1.
2)
4. 1) CA, CD, CM, CN –
– MN, MF, NF, FN, FM, NM 7.
8. 1) Так, прямі m і CB перетинаються.
2) Прямій m належать точки A i L.
3) Прямій ВС належать точки С, В і Q
4) Ані
9.
можна ще назвати: BD, DB, BC, DC
і D
1) DP, DF, DE, EP, EF, PF.
2) Всього утворилося шість прямих.
1) Утворилися
2) Всього утворилося три прямих.
3) Прямі розбивають площину на 7 частин. 11.
Точки
належать одному променю, якщо вони лежать по один бік від точки А.
Точки
12. (800 + 600) · 2 = 2800 (м) = 2,8 (км) – периметр парку; 1) 2,8 : 14 = 0,2 (год) = 60 · 0,2 = 15 (хв.) – витрачає на пробіжку Вадим; 2) 2800 : 50 = 56 (м/хв) – швидкість батьків Вадима.
Відповідь: 1) 15 хв, 2) 56 м/хв.
13.
14.
1) відрізки з кінцем у точці М: АМ, BM, NM; 2) відрізки з
у точці N: BN, AN, MN; 3) відрізки з кінцем у точці А: MA, BA, NA; 4) відрізки з кінцем у точці В: AB, MB, NB.
15. Найменша
62 – 50 = 12 мм Відрізок AB < CD на 12 мм.
16. На рисунку зображені відрізки: АВ, АК, ВК, ВМ. АК = 38 мм, МВ = 12 мм.
17. На рисунку зображені відрізки: РС, PD, CD, PT. PC = 9 мм, PD = 31 мм, PT = 27 мм. 18. CD = 40 мм
19. АВ = 7 см 2 мм, MN = 6 см 3 мм. AB > MN, оскільки з двох відрізків
вважають той, довжина якого більша.
20. KL = 5 см 9 мм, FP = 6 см 8 мм. FP > KL, оскільки
21. Оскільки довжина відрізка дорівнює сумі
-якою
1) АВ = АС + СВ = 5 см + 2 см = 7 см.
2) АВ = АС + ВС. Звідси ВС = АВ – АС = 12 дм – 9 дм = 3 дм.
22. 1) PQ = PK + KQ = 3 дм + 7 дм = 10 дм.
2) PQ = PK + KQ. Звідси PK = PQ – KQ = 8 см – 6 см = 2 см.
23. 1) Точки К, L і M лежать на одній прямій, оскільки KM = KL + LM, KM = 8 см + 3 см = 11 см. Точка L лежить між точками К і M
2) Точки К, L і М не лежать на одній прямій, оскільки
Точка
АВ = 120 мм, ВС = 150 мм.
= CD + BC. Оскільки АВ = CD, маємо BD = AB + BC, тому AC = BD.
28. Згідно з основною
=
+ ВС, BD = CD + BC. Оскільки АС = BD, маємо AB + BC = CD + BC. Звідси AB = CD.
29. Згідно з основною властивістю вимірювання відрізків маємо: AB = AC + CB, звідси CB = AB – AC = 40 см – 25 см = 15 см; AB = AD + BD, звідси AD = AB – BD = 40 см – 32 см = 8 см;
AB = AD + CD + CB, звідси CD = AB – AD – CB = 40 см – 15 см – 8 см = 17 см.
Відповідь: 17 см.
30. 1) CN = MN – MC = 50 см – 40 см = 10 (см)
2) CD = ND – CN = 16 см – 10 см = 6 (см)
Відповідь: 6 см.
31. Задача має два розв’язки.
, тоді CD = CM + MD = 5,2 см + 4,9 см = 10,1 см.
см – 4,9 см = 0,3 см.
Відповідь: 10,1 см; 0,3 см.
32.Задача має два розв’язки.
І випадок.
AN = AM + MN = 7,2 см + 2,5 см = 9,7 см.
ІІ випадок.
AN = AM – MN = 7,2 см – 2,5 см = 4,7 см.
33. 1) AC втричі менший від BC:
Нехай AC = x, тоді BC = 3x.
Відрізок AB складається з AC і BC:
AC + BC = AB
x + 3x = 14 дм
4x = 14 дм
x = 3,5 дм – АС.
BC = 3 ⋅ 3,5 дм = 10,5 дм
2) AC більший за BC на 1,8 дм:
Нехай AC = y + 1,8, тоді BC = y.
Відрізок AB складається з AC і BC:
AC + BC = AB
(y + 1,8) + y = 14 дм
2y + 1,8 = 14 дм
2y = 14 дм – 1,8 дм
2y = 12,2 дм
y = 6,1 дм – ВС.
AC = 6,1 дм + 1,8 дм = 7,9 дм
3) AC : BC = 3 : 2:
Нехай AC = 3z, а BC = 2z.
Відрізок AB складається з AC і BC:
AC + BC = AB
3z + 2z = 14 дм
5z = 14 дм
z = 2,8 дм – АВ.
AC = 3 ⋅ 2,8 дм = 8,4 дм
BC = 2 ⋅ 2,8 дм = 5,6 дм
Тепер
8,4
7,9 дм 6,1 дм 5,6 дм 3,5
Х А Р К І В
Перша столиця України - Харків.
34. 1) CM більший за DM на 0,6 см:
Нехай DM = x, тоді CM = x + 0,6.
Відрізок CD складається з CM і DM:
CM + DM = CD
(x + 0,6) + x = 8,4 см
2x + 0,6 = 8,4 см
2x = 8,4 см – 0,6 см
2x = 7,8 см
x = 3,9 см – DM.
CM = 3,9 см + 0,6 см = 4,5 см
2) CM : DM = 1 : 3:
Нехай CM = y, а DM = 3y.
Відрізок CD складається з CM і DM:
CM + DM = CD
y + 3y = 8,4 см
4y = 8,4 см
y = 2,1 см – СМ.
DM = 3 ⋅ 2,1 см = 6,3 см
Тепер
СМ більший за
СD : DM = 1 : 3
см
Прізвище українського
35. 1) Площа круга
S = πr²
де r - радіус круга,
π - математична константа.
Для r = 200 м:
S = π ⋅ (200 м)²
S = 3,14 ⋅ 40000 м²
S = 125600 м²
2) Довжина мотузка,
круга:
C = 2πr
де r - радіус круга.
Для r = 200 м:
C = 2π ⋅ 200 м
C = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 200 м
C = 1256 м
Відповідь: 125600 м²; 1256 м.
36. 1) 52° - гострий кут (менше 90°)
2) 180° - розгорнутий
3)
4)
5)
6)
= 90°;
2) ∠АВС = 130°, ∠DBC = 70°.
3) ∠ABD = ∠ABC - ∠DBC = 130° - 70° = 60°.
45. ∠АМК = 45°, ∠PLF = 90°, ∠BNC = 100°.
BD – бісектриса кута АВС. ∠ABD = 70°, ∠DBC = 70°.
49. BD – бісектриса кута АВС. ∠АBD = 25°, ∠DBC = 25°.
50. 1) 7°13´ + 12°49´ = (7° + 12°) + (13´ + 49´) = 19° + 62´ = 19°+ 1°12´ = 20°12´ 2) 52°17´ - 45°27´ = 51°77´ - 45°27´ = 6°50´
51. 1) 4° = 4 ⋅ 60´ = 240´ 2°15´ = 2 ⋅ 60´ + 15´= 120´+ 15´ = 135´
2) 5´ = 5 ⋅ 60´´= 300´´
2° = 2 ⋅ 60´ ⋅ 60´´ = 7200´´
1°3´ = 60 ⋅ 60´´ + 3 ⋅ 60´´ = 3780´´
52. Оскільки
= ∠ВОК + ∠КОС = 38° + 42° = 80°. Відповідь:80°.
53.
= 108° - 68° = 40°.
54.
55. 1) 180°; 2) 90°; 3) 30°; 4) 120°.
56. 1) 90°; 2) 180°; 3) 150°; 4) 60°.
57.
= 2 3
Згідно з умовою задачі ∠ВАК = 60% ∠МАВ. Отже, ∠ВАК = 70° ⋅ 0,6 = 42°.
∠МАК = ∠МАВ + ∠ВАК = 70° + 42° = 112°.
Відповідь:112°.
59.
Нехай АОС – заданий кут. ОМ – продовження сторони ОА
ОК – бісектриса кута АОС. ∠АОМ – розгорнутий, ∠АОМ = 180°.
∠КОМ = 142°, ∠АОМ = ∠АОК + ∠КОМ.
Отже, ∠АОК = 180° - 142° = 38°.
Оскільки ОК –
Тоді ∠АОС = ∠АОК + ∠КОС = 38° + 38° = 76°.
Відповідь:76°. 60.
1. Нехай ∠PQB = х, тоді ∠MQP = 4х. Градусна
кутів, на які
∠MQB = ∠MQP + ∠PQB. Складемо рівняння:
4х + х = 120°
5х = 120°
х = 24°
Отже, ∠PQB = 24°, ∠MQP = 24° ⋅ 4 = 96°.
