Escuela de Turismo y GastronomĂa
EstadĂstica para los negocios I Probabilidad y distribuciones de probabilidad
Conjunto • Consiste en una colección de distintos objetos. • Los objetos de un conjunto se denominan elementos del conjunto • Existen dos formas de escribir un conjunto: – Por extensión – Por comprensión
Operaciones con conjuntos
Uni贸n (U): A partir de A y B, formar un nuevo conjunto que contenga los elementos que pertenecen A y B.
Operaciones con conjuntos • Complemento( đ??´đ?‘? ): Conjunto que contiene todos los elementos del conjunto universal (U) que no estĂĄn contenidos en A. • IntersecciĂłn(∊): A partir de A y B formar un nuevo conjunto que contiene, Ăşnicamente, aquellos elementos que pertenecen tanto a A como a B.
Ejercicio 1 Escriba los extensiĂłn
siguientes
conjuntos
por
• A= Secuencia Fibonacci (đ?‘Ľ = đ?‘Ľâˆ’1 + đ?‘Ľâˆ’2 ) donde (-1) indica un periodo anterior y (-2) dos periodos anteriores. Ejemplo si đ?‘Ľâˆ’1 = 0 y đ?‘Ľâˆ’2 = 1, entonces đ?‘Ľ = 0 + 1 = 1. Ăšnicamente los valores de đ?‘Ľ menores o iguales a 21. • B= NĂşmero enteros positivos menores de 9 • C= Los nĂşmero primeros menores o iguales a 15
Ejercicio 2 Con los conjuntos del punto anterior, realice las siguientes operaciones • • • • •
đ??´âˆŞđ??ľ đ??ľâˆŠC đ??´â€˛ đ??´âˆŠ đ??ľâˆŠđ??ś đ??ľâˆŞ đ??´âˆŠđ??ś
Ejercicio 3 Un conjunto formado por 250 personas presentó una prueba formada por tres preguntas. Luego de la corrección, se obtuvieron los siguientes resultados: • • • • • • • •
27 respondieron correctamente las tres preguntas, 31 respondieron correctamente sólo la primera y la segunda pregunta, 32 respondieron correctamente sólo la primera y la tercera pregunta, 15 respondieron correctamente sólo la segunda y la tercera pregunta, 134 respondieron correctamente la pregunta 1, 87 respondieron correctamente la segunda pregunta y 129 respondieron correctamente la pregunta tres
• Cuántas personas no respondieron correctamente ninguna pregunta • Cuántas personas respondieron correctamente únicamente una de las preguntas
El papel de la probabilidad
La probabilidad se emplea como una herramienta que permite evaluar la confiabilidad de las conclusiones respecto a la poblaci贸n cuando s贸lo se tiene informaci贸n muestral.
El uso de la probabilidad… 1. Cuando se conoce la población, la probabilidad se usa para describir la posibilidad de observar un resultado muestral particular. 2. Cuando se desconoce la población, y sólo está disponible una muestra de dicha población, se usa la probabilidad para hacer afirmaciones acerca de la composición de la población; es decir hacer inferencias estadísticas
Definiciones: • Variable aleatoria: Aquella variable, cuyos resultados se pueden obtener de manera experimental • Experimento: Es el proceso mediante el cual se obtiene una observación • Evento simple: Es el resultado que se observa en una sola repetición del experimento • Evento: Colección de eventos simples, denotados con frecuencia mediante una letra mayúscula.
