Funciones

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MATEMATICAS

FUNCIONES ING. ARNALDO ANDRADE

FACULTAD DE FILOSOFIAS, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACION Grupo 3 

LEONARD CHEVEZ

DIANA IBARRA

KAREN LINO

ADRIÁN LOOR

JHON MUZO

JOSELYN PINEDA

YOSELYN SERRANO

ILIANA VERA

ANTONELLA VILLAO

UNIDAD 4

Contenido 5.1 DEFINICION DE UNA FUNCION ................................................................................................ 1 5.1.1 Dominio de la Función.......................................................................................................... 2 Restricciones del Dominio ......................................................................................................... 2 Rango de una Función. .................................................................................................................. 4 Procedimiento para determinar el rango. ................................................................................ 4 5.1.2 TIPOS DE FUNCIONES ........................................................................................................... 5 5.1.3 REGLA DE CORRESPONDENCIA ............................................................................................ 7 5.2 FUNCION LINEAL ..................................................................................................................... 8 5.3 FUNCION CUADRATICA ......................................................................................................... 10 Rango de una función Cuadrática ........................................................................................... 10 Gráfica de la función cuadrática.............................................................................................. 10 Aplicación de función cuadrática (Ejercicio) ........................................................................... 11 5.4 FUNCION CONSTANTE........................................................................................................... 12 Una función constante es una función lineal por la cual el rango no cambia sin importar cual miembro del dominio es usad para cualquier x 1 y x 2 en el dominio. ...................... 12 5.5 FUNCION POR PARTES........................................................................................................... 13 Ejemplo 1................................................................................................................................. 13 Ejemplo 2:................................................................................................................................ 14 5.6 FUNCIÓN LINEAL ................................................................................................................... 15 Ejemplo: .................................................................................................................................. 16 Ejemplo 2:................................................................................................................................ 16 Ejemplo 3:................................................................................................................................ 17

5.1 DEFINICION DE UNA FUNCION Una función matemática es una relación que se establece entre dos conjuntos, a través de la cual a cada elemento del primer conjunto se le asigna un único elemento del segundo conjunto o ninguno. Al conjunto inicial o conjunto de partida también se lo llama dominio; al conjunto final o conjunto de llegada, en tanto, se lo puede denominar codominio. Por lo tanto, dados un conjunto A y un conjunto B, una función es la asociación que se produce cuando a cada elemento del conjunto A (el dominio) se la asigna un único elemento del conjunto B (el codominio). Al elemento genérico del dominio se lo conoce como variable independiente; al elemento genérico del codominio, como variable dependiente. Esto quiere decir que, en el marco de la función matemática, los elementos del codominio dependen de los elementos del dominio.

EJEMPLO:

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5.1.1 Dominio de la FunciĂłn Sea F una funciĂłn de variable real F:đ?‘‹ → đ?‘Œ. El conjunto X para el cual se encuentra definida, constituye el dominio de la funciĂłn. Este conjunto se representa simbĂłlicamente por: dom f.

Restricciones del Dominio

RESTRICCIONES

ďƒź Si f(x) contiene un cociente, este no existe si el denominador se hace 0, por lo que se deben excluir del dominio de la funciĂłn.





DIVISIÓN DENOMINADO R≠0 RAICES PARES

ďƒź Aquellos valores de x que provocan dicha situaciĂłn. Si f(x) contiene una raĂ­z de Ă­ndice par, Esta existirĂĄ solo si el radicando es positivo o 0.

Ejercicios de CĂĄlculo del Dominio de una FunciĂłn

 F(x)=3đ?‘Ľ 8 − đ?‘Ľ 3 + √2 ďƒ dom f: ę“Ł  F(x)=

 F(x)=

đ?‘Ľ

ďƒ dom f: R

2

1 đ?‘Ľâˆ’2

RestricciĂłn por divisiĂłn X-2≠0 X≠2 Dom f: R-{2} → (−∞, 2) âˆŞ (2, −∞)

2

Restricción por Raíz.

 [−1, +∞)

𝑥+1≥0 𝑥≥1

 h(x)=

√4 2 −1 2𝑥−3 3

2𝑥 − 3 ≠ 0

𝑑𝑜𝑚 ℎ = 𝑅 − { } 2

2x≠ 3 X≠

3 2

 g(x)=

1 𝑥−1

+

3

2

2

2 𝑥+2

x-1≠ 0 x≠1

 f(x)=

3

(−∞, ) ∪ ( , +∞)

Dom g: R − {1, −2}

x+2≠ 0 x≠ −2

√𝑥−1 𝑥−8

𝑥−1≥0 𝑥≥1

(1,+∞) {1,8} ∪ {8, +∞} [1,8) ∪ (8, +∞)

𝑥−8≠0 𝑥≠8

Dom f: R-{8}

3

Rango de una FunciĂłn. Sea F una funciĂłn de variable real f:đ?‘‹ → đ?‘Œ el conjunto de todas las imĂĄgenes de los elementos del dominio constituye el rango de la funciĂłn. Este conjunto se representa simbĂłlicamente rgf.

