Vijf Minuten Wiskunde een verzameling van kortverhalen geschreven door
Koen De Naeghel
18 april 2018
CREATIVE COMMONS Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 (CC BY-NC-SA) Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie. De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode De gebruiker mag: het werk kopiëren, verspreiden en doorgeven Remixen - afgeleide werken maken
Onder de volgende voorwaarden: Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam te vermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik van het werk). Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerciële doeleinden gebruiken. Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfde licentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid.
Met inachtneming van: Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden met voorafgaande toestemming van de rechthebbende. Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijke wetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze beı̈nvloed door de licentie. Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht: • Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet. • De morele rechten van de auteur • De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals het portretrecht of het recht op privacy. Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aan derden. De beste manier om dit te doen is door middel van een link naar de webpagina http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/ .
Gepubliceerd door: Online uitgever Issuu.com Auteursrecht omslagfoto: coramax / 123RF Stock Photo http://nl.123rf.com/profile coramax Tekstzetsysteem: LATEX Royalty percentage: 0% c 2018 Koen De Naeghel Gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0
INHOUDSOPGAVE ? Hoezo, een positief getal?
1
? Kun je rekenen op je rekenmachine?
2
? Wat is jouw verjaardagsbreuk?
3
? Kan een octopus het WK voetbal voorspellen?
4
Bronvermelding
5
i
? HOEZO, EEN POSITIEF GETAL? Wanneer je in Nederland spreekt over positieve getallen, dan betekent dat iets anders dan in België. De betekenis van een positief en een negatief reëel getal a gaat als volgt: Nederland
België
a>0 a<0
a≥0 a≤0
a positief a negatief
Getallen groter dan nul worden in België strikt positief genoemd, getallen kleiner dan nul noemen we daar strikt negatief. In Nederland is het getal 0 niet positief en ook niet negatief, gewoonlijk geschreven als niet-positief en niet-negatief. In België is nul zowel positief als negatief.
het getal 0
Nederland
België
niet-positief en niet-negatief
positief en negatief
√ Daarom moet je het symbool x anders voorlezen in Nederland dan in België. Is x ≥ 0 een reëel getal dan bedoelen we met een vierkantswortel uit x een reëel getal a waarvoor a2 = x. De notatie voor het wortelteken wordt nu als volgt vastgelegd: √ x = a ⇔ x = a2 en a ≥ 0. De eis dat a ≥ 0 laat zich in beide landen anders voorlezen, en het verschil duikt op precies wanneer x = 0. √
x
Nederland
België
de niet-negatieve vierkantswortel uit x
de positieve vierkantswortel uit x
Ook de notaties voor de positieve en negatieve reële getallen betekenen er iets anders.
R
+
Nederland
België
{x ∈ R | x > 0}
{x ∈ R | x ≥ 0}
Willen we in België de verzameling van strikt positieve reële getallen noteren, dan schrijven we R+ 0 , lees als R zonder 0. Om deze verwarring weg te nemen, gebruikt men steeds vaker notaties als R≥0 en R>0 enzovoort. De internationale conventie komt overeen met die van Nederland: positive number a betekent a > 0. Rare jongens, die Belgen! 1
? KUN JE REKENEN OP JE REKENMACHINE? Als we met de grafische rekenmachine TI-84 Plus het volgende intikken r 53 · 68 116 dan verkrijgen we na het toepassen van math frac het volgende resultaat.
Maar mogen we daaruit besluiten dat r 53 · 68 ? 22317 = 116 2050 Als we kijken naar de getallen die onder het wortelteken staan, dan zien we dat de teller en de noemer onderling ondeelbaar zijn. Als we die vierkantswortel vereenvoudigen (deze keer zonder gebruik te maken van het rekentoestel), dan verkrijgen we r 53 · 68 5 · 64 √ = · 5. 6 11 113 Dit kan nooit gelijk zijn aan het resultaat uit het rekentoestel, omdat de positieve vierkantswortel van 5 een irrationaal getal is en je dit niet als een breuk kunt schrijven. Dat deze twee getallen verschillend zijn, hadden we ook kunnen zien door een computeralgebrapakket te gebruiken om wat meer cijfers na de komma te bepalen: r 53 · 68 22317 = 10, 886 341 468 21 . . . terwijl = 10, 886 341 463 41 . . . 6 11 2050 Zelfs in tijden van moderne computertechnologie blijft het onzettend belangrijk om resultaten met een kritische bril te bekijken. Berekenen met een rekenmachine of computer is ontzettend handig, maar reken vooral op je gezond verstand!
2
? WAT IS JOUW VERJAARDAGSBREUK? Wanneer je het getal
738 013 66 660
als decimale vorm schrijft, dan vind je
738 013 = 11, 07 1302 1302 1302 . . . 66 660 Je herkent er de datum van de Guldensporendag in! Hoe maak je zelf zo’n breuk? Elk reëel getal r kan geschreven worden als een decimale vorm r = a0 , a1 a2 a3 a4 . . . waarbij a0 een geheel getal is en a1 , a2 , a3 , a4 , . . . cijfers zijn, die we decimalen noemen. Zo is bijvoorbeeld −
19 = −2, 375 000 00 . . . 8
en
5 = 0, 454 545 45 . . . 11
en
π = 3, 141 592 85 . . .
