratietechniek substitutie . . . .

3.6 Partiële integratie . . . . . . . . . .

3.7 Bepalen van de integratieconstante .

Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

1 4 6 9 13 16 17 21

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

27 31 34 38 38 39 40 41 42

47 47 48 49 51 52 54 57 58

B

Rekenregels voor onbepaalde integralen - Overzicht

63

C

Rekenregels voor afgeleiden - Overzicht

65

D

Formules van de goniometrie - Overzicht

66

Antwoorden op geselecteerde oefeningen

67

Referentielijst

71

Hoofdstuk 1

Bepaalde integralen In de geschiedenis van de wiskunde lagen meetkundige problemen vaak aan de basis van nieuwe ontdekkingen. Zo vond de studie van de afgeleiden (ook wel differentiaalrekening genoemd) zijn oorsprong in het zogenaamde raaklijnenprobleem: het bepalen van de raaklijn in een punt aan een grafiek (zie Deel Afgeleiden).

De integraalrekening is ontstaan uit een op het eerste zicht totaal ander en veel ouder probleem: het berekenen van (287 v.Chr. - 212 v.Chr.) formules om bijvoorbeeld oppervlakten en volumes. Zo vond Archimedes van Syracuse de oppervlakte van een cirkel, de oppervlakte tussen een cirkel of parabool en een rechte, en de inhoud van een bol en een cilinder te bepalen. De beslissende doorbraak kwam echter in 17e eeuw, toen wiskundigen tot de verrassende vaststelling kwamen dat het oppervlakteprobleem in zekere zin het omgekeerde is van het raaklijnenprobleem. De brug wordt gemaakt door het begrip oppervlaktefunctie. Een formele vertolking wordt de hoofdstelling van de calculus genoemd, die we in dit hoofdstuk zien onder de benaming hoofdstelling 1 en 2 van de integraalrekening.

1.1

Afstand-tijd diagram en snelheid-tijd diagram

In de lessen fysica heb je kennis gemaakt met het zogenaamde afstand-tijd diagram en snelheid-tijd diagram. In het volgende voorbeeld achterhalen we hoe je uit het ene diagram het andere kan opbouwen, waarmee het concept georiënteerde oppervlakte zich spontaan opdringt. Op deze manier zullen we het begrip bepaalde integraal introduceren.

3 Voorbeeld. Na de feestdagen wil Hans wat afslanken. Hij besluit om naar het bos te lopen, dat 10 km van zijn huis verwijderd is. Hans loopt aan een een constante snelheid van 10 km per uur. Eens aangekomen in het bos is hij uitgeput, en strompelt naar huis aan een constant tempo van 2, 5 km per uur. (a) Teken het afstand-tijd diagram: de grafiek van de afstand g(t) van Hans ten opzichte van zijn huis (in km) in functie van de tijd t (in uur, met t = 0 het tijdstip van vertrek).1 Oplossing. We maken een tabel van enkele functiewaarden en zetten daarna de corresponderende punten uit op een assenstelsel (vul aan). tijdstip t

0

0, 5

1

2

3

4

Hans loopt te overdrijven.

5

afstand g(t)

y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1

2

3

4

5

t

1 Merk op dat afstand ten opzichte van (of verplaatsing) een andere betekenis heeft als afgelegde weg. Zo zal op het moment dat Hans terug thuiskomt de verplaatsing gelijk zijn aan 0 km terwijl de afgelegde weg dan 20 km bedraagt.

XI-1

(b) Wat is de snelheid van Hans ten opzichte van zijn huis op tijdstip t = 0, 5? En op tijdstip t = 2? Hoe lees je zo’n snelheid af op het afstand-tijd diagram?

Oplossing. We kunnen de snelheid van Hans op een bepaald tijdstip rechtstreeks uit de context van het voorbeeld halen. Herhaal uit Deel Afgeleiden dat zo’n snelheid gelijk is aan de mate waarin de afstand op dat tijdstip toeneemt: de afgeleide van de afstand naar de tijd. De meetkundige betekenis van afgeleide geeft aan hoe je die snelheid kan aflezen op het afstand-tijd diagram. tijdstip t

snelheid in km/u

in symbolen

meetkundige betekenis op afstand-tijd diagram

0, 5 2 (

x

...

als 0 < x < 1

...

als 1 < x < 5

(c) Teken het snelheid-tijd diagram door op elk tijdstip x de snelheid f (x) te beschouwen.

Oplossing. We maken eerst een tabel van enkele functiewaarden (vul aan). tijdstip x

0, 1

0, 5

0, 9

1, 1

2

3

4

4, 9

snelheid f (x)

y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1

−1 −2 −3

2

3

4

x

5

3 Algemeen. Door in een afstand-tijd diagram de rico van de raaklijn (of afgeleide) op een bepaald tijdstip x af te lezen, achterhaal je de snelheid op dat tijdstip. Op die manier kun je het snelheid-tijd diagram opbouwen.

Dat principe kunnen we als volgt schematiseren:

afleiden afstandsfunctie g y

snelheidsfunctie f y

rico raaklijn = g ′ (x) = snelheid op tijdstip x = f (x)

graf g

a

x

b

graf f

f (x) t

x

XI-2

x

Het is logisch om nu ook de omgekeerde vraag te stellen: kunnen we uit een snelheid-tijd diagram de afstand aflezen?

3 Voorbeeld (vervolg). (d) In het eerste half uur loopt Hans aan een snelheid van 10km/u. Welke berekening maak je nu om de afstand van Hans op tijdstip t = 0, 5 te weten?

Oplossing.

(e) Wat stelt deze berekening meetkundig voor op het snelheid-tijd diagram? Duid aan op onderstaande grafiek.

Oplossing. y

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 −1 −2 −3

1

2

3

4

x

5 graf f

(f) In het eerste uur uur loopt Hans aan een snelheid van 10 km/u, daarna loopt hij aan een snelheid van −2, 5 km/u (ten opzichte van zijn huis). Welke berekening maak je nu om de afstand van Hans op tijdstip t = 2 te weten? Wat stelt deze berekening meetkundig voor op het snelheid-tijd diagram? Duid aan op bovenstaande grafiek.

Oplossing.

3 Algemeen. Door in een snelheid-tijd diagram de georiënteerde oppervlakte van het gebied gelegen tussen de grafiek van f , deRx-as, het begintijdstip en een bepaald tijdstip t af te lezen, vind je de afstand op dat tijdstip, die t we noteren met a f (x) dx. Zo kun je het afstand-tijd diagram opstellen. Dat proces wordt integreren genoemd, en is in deze context het omgekeerde van afleiden. Schematisch:

integreren afstandsfunctie g

snelheidsfunctie f

y

y geor. opp.

=

Z

t

f (x) dx

a

= afstand op tijdstip t

g(t)

= g(t) graf g

graf f t

t

t

a

XI-3

b

x

1.2

Meetkundige betekenis van bepaalde integraal

Het begrip afgeleide betekent meetkundig: rico van de raaklijn aan de grafiek van een functie. In de vorige paragraaf drong zich vanuit een fysische context het omgekeerd proces integreren op, met als meetkundige betekenis de georiënteerde oppervlakte onder de grafiek van een functie: oppervlakte boven de x-as verminderd met de oppervlakte onder de x-as. Dit is ons uitgangspunt om het begrip bepaalde integraal intuı̈tief te introduceren.

3 Meetkundige betekenis (bepaalde integraal). 2 3 Gegeven is een functie f en a, b ∈ R zodat f continu is over [a, b]. De bepaalde integraal van f tussen x = a en x = b is de totale georiënteerde oppervlakte van het gebied gelegen tussen de grafiek van f , de x-as en de rechten x = a en x = b.

Z b We noteren deze bepaalde integraal met f (x) dx. a

3 Modelvoorbeeld 1. Gegeven is de onderstaande grafiek van een functie f . Duid op deze figuur de meetkundige Rb betekenis van de bepaalde integraal a f (x) dx aan, die je hanteert om de bepaalde integraal concreet uit te schrijven. Maak gebruik van Romeinse cijfers.

y

f a

b

x

Oplossing. We arceren het gebied dat begrensd is tussen de grafiek van f , de x-as en de rechten x = a en x = b (voer uit op bovenstaande figuur). Dit gebied valt uiteen in twee delen (I en III) die zich boven de x-as bevinden, en één deel (II) dat onder de x-as ligt. Zo vinden we (vul aan): Z b f (x) dx = . . . geor. opp. = opp. I − opp. II + opp. III a

2 De voorwaarde f is continu over [a, b] kan afgezwakt worden tot f is continu over [a, b] op een eindig aantal x-waarden na. De reden hiervoor wordt in de volgende voetnoot duidelijk gemaakt. Bepaalde integralen van deze ruimere klasse van functies wordt op het einde Rb van dit hoofdstuk ingevoerd. De betekenis die achter de notatie f (x) dx schuilgaat, komt in de volgende paragraaf aan bod. a 3 Om deze meetkundige betekenis als een (formele) definitie te zien, moet duidelijk gemaakt worden welk oppervlaktebegrip als grondslag genomen wordt. In de context van deze cursus hebben wij het zogenaamde oppervlaktebegrip van Jordan voor ogen, en de corresponderende bepaalde integraal wordt dan de Riemann-integraal genoemd. Dat wordt in deze voetnoot toegelicht.

Zij f een functie en a, b ∈ R zodat f begrensd is over [a, b]. Met het gebied gelegen tussen de grafiek van f , de x-as en de rechten x = a en x = b bedoelen we de verzameling S = {(x, y) | a ≤ x ≤ b en f (x) bestaat en 0 ≤ y ≤ f (x)}, ook wel ordinatenverzameling van f over [a, b] genoemd. Daar f over [a, b] begrensd is, zal S ⊆ R2 een begrensd deel van het vlak voorstellen. Nu zeggen we dat de bepaalde Riemann-integraal van een functie f tussen x = a en x = b bestaat precies wanneer het gebied S Jordan-meetbaar is (zie hieronder). In dat geval zeggen we dat f Riemann-integreerbaar is over [a, b] en stellen we de bepaalde Riemann-integraal gelijk aan de Jordan-maat van S (zie hieronder). In Bijlage A zullen we het begrip Riemann-integreerbaarheid op een andere en meer formele doch gelijkaardige manier invoeren, die equivalent blijkt met de betekenis die we hierboven gegeven hebben.

Hierna bespreken we de begrippen Jordan-meetbaar en Jordan-maat, die in 1892 door Camille Jordan [12] werden ingevoerd. Ieder begrensd deel S van het vlak kan van binnenuit door een eindige en disjuncte unie van rechthoeken benaderd worden (hierbij volstaan rechthoeken waarvan de zijden evenwijdig zijn met de assen, we laten evenwel ook ontaarde rechthoeken toe zoals een lijnstuk of een punt). De (klassieke) oppervlakte van zo’n rechthoekenverdeling is elementair te berekenen. De kleinste bovengrens (supremum) van de oppervlakten van alle mogelijke eindige rechthoekenverdelingen van binnenuit is de zogenaamde binnen Jordan-maat. Analoog kan men een buiten Jordan-maat definiëren als de grootste ondergens (infimum) van de oppervlakten van eindige rechthoekverdelingen die S van buitenuit benaderen. Zijn de binnen Jordan-maat en buiten Jordan-maat aan elkaar gelijk, dan zeggen we dat S Jordan-meetbaar is.

Dat getal noemt men dat de Jordan-maat van S. Niet ieder begrensd deel S van het vlak is Jordan-meetbaar. Een klassiek voorbeeld van zo’n verzameling is de collectie van alle rationale punten van het vlak waarvan de coördinaatgetallen tussen 0 en 1 liggen, formeel: S = {(x, y) | x, y ∈ Q en 0 ≤ x ≤ 1 en 0 ≤ y ≤ 1}. De enige rechthoeken die bevat zijn in S, zijn punten (ontaarde rechthoeken), waarvan de oppervlakte gelijk is aan nul. Dus de binnen Jordan-maat van S gelijk is aan 0. Een eindige rechthoekverdeling die S omvat, zal ook het vierkant [0, 1] × [0, 1] omvatten, zodat de buiten Jordan-maat van S gelijk is aan 1. Daar binnen Jordan-maat en buiten Jordan-maat verschillend zijn van elkaar, is S niet Jordan-meetbaar. Een eindige unie van Jordan-meetbare verzamelingen is Jordan-meetbaar. Een aftelbare unie van Jordan-meetbare verzamelingen hoeft echter niet Jordan-meetbaar te zijn (zie het voorbeeld hierboven). In die zin is het oppervlaktebegrip van Jordan enigszins onbevredigend. Laat men in de definitie van maat aftelbare rechthoekverdelingen toe, dan verkrijgt met de zogenaamde Lebesgue-maat die aan deze tekortkoming van Jordan-maat tegemoet komt. (Zo is de verzameling S in het voorbeeld hierboven wel Lebesgue-meetbaar en heeft Lebesgue-maat 0.) De bepaalde integraal die met dit oppervlaktebegrip wordt geassocieerd, noemt men de Lebesgue-integraal, naar Henri Léon Lebesgue [14]. In zijn baanbrekend werk uit 1904 beantwoordde hij een vraag die decennia open stond: een functie f begrensd over [a, b] is Riemann-integreerbaar over [a, b] als en slechts als de verzameling van x-waarden waar f discontinu is Lebesgue-maat nul heeft.

XI-4

Hieronder laten we zien hoe je bepaalde integralen met behulp van de grafische rekenmachine kan berekenen (of benaderen). Om meer inzicht te verwerven, zal het echter noodzakelijk zijn om bepaalde integralen ook algebraı̈sch te bepalen. Voor constante en lineaire functies kan dat aan de hand van de meetkundige betekenis. Voor (de meeste) andere functies zullen we nieuwe werkwijzen moeten zien. Die komen in de volgende paragrafen aan bod.

3 Modelvoorbeeld 2. Bereken algebraı̈sch de volgende bepaalde integralen met behulp van hun meetkundige betekenis. Maak telkens een schets waarop je de meetkundige betekenis van die bepaalde integraal aanduidt.

Controleer nadien met behulp van je grafische rekenmachine. (a)

Z

4

1 dx

−2

(b)

Z

2

x dx

(c)

−3

Z

1

(−3x + 2) dx

0

Oplossing.

Controle met behulp van de grafische rekenmachine kan op twee manieren.

R Y= WINDOW GRAPH 2ND CALC 7: f(x)dx -3

2ND

QUIT

MATH 9:fnInt(

XI-5

ENTER

2

ENTER

1.3

Benaderingen met rechthoeken

Rb Bij onze ambitie om een bepaalde integraal a f (x) dx algebraı̈sch te berekenen, ligt de complexiteit in de keuze van de functie f . In de vorige paragraaf hebben we bepaalde integralen van de constante functie f (x) = 1 en de lineaire functie f (x) = x berekend (vul onderdaande figuur aan, eenvoudigheidshalve zijn a en b beide positief). Voor de kwadratische functie f (x) = x2 ligt die berekening vanuit de meetkundige betekenis niet voor de hand.

y

y

y

f (x) = x

f (x) = x2

f (x) = 1

? a Z

b

x

a Z

b

1 dx = . . .

a

b

x

b

x dx = . . .

a

a Z

b

b

x

x2 dx = ?

a

In de 10e n.Chr. hadden Arabische wiskundigen het idee om het gebied onder de grafiek te benaderen met rechthoeken.4 Dat zullen we hieronder uitwerken voor a = 0 en b = 1. We kiezen als hoogte van zo’n rechthoek steeds de (absolute waarde van) de functiewaarde van het rechterwaarde van de basis.

y

. Eerste benadering

f

1 (1) Verdeel [0, 1] in één (gelijk) deel: [0, 1].

(2) Dan is

Z

1

f (x) dx ≈ geor. opp.

0

= f (1) · (1 − 0)

0

1

x

= ...

y

. Tweede benadering

(1) Verdeel [0, 1] in twee gelijke delen: 0, 21 ∪ 12 , 1 .

(2) Dan is

Z

f

1

1

f (x) dx ≈ geor. opp.

0

=f

Å ã Å ã Å ã 1 1 1 · − 0 + f (1) · 1 − 2 2 2

0

1

x

= ...

y

. Derde benadering

(1) Verdeel [0, 1] in drie gelijke delen: 0, 31 , 13 , 23 , 23 , 1 .

(2) Dan is

Z

0

f

1

1

f (x) dx ≈ geor. opp. =f

Å ã Å ã Å ã Å ã Å ã 1 1 2 2 1 2 · −0 +f · − + f (1) · 1 − 3 3 3 3 3 3

0

1

x

= ...

4 In de Griekse Oudheid wist Archimedes van Syracuse (287 v.Chr. - 212 v.Chr.) de oppervlakte tussen een cirkel of parabool en een rechte te berekenen aan de hand van de zogenaamde uitputtingsmethode, waarbij het gebied wordt benaderd door driehoeken. Deze manier is echter te ingewikkeld om ze voor hogere machtsfuncties f (x) = xk met k > 2 toe te passen.

XI-6

Hoe groter het aantal rechthoeken, des te beter we het gebied onder de grafiek van f en dus ook de bepaalde integraal R1 benaderen. Door een algemene benadering uit te voeren kunnen we na limietovergang de bepaalde integraal 0 x2 dx algebraı̈sch berekenen.

3 Modelvoorbeeld. Beschouw de functie f (x) = x2 en het interval [0, 1]. (a) Maak een figuur waarmee je gebied onder de grafiek van f benadert met n rechthoeken (waarbij n ∈ N0 ).

(b) Toon aan dat

Z

0

1

f (x) dx ≈

n(n + 1)(2n + 1) .

6n3

Maak daarbij gebruik van de formule 12 + 22 + 32 + · · · + n2 = (c) Bepaal aan de hand van de vorige vragen de bepaalde integraal

n(n+1)(2n+1) .

6 R1 f (x) dx.

0

Controleer nadien je uitkomst met behulp van je grafische rekenmachine.

Oplossing.

Controle met behulp van de grafische rekenmachine (vul aan).

R Y= WINDOW GRAPH 2ND CALC 7: f(x)dx

XI-7

0

ENTER

1

ENTER

Deze werkwijze laat zich eenvoudig veralgemenen tot het berekenen van

y

y

f (x) = x

Rb 0

x2 dx, waaruit we

y

Rb a

x2 dx vinden.5

f (x) = x2

f (x) = 1

a Z

x

b

a Z

b a

1 dx = b − a

b

x dx =

a

b

x

a Z

b2 a2 − 2 2

b

x

b

x2 dx =

a

b3 a3 − 3 3

Doordrijven van deze methode door voor machtsfuncties x3 , x4 , . . . laat een patroon zien, en zelfs een link tussen integreren en afleiden (vul het vermoeden aan voor k ∈ N): Z

b

xk dx = . . .

a

Ook in het algemeen kan een bepaalde integraal benaderd worden door een som van termen van de vorm f (xi )∆x, 6 waarbij de waarden xi ∈ [a, b] op regelmatige afstanden ∆x = b−a n van elkaar liggen:

y

y

f

f

f (xi ) ... a

... xi

x

b

a

b

x

∆x geor. opp.

=

X

n → +∞

f (xi ) ∆x

geor. opp.

=

Z

b

f (x) dx

a

i

Rb P In de limiet voor n → +∞ is de som i f (xi ) ∆x gelijk aan de bepaalde integraal a f (x) dx. Dit inzicht motiveert de notatie voor de bepaalde integraal: R R P P (1) → : in de limiet wordt de som een oneindige som, die we noteren met het integraalteken .

(2) f (xi ) → f (x): in de limiet bereiken de f (xi ) alle functiewaarden f (x), voor x tussen a en b. We noemen f het integrandum, a de ondergrens en b de bovengrens van de bepaalde integraal.

(3) ∆x → dx: de basissen ∆x van de rechthoeken worden steeds kleiner, in de limiet schrijven we dx die de differentiaal van x genoemd wordt. Intuı̈tief stelt het een oneindig kleine verandering in x voor.

