UNIDAD 1
EQUIPO DE TRABAJO
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KAREN LINO C. ANTONELLA VILLAO YOSELYN PINEDA U. JOSELYN SERRANO P. DIANA IBARRA V. ILIANA VERA KEVIN MUZO ROMMEL LOOR B. LEONARDO CHEVEZ S.
ÍNDICE Lógica matemática ................................................................................................................................8 Proposiciones.....................................................................................................................................8 No Proposiciones...............................................................................................................................8 Valor de verdad.................................................................................................................................8 Variable proporcional .......................................................................................................................8 Tabla de verdad.................................................................................................................................8 Operadores lógicos ...............................................................................................................................10 Negación .........................................................................................................................................10 Términos Gramaticales................................................................................................................10 Conjunción: .....................................................................................................................................10 Términos Gramaticales: ..............................................................................................................10 Disyunción:.....................................................................................................................................11 Términos gramaticales.................................................................................................................11 Disyunción Exclusiva: ....................................................................................................................12 Términos gramaticales.................................................................................................................12 Condicional: ....................................................................................................................................13 Términos gramaticales: ...............................................................................................................13 Condicional (Inversa-Reciproca-Contrarecíproca)...........................................................................14 Condición necesaria y suficiente......................................................................................................14 Bicondicional ..................................................................................................................................15 Términos gramaticales: ...............................................................................................................15 Estructura de variables proposicionales ..............................................................................................16 Formas proposicionales: ..................................................................................................................16 Tabla de verdad de una forma proposicional ..............................................................................16 Contingencia ...................................................................................................................................16 Contradicción ..................................................................................................................................17 Tautología .......................................................................................................................................17 Implicación lógica ...........................................................................................................................17 Equivalencia lógica .........................................................................................................................18
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La lรณgica es pues muy importante; ya que permite resolver incluso problemas a los que nunca se ha enfrentado el ser humano utilizando solamente su inteligencia y apoyรกndose de algunos conocimientos acumulado.
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Unidad 1
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Lógica matemática
Proposiciones Una proposición es una unidad semántica (significado-contexto) que, o solo es verdadera o solo es falsa Ejemplo: Vicente Rocafuerte fue presidente del Ecuador: verdadero 2 es un número impar: falso 5 es un número primo: verdadero 4-3=2: falso
No Proposiciones X+2=5 ¿Cuántos años tienes? ¡Apúrate! ¡Auxilio! Por favor Preferencia personal: me gusta dormir en el piso
Valor de verdad El valor de verdad de una proposición es la cualidad de veracidad que describe adecuadamente la proposición. Esto puede ser verdadero o falso Cuando es verdadero (1) Cuando es falso (2)
Variable proporcional Ésta se representa por letras minúsculas como (q, p, t, r… etc.) y sustituyen a la proposición p: Vicente Rocafuerte q: 2 es un número par
Tabla de verdad La tabla de verdad es una representación de los posibles valores de verdad que podría tomar una proposición Ejemplos: 21 =2
a 0 1
8
22 = 4
¿SABIAS QUE...?? a
b
0
0
0
1
1
0
1
1
La tabla de verdad fue desarrollada por Charles Sanders Peirce por los años 1880, pero el formato más popular es el que introdujo Ludwig Wittgenstein en su Tractatus logico-philosophicus, publicado en 1921.