2. Якщо ∠PQB : ∠MQP = 3 : 2, то
∠PQB = 3х, ∠MQP = 2х, тоді
3х + 2х = 120;
5х = 120°
х = 24°
Отже, ∠PQB = 3 ⋅ 24° = 72°, ∠MQP = 2 ⋅ 24° = 48°.
3. Якщо ∠PQB на 20° > ∠MQP, то
∠MQP = х, ∠PQB = х + 20°
За властивістю кутів:
х + х + 20 = 120
2х = 100
х = 50
Отже, ∠MQP = 50°, ∠PQB = 50° + 20° = 70°.
Відповідь:КРАВЧУК.≈ 62.
1. Нехай ∠САN = х, тоді ∠МАС = х + 14. Оскільки ∠MAN = ∠МАС + ∠СAN (згідно з основною властивістю вимірювання кутів), то маємо:
х + х + 14 = 84
2х = 84 – 14
2х = 70
х = 35
Отже, ∠САN = 35°, ∠МАС = 35° + 14° = 49°.
2. Якщо ∠МАС у 3р. < ∠САN, то
∠МАС = х; ∠САN = 3х
За властивістю кутів:
х + 3х = 84
4х = 84
х = 21
Отже, ∠МАС = 21°; ∠САN = 21 · 3 = 63°
Відповідь:ВАРШАВА.
63.
Оскільки ∠АОВ = ∠АОК + ∠КОВ, то ∠КОВ = ∠АОВ - ∠АОК = 180° - 140° = 40°.
Оскільки ∠BOL = ∠LOK + ∠KOB, то ∠LOK = ∠BOL - ∠KOB = 100° - 40° = 60°.
Відповідь:60°. 64.
Оскільки ∠COD = ∠COM + ∠MOD, то ∠СОМ = ∠COD - ∠MOD = 90° - 80° = 10°
∠CON = ∠COM + ∠MON
∠MON = ∠CON - ∠COM = 70° - 10° = 60°.
Відповідь:60°.
65. 28 м 50 см = 28,5 м
1) S = 28,5 ⋅ 16 = 456 (м2) – площа теплиці.
2) 456 ⋅ 30 = 13680 (кг) – кількість огірків.
3) 13680 ⋅ 18 = 246240 (грн) – виторг.
Відповідь:родина збере 13680 кг огірків; виторг
246240 грн.
66.
Відповідь:Кравчук.
KL = 6 см 8 мм; КР = 43 мм = 4 см 3 мм.
KL = KP + PL (за основною
Звідси PL = KL – KP = 6 см 8 мм – 4 см 3 мм = 2 см 5 мм.
Відповідь:2 см 5 мм.
74. MN = MA + AN; MN = MB + BN
75. 1) Відрізок АВ можна
76.
АВ = 20 см, то АС = СВ = АВ 2 = 10 см
AD = 1 2 �������� = 1 2 ∙ 10 = 5 (см)
АВ = AD + DB, звідси DB = AB – AD = 20 – 5 = 15 (см)
2) Якщо ВС = 12 дм, то АВ = 12 ⋅ 2 = 24 (дм)
АС = ВС = 12 дм
AD = 1 2 �������� = 1 2 ∙ 12 =6 (дм)
DB = AB – AD = 24 – 6 = 18 (дм)
77.
CN = CD – DN = 15 – 11 = 4 (см)
NM = CM – CN = 12 – 4 = 8 (см) Відповідь:8 см.
78. 1
на n + 1 частини.
80.
81.
82.
83.
повернеться на 90°, за 7 хв – на 42°, за 23 хв – на 138°. 2) За 12 годин
повертається на 360° : 12 = 30°, тому за 1 хв стрілка
30° : 60 = 0,5° = 30´, за 6 хв – на 30´ ⋅ 6 = 180´ = 3°, за 40 хв –
85. ОК – бісектриса, ∠АОВ = 120°,
OL – бісектриса кута КОВ, отже,
∠LOK = 1 2 ∠K�������� = 1 2 ∙ 60° = 30°.
= 2∠LOB = 2 ⋅ 37° = 74°
кута АОВ, отже, ∠АОВ = 2∠КОВ = 2 ⋅ 74° = 148°
86. 1) ∠АОЕ = ∠АОВ + ∠ВОС + ∠COD + ∠DOE (згідно з основною
вимірювання кутів).
Оскільки ∠АОВ = ∠ВОС, ∠COD = ∠DOE, то ∠АОЕ = 2(∠ВОС + ∠COD) = 2∠BOD
∠BOD = ∠AOE : 2 = 140° : 2 = 70°.
2) ∠BOD = ∠AOB + ∠DOE, оскільки ∠BOD = ∠BOC + ∠COD і ∠AOB = ∠BOC, ∠COD = ∠DOE. Отже, ∠АОЕ = 2∠BOD = 2 ⋅ 73° = 146°
Відповідь:1) 70°; 2) 146°.
Введемо коефіцієнт пропорційності х, тоді ∠АОМ = 3х, ∠МОВ =4х.
∠АОВ = ∠АОМ + ∠МОВ. Складемо рівняння:
3х + 4х = 168
7х = 168
х = 24
Отже, ∠АОМ = 3 ⋅ 24° = 72°, ∠МОВ = 4 ⋅ 24° = 96°.
Відповідь:72° і 96°.
РОЗДІЛ 2.
Аксіоми,
88. На малюнках Мал. 5.2, 5.4 та Мал. 5.5 кути 1 і 2 є суміжними. Це означає,
89. 1) Ні, два суміжні кути не можуть дорівнювати 42° і 148°, оскільки 42° + 148° = 190°, а сума суміжних кутів дорівнює 180°.
2) Так, оскільки 90° + 90° = 180°.
3) Так, суміжні кути можуть дорівнювати 166° і 14°, оскільки 166° + 14° = 180°.
4) Ні, суміжні кути не можуть дорівнювати 23° і 156°, оскільки 23° + 156° = 179°, а сума суміжних кутів дорівнює 180°.
90. 1) Так, оскільки 13° + 167° = 180°.
2) Ні, оскільки 5° + 165° = 170°, а сума суміжних кутів дорівнює 180°.
3) Ні, оскільки 11° + 179° = 190°, 190° не дорівнює 180°.
4) Так, оскільки 91° + 89° = 180°.
91. 1) Позначемо невідомий
15° + х = 180°
х = 180° - 15°
х = 165°
2) Позначимо невідомий
+ х = 180°
х = 180° - 113°
х = 67°
Відповідь: 165°; 67°.
92. 1) Позначемо
93. Проведемо
∠KON = ∠KOM - ∠NOM = 180° - 50° = 130°
Відповідь: 130°
94. Побудуємо промінь
кутів дорівнює 180°.
∠АРС + ∠АРВ = 180°
∠АРС + 115° = 180°
∠АРС = 180° - 115° = 65°
Відповідь: 65°.
95.
BOD
72°, ∠COD = 15°.
∠BOD = ∠BOC + ∠COD = 72° + 15° = 87°
∠AOB суміжний з кутом BOD. Оскільки
∠BOD + ∠AOB = 180°
∠AOB = 180° - ∠BOD = 180° - 87° = 93°
Відповідь: 93°.
96. МК – бісектриса кута М, ∠KML = 36°, ∠LMK = ∠KMN
два різних кути.
∠LMK = ∠KMN = 36°
∠LMN = ∠LMK + ∠KMN (згідно з
LMN = 36° + 36° = 72°. ∠BML суміжний
дорівнює 180°, то ∠BML + ∠LMN = 180°,
∠BML = 180° - ∠LMN = 180° - 72° = 108°. Відповідь: 108°. 97. Спільна
99. Оскільки суміжні кути рівні, то
х + х = 180° (оскільки сума суміжних
цих суміжних кутів – прямий.
100. Нехай кожен з рівних кутів – х. Тоді кожен суміжний кут з
180° - х, оскільки сума суміжних
дорівнює 180°. Отже, кути, суміжні з рівними кутами, рівні.
101. 1) Нехай ∠АОВ = х, тоді ∠СОА = х + 18°, маємо:
х + х + 18° = 180°
2х = 162°
х = 81° - ∠АОВ
∠СОА = 81° + 18° = 99°
2) Нехай ∠АОВ = х, тоді ВОС = 3 7 х, маємо:
х+ 3 7 х= 180°
10 7 х= 180°
х= 180 ∶ 10 7
х = 126° - ∠АОВ
ВОС = 3 7 ∙ 126° = 54°
Відповідь: 1) 81° і 99°; 2) 126° і 54°.
102. 1) Нехай ∠АОВ = х, тоді ∠СОА = 3х, маємо:
х + 3х = 180°
4х = 180°
х = 45° - ∠АОВ.
∠СОА = 3 ⋅ 45° = 135°
2) х + 0,25х = 180
1,25х = 180
х = 180 : 1,25
х = 144°
180° - 144° = 36°
Відповідь: 1) 45° і 135°; 2) 144° і 36°.
