PROCJENA SPOSOBNOSTI PROCESA PRIMJENOM SIMULACIJE PROCESA MONTE CARLO METODOM

Antun Benčić, Tihomir Babić dr.sc. ANTUN BENČIĆ, Zagreb, antun.bencic@inet.hr TIHOMIR BABIĆ, dipl.ing., Zagreb, tbabic@hint.hr

PROCJENA SPOSOBNOSTI PROCESA PRIMJENOM SIMULACIJE PROCESA MONTE CARLO METODOM Pregledni rad/Review

Sažetak Sposobnost procesa definirana je parametrima: potencijalna sposobnost Cp, sposobnost procesa prema gornjoj i donjoj graničnoj vrijednosti Cpd i Cpg, te najvažnijim parametrom kritična sposobnost procesa Ck. Klasična analiza sposobnosti procesa govori o procesu o trenutnoj sposobnosti procesa da ispuni izlazne zahtjeve. Sposobnost procesa upozorava na postojanje ili nepostojanje nesukladnosti. Ukoliko proces nije sposoban ispuniti izlazne zahtjeve potrebno je poduzeti popravne radnje.

Sa stajališta upravljanja kvalitetom bitno je blagovremeno analizirati rizike koji mogu dovesti do nesukladnosti. Voditelj procesa mora djelovati preventivno kako bi spriječio pojavu nesukladnosti. Još u fazi projektiranja procesa potrebno je po mogućnosti provesti simulaciju procesa. Simulacijom se dolazi do bitnih parametara koji utječu na izlazne značajke proizvoda/usluge. U radu se razmatra mogućnost simulacije procesa primjenom Monte Carlo metode i na temelju izlaznog rezultata kako se predviđa kritična sposobnost procesa Ck. Ključne riječi: proces, simulacija, Monte Carlo metoda.

1. UVOD Upravljati procesom moguće je kurativno i/ili preventivno. Kod kurativnog upravljanja nesukladnost se dogodila, a poduzimanjem popravnih radnji, proces se dovodi u stabilno stanje. Kod preventivnog pristupa, analizom rizika otkrivaju se potencijalne opasnosti u realizaciji procesa i kad se otkriju, poduzimaju se preventivne radnje. U prvom se slučaju na proces gleda unazad, u prošlost. U drugom slučaju pozornost je usmjerena na budućnost. Alatima statističkog upravljanja procesom ujedno se provodi preventivno i kurativno upravljanje. Kontrolne karte služe za otkrivanje statističke stabilnosti procesa. Proces je statistički pod kontrolom ako na njega ne djeluju vanjske sile koje ga mogu izbaciti iz ravnoteže. Izlazne vrijednosti se rasipaju ali rasipanje slijedi normalnu razdiobu. Prije nego se dogode nesukladnosti, primjenom kontrolnih karata moguće je otkriti trenutak kad se pojavljuje vanjska prijetnja koja može izbaciti proces iz stabilnog stanja. Kad se to otkrije, potrebno je poduzeti preventivne radnje. Ako je proces statistički pod kontrolom to još ne znači da ispunjava postaljene zahtjeve. Mjera koja pokazuje ispunjava li proces postavljene zahtjeve je sposobnost procesa. Proces je zadan specifikacijama ili zahtjevima koji moraju biti ispunjeni. Rasipanje vrijednosti varijable procesa mora biti unutar zadanih specifikacija (GGV – gornja granična vrijednost; DGV – donja granična vrijednost). Jedan od načina preventivnog djelovanja je provođenje simulacije procesa sa ciljem procjene rasipanja parametra na izlazu procesa. Parametar procesa koji se prati ima svoje statističke značajke, srednju vrijednost i standardno odstupanje, ako slijedi normalnu razdiobu, ili neke druge značajke ovisno o vrsti razdiobe koju slijedi izlazna varijabla. Izlazni parametar je slučajna veličina i može se grafički prikazati histogramom, funkcijom vjerojatnosti ili

14. HRVATSKA KONFERENCIJA O KVALITETI I 5. ZNANSTVENI SKUP HRVATSKOG DRUŠTVA ZA KVALITETU Baška, otok KRK, 15. – 17. svibnja 2014. g.