5 Deze benaderingsmethode met rechthoeken was de manier waarop wiskundigen na de tijd van Archimedes de eerste nieuwe resultaten over oppervlakten en volumes boekten. Het limietproces kon echter enkel worden uitgevoerd op een gesloten, expliciete formule. Voor machtsfuncties f (x) = xk kwam dit neer op het bepalen van formules voor sommen van de vorm 1k +2k +· · ·+nk . De Arabische wiskundige Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham (965 n.Chr. - 1039 n.Chr.) wist deze som in gesloten vorm uit te drukken voor k = 1, 2, 3, 4. Francesco

Bonaventura Cavalieri

(1598 - 1647) breidde deze resultaten uit voor k ≤ 9, en vermoedde op deze manier dat

Rb 0

xk dx =

bk+1 k+1

voor

elke k ∈ N. Dit vermoeden werd rond 1630 onafhankelijk aangetoond door Pierre de Fermat , René Descartes en Gilles Personne de Roberval . Fermat wist het resultaat zelfs voor k ∈ Q \ {−1} te bewijzen. Zie [17].

6 Daar f continu is over [a, b], is f Riemann-integreerbaar over dat interval, met de garantie dat deze rij benaderingen naar de bepaalde R integraal convergeert (zie voetnoot uit de vorige paragraaf en Bijlage A). De notatie werd bedacht door Gottfried Wilhelm Leibniz 1686 [14] en stelt een uitgerekte letter s voor, wat staat voor de Latijnse term summa. De term integraal komt van Johann Bernoulli , zie [11, p.322]. De notatie voor bepaalde integraal

Rb a

f (x) dx gaat terug naar Jean Baptiste Joseph Fourier

XI-8

1822 [11].

1.4

Oppervlaktefunctie en hoofdstelling 1

Tot nu toe hebben we bepaalde integralen berekend vanuit hun meetkundige betekenis of als limietproces van benaderingen met rechthoeken. Helaas is deze (tijdrovende) manier van werken enkel haalbaar bij eenvoudige functies, zoals machtsfuncties xk met k ∈ N. In deze paragraaf maken we de link tussen afleiden en integreren concreet. Dat doen we aan de hand van het begrip oppervlaktefunctie dat een dynamisch karakter heeft. Een kenmerkende eigenschap van deze functie zal een eerste praktische werkwijze voor het berekenen van bepaalde integralen opleveren.

3 Op ontdekking 1. Gegeven is de functie f (x) = 3 en [a, b] = [1, 5]. De bepaalde integraal van f tussen x = a en x = b is gelijk aan de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek van f , de x-as en de rechten x = a en x = b.

Die oppervlakte tot b zullen we hier met A(b) noteren:

y f (x) = 3

A(b) =

Z

b

A(b)

f (x) dx = . . . a

a=1

b=5

x

Eigenlijk kunnen we bij elk getal tussen a en b de oppervlakte tot dat getal berekenen. Zo is bijvoorbeeld:

y f (x) = 3

A(3) =

Z

3

A(3)

f (x) dx = . . .

a

a=1

3

b=5

x

en

y f (x) = 3

A(4) =

Z

4

A(4)

f (x) dx = . . .

a

a=1

4

b=5

x

Bij elke getal t tussen a en b hoort een getal A(t). Op deze manier verkrijgen we een nieuwe functie, die we de oppervlaktefunctie van f tussen a en b noemen.

In symbolen en aanschouwelijk voorgesteld:

y f (x) = 3

A(t) =

Z

t

A(t)

f (x) dx = . . .

a

a=1

t

Daar deze functie enkel betekenis heeft voor waarden van t tussen a = 1 en b = 5, is dom A = [a, b].

XI-9

b=5

x

Hieronder voeren we het begrip oppervlaktefunctie ook voor andere functies in.

3 Definitie. Zij f een functie en a, b ∈ R zodat f continu is over [a, b]. De oppervlaktefunctie van f tussen a en b is de functie A met als voorschrift:7 Z t A(t) = f (x) dx waarbij t ∈ [a, b] a

Aanschouwelijke voorstelling:

y

f A(t)

a

t

b

x

We lezen af dat (vul aan): A(a) = . . . en A(b) = . . .

Rb Om de bepaalde integraal a f (x) dx te kennen, volstaat het dus om de oppervlaktefunctie A via een omweg te achterhalen. Daarvoor hebben we een kenmerk nodig dat de oppervlaktefunctie (bijna) volledig vastlegt. We zullen zo’n kenmerk eerst intuı̈tief duidelijk maken. Daarna formuleren we het resultaat als Hoofdstelling 1 van de integraalrekening op de volgende pagina.

Door in bovenstaande figuur de waarde t gelijkmatig van a naar b te variëren, trekken we als het ware een denkbeeldig gordijn dicht waarvan de gordijnrail gegeven wordt door de grafiek van f . Hierbij vatten we t op als een tijdswaarde.

Tijdens het dichttrekken van het gordijn wordt de zichtbare oppervlakte ervan steeds groter. We kunnen ons afvragen hoeveel die oppervlakte op een bepaald moment toeneemt. We stellen ons dus de volgende vraag: Wat is de mate van de toename van de oppervlaktefunctie A op tijdstip t?

Het antwoord op deze vraag is intuı̈tief heel aannemelijk: de mate waarin de oppervlakte van het gordijn toeneemt, zal evenredig zijn met de hoogte van de gordijnrail op dat moment: de functiewaarde van f in t.

wiskundig douchegordijn, verkrijgbaar op Amazon

Omdat de mate van de toename uitgedrukt wordt door de afgeleide (zie Deel Afgeleiden), kan bovenstaande vraag en antwoord in symbolen worden uitgedrukt als: A0 (t)

∝

f (t)

Gebruiken we de alternatieve notatie voor afgeleide A0 (t) = dA dt en de definitie van oppervlaktefunctie, dan vinden we: ÇZ t å d f (x) dx ∝ f (t) dt a In spreektaal kunnen we dit als volgt uitdrukken: De afgeleide heft de integraal op.

Anders geformuleerd: Integreren is het omgekeerd proces van afgeleiden.

7 Een bijkomende afspraak is dat A(a) = 0, hetgeen intuı̈tief duidelijk gemaakt wordt in de aanschouwelijke voorstelling: de oppervlakte van een lijnstuk wordt gelijkgesteld aan nul. De oppervlaktefunctie van f wordt ook wel integraalfunctie of (minder formeel) gordijnfunctie genoemd. Engelse term: accumulation function. Deze definitie van oppervlaktefunctie blijft zinvol onder de zwakkere voorwaarde f is integreerbaar over [a, b] (zie Bijlage A), daar men kan aantonen: uit f integreerbaar is over [a, b] volgt f integreerbaar is over [a, t] voor elke t ∈ [a, b].

XI-10

De evenredigheidsfactor kan geraden worden door in een eenvoudig voorbeeld de oppervlaktefunctie A meetkundig te bepalen, de afgeleide functie A0 te berekenen en deze te vergelijken met de functie f .

y

3 Op ontdekking 2. Gegeven is de functie f (x) = x en [a, b] = [1, 3].

f (x) = x

(a) Vul aan: f (t) = . . . (b) Bepaal met behulp van de grafiek van f het functievoorschrift van de bijbehorende oppervlaktefunctie: A(t) = . . .

1 t·t 1·1 1 − = t2 − 2 2 2 2

A(t)

(c) Vergelijk A0 (t) met f (t). Wat is de evenredigheidsfactor?

a=1

1 t·t 1·1 1 A (t) = . . . − = t2 − 2 2 2 2 0

t

x

b=3

Deze kenmerkende eigenschap van oppervlaktefunctie werd in de 17e eeuw ontdekt, en ging de geschiedenis in als de beslissende doorbraak om oppervlakten en volumes te berekenen.8 3 Hoofdstelling 1 van de integraalrekening. Zij f een functie en a, b ∈ R zodat f continu is over [a, b].

Beschouw de oppervlaktefunctie A van f tussen a en b. Dan is A afleidbaar over ]a, b[ en A0 (t) = f (t) Schets van het bewijs.

9

Neem t ∈ ]a, b[. We moeten aantonen dat: lim

h→0

A(t + h) − A(t) = f (t). h

Neem h ∈ ]0, b − t] willekeurig. Dan kunnen we A(t + h) − A(t) en h · f (t) als volgt meetkundig interpreteren:

y

y

f

f

f (t)

a

t

b

t+h

x

a

t

t+h

b

x

h A(t + h) − A(t) = geor. opp.

h · f (t) = geor. opp.

We redeneren nu als volgt (vul de verantwoordingen aan): A(t + h) − A(t) ≈ h · f (t)

voor kleine waarden van h is ⇒

A(t + h) − A(t) ≈ f (t) h

⇒

h→0

lim

A(t + h) − A(t) = f (t) h

want . . . want . . .

8 Onafhankelijk ontdekt door Isaac Newton , Gottfried Willhelm Leibniz en Johann Bernoulli , zie [11]. In de literatuur wordt deze mijlpaal ook wel de bestaansstelling van een primitieve functie of de eerste hoofdstelling van de calculus genoemd.

9 Deze redenering leidt ook tot een formeel bewijs, en wel als volgt. De functie f is continu over [t, t + h], dus wegens de extremumstelling van Weierstrass bereikt f zowel zijn kleinste als grootste functiewaarde over [t, t + h] (zie deel Limieten, asymptoten en continuı̈teit). Noem die x-waarden respectievelijk c en d. Dan is |A(t + h) − A(t) − hf (t)| ≤ h(f Nu is, opnieuw steunend op de continuı̈teit van f ,

A(t+h)−A(t)

(d) − f (c)).

= 0, i.e. A0 (t) bestaat en is gelijk aan f (t). limh→0 f (c) − f (d) = 0. Hieruit volgt dat limh→0

− f (t) h

XI-11

Hoofdstelling 1 van de integraalrekening geeft nu een eerste praktische manier om bepaalde integralen algebraı̈sch te berekenen. Deze methode wordt in de volgende paragraaf nog verfijnd tot een definitieve werkwijze.

integreren functie f afleiden

y

b x

Z

b

f (x) dx = A(b)

a

y

y

f

a

b invullen

de oppervlaktefunctie A

f

a

t

f

b x

a

Werkwijze 1. Gegeven is een functie f die continu is over [a, b]. Om de bepaalde integraal gaan we als volgt te werk. ® 0 A (t) = f (t) (1) Bepaal de oppervlaktefunctie A uit de voorwaarden A(a) = 0.

Z b (2) Dan is f (x) dx = A(b).

Rb a

b x

f (x) dx te berekenen,

a

3 Modelvoorbeeld. Bereken algebraı̈sch de volgende bepaalde integralen met behulp van de oppervlaktefunctie.

Controleer telkens je resultaat met behulp van je grafische rekenmachine. (a)

Z

1

x2 dx

(b)

0

Z

1

2

1 3 x dx 4

Oplossing.

Controle met behulp van de grafische rekenmachine kan op twee manieren.

R GRAPH 2ND CALC 7: f(x)dx 2ND QUIT MATH 9:fnInt(

XI-12

1.5

Primitieve functies en hoofdstelling 2

Rb In de vorige paragraaf hebben we bepaalde integralen a f (x) dx berekend met behulp van de oppervlaktefunctie van f tussen a en b. Zo’n oppervlaktefunctie A voldoet aan A0 (t) = f (t) voor elke t ∈ ]a, b[ .

Deze kenmerkende eigenschap legt A niet volledig vast: er moet bovendien ook gelden dat A(a) = 0. Om bij het berekenen van een bepaalde integraal deze tweede voorwaarde A(a) = 0 te vermijden, voeren we het volgende begrip in.

3 Definitie (primitieve).10 Zij f een functie en a, b ∈ R zodat f bestaat over [a, b]. Een primitieve van f over [a, b] is een functie F die continu is over [a, b] en waarvoor geldt: F 0 (t) = f (t)

voor elke t ∈ ]a, b[

Als voor elke keuze van [a, b] ⊆ dom f geldt dat F een primitieve van f over [a, b] is, dan noemen we F kortweg een primitieve van f .

Voorbeeld. Beschouw de functie f (x) = x2 en zij F (x) = 31 x3 + 1. Dan is F continu over [0, 1] (waarom?) en Å ã d 1 3 0 F (t) = t + 1 = t2 = f (t) voor elke t ∈ ]0, 1[ . dt 3 We besluiten dat F een primitieve van f over [0, 1] is. Hierbij mag het interval [0, 1] vervangen worden door eender wel interval [a, b] ⊆ dom f = R. We besluiten: F (x) =

1 3 x + 1 is een primitieve van f (x) = x2 .

3

Er zijn ook nog andere primitieven van f , bijvoorbeeld: 1 3 x , 3 In het algemeen is

1 3

1 3 x + 1, 3

1 3 √ x − 2 3

en

1 3 x + 2021.

3

x3 + c een primitieve van f , waarbij c ∈ R willeurig gekozen is.

Om na te gaan of aan de definitie van primitieve voldaan is, herhalen we dat de volgende elementaire functies die in Deel Precalculus 1 en 2 aan bod kwamen continu zijn over elk interval dat tot hun domein behoort: veeltermfuncties, absolute waarde functie, rationale en irrationale functies, exponentiële en logaritmische functies, goniometrische en cyclometrische functies, alsook samenstellingen van deze functies (zie Deel Limieten, asymptoten en continuı̈teit).

3 Modelvoorbeeld 1. Waar of vals? Beoordeel de volgende uitspraken.

Motiveer telkens je antwoord! (a) F (x) =

1 ln 2

2x + 7 is een primitieve functie van f (x) = 2x over [−1, 1].

(b) F (x) = cos x is een primitieve functie van f (x) = sin x.

1 x over ln x is een primitieve functie van f (x) = x1 over ln x is een primitieve functie van f (x) = x1 . ln |x| is een primitieve functie van f (x) = x1 .

(c) F (x) = ln x is een primitieve functie van f (x) =

[1, 5].

(d) F (x) =

[−2, −1].

(e) F (x) = (f) F (x) = Oplossing.

10 Een primitieve van f (over [a, b]) wordt ook wel (voluit) primitieve functie, stamfunctie of anti-afgeleide van f (over [a, b]) genoemd.

De voorwaarde F 0 (t) = f (t) voor elke t ∈ ]a, b[ betekent in het bijzonder dat F afleidbaar is over ]a, b[, hetgeen impliceert dat f continu is over ]a, b[ (zie Deel Afgeleiden). De initiële voorwaarde f is continu over [a, b] garandeert nu ook dat f rechtscontinu is in a en linkscontinu is in b. Een functie f waarvoor een primitieve (over [a, b]) bestaat wordt primitiveerbaar (over [a, b]) genoemd. Primitiveerbaarheid betekent wel degelijk iets anders dan het begrip integreerbaarheid uit Bijlage A. Zo hoeft een integreerbare functie f niet primitiveerbaar te zijn (bijvoorbeeld f (x) = sign(x)). Omgekeerd is een primitiveerbare functie f niet noodzakelijk integreerbaar (bijvoorbeeld f (x) = 2x sin( x12 )− x2 cos( x12 ) met f (0) = 0 heeft als primitieve F (x) = x2 sin( x12 ) met F (0) = 0, maar f is niet integreerbaar omdat f onbegrensd is over elk interval dat 0 bevat). Wel is elke functie f die continu is over [a, b] zowel integreerbaar als primitiveerbaar over [a, b]. Dit volgt uit een voetnoot in §1.2, resp. hoofdstelling 1 van de integraalrekening.

XI-13

De volgende hulpstelling drukt uit dat twee primitieven van eenzelfde functie op een constante na gelijk zijn aan elkaar.

Een bewijs van dit lemma steunt op de middelwaardestelling van Lagrange (Deel Afgeleiden) en laten we achterwege.

3 Lemma. Zij f een functie en a, b ∈ R zodat f bestaat over [a, b]. Als F en G twee primitieven van f over [a, b] zijn, dan bestaat er een c ∈ R zodat F (x) = G(x) + c

voor elke x ∈ [a, b] .

Meetkundige betekenis. Als twee functies F en G over een open interval dezelfde afgeleide functie hebben, dan is de grafiek van G een verticale translatie van de grafiek van f over dat interval.

y

+c F

G a

x

b

3 Modelvoorbeeld 2. Geef alle primitieven van de functie f (x) = 3x + 5x +

1 x

− 6 over [−5, −1].

Oplossing. Alle primitieven van f zijn van de vorm F (x) = . . .

3 Hoofdstelling 2 van de integraalrekening.11 Zij f een functie en a, b ∈ R zodat f continu is over [a, b]. Zij F een willekeurige primitieve van f over [a, b]. Dan geldt: Z

b

a

f (x) dx = F (b) − F (a)

Bewijs. Noem A de oppervlaktefunctie van f over [a, b]. Welnu (vul aan): Z

b

f (x) dx = . . .

want . . .

a

A is primitieve van f over [a, b]

wegens12 . . .

en F is primitieve van f over [a, b]

wegens . . .

⇒ A(x) = . . .   A(a) = . . . ⇒  A(b) = . . .

wegens . . .

James Gregory (1638-1675)

= ... = ...

11 De

eerste gepubliceerde rudimentaire versie van deze stelling met bewijs werdgepubliceerd door Gregory in 1668 [11]. Isaac Barrow toonde een meer algemene versie aan, vervolledigd door zijn student Isaac Newton . Gottfried Wilhelm Leibniz systematiseerde (onafhankelijk?) deze kennis en introduceerde notaties zoals we die nu kennen. In de literatuur wordt dit resultaat de hoofdstelling van de differentiaalrekening of de (tweede) hoofdstelling van de calculus genoemd. In deze stelling kan men de voorwaarde f is continu over [a, b] afzwakken tot de voorwaarden (1) f integreerbaar over [a, b] (zie Bijlage A) en (2) f is primitiveerbaar over [a, b] (zie vorige voetnoot).

12 Omdat A afleidbaar is over ]a, b[ is A ook continu over ]a, b[. Het bewijs van hoofdstelling 1 kan eenvoudig aangepast worden om de rechter- en linkerafleidbaarheid van A in a resp. b te besluiten, waaruit volgt dat A rechtscontinu is in a en linkscontinu is in b.

XI-14

Hoofdstelling 2 van de integraalrekening geeft aan dat één primitive volstaat om een bepaalde integraal te berekenen.

Het is dus niet langer nodig om de oppervlakte functie (die een bijzondere primitieve functie is) te bepalen. Dit is de manier waarop we voortaan bepaalde integralen zullen berekenen.

integreren functie f

een primitieve F

a en b invullen

Z

b

a

afleiden

y

f (x) dx = F (b) − F (a) y

f

f

b x

a

a

Werkwijze 2. Gegeven is een functie f die continu is over [a, b]. Om de bepaalde integraal gaan we als volgt te werk.

Rb a

b x

f (x) dx te berekenen,

(1) Bepaal een primitieve F uit de voorwaarde F 0 (t) = f (t).

Z b f (x) dx = F (b) − F (a).

(2) Dan is a

We schrijven F (b) − F (a) ook wel als

b Å ãb

F (x) of als F (x)

. a

a

3 Modelvoorbeeld 3. Bereken algebraı̈sch de volgende bepaalde integraal. Controleer je resultaat met behulp van je grafische rekenmachine.

Z 4

2x2 − 8x + 6 dx −1

Oplossing.

Controle met behulp van de grafische rekenmachine (vul aan).

