Números Reales

1

2

Integrantes

Grupo # Antonella Villao Karen Lino Leonardo ChĂŠvez AdriĂĄn Loor Diana Ibarra Kevin Muzo Joselyn Pineda Yoselyn Serrano Iliana Vera

3

Ă?ndice 1. NĂşmeros reales 1.1 ReducciĂłn de tĂŠrminos 1.2 operaciones con fracciones

2. propiedad de los exponentes 3. producto notable 3.1 cuadrado de un binomio 3.2 cubo de un binomio

4 4,5 5

6 7 7 8

4. factorizaciĂłn 9 4.1 factor comĂşn 9 4.2 factor comĂşn por agrupaciĂłn de tĂŠrminos 9 4.3 diferencia de cuadrado perfecto 9 4.4 trinomio cuadrado perfecto 10 4.5 trinomio de la forma đ?‘Žđ?‘Ľ 2 + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? ________________ 11 4.6 trinomio de la forma đ?‘Ľ 2 + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? ________________ 12 4.7 cubo de binomio 12 4.8 suma o diferencia de potencias impares iguales 13

4

Monomios (un solo termino)

Expresiones algebraicas

Binomios (dos términos)

Números y letras

Trinomios (tres términos)

Términos: son expresiones separadas por el signo + o -.

6(2-4)-4(3+1)-6(5-9) 9-6+3(2)-4(3-5) 9-6+6-4(-2) 6(-2)-4(4)-6(-4) 9-6+6+8 -12-16+24 23-6 -4 17

Reducción de términos Signos iguales

Diferentes signos

 Escribir el mismo término  Sumar las cantidades

 Se escribe la cantidad mayor  Se restan las cantidades

-5

X2y3z4 Parte literal

Parte numérica https://www.youtube.com/watch?v=yWYXHP7fmt4

5

Reducir términos semejantes: 4x6-5x2+2x2-5x3-6x6+7x3

5(m-7) +4m-3m2+6m2

4x6-6x6-5x3+7x3-5x2+2x2

5m-35+4m-3m2+6m2

-2x6+2x3-3x2

3m2+9m-35

Operaciones con fracciones 1

3

7+6

+7= 2 1

14

5

7

−6+4= 3

1+

2

2

3+1 2+4

4−10+21 12

=1+

1 3+ 4

1

13

= 14

=

1 8 +1 11 3

 2+ =   

11 4

8 11 1 19 11

=

1 1 19 11

=

2 1 13 4

=1+

8 13

=

13+8 13

=

21 13

11

= 19

11 4

8 11

+1= =

4

=

13 4

=

8+3

4

2

2

5

=4

8+11 11

=

19 11

11 19

https://www.youtube.com/watch?v=ATOgPqgGz1M https://www.youtube.com/watch?v=KDDcZCvgx5k https://www.youtube.com/watch?v=hY3czrMPC-w

6

1) 𝒂 ∗ 𝒂 = 𝒂 + 𝒎

2)

𝒂𝒎 𝒂𝒏

𝒏

𝒎

= 𝒂𝒎 −𝒏

3) [𝒂𝒎 ]𝒏 = 𝒂𝒎 ∗𝒏

Ejercicio 1.

4) (𝑎𝑏)𝑚 = 𝑎𝑚 ∗ 𝑎𝑛 𝒏 𝑎 𝑚 𝑏

5) ( ) =

𝑎𝑚 𝑏𝑚

1

6) 𝑎𝑚 = 𝑎−𝑚

𝑎6 𝑏 3 𝑏 2 ∗ 𝑎𝑏 2 𝑎3 𝑎3 𝑏 3 𝑎 𝑎2 𝑏 3

𝑎−2 𝑏 6 𝑎 𝑥 +2 [𝑎3 ]2 = 𝑎−2 𝑎6 𝑎 𝑥 +2 𝑎6 =

Ejercicio 2.

𝑎10 +𝑥 +2 = 𝑎 𝑥 +12

https://www.youtube.com/watch?v=6jNWNo0__Y https://www.youtube.com/watch?v=qrYjWSYjbs

7

CUADRADO DE UN BINOMIO:  El cuadrado del primer término.  El duplo del primero y el segundo.  El cuadrado del segundo término.

