ECUACIONES E INECUACIONES - UNIDAD 4

M12-NIVELACION

ECUACIONES ING: ARNALDO ANDRADE FACULTAD DE FILOSOFÍAS, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN Grupo 3         

ILIANA VERA JOSELYN PINEDA YOSELYN SERRANO ANTONELLA VILLAO LEONARDO CHEVEZ KAREN LINO KEVIN MUZO ADRIAN LOOR DIANA IBARRA

UNIDAD

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ÍNDICE Contenido ....................................................................................................................................................... 5 4.2. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES. (COEFICIENTE ENTERO Y FRACCIONARIO)........ 5 4.2.1. DESPEJE DE FORMULA. ................................................................................................... 7 4.3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. (COEFICIENTE ENTERO Y FRACCIONARIO). ............ 8 4.4. ECUACIONES CUADRÁTICAS. RESOLUCIÓN POR FACTORIZACIÓN, POR COMPLETACIÓN DE CUADRADOS Y POR FORMULA GENERAL. ............................................................................ 11 4.5. PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS CON ECUACIONES. ....................................................... 14 4.6. DEFINICIÓN DE UNA DESIGUALDAD. .................................................................................... 15 4.7. SOLUCIÓN DE UNA DESIGUALDAD ....................................................................................... 16 4.7.1. INTERVALOS. OPERACIONES. ........................................................................................ 18 4.7.2. RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES (COEFICIENTE ENTERO Y FRACCIONARIO. .......... 19

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4.1. DEFINICIÓN DE ECUACIÓN Y TIPOS DE ECUACIONES. Ecuaciones Definición Una identidad o igualdad absoluta, es un enunciado que compara dos expresiones matemáticas con el símbolo “=” y es verdadero para todos los valores de las variables del conjunto referencial que corresponda.

Ejemplo:

Tipos de ecuaciones: Las ecuaciones suelen clasificarse según el tipo de operaciones necesarias para definirlas y según el conjunto de números sobre el que se busca la solución. Entre los tipos más comunes están:

1.-Ecuaciones Algebraicas A) DE PRIMER GRADO O LINEALES una ecuación de primer grado o ecuación lineal es una igualdad que involucra una o más variables a la primera potencia y no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra una o más variables a la primera potencia y no contiene productos entre las variables, es decir ,una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia.

B) DE SEGUNDO GRADO O CUADRÁTICAS: Una ecuación de segundo grado12 o ecuación cuadrática de una variable es una ecuación que tiene la expresión general:

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Donde x es la variable, y a, b y c constantes; a es el coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente. Este polinomio se puede interpretar mediante la gráfica de una función cuadrática, es decir, por una parábola. Esta representación gráfica es útil, porque las intersecciones o punto tangencial de esta gráfica, en el caso de existir, con el eje X coinciden con las soluciones reales de la ecuación C) De tercer grado o cúbicas: Una ecuación algebraica de tercer grado o ecuación cúbica con una incógnita es aquella de grado tres1 que se puede poner bajo la forma canónica:

Donde a, b, c y d (a ≠ 0) son números que pertenecen a un cuerpo, el cuerpo de los números reales o el de los números complejos, aunque con frecuencia son números racionales

D) Racionales: Son aquellas en las que uno o ambos miembros se expresan como

un cociente de polinomios

Ecuaciones trigonométricas: Las ecuaciones trigonométricas son las ecuaciones cuya incógnita se encuentran afectada por una función trigonométrica. Podemos encontrar resultados infinitos, debido a que estas funciones son periódicas.

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Ecuaciones logarítmicas: Llamamos ecuaciones logarítmicas a aquellas ecuaciones, donde la incógnita se ve afectada por algún logaritmo. Para resolverlas debemos aplicar las diferentes propiedades de los logaritmos.

Ecuaciones exponenciales: La incógnita de las ecuaciones potenciales se sitúa en el exponente de cada una de las potencias. Es posible que encontremos la incógnita en uno de los componentes de la ecuación, o en cada uno de los elementos que aparecen.

Es muy importante conocer las propiedades de las potencias para poder resolverlas.

4.2. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES. (COEFICIENTE ENTERO Y FRACCIONARIO).

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4.2.1. DESPEJE DE FORMULA. DESPEJE DE FORMULA Despejar fórmulas es determinar el valor de una letra o incógnita en base a otras teniendo que aplicar para ellos las reglas algebraicas de las ecuaciones. A partir de una fórmula que te sirve para calcular el valor de una cierta magnitud, se pueden obtener mediante despejes matemáticos nuevas fórmulas que te permitan calcular el valor de las otras magnitudes que se encuentran en esa fórmula inicial.