R Y= WINDOW GRAPH 2ND CALC 7: f(x)dx

XI-15

0

ENTER

1

ENTER

1.6

Fundamentele integralen

Hoofdstelling 2 van de integraalrekening herleidt het berekenen van een bepaalde integraal tot het vinden van één primitive functie van f . De rekenregels voor afgeleiden uit Deel Afgeleiden (zie ook Bijlage B) levert al meteen de volgende primitieven. Integralen die rechtstreeks berekend kunnen worden aan de hand van deze tabel, worden fundamenteel genoemd.13 functie

een primitieve

functie

een primitieve

f (x) = 0

F (x) = 1

f (x) = sin x

F (x) = − cos x

f (x) = 1

F (x) = x

f (x) = cos x

F (x) = sin x

f (x) = xr f (x) =

met r ∈ R \ {−1}

1 x

f (x) = ex met a ∈ R+ 0 \ {1}

f (x) = ax

1 xr+1 r+1

f (x) =

1 cos2 x

F (x) = tan x

F (x) = ln |x|

f (x) =

1 sin2 x

F (x) = − cot x

F (x) = ex

f (x) = √

F (x) =

F (x) =

1 x a ln a

1 1 − x2

F (x) = Arcsin x

1 1 + x2

f (x) =

F (x) = Arctan x

3 Modelvoorbeeld. Bereken algebraı̈sch de volgende bepaalde integralen. Schrijf alle tussenstappen op en werk met exacte waarden. Maak ook telkens een schets waarop je de meetkundige betekenis van deze bepaalde integraal aanduidt en uitschrijft. (a)

Z

π 2

(c)

sin x dx

(b)

−1

−2 √

0

Z

Z

1

5x dx

(d)

0

Z

3

0

1 dx x 1 dx 1 + x2

Oplossing.

13 Deze

tabel kan handig (maar niet noodzakelijk) aangevuld worden met de functie f (x) = |x| met als primitieve F (x) =

Inderdaad, in een (voetnoot in) Deel Afgeleiden staat de rekenregel |x|

0

=

|x| x

veralgemeenbaar tot f (x) = |x|r (met r ∈ R \ {−1}), met als primitieve F (x) =

XI-16

vermeld, zodat 1 r+1

x |x|r .

1 2

x |x|

0

=

1 2

|x| +

1 2

x

|x| x

1 2

x |x|.

= |x|. Dit is

1.7

Basiseigenschappen

In de laatste paragraaf van dit hoofdstuk zien we de belangrijkste eigenschappen van bepaalde integralen. Ze komen van pas om oefeningen efficiënter op te lossen. Tot slot zullen we het begrip bepaalde integraal wat ruimer te definiëren.

3 Eigenschap (integratieregels). Zij f en g functies, beide continu over [a, b]. Dan geldt: Z b Z c Z b (1) f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx voor a < c < b (additiviteit), a

a

Z Z bÅ ã f (x) ± g(x) dx = (2) a

(3)

Z

b

rf (x) dx = r

a

Z

Z

b

Z

a

c

b

f (x) dx ±

f (x) dx

b

g(x) dx

(lineariteit),

voor alle r ∈ R

(lineariteit),

b

a

Z

a

b

f (x) dx ≤ g(x) dx als f (x) ≤ g(x) voor alle x ∈ [a, b]

Za

aZ b

b

(5)

f (x) dx ≤ |f (x)| dx.

a

a (4)

14

(monotonie),

Verklaring van (1) aan de hand van een figuur.

y

y

f

f II

I

III

a

b Z

a

x

b

f (x) dx = opp. I = opp. II + opp. III =

Z

a

a

c

f (x) dx +

c Z

b

x

b

f (x) dx

c

Bewijs van (1). Kies c ∈ ]a, b[ willekeurig. Omdat f continu is over [a, b], bestaat er een primitieve F van f over [a, b] (waarom?). Dan is F ook een primitieve van f over [a, c] en een primitieve van f over [c, b] (waarom?).

Nu is enerzijds (vul aan): Z b Å ãb f (x) dx = . . . F (x) = F (b) − F (a) a

a

terwijl anderzijds Z c Z f (x) dx + a

b

c

Å ãc Å ãb f (x) dx = . . . F (x) + F (x) = F (c) − F (a) + F (b) − F (c) = F (b) − F (a) a

c

Bewijs van (2). We tonen de integratieregel voor f + g aan. Het bewijs voor f − g is volledig analoog. Omdat f en g continu zijn over [a, b], bestaan er primitieven F en G van f resp. g over [a, b] (waarom?). Dan is F + G een primitieve van f + g over [a, b] (waarom?). Nu is enerzijds (vul aan): Z bÅ ã f (x) + g(x) dx = . . . a

terwijl anderzijds Z b Z f (x) dx + a

b

g(x) dx = . . .

a

14 Hoewel we in de bewijzen van deze integratieregels steunen op de continuı̈teit van f en g over [a, b], zijn deze eigenschappen geldig onder de zwakkere voorwaarde dat f integreerbaar is over [a, b] (zie Bijlage A). Een (schets van het) bewijs voor integratieregel (4) steunt op de benadering van bepaalde integralen met rechthoeken: daar f (x) ≤ g(x) voor elke x ∈ [a, b] zal f (xi ) ∆x ≤ g(xi ) ∆x waarbij de waarden

Rb

Rb

1 xi ∈ [a, b] op regelmatige afstanden ∆x = n van elkaar liggen, zodat na limietovergang n → +∞ volgt dat f (x) dx ≤ g(x) dx. Deze a a redenering kan tot een strak bewijs worden geformaliseerd door de definitie van integreerbaarheid in Bijlage A te hanteren.

XI-17

Bewijs van (3). Kies r ∈ R willekeurig. Omdat f continu is over [a, b], bestaat er een primitieve F van f over [a, b] (waarom?). Dan is rF een primitieve van rf over [a, b] (waarom?). Nu is enerzijds (vul aan): Z b rf (x) dx = . . . a

terwijl anderzijds Z b r f (x) dx = . . . a

Verklaring van (4) aan de hand van een figuur.

y

y

g

g II

f

f

I a

b

a

x Z

a

b

f (x) dx = opp. I ≤ opp. II =

Z

b

x

b

g(x) dx

a

Verklaring van (5) aan de hand van een figuur.

y

y |f | I

I

b

a

a

x II

III b

x

f

Z

Z b

b

≤ opp. f (x) dx I − opp.

II I + opp.

II = opp.

I + opp.

III = |f (x)| dx = opp.

a

a

Bewijs van (5). Omdat f continu is over [a, b], bestaat er een primitieve F van f over [a, b] (waarom?). Nu geldt voor elke x ∈ [a, b] dat (vul de verantwoordingen aan): − |f (x)| ≤ f (x) ≤ |f (x)|

⇒

Z

a

Z

b

(− |f (x)|) dx ≤ Z

b

f (x) dx ≤

b

⇒

−

⇒

Z

Z b

b

f (x) dx ≤ |f (x)| dx

a

a

a

|f (x)| dx ≤

a

Z

b

a

Z

want . . .

f (x) dx ≤

b

a

Z

a

|f (x)| dx

wegens . . .

b

|f (x)| dx

wegens . . .

want . . .

XI-18

Deze integratieregels worden ingezet om bepaalde integralen te herschrijven of af te schatten. Daarbij is het handig om integratiegrenzen toe te laten waarvan de ondergrens gelijk is aan of zelfs groter is dan de bovengrens. Wil ook in zo’n geval hoofdstelling 2 van de integraalrekening van toepassing zijn, dan is het bijvoorbeeld15 wenselijk dat

Z

1

Å

2

x dx =

1

1 3 x 3

ã1 = 1

1 1 − =0 3 3

en is het wenselijk dat

Z

1

x2 dx =

2

Å

1 3 x 3

ã1 = 2

1 8 − 3 3

terwijl we weten dat

Z

2

x2 dx =

1

Å

1 3 x 3

ã2 = 1

8 1 − .

3 3

Dit motiveert ons om de volgende afspraken te maken. Men kan eenvoudig nagaan dat ook bij gelijke integratiegrenzen en na (of voor) het omkeren van de integratiegrenzen de integratieregels additiviteit en lineariteit geldig zijn.

3 Afspraak. Zij f een functie en a, b ∈ R zodat f continu is over [a, b]. Dan is: Z a def (1) f (x) dx = 0 (gelijke integratiegrenzen), a

(2)

Z

a

def

f (x) dx = −

b

Z

b

f (x) dx

(omkeren van integratiegrenzen).

a

3 Modelvoorbeeld 1. Gegeven zijn functies f en g waarvoor geldt dat: Z 1 Z 2 Z 1 f (x) dx = 2, f (x) dx = 3 g(x) dx = −1, 0

1

en

0

Z

2

g(x) dx = 8.

0

Bepaal telkens de bepaalde integraal. (a)

Z

Z 1Å ã (c) 3f (x) + 2g(x) dx

2

2f (x) dx

1

1

Z 2Å ã (b) f (x) − g(x) dx

(d)

0

Z

2

(g(t) + π) dt

1

Oplossing.

15 In feite werd de afspraak voor een bepaalde integraal met gelijke integratiegrenzen reeds gemaakt bij de defintie van oppervlaktefunctie A van f over [a, b], namelijk A(a) = 0.

XI-19

Daar de oppervlakte van een lijnstuk gelijkgesteld wordt aan nul, zou men een functie in een x-waarde kunnen wijzigen zonder dat de waarde van de georiënteerde oppervlakte verandert (zie onderstaande figuur). Op die manier kan men afspreken dat ook de bepaalde integraal dezelfde blijft. Zo kan men op een zinvolle manier bepaalde integralen van functies beschouwen die op een eindig aantal x-waarden na continu zijn over een interval.16

y

y

g

f

I

I

a

b Z

a

x

b

f (x) dx = opp. I = opp. I + opp.

=

b Z

x

b

g(x) dx

a

a

In de praktijk wordt zo’n bepaalde integraal berekend door gebruik te maken van de integratieregel additiviteit: opsplitsen in meerdere bepaalde integralen waarvan het integrandum telkens continu is over het corresponderende interval.

3 Modelvoorbeeld 2. Gegeven is de functie ® f (x) =

3

als x < 1

−2

als x ≥ 1.

(a) Schets de grafiek van f in een assenstelsel.

R4 (b) Bepaal −1 f (x) dx met behulp van de meetkundige betekenis van bepaalde integraal.

R4 (c) Bereken algebraı̈sch −1 f (x) dx.

Oplossing.

Een regel voor f · g dat analoog is aan integratieregel (4), is er niet.17 Dus in het algemeen is de bepaalde integraal van het product niet gelijk is aan het product van de bepaalde integralen: Z

a

b

f (x) · g(x) dx

6=

Z

a

b

f (x) dx ·

Z

b

g(x) dx

a

Zo is bijvoorbeeld enerzijds (vul aan): Z 1 x · x dx = . . .

0

terwijl anderzijds (vul aan): Z 1 Z 1 x dx · x dx = . . .

0

0

16 Zo’n

functie f moet wel bestaan en begrensd zijn over het te integreren interval [a, b]. De voorwaarde f is op een eindig aantal x-waarden na continu over [a, b] kan zelfs nog verder afgezwakt worden, zie voetnoot in §1.2 en Bijlage A. 17 Er is wel een andere integratieregel voor f · g: de zogenaamde partiële integratie, zie Hoofdstuk 3.

XI-20

Oefeningen 1 Bepaalde integralen

Basis ?

??

1.1 Afstand-tijd diagram en snelheid-tijd diagram

1

2

3

1.2 Meetkundige betekenis van bepaalde integraal

4

4 5

4

1.3 Benaderingen met rechthoeken

6 7

8 9

1.4 Oppervlaktefunctie en hoofdstelling 1

10

1.5 Primitieve functies en hoofdstelling 2 1.6 Fundamentele integralen

14 15 16

15 16 17

1.7 Basisigenschappen

21

22 23 24

Verdieping ? ??

16 17 18

11 12

13

15 19

20

25

26

Uitbreiding ? ??

Oefeningen bij §1.1 B

Oefening 1. Grietje heeft net haar rijbewijs behaald. Ze is nogal voorzichtig, en op een autoluwe dag rijdt ze tussen 12 u. en 14 u. aan een constante snelheid van 70 km/u. (a) Teken het snelheid-tijd diagram. (b) Welke afstand heeft Grietje in het totaal afgelegd? (c) Hoe lees je die afstand af op het afstand-tijd diagram?

B?

Oefening 2. Een object beweegt langs de x-as. De snelheid (in meter per seconde) wordt gegeven door de functie v(t) = t + 2 waarbij t wordt uitgedrukt in seconden. Wat is de afstand die deze bal heeft afgelegd over het tijdsinterval [0, 1]? Laat zien hoe je te werk gaat.

B??

Oefening 3. Op de volgende grafiek is de snelheidsfunctie van een object getekend, uitgedrukt in meter per seconde.

Het object beweegt langs een rechte lijn. (a) Bepaal de afstand van het object op de tijdstippen t = 20, 40, 60, 80 en 100 ten opzichte van de beginpositie. (b) Hoeveel meter heeft het object tussen t = 40 en t = 80 afgelegd?

v

4

2

20

40

60

−2 −4

XI-21

80

100

t

Oefeningen bij §1.2 Oefening 4. Bereken telkens algebraı̈sch de georiënteerde oppervlakte van het gearceerde gebied. Druk je antwoord uit als een bepaalde integraal van de gegeven functie. Alle tussenstappen opschrijven! Controleer daarna met behulp van je grafische rekenmachine.

y B

y ⋆

(a)

B (c) 3

3

2

2 f

1

−1

1

1

2

3

−1

x

−1

f

1

f (x) =

y

p 4 − (x − 1)2

y

B⋆ (b)

B⋆⋆ (d)

f 3

3

2

2

1

1

1

2

3

x

−1

−1

f (x) = 2x − 1

B?

x

3

−1

f (x) = −x + 2

−1

2

f (x) =

(

1 −1

2

x

3 f

1, 4 x + 2, 3

als x < 0, 5

− 1, 25 x + 3, 625

als x ≥ 0, 5

Oefening 5. Bereken de volgende bepaalde integralen met behulp van je grafische rekenmachine. Maak telkens een schets waarop je de meetkundige betekenis van deze bepaalde integraal aanduidt en uitschrijft. (a)

Z

1

x3 dx

(d)

−1

(b)

Z

(c)

2

2x dx

−1

π 2

sin x dx

(e)

0

Z

Z Z

2

1

1

x dx

(f)

−2

Z

0

XI-22

1 dx x

π 4

tan x dx

Oefeningen bij §1.3 B?

Oefening 6. Benader algebraı̈sch de volgende bepaalde integralen door de corresponderende gebieden te benaderen met het aangegeven aantal rechthoeken. Maak telkens een schets waarop je deze benadering met rechthoeken laat zien. Bereken ten slotte ook de bepaalde integraal met behulp van je grafische rekenmachine. (a)

Z

6

x dx, zes rechthoeken

(e)

Z

4

(x + 1) dx, twee rechthoeken

(f)

(c)

1,5

x3 dx, drie rechthoeken

(g)

0

(d)

Z

1

B?

B??

(−x) dx, vier rechthoeken

Z

2

x5 dx, twee rechthoeken

−2

1

Z

1

−1

0

(b)

Z

Z

2,5

ln x dx, vijf rechthoeken

1

2

1 dx, vier rechthoeken x

(h)

Z

π 2

sin x dx, drie rechthoeken

0

y

Oefening 7. Op nevenstaande figuur wordt een gebied onder de grafiek van f (x) = ex benaderd met rechthoeken.

Bereken algebraı̈sch deze benadering van de corresponderende bepaalde integraal. Werk met exacte waarden en vereenvoudig je uitkomst zoveel als mogelijk. Laat geen negatieve of gebroken exponenten staan.

f 4 3 2

Oefening 8. Beschouw de functie f (x) = x over [0, 1].

1

(a) Maak een figuur waarmee je gebied onder de grafiek van f benadert met n rechthoeken (waarbij n ∈ N0 ). (b) Toon aan dat Z

0

1

f (x) dx ≈

−1

n(n + 1) .

2n2

1

2

3

4

Maak daarbij gebruik van de formule 1 + 2 + 3 + ··· + n =

n(n + 1) .

2

(c) Bepaal aan de hand van de vorige vragen de bepaalde integraal Z 1 f (x) dx.

0

Controleer nadien je uitkomst met behulp van je grafische rekenmachine.

B??

Oefening 9. Beschouw de functie f (x) = x3 en het interval [0, 1]. (a) Maak een figuur waarmee je gebied onder de grafiek van f benadert met n rechthoeken (waarbij n ∈ N0 ). (b) Toon aan dat

Z

0

Maak daarbij gebruik van de formule

1

f (x) dx ≈

n2 (n + 1)2 .

4n4

13 + 23 + 33 + · · · + n3 =

n2 (n + 1)2 .

4

(c) Bepaal aan de hand van de vorige vragen de bepaalde integraal Z 1 f (x) dx.

0

Controleer nadien je uitkomst met behulp van je grafische rekenmachine.

XI-23

x

Oefeningen bij §1.4 B?

Oefening 10. Bereken algebraı̈sch de volgende bepaalde integralen met behulp van de oppervlaktefunctie. Gebruik exacte waarden en vereenvoudig je resultaten zoveel als mogelijk. Maak telkens een schets waarop je de meetkundige betekenis van deze bepaalde integraal aanduidt en uitschrijft. Controleer nadien met behulp van je grafische rekenmachine. (a)

Z

1

x5 dx

(d)

−1

(b)

Z

(c)

Z

1

V

2

(e)

−x + 3x − 2 dx 5

4

√

x dx

0

10

0

Z

1 dx x

Z

π 2

cos x dx

−π 2

(f)

Z

1

3x dx

−1

Oefening 11. Gegeven is de grafiek van een functie f . Beschouw de oppervlaktefunctie A van f tussen 0 en 6. (a) Bepaal A(0), A(1), A(2), A(4) en A(6). (b) Schets de grafiek van de functie f .

y 2 1

−1

f

V

Z

(b) g(t) =

3

4

dx

dg dt

1

6

x

van de gegeven functie g.

voor t ≥ 0

(c) g(t) =

(d) g(t) =

voor t ≥ 1

Oefening 13. Gegeven is de functie g(t) =

t

x5 dx

Z

t

−1

Z

0

(a) Bepaal dom g.

Z

−3

t

x dx

5

−2

t

0

Z

2

−1

Oefening 12. Bereken telkens de afgeleide (a) g(t) =

V?

1

t2

p

voor t ≥ −3

1 + x2 dx

voor t ≥ −1

p 1 + x2 dx.

(b) Bepaal de afgeleide functie g 0 (t).

Oefeningen bij §1.5 en §1.6 B

Oefening 14. Bereken telkens alle primitieve functies van f . (a) f (x) = x4 (b) f (x) =

(d) f (x) = −4ex

2 x2

(c) f (x) = 2 cos x +

(e) f (x) = x4 + 2x3 − 3x2 + 7x − 8 3 x

(f) f (x) = XI-24

1 1 + x2

Oefening 15. Bereken algebraı̈sch de volgende bepaalde integralen. Maak ook telkens een schets waarop je de meetkundige betekenis van deze bepaalde integraal aanduidt en uitschrijft. Controleer je uitkomst met behulp van je grafische rekenmachine.

Z 1 Z 2 √ 6 dx B? (f) t dt B (a) −2

B

B

(b)

(c)

Z

Z

1

−1

−3 π

−x2 + 8x − 7 dx

B? (g) ??

B (h)

0

B

(d)

B? (e)

Z

1 dx 1 + x2

π 4

0

2

1

Z

0

−1

cos x dx

Z

Z

1 dx x

Z

??

B (i)

√ 2 2

0

2

e2x dx

(j)

V

0

Z

2

dx cos2 x √

dx 1 − x2

2

xex dx

0

Oefening 16. Bereken telkens algebraı̈sch de bepaalde integraal.

Z −1 Z 1 1 B (a) dx B? (f) e3 dx x −e 0 Z 0 Z 6

1 2x2 − x3 dx B? (g) B (b) dx 2 −1 1 + x −4 Z 2 Z 4 1 ? dx B (h) (x − 2)(x + 5) dx B (c) 5 0 1 2x Z 2Å Z 3 ã 1 1 ?

2 ? √ dx B (i) 3x − √ dx B (d) x 1 2 2 x Z π Z 1Å ã 1 3 dx B? (e) sin(3x) dx B?? (j) 2ex − + 1 sin2 x 1 + x2 −π 2 B?

Oefening 17. Een brug heeft de vorm van een parabool en kan beschreven worden door de vergelijking y = 2(4, 9 − 0, 1 x2 ) (eenheden in meter). Hierbij staat de x-as voor het niveau van de grond. Bereken algebraı̈sch de oppervlakte onder deze brug.

B??