Soms kunnen we in zo’n decimale vorm een eindig aantal opeenvolgende decimalen aanduiden die zich voortdurend herhalen. In dat geval spreken we van een repeterende decimale vorm. Er is dan altijd een kleinst mogelijke keuze van zo’n reeks opeenvolgende decimalen die we de periode van de decimale vorm noemen. Die periode kan bijvoorbeeld aangeduid worden door te onderlijnen wanneer ze de eerste keer optreedt: −
19 = −2, 375 000 00 . . . 8
en
5 = 0, 454 545 45 . . . 11
De eerste decimale vorm heeft periode 0 en in zo’n geval laat men die nullen meestal weg, maar strikt genomen horen ze er wel te staan! Elk rationaal getal kan geschreven worden in een repeterende decimale vorm. Die kun je terugvinden door de lange deling van de teller met de noemer uit te voeren. In de lagere school heb je geleerd hoe je zo’n staartdeling kan maken. Het omgekeerde is ook waar: elke repeterende decimale vorm stelt een quotiënt van twee gehele getallen voor. Volgend voorbeeld laat zien hoe je dat quotiënt kan terugvinden. q = 1071 1111, 07 1302 1302 . . . 100 q = 1071 1107, 1302 1302 . . . 1 000 000 q = 11 071 302, 1302 1302 . . . Trekken we de laatste vergelijking van de voorlaatste af, dan vinden we 999 900 q = 11 070 195 zodat q=
11 070 195 738 013 = . 999 900 66 660
Op die manier kun je nu ook jouw verjaardagsbreuk te weten komen! 3
? KAN EEN OCTOPUS HET WK VOETBAL VOORSPELLEN? Tijdens het FIFA wereldkamioenschap voetbal in 2010 verwierf Paul de Octopus een grote bekendheid. Men liet Paul kiezen tussen de vlaggen van twee landen die het tegen elkaar opnamen. Zijn voorkeur werd opgevat als de voorspelling van het winnende team. In het totaal deed hij acht voorspellingen en elke keer had hij het goed! Laat ons even veronderstellen dat Paul de Octopus telkens een willeurige vlag koos. Dan waren de voorspellingen van Paul niet beter dan het opgooien van een eerlijk muntstuk.
Paul de Octopus (2008 - 2010)
De kans dat Paul zijn acht voorspellingen volledig goed had, is dan gelijk aan de kans dat je bij het opgooien van een muntstuk acht keer na elkaar kruis gooit. Omdat je bij elke worp twee mogelijkheden hebt (kruis of munt), is het totaal aantal mogelijke uitkomsten voor acht keer gooien gelijk aan 28 = 256. Het resultaat van een worp hangt niet af van de vorige worpen - een muntstuk heeft immers geen geheugen - zodat elk van die 256 uitkomsten even waarschijnlijk is. Dus de kans dat Paul zijn acht voorspellingen juist had, was gelijk aan 1 = 0, 3906 . . . %. 256 Verbazend, want toch was het Paul gelukt! Dat kan niet toevallig zijn, toch? Het verhaal werd door de media opgepikt, en heel wat verklaringen deden de ronde. Zo zou de octopus een voorkeur hebben voor felle kleuren die in bepaalde vlaggen te zien zijn. Anderen beweerden dan weer dat hij zich aangetrokken voelde tot vlaggen met die voorzien zijn van een groot logo, zoals dat bij de vlag van Spanje het geval is. Of zou Paul dan toch een buitenaards wezen zijn? Eigenlijk waren er toen nog heel wat andere dieren die voetbalwedstrijden voorspelden, maar die de media niet haalden omdat hun voorspellingen heel wat minder juist waren. Zo had je Petty het Dwergnijlpaard, Jimmy de Cavia, Leon het Stekelvarken, Anton het Klauwaapje, Mani de Parkiet, Pino de Chimpansee, Sayco de dolfijn enzovoort. Op het volgende WK voetbal maken we ons eigen orakel. We kopen een paar duizend octopussen die we allemaal acht voorspellingen laten doen. Statistisch gezien zal er dan wel een octopus bij zijn die elke match juist gegokt heeft. Die verdient dan een plaats in de geschiedenis. Rest nog de vraag wat we met de duizenden andere octopussen zullen doen die geen goed orakel blijken te zijn. . . 4
calamares
BRONVERMELDING 1. Hoezo, een positief getal? Aanleiding: C. Impens, Wiskunde vanaf nul, De Nobele Gent, 2016 (p.41, p.190) Afbeelding: https://hackenepush.wordpress.com Bronnen: https://nl.wikipedia.org/wiki/Positief getal https://en.wikipedia.org/wiki/Positive real numbers 2. Kun je rekenen op je rekenmachine? Aanleiding: gesprek met Lieselot Vergauwe, leerkracht wiskunde Afbeelding: https://www.frontiersin.org/ 3. Wat is jouw verjaardagsbreuk? Afbeelding: https://i.pinimg.com/ Taalkundige verbetering: Bram Hendrickx, leerkracht Nederlands 4. Kan een octopus het WK voetbal voorspellen? Afbeeldingen: http://www.thehindu.com/ https://www.tapasclub.eu/
5