103. ∠РМК = 140° може бути
= 2х,
LNS = 5х, тоді за теоремою про суміжні
+ РМК = 180°
2х + 140 = 180
2х = 40
х = 20°
М = 2 ⋅ 20 = 40°
N = 5 ⋅ 20 = 100°
Відповідь: 40° і 100°.
104. За
∠
А = 180° - 80° = 100°
4х = 100°
х = 25°
∠В = 3 ⋅ 25° = 75°
Відповідь: 100° і 75°.
105. Нехай
=
Відповідь: 90°.
106. Оскільки ∠АОВ : ∠KQM = 1 : 2, то нехай ∠АОВ = х, ∠KQM = 2х, тоді:
= 180° - х, ∠MQL = 180° - 2х. За умовою ∠BOC : ∠MQL = 7 : 5, тому:
180°−х
180°−2х = 7 5
5(180° - х) = 7(180° - 2х)
900° - 5х = 1260° - 14х
9х = 360°
х = 40° - ∠АОВ.
∠KMQ = 2 ⋅ 40° = 80°.
Відповідь: 40° і 80°.
107. Нехай ∠АОВ = х, ∠KQM = х + 20°, тоді: ∠ВОС = 180° - х, ∠MQL = 180° - (х + 20°).
Оскільки ∠АОВ < ∠KQM, то ∠ВОС > ∠MQL. За умовою ∠MQL: ∠BOC = 5 : 6, тому:
160°−х
180°−х = 5 6
960° - 6х = 900° - 5х
х = 60° - ∠АОВ.
∠KMQ = 60° + 20° = 80°.
Відповідь: 60° і 80°.
108. Нехай один із суміжних кутів дорівнює х,
Припустимо для визначеності, що х > 180° - х.
1 випадок:
х = 2(х – (180° - х))
х = 2(2х - 180°)
х = 4х – 360°
3х = 360°
х = 120°
Суміжний з ним кут - 60°.
2 випадок:
180° - х = 2(х - 180° - х))
180° - х = 2(2х - 180°)
180° - х = 4х - 360°
5х = 540°
х = 108°
Суміжний з ним кут - 180° - 108° = 72°.
Відповідь: 120° і 60° або 108° і 72°.
110. Відстань між точками А і С може дорівнювати або 2,7 + 3,6 = 6,3 (см),
3,6 – 2,7 = 0,9 (см).
Відповідь: 1) ні; 2) так; 3) ні; 4) ні; 5) так; 6) ні.
111. S кільця = S великого круга – S меншого круга
���� кільця =�������� 2 − �������� 2 = ���� (���� 2 − ���� 2 )
S кільця = 3,14 ⋅ (15² - 10²) = 3,14 ⋅ (225 – 100) = 3,14 ⋅ 125 = 392,5 (м²)
Відповідь: 392,5 м².
112. 1) КУТ; 2) ПРЯМА; 3) ЕВКЛІД; 4) ГЕОМЕТРІЯ.
§6. Вертикальні кути. Кут між двома прямими, що перетинаються
113. ∠АМР і ∠TMF; ∠AMF і ∠РМТ.
114. Ні, немає.
115. 1) За властивістю вертикальних кутів – вертакальні кути рівні. Отже, кут, вертикальний до кута 15°, дорівнює 15°.
2) За властивістю вертикальних кутів – вертикальні кути рівні. Отже, кут, вертикальний до кута 129°, дорівнює 129°.
116. 1) За властивістю вертикальні кути рівні. Отже, кут, вертикальний до кута 42°, дорівнює 42°.
2) За властивістю вертикальні кути рівні. Отже, кут, вертикальний
117. На мал. 65 пари вертикальних
суміжних кутів ∠KPL + ∠LPM = 180°, звідси ∠KPL = 180° - ∠LPM; ∠KPL = 180° - 40° = 140°. ∠KPL і ∠NPM –
вертикальні кути рівні, отже, ∠NPM = 140°.
Відповідь: 40°; 140°; 140°.
119. ∠AML та ∠РМВ – вертикальні кути. ∠РМВ = ∠AML = 120°.
∠AML та ∠LMB – суміжні, отже, їх сума дорівнює 180°. ∠AML + ∠LMB = 180°, звідси
∠LMB = 180° - ∠AML; ∠LMB = 180° - 120° = 60°.
∠AMP та ∠LMB – вертикальні. ∠АМР = ∠LMB = 60°.
Відповідь: 60°; 120°; 60°.
120. Ні, кут між прямими – менший
180° - 130° = 50°.
121.
122. CD і АВ – прямі,
Відповідь: 55°.
123. ∠MON та ∠KOL – вертикальні, ∠МОК та ∠NOL – вертикальні.
За властивістю вертикальні кути рівні, отже, ∠КОL = ∠MON = 110°.
∠МОК та ∠MON – суміжні, отже, ∠МОК + ∠MON = 180°, звідси ∠МОК = 180° - ∠MON = 180° - 110° = 70°.
∠NOL = ∠MOK = 70°.
Відповідь: 70°; 70°; 110°.
124. Оскільки OD доповняльний промінь
∠АОВ та ∠DOP, ∠DOA та ∠РОВ – вертикальні. За
∠DOP = ∠AOB = 30°.
DOA
∠DOA + ∠AOB = 180°, ∠DOA + 30° = 180°, ∠DOA = 150°. ∠POB = ∠DOA = 150°.
Відповідь: 30°; 150°; 150°.
125. 1) Оскільки
Розглянемо
+ х = 180°
2х = 180°
х = 90°
Відповідь:
Нехай ∠1 = х, тоді ∠2 = х + 18°, тоді:
х + х + 18° = 180°
2х = 162°
х = 81°
х + 81° = 81° + 18° = 99°
Кут між прямими – найменший з утворених.
2) ∠1 + ∠2 + ∠3 = 293°; отже, ∠3 = 293° - 180° = 113°.
Тоді ∠2 = 180° - 113° = 67° - кут між прямими.
3) х + 4 5 х = 180
1,8х = 180
х = 180 : 1,8
х = 100°
180° - 100° = 80°
Відповідь: 1) 81°; 2) 67°; 3) 100°.
128. 1) Два кути, які утворилися при
Оскільки вертикальні кути рівні, то
Нехай ∠1 = х, тоді ∠2 = 2х, тоді:
х + 2х = 180°
3х = 180°
х = 60° - кут між прямими.
2) х + 0,2х = 180
1,2х = 180
х = 180 : 1,2
х = 150°
180° - 150° = 30°
Відповідь: 1) 60°; 2) 30°.
129. ∠АМК = ∠СМР (як вертикальні)
у задачі, - суміжні.
∠СМР = 180° - (∠ВМС + ∠LMP) = 180° - (20° + 60°) = 100°, отже ∠АМК = 100°
Відповідь: 100°.
130. ∠АМВ = ∠LMP (як вертикальні)
∠LMP = 180° - (∠KML + ∠CMP) = 180° - (25° + 105°) = 50°, отже ∠АМВ = 50°.
Відповідь: 50°.
131. ∠4 = ∠1 (як вертикальні)
∠1 + ∠2 + ∠3 = ∠4 + ∠2 + ∠3 = 180°
Відповідь: 180°.
132. Нехай ∠СОВ і ∠AOD
133.
2 см кожний. Отже, відстань
Відповідь: 18 см.
134. 1) Ні; 2) так; 3) ні; 4) ні; 5) так; 6) ні.
135. S вікна = 2 ⋅ 1,8 = 3,6 (м²)
3S вікон = 3,6 ⋅ 3 = 10,8 (м²)
S підлоги = довжина ⋅ ширину
35% від 14 = 14 ⋅ 0,35 = 4,9 (м)
S підлоги = 14 ⋅ 4,9 = 68,6 (м²)
����
����з
вікон
підлоги = 10,8 68,6 ≈0,16 < 0,2
Відповідь: норми дотримано.
136. ВА ⊥ ВС, BA ⊥ AD, CD ⊥ BC, CD ⊥AD
137. 1) Маємо один
Всього 1 + 4 + 9 = 14 квадратів. 2)
1. Як прямій а, так і прямій
9 ⋅ 2 = 18 (см)
дорівнює 80°. Отже, правильна відповідь – В) 80°.
7. Оскільки ВС= АВ + АС, 7 см = 4 см + 3 см, 7 см = 7 см, то точка А
точками В і С.
Отже, правильна відповідь – А)
8. ∠СОК = ∠КОВ = 35° (оскількм ОК –
= 180°, ∠АОВ = ∠АОК + ∠КОВ, 180° = ∠АОК + 35°, ∠
= 180° - 35° = 145°. Отже,
9. Нехай один із суміжних кутів х, тоді другий 2х. Оскільки
180°, маємо:
х + 2х = 180°
3х = 180°
х = 60°
2х = 120°
Отже, правильна відповідь – Г) 120°.
10. Приавльна відповідь – В) 10.
11. ∠AON = ∠MON - ∠MOA = 180° - 120° = 60°
∠MOB = ∠MON - ∠NOB = 180° - 110° = 70°
∠BOA = ∠MON - ∠AON - ∠MOB = 180° - 60° - 70° = 50°
Отже, правильна відповідь – А) 50°.