Por ejemplo, a partir de la fórmula que te permite calcular la rapidez promedio de un cuerpo:

Se pueden obtener dos nuevas fórmulas que te permitirán realizar el: Cálculo de distancia, Cálculo de tiempo.

EJERCICIO 1  Considerar la ecuación 3x-48y+7=28. Despejar la variable “x”.

3x-48y+7=28 Al observar la ecuación se aprecian dos sumandos al lado de la variable. Estos dos términos se deben pasar al lado derecho y se les cambia el signo. De modo que se obtiene 3x = +48y-7+28 3x = 48y +21.

Ahora se procede a pasar a dividir el 3 que está multiplicando a la “x”. Por lo tanto, se obtiene que x = (48y+21)/3 = 48y/3 + 27/3 = 16y + 9

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EJERCICIO 2 Se sabe que la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a 3 y uno de sus catetos es igual a √5. Calcular el valor del otro cateto del triángulo.

El teorema de Pitágoras dice que c² = a² + b² donde “c” es la hipotenusa, “a” y “b” son los catetos.

Sea “b” el cateto que no se conoce. Entonces se comienza pasando “a²” al lado contrario de la igualdad con el signo opuesto. Es decir que se obtiene b² = c² – a².

Ahora se aplica raíz “1/2” a ambos lados y se obtiene b = √ (c² – a²).

Al sustituir los valores de c=3 y a=√5 se obtiene que: b = √ (3²-(√5)²) b = √ (9-5) b = √4 b = 2.

4.3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. (COEFICIENTE ENTERO Y FRACCIONARIO).

Sistema de Ecuaciones

×-3y= 10 -×+6y= 5 3y= 15 10 y= 15/3 y= 5

×-3y=10 ×-3(5) = ×-15= 10 ×= 10+15 ×= 25

8

3 4×-2y= 5 2 6×+6y= 8

4(23/24)-2y= 5 23/6 - 2y= 5

12×-6y= 15

2y= - 7/6

12×+6y= 8

y= - 7/6/2

24×

y= - 7/12

×

= 23 = 23/24

4

×/3 + y/4= 6

¼

3× - 4y= 4

12×/3 + 16y/4 = 24

3(12) - 4y= 4

12×/4 - 16y/4 = 16/4

36 - 4y= 4

25×/12

= 25

- 4y= 4-36

25×

= 25(12)

y= 32/4

×

= 300/25

y= 8

×

= 12

3 a-2b = 10 2 2a+3b = - 8

3a - 6b= 30 4a + 6b= -16 7a

2 - 2b= 10 - 2b= 10-2

= 14

b= 8/-2

a

= 14/7

b= - 4

a

=2

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Tenemos 2 números cuya suma es cero si a uno de ellos le sumamos 123 obtenemos el doble del otro. Halla los números:

×+y= 0 (×+123)=2y

2× + 2y= 0 × - 2y= -123 3× = - 123 × = - 123/3

- 41+ y= 0 y= 41

× = - 41 R// los números son - 41 y 41

El estacionamiento del colegio tiene una capacidad para 70 vehículos entre carros y motocicletas, si el total de ruedas es 200, ¿Cuántos carros y motocicletas existen si el parqueadero está lleno?

×: carros y: motocicletas

2 ×+y= 70 -1 4×+2y= 200

2× + 2y= 140

30+y= 70

-4× - 2y= - 200

y= 70-30

-2×

y= 40

= - 60

×

= - 60/-2

×

= 30

R// hay 30 carros y 40 motocicletas

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4.4. ECUACIONES CUADRÁTICAS. RESOLUCIÓN POR FACTORIZACIÓN, POR COMPLETACIÓN DE CUADRADOS Y POR FORMULA GENERAL. Ecuaciones cuadráticas Una ecuación cuadrática o de segundo grado es aquella que puede representarse con un predicado de la forma: p(x): ax2 + bx + c = 0

a, b, c ∈ ∧ a ≠ 0

donde x es la incógnita cuyo valor hay que determinar. Se pueden encontrar las soluciones de la ecuación cuadrática mediante factorización o por la fórmula general. En el primer caso, se trata de expresar el miembro izquierdo de la ecuación cuadrática como el producto de dos factores lineales, y se igualan a cero estos factores. Las nuevas ecuaciones que resultan son lineales y se las puede resolver separadamente, como se describió en la sección anterior.

