Escuela de Turismo y GastronomĂa
EstadĂstica para los negocios II Repaso general probabilidad y distribuciones de probabilidad
La probabilidad Se utiliza como una herramienta que permite evaluar la confiabilidad de las conclusiones, respecto a la poblaci贸n, cuando se tiene informaci贸n muestral. Uso de las probabilidades: 1. Cuando se desconoce la poblaci贸n 2. Con conocimiento de la poblaci贸n
Cuando se conoce la población, la probabilidad se usa para describir la posibilidad de observar un resultado muestral en particular. Cuando se desconoce la población, y sólo está disponible una muestra de esa población, se usa la probabilidad para hacer afirmaciones sobre las características de dicha población Es decir, hacer inferencias.
Definiciones: • Variable aleatoria: Aquella variable, cuyos resultados se pueden obtener de manera experimental • Experimento: Es el proceso mediante el cual se obtiene una observación • Evento simple: Es el resultado que se observa en una sola repetición del experimento • Evento: Colección de eventos simples, denotados con frecuencia mediante una letra mayúscula.
• Eventos mutuamente excluyentes: Aquellos eventos de tal manera que cuando uno ocurre, el otro no, y viceversa • Espacio muestral: Conjunto de todos los eventos simples • Diagrama de Venn: Ilustración que permite representar un evento • Diagrama de árbol: Representación de un experimento en etapas, donde cada nivel sucesivo de la ramificación corresponde a un paso requerido para generar el resultado final
CÁLCULO DE PROBABILIDADES PARA EVENTOS SIMPLES
La probabilidad de un evento A es una medida de la posibilidad de que ocurra un evento A. De forma prĂĄctica, se asocia con el concepto de frecuencia relativa, entonces: Frecuencia relativa
đ??š. đ??´ đ??š. đ?‘… = đ?‘›
Probabilidad del evento A
đ??šđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘?đ?‘˘đ?‘’đ?‘›đ?‘?đ?‘–đ?‘Ž đ?‘ƒ đ??´ = lim đ?‘›â†’∞ đ?‘›
Entonces… Dado que P(A) se comporta como una frecuencia relativa, P(A) debe ser una proporción cuyos valores se encuentran entre 0 y 1. P(A) = 0 si el evento nunca ocurre P(A) = 1 si el evento ocurre siempre
Pasos para calcular la probabilidad de un evento 1. Liste los eventos simples del espacio muestral 2. Asigne una probabilidad apropiada para cada evento simple 3. Determine quĂŠ eventos simples dan como resultado el evento de interĂŠs 4. Sume las probabilidades de los eventos simples que dan como resultado el evento de interĂŠs
Axiomas de la probabilidad
1. La probabilidad es positiva y menor o igual que uno ďƒ 0 ≤ đ?‘ƒ đ??´ ≤ 1 2. La probabilidad de un suceso seguro es 1 ďƒ đ?‘ƒ đ??¸ = 1 3. Si A y B son incompatibles, es decir đ??´âˆŠđ??ľ =âˆ…ďƒ đ?‘ƒ đ??´âˆŞđ??ľ =đ?‘ƒ đ??´ + đ?‘ƒ(đ??ľ)
Propiedades de la probabilidad 1. La suma de las probabilidades de un suceso (đ??´) y su contrario (đ??ľ) vale 1, por tanto la probabilidad del suceso contrario es ďƒ đ?‘ƒ đ??ľ = 1 − đ?‘ƒ đ??´ 2. La probabilidad de un suceso imposible es cero ďƒ đ?‘ƒ ∅ =0 3. La probabilidad de la uniĂłn de dos sucesos es la suma de sus probabilidades restĂĄndole la probabilidad de su intersecciĂłn ďƒ đ?‘ƒ đ??´ âˆŞ đ??ľ = đ?‘ƒ đ??´ + đ?‘ƒ đ??ľ − đ?‘ƒ(đ??´ ∊ đ??ľ) 4. Si un suceso estĂĄ incluido en otro, su probabilidad es menor o igual a la de ĂŠste ďƒ đ?‘†đ?‘– đ??´ ⊂ đ??ľ → đ?‘ƒ đ??´ ≤ đ?‘ƒ(đ??ľ)
Ejemplo
Un recipiente contiene una balota amarilla y dos rojas. Usted cierra los ojos y elige dos balotas del recipiente, una a la vez, y registra sus colores. ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que ambas balotas sean rojas?