12. Нехай
- 180° - х, з другим - 180° - 2х, тоді:
180° - х – (180° - 2х) = 70°
180° - х - 180° + 2х = 70°
х = 70°
∠
2х = 140°
Отже, правильна
13. AM — 30 см (Г)
MN — 20 см (А)
– Г) 140°.
NB — 24 см (Б) ЗАВДАННЯ
1. В ∈ а, D ∈ а, М ∉ а, С ∉ а.
2. 1) ∠А = 92° - тупий
2) ∠В = 180° - розгорнутий
3) ∠С = 90° - прямий
4) ∠D = 31° - гострий
3. ∠BAD і ∠KAN, ∠BAK i ∠DAN – вертикальні.
4. MN = CM + CN, звідски CM = MN – CN = 7,2 см – 3,4 см = 3,8 см.
Відповідь: 3,8 см.
5. ∠АОВ = 70°, ОС –
6. ∠АОС і
Відповідь: 48°.
+
= 180° - 132° = 48°.
7. AN = AB – BN = 30 – 16 = 14 (см)
MB = AB – AM = 30 – 20 = 10 (см)
MN = AB – (AN + MB) = 30 – (14 + 10) = 30 – 24 = 6 (см)
Відповідь: 6 см.
8.
180°, маємо:
х + х + 12° = 180°
2х = 168°
х = 84°
84°,
- 84° + 12° = 96° Відповідь: 84°, 96°.
АВ = АК + КВ = 9,3 + 3,7 = 13 (см)
розв’ язок
АВ = АК – КВ = 9,3 – 3,7 = 5,6 (см)
10. ∠АОВ = 48°, ОС – бісектриса кута АОВ. ∠АОС = ∠СОВ = 48° : 2 = 24° (оскільки ОС –бісектриса кута АОВ). OD – доповняльний промінь до сторони ОА кута АОС. ∠AOD = 48°. ∠AOD = ∠AOC + ∠COD, звідси ∠COD = ∠AOD - ∠AOC = 180° - 24° = 156°.
156°.
180°−х
180°−3х = 7 3 3(180° - х) = 7(180° - 3х)
540 – 3х = 1260 – 21х
18х = 720°
х = 40°
Отже,
Відповідь: 40°, 120°.
Перпендикулярні
як 7 : 3, тоді:
142.
2)
144.
перетинає іншу пряму під прямим кутом. Відрізок, який є частиною цієї прямої, також
буде перпендикулярним до даної прямої, але це вже похідне поняття.
150. 1. 1) ∠CON = ∠COB - ∠NOB = 90° - 25° = 65°
2) ∠MOD = ∠CON = 65° (як вертикальні)
2. 1) ∠MOD = ∠MOB - ∠DOB = 150° - 90° = 60°
2) ∠CON = ∠MOD = 60° (як вертикальні)
Відповідь:1) 65°; 2) 60°.
151. 1. 1) ∠FOL = ∠NOF - ∠NOL = 140° - 90° = 50°
2) ∠KOP = ∠FOL = 50° (як вертикальні)
2. 1) ∠MOF = ∠PON = 37° (як вертикальні)
2) ∠KOF = ∠KOM + ∠MOF = 90° + 37° = 127°
Відповідь: 1) 50°; 2) 127°.
152. Промінь СВ – спільна сторона кутів АВС
∠АВС + ∠СВМ = 90° + 90° = 180°. Отже, ці
з двох суміжних кутів, що утворилися х. Тоді за властивістю суміжних кутів х + х = 180°, 2х = 180°, х = 90°. Отже, кут, під яким перетинаються прямі, прямий. Тоді прямі – перпендикулярні.
154. 1) ∠BON = 180° - (∠AOE + ∠EON) = 180° - (20° + 110°) = 50°
2) ∠CON = ∠COB + ∠BON = 90° + 50° = 140°
Відповідь: 140°.
155. 1) ∠BON = ∠CON - ∠COB = 135° - 90° = 45°
2) ∠EOD = 180° - (∠AOE + ∠BON) = 180° - (25° + 45°) = 110°
Відповідь: 110°.
156. 1) Позначимо ∠AOB = ∠COD = x; ∠BOC = ∠DOE = y. Оскільки ∠
+ ∠BOC + ∠COD + ∠DOE = 180°, то 2х + 2у = 180°; 2(х + у) = 180°; х + у = 90°.
2) ∠АОС = ∠АОВ + ∠ВОС = х + у = 90°, тому ОС ⊥АЕ.
3) ∠BOD = ∠BOC + ∠COD = х + у = 90°, тому ВО ⊥ OD.
159. 1) MK = MN + NK = 3,2 + 4,1 = 7,3 (см)
2) MN = MK – NK = 7,8 – 2,5 = 5,3 (см)
160. Нехай один із суміжних кутів х, тоді другий х + 36°. Оскільки сума суміжних
дорівнює 180°, маємо: х + х + 36° = 180°; 2х = 144°; х = 72°.
Отже, один із кутів дорівнює 72°, другий - 180° - 72° = 108°.
Відповідь: 72°; 108°.
161. Знайдемо S1 рулону шпалер: 50 см = 0,5 м
S1 рулону = 0,5 ⋅ 10 = 5 (м²)
Обчислимо S стін: S стін розміром 4,5 х 2,5: 4,5 ⋅ 2,5 = 11,25 (м²)
Таких стін у кімнаті дві: 2S = 11,25 ⋅ 2 = 22,5 (м²)
S стіни розміром 3 х 2,5: 3 ⋅ 2,5 = 7,5 (м²)
Таких стін дві: 2S = 7,5 ⋅ 2 = 15 (м²)
Загальна площа стін 22,5 + 15 = 37,5 (м²)
S стін – S дверей і вікон S = 37,5 – 3,5 = 34 (м²) – площа для поклейки шпалер.
1) Знайдемо кількість рулонів: 34 : 5 = 6,8
Отже, необхідно
2)
7 : 4 = 1,75
Отже, необхідно придбати 2 коробки клею
3) Обчислимо вартість шпалер:
7 ⋅ 240 = 1680 (грн)
Вартість клею: 85 ⋅ 2 = 170 грн
Загальна вартість покупки: 1680 + 170 = 1850 грн
Відповідь: 1) 7 рулонів; 2) 2 коробки клею; 3) 1850 грн.
162. АВ ∥ СD; BC ∥ AD
163. Сума двох суміжних сторін прямокутника
164. 1) а ∥ m; 2) CD ∥ PK.
165.
166.
167.
175.
176.
пертинає с.
178. 1)
2) АВ = 2,6 см; АС = 2,1 см; ВС = 1,7 см АС + ВС = 2,1 + 1,7 = 3,8 (см)
3) АВ < АС + ВС 179. Нехай ∠AOD = х, тоді ∠BOD = 0,25х. ∠AOD і ∠BOD – суміжні, ∠AOD + ∠BOD = 180°, x + 0,25х = 180°; 1,25х = 180°; х = 144°. Отже, ∠AOD = 144°, ∠BOD = 36°.
= 36° -
36°
180. Примітка: 50 см = 0,5 м.
S плитки = 0,5 ⋅ 0,5 = 0,25 (м²)
S майданчика = 3,5 ⋅ 6,5 = 22,75 (м²)
22,75 : 0,25 = 91 (шт.) – кількість плиток.
91 ⋅ 52 = 4732 (грн) – вартість плитки.
Вартість додаткових матеріалів: 35% від 4732
4732 ⋅ 0,35 = 1656,2 (грн)
4732 + 1656,2 = 6388 грн 20 коп – всього
Відповідь: 6388 грн 20 коп.
181. Площа вказаного квадрата є 2017² клітинок. Але число 2017² є непарним, тому
розрізати квадрат на дві частини, площа яких (у
розділити квадрат
=
= 110° (як
1). ∠5 = 120° (як
∠6 = 180° – 120° = 60°
). ∠7 = ∠6 = 60
190.
191.
192.
∠4 = ∠1 = 50° (як вертикальний
до ∠1).
∠2 = 180° – 50° = 130° (як суміжний кут до ∠1).
∠3 = ∠2 = 130° (як вертикальний кут до ∠2).
∠7 = ∠6 = 130° (як вертикальний кут до ∠6).
∠5 = 180° – 130° = 50° (як суміжний кут до ∠6).
∠5 = ∠8 = 50° (як вертикальний кут до ∠8). а ∥ b, оскільки ∠2 = ∠6 = 130° (відповідні кути).
∠1 + ∠2 = 118° + 62° = 180°; тому а ∥ b.
∠2 ≠ ∠3, тому прямі b і с
∠1 + ∠3 = 118° + 63° = 181°;
193.
∠1 + ∠2 = 121° + 60° = 181°; тому
∠2 = ∠3, тому прямі b ∥ с.
∠1 + ∠3 = 121° + 60° = 181°; тому
194.
195.
196.
197.
198.
1) ∠ABC = 115°.
2)
3)
1) ∠MNP = 125°.