Procedimiento para determinar el rango.

ďƒź Despejar algebraicamente la variable x de la funciĂłn. ďƒź El rango serĂĄ el conjunto de valores que puede tomar la variable y, una vez despejada la variable x.

Determinar el rango de la funciĂłn de variable real.

đ?‘“(đ?‘Ľ ) = 2đ?‘Ľ − 3 đ?‘Ś = 2đ?‘Ľ − 3 (−) − 2 = −3 − đ?‘Ś 2đ?‘Ľ = 3 + đ?‘Ś 3+đ?‘Ś đ?‘Ľ= 2 Rgf= R

Hay restricciones cuando la letra estĂĄ en el denominador

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5.1.2 TIPOS DE FUNCIONES

FUNCION INYECTIVA

FUNCION SOBREYECTIVA

F. ESTRICTAMENTE CRECIENTE

FUNCION CRECIENTE

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F. ESTRICTAMENTE

FUNCION DECRECIENTE

DECRECIENTE

FUNCION PAR

FUNCION IMPAR

FUNCION CONSTANTE

FUNCION ACOTADA

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FUNCION PERIODICA

FUNCION POR PARTES

FUNCION CUADRATICA

FUNCION LINEAL

5.1.3 REGLA DE CORRESPONDENCIA

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Una regla de correspondencia consiste en asignar un elemento único de un cierto conjunto a cada elemento único de otro conjunto. Este concepto es de uso frecuente cuando se trabaja con funciones matemáticas. Al definir una función matemática, lo que se hace es establecer el medio a través del cual se deben realizar las correspondencias entre dos conjuntos. La función en sí misma, por lo tanto, actúa como regla de correspondencia. Dicho de otro modo, el cálculo de una función consiste en descubrir cuál es la correspondencia general que existe en un conjunto con respecto a otro. Podemos distinguir entre dos grandes clases de reglas de correspondencia. La correspondencia unívoca implica que a cada elemento del conjunto conocido como Dominio le corresponde un único elemento de uno denominado Codominio. La correspondencia biunívoca, por su parte, supone que la correspondencia inversa también resulta unívoca (es decir, a cada elemento del Codominio le corresponde un solo elemento del Dominio)

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5.2 FUNCION LINEAL Una función lineal es una función polinómica de primer grado, es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como

F(X)= mx+b

Donde m y b son constantes reales y X es una variable real. La constante m determina la pendiente o inclinación de la recta, y la constante b determina el punto de corte de la recta con el eje vertical y . En el contexto del análisis matemático, las funciones lineales son aquellas que pasan por el origen b=0 de coordenadas, donde , de la forma: F(x)=mx

EJEMPLO: F (x) = 5x + 13 m = la pendiente es 5 b = 13

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5.3 FUNCION CUADRATICA Sean a, b y c números reales con a ≠ 0, la función f de en cuya regla de correspondencia es f (x) = ax2 + bx + c, recibe el nombre de función cuadrática. Su gráfica corresponde geométricamente a una parábola cóncava hacia arriba o hacia abajo.

Rango de una función Cuadrática Rango de la función cuadrática Se trata de determinar el subconjunto de que es el rango de la función cuadrática, esto es, el conjunto de valores que toma f (x) = ax2 + bx + c, cuando x varía de − ∞ a + ∞.

Gráfica de la función cuadrática. Para graficar la función f (x) = ax2 + bx + c en el plano cartesiano, se debe tener en cuenta que:  Su gráfica es una parábola  Tiene simetría con respecto a la recta x = − b 2a.  El signo de a indica la concavidad de la curva. Si a > 0, la parábola es cóncava hacia arriba; y, si a < 0, la parábola es cóncava hacia abajo.  El signo de está relacionado con la cantidad de intersecciones con el eje X. Si > 0, la gráfica de f tiene dos intersecciones con el eje X. Si = 0, la gráfica de f interseca al eje X en un solo punto. Por último, si < 0, la gráfica de f no interseca al eje X. En base a lo anotado, se pueden dar los siguientes casos:

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Aplicaciรณn de funciรณn cuadrรกtica (Ejercicio) Considere un alambre de longitud 20cm, con el que se desea construir un rectรกngulo cuya รกrea se necesita representar matemรกticamente. Soluciรณn: Si se denomina x la medida de uno de los lados que tendrรก el rectรกngulo, el otro lado medirรก

20โ 2๐ ฅ 2

.