Oefening 18. De spanten van een sporthal hebben de vorm van een parabool met 2 vergelijking y = x − x25 (eenheden in meter). De x-as staat voor het niveau van de grond. De vloer is een rechthoek van 25 m bij 35 m. Bereken algebraı̈sch de inhoud van deze sporthal.

V

Oefening 19. Bereken de waarde van t ∈ R waarvoor

V?

Oefening 20. Beschouw de functie f (x) = F (x) = ln |x|

1 x

Z

t

1

dx √ = 6. x

en de functies ® en

G(x) =

ln(−x) + 1

als x < 0

ln x

als x > 0.

(a) Schets de grafiek van F en de grafiek van G in één assenstelsel. (b) Toon aan dat F een primitieve is van f . (c) Toon aan dat G een primitieve is van f . (d) Bestaat er een c ∈ R zodat F (x) = G(x) + c? Met andere woorden, is de grafiek van G een verticale translatie van de grafiek van F ? (e) Verklaar waarom het antwoord op de vorige vraag niet in strijd is met het lemma uit §1.6.

XI-25

Oefeningen bij §1.7 ® Oefening 21. Gegeven is de functie f (x) =

B

als x ≤ 0

0 ex

als x > 0.

(a) Schets de grafiek van f in een assenstelsel.

Z 5 (b) Bereken algebraı̈sch f (x) dx. Exacte waarde geven! −3

B

?

Oefening 22. Herschrijf telkens de gegeven som als één bepaalde integraal door gebruik te maken van integratieregels.

Bereken daarna algebraı̈sch deze bepaalde integraal. Alle tussenstappen opschrijven!

Z 0 Z −2 Z 4

4 − x2 dx 4 − x2 dx + (2 − x) (2 + x) dx + (a) −2

0

(b)

Z

3

0

(c)

Z

3

x2 dx −

0

B?

Z

−1

0

3

−4

x2 − 1 dx

x2 dx

2

Oefening 23. Bereken algebraı̈sch de volgende bepaalde integralen. Maak ook telkens een schets waarop je de meetkundige betekenis van deze bepaalde integraal aanduidt en uitschrijft. Hierbij staat bxc voor de floorfunctie (het grootste geheel getal dat kleiner dan of gelijk is aan x) en sign(x) voor de signfunctie (waarde −1 als x < 0, waarde 0 als x = 0 en waarde 1 als x > 0), zie Deel Precalculus 1. (a)

Z

2

−3

(b)

Z

|x| dx

(c)

Z

5

sign(x) dx

−1

4

0

B?

x2 − 1 dx −

Z

|x − 2| dx

(d)

Z

0

3

bxc dx

Oefening 24. Zij a, b ∈ R en f een functie die continu is over [a, b]. Waar of vals? Beoordeel de volgende uitspraken.

Indien waar, verklaar aan de hand van een figuur. Indien vals, geef tegenvoorbeeld.

Z b (a) Als f (x) ≥ 0 voor elke x ∈ [a, b], dan is f (x) dx ≥ 0. a

(b) Als

Z

b

f (x) dx ≥ 0, dan is f (x) ≥ 0 voor elke x ∈ [a, b].

a

(c) Als

Z

a

b

f (x) dx = 0, dan is f (x) = 0 voor elke x ∈ [a, b].

(d) Als f (x) ≥ 0 voor elke x ∈ [a, b] en V

Oefening 25. Gegeven is de functie

(a) Schets de grafiek van f .

Z

b

a

f (x) dx = 0, dan is f (x) = 0 voor elke x ∈ [a, b].

 0    1 f (x) =  3   0

(b) Bereken voor elke t ∈ R de bepaalde integraal V?

Oefening 26. Bereken telkens de afgeleide (a) g(t) =

Z

dg dt

Z

als x < 0 als 0 ≤ x ≤ 3 als x > 3.

t

f (x) dx.

−10

van de gegeven functie g.

t2

cos x dx

(c) g(t) =

Z

sin3 x dx

(d) g(t) =

t

cos(x2 ) dx

sin t

−t

(b) g(t) =

Z

et

0

Z

1

XI-26

t

tx dx

Hoofdstuk 2

Toepassingen op bepaalde integralen Bepaalde integralen worden ingezet worden om (praktische) problemen op te lossen, zoals het berekenen van een gemiddelde waarde van een functie over een interval, oppervlakte van vlakke figuren en inhoud van ruimelijke figuren (wiskunde), en het bepalen van snelheid uit versnelling, afgelegde weg uit snelheid, volume uit debiet en arbeid uit kracht (fysica). Deze toepassingen komen in dit hoofdstuk aan bod.

Ook in statistiek komen bepaalde integralen van pas, zoals bij het berekenen van kansen, verwachtingswaarde en variantie van een continu verdeelde stochast (zie Deel Kansrekenen 2 en verklarende statistiek).

Daarnaast vermelden we dat bepaalde integralen ook gebruikt worden om transcendente functies te definiëren, booglengte van een grafiek en manteloppervlakte van ruimtelijke figuren te berekenen (wiskunde), druk uitgeoefend door een vloeistof te bepalen en zwaartepunten en traagheidsmomenten van vlakke en ruimtelijke figuren te vinden (fysica).

2.1

Oppervlakte tussen grafieken

3 Op ontdekking. Gegeven zijn de functies f (x) = x en g(x) = x2 . Bereken algebraı̈sch de oppervlakte van het gebied begrensd door de grafieken van f en g.

y

Oplossing. We schetsen beide grafieken in één assenstelsel en duiden het gebied aan dat grenst aan beide krommen.

Uit deze figuur volgt (vul aan):

opp.

= opp.

− opp.

Z

Z

=

1

0

f (x) dx −

g

1

1

g(x) dx

0

1

Z 1 = f (x) − g(x) dx 0

x

f

= ...

Door de gezochte oppervlakte te herschrijven als één bepaalde integraal, merken we dat het integrandum gelijk is aan de functie die hoort bij de grafiek bovenaan het gebied verminderd met de functie onderaan, kortweg: bovenste min onderste. Tot slot controleren we de berekening van de integraal met de grafische rekenmachine (vul aan).

XI-27

Ook in het algemeen kan de oppervlakte tussen twee grafieken van functies uitdrukt worden als de bepaalde integraal van bovenste min onderste, ongeacht hun ligging ten opzichte van de x-as.

3 Eigenschap. Zij f en g functies, beide continu over [a, b]. Als f (x) ≥ g(x) voor elke x ∈ [a, b], dan wordt de oppervlakte van het gebied begrensd door de grafieken van f en g en de rechten x = a en x = b gegeven door: Z bÅ ã f (x) − g(x) dx a

Bewijs. We onderscheiden twee gevallen. ligt volledig boven de x-as (zie figuur).

. Eerste geval. Het gebied

Dan is (vul de verantwordingen aan):

y opp.

= opp.

− opp.

Z

Z

=

b

a

f (x) dx −

f

b

g(x) dx

wegens . . .

a

Z b = f (x) − g(x) dx

g wegens . . . a

a

. Tweede geval. Het gebied

x

b

ligt niet volledig boven de x-as (zie figuur).

Beschouw voor elke M ∈ R de nieuwe functies f0 = f + M

en

g 0 = g + M.

Dan is de gezochte oppervlakte ook gelijk aan de oppervlakte van het gebied tussen de grafieken van f 0 en volledig boven g 0 en de rechten x = a en x = b. Kiezen we M groot genoeg, dan zal het nieuwe gebied de x-as liggen.

Welnu (vul de verantwoording aan): opp.

y

= opp.

f′ =

Z bÅ ã f 0 (x) − g 0 (x) dx

wegens . . .

a

g′

Z bÅ ã = f (x) + M − (g(x) + M ) dx

x

a

=

a

Z bÅ ã f (x) − g(x) dx.

b

f

a

g

XI-28

Om een oppervlakte tussen twee krommen te schrijven als een bepaalde integraal, moet je nagaan welke grafiek bovenaan en welke grafiek onderaan ligt. Dat doe je door eerst een schets te maken waarop je het gevraagde gebied aanduidt.

Bij sommige oefeningen is de bovenkant van het gebied soms bepaald door meerdere functies. In dat geval zal je het gebied zelf moeten opsplitsen. Analoog voor de onderkant. Snijpunten van grafieken kun je met behulp van de grafische rekenmachine bepalen, tenzij er in de oefening expliciet gevraagd wordt om deze algebraı̈sch te berekenen.

3 Modelvoorbeeld 1. Bepaal telkens algebraı̈sch de oppervlakte van het gebied begrensd door alle grafieken van de gegeven functies en rechten. Bij (b) moet je de eventuele snijpunten algebraı̈sch berekenen. Werk met exacte waarden. (a) f (x) = −x2 ,

√ g(x) = − x,

x=2y=−

1 2

(b) f (x) = 1,

g(x) = −x + 6,

h(x) =

√

x

Oplossing. (a) We plotten de grafieken met behulp van de grafische rekenmachine. Daarna duiden we het gebied aan dat grenst aan alle gegeven grafieken (arceer).

Y=

WINDOW

2ND

DRAW

4:Vertical

GRAPH

2ND

2

ENTER

XI-29

QUIT

Is de bovenkant (of onderkant) van een gebied bepaald door door meerdere functies, dan moet het gebied opgesplist worden. Dat kan in sommige gevallen vermeden worden door de rollen van x en y om te draaien. Hieronder laten we zien hoe dat werkt. Deze zienswijze zullen we later hernemen wanneer we de inhoud van ruimtelijke figuren berekenen.

In Hoofdstuk 1 hebben we gebieden benaderd door rechthoeken met breedte ∆x. In feite benadert zo’n rechthoek met oppervlakte f (x) ∆x een verticale strook met oppervlakte ∆A (linkerfiguur). In sommige oefeningen komt het van pas (of is het zelfs noodzakelijk) om gebieden op te delen in horizontale stroken met breedte ∆y (rechterfiguur). Daarvoor moet de vergelijking van de grafiek wel uitgedrukt worden in functie van y (inverse functies, zie Deel Precalculus 1).

y

y

k(y) f ∆y

d y

c

f (x)

k a

x

x

x b ∆x

(1) Opp. (2) Opp.

is ∆A ≈ f (x) ∆x is A =

Z

(1) Opp.

is ∆A ≈ k(y) ∆y

b

f (x) dx

(2) Opp.

a

is A =

Z

d

k(y) dy

c

We illusteren de werkwijze opdelen in horizontale stroken door het vorige modelvoorbeeld (b) te hernemen. Met deze methode hoeft dit gebied niet opgesplitst te worden. ? Modelvoorbeeld 2. Bereken de oppervlakte van het gebied begrensd door de grafieken van f (x) = 1, √ g(x) = −x + 6 en h(x) = x door het gebied op te delen in horizontale stroken.

Oplossing.

XI-30

2.2

Gemiddelde functiewaarde over een interval

In deze paragraaf laten we zien hoe je op een zinvolle manier kan spreken over de gemiddelde waarde van een functie over een interval. We motiveren deze afspraak vanuit twee invalshoeken: een wiskundig principe en een fysische context. Het concept bepaalde integraal speelt hierin een cruciale rol.

3 Op ontdekking 1 (wiskundig). Beschouw een functie f die continu is over [a, b]. Dan is het gemiddelde van een (eindig) aantal functiewaarden f (x1 ), f (x2 ), . . . , f (xn ) te schrijven als: Å ã 1 f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn ) f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn ) = n n =

1 X f (xi ). n i

Kiezen we de waarden xi ∈ [a, b] op regelmatige afstanden ∆x =

b−a n

van elkaar, dan wordt dit:

f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn ) ∆x X f (xi ) = n b−a i =

1 X f (xi ) ∆x. b−a i

Rb P In de limiet n → +∞ is de som i f (xi )∆x gelijk aan de bepaalde integraal a f (x) dx. Dit inzicht motiveert ons om het gemiddelde van alle functiewaarden f (x), voor x tussen a en b, te definiëren als Z b 1 fgem = f (x) dx. b−a a 3 Op ontdekking 2 (fysisch). Grietje zit aan het stuur. Tijdens haar autorit wordt de snelheid v (in km/u) in functie van de tijd t (in uur) gegeven door: v(t) = −20t2 + 100t

met

0 ≤ t ≤ 5.

Wat is de gemiddelde snelheid van Grietje over het tijdsinterval [0, 5]?

Oplossing. De gemiddelde snelheid is gelijk aan de totale verplaatsing gedeeld door het tijdsverschil. Om de totale verplaatsing te vinden, passen we de conclusie uit de eerste paragraaf van Hoofdstuk 1 toe (bereken en duid aan op de grafiek hieronder):

Grietje is wat overstuur.

tot. verpl. = . . .

Op die manier vinden we de gemiddelde snelheid over het tijdsinterval [0, 5] (bereken en duid aan op de grafiek): vgem = . . .

y 125

y = v(t)

0

5

t

Dit principe laat zich eenvoudig veralgemenen: de gemiddelde waarde van een snelheidsfunctie v over een tijdsinterval [a, b] is gelijk aan: Z b 1 vgem = v(t) dt b−a a XI-31

In Hoofdstuk 1 hebben we de bepaalde integraal ook betekenis gegeven voor functies die op een eindig aantal x-waarden na continu zijn. Daarom kunnen we ook voor deze functies afspreken wat hun gemiddelde functiewaarde is.

3 Definitie. Zij f een functie bestaat over [a, b], begrensd is over [a, b] en die op een eindig aantal x-waarden na continu is over [a, b]. Dan is de gemiddelde functiewaarde van f over [a, b] gelijk aan:

fgem

1 = b−a

Z

b

f (x) dx

a

Meetkundige betekenis. Over het interval [a, b] is de (georiënteerde) oppervlakte onder de grafiek van f precies gelijk aan de (georiënteerde) oppervlakte van een rechthoek met basis [a, b] en hoogte |fgem |. y y

f

f fgem

Z

b

fgem · (b − a)

f (x) dx

a

a

b

x

3 Modelvoorbeeld 1. Beschouw de functie f (x) = x sin(x2 ). (a) Schets de grafiek van deze functie.

√ (b) Bepaal de gemiddelde waarde van f over het interval [0, π].

Oplossing.

XI-32

a

b

x

Naast het berekenen van gemiddelde snelheid zijn er ook nog andere contexten waarbij gemiddelde functiewaarde een fysische betekenis heeft.

3 Modelvoorbeeld 2. Een staaf is 2 m lang. De temperatuur van die staaf hangt af van de positie x in meter ten opzichte van het linkeruiteinde, en wordt gegeven door de functie T (x) = 40 + 20x(2 − x). (a) Bepaal de gemiddelde temperatuur van de staaf. (b) Bepaal algebraı̈sch alle plaatsen waar de lokale temperatuur er gelijk is aan de gemiddelde temperatuur van de ganse staaf. Maak een schets van de grafiek van T waarop je de betekenis aanduidt.

staven

(c) Hoe kun je met een fysische interpretatie inzien dat er minstens een plaats op de staaf is waar de lokale temperatuur er gelijk is aan de gemiddelde temperatuur van de ganse staaf?

Oplossing.

Het principe dat in het vorige modelvoorbeeld aan bod kwam, blijkt veralgemeenbaar te zijn voor elke functie f die continu is over [a, b]. Ons bewijs steunt op twee fundamentele stellingen die in het vijfde jaar aan bod kwamen: de extremumstelling van Weierstrass en de stelling van de tussenliggende waarden (of stelling van Bolzano), zie Deel Limieten, asymptoten en continuı̈teit.

3 Middelwaardestelling van de integraalrekening.1 Zij f een functie en a, b ∈ R zodat f is continu over [a, b]. Dan bestaat er minstens één c ∈ ]a, b[ waarvoor f (c) = fgem , i.e.

1 f (c) = b−a

Z

b

f (x) dx.

a

Bewijs. Als f continu is over [a, b], dan bereikt f wegens de extremumstelling van Weierstrass een minimale waarde m en maximale waarde M , zodat fgem ∈ [m, M ] .

Uit de stelling van de tussenliggende waarden volgt dat elke waarde C ∈ [m, M ] bereikt wordt door f , waarbij we opieuw steunen op de continuı̈teit van f over [a, b]. In het bijzonder wordt dus ook fgem bereikt door f .

1 Cauchy

1821 [1].

XI-33

Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857)

2.3

Inhoud van een omwentelingslichaam

Naast het berekenen van oppervlakten kunnen bepaalde integralen ook worden ingezet om de inhoud van ruimtelijke figuren te bepalen. Een klasse van figuren die een eenvoudige formule voor hun volume toelaten, zijn de zogenaamde omwentelingslichamen.

3 Definitie.2 Zij f een functie die continu is over [a, b]. Het omwentelingslichaam van f over [a, b] is de driedimensionale figuur die verkregen wordt door de grafiek van f , beperkt over het interval [a, b], te wentelen om de x-as.

Zoals gewoonlijk hanteren we bij het voorstellen van ruimtelijke figuren de zogenaamde lijnconventie: (zij)vlakken zijn niet-doorschijnend, zodat we de onzichtbare delen van rechten, lijnstukken en krommen tekenen in stippellijn.

Bovenstaande definitie kan dus als volgt aanschouwelijk worden voorgesteld:

f

y

a

f

y

b

a

x

b

x

Met het volgende voorbeeld laten we zien dat heel wat (delen van) bekende ruimtefiguren opgevat kunnen worden als omwentelingslichaam van een functie over een interval.

3 Voorbeeld. Maak telkens een aanschouwelijke voorstelling van het omwentelingslichaam van f over [a, b]. Geef daarna de naam van deze ruimtelijke figuren. (a)

f (x) = 2

[a, b] = [−1, 2]

(b)

f (x) = x

[a, b] = [0, 3]

f (x) = −x p (d) f (x) = 1 − x2

(c)

Oplossing.

[a, b] = [1, 3] [a, b] = [−1, 1]

2 Figuren die ontstaan door een tweedimensionale kromme om een rechte te wentelen, worden eveneens omwentelingslichamen genoemd.

Wentelen we een rechte om een andere rechte, dan is het omhulsel van het ruimtelichaam een zogenaamd regeloppervlak: door elk punt van het oppervlak gaat minstens één rechte die in dat oppervlak ligt. Is de te wentelen rechte evenwijdig, snijdend of kruisend met de wentelas, dan verkrijgen we respectievelijk een cilinder, kegel of eenbladige hyperboloı̈de.

XI-34

De inhoud van een omwentelingslichaam van een functie f over [a, b] kan uitgedrukt worden als een bepaalde integraal.

De schets van het bewijs laat zien dat deze formule ook geldig is als de grafiek van f (deels) onder de x-as ligt.

3 Stelling (inhoud van een omwentelingslichaam). Zij f een functie die continu is over [a, b]. Dan wordt de inhoud van het omwentelingslichaam van f over [a, b] gegeven door: I=π

Z

b

Å ã2 f (x) dx

a

Schets van het bewijs. Neem x ∈ [a, b]. Dan is de vlakke doorsnede van het omwentelingslichaam ter hoogte van de waarde x een cirkel met straal |f (x)|, zie linkerfiguur. Voor kleine waarden van ∆x wordt het omwentelingslichaam van f over [x − ∆x, x] benaderd door een cilinder met hoogte ∆x, zie rechterfiguur. Na sommeren en limietovergang ∆x → 0 vinden we de formule voor de inhoud van het volledige omwentelingslichaam.

f

y

f

y

|f (x)| a

x

b

a

x

x

b

∆x

(1) Opp.

is π · |f (x)|

2

(2) Inh.

is ∆V ≈ πf (x)2 ∆x

(3) Inh.

is V =

Z

b

πf (x)2 dx

a

3 Modelvoorbeeld 1. Beschouw het omwentelingslichaam van de functie f (x) = 3x2 over [−1, 2]. (a) Maak een aanschouwelijke voorstelling van het omwentelingslichaam. (b) Bereken algebraı̈sch de inhoud van het omwentelingslichaam. Exacte waarde geven!

Oplossing.

Controle met behulp van de grafische rekenmachine.