2)
3)
3) ∠3 = 180° – ∠4 (за властивістю суміжних кутів);
∠6 = 180° – ∠5 (аналогічно);
∠3 + ∠6 = 180° – ∠4 + 180° – ∠5 = 360° – (∠4 + ∠5) = 360° – 190° = 170°.
Відповідь: 1) 190°; 2) 170°; 3) 170°.
201.
За умовою ∠3 + ∠6 = 160°. 1) ∠2 = 180° – ∠3 (за властивістю суміжних кутів), ∠7 = 180° – ∠6 (аналогічно).
Тому ∠2 + ∠7 = 180° – ∠3 + 180° – ∠6 = = 360° – (∠3 + ∠6) = 360° – 160° = 200°. 2) ∠1 = ∠3 (як вертикальні), ∠8 = ∠6 (аналогічно). ∠1 + ∠8 = ∠3 + ∠6 = 160°.
3) ∠4 = 180° – ∠3 (за властивістю суміжних кутів), (аналогічно).
Тому ∠4 + ∠5 = 180° – ∠3 + 180° – ∠6 = 360° – (∠3 + ∠6) = 360° – 160° = 200°.
Відповідь: 1) 200°; 2) 160°; 3) 200°.
202.
203.
∠ABC і ∠BCD – внутрішні
кути ∠ABC + ∠BCD = 70° + 100° = 170°. Прямі АВ
2 випадки:
рівні.
∠MNP = 60°, ∠NPK = 120°.
MN і PK не паралельні.
2-й випадок. ∠MNP і ∠NPK -
∠NMP + ∠NPK = 60° + 120° = 180°, то MN ∥ PK. Відповідь: так.
204.
1-й випадок. Прямі а і с паралельні, оскільки
прямою b, рівні.
2-й випадок. Прямі а і с перетинаються.
Відповідь: ні.
205.
1-й випадок. Прямі а і b паралельні.
2-й випадок. Прямі а і b перетинаються.
Відповідь: ні.
206.
MF – бісектриса кута KMN, то ∠KMN = 2 ∙ ∠FMK; KF – бісектриса кута MKP, то ∠MKP = 2 ∙ ∠MKF.
За умовою ∠MKF + ∠FMK = 90°.
Маємо ∠MKP + ∠KMN = 2 ∙ ∠MKF + 2 ∙ ∠FMK = = 2(∠MKF + ∠FMK) = 2 ∙ 90° = 180°.
Кути MKP і KMN – внутрішні односторонні, утворені при перетині прямих MN і KP січною MK.
∠MKP + ∠KMN = 180°, то MN ∥ KP. 207.
209.
210.
1) ∠АВС = 70°.
2) m ⊥ BA, n ⊥ BC
3) Кут між прямими m i n дорівнює 70°.
∠АОB = ∠BOC = 130°.
∠АОC = ∠AOD + ∠DOC,
∠AOD + ∠АОB = 180° (як суміжні кути).
Звідси ∠AOD = 180° – ∠АОB = 180° – 130° = 50°.
∠DOC + ∠BOC = 180° (як суміжні кути).
∠DOC = 180° – ∠BOC = 180° – 130° = 50°
∠АОC = ∠AOD + ∠DOC = 50° + 50° = 100°.
Відповідь: 100°.
Радіус Землі становить приблизно 6378 км.
Довжина окружності
де R — радіус Землі.
Визначимо
212.
1) Кути 5 і 4 – рівні; кути 2 і 7 – рівні.
2) Кути 1 і 3 – рівні.
3) ∠1 + ∠4 = 180°
213.
1) Кути 1 і 8 – рівні; кути 6 і 3 – рівні.
2) Кути 2 і 4 – рівні.
3) ∠2 + ∠3 = 180°
214.
1) ∠1 = 110° (як відповідний даному куту).
2) ∠2 = 180° – 110° = 70° (оскільки кут 110° і ∠2 – внутрішні різносторонні кути).
3) ∠3 = ∠1 = 110° (як вертикальні)
215.
Відомо, що m ∥ n, тоді:
1) ∠1 = 60° (як відповідний даному куту).
2) ∠2 = 180° – 60° = 120° (оскільки кут 60° і ∠2 – внутрішні різносторонні кути).
3) ∠3 = ∠1 = 60° (як вертикальні)
216.
217.
218.
Нехай ∠1 = 140°.
∠3 = ∠1 = 140° (як вертикальні кути).
∠5 = ∠1 = 140° (як відповідні кути).
∠7 = ∠1 = 140° (як вертикальні кути).
∠1 + ∠2 = 180° (як суміжні кути). Звідси
∠2 = 180° – ∠1 = 180° – 140° = 40°.
∠4 = ∠2 = 40° (як вертикальні кути).
∠8 = ∠4 = 40° (як відповідні кути).
∠6 = ∠8 = 40° (як вертикальні кути).
Нехай ∠2 = 50°.
∠4 = ∠2 = 50° (як вертикальні кути).
∠4 = ∠8 = 50° (як відповідні кути).
∠6 = ∠8 = 50° (як вертикальні кути).
∠1 + ∠2 = 180° (як суміжні кути). Звідси
∠1 = 180° – ∠2 = 180° – 50° = 130°.
∠3 = ∠1 = 130° (як вертикальні кути).
∠5 = ∠1 = 130° (як відповідні кути).
∠7 = ∠5 = 130° (як вертикальні кути).
220.
221.
1)
1) Нехай ∠2 = х, тоді
∠1 = х + 16°. Маємо:
х + х + 16° = 180°
2х = 164°
х = 82°
Отже, ∠2 = 82°;
∠1 = 82° + 16° = 98°.
2) Нехай ∠2 = х, тоді
∠1 = 3х. Маємо:
х + 3х = 180°
4х = 180°
х = = 45°
Отже, ∠2 = 45°; ∠1 = 3 ∙ 45° = 135°.
Відповідь: 1) 82° і 96°; 2) 45° і 135°; 3) 75° і 105°.
227.
1) Нехай ∠1 = х, тоді
∠2 = 4х. Маємо:
х + 4х = 180°
5х = 180°
х = 36°
Отже, ∠1 = 36°;
∠2 = 4 ∙ 36° = 144°.
2) Нехай ∠1 = х, тоді
∠2 = х + 8°. Маємо:
х + х + 8° = 180°
2х = 172°
х= 86°
Отже, ∠1 = 86°;
∠1 = 86° + 8° = 94°.
Відповідь: 1) 36° і 144°; 2) 86° і 94°; 3) 100° і 80°.
228.
3) Нехай ∠2 = 5х, тоді
∠1 = 7х. Маємо:
5х + 7х = 180°
12х = 180°
х = 15°
Отже, ∠2 = 5 ∙ 15° = 75°; ∠1 = 7 ∙ 15° = 105°.
3) Нехай ∠2 = 5х, тоді
∠1 = 4х. Маємо:
5х + 4х = 180°
9х = 180°
х = 20°
Отже, ∠2 = 5 ∙ 20° = 100°; ∠1 = 4 ∙ 20° = 80°.
∠1 = ∠3 = 120° (як вертикальні кути).
∠4 = ∠1 = 120° (як відповідні кути). Отже, a ∥ b
∠2 і ∠6 — відповідні, ∠2 = ∠6 = 110°.
∠5 і ∠2 — суміжні.
x + ∠2 = 180°
x + 110° = 180°
x = 180° – 110°
x = 70°
Відповідь: 1) 70°; 2) 65°; 3) 129°. 229.
∠1 і ∠2 суміжні кути. ∠1 + ∠2 = 180°, ∠2 = 180° –
∠1, ∠2 = 180° – 55° = 125°.
∠2 = ∠3 = 125° (як відповідні кути).
Отже, a ∥ b згідно з ознакою паралельності прямих.
∠4 і ∠5 — внутрішні різносторонні кути при
паралельних прямих a і b і січній d.
∠4 = ∠5 = 65°.
∠1 + ∠2 = 48° + 132° = 180°. Оскільки ці кути внутрішні односторонні і їхня сума
180°, то
a і b
(наслідок 2). Розглянемо паралельні прямі a і b і січну d.
∠3 і ∠4 — внутрішні односторонні кути при паралельних прямих a і b і січній d.
∠3 + ∠4 = 180°
∠4 = 180° – ∠3
∠4 = 180° – 51°
∠4 = 129°.
Відповідь: 1) 50°; 2) 110°. 230.
∠3 = ∠4 = 80° (як вертикальні кути).
∠1 = ∠3 (як відповідні кути).
Отже, a ∥ b згідно з ознакою паралельності
прямих.
Розглянемо a ∥ b і січну d.
∠2 = ∠5 як відповідні кути.
Отже, x = 50°.
∠4 + ∠5 = 130° + 50° = 180°. Оскільки ці кути внутрішні односторонні та їхня сума дорівнює 180°, то згідно з наслідком 2 прямі a і b паралельні. Розглянемо a ∥ b і січну d.
∠1 = ∠2 = 70° (як вертикальні кути).
∠2 і ∠3 — внутрішні односторонні кути, отже, ∠2 + ∠3 = 180°.
∠3 = 180° – ∠2 = 180° – 70° = 110°.