- 58 -

Antun Benčić, Tihomir Babić kumulativnom funkcijom vjerojatnosti. Ovi grafički prikazi vizualiziraju oblik razdiobe i područje rasipanja varijable. Ako je cjelokupno rasipanje vrijednosti unutar specificiranih granica kaže se da je proces sposoban ispuniti postavljene zahtjeve.

Jedna od metoda simulacije procesa je Monte Carlo metoda o kojoj će biti riječi u nastavku.

2. SPOSOBNOST PROCESA 2.1 Utjecaj rasipanja parametara procesa Analiza sposobnosti procesa nastavak je analize kontrolnih karata. S kontrolnim kartama se kontrolira je li proces statistički pod kontrolom. Ako se utvrdi da je proces statistički pod kontrolom pristupa se analizi sposobnosti procesa.

Analiza sposobnosti procesa ispitivanje je svojstvene varijabilnosti razdiobe procesa, s ciljem procjene njegove sposobnosti proizvoditi izlazne parametre unutar granica tolerancija dopuštenih specifikacijama.

Sposobnost procesa procjenjuje se usporedbom širine područja tolerancija specifikacije s cjelokupnim rasipanjem procesa.

Svaki je proces zadan specifikacijama u kojima je dana ciljna vrijednost parametra i dopuštene granice odstupanja (slika 1). Tolerancije su zadane donjom i gornjom graničnom vrijednošću parametra (DGV i GGV).

Slika 1. Granice tolerancija i razdioba vrijednosti izlaznog parametra DGV

GGV a = μ ‐ DGV

b = GGV ‐ μ

T = GGV ‐ DGV

μ

Nije dovoljno da se srednja vrijednost procesa nalazi unutar dopuštenih granica. Svaki proces unosi varijacije parametara. Rasipanje parametara također mora biti unutar propisanih graničnih vrijednosti parametra. Svako prekoračenje granica znači nesukladnost s propisanim zahtjevima.

2.2 Parametri sposobnosti procesa Sposobnost se može procijeniti usporedbom standardnog odstupanja populacije (σ) i širine područja tolerancija (GGV – DGV). Time se dobivaju indeksi sposobnosti procesa.

Indeks relativne preciznosti je odnos širine područja tolerancija (GGV - DGV) prema srednjoj vrijednosti raspona ( R ).

Indeks Cp ili potencijalna sposobnost procesa je odnos širine područja tolerancija prema 6 standardnih odstupanja (6σ). Potencijalna sposobnost procesa definirana je izrazom GGV − DGV .

Cp = 6 ⋅σ (1)

Potencijalna sposobnost procesa znači koliko je puta veći razmak između propisanih granica procesa od 6σ stvarnog procesa. Poznato je da se 99,73% svih vrijednosti

14. HRVATSKA KONFERENCIJA O KVALITETI I 5. ZNANSTVENI SKUP HRVATSKOG DRUŠTVA ZA KVALITETU Baška, otok KRK, 15. – 17. svibnja 2014. g.

- 59 -

Antun Benčić, Tihomir Babić normalnog procesa nalazi u granicama μ ± 3σ. Proces bi se morao nalaziti točno u sredini između propisanih granica, a to je u praksi najčešće samo želja, zato se govori o potencijalnoj sposobnosti procesa.

Sposobnost procesa u odnosu na donju graničnu vrijednost DGV definirana je izrazom: μ − DGV .

(2) C pd = 3 ⋅σ Parametar Cpd opisuje koliko je puta veći razmak između srednje vrijednosti procesa i donje granične vrijednosti DGV u odnosu na 3σ stvarnog procesa. Ako je vrijednost Cpd manja od 1 proces će generirati proizvode nesukladne s propisanim zahtjevima.

Sposobnost procesa u odnosu na gornju graničnu vrijednost GGV definirana je izrazom: GGV − μ .

(4) C pg = 3 ⋅σ Parametar Cpg opisuje koliko je puta veći razmak između srednje vrijednosti procesa i donje granične vrijednosti GGV od 3σ stvarnog procesa. Ako je vrijednost manja od 1 proces će generirati proizvode nesukladne s propisanim zahtjevima.