XI-35

x

Door bijvoorbeeld een algemene vergelijking van een rechte of (halve) cirkel te beschouwen, kunnen we de formule voor de inhoud van een kegel en een bol terugvinden.3 3 Modelvoorbeeld 2 (kegel). Bepaal met behulp van integralen de formule voor de inhoud van een kegel met straal r en hoogte h:

I = ...

Oplossing. kegel

3 Modelvoorbeeld 3 (bol). Bepaal met behulp van integralen de formule voor de inhoud van een bol met straal r:

I = ...

Oplossing. bol

3 Archimedes van Syracuse (287 v.Chr. - 212 v.Chr.) wist aan te tonen dat het volume van een bol het dubbele is van de inhoud tussen deze bol en de omgeschreven cilinder, en was daarmee de eerste om de formule voor de inhoud van een bol op een sluitende manier af te leiden. Zijn methode maakte gebruik van infinitesimalen dx en dy, waarmee hij zijn tijd ver vooruit was: een systematisch gebruik van infinitesimalen leidde pas in de 17e eeuw tot de ontwikkeling van de differentiaal- en integraalrekening.

XI-36

Ook het wentelen om de x-as van een gebied begrensd door twee grafieken van functies f en g wordt dus als omwentelingslichaam opgevat.4 Door zo’n omwentelingslichaam aanschouwelijk voor te stellen, kunnen we ook hiervan de inhoud bepalen.

3 Modelvoorbeeld 4. Gegeven zijn de functies f (x) = 4x − x2

en g(x) = x.

Beschouw het omwentelingslichaam dat verkregen wordt door het vlakdeel begrensd door de grafieken van f en g te wentelen om de x-as. (a) Maak een aanschouwelijke voorstelling van dit omwentelingslichaam. (b) Bereken algebraı̈sch de inhoud van dit omwentelingslichaam. Exacte waarde geven!

Oplossing.

Algemeen zien we de volgende eigenschap in.

3 Eigenschap. Zij f en g functies, beide continu over [a, b]. Beschouw het omwentelingslichaam dat verkregen wordt door het vlakdeel begrensd door de grafieken van f en g te wentelen om de x-as. Als f (x) ≥ g(x) ≥ 0 voor elke x ∈ [a, b], dan wordt de inhoud van dat omwentelingslichaam gegeven door: I=π

Z bÅ ã f (x)2 − g(x)2 dx a

Kunnen we de vergelijking van een grafiek in functie van y uitdrukken, dan hebben we analoge formules als hierboven voor de inhoud van het omwentelingslichaam dat verkregen wordt door de grafiek of het vlakdeel, beperkt over y = c tot y = d, te wentelen om de y-as: I=π

Z

d

Å ã2 k(y) dy

resp.

c

4 Zie

I=π

Z dÅ ã k(y)2 − l(y)2 dy c

de voetnoot bij de definitie van omwentelingslichaam hierboven.

XI-37

2.4

Toepassingen uit fysica

In de laatste paragraaf van dit hoofdstuk bespreken we enkele formules die in de natuurkunde aan bod komen. Daarbij laten we telkens zien waarom deze formules met een bepaalde integraal worden uitgedrukt. Voor een toepassing uit economie verwijzen we naar Oefening 26 op het einde van dit hoofdstuk.

Afstand uit snelheid In het begin van Hoofdstuk 1 werd het begrip bepaalde integraal aan de hand van een fysische context gemotiveerd: kennen we een snelheid-tijd diagram, dan kunnen we op elk tijdstip t de verplaatsing (verandering van afstand ten opzichte van de beginpositie) aflezen als de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek, de x-as, het begintijdstip en tijdstip t.

We kunnen die interpretatie ook als volgt opbouwen. De snelheid v op een tijdstip t is (doorgaans) afhankelijk van t.

(1) Kies een tijdstip t. In een klein tijdsinterval [t, t + ∆t] is de snelheid ongeveer constant v(t). De verplaatsing over dit klein tijdsinterval is dan gelijk aan:5

y

v

∆s ≈ v(t) ∆t.

v(t)

(2) Na sommeren en limietovergang ∆t → 0 vinden we de verandering van afstand (of verplaatsing) tussen tijdstippen t = a en t = b: s=

Z

b

a

v(t) dt

t

b

t

∆t

a

3 Modelvoorbeeld 1. Een object beweegt op de y-as. Op tijdstip t = 0 bevindt het object zich 5 meter boven de oorsprong. De snelheid v ten opzichte van de oorsprong wordt gegeven door:  t   als 0 ≤ t ≤ 40   20    als 40 < t ≤ 60 v(t) = 2      t  5 − als t > 60.

20 Hierbij is de snelheid v uitgedrukt in meter per seconde en de tijd t in seconden. Bepaal de positie van het object op tijdstip t = 160 s.

Oplossing.

In (1) hebben we de verplaatsing in functie van de snelheid uitgedrukt. Gaan we omgekeerd te werk, dan vinden we na limietovergang ∆t → 0 de interpretatie van snelheid als de mate waarin de afstand op tijdstip t toeneemt, zie Deel Afgeleiden: ∆s ∆s ds v(t) ≈ ⇒ v(t) = lim = = s0 (t). ∆t→0 ∆t ∆t dt 5 Het symbool s voor verplaatsing vindt zijn oorsprong in spatium, het Latijnse woord voor (tussen)ruimte. De letters v voor snelheid en a voor versnelling verwijzen naar de Engelse termen velocity en acceleration.

XI-38

Snelheid uit versnelling De mate waarin de snelheid op tijdstip t toeneemt, wordt de versnelling genoemd, in symbolen: v 0 (t) =

dv = a(t). dt

Nu kunnen we analoog redeneren als hierboven. De versnelling a op een tijdstip t is (meestal) afhankelijk van t.

(1) Kies een tijdstip t. In een klein tijdsinterval [t, t + ∆t] is de versnelling ongeveer constant a(t). De verandering van snelheid over dit klein tijdsinterval is dan gelijk aan: ∆v ≈ a(t) ∆t.

(2) Na sommeren en limietovergang vinden we de verandering van snelheid tussen tijdstippen t = a en t = b: v=

Z

b

a(t) dt

a

3 Modelvoorbeeld 2. Een trein nadert het station en remt af. De versnelling van de trein op tijdstip t wordt gegeven door: a(t) = 326 600 t(t − 0, 1) waarbij a wordt uitgedrukt in km/u2 en t wordt uitgedrukt in uur, met t = 0 het tijdstip waarop de trein begon af te remmen. Na zes minuten staat de trein stil in het station. Wat was de snelheid van de trein toen het afremmen begon?

Oplossing. kleurplaat Thomas de stoomlocomotief

XI-39

Volume uit debiet Wanneer het volume van een vloeistof of gas verandert in functie van de tijd, dan kan men uitdrukken hoe snel dat gebeurt. De mate van de verandering van het (overblijvend) volume V per tijdseenheid wordt het debiet (of de instroomsnelheid) genoemd, en wordt doorgaans genoteerd met de letter Q, in symbolen: V 0 (t) =

dV = Q(t). dt

We redeneren opnieuw zoals hierboven. Het debiet Q op een tijdstip t hangt (doorgaans) af van t.

(1) Kies een tijdstip t. In een klein tijdsinterval [t, t + ∆t] is het debiet ongeveer constant Q(t). De verandering van volume over dit klein tijdsinterval is dan gelijk aan: ∆V ≈ Q(t) ∆t.

(2) Na sommeren en limietovergang vinden we de verandering van volume tussen tijdstippen t = a en t = b: V =

Z

b

Q(t) dt

a

3 Modelvoorbeeld 3. Uit een tank van 55 liter lekt water. Het debiet in liter per uur wordt gegeven door Q(t) = 11 − 1, 1 t waarbij t uitgedrukt wordt in uur. (a) Teken de grafiek van Q. (b) Hoeveel water is er weggestroomd tussen drie uur en vijf uur? (c) Hoeveel water zit er na twee uur nog in de tank? (d) Op welk tijdstip is er 5 liter water in de tank? (e) Geef een uitdrukking voor het volume water in de tank op elk tijdstip x.

Oplossing. zwevende waterkraan te Ieper

XI-40

Arbeid uit kracht Wanneer een kracht inwerkt op een object en het object in de richting van die kracht(vector) een verplaatsing maakt, dan zegt men dat die kracht een arbeid uitoefent op het object. Is de kracht F gedurende een rechtlijnige verplaatsing d constant, dan wordt de arbeid W geleverd door de kracht berekend als:6 W = F · d.

Als we kracht uitdrukken in newton (N) en verplaatsing in meter (m), dan wordt arbeid uitgedrukt in newton-meter (Nm). Die eenheid wordt ook wel Joule (J) genoemd.

In heel wat toepassingen is de kracht F uitgeoefend op een object afhankelijk van de plaats van dat object. Bij een rechtlijnige beweging schrijven we dan F (x) voor de grootte van de kracht die het object op positie x ondervindt. Om ook in dit geval de arbeid over een verplaatsing van positie a tot positie b te berekenen, redeneren we als volgt.

(1) Kies een positie x. Tijdens een kleine verplaatsing [x, x + ∆x] is de uitgeoefende kracht ongeveer constant F (x).

De arbeid geleverd door de kracht over deze kleine verplaatsing is dan gelijk aan: ∆W ≈ F (x) ∆x.

(2) Na sommeren en limietovergang ∆x → 0 vinden we de uitgeoefende arbeid tussen de posities x = a en x = b: Z b W = F (x) dx a

3 Modelvoorbeeld 4 (gravitatiewet van Newton). De aantrekkingskracht tussen twee objecten met massa’s m1 en m2 wordt volgens de gravitatiewet van Newton gegeven door:7 m1 · m2 F (r) = G · r2 met . F de aantrekkingskracht (uitgedrukt in Newton) in functie van de afstand r tussen de objecten (uitgedrukt in meter),

gravitatiewet van Newton

. m1 en m2 de massa’s van de twee objecten (uitgedrukt in kilogram), . G ≈ 6, 67 · 10−11 de gravitatieconstante van Cavendish (uitgedrukt in Nm2 /kg2 ).8 We schieten vanop zeeniveau een projectiel met een massa van 10 kg verticaal naar omhoog. (a) Bereken algebraı̈sch de arbeid die we nodig hebben om het projectiel tot op een hoogte van 10 km brengen.

Neem voor de straal van de aarde 6378 km en de massa van de aarde 5, 977 · 1024 kg.

(b) Bereken algebraı̈sch de arbeid die we nodig hebben om het projectiel buiten de aantrekkingskracht van de aarde te brengen.

Oplossing.

6 Wanneer het object in dezelfde richting van de kracht(vector) beweegt maar in omgekeerde zin, dan is de arbeid op het object ten gevolge van die kracht negatief. Beweegt het object in dezelfde zin als de kracht(vector), dan is de arbeid positief. Zo zal de zwaartekracht een positieve arbeid uitoefenen op een steen die een zekere afstand naar beneden valt, maar zal de zwaartekracht een negatieve arbeid uitoefenen op een steen die over een zekere afstand omhoog wordt gehesen. Het symbool W voor arbeid komt van de Engelse term work, in 1826 geı̈ntroduceerd door Gaspard-Gustave de Coriolis [1].

7 Ontdekt door Isaac Newton en in 1687 gepubliceerd in zijn Principia [15], een van de invloedrijkste publicaties ooit verschenen in de exacte wetenschappen.

8 In de periode 1797-1798 slaagde Henry Cavendish er als eerste in om de aantrekkingskracht tussen twee massa’s experimenteel te meten en dus de gravitatieconstante G te bepalen. Toch blijft deze constante een van de minst nauwkeurig bepaalde natuurkundige constanten, met maar drie of vier significante cijfers, zie [19].

XI-41

Oefeningen 2 Toepassingen op bepaalde integralen

Basis ?

??

Verdieping ? ??

2.1 Oppervlakte tussen grafieken

1 2

1 2

2 3

1 2 4

2.2 Gemiddelde waarde van een functie

6 7

8

9

10

2.3 Inhoud van een omwentelingslichaam

12

13

14

15

2.4 Toepassingen uit fysica

20

21

22

Uitbreiding ? ??

5

11 16

17

18

19

23 24

25

26

Oefeningen bij §2.1 Oefening 1. Bereken telkens algebraı̈sch de oppervlakte van het aangeduide gebied. Eventuele snijpunten moet je algebraı̈sch berekenen.

y

y

f

(a)

B

f

⋆

B (c)

−1

x

2

x

g f (x) = x2 + 1,

y

f (x) = x3 − x2 − 6x

g(x) = −x

g

y

⋆

B (b)

V

f

(d)

g f

x

f (x) =

√ x,

x

k(y) = 3 − y 2 ,

g(x) = −x + 6

XI-42

g(x) = x − 1

Oefening 2. Bereken telkens algebraı̈sch de oppervlakte van het gebied begrensd door alle grafieken van de opgegeven functies en rechten.

B

(a) f (x) = −x2 + 6,

B (b) f (x) = x3 , B

g(x) = x

(c) f (x) = x2 − 2,

B (d) f (x) = 2x ,

g(x) = x

1 x

B? (e) f (x) = ex ,

met x ≥ 0

g(x) = x

g(x) = 3x ,

1 x x=2

1 x

B?? (f) f (x) =

√

g(x) = e−x ,

2x,

B?? (g) f (x) = x2 , 1 x

V

(h) y =

g(x) = g(x) =

1 , 1 + 3x2

y=

x=2

1 x

x2 2

16 , x2

y = 0,

−1 , 1 + 3x2

x=4

x = −1,

1 x x=1

B??

Oefening 3. Bereken algebraı̈sch de oppervlakte van het gebied begrensd tussen de grafiek van f (x) = x3 − 6x2 + 8x en de x-as. Eventuele snijpunten moet je algebraı̈sch berekenen.

V

Oefening 4. Bereken algebraı̈sch de oppervlakte van het gebied begrensd tussen de parabool y 2 = 4x en de rechte y = 2x − 4. Eventuele snijpunten moet je algebraı̈sch berekenen.

V?

Oefening 5. Bereken algebraı̈sch de oppervlakte van het gebied tussen de functies f (x) = ex en g(x) = ln x, en de x-as, de y-as, de rechte x = 4 en de rechte y = 4.

Oefeningen bij §2.2 B

Oefening 6. Hans loopt naar het bos, dat 10 km van zijn huis verwijderd is. Hij loopt aan een snelheid van 10 km/u.

Eens aangekomen in het bos is hij uitgeput, en strompelt huiswaarts aan een constant tempo van 2, 5 km/u. (a) Teken het snelheid-tijd diagram. (b) Bepaal de gemiddelde snelheid van Hans over het ganse tijdsinterval [0, 5].

B

Oefening 7. In een stad wordt de temperatuur (in graden Celsius) op tijdstip t (in uren, van 0 tot 24 na middernacht) gemodelleerd door de functie Å ã πt T (t) = 10 − 5 sin .

12 Wat is de gemiddelde temperatuur tussen 12 u. ’s middags en 24 u. middernacht? Afronden op 1◦ C nauwkeurig.

B?

Oefening 8. Gegeven is de functie f (x) = 2x3 − 10x + 4. (a) Bepaal algebraı̈sch de gemiddelde waarde van de functie f over [−2, 2]. (b) In welke x-waarde(n) bereikt f deze gemiddelde waarde? Bereken algebraı̈sch en duid de meetkundige betekenis aan op een schets.

B??

Oefening 9. Een beursgoeroe heeft een formule gevonden voor de koers van een aandeel: 700 k(t) = met 0 ≤ t ≤ 30 t+5 waarbij k de waarde van het aandeel is (in euro) op tijdstip t (in dagen). (a) Wat was de oorspronkelijke waarde van het aandeel? (b) Bepaal de koers na 30 dagen.

de Beurs van Brussel

(c) Bepaal algebraı̈sch de gemiddelde waarde van het aandeel gedurende de eerste tien dagen. (d) Op welk tijdstip b is de gemiddelde waarde over [0, b] gelijk aan 67 euro?

XI-43

V

Oefening 10. Beschouw de functie f met als (meervoudig) voorschrift    − 1 als x < 0 als 0 ≤ x < 2 f (x) = 2   1 als x > 2.

(a) Bereken algebraı̈sch de gemiddelde functiewaarde van f over [−3, 3].

(b) Waarom bereikt de functie f zijn gemiddelde waarde over [−3, 3] niet? (c) Bepaal a < 2 waarover de functie f zijn gemiddelde waarde over [a, 3] wel bereikt.

U?

Oefening 11. Zij f een functie en a, b ∈ R zodat f continu is over [a, b]. Toon aan dat er c1 , c2 ∈ ]a, b[ bestaan waarvoor: Z b 2 f (x) dx. f (c1 ) + f (c2 ) = b−a a Maak een schets waarop je de meetkundige betekenis van deze eigenschap aanduidt.

Oefeningen bij §2.3 B

B?

B??

Oefening 12. Bereken telkens de inhoud van het omwentelingslichaam van f over [a, b]. Maak ook telkens een aanschouwelijke voorstelling van het omwentelingslichaam.

2 (a) f (x) = e−x [a, b] = [−10, 10] (b) f (x) = ln x [a, b] = e−1 , e Oefening 13. Bereken telkens algebraı̈sch de inhoud van het omwentelingslichaam van f over [a, b]. Werk met exacte waarden. Maak ook telkens een aanschouwelijke voorstelling van het omwentelingslichaam. h π πi √ 1 (a) f (x) = − x [a, b] = [0, 4] (c) f (x) = [a, b] = − , cos x 4 4 î √ √ ó p x (b) f (x) = 2 [a, b] = [1, 4] (d) f (x) = x 2 − x2 [a, b] = − 2, 2

Oefening 14. Bereken telkens algebraı̈sch de inhoud van het omwentelingslichaam dat verkregen wordt door het vlakdeel begrensd door de gegeven krommen te wentelen om de x-as. Eventuele snijpunten moet je algebraı̈sch berekenen. Maak ook telkens een aanschouwelijke voorstelling van het omwentelingslichaam. (a) y = x2 ,

y2 = x

(c)

4x2 − y 2 = 4,

(b) y = x2 + 2x,

y = 4x − x2

(d) y =

1 (6 − x), 2

x=2 y=

√

6−x

V

Oefening 15. Bereken algebraı̈sch de inhoud van het omwentelingslichaam van de functie f (x) = sin x over [0, 2π].

Werk met exacte waarden. Maak ook een aanschouwelijke voorstelling van het omwentelingslichaam.

V?

Oefening 16. Tot op een hoogte van 2, 8 cm volgt het binnenste van een wijnglas een parabolische vorm met verge2 lijking y = x8 . Verder wordt het glas naar boven toe smaller, zo worden geuren beter in het glas gevangen. Een goede sommelier vult de glazen tot een hoogte van net 2, 8 cm. Hoeveel glazen haalt een ober uit een fles van 75 cl? Bereken algebraı̈sch.

U

Oefening 17 (paraboloı̈de). Een paraboloı̈de is het omwentelingslichaam dat verkregen wordt door een parabool P : y 2 = 2p x

met

p ∈ R+ 0

te wentelen om de x-as (zie onderstaande figuur). Bepaal de inhoud van een paraboloı̈de over een interval [0, k] waarbij k > 0.

U?

Oefening 18 (ellipsoı̈de).

Een ellipsoı̈de is het omwentelingslichaam dat verkregen wordt door een ellips

x2 y2 + =1 a2 b2 te wentelen om de x-as (zie onderstaande figuur).

E:

met a, b ∈ R+ 0

(a) Bepaal de inhoud van een ellipsoı̈de. (b) Leid hieruit de inhoud van een bol met straal r af.

XI-44

U??

Oefening 19 (hyperboloı̈de). Een (eenbladige) hyperboloı̈de is het omwentelingslichaam dat verkregen wordt door een hyperbool y2 x2 H : 2 − 2 = 1 met a, b ∈ R+ 0 a b te wentelen om de y-as (zie onderstaande figuur). Bepaal de inhoud van een hyperboloı̈de over een interval [−k, k] waarbij k > 0.

paraboloı̈de

ellipsoı̈de

eenbladige hyperboloı̈de

Oefeningen bij §2.4 B

Oefening 20. De verkeersdrukte over een viaduct wordt tussen 0 uur en 12 uur gemodelleerd door de functie f (t) = 15 ·

8 + (14 − t)t2 2

waarbij f (t) staat voor het aantal wagens per uur op tijdstip t in uren. Hoeveel wagens zijn er gepasseerd tussen 7 uur en 10 uur?