a
b
c
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
23 = 8
Operadores lógicos, negación, conjunción, disyunción - YouTube
https://www.youtube.com/watch?v=cK wYOlN10ns
http://cmap.ihmc.us/docs/queesproposicion.html ¿qué es una proposición? https://www.ecured.cu/L%C3%B3gica_matem%C3%A1tica ¿Qué es lógica matemática? http://conceptodefinicion.de/tablas-de-verdad/ Definición de tablas de verdad
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OPERADORES LÓGICOS
Negación: Sea p una variable proposicional, la negación de p es expresada por ¬p, es una nueva variable proposicional, representada por la siguiente tabla de verdad: p ¬p 0 1 0 1 Términos Gramaticales: “No” “Ni” “No es verdad que” “No es cierto que” “Es falso que” Ejemplo: Si se tiene una variable proposicional; p, la proposición es: p: Tengo un billete de 5 dólares ¬p: No tengo un billete de 5 dólares ó
¬p: Es falso que tengo un billete de 5 dólares
Conjunción:
Sean p y q minúsculas variables proposicionales, la conjunción entre ellas expresadas simbólicamente por p^q es una nueva variable proposicional, representada por la siguiente tabla de verdad: p 0 0 1 1
q 0 1 0 1
p^q 0 0 0 1
Términos Gramaticales: “Y” “pero” “mas” “también” “si embargo” “además” “tal como”
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“no obstante” “aunque” “a la vez” “a pesar que” Signos de puntuación (.) (,) (;)
p^q: Obtengo buenas notas y gano una beca
EJEMPLO: SI se tiene las variables proposicionales; p, q, la proposición es:
Además A la vez
p: Obtengo buenas notas q: Gano una beca
p: Trabajo mucho q: recibo un bajo sueldo p˄q: Trabajo mucho, pero (aunque, sin embargo) recibo un bajo sueldo
Disyunción: Sean p y q variables proposicionales, la disyunción entre ellas son expresadas simbólicamente por p˅q es una nueva variable proposicional, representada por la tabla de valor de verdad. También llamada Disyunción Inclusiva
p 0 0 1 1
q 0 1 0 1
p˅q 0 1 1 1
TÉRMINOS GRAMATICALES “O” Ejemplo: Si se tienen las variables proposicionales; p y q la proposición es: p: tengo un cuaderno de lenguaje q: tengo un cuaderno de matemáticas p˅q: Tengo un cuaderno de Lenguaje o tengo un cuaderno de matemáticas.
https://www.youtube.com/watch?v=gNXNitSGjP0 Disyunción
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Disyunción Exclusiva: Sean P y Q variables proposicionales, la disyunción exclusiva entre ellas, expresada simbólicamente por PvQ es nueva variable proposicional, representada por la siguiente tabla de verdad P 0 0 1 1
Q 0 1 0 1
PvQ 0 1 1 0
Sin solo una de las variables P o Q es reemplazada por una proposición resultante será verdadera Se usa cuando dos encuentros no pueden suceder al mismo tiempo
TÉRMINOS GRAMATICALES “o” “o solo” “o solamente” “o……, o……”
Ejemplos Si se tienen las variables proposicionales p, q la proposición es: P: Estoy en Cuenca Q: Estoy en Guayaquil pvq: Estoy en Cuenca O estoy en Guayaquil pvq: O estoy en Cuenca O estoy en Guayaquil
https://www.youtube.com/watch?v=vtIVQHsfeUw Disyunción exclusiva
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Condicional: Sean p y q variable preposicional, la simbólicamente por verdad.
condicional entre p y q, expresada p->q es nueva variable proposicional, representada por la siguiente tabla de p 0 0 1 1
q 0 1 0 1
p->q 1 1 0 1
Si la variable proposicional p es reemplazada por una proposición verdadera, y q por una proposición resultante será falsa.
Términos gramaticales: 1. “si p, entonces q” 2. “p solo si q” 3. “p solamente si q” 4. “q si p” 5. “si p, q” 6. “q con la condición de que p” 7. “q cuando p” 8. “q siempre que p” 9. “q cada vez que p” 10. “q ya que p” “q debido a que p” 11. “q dado que p” 12. “q presto que p” 13. “q porque p” 14. “se tiene q si se tiene p” 15. “solo si q, p” 16. “q, pues p” 17. “cuando p, q” 18. “los p son q” 19. “p implica q” cualquier expresión que denote causa efecto. Ejemplo: p: Obtengo buenas notas q: gano una beca p->q Si obtengo buenas notas, entonces gano una beca. Gano una beca debido a que obtengo buenas notas. Gano una beca porque obtengo buenas notas. Gano una beca si obtengo buenas notas
https://www.youtube.com/watch?v=xTGlluDCxGc
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Condicional (Inversa-Reciproca-Contrarecíproca) Inversa p
q
Reciproca q
p
Contrarecíproca q
p
Ejemplo: p: obtengo buenas notas q: gano una beca Reciproca Si obtengo buenas notas, entonces gano una beca.
https://www.youtube.com/watch?v=WSACH1FCDWo
Inversa Si no obtengo buenas notas, entonces no gano una beca.
Contrarecíproca Si no gano una beca, entonces no obtengo buenas notas
Condición necesaria y suficiente si p es suficiente para q quiere decir p no puede ocurrir sin que deje de ocurrir q Traducción p q si p es necesaria para q quiere decir que q no puede ocurrir a menos que p ocurra. Traducción q
p.