(5X+2Y) = (5X) +2(3X) (4Y) + (4Y)

= 25X +20XY+4Y

(3X-4Y) = 3X -2(3X)(4Y)+(4Y)

= 9X - 24XY + 16Y

https://www.youtube.com/watch?v=I1L8F3o93q0 https://www.youtube.com/watch?v=G-ym95yl3Es https://www.youtube.com/watch?v=f36VRCGrI4A https://www.youtube.com/watch?v=o6PkQJEQql4

8

CUBO DE UN BINOMIO:    

El cubo del primero.

El triple del primero por el segundo.

El triple del primero por el segundo.

El cubo del segundo.

Ejercicios: (X+2Y) = x +3(x) (2y) +3(x) (2y) +2y = x +6x +3(x) (4y)+8y =x +6x y+ 12xy +8y

(X+2Y) (5X-4Y)= 5X -4XY10XY-8Y LÑ GH =5X +6XY-8Y

https://www.youtube.com/watch?v=Ibe_kqg7uRs

(X -5) (X +5) = X +5X -5X -25

= X -25

(X+2Y) (X-6Y)= X - 6XY+2XY-12Y

=X -4XY-1

https://www.youtube.com/watch?v=8Ncm_ZsPrmQ

FactorizaciĂłn

9

Factor comĂşn 2a + 4b + 6c = 2(a + 2b + 3c) 5x + 10xy – 15đ?’™đ?&#x;? = 5x (1 + 2y -3x)

Factor comĂşn por agrupaciĂłn de tĂŠrminos đ?‘Ľ 2 − đ?‘Žđ?‘Ľ − đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘Žđ?‘? (đ?‘Ľ 2 − đ?‘Žđ?‘Ľ) − (đ?‘?đ?‘Ľ − đ?‘Žđ?‘?) x (x – a) – b (x – a) (x – a) (x – b) Simplificar la siguiente expresiĂłn: (

(

6m3 − 3m2 n 6mn + 2n3 ) ( ) 21mn + 7n2 6m2 + 24mn

3m2 (2m − n) 2n(3m + n) m(2m − n) )( )= (3m 7n + n) 6m(m + 4n) 7(m + 4n)

DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS đ??— đ?&#x;? − đ??˜ đ?&#x;? = (X−Y) (X+Y)

√đ??— đ?&#x;? √đ??˜ đ?&#x;?

X

Y

36X 8 − 121Y10=(6X 4 − 11Y 5 ) (6X 4 + 11Y 5 ) ∗ 5X 4 − 80Y 4 = 5(X 4 − 16Y 4 ) =5(X 2 − 4Y 2 ) (X 2 + 4Y 2 ) =5(X − 2Y)(X − 2Y) (X 2 + 4Y 2 )

10

 Ejercicios de Repaso 1 1 �+1 1 � � �+1+� =1+ = = =1+ = 1 � � �+1 �+1 �+1 �+1 1+ 1 � 1+ � 3 2� + 1 3(� + 1) 3� + 3 1 = = = = 2� + 1 �+1 2� + 1 2� + 1 �+1 3

Trinomio cuadrado perfecto đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Ľđ?‘Ś + đ?‘Ś 2

√đ?‘Ľ

2

√đ?‘Œ

X

2

y (x + y)2

1/16x6+5/2x3y4+25y8 1/4x3

5y4

(1/4x3+5y4)2

ďƒź Para sacar el primer signo de primer binomio es el signo del primero por el segundo ďƒź Para sacar el segundo signo del segundo binomio es el signo del segundo por el signo del tercero

11  Para sacar los términos independientes de ser que sumados te de el valor del 2° termino y que multiplicados te den el valor del 3° termino

Ejercicios de repaso

 X2-6x+5=(x-5) (x-1)  Z2+3z+2=(z+1) (z+2)  (x+4)(x+5) x2+5x+4x+20 x2+9x+20  (2x+3y)2 (2x)2+2(2x) (3y) +(3y)2 4x2+18xy+9y2  (7a2-2b2)(5a2 +3b2) 35a4 21a2b2-10a2b2-6b4 35a9 +11a2b2-6b4

TRINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx + c EJEMPLO:

6x2 - 7x - 3 = 36x2 - 6(7x) – 18 = (6x - 9) (6x + 2) 6 = (6x - 9) (6x + 2) 3x 2 = (2x-3)(3x + 1)   

6 por 6 es igual a 36 El 6 que está al lado del 7 es el primer término del trinomio El primer término del trinomio (6) se multiplica con el tercero (3) = 18

12 

 

Se buscan dos números que al sumarlos su resultado sea el segundo término del trinomio (7) y multiplicados el tercero (18) El denominador de la expresión es el primer término del trinomio Se descompone el (6) para que pueda dividir ambos factores

Ejemplos

Trinomio de la forma x2 + bx + c Trinomios de la forma x2 + bx + c son trinomios como: X2 + 5x + 6, a2 – 2 a – 15, m2 + 5m –14, y2– 8y +15

1) El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término sea la raíz cuadrada del primer término del trinomio.