7 + ∠6 + ∠2 = 120° Оскільки всі ці
вертикальні, ∠2 і ∠6 — як відповідні), то кожен
дорівнює 40° ∠2 = 40°, ∠6 = 40°, ∠7 = 40°
∠3 = ∠2 = 40° (як вертикальні кути).
∠1 + ∠2 = 180° (як суміжні кути).
Звідси ∠1 = 180° – 40° = 140°.
∠4 = ∠1 = 140° (як вертикальні кути).
∠5 = ∠1 = 140° (як відповідні кути).
∠8 = ∠5 = 140° (як вертикальні кути).
Відповідь: чотири кути по 40°, чотири кути по 140°. 232.
Оскільки сума чотирьох кутів, утворених при перетині двох паралельних прямих січною, дорівнює 128°, то це
пари відповідних гострих кутів.
∠1 + ∠5 + ∠3 + ∠7 = 128°. Оскільки ці
5 = ∠3 =
∠1 + ∠2 = 180° (як суміжні кути).
∠2 = 180° – ∠1 = 180° – 32° = 148°.
∠4 = ∠2 = 148° (як вертикальні кути).
∠6 = ∠2 = 148° (як відповідні кути).
∠8 = ∠6 = 148° (як вертикальні кути).
Відповідь: чотири кути по 32°, чотири
233.
Відповідь: 130°.
7 = 32°.
148°.
Через т. М проведемо пряму паралельні CD. KM ∥ CD,
KM ∥ AB. Тоді ∠CMA = ∠CMK + ∠AMK.
Розглянемо AB ∥ KM і січну AM.
∠AMK = ∠MAB = 50° (як внутрішні різносторонні кути).
Розглянемо CD ∥ KM і січну CM.
∠CMK = ∠DCM = 80° (як внутрішні різносторонні кути). Отже, ∠CMA = 80° + 50° = 130°
234. Через точку K
Відповідь: 100°.
KF
MN. KF ∥ MN, KF ∥ PL.
Тоді ∠MKP = ∠MKF + ∠PKF.
Розглянемо MN ∥ KF і січну MK. ∠MKF + ∠KMN = 180° (як внутрішні односторонні кути). ∠MKF = 180° – ∠KMN = 180° – 120° = 60°.
Розглянемо PL ∥ KF і січну KP. ∠PKF + ∠KPL = 180° (як внутрішні односторонні кути). ∠PKF = 180° – ∠KPL = 180° – 140° = 40°.
Отже, ∠MKP = 60° + 40° = 100°.
235.
236.
237.
Оскільки a ∥ b, то ∠KBA = ∠BAL (як внутрішні різносторонні). Оскільки BC і AD — бісектриси цих кутів, то ∠CBA = ∠DAB (як половини рівних кутів).
Розглянемо прямі BC і AD та січну AB. ∠CBA і ∠DAB — внутрішні різносторонні рівні, отже, BC ∥ DA. Отже, бісектриси двох внутрішніх різносторонніх кутів при паралельних прямих і січній паралельні.
Оскільки a ∥ b, то ∠MAK = ∠ABL (як відповідні кути).
Оскільки AC і BD — бісектриси цих кутів, то ∠ABD = ∠MAC (як половини рівних кутів).
Розглянемо прямі AC і BD і січну MN: ∠MAC і ∠ABD —
відповідні кути і рівні. Отже, AC ∥ BD.
Отже, бісектриси двох відповідних кутів при
238. AB = 16 см.
1) BC = x см, AC = x + 2, x + x + 2 = 16; 2x = 14; x = 7.
Отже, BC = 7, AC = 7 + 2 = 9.
2) BC = x см, AC = 3x см, x + 3x = 16; 4x = 16; x = 4.
Отже, BC = 4 см, AC = 3 · 4 = 12 см.
3) Нехай AC = 5x, BC = 3x. 5x + 3x = 16; 8x = 16; x = 2.
Отже, BC = 3 · 2 = 6 см, AC = 5 · 2 = 10 см. 4 см 6 см 7 см 9 см 10 см 12 см
1) 20 · 20 = 400 (м2) –
2) 400 : 40 = 10 (г) –
3) 10 · 90 = 900 (грн)
241.
20 – (8 + 7) = 20 – 15 = 5 см.
АВ = 3 см АС = 4 см СВ = 5 см Р = 3 + 4 + 5 = 12 см
Відповідь: довжина третьої сторони 5 см.
Відповідь: А.
6. 180° – 35° = 145°.
Відповідь: В. 145°.
7. 1) ∠CON = ∠MOD (як вертикальні); ∠CON = 20°.
Відповідь: В. 110°.
8.
2) ∠AON = ∠CON + ∠COA = 20° + 90° = 110°.
1 + ∠4 = (180° – ∠
Відповідь: Б 185°.
9.
Відповідь: А. 80°.
2 = ∠3 = 70° (як вертикальні кути). ∠1 = ∠2 = 70° (як відповідні кути). Отже, a
паралельності прямих. Розглянемо a ∥ b і січну d. Кути 100° і x — внутрішні односторонні кути, отже, їхня сума дорівнює 180°. Тоді 100° + x = 180°; x = 80°.
10. 1) Позначимо ∠AOC = ∠BOD = х; ∠COK = ∠DOK = у. Тоді 2x + 2y = 180° 2(х + у) = 180° х + у = 90° 2) ∠AOK = х + у = 90°.
Відповідь: В 90°.
Відповідь: Б. 110°.
12.
Через т. P
пряму PK ∥ BA. Тоді
∠BPD = ∠BPK + ∠DPK.
Розглянемо BA ∥ PK і січну BP. ∠PBA + ∠BPK = 180° (як внутрішні односторонні кути).
∠BPK = 180° - ∠PBA = 180° - 100° = 80°.
Розглянемо PK ∥ DC і січну PD. ∠DPK + ∠CDP = 180° (як внутрішні односторонні кути).
∠DPK = 180° - ∠CDP = 180° - 150° = 30°.
Отже, ∠BPD = 80° + 30° = 110°
Оскільки OK бісектриса ∠AOC, цей кут розділяється
рівні частини: ∠AOK та ∠KOC.
∠AOC = ∠AOK + ∠KOC = 2∠KOC
Оскільки OL — бісектриса ∠COB, цей кут розділяється на дві рівні частини: ∠COL та ∠LOB. ∠COB = ∠COL + ∠LOB = 2∠COL
умовою, OK перпендикулярний до OL, тобто
ними, ∠KOL, дорівнює 90°.
Оскільки ∠AOC складається з кутів AOK і KOC, а ∠COB складається з кутів COL і LOB, то: ∠AOB = ∠AOC + ∠COB = 2∠KOC + 2∠COL = = 2(∠KOC + ∠COL) = 2∠KOL = 2 ⋅ 90° = 180°. Відповідь: Г. розгорнутий
1) 1 і 2 - внутрішні різносторонні кути; 2) 1 і 3 - внутрішні односторонні кути; 3) 1 і 4 - відповідні кути. 4.
1) ∠KOM = ∠KOA + ∠AOM= 70° + 19° = 89°;
прямі KL і MN – не перпендикулярні.
2) ∠KON= ∠KOB – ∠NOB = 111° – 21° = 90°;
прямі KL і MN – перпендикулярні.
чотири
52°.
Нехай ∠1 = 78°, тоді ∠3 = ∠1 = 78° (як вертикальні кути), ∠5 = ∠1 = 78° (як відповідні кути), ∠7 = ∠5 = 78° (як вертикальні кути).
∠1 + ∠2 = 180° (як суміжні кути),
∠2 = 180° – ∠1 = 180° – 78° = 102°.
∠4 = ∠2 = 102° (як вертикальні кути).
∠6 = ∠2 = 102° (як відповідні кути).
∠8 = ∠6 = 102° (як вертикальні кути).
78°, чотири кути по 102°.
Оскільки AB ⊥ CD, то ∠AOC = 90°.
∠AOK = ∠AOC – ∠KOC, ∠KOC = ∠DOL = 38° (як вертикальні кути).
Отже, ∠AOK = 90° – 38° = 52°.
Відповідь: 50°.
9.
Відповідь: 110°. 10.
36° і 144°. 11.
1 і ∠2
січній d. ∠1 + ∠2 = 40° + 140° = 180°. Згідно
2 прямі a і b паралельні.
Розглянемо a ∥ b і січну c.
∠5 = ∠3 = 130° (як внутрішні різносторонні кути).
∠5 + ∠4 = 180° (як суміжні кути).
∠4 = 180° – ∠5 = 180° – 130° = 50°.
Проведемо пряму PR ∥ DC, тоді ∠BKD = ∠BKP + ∠DKP.
Розглянемо BA ∥ PR і січну BK. ∠BKP = ∠KBA = 40° (як
внутрішні різносторонні кути).
Розглянемо KR ∥ DC і січну KD. ∠DKP = ∠KDC = 70° (як
внутрішні різносторонні кути).
Отже, ∠BKD = 40° + 70° = 110°.
245.