B?

Oefening 21. De snelheidsfunctie van een bewegend voorwerp wordt beschreven door v(x) = −x3 + 3x2

waarbij

0≤x≤4

met v de snelheid (in kilometer per uur) op tijdstip x (in uren). (a) Schets de grafiek van de snelheidsfunctie. (b) Wat is de versnelling van het voorwerp op tijdstip x = 2? Bereken algebraı̈sch en formuleer daarna de meetkundige betekenis van deze versnelling op de grafiek van de snelheidsfunctie. (c) Welke afstand heeft het voorwerp na twee uren afgelegd? Bereken algebraı̈sch en formuleer daarna de meetkundige betekenis van deze afstand op de grafiek van de snelheidsfunctie.

B??

Oefening 22. Op een warme zomerdag laat een familie het opblaasbaar zwembad vollopen voor de kinderen. Ze draaien de kraan open en het water stroomt in het zwembad met een debiet van 20 liter per minuut. Na een half uur is het zwembad vol. Vijftien minuten later komt een kindje huilend binnen en zegt dat het zwembad stuk is. Vader gaat even kijken en merkt inderdaad dat er een gat in is. Er zit niets anders op dan te wachten tot het waterpeil tot op de hoogte van het lek gezakt is.

Dit duurt zo’n 45 minuten.

We veronderstellen dat het water start met wegstromen op het moment dat het kindje binnenkomt, met een uitstromend debiet van 10 liter per minuut. Dat neemt lineair af tot het waterpeil op de hoogte van het lek gekomen is.

waarschuwingsbord

(a) Hoeveel water kan er in het zwembad? Bepaal met behulp van een bepaalde integraal en maak daarna een schets waarop je de meetkundige betekenis toelicht en uitschrijft. (b) Hoeveel water zit er nog in het zwembad nadat het lekken stopt? Bereken met behulp van een bepaalde integraal. (c) Geef een uitdrukking voor het volume water in het zwembad op elk tijdstip x ≥ 0. Los op met behulp van bepaalde integralen. Schets daarna de grafiek van deze volumefunctie.

XI-45

U

Oefening 23 (wet van Coulomb). De aantrekkings- of afstotingskracht tussen twee elektrische ladingen q1 en q2 wordt volgens de wet van Coulomb gegeven door:9 F (r) = k ·

q1 q2 r2

met . F de aantrekkings- of afstotingskracht indien negatief resp. positief (uitgedrukt in Newton) in functie van de afstand tussen beide ladingen (uitgedrukt in meter), wet van Coulomb

. q1 , q2 de absolute waarde van de ladingen (uitgedrukt in Coulomb), . k = 8, 9876 · 109 de constante van Coulomb (uitgedrukt in Nm2 /C2 ).

De meeste elektrische ladingen blijken een veelvoud te zijn van de zogenaamde elementaire lading:10 e = 1, 602192 · 10−19 C.

De kern van een waterstofatoom bevat een proton (lading +e) en een elektron (lading −e) op een afstand van 5, 3 · 10−11 m van elkaar verwijderd. Bereken de arbeid die nodig is om het elektron twee keer zover van het proton te brengen. Afronden tot op 4 beduidende cijfers.

U

Oefening 24 (wet van Hooke). Wanneer een veer aan het ene uiteinde wordt vastgeklemd, dan is de kracht die het andere uiteinde ondervindt volgens de wet van Hooke gelijk aan:11 F (x) = kx met . x de afstand van het uiteinde van de veer tot de evenwichtsstand (uitgedrukt in m), . k de veerconstante die uitdrukt hoe stijf of stug de veer is (uitgedrukt in N/m).

Stel dat een veer in rust 10 cm lang is en er een kracht van 100 N nodig is om de veer 1 cm uit te rekken. Welke arbeid moet dan verricht worden, wil men de veer uitrekken van een totale lengte van 11 cm tot een totale lengte van 12 cm?

U?

Oefening 25 (aantal omwentelingen uit toerental). Het toerental (of de omwentelingsfrequentie) ω is het aantal omwentelingen dat een draaiend voorwerp (bijvoorbeeld een grammofoonplaat, een wiel of de as van een motor) per tijdseenheid om een omwentelingsas maakt.

Een wasmachine doet een laatste zwierbeurt in 5 minuten. Het toerental wordt beschreven door: ω(t) = −224t2 + 1120t waarbij ω wordt uitgedrukt in aantal omwentelingen per minuut en t wordt uitgedrukt in minuten. (a) Hoe kun je met behulp van deze functie het aantal omwentelingen N tussen twee tijdstippen t = a en t = b bepalen? Schrijf je redenering volledig uit. (b) Bepaal het aantal omwentelingen tijdens de laatste zwierbeurt. (c) Wat was het gemiddeld toerental?

U??

Oefening 26 (kostprijs uit marginale kostenfunctie). Bij het productieproces van een bedrijf hangt de totale kostprijs per product af van het aantal producten q dat men produceert. De mate van de verandering van de totale kostprijs K per product wordt de marginale kost genoemd, en wordt doorgaans genoteerd met M K, in symbolen: K 0 (q) =

dK = M K(q). dq

In het bijzonder drukt marginale kosten het bedrag aan waarmee de totale kosten toenemen als een bedrijf één extra product produceert.

De productie van de eerste twee kilo waspoeder kost 10 euro. De marginale kost, die aangeeft met welk tempo de productiekosten K evolueren als de productie q toeneemt, wordt beschreven door de functie 7 3 M K(q) = − q waarbij q ∈ [2, 36] .

2 40 (a) Hoe kun met behulp van deze functie de verandering van kostprijs K tussen de producties q = a en q = b bepalen? Schrijf je redenering volledig uit. (b) Bepaal de totale kost om 36 kilo waspoeder te produceren.

9 Charles-Augustin

de Coulomb 1780. alle elektrische ladingen zijn een veelvoud van e. In de jaren ’60 ontdekte men dat quarks electrische ladingen hebben in eenheden van 3e en 2e . Strikt genomen is de term elementaire lading, die verwijst naar de electrische lading van een electron, niet langer correct.

3 11 Robert Hooke 1678 [12].

10 Niet

XI-46

Hoofdstuk 3

Onbepaalde integralen en integratietechnieken Hoofdstelling 2 van de integraalrekening laat ons toe om een bepaalde integraal te berekenen: Z b f (x) dx = F (b) − F (a) a

waarbij F een primitieve van f is. In tegenstelling tot het berekenen van de afgeleide van een functie, waarbij de rekenregels opgebouwd in Deel Afgeleiden volstaan om de afgeleide van elke elementaire functie te berekenen (zie ook Bijlage B), blijkt het omgekeerde proces aanzienlijk moeilijker te zijn.1 Naast de fundamentele integralen en de basiseigenschap lineariteit, zijn de twee belangrijkste integratietechnieken de zogenaamde substitutie en partiële integratie die we in dit hoofdstuk zullen zien. Om vaardig te worden in deze technieken, blijkt het handig om het zoeken van een primitieve F los te koppelen van het berekenen van F (a) en F (b).

Daartoe wordt de zogenaamde onbepaalde integraal ingevoerd.

Voor het berekenen van integralen bestaat geen lijst van te volgen regels die gegarandeerd tot de oplossing leidt.

In plaats daarvan moet de leerling bij elke opgave doordacht te werk gaan om een integratietechniek op maat toe te passen. Dat aanvoelen wordt verkregen door veel te oefenen, met hulp van integratietips die samen worden opgesteld.2

3.1

Onbepaalde integralen

Het begrip onbepaalde integraal hangt nauw samen met het begrip primitieve die we in Hoofdstuk 1 gezien hebben.

3 Herhaal. Een functie F is een primitieve van een functie f als F continu is over [a, b] en F 0 (t) = f (t) voor elke t ∈ ]a, b[ voor elke keuze van [a, b] ⊆ dom f .

Voorbeeld. De functie F (x) =

1 3 x + 2021 3

is een primitieve van de functie f (x) = x2 . Wegens een eerdere hulpstelling uit Hoofdstuk 1 worden alle primitieve functies van f gegeven door F (x) =

1 3 x +c 3

met c ∈ R.

1 In Deel Precalculus 1 en 2 werden de zogenaamde elementaire functies ingevoerd: rationale en irrationale functies, exponentiële en logaritmische functies, goniometrische en cyclometrische functies, alsook de functies die we verkrijgen door hun samenstelling.

2 In tegenstelling tot het berekenen van een afgeleide, zijn de tot nu toe bekende integratieregels absurd onvolledig: ze volstaan niet om √ 1 eenvoudige algebraı̈sche functies zoals f (x) = 1 + x3 of zelfs rationale functies met onbepaalde constanten zoals f (x) = x5 −x−a met a ∈ R te integreren. Pas op het einde van de 20e eeuw werd bekend welke algebraı̈sche functies we kunnen integreren met onze integratieregels, een (minder bekend) resultaat dat in 1981 werd uiteengezet werd door James Harold Davenport [1]. Hoewel de afgeleide van een elementaire functie opnieuw een elementaire functie is, hoeft een primitieve van een elementaire functie f niet noodzakelijk zelf elementair 2 te zijn, zoals bij f (x) = e−x en f (x) = sinx x het geval is. Een belangrijke klasse van (niet-elementaire) functies wordt net gedefinieerd

als een primitieve functie van een elementaire functie, met als meest bekende voorbeelden de errorfunctie erf(x) = zogenaamde elliptische functies die optreden als inverse functies van elliptische integralen

Rx 0

√dt

A(t)

√2 π

Rx 0

2

e−t dt en de

met A(t) een veelterm van graad

drie of vier (zonder meervoudige factoren). Elliptische functies parameteriseren de krommen van genus 1 (zoals het lemniscaat van Bernoulli en zogenaamde elliptische krommen), net zoals de rationale functies krommen van genus 0 parameteriseren (zoals kegelsneden).

Dat procesRverloopt analoog met goniometrische sinusfunctie die, samen met zijn afgeleide, als inverse functie van de integraalfunctie x √ dt Arcsin x = de cirkel parameteriseert [17].

2 0

1−t

XI-47

Bestaat er voor een functie f een primitieve F , dan wordt deze functie f primitiveerbaar genoemd.3 Voor zo’n functies kunnen we de onbepaalde integraal definiëren.

3 Definitie (onbepaalde integraal).4 Zij f een functie. Dan is onbepaalde integraal van f gelijk aan de verzameling van alle primitieve functies van f .

Z We noteren deze onbepaalde integraal met f (x) dx.

Voorbeeld. De onbepaalde integraal van f (x) = x is gelijk aan: Z Z ß 1 2 1 2 1 2 f (x) dx = x dx = x , x + 3, x − 7, 2 2 2 ß ™ 1 2 = x +c|c∈R .

2

™ ...

Kennen we één primitieve F van een functie f , dan wordt elke andere primitieve van f gegeven door F (x) + c waarbij c ∈ R (zie lemma in Hoofdstuk 1), zodat we de onbepaalde integraal van f schrijven als: Z

f (x) dx = F (x) + c | c ∈ R .

Het is echter gangbaar om de volgende (slordige) notatie te gebruiken: Z f (x) dx = F (x) + c

waarbij stilzwijgend verondersteld wordt dat c ∈ R. 3 Modelvoorbeeld 1. Bereken de onbepaalde integraal (vul aan): Z

3.2

x5 − 2x3 + 3 dx = . . .

Fundamentele integralen

De primitieve functies die in §1.6 werden opgelijst, leiden nu meteen tot de volgende tabel. Onbepaalde integralen die rechtstreeks uit deze tabel volgen, worden fundamenteel genoemd. Van de leerlingen wordt verwacht dat ze de rekenregels voor afgeleiden perfect beheersen (zie Bijlage B), waaruit de onderstaande tabel eenvoudig gereconstrueerd wordt.

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

0 dx = c

Z

dx = x + c xr dx =

sin x dx = − cos x + c cos x dx = sin x + c

Z

1 xr+1 + c (r ∈ R \ {−1}) r+1

Z

ex dx = ex + c

Z

1 x a dx = a + c (a ∈ R+ 0 \ {1}) ln a x

Z

1 dx = ln |x| + c x

1 dx = tan x + c cos2 x 1 dx = − cot x + c sin2 x √

1 dx = Arcsin x + c = − Arccos x + c 1 − x2

1 dx = Arctan x + c = − Arccot x + c 1 + x2

3 Verwar primitiveerbaarheid niet met het begrip integreerbaarheid uit Bijlage A: zo hoeft een integreerbare functie over [a, b] niet primitiveerbaar over [a, b] te zijn en omgekeerd, zie de voetnoot op pagina 13.

4 De

term onbepaalde integraal zinspeelt op het ontbreken van de integratiegrenzen a en b in de bepaalde integraal

geen enkel verband met onbepaaldheden bij limieten zoals

0

0

en

∞ ∞

.

XI-48

Rb a

f (x) dx, en houdt

3.3

Basiseigenschappen

Bij het uitvoeren van bewerkingen op onbepaalde integralen moet men in principe teruggrijpen naar de oorspronkelijke definitie van onbepaalde integraal, in combinatie met de voor de hand liggende optelling van getallenverzamelingen.5 Zo is bijvoorbeeld: Z Z ß ™ ß ™ 1 2 1 3 2 x dx + x dx = x + c1 | c1 ∈ R + x + c2 | c2 ∈ R 2 3 ™ ß 1 2 1 3 x + x + c1 + c2 | c1 , c2 ∈ R = 2 3 ß ™ 1 2 1 3 = x + x +c|c∈R 2 3 zodat in de beknopte notatie:

Z

Z

1 2 1 3 x + x + c.

2 3 Op die manier zien we in dat de integratieregel voor lineairiteit van de bepaalde integraal (zie Hoofdstuk 1) een analogon voor onbepaalde integralen kent: Z Z Z 2 x dx + x dx = (x + x2 ) dx. x dx +

x2 dx =

Dit principe geldt ook voor de vermenigvuldiging van een onbepaalde integraal met een getal verschillend van nul.

3 Eigenschap (lineariteit van de onbepaalde integraal).

Zij f en g primitiveerbare functies. Dan geldt:6 Z Å Z Z ã (1) f (x) ± g(x) dx = f (x) dx ± g(x) dx, Z Å Z ã (2) rf (x) dx = r f (x) dx

voor alle r ∈ R0 .

Bewijs. (1) Noem F en G een primitieve van respectievelijk f en g. Dan is F ± G een primitieve van f + g (waarom?). Nu is enerzijds (vul aan): Z Å ã f (x) ± g(x) dx = . . . terwijl anderzijds Z

f (x) dx ±

Z

g(x) dx = . . .

(2) Kies r ∈ R0 willekeurig en noem F een primitieve van f . Dan is rF een primitieve van rf (waarom?). Nu is enerzijds (vul aan): Z Å ã rf (x) dx = . . . terwijl anderzijds r

Z

f (x) dx = . . .

Net zoals bij bepaalde integralen is er ook nu geen regel voor f · g dat analoog is aan (1). In het algemeen is de onbepaalde integraal van het product niet gelijk aan het product van de onbepaalde integralen: Z Z Z f (x) · g(x) dx 6= f (x) dx · g(x) dx Er is wel een andere integratieregel voor f · g: de zogenaamde partiële integratie die we later in dit hoofdstuk zien.

5 Voor

A, B ⊆ R is de Minkowski optelling A + B per definitie gelijk aan {a + b | a ∈ A en b ∈ B}, genoemd naar Hermann Minkowski (1864-1909). Analoog is voor r ∈ R en A ⊆ R deR(scalaire) vermenigvuldiging r·A R R gelijk aan {r · a | a ∈ A}.

6 Integratieregel (2) is niet geldig voor r = 0, daar 0f (x) dx = 0 dx = c terwijl 0 f (x) dx = 0(F (x)+c) = 0 waarbij F een primitieve van f is.

XI-49

Door deze eigenschap te combineren met het herkennen van (een veelvoud van) een fundamentele integraal, eventueel na vereenvoudigen, uitwerken, inzetten van een formule van de goniometrie (zie bijlage C) of herkennen van de noemer in de teller, kun je al heel wat (eenvoudige) integralen berekenen. Elke oefening kan gecontroleerd worden door na te gaan of de afgeleide van het eindresultaat gelijk is aan het integrandum van de onbepaalde integraal. Dat kan ook met behulp van de grafische rekenmachine gebeuren.

3 Modelvoorbeeld. Bereken telkens de (onbepaalde) integraal.

Z Z 3 dx (c) sin(2x) cos x dx (a) 1 + x2 (b)

Z

√ x( x − 7) dx

(d)

Z

2x − 7 dx 2x + 5

Oplossing.

Controle van (d) met behulp van de grafische rekenmachine.

De technieken die we in het vorige modelvoorbeeld illustreerden, kunnen nu als aanwijzing dienen om andere integralen aan te pakken. Door ze te expliciteren verkrijgen we zogenaamde integratietips. Is er een tip van toepassing, dan biedt een voor de hand liggende werkwijze zich aan. De luchtige omschrijving wordt duidelijk bij het maken van oefeningen.

Integratietips Tip 1

Het is een fundamentele integraal. . . of toch bijna! → Raad doordacht of pas lineariteit van de onbepaalde integraal toe!

Tip 2

Vereenvoudig, werk uit of pas een formule van de goniometrie toe.

Tip 3

De noemer staat in de teller. . . of toch bijna! → Forceer de noemer in de teller!

XI-50

3.4

Differentialen

In de volgende paragrafen komen de integratietechnieken substitutie en partiële integratie aan bod. Daarvoor moeten we betekenis geven aan notaties zoals dx, du, dv enzovoort, die we differentialen noemen. Dat doen we aan de hand van de begrippen gemiddelde en ogenblikkelijke hellingsgraad uit Deel Afgeleiden, die we hieronder herhalen.

Zij f een functie en x ∈ dom f . Wanneer we x laten toenemen met een kleine waarde ∆x, dan zal de y-waarde toenemen met ∆f = f (x + ∆x) − f (x). De rico van de rechte AB wordt de gemiddelde hellingsgraad tussen deze twee punten A en B van de grafiek genoemd (duid de betekenis van ∆x en ∆f aan op de linkerfiguur): rico AB =

∆f f (x + ∆x) − f (x) = . ∆x ∆x

Laten we ∆x naderen naar nul, dan evolueert de rico van de rechte AB naar de rico van de raaklijn t in A. Dat wordt df (zie rechterfiguur). de ogenblikkelijke hellingsgraad (of afgeleide) van f in x genoemd, notatie dx In symbolen: rico t =

y

df ∆f = lim . dx ∆x→0 ∆x

y

y = f (x)

rico AB =

B

y = f (x)

∆f ∆x rico t =

A

df dx

A

x

x + ∆x

x

x

x

df df In principe is dx geen quotiënt, maar wel een limiet van een quotiënt. Willen we dx toch als een quotiënt opvatten, dan moeten we een afzonderlijke betekenis geven aan de notaties df en dx. De rechterfiguur hierboven geeft aan hoe dat kan:7 df verticale toename = rico t = . dx horizontale toename Zo’n horizontale toename is onafhankelijk van de functie f , en kan dus precies gelijk worden gesteld aan een horizontale def toename in linkerfiguur: dx = ∆x (duid aan op de rechterfiguur). De bijbehorende verticale toename df vinden we dan met behulp van de alternatieve notatie f 0 (x) voor afgeleide (duid aan op de rechterfiguur): def

df = f 0 (x) dx We noemen dx = ∆x de differentiaal van x en df de differentiaal van f . Omdat y = f (x) schrijven we dus ook: def

dy = y 0 dx die we de differentiaal van y noemen. Merk op dat de differentiaal dx van de onafhankelijke variabele x bij definitie gelijk is aan de toename ∆x van die variabele, terwijl de differentiaal dy van de afhankelijke variabele y niet gelijk is aan de toename van die variabele ∆y = ∆f .