Kritična sposobnost procesa (Cpk) definirana je kao manja vrijednost Cpd i Cpg, ili matematički zapisano C pk = MIN C pd ,C pg (5)

(

)

Vrijednost Cpk definira kritičnu sposobnost procesa. Cpk je mjera sposobnosti procesa, uključujući i njegove centriranosti. Cpk se može koristiti i za jednostrane specifikacije.

Svako odstupanje srednje vrijednosti stvarnog procesa od propisane ciljne vrijednosti i približavanje nekoj od granica tolerancije povećava vjerojatnost prekoračenja zahtjeva, a time i stvaranje nesukladnog proizvoda.

2.3 Tumačenje vrijednosti parametara sposobnosti procesa Razina povjerenja prema proizvođaču temelji se na vrijednosti parametra Cpk: • • • • • •

Cpk < 1. Proizvođač nije sposoban i zato će se na izlazu procesa pojaviti škart.

Cpk = 1. Proizvođač ustvari nije sposoban, budući svaka promjena u procesu ima za posljedicu nedetektiranu nesukladnost.

Cpk = 1,33. To je još daleko od prihvatljive situacije budući nesukladnosti nije moguće detektirati kontrolnim kartama.

Cpk = 1,5. To još nije zadovoljavajuće budući će se nesukladnosti pojaviti, a mogućnost detekcije još uvijek nije dovoljno dobra.

Cpk = 1,67. Nesukladnosti će se još uvijek pojavljivati, ali postoji velika vjerojatnost da će biti detektirana.

Cpk = 2. Visoka razina povjerenja u proizvođača, pogotovo ako se konstantno prate kontrolne karte.

3. MONTE CARLO SIMULACIJA 3.1 Simulacija procesa Simulacijsko modeliranje je proces stvaranja i eksperimentiranja s računalnim matematičkim modelom nekog fizikalnog sustava u cilju razumijevanja, projektiranja i poboljšanja procesa.

14. HRVATSKA KONFERENCIJA O KVALITETI I 5. ZNANSTVENI SKUP HRVATSKOG DRUŠTVA ZA KVALITETU Baška, otok KRK, 15. – 17. svibnja 2014. g.

- 60 -

Antun Benčić, Tihomir Babić U ovom slučaju se sustav predstavlja matematičkim modelom koji opisuje pretvorbu ulaza u izlaze.

Simulacije se obično koriste za analizu sustava, njegovu optimizaciju i razradu scenarija.

3.2 Uzorkovanje Monte Carlo simulacija temelji se na poznavanju prijenosne funkcije Z = f(X1; X2;..) s kojom se ulazi pretvaraju u izlaz procesa. Varijable X1, X2, .. su slučajne veličine koje slijede određene razdiobe.

U Monte Carlo simulaciji, cijeli se sustav simulira velikim brojem vremenskih intervala.

Svaki interval sadrži po jednu realizaciju svake ulazne veličine. Slučajna vrijednost realizacije generirana je računalom na temelju poznatih razdioba.

Na temelju vrijednosti ulaznih veličina i prijenosne funkcije izračunava se vrijednost izlaznog parametra procesa. Statističkom analizom izlaznih vrijednosti dobije se funkcija razdiobe. Izlaz se ne opisuje pojedinom vrijednošću već određenom funkcijom razdiobe.

Preciznost simulacije ovisi o veličini uzorka N, odnosno o broju vremenskih intervala. Što je broj vremenskih intervala N veći, veća je preciznost simulacije.

3.3 Postupak provedbe Monte Carlo simulacije Monte Carlo metoda je tehnika koja uključuje uporabu slučajnih brojeva i vjerojatnosti u rješavanju problema. Omogućuje generiranje pojedinačnih slučajnih ulaznih veličina kada je poznata njihova razdioba. U nekim računalnim programa omogućeno je izravno generiranje nizova koji slijede određenu razdiobu. U slučaju kad to nije moguće, problem generiranja slučajnog niza određene razdiobe moguće je primjenom jedinične ravnomjerne razdiobe i inverzne kumulativne funkcije vjerojatnosti zahtijevane razdiobe.

Postupak provedbe Monte Carlo simulacije provodi se u načelu u slijedećim koracima, slika 2.