1) Так, можна. Треба побудувати доповняльний промінь до будь-якої сторони даного кута. Наприклад, дано ∠DAE. Побудуємо промінь AB доповняльний до променя AD. Отримали ∠EAB суміжний з ∠DAE.
2) Можна побудувати два кути. Один побудували в п.1). Проведемо доповняльний промінь AC до променя AE. Отримаємо ∠DAC, суміжний з ∠DAE.
Сума суміжних кутів дорівнює 180°.
Кут, суміжний з ∠ABC: 180° - ∠ABC.
Кут, суміжний з ∠MNL: 180° - ∠MNP.
Якщо ∠ABC < ∠MNP, то 180° - ∠ABC > 180° - ∠MNP.
Отже, більший суміжний кут буде у ∠ABC.
246. Нехай
54°, 126°. 247.
30°; 150°.
248.
3x + 7x = 180°; 10x = 180°; x = 18°.
3 × 18° = 54°,
Відповідь: 80°; 100°.
80% або 0,8
тобто 0,8x. x + 0,8x = 180°
1,8x = 180°; x = 100°. Отже, один
100°, другий 100° × 0,8 = 80°.
249. ∠ABC заданий кут. KB бісектриса. ∠ABK = ∠KBC. ∠ABL суміжний з ∠ABC. Нехай ∠ABL = x, тоді ∠ABK = ∠KBC = 2x.
Відповідь: 144°.
250.
Наприклад,
252.
1) Ні, вони також можуть бути суміжними. 2)
3)
3)
Відповідь: 120°.
256.
Відповідь: 36°, 36°, 144°, 144°.
що
або ∠4.
Нехай ∠1 = x, ∠3 = ∠1 = x, тоді ∠2 = 2x.
∠1 + ∠2 = 180° як сума суміжних кутів. x + 2x = 180°; 3x = 180°; x = 60°.
Отже, ∠1 = 60°, ∠2 = 2 × 60° = 120°.
1) Нехай ∠1 = x, ∠3 = ∠1 = x (як вертикальні кути).
∠2 + ∠4 = 4(∠1 + ∠3) = 2 × 4x = 8x.
Сума всіх утворених кутів дорівнює 360°. 2x + 8x = 360°; 10x = 360°; x = 36°.
Отже, ∠1 = ∠3 = 36°, ∠2 = ∠4 = 180° - 36° = 144°.
2) Нехай ∠1 = x, ∠3 = ∠1 = x (як вертикальні кути).
∠1 + ∠3 = x + x = 2x.
∠2 + ∠4 = 4(∠1 + ∠3) = 2x + 160°.
Сума всіх утворених кутів дорівнює 360°.
2x + 2x + 160° = 360°; 4x = 200°; x = 50°.
Отже, ∠2 = 180° - 50° = 130°
Відповідь: 50°, 50°, 130°, 130°.
257. Нехай ∠4 = x, тоді ∠
+ x = 8x; ∠1 + ∠3 = 7x. Оскільки ∠1 =
∠1 = ∠3 = 3.5x. ∠4 + ∠1 = 180° як суміжні кути
40°. Відповідь: 40°.
258.
259.
АВ ⊥ КР
261.
CD ⊥ AB; CK ⊥ AB; DK ⊥ AB.
262.
1) Оскільки AB ⊥ BC, то ∠AOC = 90°, ∠BOC = 90°.
∠AOK = ∠AOC − ∠KOC, ∠AOK = 90° − ∠KOC.
∠LOB = ∠BOC − ∠COL = 90° − ∠COL.
Оскільки ∠KOC = ∠COL, то ∠AOK = ∠LOB.
∠AOL = ∠AOC + ∠COL = 90° + ∠COL.
∠KOB = ∠COB + ∠KOC = 90° + ∠KOC.
Оскільки ∠KOC = ∠COL, то ∠AOL = ∠KOB.
2) ∠KOB = 90° + ∠KOC, ∠AOK = 90° − ∠KOC.
Отже, ∠AOK < ∠KOB.
263.
1) Так, ∠AOC = ∠COB = 45°
2) Так, ∠AOB = ∠COB = (360° – 90°) : 2 = 135°.
264. Оскільки 90° = 15
265. Нехай BL бісектриса кута ABC. ∠ABC = 2∠LBC, BM
CBD: ∠CBD = 2∠CBM.
LBC + ∠CBM = 90°. Знайдемо ∠ABD = ∠ABC + ∠CBD = 2∠LBC + 2∠CBM = 2(∠LBC + ∠CBM) = 2 × 90° = 180°.
кут ABD
AB ∥ CD
267.
268.
1)
2)
3)
274.
275.
∠1 = 180° - 130° = 50° (як суміжний з кутом 130°).
∠2 = ∠1 = 50° (як внутрішні різносторонні кути).
∠3 = 130° (як
∠4 = ∠3 = 130° (як вертикальні кути).
276.
Згідно з властивістю
130°).
= 0,8x. Звідси маємо: x + 0,8x = 180°; 1,8x = 180°; x = 100°. Отже, ∠6 = 100°, ∠3 = 0,8 × 100° = 80°. Відповідь: 100°, 80°. 278.
кути. ∠3 = 180° - ∠1 = 180° - 100° = 80°.
d ∥ c і січну a: ∠4 = ∠3 = 80° як
100°, 80°, 80°.
279.
∠3 + ∠1 = 180° як
різносторонні кути.
BD; ∠ABD і ∠CDB
∠ABD = 72°, тоді ∠CBD = 180° - ∠ABD, ∠CDB = 180° - 72° = 108°; BO бісектриса ∠ABD, DO
∠CDB, тоді ∠ABO = 1 2 ∠ABD = 1 2 ⋅ 72° = 36°; ∠CDO = 1 2 ∠CDB = 1 2 ⋅ 108° = 54°.
OM ∥ CD, тоді OM ∥ AB. ∠BOM = ∠ABO = 36°; ∠DOM = ∠CDO = 54°. ∠BOD
BOD = ∠BOM + ∠DOM; ∠BOD = 36° + 54° = 90°.
Відповідь: 90°.
280.
Проведемо пряму MP ∥ DC і пряму NF ∥ BA. ∠MNB = ∠MNF + ∠FNB.
Розглянемо DC ∥ MP і січну CM: ∠CMP = ∠DCM = 50° як внутрішні різносторонні кути. ∠PMN = ∠CMN - ∠CMP = 80° - 50° = 30°.
Розглянемо MP ∥ NF і січну MN: ∠MNF = ∠PMN = 30° як внутрішні різносторонні кути.
Розглянемо NF ∥ AB і січну NB: ∠FNB + ∠ABN = 180° як внутрішні односторонні
кути.
∠FNB = 180° - 140° = 40°. Отже, ∠MNB = 30° + 40° = 70°.
Відповідь: 70°.
3.
ОЗНАКИ
§ 11. Трикутник і його
281. P△MKL = MK + KL + LM = 2 + 3 + 4 = 9 (см).
282.
283.
Вершини трикутника: P, K, L. Сторони трикутника: PK, KL, LP. Кути трикутника: ∠KPL, ∠PKL, ∠KLP.
284.
Сторони трикутника: AM, MN, NA. Кути трикутника: ∠MAN, ∠AMN, ∠MNA.
285.
25 мм = 2,5 см; 0,4 дм = 4 см.
P = 2,5 + 3,2 + 4 = 9,7 (см).
Відповідь: 9,7 см.
286.
29 мм = 2,9 см; 0,3 дм = 3 см.
P = 4,3 + 2,9 + 3 = 10,2 (см).
Відповідь: 10,2 см.
287.
288.
289.
AB = 2,8 см; BC = 1,5 см; AC = 3 см.
P = 2,8 + 1,5 + 3 = 7,3 см.
Відповідь: 7,3 см.
PL = 5,3 см; PK = 3,2 см; KL = 2,9 см.
P = 5,3 + 3,2 + 2,9 = 11,4 см.
Відповідь: 11,4 см.
Нехай довжина найменшої сторони трикутника
3x см, а третьої (x + 7) см. Оскільки периметр трикутника дорівнює 32 см, маємо рівняння:
x + 3x + (x + 7) = 32; 5x + 7 = 32; 5x = 25; x = 5 (см).
Отже,
+ 7 = 12 см. Відповідь: 5 см, 15 см, 12 см.
290.
Нехай довжина однієї
x + (x − 2) + 1,5x = 40; 3,5x − 2 = 40; 3,5x = 42; x = 12 (дм). Отже,
12 × 1,5 = 18 дм.
12 дм, 10 дм, 18 дм.
291.
293.
Нехай одна із сторін трикутника дорівнює 3x, друга 4x, третя 6x.
Оскільки P = 52 см, маємо рівняння: 3x + 4x + 6x = 52; 13x = 52; x = 4.
Отже, одна із сторін трикутника дорівнює 3 × 4 = 12 см, друга 4 × 4 = 16 см,
третя 6 × 4 = 24 см.
Відповідь: 12 см, 16 см, 24 см.
294.