Con lo cual, el รกrea de la super๏ฌ cie del rectรกngulo es

ร sta es una funciรณn cuadrรกtica con vรฉrtice en (5, 25) y cรณncava Hacia abajo

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5.4 FUNCION CONSTANTE

Una función constante es una función lineal por la cual el rango no cambia sin importar cual miembro del dominio es usad para cualquier x 1 y x 2 en el dominio. Con una función constante, para cualesquiera dos puntos en el intervalo, un cambio en x resulta en un cambio en cero en f (x).

EJEMPLO: Grafique la función f (x) = 3.

RECUERDA

La gráfica de una función constante es siempre una recta horizontal

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5.5 FUNCION POR PARTES Una funciĂłn definida por partes es aquella que se define de un modo u otro segĂşn el valor que toma la variable x. TambiĂŠn llamada: FUNCION SEGMENTADA FUNCION SELECCIONADA FUNCION DEFINIDA POR TRAMOS

Ejemplo 1: đ??&#x;(đ??ą) = {

đ?&#x;?đ??ą + đ?&#x;? đ??ąđ?&#x;?

đ??Źđ??˘ đ??ą ≤ đ?&#x;Ž } đ??Źđ??˘ đ??ą > đ?&#x;Ž

En esta funciĂłn, si la variable toma un valor menor o igual que 0, la definiciĂłn de la funciĂłn es 2đ?‘Ľ + 1, mientras que si toma un valor positivo la definiciĂłn de la funciĂłn es đ?‘Ľ 2 .

El punto sĂłlido y el punto vacĂ­o de la grĂĄfica indican que el valor que toma đ?‘“ đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ = 0 es đ?‘“(0) = 1 y no đ?‘“(0) = 0 (porque đ?‘Ľ = 0 pertenece al primer intervalo de la definiciĂłn de đ?‘“).

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Ejemplo 2:

Grafique la funciĂłn definida como se muestra.

đ?‘Ś= {

1 2 đ?‘Ľ 2 0 1 2 đ?‘Ľ 2

đ?‘ đ?‘– đ?‘Ľ < −2 đ?‘ đ?‘– − 2 ≤ đ?‘Ľ < 2 đ?‘ đ?‘– đ?‘Ľ ≼ 2

}

Usamos pequeĂąos cĂ­rculos blancos en la grĂĄfica para indicar que el punto final de una curva no estĂĄ incluido en la grĂĄfica, y puntos sĂłlidos para indicar que los puntos finales estĂĄn incluidos.

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5.6 FUNCIÓN LINEAL Una función lineal tiene las siguientes características:  La regla de correspondencia en su expresión simplificada es una ecuación lineal, de la forma y=mx+b  A " m " se la denomina PENDIENTE (medida de la inclinación) de la recta. "b" es el intercepto de la recta con el eje “y”.  El gráfico es una recta. Si " m”, es positivo (m > 0) la recta es creciente.

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Ejemplo: La grafica de f(x)=2x-1 es:

4. Si "m " es negativo (m < 0) la recta es decreciente.

Ejemplo 2: La grafica f(x)=-3x+1 es

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5. Si m=0 la ecuación de la recta queda de la forma y=b. Su gráfica son Rectas Horizontales. Se la llama función constante.

Ejemplo 3: La grafica de f(x)=1

Entonces la ecuación del eje “x” seria y=0 Otros tipos de rectas importantes a ser mencionadas, aunque no son funciones (¿Por qué?), son las RECTAS VERTICALES.

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Ayuda con los temas de Funciones 5.1.) https://www.youtube.com/watch?v=lixFuzigJR0 5.1.1.) https://www.youtube.com/watch?v=qOCMPXoxJyg 5.1.2.) https://www.youtube.com/watch?v=y6xs1iraegg 5.1.3.) https://www.youtube.com/watch?v=i1LUUdDsdXQ 5.2.) https://www.youtube.com/watch?v=7dzfQHzeAyg 5.3.) https://www.youtube.com/watch?v=Ql8L09-HsI0 5.4.) https://www.youtube.com/watch?v=i62enz-zjrk 5.5.) https://www.youtube.com/watch?v=AU1GVkYD78w 5.6.) https://www.youtube.com/watch?v=4cP5oXkv7BM

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