3 Modelvoorbeeld. Bereken telkens de differentiaal van de gegeven functie in x. (a) f = x3

(c) u = ln x

(b) y = 4x + 7

(d) v = 23x+2

Oplossing.

7

Bovenstaande uiteenzetting is een (over)simplificatie van de formele definitie: is f een functie die afleidbaar is in een omgeving van a, def

dan is de differeniaal van f met betrekking tot a gelijk aan de functie dfa : R → R : x − a → dfa (x − a) = (x − a)f 0 (a). Deze functie wordt kortweg als df genoteerd, waarbij de keuze van a uit de context blijkt. Toegepast voor de functie f (x) = x verkrijgen we de differentiaal dx van x met betrekking tot a, waarbij dx(x − a) = x − a voor elke x ∈ R. Zo verkrijgen we de gelijkheid van functies df = f 0 (a) dx.

XI-51

3.5

Integratietechniek substitutie

In Deel Afgeleiden hebben we rekenregels als volgt uitgebreid: vervang elke x door een functie in x (symbolisch genoteerd als ) en vermenigvuldig het eindresultaat met de afgeleide van die functie naar x, bijvoorbeeld: uit

0

(2x ) = 2x ln 2

volgt

Ä ä0 2 = 2 ln 2 · 0 .

Deze techniek om afgeleiden van samengestelde functies te berekenen, wordt de kettingregel genoemd. Omdat integreren kan gezien worden als het omgekeerd proces van afleiden, kan de kettingregel vertaald worden naar een techniek om integralen te berekenen: de zogenaamde substitutie.

Z 1 dx.

3 Op ontdekking. Bereken de onbepaalde integraal 2x + 5 Oplossing. Deze integraal is in die mate eenvoudig, dat we een primitieve doordacht kunnen raden: neem als eerste voorstel ln |2x + 5|, berekenen de afgeleide en pas het eerste voorstel aan: Z 1 1 dx = ln |2x + 5| + c.

2x + 5 2

1 We kunnen ook als volgt te werk gaan. In het integrandum hadden we in plaats van 2x+5 liever u1 zien staan, want dat is een fundamentele integraal (tip 1). Daarom noemen we u = 2x + 5. Vul de substitutie aan:

Z

1 dx 2x + 5

noem u = . . . dan is du = . . .

= ...

Deze techniek om integralen te berekenen noemen we substitutie, en kunnen we symbolisch als volgt formuleren: Z

f ( ) 0 dx =

Z

f (u) du

noem u = dan is du = 0 dx

Bij een opgave komt het erop neer om een goede substitutie te herkennen.

3 Modelvoorbeeld 1. Bereken telkens de onbepaalde integraal.

Z p Z (c) x x2 + 3 dx (a) cos(5x − 7) dx Z Z (b) 38x−6 dx (d) tan x dx Oplossing.

XI-52

In het modelvoorbeeld hierboven kwamen opnieuw aanwijzingen aan bod waarmee we ook andere onbepaalde integralen kunnen berekenen. Door ze te expliciteren, kunnen we onze lijst van integratietips verder aanvullen.

Integratietips (vervolg) Tip 4

Wat had je liever zien staan? → Substitutie: u = . . .

Tip 5

Er staat iets en de afgeleide staat er ook. . . of toch bijna! → Substitutie: u = iets

Bij de integratietechniek substitutie gaan we over van een variabele x naar een andere variabele u. Door de waarde van de integratiegrenzen bij te houden, kunnen we deze techniek ook toepassen bij de berekening van bepaalde integralen.

3 Op ontdekking. Bereken algebraı̈sch de bepaalde integraal Z 2 (3x + 5)7 dx.

1

Oplossing.

Film The Substitute

(1996)

De methode substitutie bij bepaalde integralen kan als volgt symbolisch voorgesteld worden.

Z

a

b

0

f ( ) dx =

Z

(b)

(a)

f (u) du

noem u =

als x = a dan u = (a) 0

dan is du = dx

als x = b dan u = (b)

3 Modelvoorbeeld 2. Bereken algebraı̈sch de volgende bepaalde integraal zonder eerst de onbepaalde integraal te berekenen (methode substitutie bij bepaalde integralen). Werk met exacte waarden!

Z π sin x dx 1 + cos2 x 0 Oplossing.

XI-53

3.6

Partiële integratie

De integraal van een som is gelijk aan de som van de integralen (basiseigenschap lineairiteit): Z Å Z Z ã f (x) + g(x) dx = f (x) dx + g(x) dx,

als gevolg van de rekenregel afgeleide van een som is gelijk aan de som van de afgeleiden. Maar omdat de afgeleide van een product doorgaans verschillend is van het product van de afgeleiden, is in het algemeen de integraal van een product niet gelijk aan het product van de integralen: Z Z Z f (x) · g(x) dx 6= f (x) dx · g(x) dx.

De rekenregel voor de afgeleide van een product leidt echter wel tot een techniek om integralen te berekenen.

3 Eigenschap (partiële integratie).8 Dan geldt:

Zij u en v functies die continu afleidbaar zijn over hun domein.9 Z

u dv = uv −

Bewijs. Er geldt: Z 0 uv dx = uv + c ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

Z

Z

Z

Z

u v dx + v du +

Z

Z

want . . .

uv 0 dx = uv + c

u dv = uv + c

u dv = uv −

Z

v du

want . . .

u0 v + uv 0 dx = uv + c 0

Z

want . . . want . . .

v du

want . . .

R R Bovenstaande formule drukt de oorspronkelijke integraal u dv uit met een nieuwe integraal v du, zodat het integreren zelf slechts gedeeltelijk (partiëel) is gebeurt. Na het toepassen van deze partiële integratie moet dus nagegaan worden of de nieuwe integraal eenvoudiger te berekenen is dan de oorspronkelijke integraal.

De typische gevallen die in volgend modelvoorbeeld aan bod komen, geven aanleiding tot een laatste reeks integratietips.

Integratietips (vervolg) Tip 6

Tip 7

Tip 8

Tip 9

Z

xn dx als

Z

dx gekend is.

→ Partiële integratie: u = xn Z Z n x dx als dx niet gekend is.

→ Partiële integratie: u = Z dx is niet gekend

→ Partiële integratie: u = Z Z Z 4 dx als dx of 4 dx gekend zijn.

→ Partiële integratie, tussentijds evalueren en eventueel volharden (recursieve integraal).

8 Deze eigenschap werd voor het eerst beschreven door Gottfried Wilhelm Leibniz 1674 in zijn zogenaamde transmutatiestelling, die √ hij op meetkundige gronden bewees. Toegepast op f (x) = 2x − x2 , wiens grafiek een kwart van een cirkel met straal 1 voorstelt, vond π 1 1 1 1 hij dat 4 = 1 − 3 + 5 − 7 + 9 − . . . . Deze reeks van Leibniz was enkele jaren eerder onafhankelijk ontdekt door James Gregory , wat tijdens de latere onenigheid met Isaac Newton over de ontdekking van de differentiaal- en integraalrekening als argument gebruikt werd om Leibniz te betichten van plagiaat. Intussen weten we zeker dat Leibniz zijn reekssom onafhankelijk van Gregory heeft gevonden. Deze uitdrukking van π als een oneindige som van rationale getallen gaat zelfs terug naar de Indische wiskundige Kelallur Nilakantha Somayaji die de reeks van Leibniz in 1501 in versvorm beschreef [17]. Zie [10, p.23-34].

9 Voluit: de functies u en v, gedefinieerd op een open interval van R, zijn van de (differentieerbaarheids)klasse C 1 , wat betekent dat hun afgeleiden u0 en v 0 bestaan en continu zijn over dat open interval.

XI-54

3 Modelvoorbeeld 1. Bereken telkens de onbepaalde integraal.

Z Z (a) x sin x dx (c) Arcsin x dx Z Z (b) x ln x dx (d) ex cos x dx Oplossing.

Controle van (c) met behulp van de grafische rekenmachine.

MODE

RADIAN

Y=

2ND TBLSET

XI-55

2ND TABLE

Net zoals de integratietechniek substitutie rechtstreeks op een bepaalde integraal kan worden toegepast, is dit ook bij partiële integratie het geval. De eigenschap van hierboven vertaalt zich dan in: Z

a

b

Å ãb Z u dv = uv − a

b

v du

a

3 Modelvoorbeeld 2. Bereken algebraı̈sch de volgende bepaalde integraal zonder eerst de onbepaalde integraal te berekenen. Maak tevens een schets waarop je de meetkundige betekenis van deze bepaalde integraal aanduidt en toelicht. Controleer nadien met behulp van je grafische rekenmachine.

Z π x cos x dx 0

Oplossing.

3 Modelvoorbeeld 3. Beschouw het gebied dat begrensd is door alle grafieken van de functies en rechten f (x) = 2x ,

g(x) = 2 log x,

x = 0,

y=0

en

x = 2.

(a) Maak een schets waarop je dit gebied aanduidt. (b) Bepaal algebraı̈sch de oppervlakte van dit gebied. Noteer voldoende tussenstappen en werk met exacte waarden. Eventuele snijpunten mag je met behulp van je grafische rekenmachine berekenen.

Oplossing.

XI-56

3.7

Bepalen van de integratieconstante

Een functie f bepaalt eenduidig zijn afgeleide f 0 . Omgekeerd legt de afgeleide f 0 de originele functie f niet volledig vast, maar slechts op een integratieconstante c na. Die constante c kan berekend worden van zodra we één functiewaarde f (x0 ) kennen, die een randvoorwaarde (of beginvoorwaarde) wordt genoemd.

3 Modelvoorbeeld 1. Bepaal het voorschrift van de functie f waarvoor f 0 (x) = cos2 (2x)

en

f (π) = 0.

Oplossing.

3 Modelvoorbeeld 2. Een bowlingbal wordt over de grond gerold met een beginsnelheid van 10 m/s. Door de wrijving neemt de snelheid constant af met 1, 2 m/s2 . Hoe ver zal de bal rollen?

Oplossing.

XI-57

Oefeningen 3 Onbepaalde integralen en integratietechnieken 3.1 Onbepaalde integralen 3.2 Fundamentele integralen 3.3 Eigenschappen

Basis ?

??

2

3

4

5

1

3.4 Differentialen

Verdieping ? ??

6

3.5 Integratietechniek substitutie

7 10

8 10

9 10

11

12 13

3.6 Partiële integratie

14 15 16

14 15 17

14 15 18

14 15 19 20

14 15 21 22

3.7 Bepalen van de integratieconstante

24

25

26

27

Oefeningen bij §3.1-§3.3 B

Oefening 1. Bereken algebraı̈sch de volgende onbepaalde integralen.

Z Z √ 7 (a) 5x dx (e) 2 − x dx (b) (c) (d)

B?

Z Z

Z

x2 − 2 dx x

(f)

(cos x + 2 sin x) dx

(g)

x

3 dx

(h)

Z

(2x − 1) dx

Z

√

Z

1 dx x6 5 dx 1 − x2

Oefening 2. Bereken algebraı̈sch de volgende onbepaalde integralen.

Z Z √ √ 7 (e) (3x − 2) x dx (a) 7x x dx (b) (c) (d)

Z

(3x − 7)(5x2 + 8) dx

Z

x2 − 2 dx x2 + 1

Z

Uitbreiding ? ??

(f)

Z

(h)

Z

7x3 − 3x2 + 5 dx x Z

(g) cos2 x − sin2 x dx

7x2 − 5 dx 3x

sin2 x dx

B??

Oefening 3. Bereken algebraı̈sch de volgende onbepaalde integralen.

Z Z 1 (a) dx (b) sin(5x) sin(8x) dx cos2 x − 1

V

Oefening 4. Bereken algebraı̈sch de volgende onbepaalde integralen.

Z Z 5x 2x2 + 3 (b) dx (a) dx x−1 2 2 x +1

V?

Oefening 5. Bereken algebraı̈sch de volgende onbepaalde integralen.

Z Z dx 2 (a) tan x dx (b) 2 sin x cos2 x XI-58

15 23

28

29

30

Oefeningen bij §3.4 B?

Oefening 6. Bereken telkens de differentiaal van de gegeven functie in x. (a) y =

2x 3x − 1

(b) f (x) = x +

(d) t = e4x p 9 + x2

2

(e) y = ln(tan x)

(c) u = cos2 (2x) + sin(3x)

(f) v = Arccos(2x)

Oefeningen bij §3.5 Oefening 7. Bereken algebraı̈sch de volgende onbepaalde integralen met de integratiemethode substitutie.

Z Z (d) (7 − 2x)5 dx (a) sin(3x + 2) dx

B

(b) (c)

Z Z

e5x−7 dx

(e)

1 √ dx 3x − 7

(f)

Z Z

2x + 1 dx x2 + x − 2

1 dx 1 + (2x − 7)2

B?

Oefening 8. Bereken algebraı̈sch de volgende onbepaalde integralen met de integratiemethode substitutie.

Z Z 1 (a) cot(7x) dx (d) dx 7−5x+2 Z Z x4 x3 (b) dx (e) dx 2 4 5 x + 1302 sin (4x ) Z Z ln x dx (c) sin5 x cos x dx (f) x

B??

Oefening 9. Bereken algebraı̈sch de volgende onbepaalde integralen met de integratiemethode substitutie.

Z Z 8 x √ √ dx (b) dx (a) 3 7x2 + 1 1 − 5x2 Oefening 10. Bereken algebraı̈sch de volgende bepaalde integralen zonder eerst de onbepaalde integraal te berekenen (methode substitutie bij bepaalde integralen). Werk met exacte waarden!

B

(a)

Z

π 2

−π 2

B? (b)

Z

1

e

π sin 2x + dx 2 ln2 x dx x

B

?

(c)

Z

1

3

x2 e3x

−2

dx

0

B?? (d)

Z

0

√

3

Arctan5 x dx 1 + x2

V

Oefening 11. Bereken algebraı̈sch de volgende onbepaalde integralen met de integratiemethode substitutie.

Z Z x−4 3 (a) cos x dx (b) dx x2 + 1

V?

Oefening 12. Bereken algebraı̈sch de volgende onbepaalde integralen met de integratiemethode substitutie. √ √ Z Z Z tan ln( x) tan ln( x) 1 (a) dx dx (b) dx ex + e−x x x XI-59

V?

Oefening 13. Gegeven is een oneven functie f en een even functie g waarvoor geldt dat: Z 1 Z 1 |f (x)| dx = g(x) dx = 1.

0

0

Bepaal de volgende integralen. (a)

Z

1

(c)

f (x) dx

Z

1

−1

−1

(b)

Z

1

g(x) dx

(d)

Z

|f (x)| dx

1

xg(x) dx

−1

−1

Oefeningen bij §3.6 Oefening 14. Bereken algebraı̈sch de volgende onbepaalde integralen met partiële integratie.

Z Z B? (f) ln2 x dx B (a) ln x dx B

(b)

B

(c)

B? (d) ?

B (e)

Z Z Z Z

xe2x dx

B?? (g)

ln x dx x2

B?? (h)

Arctan(5x) dx

V

2

(x + 3) cos(2x) dx

(i)

?

(j)

V

Z

Z

Z Z

3x sin x dx cos x dx e2x x Arctan x dx Arcsin2 x dx

Oefening 15. Bereken algebraı̈sch de volgende onbepaalde integralen.

Z Z −2x+1 ??

B (a) e dx B (k) x3 sin x dx B

(b) (c)

B B

(d)

B

(e)

B? (f) B? (g) B? (h) B?? (i) ??

B (j)

Z Z

Z Z

Z

Z

Z Z Z

3

√ 3

x − 2 dx 2

ln(3 + x ) dx (−3x + 2)3 dx (w − 1)e−w dw √

2x + 1 dx 9x2 + 9x

u · 3 log u du x5 ln(x2 ) dx x2 dx 5x

(l)

V

log u du

(m)

V

(n)

V

(o)

V

(p)

V

(q)

V ?

V (r) ?

V (s) ??

V (t)

XI-60

Z Z

Z

Z Z

Z Z

Z

Z

esin x cos3 x dx cos3 x dx sin3 x ln(sin x) dx cos2 x √

2

t e 1−t √ dt 1 − t2 cos(2x) dx sin2 x cos2 x cos x sin xesin x dx 2

x3 ex dx ln(ln x) dx x ln x cos x e3 cot x dx sin3 x

B

Oefening 16 (toelatingsexamen Koninklijke Militaire School 1987).

Z 1 x x Bereken A = dx en interpreteer de betekenis van A op de grafiek van de functie f (x) = 2 .

2 x −4 0 x −4

B?

Oefening 17 (toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Katholieke Universiteit Leuven).

Z Bereken sin(ln x) dx.

B??

Oefening 18. Bereken telkens algebraı̈sch de oppervlakte van het gebied begrensd door alle grafieken van de opgegeven functies en rechten. (a) f (x) = ex ,

g(x) = ln x,

x=

1 , 2

Å x x ã2 cos (b) f (x) = 2 + sin , 2 2 (c) f (x) = xex ,

V

y = 0,

x=3 y = 0,

x = 0,

x=π

x = −1

Oefening 19. Waar of vals? Beoordeel de volgende redenering. Indien vals, verbeter tot een correcte berekening.

Z

1 dx = 1 + x

Z

u=

1 dx x

1 x

dv = dx

du = −

1 dx x2

v=x

⇒ 0=1 V

Oefening 20 (toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Vrije Universiteit Brussel).

Z sin(2x) Bereken dx.

(2 + sin x)2

V?

Oefening 21 (toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Vrije Universiteit Brussel).

Bereken de oppervlakte van het gebied begrensd door de krommen met vergelijking y=−

V?

x2 1 + x2

en

x2 − 1.

2

Oefening 22. Een koe heeft gras gegeten dat verontreinigd was met asdeeltjes uit een afvalverwerkingsinstallatie. Het gif wordt in het vet opgeslagen en verlaat het lichaam weer via de melk. Dagelijks wordt de concentratie gif in de melk gemeten.

De waargenomen concentraties in g/m3 zijn te modelleren met c(t) = 4te−0,2 t met t in dagen na het eten van het verontreinigde gras. De koe levert 15 liter melk per dag. De functie G(t) geeft de totale hoeveelheid uitgescheiden gif (in g) als functie van de tijd (in dagen). functies van een koe

(a) Wat is de toename van G(t) per dag? (b) Wat is de waarde van G(0)? (c) Bepaal G(t). (d) Hoeveel gif kreeg de koe binnen? Bepaal algebraı̈sch.

V??

Oefening 23 (toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Vrije Universiteit Brussel).

Z ln 2 √ Bereken ex − 1 dx.

0

XI-61

Oefeningen bij §3.7 B

√ Oefening 24. Bepaal f (x) als gegeven is dat f 0 (x) = x sin(x2 ) en f ( π) = 7.

B?

Oefening 25. Een ballon hangt stil op een hoogte van 3 km. Men gooit uit de ballon een steen naar omlaag met een beginsnelheid van 15 m/s. Bepaal de snelheid en de positie van de steen na 20 seconden.

B??

Oefening 26. Een ballon die zich op 195 m hoogte bevindt, stijgt met een snelheid 15 m/s. Op dat moment laat men een steen uit de ballon vallen, die men verder geen beginsnelheid ten opzichte van de ballon meegeeft. (a) Bepaal de maximale afstand die de steen ten opzichte van de aarde bereikt. (b) Hoe lang bevindt de steen zich in de lucht? Redenering opschrijven! (c) Bepaal de snelheid waarmee de steen op de grond terecht komt.

V

V??

U

Oefening 27. In elk punt P (x, y) op de grafiek van een functie f geldt dat y 00 = x2 − 1. Bepaal het voorschrift van f als bovendien gegeven is dat Q(1, 1) behoort tot de grafiek van f en de vergelijking van de raaklijn in Q aan de grafiek van f gegeven wordt door x + 12y = 13. √ Oefening 28. De snelheid waarmee water uit een klein gaatje in een watertank stroomt is gelijk aan 2gh, met g = 9, 81 m/s2 en h de afstand in meter van het gaatje tot de oppervlakte van het water in de tank. Bepaal de tijd die een cilindervormige (rechtopstaande) tank met een hoogte van 5 meter en straal 1 meter nodig heeft om leeg te lopen, als men onderaan een gat met straal 1 cm maakt.