Finalmente, las soluciones de estas ecuaciones se unen para conformar el conjunto de verdad de la ecuación cuadrática dada.

Ejemplos: Por factorización Sea Re = y p(x): x2 + 5x − 6 = 0, determine Ap(x).

Solución: x2 + 5x − 6 = 0 (x + 6) (x − 1) = 0 (x + 6 = 0) ∨ (x − 1 = 0) (x = − 6) ∨ (x = 1) Comprobando, tenemos que: p (− 6): (− 6)2 + 5(− 6) − 6 = 36 − 30 − 6 = 0 p (1): (1)2 + 5(1) − 6 = 1 + 5 − 6 = 0 En consecuencia, Ap(x) = {− 6, 1}.

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Completando el cuadrado Completar el cuadrado es un método usado para resolver una ecuación cuadrática por el cambio de la forma de la ecuación para que el lado izquierdo sea un trinomio cuadrado perfecto.

Para resolver ax 2 + bx + c = 0 completando el cuadrado: 1. Transforme la ecuación para que el término constante, c, esté solo en el lado derecho.

2. Si a, el coeficiente principal (el coeficiente del término x 2), no es igual a 1, divida ambos lados entre a.

3. Sume el cuadrado de la mitad del coeficiente del término x lados de la ecuación.

4. Factorice el lado izquierdo como el cuadrado de un binomio.

5. Realice la raíz cuadrada en ambos lados. (Recuerde: (x + q) 2 = r es equivalente a 6. Resuelva para x.

Ejemplo 1: Resuelva x 2 – 6 x – 3 = 0 completando el cuadrado.

Ejemplo 2: Resuelva: 7 x 2 – 8 x + 3 = 0

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en ambos

INTERPRETACIÓN DE LA DISCRIMINANTE DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA AX 2 + BX + C = 0   

Si el discriminante es mayor que cero, existen dos soluciones reales y diferentes. (b2-4ac>0) Si el discriminante es igual a cero, hay una solución real duplicada. (b 2-4ac=0) Si el discriminante es menor que cero, no existe solución real. ( b2-4ac<0)

EJEMPLO:

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4.5. PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS CON ECUACIONES. Problema 1: Martha tiene 15 aĂąos y es la tercera parte de la edad de su madre. ÂżQuĂŠ edad tiene la mamĂĄ de Martha?

Martha: 15

đ?&#x;?đ?&#x;&#x201C; = đ?&#x2019;&#x2122;/đ?&#x;&#x2018;

Madre: x

đ?&#x2019;&#x2122; = đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x201C; đ?&#x2019;&#x201A;Ăąđ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201A; đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x17D;ĂĄ đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x2018;´đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2030;đ?&#x2019;&#x201A;

Problema 2: Hallar 3 nĂşmeros consecutivos cuya suma sea 219 X= #1 =72

đ?&#x2019;&#x2122; + đ?&#x2019;&#x2122; + đ?&#x;? + đ?&#x2019;&#x2122; + đ?&#x;? = đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x2014;

X2= #2 ď&#x192; x+1 =72+1=73

đ?&#x;&#x2018;đ?&#x2019;&#x2122; = đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x2014; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;&#x2018;

X3= #3 ď&#x192; x+2 = 72+2= 74

đ?&#x;&#x2018;đ?&#x2018;ż = đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x201D; đ?&#x2018;ż = đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;?

Problema 3: Si dentro de 10 aĂąos Adriana tiene el triple de la edad que tiene ahora ÂżQuĂŠ edad tendrĂ­a?

A ď&#x192; x ď&#x192; x+10 = 3X

đ?&#x;&#x2018;đ?&#x2018;ż = đ?&#x2018;ż â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D; đ?&#x;?đ?&#x2018;ż = đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;

PRESENTE

FUTURO

đ?&#x2018;ż=đ?&#x;&#x201C;

đ?&#x2018;ż â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D; = đ?&#x;&#x201C; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D; = đ?&#x;?đ?&#x;&#x201C; đ?&#x2018;¨Ă&#x2018;đ?&#x2018;śđ?&#x2018;ş đ?&#x2018;ťđ?&#x2018;Źđ?&#x2018;ľđ?&#x2018;Ťđ?&#x2018;šĂ?đ?&#x2018;¨ đ?&#x2018;¨đ?&#x2018;Ťđ?&#x2018;šđ?&#x2018;°đ?&#x2018;¨đ?&#x2018;ľđ?&#x2018;¨

Problema 4: El padre de Ana tiene 5 aĂąos menos que su madre y la mitad de la edad de la madre es 23 ÂżQuĂŠ edad tiene el padre de Ana? P.A: X- 5 = 46-5 = 41 aĂąos tiene M.A: X

đ?&#x2018;ż đ?&#x;?

= đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;

đ?&#x2018;ż = đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x201D;

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Problema 5: La tercera parte de las cucharas de la casa estĂĄn en el lavaplatos y as restantes en el cajĂłn. Pero, la mitad de las cucharas del cajĂłn, 15, se llevaron a la mesa ÂżCuĂĄntas cucharas hay en el lavaplatos?

1-. Lavaplatos: x/3 ď&#x192; 45/3 = 15

đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x;&#x2018; = đ?&#x;?đ?&#x;&#x201C; đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2122; = đ?&#x;?đ?&#x;&#x201C; đ?&#x;&#x201D;

2-. CajĂłn: 2x/3

đ?&#x2019;&#x2122; = đ?&#x;?đ?&#x;&#x201C;(đ?&#x;&#x2018;) đ?&#x2019;&#x2122; = đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x201C; Problema 6: Los ž de un numero son 60 ÂżCuĂĄl es el nĂşmero?

đ?&#x;&#x2018;đ?&#x2019;&#x2122; = đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x17D; đ?&#x;&#x2019; đ?&#x2019;&#x2122; = đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x17D;(đ?&#x;&#x2019;) đ?&#x2019;&#x2122; = đ?&#x;&#x2013;đ?&#x;&#x17D;

4.6. DEFINICIĂ&#x201C;N DE UNA DESIGUALDAD. Una desigualdad es una expresiĂłn matemĂĄtica que contiene un signo de desigualdad.

Los signos de desigualdad son: â&#x2030; no es igual < menor que > mayor que â&#x2030;¤ menor o igual que â&#x2030;Ľ mayor o igual que De la definiciĂłn de desigualdad, lo mismo que de la escala de los nĂşmeros algebraicos, se deducen algunas consecuencias, a saber:

1. Todo nĂşmero positivo es mayor que cero

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Ejemplo:

5 > 0 ; porque 5 – 0 = 5 2. Todo número negativo es menor que cero Ejemplo:

–9 < 0 ; porque –9 –0 = –9 3. Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto; Ejemplo:

–10 > –30; porque -10 – (–30) = –10 +30 = 20 4. Una desigualdad que contiene al menos una variable se llama inecuación .

Por ejemplo:

X+3<7 5. (La punta del signo < siempre señala el menor) Ejemplos:

3 < 4,

4>3

4.7. SOLUCIÓN DE UNA DESIGUALDAD Ejercicio 1: Resolver x + 2 < 5 x+2<5 x<5–2 x<3 El resultado nos indica que el conjunto solución es cualquier valor de x que sea menor que 3, lo cual podemos expresar como: a) x < 3, que se lee "x menor que 3" . b) En notación de intervalos: (-∞, 3), que se lee "el valor de x va desde menos infinito hasta antes de 3". c) En notación de conjuntos: {x | x < 3}, que se lee: "el conjunto de las x tal que x sea menor que 3".

Es importante destacar que el valor 3 no es parte de la solución, ya que la solución es x<3, sin incluir al 3.

Cuando expresamos la solución en notación de intervalos, esto lo expresamos con un paréntesis circular, o sea, (, y en este caso se dice que el intervalo es abierto por la izquierda, o bien, ), en cuyo caso se dice que el intervalo es abierto por la derecha. Para

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que el valor dado forme parte de la solución, el signo debe ser ≤ o ≥ y, en notación de intervalos, se abre o cierra dicho intervalo con un corchete, es decir, [, en cuyo caso se dice que el intervalo es cerrado por la izquierda, o bien,], indicando que el intervalo es cerrado por la derecha.

Para comprobar una desigualdad, procedemos igual que lo hacemos para una ecuación, es decir, sustituyendo el valor, en este caso alguno o algunos de los múltiples valores, de la variable, en la expresión original, y se debe satisfacer la desigualdad establecida en ésta.