Ejercicio
• En un restaurante el jefe de talento humano está encargado de programar el personal de tal manera que se pueda atender la demanda de los diferentes servicios ofrecidos. La experiencia muestra que: • a. La probabilidad de que un cliente asista en la mañana y sea atendido a tiempo es de 0.10 • b. La probabilidad de que un cliente visite el restaurante en la tarde (medio día), y se presenten demoras en la atención es 3 veces la probabilidad de que sea atendido a tiempo • c. La probabilidad de atención con demoras en la mañana es de 0.05 • d. Atender un cliente en la noche a tiempo tiene una probabilidad de 0.12 • e. La probabilidad de atender un cliente en la noche (a tiempo o no) tiene una probabilidad de 0.3
Distribución de probabilidad para una variable discreta La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta es una fórmula, tabla o gráfica que da los posibles valores de 𝑥 y la probabilidad 𝑝(𝑥) asociada con cada valor 𝑥.
Ejemplo lanzamiento monedas Al lanzar dos monedas, siendo x el nĂşmero de caras observadas, la distribuciĂłn de probabilidades estĂĄ dada por: Eventos simples del lanzamiento de monedas
Histograma de probabilidades P(x)
1/2-
P(x)
1/4-
0
1
2
Ejercicio Una variable aleatoria x tiene una distribución de probabilidad: 𝑥
0
1
2
3
4
5
𝑝(𝑥)
0.1
0.3
?
0.1
0.05
0.05
a. Encuentre 𝑝(2) b. Construya el histograma de probabilidad para 𝑥
Distribuciones discretas 1. Binomial: Funci贸n donde la variable toma solamente dos valores. Se utiliza principalmente(en el caso de la ATH) para predecir preferencias de los consumidores
CaracterĂsticas de un experimento binomial: 1. El experimento consta de đ?‘› ensayos idĂŠnticos 2. Cada ensayo produce uno de dos resultados (ĂŠxito-fracaso) 3. La probabilidad de ĂŠxito en un solo ensayo es igual a đ?‘? y es la misma de un ensayo a otro. ďƒ La probabilidad de fracaso es (1 − đ?‘?) = đ?‘ž 4. Los ensayos son independientes 5. Se estĂĄ interesado en đ?‘Ľ, el nĂşmero de ĂŠxitos observados durante los đ?‘› ensayos
Distribuciones discretas 2. Poisson: Funci贸n apropiada para la modelaci贸n de datos que representan la frecuencia de un evento espec铆fico en una unidad de tiempo o espacio. Ejemplo: N煤mero de llamadas que se reciben durante cierto tiempo.
Distribuciones continuas Una variable aleatoria continua puede tomar cualquier valor de un número infinito de valores de la recta La distribución de probabilidad se crea a lo largo de la recta Atención: Diferencia entre la distribución de una distribución de probabilidad para una variable aleatoria continua y una discreta
DistribuciĂłn de probabilidad normal DistribuciĂłn de probabilidad de una variable continua forma es similar a la de una campana.
đ?‘“ đ?‘Ľ =
1 đ?œŽ 2đ?œ‹
đ?‘Ľâˆ’đ?œ‡ 2 − đ?‘’ 2đ?œŽ2
∞
đ?‘“ đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ = 1 −∞
cuya
Distribución de probabilidad eståndar Corresponde a la distribución de probabilidad para �, donde la media es cero y la desviación eståndar 1.
�=
đ?‘Ľâˆ’đ?œ‡ đ?œŽ
ďƒ Proceso de estandarizaciĂłn
Ejercicio Algunos estudios demuestran que el consumo de servicios de alojamiento en Colombia estรก normalmente distribuidos, con un gasto promedio de $150.000 y una desviaciรณn estรกndar de $117.350 Cuรกl es la probabilidad de que turista consuma mรกs de $380.000 en tal servicio?