1. korak: Definiranje matematičkog modela transformacije ulaza u izlaze Z = f(A; B; ..), gdje su A, B, .. ulazne slučajne veličine.

2. korak: Definiranje funkcije vjerojatnosti i njenih parametara za svaki ulaz modela f(A), f(B), ..

3. korak: Generiranje slučajnog niza ravnomjerne razdiobe veličine niza N s granicom (0; 1) za svaki ulaz X1, X2, ..

4. korak: Pretvorba jedinične ravnomjerne razdiobe u traženu razdiobu ulazne veličine A = F1-1(X1); B = F2-1(X2), .., gdje F-1 – inverzna kumulativna funkcija vjerojatnosti za traženu razdiobu.

5. korak: Računanje N vrijednosti izlazne veličine Z = f(A;B;..).

6. korak: Statistička analiza izlazne veličine i njen grafički prikaz.

Slika 2. Prikaz koraka u provedbi Monte Carlo simulacije

14. HRVATSKA KONFERENCIJA O KVALITETI I 5. ZNANSTVENI SKUP HRVATSKOG DRUŠTVA ZA KVALITETU Baška, otok KRK, 15. – 17. svibnja 2014. g.

- 61 -

Antun Benčić, Tihomir Babić 3.4 Koristi od primjene Monte Carlo simulacije Monte Carlo simulacija moćan je alat kada se žele razumjeti i kvantificirati potencijalni učinci na rasipanje izlaznog parametra procesa.

Simulacije se primjenjuju zbog uštede resursa ili kad je provedba eksperimenta preskupa ili neizvediva. Modeli su relativno jednostavni za razvoj i mogu se po potrebi proširivati, lako su razumljivi, a odnos između izlaza i ulaza je transparentan.

Računala su danas skoro svakome dostupna i dovoljno moćna da mogu u kratkom vremenu provesti ogroman broj računanja u vrlo kratkom vremenu. Microsoftov program EXCEL svima je dostupan, ali za ozbiljniju primjenu Monte Carlo metode potrebno je nabaviti dodatne programe, koji su relativno jeftini (npr. @ RISK), zbog generiranja većeg broja razdioba. EXCEL omogućava izravno generiranje 7 tipova razdioba, a @RISK još oko 35.

U kratkom vremenskom intervalu, bez trošenja dodatnih resursa moguće je napraviti veliki broj simulacija promjenom ulaznih veličina ili prijenosne funkcije što omogućuje optimizaciju sustava i otkrivanje osjetljivosti izlazne varijable na promjenu ulaznih vrijednosti.

3.5 Ograničenja Monte Carlo simulacije U znanosti, dokazu zasnovanom na koncepcijskom rezoniranju, daje se prednost u odnosu na simulaciju, budući simulacija često ne pruža razumijevanje razloga za dobiveni rezultat.

Računalna simulacija empirijskih modela je podložna ograničenju u smislu da model ne prezentira problem na odgovarajući način. U primjeni Monte Carlo simulacije problem je najčešće u pomanjkanju znanja o stvarnom modelu.

Definiranje modela temelji se na iskustvu, podacima iz literature ili iz povijesnih podataka ako postoje. U većini slučaja, model mogu definirati samo znalci koji dobro poznaju proces i sudjeluju u njegovoj realizaciji.

3.6 Procjena sposobnosti procesa primjenom Monte Carlo simulacije – Primjer Postupak procjene sposobnosti procesa primjenom Monte Carlo simulacije dan je za primjer na slici 3.

Slika 3. Model Monte Carlo simulacije 1. korak: Definiranje matematičkog modela. Pretpostavimo da je matematički model procesa Y =(A+B)/C+D, gdje su A, B, C i D ulazi modela i imaju slučajni karakter.

2. korak: Definiranje statističkih parametara ulaznih veličina. Kao primjer, procijenjeni parametri dani su u tablici 1.

Tablica 1. Tabelarni prikaz parametara ulaza modela

14. HRVATSKA KONFERENCIJA O KVALITETI I 5. ZNANSTVENI SKUP HRVATSKOG DRUŠTVA ZA KVALITETU Baška, otok KRK, 15. – 17. svibnja 2014. g.