Oefening 29 (eenparige rechtlijnige beweging). Een beweging waarvan de snelheid in grootte en in richting onveranderd blijft, wordt een eenparige rechtlijnige beweging genoemd, afgekort ERB. Toon aan dat de bewegingsvergelijking bij een ERB gegeven wordt door x(t) = x0 + vt waarbij x(t) de positie op de lijn op tijdstip t voorstelt, met x0 de beginpositie en v de (constante) snelheid.

U?

Oefening 30 (eenparig versnelde rechtlijnige beweging). Een beweging waarvan de versnelling in grootte en in richting onveranderd blijft, wordt een eenparig versnelde rechtlijnige beweging genoemd, afgekort EVRB. Toon aan dat de bewegingsvergelijking bij een EVRB gegeven wordt door x(t) = x0 + v0 t +

1 2 at 2

waarbij x(t) de positie op de lijn op tijdstip t voorstelt, met x0 de beginpositie, v0 de beginsnelheid en a de (constante) versnelling.

XI-62

Bijlage B Rekenregels voor onbepaalde integralen Overzicht Integratietechnieken Z Z Z Å ã f (x) ± g(x) dx = f (x) dx ± g(x) dx

Z Å Z ã rf (x) dx = r f (x) dx

Z

Z

f ( ) 0 dx = u dv = uv −

Z

Z

f (u) du

v du

lineariteit lineariteit substitutie partiële integratie

Fundamentele integralen Z

Z

Z

Z

Z

Z

0 dx = c dx = x + c 1 x dx = xr+1 + c (r ∈ R \ {−1}) r+1 r

ex dx = ex + c 1 x a dx = a + c (a ∈ R+ 0 \ {1}) ln a x

1 dx = ln |x| + c x

Z Z

Z

Z Z Z

sin x dx = − cos x + c cos x dx = sin x + c 1 dx = tan x + c cos2 x 1 dx = − cot x + c sin2 x √

1 dx = Arcsin x + c = − Arccos x + c 1 − x2

1 dx = Arctan x + c = − Arccot x + c 1 + x2

XI-63

Integralen van andere standaardfuncties Z Z Z

Z

Z Z

Z

x 1 1 dx = +c (a ∈ R0 ) Arctan a2 + x2 a a

a + x

1 1

+c dx = ln (a ∈ R0 ) a2 − x2 2a a − x

1 1

x

dx = ln

+c (a, b ∈ R, a 6= 0) x(ax + b) a ax + b



2ax + b − √D

1 

  √ ln

√ +c als D = b2 − 4ac > 0  

2ax + b + D

D      1 2 dx = als D = b2 − 4ac = 0 (a, b, c ∈ R, a 6= 0) −  ax2 + bx + c  2ax +b    Å ã    2 2ax + b  √ Arctan √ + c als D = b2 − 4ac < 0 −D −D Z

2

1 1 1

ax + bx + c − b dx = ln dx (a, b, c ∈ R, a 6= 0) ax2 + bx + c 2a 2a ax2 + bx + c a2

√

1 dx = a2 − x2

Z p Z p Z

1 dx = + x2

√

a2 + x2 dx = a2 − x2 dx =

Z

p 1

dx = ln x + k + x2 + c k + x2

Å ã x 1 dx = Arcsin √ + c (k > 0) k − x2 k Z p Z p Å ã

p 1 p k

1 p k x

k + x2 dx = x k + x2 + ln x + k + x2 + c k − x2 dx = x k − x2 + Arcsin √ +c (k > 0) 2 2 2 2 k

Z Z

Z

√

x

1

dx = ln tan

+c sin x 2

sinn x dx = −

1 n−1 sinn−1 x cos x + n n

Z

Z

sinn−2 x dx

Z

√

Å ã

1 x + π/2

dx = ln

tan

+c cos x 2

cosn x dx =

1 n−1 cosn−1 x sin x + n n

Z

cosn−2 x dx

Z Z Z 1 cos x n−2 1 1 sin x n−2 1 1 1 dx = − + dx dx = + dx sinn x n − 1 sinn−1 x n − 1 cosn x n − 1 cosn−1 x n − 1 cosn−2 x sinn−2 x Z Z Z Z 1 n xn eax dx = xn eax − xn−1 eax dx (a 6= 0) lnn x dx = x lnn x − n lnn−1 x dx a a

XI-64

Bijlage C Rekenregels voor afgeleiden - Overzicht Bewerkingen met functies 0

(f + g)0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x)

( + 4) = 0 + 40

(f · g)0 (x) = f 0 (x) · g(x) + f (x) · g 0 (x)

( · 4) = 0 · 4 + · 40

0

(f r ) (x) = rf r−1 (x) · f 0 (x)

0

0

( r ) = r r−1 · 0

(r ∈ R)

Å ã0 f f 0 (x) · g(x) − f (x) · g 0 (x) (x) = g g(x)2

Å

4

ã0

=

0 · 4 − · 4 0 42

Elementaire functies en hun samenstellingen f (x) = c (c ∈ R)

f 0 (x) = 0

f (x) = x

f 0 (x) = 1

f (x) = xr

(r ∈ R)

f (x) = ex f (x) = ax

(a ∈ R+ 0 \ {1})

f 0 (x) = rxr−1

0

( r ) = r · r−1 · 0 0

f 0 (x) = ex

e

f 0 (x) = ax ln a

a

0

= e · 0 = a ln a · 0

f (x) = ln x

f 0 (x) =

1 x

(ln ) =

f (x) = a log x

f 0 (x) =

1 x ln a

( a log ) =

f (x) = sin x

f 0 (x) = cos x

(sin ) = cos · 0

f (x) = cos x

f 0 (x) = − sin x

(cos ) = − sin · 0

f (x) = tan x

f 0 (x) =

1 cos2 x

(tan ) =

f (x) = cot x

f 0 (x) =

−1 sin2 x

(cot ) =

f (x) = Arcsin x

f 0 (x) = √

1 1 − x2

0 (Arcsin ) = √

f (x) = Arccos x

f 0 (x) = √

−1 1 − x2

0 (Arccos ) = √

f (x) = Arctan x

f 0 (x) =

XI-65

1 1 + x2

0

1 · 0

0

1 · 0 ln a

0

0

0

1 · 0 cos2

0

−1 · 0 sin2

0

(Arctan ) =

1 · 0 1 − 2 −1 · 0 1 − 2

1 · 0 1 + 2

Bijlage D Formules van de goniometrie - Overzicht definities

def

sin α cos α

cot α =

def

1 cos α

cosec α =

tan α = sec α =

def

def

grondformule

sin2 α + cos2 α = 1

aanverwanten

1 + tan2 α =

som- en verschilformules

sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β

1 cos2 α

formules van Carnot

1 + cot2 α =

sin2 α = a

cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β

2 tan α 1 − tan2 α

1 − cos(2α) 2 … =±

halveringsformules

sin

t-formules

sin α =

2t 1 + t2

cos α =

1 − t2 1 + t2

tan α =

2t 1 − t2

2

1 sin2 α

cos(2α) = cos2 α − sin2 α

sin(2α) = 2 sin α cos α tan(2α) =

1 sin α

tan α ± tan β 1 ∓ tan α tan β

tan(α ± β) = verdubbelingsformules

cos α sin α

cos2 α =

1 − cos a 2

cos

met t = tan

a 2

1 + cos(2α) 2 … =±

α 2

(formules van Simpson)

ã Å ã a+b a−b sin a + sin b = 2 sin cos 2 2 Å ã Å ã a+b a−b cos a + cos b = 2 cos cos 2 2

product-naar-som formules

sin p cos q =

Å ã 1 sin(p + q) + sin(p − q) 2

cos p sin q =

cos p cos q =

Å ã 1 cos(p + q) + cos(p − q) 2

sin p sin q = −

Å

som-naar-product formules

1 + cos a 2

ã Å ã a−b a+b sin a − sin b = 2 sin cos 2 2 Å ã Å ã a−b a+b cos a − cos b = −2 sin sin 2 2 Å

Å ã 1 sin(p + q) − sin(p − q) 2

(omgekeerde formules van Simpson)

XI-66

Å ã 1 cos(p + q) − cos(p − q) 2

Antwoorden op geselecteerde oefeningen Hoofdstuk 1 (12) (a) 1

(1) (b) 140 km

(b) t

(2) 2, 5 m

(c) t5 p (d) 1 + t2

(3) (a) 20 m, 60 m, 80 m, 60 m, 0 m (b) 40 m Z 1 (4) (a) (−x + 2) dx = 4 −1 2

(b)

Z

(2x − 1) dx = 2

0

(c) (d)

Z

3

»

−1 Z 2,9

(13) (a) R

√ (b) g 0 (t) = 2t 1 + t4 1 5 x + c (c ∈ R) 5 2 (b) − + c (c ∈ R) x (c) 2 sin x + 3 ln |x| + c (c ∈ R)

(14) (a)

4 − (x − 1)2 dx = 2π

f (x) dx =

− 23 14

(d) −4ex + c (c ∈ R) 1 1 7 (e) x5 + x4 − x3 + x2 − 8x + c (c ∈ R) 5 2 2 (f) Arctan x + c (c ∈ R)

159 70

(5) (a) 0 (b) 1 (c) −1, 5

(d) 5, 0494 . . . (e) 0, 6931 . . .

(15) (a) 18 164 (b) − 3 (c) 0 (d) ln 2

(f) 0, 3465 . . .

(6) (a) 21

(e)

(b) 12, 75 (c) 2, 25

(f)

(d) 0, 6345 . . .

(g)

(e) −0, 5

(h)

(f) 64

(i)

(g) 0, 9236 . . . (h) 1, 2388 . . . √ √ 1+ e+e+e e √ (7) 2 e (10) (a) 0 (b) −203, 33 . . .

(c) ln 5 16 (d) 3 (e) 2 8 (f) 3 ln 3

(j)

e4 1 − 2 2 √ 4 2−2 3 π 4 1 π 4 e4 1 − 2 2

(16) (a) −1 220 (b) − 3 255 (c) 2048 √ √ (d) 3 − 2 (e) 0

(f) e3 π (g) 4 (h) −

(11) (a) 0, 1, 3, 5, 3 XI-67

34 3

√ (i) 9 − 2 2 Å ã Å ã √ 3π 1 1 + (j) 2e−2 e+cot 1−cot −3 Arctan 2 4 2

(c) 4 (d) 3 (24) (a) waar

(17) 91, 466 . . . m2 (18) 3645, 833 . . . m

(b) vals 3

(c) vals (d) waar

(19) t = 16 (21) (b) e5 − 1 32 3 16 (b) 3 8 (c) 3

(22) (a) −

(25) (b)

(26) (a) (b) (c)

(23) (a) 6, 5

(d)

(b) 4

 0 als t < 0    1 f (x) dx = t als 0 ≤ t ≤ 3  −10  3 1 als t > 3

2t cos t2 + cos t

et sin3 et

− cos sin2 (t) · cos t + cos t2 3 1 − t2 − 2 2 Z

t

Hoofdstuk 2 (1) (a) 7, 5 (b) 7, 33 . . .

253 (c) 12 (d) 4, 5 125 6 1 (b) 4 9 (c) 2 3 8 (d) − ln 3 ln 2 1 (e) e2 + 2 − 2 e 4 (f) 3 20 (g) 3 4π (h) √ 3 3

(2) (a)

(3) 8 (4) 9 (5) 22 − 8 ln 4 (6) (b) 0 km/u (7) 13, 2◦ C (8) (a) 4 (b) in x = 0 (9) (a) 140 euro

1 3 (c) a = −1

(10) (a)

(12) (a) 3, 9374 . . . (b) 2, 7610 . . .

(13) (a) 8π 126π (b) ln 2 (c) 2π √ 16 2π (d) 15 3π 10 (b) π 16π (c) 3 8π (d) 3

(14) (a)

(15) π 2 (16) 7, 6126 . . . glazen (17) k 2 pπ 4 2 ab π 3 4 (b) πr3 3 Å ã k3 (19) 2a2 k + 2 π 3b (18) (a)

(20) 8926, 875 wagens (21) (b) 0 km/u2 (c) 4 km

(b) 20 euro (c) 70 ln 3 ≈ 76, 90 euro

(22) (a) 600 liter

(d) na 13, 8835 . . . dagen

(b) 375 liter XI-68

 20x       600 (c) V (x) = 1 2  x − 20x + 1275   9   375

als 0 ≤ x < 30

als 30 ≤ x < 45

als 45 ≤ x < 90

(24) 1, 5 J (25) (b) 4666, 66 . . . omwentelingen (c) 933, 33 . . . omwentelingen per minuut

als x ≥ 90

(23) 2, 177 · 10−18 J

(26) (b) 80, 55 euro

Hoofdstuk 3 (1) (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (2) (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h)

5 8 x +c 8 1 2 x − 2 ln |x| + c 2 sin x − 2 cos x + c 1 x 3 +c ln 3 2√ 3 x +c 2x − 3 1 x 2 −x+c ln 2 1 − 5 +c 5x 5 Arcsin x + c 49 √ 7 x15 + c 15 35 3 15 4 x + 12x2 − x − 56x + c 4 3 7 2 5 x − ln |x| + c 6 3 x − 3 Arctan x + c 6√ 5 4√ 3 x − x +c 5 3 7 3 3 2 x − x + 5 ln |x| + c 3 2 1 sin(2x) + c 2 1 1 x − sin(2x) + c 2 4

(3) (a) cot x + c 1 1 (b) − sin(13x) + sin(3x) + c 26 6 (4) (a) 2x + Arctan x + c Å ãx 2 5

(b) +c 5 2 ln 2 (5) (a) − cot x − x + c

(b) tan x − cot x + c

2 (6) (a) dy = − dx (3x − 1)2 Å ã x dx (b) df = 1 + √ 9 + x2 (c) du = (−2 sin(4x) + 3 cos(3x)) dx

(7) (a) − (b) (c) (d) (e) (f) (8) (a) (b) (c) (d) (e) (f) (9) (a) (b)

1 5x−7 e +c 5 2√ 3x − 7 + c 3 1 − (7 − 2x)6 + c 12

ln x2 + x − 2 + c 1 Arctan(2x − 7) + c 2 1 ln |sin(7x)| + c 7

1 − cot 4x5 + c 20 1 sin6 x + c 6 −1

+c 5 ln 17 7−5x+2

1

4 ln x + 1302 + c 4 1 2 ln x + c 2 3 » 3 (7x2 + 1)2 + c 28 √ 8 √ Arcsin( 5 x) + c 5

(10) (a) 0 1 (b) 3 Å ã 1 1 (c) e− 2 9 e 6 π (d) 4374 1 (11) (a) sin x − sin3 x + c 3

1

2 (b) ln x + 1 − 4 Arctan x + c 2 (12) (a) Arctan (ex ) + c

√

(b) −2 ln cos(ln x) + c

(13) (a) 0

(b) 2 (c) 0

2

(d) dt = e4x 8x dx 1 dx (e) dy = sin x cos x −2 (f) dv = √ dx 1 − 4x2

1 cos(3x + 2) + c 3

(d) 0 (14) (a) x ln x − x + c 1 1 (b) xe2x − e2x + c 2 4 XI-69

(c) −

ln x 1 − +c x x

1 ln 1 + 25x2 + c 10 1 2 1 1 (x + 3) sin(2x) + x cos(2x) − sin(2x) + c 2 2 4 x ln x − 2x ln x + 2x + c −3x cos x + 3x ln 3 sin x +c 1 + ln2 3 sin x − 2 cos x +c 5e2x 1 2 1 1 x Arctan x − x + Arctan x + c 2 2 2 p 2 2 x Arcsin x + 2 1 − x Arcsin x − 2x + c

(d) x Arctan(5x) − (e) (f) (g) (h) (i) (j)

1 (15) (a) − e−2x+1 + c 2 1 (b) u · 3 log u − u+c ln 3 3» 3 (x − 2)4 + c (c) 4 ã Å √ x (d) x ln(3 + x2 ) − 2x + 2 3 Arctan √ +c 3 1 (e) − (−3x + 2)4 + c 12 (f) −we−w + c 2p 2 (g) x +1+c 3 1 1 u2 + c (h) u2 · 3 log u − 2 4 ln 3 1 1 6 (i) x6 ln(x2 ) − x +c 6 18 x2 2x 2 (j) − x − x 2 − x 3 +c 5 ln 5 5 ln 5 5 ln 5 (k) −x3 cos x + 3x2 sin x + 6x cos x − 6 sin x + c (l) − cos2 x esin x + c 1 (m) − − ln |sin x| + c 2 sin2 x (n) tan x ln(sin x) − x + c (o) −e

√

1−t2

+c

(p) − cot x − tan x + c

(q) sin x esin x − esin x + c 2 1 2 1 (r) x2 ex − ex + c 2 2 1 2 (s) ln (ln x) + c 2 1 1 (t) − cot x e3 cot x + e3 cot x + c 3 9 Ç√ å 3 (16) ln 2 (17)

x (sin(ln x) − cos(ln x)) + c 2

(18) (a) e3 − (b)

√

e − 3 ln 3 +

38 3

(c) 1 −

2 e

(20) 2 ln |2 + sin x| + (21)

Å ã 5 1 1 + ln 2 2 2

4 +c 2 + sin x

π 1 − 2 3

(22) (a) G0 (t) = 0, 06 t e−0,2 t (b) 0 g (c) G(t) = −0, 3 t e−0,2 t − 1, 5 e−0,2 t + 1, 5

(d) 1, 5 g (23) 2 −

π 2

(24) f (x) = −

1 cos(x2 ) + 6, 5 2

(25) Na 20 seconden bedraagt de grootte van de snelheid 211, 2 m/s en de positie 738 m boven de grond.

(26) (a) 206, 46 . . . m (b) 8, 016 . . . s (c) 63, 64 . . . m/s (27) f (x) =

1 4 1 2 7 5 x − x + x+ 12 2 12 6

(28) 2 uur, 48 minuten en 16, 37 . . . seconden

XI-70

Referentielijst [1] A.L. Cauchy, Cours d’analyse de l’École Royale Polytechnique premiere partie Analyse Algebrique, Debure frères, Libraires du Roi et de la Bibliothèque du Roi, 1821.

[2] G. Coriolis, Du Calcul de l’effet des Machines, ou Considérations sur l’emploi des Moteurs et sur Leur Evaluation, Paris: Carilian-Goeury, Libraire, 1826.

[3] J.H. Davenport, On the integration of algebraic functions, Berlin: Springer-Verlag, 1981.

[4] W. Dunham, The calculus gallery, Princeton University Press, 2005.

[5] H. Eves, An introduction to the history of mathematics, fifth edition, Saunders College Publishing, 1983.

[6] J.B.J. Fourier, Théorie analytique de la chaleur, Paris: Firmin Didot Père et Fils, 1822.

[7] J. Gregory, Geometriae Pars Universalis, Padua, 1668.

[8] E. Hairer, G. Wanner, Analysis by its history, Springer-Verlag, New York, 1996.

[9] R. Hooke, Lectures de Potentia Restitutiva, Or of Spring Explaining the Power of Springing Bodies, John Martyn, London, 1678.

[10] C. Jordan, Remarques sur les intégrales définies, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, Vol. 4(8), p.

69-100, 1892.

[11] H. Lebesgue Leçons sur l’intégration et la recherché des fonctions primitives, Gauthier-Villars, 1904.

[12] G.W. Leibniz, De geometria recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum, Acta Eruditorum 5, p. 292-300, 1686.

[13] I. Newton, Philosophiae naturalis principia mathematica, London: William Dawson & Sons, 1687.

[14] K. Nilakantha Somayaji, Tantrasamgraha, 1501.

[15] J. Stillwell, Mathematics and its history, Springer, New-York, 1989.

[16] Website Wikipedia, http://en.wikipedia.org/

en http://en.wikipedia.org/

XI-71

.