Нехай одна із сторін трикутника дорівнює 2x, друга 3x, третя 4x. Оскільки P△ = 72,
маємо рівняння:
2x + 3x + 4x = 72; 9x = 72; x = 8.
Отже, одна із сторін трикутника дорівнює 2 × 8 = 16 (см), друга 3 × 8 = 24 (см), третя 4 × 8 = 32 (см).
Відповідь: 16 см, 24 см, 32 см.
295. △MNK, △MKN, △NKM, △NMK, △KNM, △KMN.
296.
297.
AB + BC = 11 см, BC + AC = 14 см, AC + AB = 13 см.
AB + BC + BC + AC + AC + AB = 11 + 14 + 13;
2(AB + BC + AC) = 38;
AB + BC + AC = 38 : 2 = 19 (см).
Відповідь: 19 см.
298.
∠ABC = 78°, BD бісектриса кута ABC.
∠ABD = ∠DBC = 39°. BE допоміжний промінь до сторони
BC кута ABC.
∠EBA суміжний до ∠ABC, ∠EBA = 180° - 78° = 102°.
∠EBD = ∠EBA + ∠ABD = 102° + 39° = 141°.
Відповідь: 141°.
.
1) 3 га 18 млн м3 = 54 (млн м3)
2) 2 км2 ⋅ 18 млн м3 = 200 га ⋅ 18 млн м3 = 3600 (млн м3)
300.
фігур
301.
1)
AB = 2,5 см, CD = 2,8 см.
Отже, AB ≠ CD.
2) ∠M = 55°, ∠K = 55°.
Отже, ∠M = ∠K.
302.
1)
MN = 3 см, PK = 3 см.
Отже, MN = PK.
2) ∠A = 60°, ∠B = 50°.
Отже, ∠A ≠ ∠B.
303.
1) Так, оскільки 1,7 см = 17 мм, то АК = MF.
2) Ні, оскільки градусні міри кутів різні.
304.
305.
1) ∠A = ∠M; 2) ∠B = ∠P; 3) ∠C = ∠L.
1) MP = DC; 2) PT = CK; 3) MT = DK.
307.
308.
1) △AKM = △LPT; 2) △MAK = △TLP.
1) △ABC = △PFK; 2) △CAB = △KPF.
309.
310.
Оскільки △ABC = △KLP, то їхні відповідні сторони рівні.
KL = AB = 6 см, BC = LP = 8 см, KP = AC = 10 см.
Оскільки △PMT = △DCF, то їхні
кути рівні. ∠D = ∠P = 41°, ∠M = ∠C = 92°, ∠F = ∠T = 47°.
311. △ABC = △CBA, тоді AB = CB, BC = BA, AC = CA. Отже, у △ABC рівні сторони AB і BC.
312.
Оскільки △MNK = △MKN, то ∠M = ∠M, ∠N = ∠K,
K = ∠N. Отже, у трикутника MNK ∠N = ∠K.
313.
Оскільки △ABC = △BCA, то AB = BC, BC = CA, AC = BA.
Отже, AB = BC = CA. △ABC рівносторонній.
P△ABC = 3 × AB = 3 × 7 = 21 (см).
Відповідь: 21 см.
314.
Оскільки △PKL = △KLP, то PK = KL, KL = LP, LP = KP. Отже, PK = KL = LP.
P△PKL = 27 см, P△DKL = 3PK, 27 = 3PK, PK = 9 см.
Відповідь: 9 см.
315.
Вісім точок, що розташовані на одній прямій, утворюють 7 відрізків. Оскільки
між крайніми точками дорівнює 112 см, то
дорівнює 112 : 7 = 16 см.
Відповідь: 16 см.
316. Нехай ∠AOB розгорнутий
Відповідь: 30°, 60°, 90°.
317.
∠DOB = x, тоді ∠COD = 2x, ∠COA = 3x.
∠DOB + ∠COD + ∠COA = 180°, x + 2x + 3x = 180°; 6x = 180°, x = 30°. Отже, ∠DOB = 30°, ∠COD = 2 × 30° = 60°, ∠COA = 3 × 30° = 90°.
1. 1) V = 20 ⋅ 0,5 ⋅ 2,5 = 25 (м3) – об’єм кладки
2) 25 ⋅ 400 = 10000 (шт) – кількість цеглин
3) 25 20% = 25 0,2 = 5 (м3) – об’єм розчину
2. 1) 10000 ⋅ 4,2 = 42000 (грн) – вартість цегли
2) 5 ⋅ 1520 = 7600 (грн) – вартість розчину
3) 42000 + 7600 = 49600 (грн) –
321.
322.
323.
324.
326.
За умовою KB = KC, ∠ABK = ∠DCK. ∠AKB = ∠DKC – як вертикальні кути. Отже, ΔABK = ΔDCK за стороною і прилеглими до неї кутами
327.
328.
329.
За умовою AB = CD, ∠ABC = ∠BCD. CB спільна сторона. Отже, ΔABC = ΔDCB за двома сторонами і кутом між ними.
кута AOB, то ∠AOC = ∠NOC. За умовою ∠OCM = ∠OCN, OC спільна сторона. Отже, ΔOMC = ΔONC за стороною і прилеглими
кутами.
За умовою ВО бісектриса кута ABC, BK бісектриса ∠АВС.
Отже, ∠МВО = ∠NВО. За умовою MN ⊥ BK, отже, ∠MOB = ∠NOB = 90°, ВО спільна сторона. ΔBMO = ΔBNO за стороною і двома прилеглими кутами. У рівних трикутників відповідні сторони рівні.
Отже, MO = NO.
Розглянемо ΔBOC і ΔDOA: OC = OA, OB = OD, ∠BOC = ∠DOA, як вертикальні кути. Отже, ΔBOC = ΔDOA за двома сторонами і
Отже, BC = AD, оскільки у рівних
сторони рівні. Розглянемо ΔBOA і ΔDOC: AO = OC, OB = OD, ∠BOA = ∠DOC
332.
За умовою ∠LMK = ∠PKM і ∠LKM = ∠PMK. MK спільна сторона. Отже, ΔMKL = ΔKMP за стороною і прилеглими кутами.
333.
334.
335.
336.
Оскільки за умовою ΔABC = ΔA1B1C1, то у них відповідні сторони і кути рівні. Отже, AC1 = AC, ∠C1 = ∠C. Тоді ΔALC = ΔA1L1C1 за стороною і двома прилеглими кутами.
Оскільки за умовою ΔABC = ΔA1B1C1, то у
відповідні сторони і кути рівні. Отже, AB = A1B1, ∠BAM = ∠B1A1M1. Отже, ΔABM
трикутника, то трикутники рівні.
На мал. в ΔABC AB = 2 см, ∠CAB = 30°, ∠CBA = 60°, а в ΔACD: AB = 2 см, ∠BAD = 60°, ∠ADB = 30°. Проте ΔABC ≠ ΔABD.
ΔABK = ΔCBL, то
рівні. Отже, ∠A = ∠C, AB = CB, AK = CL.
AL = AK + KL, CK = CL + KL, отже, KL спільний
для AL і CK, AL = CK.
ΔABL = ΔCBK
KC = LC,
KCA =
LCA,
BLC.
Оскільки AB бісектриса кута A, то ∠MAB = ∠NAB, AB спільна сторона трикутників AMB і ANB. Отже, ΔAMB = ΔANB за стороною і прилеглими кутами. У рівних трикутників відповідні сторони рівні. Отже, AM = AN. Розглянемо ΔAMP і ΔANP. AP спільна сторона.
ΔAMP = ΔANP за двома сторонами і кутом між ними (∠MAP = ∠NAP, AM = AN).
У рівних трикутників відповідні кути рівні, отже, ∠MPA = ∠NPA.
Оскільки ці кути суміжні і рівні, то маємо ∠MPA + ∠NPA = 180°; ∠MPA = ∠NPA = 90°.
Тож MN ⊥ AB.
339.
1) 13 см + 4 дм = 1,3 дм + 4 дм = 5,3 дм друга сторона трикутника.
2) 4 дм : 2 = 2 дм третя сторона трикутника.
3) PΔ = 4 + 5,3 + 2 = 11,3 (дм).
Відповідь: 11,3 дм.
340. Якщо ці три кути 1, 3, 5, то ∠1 + ∠3 +
341.
тоді і решта кутів по 90°. Звідси a ⊥ c, b ⊥ c. Якщо ці три кути 1, 2, 3, тоді ∠1 + ∠2 = 180° (як
90°. Отже, і інші кути по 90°. Звідси a ⊥ c, b ⊥ c.
1) 3,5 ⋅ 6 = 21 (м2) – площа підлоги
2) 0,07 0,4 = 0,028 (м2) – площа дощечки
3) 21 : 0,028 = 750 (шт)
Відповідь: потрібно 750 дощечок.
343.
Можна скласти прямокутник 101 × 50.
342.
РΔ = 6 + 6 + 8 = 20 (см).
Відповідь: 20 см.
Кожна сторона прямокутника буде складатися з двох прямокутників
1 × 1 і 1 × 100; 1 × 2 і 1 × 99; ...; 1 × 50 і 1 × 51.