Comprobando: La desigualdad es: x+2<5 Como cualquier valor menor que 3 debe satisfacer la desigualdad, probaremos con: x=2 2+2<5 4 < 5. Verdadero. x=0 0+2<5 2 < 5. Verdadero. x = -1 -1 + 2 < 5 1 < 5. Verdadero.

En contraparte, si probamos con x = 4, que no es parte de la solución: x=4 4+2<5 6 < 5. Falso.

Queda comprobado.

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4.7.1. INTERVALOS. OPERACIONES.

Tipos: 1.- Abiertos: (a,b)

2.-Cerrado: [a,b]

3.- Semi-abiertos: [a,b) o (a,b]

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4.- Intervalos Infinitos ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ

ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ

[a,+â&#x2C6;&#x17E;) I={ Ă&#x2014;/Ă&#x2014;â&#x2030;Ľ a} (a,+â&#x2C6;&#x17E;) I={ Ă&#x2014;/Ă&#x2014;> a}

(-â&#x2C6;&#x17E;,a] I={ Ă&#x2014;/Ă&#x2014; â&#x2030;¤a} (-â&#x2C6;&#x17E;,a) I={ Ă&#x2014;/Ă&#x2014;< a

4.7.2. RESOLUCIĂ&#x201C;N DE DESIGUALDADES (COEFICIENTE ENTERO Y FRACCIONARIO. RESOLUCIĂ&#x201C;N DE DESIGUALDADES Suponemos que X y Y pertenecen a los reales donde cumplen con las condiciones siguientes:

4(đ?&#x2018;&#x2039; â&#x2C6;&#x2019; 2) â&#x2030;¤ 2đ?&#x2018;&#x2039; + 6

2đ?&#x2018;&#x2039; + 3 + 2(đ?&#x2018;&#x2039; + 1) < â&#x2C6;&#x2019;3(1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2039;)

4đ?&#x2018;&#x2039; â&#x2C6;&#x2019; 8 â&#x2030;¤ 2đ?&#x2018;&#x2039; + 6

2đ?&#x2018;&#x2039; + 3 + 2đ?&#x2018;&#x2039; + 2 < â&#x2C6;&#x2019;3 + 3đ?&#x2018;&#x2039;

2đ?&#x2018;&#x2039; â&#x2030;¤ 14

2đ?&#x2018;&#x2039; + 2đ?&#x2018;&#x2039; â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;&#x2039; < â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019; 3 â&#x2C6;&#x2019; 2

đ?&#x2018;&#x2039;â&#x2030;¤7

đ?&#x2018;&#x2039; < â&#x2C6;&#x2019;8

INTERVALO: (-â&#x2C6;&#x17E;,7 ]

INTERVALO: (-â&#x2C6;&#x17E;,-8)

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2(𝑋 + 1) − 3(𝑋 − 2) < 𝑋 + 6

𝑋 + 2𝑋 + 3𝑋 < 55 2

2𝑋 + 2 − 3𝑋 + 6 < 𝑋 + 6 −𝑋 − 𝑋 < 6 − 6 − 2

5𝑋 +

−2𝑋 < −2

𝑋 < 55 2

𝑋>1

10𝑋 + 𝑋 < 55 2

INTERVALO: (1,+∞)

11𝑋 < 55 𝑋<

1 1 3 − > 4 1−2 5 𝑋 −

−

𝑋 < 10 INTERVALO: (-∞,10)

1 3 1 > − 𝑋−2 5 4 𝑋 1

𝑋 12 − 5 > 𝑋−2 20

−𝑋(20) > 7(𝑋 − 2) −20𝑋 − 7𝑋 > −14 −27𝑋 > −14 𝑋<

55(2) 11

14 27 𝟏𝟒

INTERVALO: (-∞, ) 𝟐𝟕

1

N° AYUDA EXTRA DE LOS TEMAS DE ECUACIONES: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

https://www.youtube.com/watch?v=giuEYJhb5gU https://www.youtube.com/watch?v=qeKEA066OSs https://www.youtube.com/watch?v=vZoZJfdeB58 https://www.youtube.com/watch?v=P_NBQQzM1UU https://www.youtube.com/watch?v=xmzG2xR-oBI https://www.youtube.com/watch?v=97yLSQXKIp8 https://www.youtube.com/watch?v=gYJiD9VQeLg https://www.youtube.com/watch?v=A6HgG-pNzyY https://www.youtube.com/watch?v=nx_rvu-yD70 https://www.youtube.com/watch?v=Ogxr5wwVMAw

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