- 62 -

Antun Benčić, Tihomir Babić

3. korak: Generiranje 3 slučajna niza s ravnomjernom razdiobom (Min = 0; Max = 1, N = 10000). Tri slučajna niza su potrebna kako bi se dobile ravnomjerne razdiobe unutar granica od Min do Max. Četvrta D varijabla može se generirati izravno iz EXCEL-a. Na slici 4. dan je popunjeni dijalog prozor za generiranje 3 slučajna niza. Slika 5. prikazuje djelomični EXCEL radni list na kojem su generirana 3 slučajna niza.

Slika 4. Popunjen dijalog prozor

Slika 5. Generiranje jediničnih nizova s ravnomjernom razdiobom

4. korak: Pretvorba slučajnih nizova s ravnomjernom razdiobom u ulazne veličine modela s točno definiranim funkcijama vjerojatnosti, te generiranje niza koji slijedi normalnu razdiobu (Slika 7.).

14. HRVATSKA KONFERENCIJA O KVALITETI I 5. ZNANSTVENI SKUP HRVATSKOG DRUŠTVA ZA KVALITETU Baška, otok KRK, 15. – 17. svibnja 2014. g.

- 63 -

Antun Benčić, Tihomir Babić Slika 6. Popunjen dijalog prozor

Slika 7. Dio generiranih nizova ulaznih varijabli modela (A, B, C, D)

Izraz za transformaciju ravnomjerne jedinične razdiobe u ravnomjernu razdiobu s granicama (Min; Max) je (Max-Min)*RND+Min. Slučajni niz koji slijedi normalnu razdiobu generira se postupkom Data / Data Analysis i ispuni se dijalog prozor. Za ulaz D popunjeni dijalog prozor dan je na slici 6.

5. korak: Izračun izlazne varijable primjenom izraza Z = (A+B)/C+D

14. HRVATSKA KONFERENCIJA O KVALITETI I 5. ZNANSTVENI SKUP HRVATSKOG DRUŠTVA ZA KVALITETU Baška, otok KRK, 15. – 17. svibnja 2014. g.

- 64 -

Antun Benčić, Tihomir Babić Slika 8. Dio niza vrijednost izlane varijable (Z)

6.

korak: Statistička obrada izlazne varijable i njen grafički prikaz

Slika 9. Parametri sposobnosti procesa i grafički prikaz izlaza procesa

4. ZAKLJUČAK Analiza sposobnosti procesa primjenjuje se za ocjenu ispunjava li proces izlazne zahtjeve, odnosno nalazi li se izlaz procesa u cjelosti unutar specificiranih granica. Ako je Cpk veće od 1,33 može se tvrditi da proces vjerojatno ispunjava izlazne zahtjeve.

Procjena udjela nesukladnih proizvoda zavisi od pretpostavki o normalnosti razdiobe vjerojatnosti. Kada se u praksi ne može ostvariti striktna normalnost, prema ovakvim procjenama treba se odnositi s predostrožnošću, naročito kada su u pitanju procesi s velikom vrijednošću Cpk. Indeksi sposobnosti mogu zavesti u slučajevima kada se distribucija procesa znatno razlikuje od normalne. Procjene udjela nesukladnih jedinica treba zasnivati na metodi analiza razvijenih za odgovarajuće raspodjele takvih podataka. Slično, u slučaju procesa koji su podložni sustavno pridruženim uzrocima varijacija, kao što je trošenje alata,

14. HRVATSKA KONFERENCIJA O KVALITETI I 5. ZNANSTVENI SKUP HRVATSKOG DRUŠTVA ZA KVALITETU Baška, otok KRK, 15. – 17. svibnja 2014. g.

- 65 -

Antun Benčić, Tihomir Babić promjene okolišnih uvjeta i sl., moraju se koristiti specijalizirani pristupi za izračunavanje i tumačenje sposobnosti.

Monte Carlo simulacija omogućava predviđanje sposobnosti budućeg procesa, pod pretpostavkom da će proces biti statistički pod kontrolom. Simulacija je koristan alat u procijeni osjetljivosti pojedinih ulaza na srednju vrijednost izlaznog parametra i njegovu varijabilnost.