Conclusión Cuando p
q es verdadera se dice que p es condición suficiente y que q es condición necesaria para p
Cuando q
p es verdadera se dice que q es condición suficiente y que p es condición necesaria.
https://www.youtube.com/watch?v=WSACH1FCDWo Inversa. Recíproca, Contrarecíproca. https://www.youtube.com/watch?v=ETkN5UtrcPc Condición necesaria y suficiente
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BICONDICIONAL Sean p y q variables proposicionales, la bicondicional entre ellas expresadas simbólicamente por: �↔�
p
q
�↔�
0 0 1 1
1 1 0 0
1 0 0 1
TĂŠrminos gramaticales: ďƒ˜ “p si y solo si qâ€? ďƒ˜ “p si y solamente si qâ€? ďƒ˜ “p implica a q y q implica a pâ€? ďƒ˜ “p cuando y solo cuando qâ€? Ejemplos: p: Apruebo el curso de nivelaciĂłn. q: Estudio para mis lecciones. Apruebo el curso de nivelaciĂłn si y solo si estudio para mis lecciones. (đ?’‘ ↔ đ?’’)
https://www.youtube.com/watch?v=tyLUVjdcSAI Bicondicional
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ESTRUCTURA
DE
VARIABLES
PROPOSICIONALES FORMAS PROPOSICIONALES: Se denomina formas proposicionales a las estructuras constituidas por variables proposicionales y los operadores lĂłgicos. Estas formas proposicionales se suelen representar con mayĂşsculas: A, B, C, D etc. Tabla de verdad de una forma proposicional ďƒž Dada la siguiente proposicional determine el valor de verdad
đ??€: [(đ??ŠË„đ??Ş) → (đ??ŤË…â”?đ??Š)]Ë„đ??Ť p 0 0 0 0 1 1 1 1
q 0 0 1 1 0 0 1 1
r â”?đ??Š đ??ŠË„đ??Ş đ??ŤË…â”?đ??Š (đ??ŠË„đ??Ş) → (đ??ŤË…â”?đ??Š) 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1
[(đ??ŠË„đ??Ş) → (đ??ŤË…â”?đ??Š)]Ë„đ??Ť
0 1 0 1 0 1 0 1
CONTINGENCIA Si se tiene al menos una proposiciĂłn con un valor de verdad que difiere del resto para todos los valores de verdad de las variables proposicional.
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CONTRADICCIĂ“N Si se tiene solamente proposiciones falsas para todos los valores de verdad de las variables proposicional.
TAUTOLOGĂ?A Si se tiene solamente proposiciones verdaderas para todos los valores de verdad de las variables proposicional.
IMPLICACIĂ“N LĂ“GICA Sean Ay B dos formas proposicionales se dice que A implica lĂłgicamente a B , denotado por A=>B si y solo si A→B es una tautologĂa.đ??Š → (đ??Ş â†’ đ??Š)
p
q 0 0 1 1
0 1 0 1
(đ??Ş â†’ đ??Š)
đ??Š → (đ??Ş â†’ đ??Š)
1 0 1 1
1 1 1 1
https://www.youtube.com/watch?v=A_kkT5ZMQq4 Formas proposicionales https://www.youtube.com/watch?v=q7TYJlli2V0 ImplicaciĂłn lĂłgica
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EQUIVALENCIA LÓGICA Sean A y B dos formas proposicionales, se dice que A mayúscula equivalente lógicamente a B mayúscula denotado por “A <=>B” si y solo si A<=>B es una tautología.
¬ (pvq) <=> (¬p^¬q)
p
q
¬p
¬q
0 0 1 1
0 1 0 1
1 1 0 0
1 0 1 0
¬(pvq) (¬p^¬q) ¬(pvq)<=> (¬p^¬q) 1 0 0 0
1 0 0 0
1 1 1 1
Ejemplo: A) B) C) D) E)
Si la forma proposicional F (p,q,r,s) es una TAUTOLOGÍA entonces es falso que : F (1,1,0,0) F (0,0,1,1) =1 F (1,1,1,1) F (0,0,0,0) =1 F (0,1,0,1) v F (1,0,1,0) =1 F (1,1,1,0) ^ F (0,0,0,1) =1 F (0,0,0,0) v F (1,1,1,1) =1
Si la forma proposicional F (p,q,r,s) es una CONTRADICCIÓN entonces es verdad que:
A) B) C) D) E)
F (1,1,0,0) F (0,0,1,1) =1 (1,1,1,1) F (0,0,0,0) =0 F (0,1,0,1) V F (1,0,1,0) =1 F (1,1,1,0) ^F (0,0,0,1) =1 F (0,0,0,0) v F (1,1,1,1) =1
https://www.youtube.com/watch?v=UYzNy4DtTHo
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