• Eventos mutuamente excluyentes: Aquellos eventos de tal manera que cuando uno ocurre, el otro no, y viceversa • Espacio muestral: Conjunto de todos los eventos simples • Diagrama de Venn: Ilustración que permite representar un evento • Diagrama de árbol: Representación de un experimento en etapas, donde cada nivel sucesivo de la ramificación corresponde a un paso requerido para generar el resultado final
CÁLCULO DE PROBABILIDADES PARA EVENTOS SIMPLES
La probabilidad de un evento A es una medida de la posibilidad de que ocurra un evento A. De forma prĂĄctica, se asocia con el concepto de frecuencia relativa, entonces: Frecuencia relativa
đ??š. đ??´ đ??š. đ?‘… = đ?‘›
Probabilidad del evento A
đ??šđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘?đ?‘˘đ?‘’đ?‘›đ?‘?đ?‘–đ?‘Ž đ?‘ƒ đ??´ = lim đ?‘›â†’∞ đ?‘›
Pasos para calcular la probabilidad de un evento 1. Liste los eventos simples del espacio muestral 2. Asigne una probabilidad apropiada para cada evento simple 3. Determine quĂŠ eventos simples dan como resultado el evento de interĂŠs 4. Sume las probabilidades de los eventos simples que dan como resultado el evento de interĂŠs
Axiomas de la probabilidad
1. La probabilidad es positiva y menor o igual que uno ďƒ 0 ≤ đ?‘ƒ đ??´ ≤ 1 2. La probabilidad de un suceso seguro es 1 ďƒ đ?‘ƒ đ??¸ = 1 3. Si A y B son incompatibles, es decir đ??´âˆŠđ??ľ =âˆ…ďƒ đ?‘ƒ đ??´âˆŞđ??ľ =đ?‘ƒ đ??´ + đ?‘ƒ(đ??ľ)
Propiedades de la probabilidad 1. La suma de las probabilidades de un suceso (đ??´) y su contrario (đ??ľ) vale 1, por tanto la probabilidad del suceso contrario es ďƒ đ?‘ƒ đ??ľ = 1 − đ?‘ƒ đ??´ 2. La probabilidad de un suceso imposible es cero ďƒ đ?‘ƒ ∅ =0 3. La probabilidad de la uniĂłn de dos sucesos es la suma de sus probabilidades restĂĄndole la probabilidad de su intersecciĂłn ďƒ đ?‘ƒ đ??´ âˆŞ đ??ľ = đ?‘ƒ đ??´ + đ?‘ƒ đ??ľ − đ?‘ƒ(đ??´ ∊ đ??ľ) 4. Si un suceso estĂĄ incluido en otro, su probabilidad es menor o igual a la de ĂŠste ďƒ đ?‘†đ?‘– đ??´ ⊂ đ??ľ → đ?‘ƒ đ??´ ≤ đ?‘ƒ(đ??ľ)
Ejemplo 1
Un recipiente contiene una balota amarilla y dos rojas. Usted cierra los ojos y elige dos balotas del recipiente, una a la vez, y registra sus colores. Âż CuĂĄl es la probabilidad de que ambas balotas sean rojas?
Ejemplo 2 Un espacio muestral đ?‘† consta de cinco eventos simples con estas probabilidades: đ?‘ƒ đ??¸1 = đ?‘ƒ đ??¸2 = 0.15 đ?‘ƒ đ??¸3 = 0.4 đ?‘ƒ đ??¸4 = 2đ?‘ƒ đ??¸5 a. Encuentre las probabilidades para los eventos simples đ??¸4 y đ??¸5 b. Encuentre las probabilidades para los eventos: đ??´ = đ??¸1 , đ??¸3 , đ??¸4 đ??ľ = đ??¸2 , đ??¸3
Ejemplo 3 En el juego de ruleta se usa una rueda que contiene 38 casillas. 36 se enumeran 1,2,3,…,36 y las dos restantes se marcan con 0 y 00. La rueda se hace girar y se identifica una casilla como la “ganadora”. Suponga que la selección de casillas es equiprobable. a. Identifique los eventos simples en un solo giro de la ruleta b. Asigne probabilidades a los eventos simples c. Sea A el evento de que usted observe 0 o un 00. Liste todos los eventos simples de A y calcule P(A) d. Suponga que coloca apuestas en los números del 1 al 18. ¿Cuál es la probabilidad de que uno de sus números sea el ganador.
Tarea Una empresa de transporte aéreo tiene rutas de la ciudad A a la D. Para llegar tiene que pasar por las ciudades B y C. Entre A y B tiene disponibles 3 rutas, entre B y C otras 2 rutas, mientras que entre C y D tiene 3 rutas. 1. Cuántas rutas posibles puede operar la compañía entre la ciudad A y la D? 2. Liste todas las posibles combinaciones