Monte Carlo metoda je dobar alat u fazi planiranja procesa, njegovog razvoja i planiranja preventivnog održavanja jer omogućuje optimiziranje procesa. Preciznost simulacije ovisi o veličini vremenskih nizova i sposobnosti točnog definiranja prijenosne funkcije i procjeni razdiobe svake ulazne varijable.

5. LITERATURA [1]. John S. Oakland, Statistical Process Control, Buttrworth, Heinemann, Fifth

Edition, 2003.

[2]. Bjørn Andersen, Business Process Improvement Toolbox, ASQ Quality Press, Milwaukee, Wisconsin, 1999 [3]. Ivica Oslić, Kvaliteta i poslovna izvrsnost, Pristup i modeli, M.E.P. Consult, Zagreb, 2008.

[4]. Burr, Engineering Statistics and Quality Control, McGraw-Hill, 1953.

[5]. Juran, Gryna, Planiranje i analiza kvalitete, Treće izdanje, MATE, 1999.

[6]. Vulanović i dr., Metode i tehnike unapređenja procesa rada, Statističke, inženjerske, menadžerske, IIS Istraživački tehnološki centar, Novi Sad, 2003.

[7]. Živko Kondić, Kvaliteta i metode poboljšanja, Varaždin, 2004.

[8]. Marić N, Konjikušić S., Uvod u nauku o upravljanju, Dana Status, 2009.

[9]. ISO 31000:2009; Risk management — Principles and guidelines [10]. IEC/ISO 31010:2009; Risk management – Risk assessment techniques [11]. Statistical and Probability Tutorial, http://stattrek.com/Lesson1/Statistics-Intro.aspx?Tutorial=Stat [12]. Ljiljana Lovrić, Kvantitativne metode za poslovno odlučivanje, http://www.mojfaks.com/skripte/efri/kvantitativne-metode-za-poslovno-odlucivanje-335 [13]. Miodrag Lazić, Sposobnost procesa – merenje i ocena kvaliteta procesa, http://www.cqm.rs/2011/FQ2011/pdf/38/35.pdf [14]. Kovačić, Kondić, Statistička analiza sposobnosti procesa proizvodnje strech folije, http://hrcak.srce.hr/94806 [15]. Monte Carlo Simulation Tutorial, http://www.solver.com/monte-carlo-simulation-tutorial.htm [16]. Excel Add-In, Monte Carlo Simulation, http://www3.wabash.edu/econometrics/EconometricsBook/Basic%20Tools/ExcelAddIns/MCSim.ht m [17]. Modeliranje sigurnosnih prijetnji, CIS, http://www.cis.hr/files/dokumenti/CIS-DOC-2012-05049.pdf [18]. Introduction to Monte Carlo Simulation, http://office.microsoft.com/en-us/excel-help/introductionto-monte-carlo-simulation-HA001111893.aspx EVALUATION OF PROCESS CAPABILITY USING PROCESS SIMULATION WITH THE MONTE CARLO METHOD Summary Process capability is defined by these parameters: potential ability Cp, process capability according to the upper and lower limit values Cpl and Cpu, and the most important parameter – critical process capability Ck. The classic analysis of process capability speaks about the process of the current process capability to fulfil the output requirements. Process capability points to the existence or non-existence of noncompliance. If the process is not able to fulfil the output requirements, it is necessary to take corrective action.

From the viewpoint of a quality-manager it is essential to promptly analyse the risks that can lead to noncompliance. The process manager must act preventively in order to prevent the occurrence of noncompliance. The simulation of the process should, preferably, already have been carried out in the design

14. HRVATSKA KONFERENCIJA O KVALITETI I 5. ZNANSTVENI SKUP HRVATSKOG DRUŠTVA ZA KVALITETU Baška, otok KRK, 15. – 17. svibnja 2014. g.

- 66 -

Antun Benčić, Tihomir Babić stage of the process. By simulating, one comes to important parameters that influence the output characteristics of the product/service. This paper discusses the possibility of process simulation using the Monte Carlo method and, based on the output result, how to predict the critical process capability, Ck. Keywords: process, simulation, Monte Carlo method

14. HRVATSKA KONFERENCIJA O KVALITETI I 5. ZNANSTVENI SKUP HRVATSKOG DRUŠTVA ZA KVALITETU Baška, otok KRK, 15. – 17. svibnja 2014. g.

- 67 -