2) Se buscan dos números que sumados algebraicamente den como resultado el coeficiente del segundo término b, y multiplicados den el tercer término c.

Ejemplos

13 Factorizar x2 + 5 x + 6 1) ( x )( x ) 2) los nĂşmeros 3 y 2, sumados dan 5 y multiplicados dan 6.

AsĂ­ x2 + 5 x + 6 = (x+3)(x+2)

EJEMPLO:

Factorizar a2 – 2 a –15 1) (a) (a) 2) los números – 5 y +3, sumados algebraicamente dan –2 y multiplicados dan –15.

Así a2 – 2 a –15 = (a – 5) (a + 3) Nota: los números – 3 y +5, multiplicados dan –15, pero sumados algebraicamente no dan – 2, por tanto (a + 5) (a – 3) no son factores de a2– 2 a – 15 (a + 5) (a – 3) = a2 + 2 a – 15

Ejemplos Factorizar n2 – 6 n – 40 1) (n) (n) 2) los número -10 y 4, sumados dan -6 y multiplicados dan 40.

Así n2 – 6 n – 40 = (n -10) (n + 4)

Cubo perfecto de Binomio đ?’™đ?&#x;‘ + đ?&#x;‘đ?’™đ?&#x;? đ?’š + đ?&#x;‘đ?’™đ?’šđ?&#x;? + đ?’šđ?&#x;‘

đ?&#x;‘

√đ??ą đ?&#x;‘

đ?&#x;‘

√đ??˛ đ?&#x;‘

14

X

(X+Y)^3

Y

(3𝑋 2 𝑌)(3𝑋𝑌 2 )

𝑋 9 − 18𝑋 6 𝑌 5 + 108𝑋 3 𝑌10 − 216𝑌15

𝑋3

11(𝑋 3 − 6𝑌 5 )3

3(𝑥 3 )2 (6𝑦 5 )

6𝑌 5

3(𝑥 3 )(6𝑦 5 )2

18𝑥 6 𝑦 5

108𝑥 3 𝑦10

Suma o diferencia de potencias impares iguales 𝑋 5 − 11 = 𝑥 5 − 15

√𝑥 5

√15

X

1

Positivos: (x-1) (𝒙𝟒 𝟏𝟎 + 𝒙𝟑 𝟏𝟏 + 𝒙𝟐 𝟏𝟐 + 𝒙𝟏 𝟏𝟑 + 𝒙𝟎 𝟏𝟒 ) = (x-1) (𝒙𝟒 + 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏) 𝑋3 + 𝑌3

X

Y

Alternados: (x + y) (𝒙𝟐 𝒚𝟔 + 𝒙𝟏 𝒚𝟏 + 𝒙𝟎 𝒚𝟐 ) = (x + y) (𝒙𝟐 + 𝒙𝒚 + 𝒚𝟐 )

15

Factor comĂşn: Trinomio de la forma đ?‘Ľ 2 + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘?: https://www.youtube.com/watch?v =6x4YGMcw0xA https://www.youtube.com/watch?v =UNEfUX8oNsE https://www.youtube.com/watch?v =ND-UMsE-uPI Factor comĂşn por agrupaciĂłn de Cubo perfecto de binomio: tĂŠrminos: https://www.youtube.com/watch?v https://www.youtube.com/watch?v =uhN2eVLAEDw =_dFQ_XKNOY8 https://www.youtube.com/watch?v =vcGlzp1Ms5E Diferencia de cuadrados perfectos: Suma diferencia de potencias https://www.youtube.com/watch?v impares iguales: =tABhBMtBmSY https://www.youtube.com/watch?v https://www.youtube.com/watch?v =pp8jXDYSNus =acBUcIiq-xo https://www.youtube.com/watch?v =-DChHqP0-B0 Trinomio cuadrado perfecto: https://www.youtube.com/watch?v =FlDgcsy0VUU https://www.youtube.com/watch?v =YAENVrFtO6E trinomio de la forma đ?‘Žđ?‘Ľ 2 + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? : https://www.youtube.com/watch?v =7RNLemsi1KQ https://www.youtube.com/watch?v =xZHGl-RUqHs

16

17